บทท 5การเคลอนทแบบวงกลม

กบกฎของนวตน

ในชวงเวลาน  รสเซยและอเมรกาตางระแวงสงสยกนและมงสรางอาวธและจรวดเพอแขงขนกนเปนมหา อำานาจ   สมรภม ใหมทใชตอสกนคอ อวกาศ  รสเซยสงดาวเทยมสปตนคขนสอวกาศ เปนครงแรก อกไมกวน รสเซยกสงสนขชอ ไลกาขนสอวกาศ  อเมรกาตอบโตรสเซยดวยการสงจรวดแวนการด  แตมนระเบดกอน  เปนความขายหนาอยางยงของอเมรกา 12 เม.ย 1961ยรกาการน  ชาวรสเซยมนษยคนแรกขนสอวกาศ เขาไปไดสง  200  ไมลโคจรโลก 2 รอบ เพยง 5 สปดาหหลงจากเขาขนสอวกาศอเมรกากสงนกบนอวกาศขนสอวกาศ สำาเรจ  ในป ค.ศ 1963  ขณะทสงครามเยนกำาลง ระอ ประธานาธบด เคนาดกประกาศคำาทาทายเยยรสเซยวา อเมรกาจะไปดวงจนทร เพอชมวดโอ คลกทนครบ 

บททแลวเราไดแกปญหาโจทยทางพลศาสตรไปพอสมควร ในบทนจะขยายขอบเขตไปถงการแกโจทยป ญหาส ำาหรบการเคลอนทแบบวงกลม ตวอยางเชน รถยนตเคลอนทบนทางโคง การโคจรของดาวเทยม เปนตน สดทายเราจะศกษาแบบเจาะลกในรายละเอยดเร องความเรงโนมถวงเพอทำาความเขาใจแนวคดเกยวกบนำาหนกใหลกซงยงขน

5-1 แ ร ง ข อ ง ก า ร เ ค ล อ น ท แ บ บวงกลม_______________________________

อนภาคเคลอนทเปนวงกลม รศม R ดวยความเรวคงท เรยกวาอนภาคม การเคลอนทสมำาเสมอแบบวงกลม (Uniform Circular motion) จากหวขอ 3-5 ไดแสดงใหเหนแลววา ความเรงจะมทศพงเขาหาจดศนยกลางของวงกลมเสมอ ขนาดของความเรงสจดศนยกลางคอ

ฟสกสราชมงคล

97

a = ................... (5-1)

คาบเวลา คอเวลาทอนภาคเคลอนทครบ 1 รอบ หาไดจาก

= ................... (5-2)

v =

แทน v ลงในสมการ (5-1) จะได

a = ................... (5-3)

แรงทเกดขนจะมทศทางเดยวกบความเรง คอพงเขาหาจดศนยกลาง ขนาดของแรงหาไดจาก

F = ma = ................... (5-4)

ผกวตถดวยเชอกและแกวงใหเปนวงกลมดวยความเรวสมำาเสมอ แรงตงของเสนเชอกจะดงวตถไมใหหลดออกไป แตถาคณปลอยเชอก วตถกจะพงออกไปตามแนวเสนสมผสของวงกลม ดงรป 5-1

รป 5-1

ฟสกสราชมงคล

98

แรงสศนยกลาง

แรงในสมการ (5-4) มชอเฉพาะวา แรงสศนยกลาง เกดจากการเปลยนแปลงทศทางของความเรว ทำาใหเกดความเรงขน พสจนไดจากกฎขอทสอง F = ma ; แรงคอมวลคณกบความเรง ดงนน ถามความเรงกจะตองมแรง

การยกขอบทางโคง การสรางถนนราดเอยง หรอรางรถไฟตรงทางโคง จะตองสรางให

เอยงลาดเขาสจดศนยกลางของความโคงของบรเวณทางโคงนน เพอใหเกดแรงเขาสศนยกลางซงยานพาหนะตองใชในการเลยวเขาทางโคงนน ถาไมสรางใหถนนมความลาดเอยง แรงเขาสศนยกลางตองมาจากแรงทลอรถ ทำาใหลอรถเกดการสกหรอและเกดแรงเสยดทานสง

พจารณารป 5-2 แรงทกระทำากบรถยนต คอ นำาหนก W และ แรงตงฉาก N แรงลพธ FN จะตองเทากบแรงเขาสศนยกลาง ดงนน

FN = เมอ R เปนรศมความโคง จากรปจะพบวา

tan a = =

รป 5-2 การยกขอบถนน

จะเหนไดวาแรงลพธทเกดขนไมขนอยกบมวลของวตถ เมอสรางถนนใหเอยงทำามม a ตามทคำานวณไว และใชอตราเรวไมเกนทกำาหนด ยานพาหนะกจะสามารถวงเขาโคงไดโดยไมเกดปญหาใด ๆ หากยานวงดวยอตราเรวทสงกวาอตราเรวทกำาหนดมาก ๆ รถกมแนวโนมทจะแลนตกถนนได

ฟสกสราชมงคล

99

ตวอยาง 5-1 กลองพลาสตก มวล 0.200 kg เคลอนทเปนวงกลม รศม 0.200 m ดวยความเรวสมำาเสมอบนพนระดบทไมมแรงเสยดทาน ถากลองเคลอนทครบ 2 รอบ ใชเวลา 1 วนาท หาแรงตงเชอก F

รป 5-3 กลองพลาสตกเคลอนทสมำาเสมอแบบ

วงกลม บนพนระดบทไมมแรงเสยดทาน

หลกการคำานวณระยะทางรอบวง= 2 R

= 2 (0.200 m ) = 1.26 m ความเรว v = (1.26 m) 2s-1 =2.51 ms-1

ขนาดของความเรงสศนยกลาง

a = = = 31.6 ms-2

จากรป 5-3 แรงปฏกรยา N = นำาหนก wแรงตงเชอก F = ma = (0.200 kg)

(31.6 ms-2) = 6.32 Nตวอยาง 5-2 รถคนหนงวงเปนบนถนนวงกลมรศม 45 เมตร ถาสมประสทธความเสยดทานสถตระหวางลอกบถนน คอ 0.82 จงหาความเรวทรถสามารถเลยวโคงไดโดยไมแหกโคง

ฟสกสราชมงคล

100

รป 5-4หลกการคำานวณ

จากกฎการเคลอนทขอท 2 ของนวตน จะได(i)

เนองจากรถเคลอนทเปนวงกลมและศนยกลางของวงกลมอยในแนวแกน x ดงนน

(ii)

แรงเสยดทานสถต N(iii)

ใหแรงในแนวแกน y เปนศนย เนองจากความเรงในแนวแกน y เปนศนย เพอหาแรงใน แนวตงฉาก

N - W = may = 0N = W = mg

(iiii)

แทนคาตางๆใน (ii), (iii), (iiii) ลงในสมการ (i)smg =

v = =

= 19 m/s

ความเรวทรถสามารถเลยวโคงไดโดยไมแหกโคงคอ 19 m/s

ตวอยาง 5-3 ถาทางโคงเอยงทำามม กบแนวระดบ และถนนไมมแรงเสยดทาน รถเคลอนทดวยความเรว v จงหามม ทเหมาะสม ทำาใหรถไมลนไถล

ฟสกสราชมงคล

101

หลกการคำานวณ

รป 5-5

รป 5-5 เป นแผนภาพแทนแรงของรถบนทางโค งเอยง แรงป ฏ ก ร ย า ท ท า ง โ ค ง ก ร ะ ท ำา ก บ ร ถไมไดอยในแกนดง แตตงฉากกบทางโคงเอยงทำามม กบแกนดง แตกแรงปฏกรยา N ใหอยในแนวระดบ (Nsin) และแนวดง (Ncos) ทความเรวสงสดแรงปฏกรยาในแนวระดบตองเทากบแรงสศนยกลาง ดงนน

N sin = N cos = mgเทอมแรกหารดวยเทอมสอง จะได

tan =.................... (5-5)

กำาหนดให R = 25 m และ v = 11.1 ms-1 แทนคาลงไปในสมการ (6-8)

== 26.6o

คา tan เปนสดสวนตรงกบความเรวยกกำาลงสอง และเปนสดสวนกลบกบรศมความโคง ดงนน บนทางโคงทมรศมความโคงนอย จะมปายบอกความเรวสงสดเฉลยตดไว เพอปองกนนกซงทงหลายแหกโคง

ฟสกสราชมงคล

102

5-2 ก า ร เ ค ล อ น ท แ บ บ ว ง ก ล ม ใ น แ น วดง_____________________________

รป 5-6 แผนภาพแทนแรงของลกบอลทเคลอนทเปนวงกลมในแนวดง ม

จดศนยกลางอยท O

ลกบอลผกตดกบเชอกยาว R หมนเปนวงกลมในแนวดง สงเกตวาไมเหมอนกบการเคลอนทสมำาเสมอแบบวงกลมดงหวขอ 5-1 เพราะความเรวของลกบอลเพมขนขณะทหมนลง และจะลดลงขณะทหมนขน ความเรวจงไมสมำาเสมอตลอดเสนทางการเคลอนท ดงนน ความเรงจงม 2 แนว คอ แนวสมผส a กบแนวตงฉาก a แรงลพธแนวสมผส F และตงฉาก F หาไดจาก

F = mg sin , F = T- mg cosจากกฎขอทสองของนวตน

a = = g sin ขอสงเกต ความเรงนมคาเทากบกรณทวตถเคลอนทลงมาบนพนเอยงมม ในกรณทไมมความฝดจากกฎขอทสองของนวตน

a =

= = (ความเรงสศนยกลาง)

แรงตง T = ................... (5-6)

ฟสกสราชมงคล

103

ทจดตำาสด = 0 , sin = 0 และ cos = 1 จะได F = 0 , a = 0 เหลอแตความเรงในแนวตงฉาก ดงนน

T ตำาสด =

ทจดสงสด = 180o , sin = 0 , cos = -1 จะได F = 0 , a

= 0 มแตความเรงในแนวตงฉาก ดงนน

T สงสด =................... (5-7)

ความเรวนอยสด vc ทจะทำาใหลกบอลเคลอนทเปนวงกลมไดตอไป ไดจากการแทนแรงตง T สงสด ในสมการ (5-7) ใหเปนศนย

O =

ให R = 1 m จะไดvc = = 3.13

ms-1

ตวอยาง 5-4 ลกตมมวล 0.1 กโลกรม ผกกบเชอกยาว 1 เมตร แกวงไปมาในแนวดง ขณะทเชอกกำาลงทำามม = 300 กบแนวดง ลกตมมความเรว 2 เมตร/วนาท จงหา

ก) ความเรงในแนวรศมและความเรงในแนวสมผสเสนทางการเคลอนทแบบวงกลม

ข) ขนาดและทศทางของความเรงลพธ

ฟสกสราชมงคล

104

รป 5-7

หลกการคำานวณก) ความเรงในแนวรศม

= 4 m/s2

ความเรงในแนวสมผสa| | = g sin

= (9.8)(0.5) = 4.8 m/s2

ข) ความเรงในแนวสมผส , ความเรงในแนวรศมและความเรงลพธมทศทางดงรป

รป 5-8

ขนาดของความเรงลพธ a = = 6.33 m/s2

มม หาไดจาก

= tan-1 = 50.8O

ความเรงลพธมทศทำามม 50.8O กบแนวรศม

ฟสกสราชมงคล

105

5-3 ก ฎ ข อ ง น ว ต น ก บ แ ร ง โ น มถวง____________________________________

ตวอยางการเคลอนทแบบวงกลมทนาสนใจทสด เปนการศกษาทางด า น ด า ร า ศ า ส ต ร ซ ง พ ฒ น ามาเปนเวลายาวนาน กอนการคนพบกฎการเคลอนทของนวตน แตกประสบกบค ว า ม ล ำา บ า ก เ พ ร า ะการท ำานายและ คาดการณลวงหนาไมมความแมนยำา เ ป น เ ว ล า น บศตวรรษ แตหลง จากการคนพบของน ว ต น ป ร า ก ฏ ว า ก า ร ค ำา น ว ณตำาแหนงและการ เคล อนท ของดาวเคราะหในระบบ สรยจกรวาลมความถกต องแมนย ำาอ ย า ง ท ไ ม เ ค ย ป ร า ก ฏ ม า ก อ น ก ญ แ จ ค ว า ม สำาเรจม 2 ดอก คอ กฎทง 3 ขอของนวตน และ กฎความโนมถวงสากล

รป 5-9 แรงดงดดระหวางดวงอาทตยและดาวเคราะหม ขนาดเทากนแตทศตรงขามกน

ดาวเคราะหหมนรอบดวงอาทตย อนเนองมาจากแรงดงดดระหวางดวงอาทตยและดาวเคราะห นวตนสามารถคำานวณหาแรงดงดดระหวางมวล ไดจากสมการ

F = ................... (5-8)

ms และ mp คอมวลของดวงอาทตยและดาวเคราะห

ฟสกสราชมงคล

106

ดาว

ดวงอาทตย

r คอระยะทางระหวางจดศนยกลางมวลทงสอง G คอคานจโนมถวงสากล เปนคาคงท = 6.67310-11 Nm2kg-2

กฎแรงคกรยาและปฏกรยาบอกใหเราทราบวา ดาวเคราะหจะออกแรงด ง ด ด ด ว ง อ า ท ต ย (F) เทากบแรงปฏกรยาทดวงอาทตยดงดดดาวเคราะห เขยนเปนสมการไดวา

= - Fสมการ (5-8) ใชไดกบมวลทกประเภทในจกรวาล ดงนน นวตนถง

เ ร ย ก ส ม ก า ร ข อ ง เ ข า ว า กฎแรงโนมถวงสากล ถาวางทรงกลม มวล m และ M ใหระยะหางระหวางจดศนยกลางมวลเทากบ r แรงดงดดทเกดขนระหวางมวลจะเขยนไดเปน

F = ................... (5-9)

แรงนเปนแรงคกรยาและปฏกรยา แรงทมวล M กระทำากบมวล m จะมขนาดเทากบแรงทมวล m กระทำากบมวล M แตทศตรงกนขามกน ตวอยาง 5-5 เหรยญ 2 อน มวล 8.0 g เทากน วางหางกน 200 cm จงหาอตราสวน ให F เปนแรงดงดดของเหรยญ และ w เปนนำาหนก

ของเหรยญแตละอนหลกการคำานวณ

เหรยญวางหางกนมากเมอเทยบกบขนาดของเหรยญจงประมาณไดวาเหรยญมขนาดเลก

แรงดงดดหาไดจาก F == 6.67 10-11 Nm2/kg-2

= 1.07 10-15 Nนำาหนกของเหรยญแตละอน w = mg = (0.000800 kg)(9.8 ms-2) =

0.0784 N

ฟสกสราชมงคล

107

สนามความโนมถวงของโลกมวลทกมวลทตงอยบนผวโลกจะถกแรงโนมถวงของโลกดดไว

เ น อ ง จ า ก โ ล ก ม ข น า ด ใ ห ญ แรงดงดดของโลกจงมากกวาแรงดงดดระหวางมวลทวางอยบนผวโลก

ใหมวลของโลกเปน me ถามวล m วางอยบนผวโลก จะมแรงกระทำา

F = ................... (5-10)

Re คอรศมของโลกแรงดงดดทโลกกระทำาบนวตถกคอนำาหนกของวตถ w = mg

ถาเราแทน F ในสมการ (5-10)ดวย mg กจะได

g = ................... (5-11)

ขขขขขขขขข เราสามารถใชสมการนหามวลของโลก me ได ถาเราทราบรศมของโลก Re

นำาหนกของมวลขนอยกบตำาแหนงทนำาไปวางไวบนผวโลก เนองจากโลกไมกลมจรง เสนศนยสตรมรศมมากกวาทขวโลก คา g จงแตกตางกนไป แตถาทดลองอยในบรเวณไมกวางนก คา g ถอวาสมำาเสมอ (การหมนของโลกกมผลตอคา g ทำาใหนำาหนกทเสนศนยสตรนอยกวาทขวโลก)

5-4 ดาวเทยม__________________________________________________

ฟสกสราชมงคล

108

ตวอยางการเคลอนทแบบวงกลมมใหเหนในชวตประจำาวนไมนอย ยกตวอยางไดไมจบสน หรอแมแตนอกโลกการเคลอนทแบบวงกลมกเปนการเคลอนททสำาคญยง เชน การเคลอนทของดาวเคราะหรอบดวงอาทตย การหมนของดวงจนทรและดาวเทยมรอบโลก เปนตน

รป 5-10 แรงดงดด ของโลกทกระทำากบดาวเทยม

ดาวเทยมมวล ms หมนรอบโลกดวยความเรว v รศม r ถามวลของโ ล ก ค อ me แ ร ง ส ศ น ย ก ล า งของดาวเทยม จะเทากบแรงดงดดของโลก เขยนเปนสมการไดดงน

=

ฟสกสราชมงคล

109

ดาวเท

การทดลอง

นวตนเคยฝนไวเมอ 300 ปกอนวา ถาเขาสามารถยงลกปนจากภเขาสงดวยความเรวทมากพอคาหนง ลกปนจะหมนโคจรรอบโลกได อยางไรกตามนกศกษาสามารถทดลองยงกระสนจากหอคอยในจนตนาการไดโดยใชวาจาแอพเพลตน โดยเปลยนความเรวของกระสนและดวาความเรว

v = ................... (5-12)

ms = มวลของดาวเทยม v = ความเรวของดาวเทยม และ r = รศมวงโคจร นาสงเกตวาความเรว v ไมเกยวของกบมวลของดาวเทยมเลย สมการนจงใชไดกบดาวเทยมทกขนาด

ตวอยาง 5-6 สมมตวาโลกหมนรอบดวงอาทตยเปนวงกลม (แตทจรงเสนทางการเคลอนทเปนวงร) ดวยรศม R = 1.5 1011 m จงหามวลของดวงอาทตยหลกการคำานวณ

แรงสศ นยกลางจะชวยดงโลกใหอยในวงโคจร ซ งจะเทาก บแรงดงดดระหวางโลกกบดวงอาทตย ถาให me และ mS เปนมวลของโลกและดวงอาทตยตามลำาดบ

ฟสกสราชมงคล

110

บทความ

ภาพซายตกเวลดเทรดสง 110 ชน กอนกลายเปนตำานาน ถายโดยดาวเทยมอโคโนสขณะกำาลงโคจรรอบโลกทความสง 423 ไมลดวยความเรว 17500 ไมลตอชวโมง ภาพขวาหลงกลายเปนตำานาน ถายเมอเวลา 11.63 ดวยดาวเทยมดวงเดยวกนทความสงและความเรว

แรงสศนยกลาง= แรงดงดดระหวางมวล

=

mS =v คอความเรวทโลกหมนรอบดวงอาทตย คอ เวลาทหมนรอบ

ดวงอาทตยครบ 1 รอบ (1 ป = 3.15 107 วนาท) คำานวณหาความเรวทโลกหมนรอบดวงอาทตยเทากบระยะรอบวงหารดวยคาบเวลา จะได

v =

= = 2.99 104 ms-1

แทนคาลงไปในสมการ mS ดานบน จะได mS = 2.01 1030 kg

5-5 การเปลยนแปลงคาความเรงโนมถวง g ตามระดบความสง__________

วางวตถมวล m1 หางจากจดศนยกลางของโลกเปนระยะทาง r และใหมวลของโลกเปน me

ดงนน แรงดงดดระหวางมวลทเกดขน

F = ................... (5-13)

เมอดฟเฟอเรนชเอท สมการ (5-13) จะได

dF = ................... (5-14)

จากสมการ (5-13) แสดงวาระยะทางยงมากคาของ F กยงลดลง และจากสมการ (5-17) แสดงใหเหนวาเมอระยะทางมการเปลยนแปลงมาก (สงจากพนโลกมาก) คาการเปลยนแปลงของแรงจากเดมกยงมาก เมอนำาสมการ (5-14) หารดวยสมการ (5-13) จะได

= ................... (5-15)

ฟสกสราชมงคล

111

จากกฎขอท 2 ของนวตน แรงกระทำาบนมวล m1

F = m1g................... (5-16)

ดฟเฟอรเรนชเอทสมการ (5-16) จะไดdF = m1dg ...................

(5-17)

นำาสมการ (5-17) หารดวยสมการ (5-16) จะได

= ................... (5-18)

เทยบสมการ (5-15) และสมการ (5-18) จะได

= ................... (5-19)

เพอจะใหเขาใจความหมายของสมการ (5-19) ลองแทนตวเลขลงไปให r = รศมของโลก = 6,400 กโลเมตร

dr = ความสง = 8 กโลเมตร g = ความเรงโนมถวงทผวโลก = 9.8 เมตร/วนาท2

ดงนน dg =

= = -0.0245 เมตร/วนาท2

ดงนนทความสงจากผวโลก 8 กโลเมตร ความเรงโนมถวงจะลดลงไปจากเดม 0.0245 เมตร/วนาท2 เหลอ 9.775 เมตร/วนาท2 นนคอ ทระดบความสงจากผวโลกยงมาก คาความเรงโน มถวงกจะยงลดลง คาความเรงโนมถวง ณ ระดบความสงตาง ๆ วดทละตจด 45o แสดงไวดงตาราง 5-1

ตาราง 5-1 คาความเรงโนมถวง ณ ความสงตาง ๆ ณ ละตจด 45o

ความสง

ความเรงโนมถวง

ความสง ความเรงโนมถวง

(เมตร)

(เมตร/ (เมตร) (เมตร/วนาท2)

ฟสกสราชมงคล

112

วนาท2)0 9.806 32,000 9.

711,00

09.803 100,00

0 9.60

4,000

9.794 500,0000

8.53

8,000

9.782 1,000,000

7.41

16,000

9.757 380,000,000

0.002 71

5-6 การหมนของโลกตอความเรงโนมถวง g

อยางไรกตาม คา g ทเราได ณ ระดบผวโลกนน ในความเปนจรงแลว กยงมความคลาดเคลอน อนเนองมาจากผลของการหมนของโลกรอบตวเอง ผลดงกลาวเกดขนไดอยางไร ลองสมมตวาถาเราสงเกตการหมนของโลกจากอวกาศ โดยมองตรงมายงขวโลกเหนอในขณะทชงมวล m บนแนวศนยสตร ดงรป 5-11

รป 5-11 ชงนำาหนก ณ ตำาแหนงบนเสน ศนยสตร

แรงกระทำาบนมวล m จะมอย 2 แรง แรงแรก คอแรงดงดดของโลกทกระทำากบมวล แทนดวย F สวนแรงทสอง นำาหนกทปรากฏบนตาชงแทนดวย w ในขณะนน มวล m เคลอนทเปนวงกลม จงยอมเกดแรงสศนยกลางกระทำาตอมวล m ผลตางของแรงทงสองคอ F และ w ยอมมคาเทากบแรงสศนยกลาง (aR) ของมวล m นนเอง ดงนน

F - w = maR

ฟสกสราชมงคล

113

w = mg

เครองกล

w = F - maR

แทน w = mg , และ F = ลงในสมการบน

จะได

mg = - maR

g= ................... (5-20)

เปนความเรงโนมถวงทเราวดไดทตำาแหนงใด ๆแต ถ า เราน ำามวล m มาไว ท ข ว โลกเหน อ มวล m ยอมไมม

แรงสศนยกลางกระทำา หรอ aR มคาเปนศนย ดงนนความเรงโนมถวง ณ ขวโลกเหนอ

g = ................... (5-21)

เราไดคำานวณสมการเพอหาคาความเรงโนมถวง g ณ ระดบความสงตาง ๆแลว จากนเราจะมาพจารณาเหตการณทกลบกนคอ หาความเรงโนมถวง g ณ ระดบความล ก ต า ง ๆ ภ า ย ใ นพนโลก สำาหรบกรณน เราสมมตวาเจาะโลกให เ ป น อ โ ม ง ค ท ะ ล ผ า น จ ดศนยกลางไปยงผ วด า น ต ร ง ข า ม ดงรป 5-12

รป 5-12 อโมงคโลก เพอหาความเรงโนมถวงภายในผวโลก

ฟสกสราชมงคล

114

ในขณะทเราปลอยมวล m ใหวงหางจากผวโลกผานอโมงคมาอย ณ ตำาแหนงหางจากจดศนยกลางของโลกเปนระยะ r มวลของโลกภายในรศม R จะเปนมวลสวนทกอใหเกดแรงโนมถวงตอมวล m คาของมวลนกำาหนดใหเทากบ ดงนน

= = ความหนาแนน

= ปรมาตรของมวล =

ดงนน = ................... (5-22)

และแรงโนมถวงระหวางมวลของโลก กบ m มคา

F = ................... (5-23)

เครองหมายลบ แสดงใหเหนวาเวกเตอรแสดงตำาแหนงของมวล m ใ น ข ณ ะ ใ ด ๆ จ ะ ม ท ศ ท า งตรงขามกบทศทางของแรงโนมถวงเสมอ เมอแทนสมการ (5-22) ลงในสมการ (5-23) คาของแรงโนมถวง

F =

== -Kr ...................

(5-24)เมอ K = G m เปนคาคงทของแรง

จากสมการ (5-24) แสดงใหเหนวา แรงทเกดขนกบมวล m เปนชนดของแรงททำาใหเกดการเคลอนทแบบซมเปลฮารโมนค แรงจะเปนแรงดงกลบ หรอตานการเคลอนท ทำาใหเกดตำาแหนงทมความเรวมากทสด ณ จดกงกลาง และความเรวเปนศนย ณ ตำาแหนงปลายสดของการเคลอนท เราจงส ร ป ไ ด ว าสำาหรบวตถมวล m เมอเคลอนทผานจดศนยกลางของโลก จะเคลอนทกลบไป

ฟสกสราชมงคล

115

กลบมา โดยมจดศนยกลางของโลกเปนจดสมดล เปนต ำาแหนงทมวลม ค ว า ม เ ร ว ม า ก ท ส ด แ ล ะ ผ ว โ ล ก เ ป น ต ำา แ ห น ง ป ล า ย ส ด ข อ งการเคลอนท ความเรวมคาเปนศนย

มวล มการเคลอนทแบบซมเปลฮารโมนค กยอมจะมคาบการเคลอนท โดย

=

แทนคา k ; =

= ................... (5-25)

สำาหรบความเรงโนมถวงของมวล m ณ ตำาแหนงตาง ๆ ใตผวโลก พจารณาจากกฎขอทสองของนวตน คอ เมอวตถมวล m อย ณ ระยะทาง r ใด ๆ

=

= =

= G r................... (5-26)เปนสมการของความเรงโนมถวงของวตถเมออยภายใตผวโลก

ความเรงนจะมคามากทสดเมอระยะทาง r มากทสด กคอทผวโลก และเปนศนยเมอระยะทาง r เปนศนย หรอทจดศนยกลางของโลก

ตวอยาง 5-7 ถาขดอโมงคทะลผานจดศนยกลางของโลกจากดานหนงไปสอกดานหนง ดงรป 5-12 เมอหยอนอนภาคมวล m ลงไป จงหา

ก) เวลาทอนภาคมวล m เคลอนทกลบมาถงตำาแหนงเดม ข) อตราเรวสงสดของการเคลอนทกำาหนดให โลกมความหนาแนนคงท = 5.5 103

กโลกรม/เมตร3

G = 6.67 10-11 น ว ต น -เมตร/กโลกรม

ฟสกสราชมงคล

116

รศมโลก = 6,400 กโลเมตรหลกการคำานวณ

ก) จากสมการ (5-25) =

= = 5,069 วนาท = 1 ชวโมง 24 นาท

ข) อตราความเรวสงสดของการเคลอนทแบบซมเปลฮารโมนค เมอ x = 0

vmax = r= == 7,936 เมตร/วนาท

ฟสกสราชมงคล

117

ทดสอบกอนและหลง

วธทำา ให ใสชอ  สกล  เลอกวชาทสอบ และจำานวนขอ แตตองไมเกนจากทกำาหนดไว เชน กำาหนดไว 10  ขอ เวลาเลอกจำานวนขอ  ใหเลอก  5  และ  10 ขอไมเกนจากน เปนตนเมอทำาเสรจสามารถดคะแนนจากรายละเอยดผทำาขอสอบไดทนท

เรองการการเคลอนทแบบวงกลมกบกฎของนวตน

แบบฝกหดทายบทพรอม

แบบฝกหดทายบทพรอมเฉลยเรองการเคลอนทแบบวงกลมกบกฏของนวตน

1. วตถมวล 0.1 กโลกรมผกตดปลายเชอกทมนำาหนกเบา ยาว 1.0 เมตร ถกปลอยใหแกวงโดยทอตราเรวของวตถขณะทเสนเชอกทำามม 17.5o กบแนวดวมคา 2 เมตร/วนาท ขนาดความเรงลพธของวตถนขณะนนเปนเทาไร [ ตอบ 5 m/s2 ]

2. วตถมวล 0.6 กโลกรม ผกดวยเชอกยาว 1 เมตร แลวแกวงเปนวงกลมในระนาบระดบดวยรศม 60 ซม จงหาความตงในเสนเชอกและอตราเรวของวตถ [ ตอบ 7.5 N, 21.2 m/s2]

3. ชายคนหนงขบรถรอบเมองดวยความเรวคงท 17 เมตร/วนาท ระหวางทางถนนเปนหลมขนาดใหญ โดยความลกของหลมประมาณไดเปนวงกลมรศม 65 เมตร ดงรป จงหาแรงตงฉากทเบาะนงกระทำาตอคนขบซงหนก 80 กโลกรม เมอรถตกอยในหลมลกนน [ ตอบ 1140 N]

รป 5-13

ฟสกสราชมงคล

118

แบบฝกหดเรองการเคลอนทแบบวงกลมกบกฎของนวตน

4. เคร องบนก ำาล งบน เป นวงกลมตามแนวราบด วยอ ตรา เร ว 482 กโลเมตร/ชวโมง ปกเครองบนเอยง 38.20 เทยบกบแนวราบ จงคำานวณหารศมของวงกลมทเครองบนกำาลงบนอย สมมตวาแรงเขาสศนยกลางมาจากแรงยกทตงฉากกบพนทของปกเครองบน [ ตอบ 2.32 km]

5. ขบรถบนทางโคง รศม R ดวยความเรว v ถาสมประสทธแรงเสยดทานของลอกบถนนเทากบ s จงหาความเรวสงสดทรถจะไมลนไถลออกไป [ ตอบ 11.1 ms-1]

6. รถคนหนงเคลอนทเปนวงกลมดวยความเรวคงท 20 เมตร/วนาท มรศมความโคง 100 เมตร ความเรงจะเปนเทาไร [ ตอบ 4 m/s2 มทศพงเขาสจดศนยกลางของวงกลม]

7. ผกมวล 1 กโลกรมกบเชอกแลวแกวงใหเปนวงกลมในแนวดง โดยใชรศมขนาด 10 เมตร ขณะท เ ช อกอย ในแนวราบด งร ป มวลมอ ตรา เร ว

เมตร/วนาท ความเรงของวตถขณะนนมคาเทาไร [ ตอบ 14.1 m/s2 ]

รป 5-15

8. ลกบอลมวล m ผกทปลายเชอก ทำาใหเคลอนทเปนวงกลมในแนวดงรอบจดคงทจดหนงในทศทวนเขมนาฬกาดงรปท 5.16 ดวยรศมเทากบ R โดยลกบอลนถกกระทำาดวยแรงโนมถวงดวย

ฟสกสราชมงคล

119

1 m

s/m10

(a) (b)

รป 5-14 (a) แผนภาพแทนแรง

ของรถบนทางโคงระดบ

(b) แผนภาพแทนแรง

ของรถบนทางโคงเอยง

ก) จงคำานวณความตงของเสนเชอกเมอทำามม กบแนวดง และมความเรว v

[ ตอบ T = W cos + ]

ข) จงหาความตงของเสนเชอก เมอ = 0, , , เรเดยน

[ ตอบ T = W + , , - W + , ]

รป 5-16

9. ดาวเทยมเคลอนทเปนวงกลมรอบโลก โดยมระยะหางจากผวโลกเทากบรศมของโลก อตราเรวของดาวเทยมมคากเมตรตอวนาท (กำาหนดรศมของโลก = 6.4 x 106 เมตร ) [ ตอบ 5.7 x 103 m/s]

10. ดาวเทยมมวล m โคจรรอบโลกเปนวงกลมทระดบความสง h เหนอผวโลก ดวยอตราเรวคงท v โดยมแรงดงดดระหวางมวลคอ F = Gm1m2 / r2 เมอ G เปนคาคงทของความโนมถวงสากล r คอ ระยะระหวางมวล m1 และ m2 จงหาคา v ในพจน ของ G , h รศมของ

โลก R และมวลของโลก M [ ตอบ v = ]

11. สงสญญาณวทยและโทรทศนจากทวปหนงไปอกทวปหนง โดยอาศยการสะทอนสญญาณจากดาวเทยมทโคจรอยรอบโลก กำาหนดใหดาวเทยมหมนรอบโลก 1 รอบ เทากบความเรวของโลกหมนรอบตวเอง จงหารศมวงโคจร และความเรวทหมนรอบโลก[ ตอบ 4.22 x 107 m, 3,070 ms-1 ]

ฟสกสราชมงคล

120

12. ถายานอวกาศเดนทางไปสำารวจดวงอาทตย เคลอนทตรงไปยงดวงอาทตยในแนวเสนตรงตอระหวางโลกและดวงอาทตย ถามวาทระยะทางหางจากโลกเทาใด ทแรงโนมถวงหางจากดวงอาทตย จะเทากบแรงโนมถวงจากโลก [ ตอบ 2.6 x 105km]

13. มวลหนงกโลกรมมาตรฐาน มนำาหนก 9.8 นวตน ทระดบนำาทะเล ถาโลกไมหมน ถาเรานำาผลของโลกหมนมาคด มวลดงกลาวจะเคลอนทเปนวงกลมดวยรศม 6370 กโลเมตร ในหนงวน จงคำานวณก) แรงเขาสศนยกลางททำาใหมวลหนงกโลกรมเคลอนทเปนวงกลม [ ตอบ 0.0337 N]ข) แรงท มวลด งกล าวกระท ำาต อสปรงของตาช งแขวนท บร เวณเสนศนยสตร [ ตอบ 9.77 N]

14. จงคำานวณหาแรงโนมถวงก) ระหวางลกโบวลงสองลกมวล 7.3 กโลกรม อยหางกน 0.65 เมตร[ ตอบ 8.4 x 10-9 N ]ข) ระหวางโลกและดวงจนทร[ ตอบ 2.01 x 1020 N ]

15. ดาวเคราะหดวงหนงมมวล 9 เทาของมวลโลก แตมความหนาแนนเปน 1/3 ของความหนาแนนโลก คาสนามโนมถวงทผวของดาวเคราะหมคากเทาของ g ของโลก [ ตอบ 1 เทา ]

16. โลกมมวลประมาณ 80 เทาของมวลดวงจนทร และมรศมเปน 4 เทาของดวงจนทร จงหาความเรงทผวดวงจนทรวาเปนกเทาของความเรงทผวโลก [ ตอบ 1/5 เทา]

17. ยานอวกาศมมวล m ถามวาขณะทอยหางจากผวดวงจนทรเปน 2 เทาของรศมของดวงจนทร จะถกดวงจนทรดงดดดวยแรงคดเปนกเทาของนำาหนกของยานอวกาศบนผวโลก ถานำาหนกของมวลบนพนผวดวงจนทรเปนหนงในหกของนำาหนกทผวโลก [ ตอบ 1/54 เทา ]

18. ในสนามความโนมถวงของดวงจนทร จดทหางจากผวดวงจนทรเปน 2 เทาของรศมของดวงจนทร จะมคาอตราเรงเนองจากความโนมถวงของดวงจนทรเปนกเทาของผวดวงจนทร [ ตอบ 1/9 เทา]

ฟสกสราชมงคล

121

19. จงหาความเรงเนองจากสนามความโนมถวงของโลก ณ ตำาแหนงทอ ย ห า ง จ า ก ผ ว โ ล ก เ ท า ก บ ร ศ ม ของโลก (กำาหนดใหทผวโลกมคา g = 10 เมตร/วนาท 2)[ ตอบ 2.5 m/s 2 ]

20. ถามวลของโลกเพมขนเปน 16 เทาของมวลเดม ขณะทรศมเพมขนเปน 2 เทาของรศมเดม ความเรง g จะมคาเปลยนจากเดมไปกเมตร/วนาท 2 [ ตอบ 30 m/s 2 ]

ฟสกสราชมงคล

122