LIMAS dan KERUCUT

Makalah ini Disusun guna Memenuhi Tugas Mata Kuliah

Kajian Matematika SMP 2

Dosen Pengampu: Koryna Aviory, S.Si, M.Pd

Oleh:

1. Novia Nurfaida (14144100077)

2. Yohana Medita Kurniyati (14144100083)

3. Heni Novitasari (14144100104)

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS PGRI YOGYAKARTA

2016

LIMAS dan KERUCUT

A. LIMAS

1. Pengertian Limas

Limas adalah bangun ruang yang dibatasi oleh sebuah segitiga atau

segibanyak sebagai alas dan beberapa buah segitiga sebagai bidang tegak

yang titik puncaknya bertemu pada satu titik. Limas terdiri dari beberapa

macam tergantung pada bentuk alasnya. Limas diberi nama berdasarkan

bentuk segi-n pada bidang alasnya. Berikut beberapa contoh bangun limas:

Limas yang mempunyai bidang alas dengan sisi-sisi yang sama

panjang disebut limas beraturan, sedangkan limas yang mempunyai bidang

alas dengan sisi-sisi yang tidak sama panjang disebut limas sebarang.

2. Unsur-unsur limas

Unsur-unsur yang dimiliki limas yaitu:

a) Titik sudut.

Titik sudut yaitu titik pertemuan dua rusuk atau lebih.

b) Rusuk.

Rusuk yaitu garis yang merupakan perpotongan antara dua sisi limas.

c) Bidang sisi.

Bidang sisi yaitu bidang yang terdiri dari bidang alas dan bidang sisi

tegak. Bidang alas yaitu bidang yang merupakan alas dari suatu limas.

Bidang sisi tegak yaitu bidang yang memotong bidang alas.

d) Titik puncak limas.

Titik puncak limas yaitu titik potong dari sisi-sisi tegak limas.

e) Tinggi limas.

Tinggi limas yaitu jarak terpendek dari puncak limas ke bidang alas

Contoh:

1. Perhatikan gambar berikut ini!

Dari gambar limas berikut ini manakah yang termasuk titik sudut, rusuk,

bidang sisi, titik puncak limas, dan tinggi limas?

Jawab:

Yang termasuk titik sudut: P, Q, R, S dan T

Yang termasuk rusuk: (rusuk tegak limas) dan

(rusuk bidang alas)

Yang termasuk bidang sisi:

a. Bidang sisi tegak limas berbentuk segitiga adalah

b. Bidang alas berbentuk segiempat adalah PQRS

Yang termasuk titik puncak limas: titik T

Yang termasuk tinggi limas:

3. Jaring-jaring limas

Limas apabila diiris sepanjang rusuk-rusuknya kemudian

dibentangkan sehingga membentuk bidang datar, maka disebut jaring-jaring

limas. Berikut beberapa contoh jaring-jaring limas:

a) Jaring-jaring limas segitiga

b) Jaring-jaring limas segiempat

c) Jaring-jaring limas segilima

Contoh:

1. Perhatikan gambar di bawah ini

Mana yang merupakan jaring-jaring limas segiempat!

(a) (b)

Jawab:

(a) Merupakan jaring-jaring limas segiempat.

(b)Bukan merupakan jaring-jaring limas segiempat, melainkan

merupakan jaring-jaring kubus

2. Perhatikan gambar di bawah ini !

Mana yang merupakan jaring-jaring limas segitiga!

(a) (b)

Jawab:

(a) Merupakan jaring-jaring limas segitiga

(b)Bukan merupakan jaring-jaring limas segitiga, melainkan merupakan

jaring-jaring prisma segitiga

4. Luas Permukaan Limas

Luas permukaan limas merupakan luas jaring-jaring limas. Jika

terdapat limas segitiga seperti gambar dibawah ini, maka luas permukaan

limas tersebut adalah jumlah luas permukaan segitiga alas dan tutupnya di

tambah luas segitiga sisi-sisinya.

Sehingga luas bangun di atas adalah luas segitiga sebagai alas

ditambah dua kali luas segitiga sisi-sisinya.

Luas permukaan limas O.ABC

= luas segitiga ABC + luas segitiga ABO + luas segitiga BCO +luas segitiga

ACO

= luas segitiga ABC + (luas segitiga ABO +luas segitiga BCO +luas segitiga

ACO)

= luas alas + jumlah luas segitiga pada sisi tegak.

Dengan cara seperti di atas, maka diperoleh bahwa luas permukaan

limas segi-n dapat ditentukan dengan menjumlahkan luas alas dan luas

beberapa

segitiga yang merupakan bidang-bidang tegaknya. Untuk setiap limas

berlaku rumus sebagai berikut:

Luas Permukaan Limas = luas alas + jumlah luas segitiga pada bidang tegak

Contoh soal :

1. Alas limas T.ABCD pada gambar di bawah ini berbentuk persegi dengan

panjang sisi 12 cm dan tinggi lima 8 cm. Hitunglah:

Penyelesaian:

Diketahui : panjang sisi alas limas 12 cm dan tinggi limas 8 cm

Ditanyakan :

a. Panjang TP

b. Luas permukaan limas

Jawab :

a.QP=1

2AB

= 6 cm.

TP, TQ,dan QP merupakan sisi-sisi pada segitiga siku-siku TQP,

maka:

Jadi, tinggi TP = 10 cm.

b. Luas permukaan limas

Jadi, luas permukaan limas adalah 384 cm2 .

5. Volume Limas

Kubus Limas

Volume limas dapat diperoleh dari suatu kubus. Gambar di samping

menunjukan sebuah kubus yang panjang rusuknya s. Empat diagonal

bidangnya saling berpotongan di titik T.

Kubus ABCD.EFGH terbagi menjadi enam limas yang kongruen,

yaitu T.ABCD, T.BCGF, T.EFGH, T.ADHE, T.CDHG, T.ABFE. Salah

satu limasnya ditunjukkan pada gambar di samping.

Semua limas tersebut mempunyai titik

pusat T

Alasnya adalah semua bidang sisi kubus

Tinggi limas sama dengan setengah panjang rusuk kubus (t = ½s)

Bila volume masing-masing limas adalah V, maka volume enam limas

sama dengan volume kubus, sehingga diperoleh hubungan berikut ini.

Volume enam limas = Volume kubus

Dengan demikian, dapat disimpulkan sebagai berikut.

= ⅓ × Luas alas × tinggi.

Contoh:

1. Alas sebuah limas berbentuk persegi panjang dengan panjang 12 cm dan

lebar 8 cm. Jika volume limas 336 cm3, tentukan tinggi limas tersebut!

Penyelesaian:

Diketahui : Panjang alas limas 12 cm

Lebar alas limas 8 cm

Ditanyakan : Volume limas ?

Jawab :

Untuk setiap limas berlaku rumus berikut

V = 13 Lt

Atau

Volume limas = 13 luas alas × tinggi

Jadi, tinggi limas adalah 10,5 cm.

B. KERUCUT

1. Pengertian Kerucut

Kerucut merupakan bangun ruang sisi lengkung yang menyerupai

limas segi-n beraturan yang bidang alasnya berbentuk lingkaran. Kerucut

dapat dibentuk dari sebuah segitiga siku-siku yang diputar sejauh 360°,

dimana sisi siku-sikunya sebagai pusat putaran. Perhatikan gambar dibawah

ini.

Kerucut pada gambar diatas dapat dibentuk dari segitiga siku-siku

TOA yang diputar, di mana sisi TO sebagai pusat putaran.

2. Unsur-Unsur Kerucut

Amati kerucut pada gambar dibawah ini. Unsur-unsur kerucut dapat

diuraikan sebagai berikut:

a) Bidang alas

Bidang alas adalah sisi kerucut yang berbentuk lingkaran.

b) Diameter bidang alas (d)

Diameter bidang alas adalah ruas garis yang membagi bidang alas

menjadi dua sama besar.

c) Jari-jari bidang alas (r)

Jari-jari bidang alas adalah ruas garis yang membagi bidang alas menjadi

empat sama besar.

d) Tinggi kerucut (t)

Tinggi kerucut adalah jarak dari titik puncak kerucut ke pusat bidang

alas.

e) Selimut kerucut

Selimut kerucut adalah sisi dari kerucut yang tidak berbentuk lingkaran.

f) Garis pelukis (s)

Garis pelukis adalah ruas-ruas garis pada selimut kerucut yang

menghubungkan titik puncak dan titik-titik pada lingkaran.

Hubungan antara r, s, dan t pada kerucut dinyatakan dengan

persamaan-persamaan berikut.

Contoh :

Perhatikan gambar berikut ini!

Dari gambar disamping, tentukan jari-jari bidang

alas, diameter bidang alas, tinggi kerucut,dan garis

pelukis.

J

Jawab :

a. Jari-jari bidang alas : AO, BO

b. Diameter bidang alas : AB

c. Tinggi kerucut : CO

d. Garis pelukis : CB, CA, CD

3. Jaring-Jaring Kerucut

Jaring-jaring kerucut merupakan dua buah bangun datar yang

menyusun suatu kerucut. Perhatikan gambar dibawah ini.

Gambar (a) menunjukkan kerucut dengan jari-jari lingkaran alas r,

tinggi kerucut t, garis pelukis s. Terlihat bahwa jaring-jaring kerucut terdiri

atas dua buah bidang datar yang ditunjukkan gambar (b) yaitu:

a. Selimut kerucut yang berupa juring lingkaran dengan jari-jari s dan

panjang busur 2πr,

b. Alas yang berupa lingkaran dengan jari-jari r.

4. Luas Permukaan Kerucut

Luas permukaan kerucut merupakan jumlah dari luas selimut kerucut

dan luas alas kerucut. Untuk menentukan luas permukaan kerucut

perhatikan gambar dibawah ini.

Pada gambar diatas, terlihat bahwa panjang jari-jari juring lingkaran

sama dengan s (garis pelukis kerucut). Adapun panjang busur DD' sama

dengan keliling alas kerucut, yaitu 2πr. Jadi, luas selimut kerucut sama

dengan luas juring CDD'.

Luas juring CD D'

Luas lingkaran= Panjang busur D D'

Keliling lingkaran

Luas juringCD D'

π s2 =2πr2πs

Luas juringCD D'=2 πr2 πs

× π s2

Luas juring CD D'=πrs

Jadi luas selimut kerucut = πrs

Luas permukaan kerucut = luas selimut kerucut + luas alas kerucut

= πrs+π r2

= πr (s+r )

Dengan demikian, pada kerucut berlaku rumus sebagai berikut :

Contoh :

1. Diketahui jari-jari alas kerucut 8 cm dan tinggi kerucut 15 cm. Tentukan:

a. panjang apotema,

b. luas selimut kerucut,

c. luas sisi kerucut.

Jawab :

a. Panjang apotema (s) = √82+152

= √64+225

= √289

= 17 cm

b. Luas selimut = πrs

= 3,14 × 8cm × 15cm

= 370,8 cm2

c. Luas permukaan kerucut = πr (r + s)

Luas selimut kerucut = ð rs

Luas permukaan kerucut = ð r (s+r )

= 3,14 × 8cm × (8cm + 15cm)

= 25,12cm × 23cm

= 577,76 cm2

2. Diketahui luas permukaan suatu kerucut adalah 376,8 dm2. Jika jari-jari

alasnya 6 dm, tentukan panjang garis pelukis kerucut tersebut.

Jawab:

Diketahui: luas permukaan kerucut = 376,8 dm2

r = 6 dm

Ditanyakan: panjang garis pelukis (s)

Penyelesaian:

Jadi panjang garis pelukis kerucut tersebut adalah 14 dm.

5. Volume Kerucut

Untuk mengetahui rumus volume kerucut, pelajarilah uraian berikut

dengan saksama. Di kelas VIII, telah dipelajari cara menentukan volume

limas tegak, yaitu 13

×luas alas ×tinggi. Sekarang, amatilah gambar dibawah

ini.

Jika diamati dengan baik, volume limas bergantung pada bentuk

alasnya. Jika luas alasnya berbentuk segitiga maka volume limas segitiga

adalah 13

×( 12

alas ×tinggi)×t . Demikian pula dengan limas segiempat,

limas segilima, dan seterusnya. Bagaimana jika alas limas berbentuk

lingkaran?

Limas yang alasnya berbentuk lingkaran disebut kerucut. Akibatnya,

cara menentukan volume kerucut sama dengan cara menentukan limas, yaitu

V = 13

×luas alas ×tinggi

dalam hal ini,

V = 13

×luas lingkaran ×tinggi.

Dengan luas lingkaran = π r2. Jadi, volume kerucut adalah

Keterangan :

V = volume kerucut

r = jari-jari alas kerucut

t = tinggi kerucut

π = 3,14 atau 227

Contoh :

1. Diameter alas suatu kerucut 16 cm dan panjang apotemanya 17 cm.

Tentukan volume kerucut tersebut.

Jawab :

Diketahui : diameter = 16 cm : r = 8 cm ; panjang apotema(s) = 17 cm

Ditanya : Volume kerucut

Penyelesaian :

V = 13

× ðr2 ×t

2. Diketahui volume kerucut adalah 254,34 cm3. Jika jari-jarinya 4,5 cm,

tentukan tinggi kerucut tersebut.

Jawab :

Diketahui: V = 254,34 cm3

r = 4,5 cm

Ditanyakan: tinggi kerucut (t)

Penyelesaian:

jadi tinggi kerucut adalah 12 cm.

DAFTAR PUSTAKA

Agus, Nuniek Avianti. 2007 . Mudah Belajar Matematika. Jakarta: Pusat

Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional

Djumanta, Wahyudin dan Susanti, Dwi. 2008. Belajar Matematika Aktif dan

Menyenangkan untuk SMP/MTs Kelas IX. Jakarta: Departemen Pendidikan

Nasional.

Drs. Sukino dan Simangunsong, Drs. Wilson. 2006. Matematika untuk SMP Kelas

9. Jakarta : Erlangga.

Masduki dan Ichwan Budi Utomo. 2007. Matematika untuk SMP dan MTS Kelas

IX. Jakarta: Departemen Pendidikan Nasional.