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“el conocimiento es poder”

CENTRO JOHANN KEPLERBACHILLERATO HUMANISTA

Asignatura MATEMATICAS CICLO ACELERADO PRIMER MES

SEMANA 1

AREA MATEMATICASNOMBRE

LA MARAVILLOSA HISTORIA DE LOS NÚMEROS

Hace muchos, muchos, muchísimos años (30000, por lo menos), los hombres primitivos vivían en pequeños grupos, en cuevas donde se escondían de los animales peligrosos y se protegían del mal tiempo.

Los cazadores para saber cuántos animales habían abatido en la cacería marcaban con señales un palo.

¿Cuándo surgieron los números tal y como hoy los conocemos?

Los números son el alfabeto universal del lenguaje de las matemáticas. Las diferentes culturas han ido utilizando este alfabeto según iban descubriendo nuevos números.

Civilizaciones de los números Como se escribe en estas culturas el número 29


¿Tienen las cifras de los números siempre el mismo valor?

En la mayoría de los sistemas de numeración antiguos, el valor de una cifra era siempre igual, estuviera donde estuviera; así el "I" (1) romano, siempre valía uno en cualquier posición. Hoy en cambio la cifra "1" tiene distintos valores: puede representar unidades, decenas, centenas, millares, etc.

Y esto, que es tan importante, se lo debemos a los hindúes; sí a los antiguos habitantes de la India. Si no hubiera sido por ellos, nos hubiera sido muy difícil poder contar grandes cantidades, pues no tendríamos bastante papel para escribir números tan enormes. En cambio con los números hindúes, que son sólo diez, se pueden escribir las cantidades que sean necesarias.

Algo de Historia de los Números RomanosLos romanos formaron un imperio que se extendía por casi toda Europa y el norte de África. Los pueblos sometidos aprendieron de ellos su modo de vida, sus costumbres, su lengua llamada latín, su escritura y también su sistema de numeración.

Tras la desaparición del Imperio Romano, en los siglos posteriores algunas de las cosas aprendidas de los romanos permanecieron, aunque fueron cambiando. Así nosotros, actualmente hablamos Castellano que es Latín evolucionado y al escribir seguimos utilizando letras latinas. Pero otras cosas aunque permanecieron varios siglos, después desaparecieron, así pasó con el sistema de numeración romano. Se sustituyó por el sistema de numeración arábigo, que proviene de la India y lo extendieron los árabes, es el que empleamos ahora y es mucho más fácil de manejar.

Actualmente vemos y utilizamos números romanos en muy pocas ocasiones: para nombrar los siglos, en los actos y escenas de una obra de teatro, en la designación de olimpiadas, congresos y certámenes, en la numeración de reyes, emperadores y papas, en inscripciones antiguas y en relojes antiguos.

Los romanos empleaban estas siete letras mayúsculas para expresar los números.

Cada letra tiene el valor indicado en esta tabla.

I 1 V 5X 10 L 50C 100 D 500M 1000

Se suman sus valores

“el conocimiento es poder”Se colocan a la izquierda las letras de mayor valor y a la derecha las de menor valor, su valor se suma.

Las letras M, C, X, I se pueden repetir y colocar hasta tres veces seguidas.

Las letras D, L, V se pueden colocar a la derecha para ser sumado su valor, pero sólo una vez, no se pueden repetir.

A la izquierda de otra, colocada sólo una vez le resta su valor

La letra I colocada a la izquierda de V o de X le resta 1

La letra X colocada a la izquierda de L o de C le resta 10

La letra C colocada a la izquierda de D o de M le resta 100

Cada una de esas letras no se puede restar a otra que sea de un valor que esté a más dos puestos por delante de ella.

Una raya escrita encima de una o varias letras multiplican por mil su valor. Solo se usa para números mayores o iguales a 4000.

Las letras D, L, V no se pueden colocar a la izquierda para restar.

Ejemplos:III = 3XV =15MM = 2000

CCCLII = 352IV = 4 IX = 9XL =40

XC = 90CD = 400 CM = 900

TALLER DE TRABAJO

1. Escribir en números romanos los siguientes números arábigos:

a) 15b) 139c) 256d) 2365e) 3562

2. Escribir el valor de los siguientes números romanos:

a) CDXDb) XLIXc) CMLXIId) CMXCIXe) MMDCCVI

“el conocimiento es poder”3. El sistema de numeración romano utiliza:

a) 5 símbolos.b) 7 símbolos.c) 8 símbolos.d) 10 símbolos.

4. La escritura decimal de los números que aparecen en el siguiente texto: “El coliseo se empezó a construir en el año LXX después de Cristo, pero su inauguración tuvo lugar en el año LXXX. El coliseo tenía una capacidad suficiente para L personas”, son, respectivamente:

a) 50, 80, 70.000b) 70, 80, 5.000c) 70, 80, 50.000d) 80, 70, 50.000

5. Si 23 lo multiplico por 2 y luego le sumo 3, el número romano que representa el resultado:

a) LXb) ILc) LIXd) XLIX




SEMANA 2


PropiedadesLos números reales son un conjunto cerrado para la suma y la multiplicación, lo que significa que la suma oMultiplicación de números reales da como resultado otro número real. De lo anterior se desprenden las siguientes propiedades:




SEMANA 3


¿QUE SON LOS NÚMEROS NATURALES?

Son los que sirven para designar la cantidad de elementos que tiene un cierto conjunto, y se llama cardinal de dicho conjunto. Los números naturales son infinitos. El conjunto de todos ellos se designa por N:

N = {0, 1, 2, 3, 4,…, 10, 11, 12,…}

El cero, a veces, se excluye del conjunto de los números naturales. Además de cardinales (para contar), los números naturales son ordinales, pues sirven para ordenar los elementos de un conjunto:1º (primero), 2º (segundo),…, 16º (decimosexto),…

OPERACIONES DE LOS NÚMEROS NATURALES

La Adición de los números naturales

La adición de números naturales cumple las propiedades asociativa, conmutativa y elemento neutro

AsociativaSi a, b, c son números naturales cualesquiera se cumple que:(a + b) + c = a + (b + c)Por ejemplo:(7 + 4) + 5 = 11 + 5 = 167 + (4 + 5) = 7 + 9 = 16Los resultados coinciden, es decir,(7 + 4) + 5 = 7 + ( 4 + 5)

ConmutativaSi a, b son números naturales cualesquiera se cumple que:a + b = b + aEn particular, para los números 7 y 4, se verifica que:7 + 4 = 4 + 7Gracias a las propiedades asociativa y conmutativa de la adición se pueden efectuar largas sumas de números naturales sin utilizar paréntesis y sin tener en cuenta el orden.

Elemento neutro

“el conocimiento es poder”El 0 es el elemento neutro de la suma de enteros porque, cualquiera que sea el número natural a, se cumple que:a + 0 = a

Multiplicación de Números Naturales

La multiplicación de números naturales cumple las propiedades asociativa, conmutativa, elemento neutro y distributiva del producto respecto de la suma.

AsociativaSi a, b, c son números naturales cualesquiera se cumple que:(a · b) · c = a · (b · c)Por ejemplo:(3 · 5) · 2 = 15 · 2 = 303 · (5 · 2) = 3 · 10 = 30Los resultados coinciden, es decir,(3 · 5) · 2 = 3 · (5 · 2)

ConmutativaSi a, b son números naturales cualesquiera se cumple que:a · b = b · aPor ejemplo:5 · 8 = 8 · 5 = 40

Elemento neutroEl 1 es el elemento neutro de la multiplicación porque, cualquiera que sea el número natural a, se cumple que:a · 1 = a

Distributiva del producto respecto de la sumaSi a, b, c son números naturales cualesquiera se cumple que:a · (b + c) = a · b + a · cPor ejemplo:5 · (3 + 8) = 5 · 11 = 555 · 3 + 5 · 8 = 15 + 40 = 55Los resultados coinciden, es decir,5 · (3 + 8) = 5 · 3 + 5 · 8

Sustracción de Números NaturalesIgual que la suma la resta es una operación que se deriva de la operación de contar.

Si tenemos 6 ovejas y los lobos se comen 2 ovejas ¿cuántas ovejas tenemos?. Una forma de hacerlo sería volver a contar todas las ovejas, pero alguien que hubiese contado varias veces el mismo caso, recordaría el resultado y no necesitaría volver a contar las ovejas. Sabría que 6 - 2 = 4.

Los términos de la resta se llaman minuendo (las ovejas que tenemos) y sustraendo (las ovejas que se comieron los lobos).

Propiedades de la resta:La resta no tiene la propiedad conmutativa (no es lo mismo a - b que b - a)

“el conocimiento es poder”División de Números Naturales

La división es la operación que tenemos que hacer para repartir un número de cosas entre un número de personas.

Los términos de la división se llaman dividendo (el número de cosas), divisor (el número de personas), cociente (el numero que le corresponde a cada persona) y resto (lo que sobra).Si el resto es cero la división se llama exacta y en caso contrario inexacta.

Propiedades de la divisiónLa división no tiene la propiedad conmutativa. No es lo mismo a /b que b /a.

¿Qué es la Potenciación?

Potencia (matemáticas), producto formado mediante sucesivas multiplicaciones de un número, letra o expresión algebraica por sí misma.

En la potencia an , donde a es la base y n el exponente.

Propiedades de la potenciación

an×am=an+m

an /am=an−m si n>m ,a≠0

(an )m=an×m

a0=1 si a≠0

00noestá definido

Ejercicios

1. Resuelva las siguientes sumas.

Observa que algunas de ellas no tendrías porqué hacerlas de forma directa si aplicaras una de las propiedades de la suma, por cierto, ¿cuál es esa propiedad?

2. Resuelva las siguientes restas.


3. Resolver las siguientes operaciones.

6 – (3 – 10) + (4 – 8 + 2) – (7 + 5 – 1) = 3 – (5 – 6 + 2) + (4 – 3 + 1) = (5 – 6 ) + (4 – 1) – (3 – 4 ) + (4) = (1) x (2) / (2 + 5 +2) = (2) x (5) + (5 – 3) / (2) =

4. Resolver las siguientes potenciaciones.

75 = (23 )2 =

30 = (64 )2=




SEMANA 4


NUMEROS RACIONALES

Un número racional es todo número que puede representarse como el cociente de dos

enteros , con denominador distinto de cero. Se representa por .

Operaciones de números racionales:

SUMA Y RESTA

Con el mismo denominador. Se suman o se restan los numeradores (a más c) y se mantiene el denominador (b).

“el conocimiento es poder”Con distinto denominador. En primer lugar se reducen los denominadores a

común denominador (a por c) , luego se multiplican los numeradores con

los denominadores (a por d) y (b por c) y se suman o se restan los productos

equivalentes obtenidos.

MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS RACIONALESCon el mismo o con diferente denominador. Se multiplican los denominadores (a por c) y los numeradores (d por b).

DIVISIÓN DE NÚMEROS RACIONALESSe multiplica el numerador con el denominador correspondiente (a por d) y (b por c).

.

TALLER A TRABAJAR

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