1

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Saat ini, kebutuhan akan ilmu pengetahuan dan teknologi sangat mutlak

diperlukan oleh semua lapisan masyarakat sebab salah satu faktor yang

menentukan kemajuan suatu bangsa adalah penguasaan ilmu pengetahuan dan

teknologi. Sejalan dengan kemajuan zaman yang semakin pesat, perkembangan

ilmu dan teknologi akan semakin cepat. Perkembangan ini tentunya perlu

didukung oleh sumber daya manusia yang kompoten. Kompoten dalam arti

memiliki keterampilan dan kemampuan yang tinggi dalam mengelola, memilih,

memperoleh informasi untuk bertahan pada era yang kompetitif. Keterampilan

dan kemampuan ini membutuhkan pemikiran yang kritis, logis dan kreatif. Salah

satu mata pelajaran yang dapat mengembangkan cara berpikir seperti ini adalah

matematika.

Matematika merupakan salah satu mata pelajaran yang harus diterima

oleh siswa di semua jenjang. Matematika sebagai salah satu bidang ilmu atau

pelayan bagi ilmu lainnya yang berarti matematika adalah sebagai sumber dari

ilmu lainnya. Dalam pembelajaran matematika diupayakan agar siswa mampu

secara aktif dan terampil menggunakan matematika serta memberi bekal dalam

menjalani kehidupan sehari-hari di masyarakat. Selain itu, matematika juga

merupakan media dalam melatih kemampuan pemecahan masalah yang dihadapi

siswa baik dalam mata pelajaran matematika maupun dalam kehidupan sehari-

2

hari. Chilmiyah (2014) mengatakan bahwa dalam pembelajaran matematika

diupayakan agar siswa mampu secara aktif dan mandiri untuk menemukan,

memahami dan menerapkan konsep-konsep matematika, sehingga akan dapat

meningkatkan keterampilan berpikir siswa dalam menyelesaikan masalah-

masalah matematika. oleh karena itu, kemampuan mempelajari dan memahami

matematika sangat penting dimiliki oleh semua peserta didik.

Salah satu hal yang mampu melatih kemampuan pemecahan masalah dan

meningkatkan keterampilan berpikir siswa yaitu soal cerita. Soal cerita penting

diberikan kepada siswa yang mempelajari matematika. Hal ini berguna melatih

siswa menyelesaikan masalah dalam kehidupan sehari-hari. Pentingnya

mempelajari soal cerita tersebut dapat memberikan gambaran tentang

mempelajari matematika bukan hanya sebatas perhitungan angka-angka saja

melainkan juga berhubungan erat dengan lingkungan kehidupan sehari-hari. Soal

terapan yang berbentuk soal cerita banyak dijumpai pada soal-soal matematika

baik dari Sekolah Dasar (SD) sampai jenjang yang lebih tinggi. Akan tetapi,

masih banyak siswa yang belum mampu menerjemahkan dan menyelesaikan

soal cerita ke dalam model matematika.

Model matematika merupakan suatu cara sederhana untuk

menerjemahkan suatu masalah ke dalam bahasa matematika dengan

menggunakan persamaan, pertidaksamaan, sistem persamaan, fungsi atau

lainnya. Dalam hal ini, membuat model matematika sebagai aktivitas pemecahan

masalah matematika sehingga penyelesaian masalah matematika dianggap

sebagai hal utama dalam pendidikan matematika (Parlaungan, 2008). Oleh

3

karena itu, sebelum membuat kesimpulan dari permasalahan matematika perlu

menerjemahkan permasalahan matematika tersebut ke dalam kalimat

matematika. Menurut Isnawati (2015) mengungkapkan bahwa tanpa memiliki

kemampuan membuat model matematika dengan benar, siswa akan mengalami

kesulitan dalam menyelesaikan permasalahan yang akan mengakibatkan siswa

juga tidak terampil dalam mengoperasikan hitungan.

Hal ini juga sejalan dengan tujuan pendidikan matematika di Indonesia

yang tertuang pada (kurikulum matematika SMA) yang dikutip oleh Parlaungan

(2008) bahwa pendidikan matematika bertujuan untuk memiliki kemampuan

bernalar pada diri siswa yang tercermin melalui kemampuan berpikir kritis,

logis, sistematis, dan memiliki sifat jujur, disiplin dalam memecahkan satu

permasalahan baik dalam bidang matematika, bidang ilmu lain maupun dalam

kehidupan sehari-hari.

Survei TIMSS, yang dilakukan oleh The International Association for the

Evaluation and Educational Achievement (IAE) berkedudukan di Amsterdam,

mengambil fokus pada domain isi matematika dan kognitif siswa. Domain isi

meliputi bilangan, aljabar, Geomatri, Data dan Peluang, sedangkan domain

kognitif meliputi pengetahuan, penerapan, dan penalaran. Survei yang dilakukan

setiap 4 (empat) tahun yang diadakan mulai tahun 1999 tersebut menempatkan

Indonesia pada posisi 34 dari 48 negara, tahun 2003 pada posisi 35 dari 46

negara, tahun 2007 pada posisi 36 dari 49 negara, dan pada tahun 2011 pada

posisi 36 dari 40 negara.

4

Sementara itu studi tiga (3) tahunan PISA, yang diselenggarakan oleh

Organization for Economic Cooperation and Development (OECD) sebuah

badan PBB yang berkedudukan di Paris, bertujuan untuk mengetahui literasi

matematika siswa. Fokus studi PISA adalah kemampuan siswa mengidentifikasi

dan memahami serta menggunakan dasar-dasar matematika yang diperlukan

dalam kehidupan sehari-hari. Studi yang dilakukan mulai tahun 2000

menempatkan Indonesia pada posisi 39 dari 41 negara, tahun 2003 pada posisi

38 dari 40 negara, tahun 2006 pada posisi 50 dari 57 negara, tahun 2009 pada

posisi 61 dari 65 negara, dan yang terakhir tahun 2012 pada posisi 64 dari 65

negara.

Studi TIMSS dan PISA tersebut intinya terletak pada kekuatan penalaran

matematis siswa serta kemampuan menerapkannya dalam kehidupan sehari-hari.

Hal ini menunjukkan kelemahan siswa dalam menghubungkan konsep-konsep

matematika yang bersifat formal dengan permasalahan dalam dunia nyata.

Selain hal di atas, penulis juga menemukan kenyataan yang ditemui

dilapangan dalam proses pembelajaran matematika. Banyak siswa yang

kesulitan dalam menyelesaikan soal-soal matematika. Salah satu kendalanya

adalah sulit memecahkan masalah dan memahami soal-soal pemecahan masalah

seperti soal cerita matematika. Menurut Ningrum (2015) Pada umumnya siswa

dapat menyelesaikan soal cerita yang modelnya sejenis dengan contoh yang ada

di dalam buku panduan, sehingga siswa yang menemukan soal cerita tidak sama

modelnya seperti contoh akan mengalami kesulitan dalam menyelesaikannya.

Salah satu penyebabnya adalah ketidakmampuan siswa dalam memilih langkah-

5

langkah yang tepat dalam menyelesaikannya atau bahkan ketidaktahuan siswa

tentang adanya langkah lain yang bisa ditempuh dalam menyelesaikan soal

cerita. Selain itu, menurut Rahayu (2003) penyebab lainnya karena untuk

menyelesaikan soal cerita diperlukan berbagai kemampuan matematika antara

lain kemampuan memahami soal, kemampuan membuat model matematika,

kemampuan melakukan komputasi dan selanjutnya menyelesaikan persoalan

dengan benar. Penyelesaian soal cerita tidak hanya memperhatikan jawaban

akhir perhitungan, tetapi juga harus diperhatikan proses penyelesaiannya,

sehingga terlihat alur berpikirnya dan pemahaman siswa terhadap konsep yang

digunakan dalam menyelesaikan soal cerita tersebut

Berdasarkan latar belakang, maka peneliti tertarik melakukan penelitian

dengan judul “Deskripsi Kemampuan Siswa Membuat Model Matematika

pada Soal Cerita Matematika Ditinjau dari Penalaran Matematis Siswa

Kelas X SMA Negeri 1 Bajeng Tahun Ajaran 2016/2017.”

B. Rumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang di atas, rumusan masalah dalam penelitian ini

adalah bagaimana deskripsi kemampuan siswa membuat model matematika pada

soal cerita matematika ditinjau dari kemampuan penalaran matematis siswa

kelas X SMA Negeri 1 Bajeng Tahun Ajaran 2016/2017. Secara khusus

dikemukakan pertanyaan penelitian sebagai berikut:

6

1. Bagaimana kemampuan siswa yang memiliki penalaran matematis tinggi

dalam membuat model matematika pada soal cerita matematika siswa kelas X

SMA Negeri 1 Bajeng?

2. Bagaimana kemampuan siswa yang memiliki penalaran matematis sedang

dalam membuat model matematika pada soal cerita matematika siswa kelas X

SMA Negeri 1 Bajeng?

3. Bagaimana kemampuan siswa yang memiliki penalaran matematis rendah

dalam membuat model matematika pada soal cerita amatematika siswa kelas

X SMA Negeri 1 Bajeng?

C. Tujuan Penelitian

Tujuan yang hendak dicapai dalam penelitian ini adalah sebagai berikut:

1. Mengetahui kemampuan siswa yang memiliki penalaran matematis tinggi

dalam membuat model matematika pada soal cerita matematika siswa kelas X

SMA Negeri 1 Bajeng.

2. Mengetahui kemampuan siswa yang memiliki penalaran matematis sedang

dalam membuat model matematika pada soal cerita matematika siswa kelas X

SMA Negeri 1 Bajeng.

3. Mengetahui kemampuan siswa yang memiliki penalaran matematis rendah

dalam membuat model matematika pada soal cerita matematika siswa kelas X

SMA Negeri 1 Bajeng.

7

D. Manfaat Penelitian

Penelitian ini diharapkan dapat bermanfaat bagi guru, calon guru, dan

siswa pada umumnya. Manfaat yang diharapkan adalah sebagai berikut:

1. Hasil penelitian ini dapat dijadikan sebagai informasi bagi guru atau calon

guru tentang kemampuan siswa membuat model matematika pada soal cerita

ditinjau dari penalaran matematisnya, sehingga diperlukan perhatian guru

untuk mengakomodasi perbedaan penalaran matematis siswa agar

kemampuan siswa membuat model matematika pada soal cerita dapat

terwadahi.

2. Hasil penelitian ini dapat dijadikan informasi bagi guru sebagai bahan

evaluasi untuk menyempurnakan kualitas pembelajaran, yaitu dengan

memilih metode pengajaran yang tepat.

3. Hasil penelitian ini dapat dijadikan informasi bagi siswa subjek penelitian

untuk mengetahui kemampuannya membuat model matematika pada soal

cerita.

4. Hasil penelitian ini dapat dijadikan sebagai bahan informasi bagi peneliti

untuk mengembangkan penelitian selanjutnya terutama terkait dengan

penelitian ini.

8

E. Batasan Istilah

Untuk menghindari penafsiran yang berbeda terhadap istilah yang

digunakan dalam penelitian ini, maka perlu diberikan batasan istilah sebagai

berikut:

1. Deskripsi yang dimaksudkan dalam penelitian ini adalah menggambarkan

atau menjelaskan secara sistematis, faktual, dan akurat mengenai keadaan

objek penelitian pada saat sekarang, berdasarkan fakta-fakta yang tampak

atau sebagaimana adanya.

2. Soal cerita matematika yang dimaksudkan dalam penelitian ini adalah soal

matematika yang disajikan dalam bentuk cerita dan berkaitan dengan keadaan

dalam kehidupan sehari-hari yang dialami oleh siswa dan terkandung konsep

matematika di dalamnya yang dapat dicari oenyelesaiannya dengan

menggunakan kalimat matematika.

3. Kemampuan membuat model matematika yang dimaksudkan dalam

penelitian ini adalah kecakapan seorang individu dalam menginterpretasikan

soal cerita matematika ke dalam bahasa/simbol matematika.

4. Kemampuan penalaran matematis yang dimaksudkan dalam penelitian ini

adalah kecakapan seorang individu berpikir secara logis, analitik, dan

sistematis dalam menghubungkan fakta atau pernyataan yang telah

diasumsikan benar menuju suatu kesimpulan.

9

BAB II

TINJAUAN PUSTAKA

A. Pengertian Matematika

Matematika merupakan cabang ilmu pengetahuan eksak yang digunakan

hampir pada semua bidang ilmu pengetahuan. Menurut Yuhasrianti (2012:81)

mengemukakan bahwa Matematika merupakan salah satu ilmu dasar yang

memegang peranan penting baik dalam perkembangan ilmu pengetahuan dan

teknologi maupun dalam bentuk kepribadian manusia. Peranan Matematika telah

merasuk ke semua sendi kehidupan manusia. Matematika sebagai alat bantu

telah banyak di aplikasikan untuk mempermudah, mengefektifkan dan

mengefisienkan pekerjaan-pekerjaan manusia. Menurut Kamus Besar Bahasa

Indonesia (KBBI) Matematika adalah ilmu tentang bilangan, hubungan antara

bilangan dan prosedur operasi yang digunakan dalam penyelesaian masalah

mengenai bilangan. Istilah mathematics (Inggris), mathematik (Jerman),

mathematique (Perancis), matematico (Itali), matematiceski (Rusia), atau

mathematick/wiskunde (Belanda) berasal dari istilah lain mathematica, yang

mulanya diambil dari perkataan Yunani mathematike, yang berarti “relating to

learning”. Perkataan itu mempunyai akar kata mathema yang berarti

pengetahuan atau ilmu (Zulfadli, 2016). Menurut Hudojo (Hasratuddin, 2014:

30) mengemukakan bahwa matematika merupakan ide-ide abstrak yang diberi

simbol-simbol tersusun secara hirarki dan penalarannya dedukti, sehingga

belajar matematika itu merupakan kegiatan mental yang tinggi. sedangkan

10

James dalam kamus matematikanya menyatakan bahwa Matematika adalah ilmu

tentang logika mengenai bentuk, susunan, besaran dan konsep-konsep

berhubungan lainnya dengan jumlah yang banyak yang terbagi ke dalam tiga

bidang, yaitu aljabar, analisis dan geometri.

Selanjutnya Soedjadi (2000: 11) mengemukakan bahwa ada beberapa

definisi atau pengertian matematika, yaitu:

1) Matematika adalah cabang ilmu pengetahuan eksak dan terorganisir secara

sistematik;

2) Matematika adalah pengetahuan tentang bilangan dan kalkulasi;

3) Matematika adalah pengetahuan tentang penalaran logik dan berhubungan

dengan bilangan;

4) Matematika adalah pengetahuan fakta-fakta kuantitatif dan masalah tentang

ruang dan bentuk;

5) Matematika adalah pengetahuan tentang struktur-struktur yang logic;

6) Matematika adalah pengetahuan tentang aturan-aturan yang ketat.

Sumardyono (Jainuri, 2014) secara umum definisi Matematika dapat

dideskripsiskan sebagai berikut:

1) Matematika sebagai struktur yang terorganisir. Agak berbeda dengan ilmu

pengetahuan lain, matematika merupakan suatu bangunan struktur yang

terorganisir. Sebagai suatu struktur ia terdiri atas beberapa komponen yang

meliputi aksioma/postulat, pengertian pangkal/primitif, dan dalil/teorema.

2) Matematika sebagai alat. Matematika juga sering dipandang sebagai alat

dalam mencari solusi pelbagai masalah dalam kehidupan sehari-hari.

11

3) Matematika sebagai pola pikir deduktif. Matematika merupakan pengetahuan

yang memiliki pola pikir deduktif, artinya suatu teori atau pernyataan dalam

matematika dapat diterima kebenarannya apabila telah dibuktikan secara

deduktif (umum).

4) Matematika sebagai cara bernalar (the way of thinking). Matematika dapat

pula dipandang sebagai cara bernalar, paling tidak karena beberapa hal,

seperti matematika memuat cara pembuktian yang valid, rumus-rumus atau

aturan yang umum, atau sifat penalaran matematika yang sistematis.

5) Matematika sebagai bahasa artifisial. Simbol merupakan ciri yang paling

menonjol dalam matematika. Bahasa matematika adalah bahasa simbol yang

bersifat artifisial, yang baru memiliki arti bila dikenakan pada suatu konteks.

6) Matematika sebagai seni yang kreatif. Penalaran yang logis dan efisien serta

perbendaharaan ide-ide dan pola-pola yang kretaif dan menakjubkan, maka

matematika sering pula disebut sebagai seni, khususnya merupakan seni

berpikir yang kreatif.

Berdasarkan uraian tentang beberapa pengertian matematika, maka

matematika yang dimaksudkan dalam penelitian ini adalah disiplin ilmu

pengetahuan sebagai sarana berpikir yang meliputi penalaran logik, bilangan,

kalkulasi, dan fakta-fakta kuantitatif yang terorganisir secara sistematik.

B. Kemampuan Membuat Model Matematika pada Soal Cerita

Menurut Kamus Besar Bahasa Indonesia (KBBI), kemampuan adalah

kesanggupan, kecakapan atau kekuatan dalam melakukan sesuatu. Seseorang

dikatakan mampu ketika ia bisa melakukan sesuatu yang harus ia lakukan.

12

Robbins (Ma’rufah, 2016: 9) berpendapat bahwa kemampuan adalah suatu

kapasitas yang dimiliki oleh seseorang untuk melakukan tugasnya sehingga bisa

menjadi penilaian atau ukuran mengenai apa yang dilakukan oleh orang tersebut.

Sedangkan Faiqoh (2011: 11) mengemukakan bahwa kemampuan juga bisa

disebut dengan kompetensi. Kata kompetensi berasal dari bahasa inggris

“competence” yang berarti ability, power, authority, skill, knowladge dan

kecakapan, kemampuan serta wewenang. Jadi kata kompetensi dari kata

compotent yang berarti memiliki kemampuan dan keterampilan dalam

bidangnya sehingga ia mempunyai kewenangan atau atoritas untuk melakukan

sesuatu dalam batas ilmunya tersebut. Lebih lanjut, Robbins (Faiqoh: 2011: 12)

menyatakan bahwa kemampuan terdiri dari dua faktor, yaitu:

1) Kemampuan Intelektual, kemampuan yang dibutuhkan untuk melakukan

berbagai aktifitas mental, berpikir, menalar dan memecahkan masalah;

2) Kemampuan Fisik, kemampuan tugas-tugas yang menuntut stamina,

keterampilan, kekuatan dan karakteristik serupa.

Berdasarkan beberapa pengertian diatas, maka kemampuan yang

dimaksudkan dalam penelitian ini adalah kecakapan atau kapasitas intelektual

seseorang dalam mengerjakan sesuatu yang diwujudkan melalui tindakannya.

Salah satu kemampuan matematika yang harus dimiliki oleh seorang

siswa adalah kemampuan menyelesaikan soal cerita. Hal ini berguna untuk

menerapkan pengetahuan yang dimiliki oleh siswa sebelumnya.

Soal cerita biasa digunakan untuk mengetahui kemampuan siswa dalam

pembelajaran pemecahan masalah matematika. Menurut Mardjuki (Faiqoh,

13

2011: 7) soal cerita matematika adalah soal matematika yang disajikan dalam

bahasa atau cerita berdasarkan pengalaman dalam kehidupan sehari-hari.

Raharjo dan Astuti (Yudharina, 2015) juga berpendapat bahwa soal cerita yang

terdapat dalam matematika merupakan persoalan-persoalan yang terkait dengan

permasalahan-permasalahan dalam kehidupan sehari-hari yang dapat dicari

penyelesaiannya dengan menggunakan kalimat matematika.

Selain itu, penyelesaian soal cerita merupakan kegiatan pemecahan

masalah dan pemecahan masalah dalam suatu soal cerita matematika merupakan

suatu proses yang berisikan langkah-langkah yang benar dan logis untuk

mendapatkan penyelesaian, (Jonassen dalam Yudharina, 2015: 8).

Dari beberapa pendapat tersebut, maka yang dimaksud soal cerita yang

dibahas dalam penelitian ini adalah soal matematika yang disajikan dalam

bentuk cerita dan berkaitan dengan keadaan dalam kehidupan sehari-hari yang

dialami oleh siswa dan terkandung konsep matematika di dalamnya.

Dalam konteks soal cerita, pembelajaran untuk memahami masalah

adalah kemampuan siswa mengubah cerita tersebut menjadi model matematika.

Salah satu kemampuan yang harus dimiliki oleh siswa dalam menyelesaikan soal

cerita adalah kemampuan mengubah permasalahan dalam soal cerita ke dalam

model matematika. Menurut Isnawati (2016:8) tanpa memiliki kemampuan

membuat model matematika yang benar siswa akan mengalami kesulitan dalam

menyelesaikan soal cerita yang akan mengakibatkan siswa juga tidak terampil

dalam mengoperasikan hitungan dalam soal cerita. Semakin sulit soal cerita

yang diberikan maka semakin sulit pula model yang dibuat, begitupun

14

sebaliknya semakin mudah soal cerita yang diberikam maka modelnya pun akan

mudah.

Model matematika merupakan suatu rumusan (dapat berupa persamaan,

pertidaksamaan atau fungsi) yang diperoleh dari suatu penafsiran ketika

menerjemahkan suatu soal verbal. Menurut Jujun S. Suriasumantri (Isnawati,

2016: 8) mendefinisikan bahwa model matematika merupakan suatu usaha untuk

mendeskripsikan beberapa bagian dari dunia nyata ke dalam istilah matematika.

Confrey (Sokolowski, 2015) menguraikan pendapatnya tentang model

yang mengatakan:

“Model was operationally defined as a mathematical construct designed and

formulated to study a particular real word system or phenomenon”

Kutipan di atas menjelaskan bahwa model itu secara operasional

didefinisikan sebagai konstruk matematika yang dirancang dan dirumuskan

untuk mempelajari sistem dunia nyata atau fenomena.

GAIMME (Hernandez, Marial dkk: 2016) juga menguraikan

pendapatnya tentang model matematika yang mengatakan: “The authors of the

GAIMME report define it as -a process that uses mathematics to represent,

analyze, make predictions or other wise provide insight into real-word

phenomena.” GAIMME menjelaskan bahwa pemodelan matematika sebagai

suatu proses yang menggunakan matematika untuk menganalisis, membuat

prediksi atau lainnya. Sedangkan Confrey & Maloney (Sokolowski, 2015)

mendefinisikan pemodelan matematika, yaitu:

15

“Mathematical modelling is a process of encountering a situation,

problematizing it, and bringing inquiry, reasoning, and mathematical structures

to transform the situation.”

Pemodelan matematika adalah sebuah proses menghadapi situasi,

problematika, dan membawa penyelidikan, penalaran dan struktur matematika

untuk mengubah situasi. Kemudian, Graveimeijer (Sokolowski, 2015)

menggambarkan dua jenis aktivitas pemodelan matematika: “Translating the

real-world system into mathematical terms for the purpose of solving a problem

or for the purpose of analyzing a situation by applying various steps associated

with accomplishing that goal”. Menurut Graveimeijer, dua jenis aktivitas

pemodelan matematika yaitu menerjemahkan sistem dunia nyata ke dalam istilah

matematika untuk tujuan pemecahan masalah atau untuk tujuan menganalisis

situasi dengan menerapkan berbagai langkah-langkah terkait dengan mencapai

tujuan itu. Jadi, model matematika merupakan suatu model terdiri dari konsep-

konsep matematika seperti konstanta-konstanta, variabel-variabel, fungsi,

persamaan, ketaksamaan dan sebagainya.

Blum (1995) memandang proses pemodelan keseluruhan adalah penting

dan menyatakan proses tersebut adalah sebagai berikut: “... sembari

memodelkan dunia real, pemodel akan bergerak antara realita dan ilmu

matematika. Proses pemodelan akan dimulai dengan masalah dunia nyata.

Dengan menyederhanakan, menstrukturisasi dan mengidealisasi, masalah ini

akan mendapatkan model real. Matematisasi model real akan mengarah atau

melahirkan suatu model matematika. Dengan bekerja dalam kerangka ilmu

16

matematika, solusi matematis dapat diperoleh. Solusi ini harus lebih dulu

diinterpretasikan dan selanjutnya divalidasi (Parlaungan, 2008:25).

Berdasarkan beberapa pengertian tersebut, maka model matematika yang

dimaksudkan dalam penelitian ini adalah usaha mengubah kalimat sehari-sehari

ke dalam simbol-simbol matematika baik berupa konstanta, variabel, fungsi,

persamaan, pertidaksamaan dan lain sebagainya.

Kemudian, ada beberapa komponen model yang dijelaskan oleh

Parlaungan (2008) beberapa komponen model tersebut adalah: (a) Variabel tak

bebas (hasil atau ukuran keefektifan); (b) Variabel bebas (alternatif atau unsur

mutlak); (c) konstanta dan parameter; (d) hubungan antara variabel. Nah, dari

beberapa komponen tersebut, Parlaungan (2008: 66) menjelaskan bahwa semua

komponen tidak selamanya dimuat tergantung kepada masalah realnya. Variabel

tak bebas dapat berupa hasil yang didapat dari memasangkan alternatif tertentu

dan pengukuran keefektifan (states of nature) yang menggabungkan dua atau

lebih hasil yang mungkin ke dalam suatu kriteria keputusan, nilai variabel bebas

dipengaruhi oleh alternatif san states of nature. Alternatif keputusan disebut

variabel bebas yang dapat dikontrol dan states of nature disebuat variabel bebas

yang tidak dapat dikontrol. Kemudian, konstanta merupakan sebuah kesatuan

yang sering digunakan dalam matematika, parameter berubah menurut aplikasi

tertentu atau harus ditentukan/ditaksir oleh pemodel. Nah, konstanta dan

parameter ini membantu menyatakan hubungan antara variabel. Hubungan

variabel dalam model matematika adalah ekspresi yang jelas yang membatasi

B. Situasi dunia nyata C. Model Matematika

D. Solusi Matematika

F. EvaluasiE. Arti solusi masalah nyata

G. Pelaporan

Ruang masalah dunia nyata

17

variabel bebas dan tak bebas. Keseluruhan dari sistem hubungan tersebut disebut

dengan sebuah model.

Telah dikemukakan sebelumnya bahwa pemodelan matematika adalah

aktifitas utama dalam pemecahan masalah matematika. Oleh karena itu, untuk

mengetahui kemampuan siswa membuat model matematika pada soal cerita

terdapat langkah-langkah dalam pemecahan masalah. Terdapat berbagai diagram

yang berbeda dibuat para ahli tentang proses atau aktivitas pemodelan

matematika, diantaranya model skema proses pemodelan matematika menurut

Galbraith & Stillman 2006 (Parlaungan: 2008: 27) sebagai berikut:

Gambar 2.1 Proses pemodelan oleh Galbraith & Stillman 2006 (Parlaungan: 2008)

Dari proses pemodelan diatas, Parlaungan (2008) menerjemahkan siklus

proses pemodelan menurut Galbraith & Stilman yaitu:

A → B: memahami, strukturisasi, penyederhanaan dan interpretasi konteks

B → C: mangasumsikan, merumuskan dan matematisasi

C → D: bekerja secara matematis

18

D → E: memahami output matematika

E → F: membandingkan, mengkritisi dan memvalidasi

F → G: mengkomunikasikan, membenarkan, melaporkan secara tertulis atau

F → B: merevisi proses pemodelan.

dan mengklasifikasikan proses pemodelan tersebut seperti pada tabel berikut:

Tabel 2.1 Aktivitas siswa dalam pemodelan

No Entri

Tahap Pemodelan Aktivitas siswa dalam pemodelan

1 A→B

Kemampuan Mengidentifikasi Masalah

Subjek mampu memahami informasi yang disajikan.

Subjek mampu mengasumsikan masalah; menyederhanakan masalah

2. B→C

Matematisasi/kemampuan pembentukan model matematika

Subjek memberi notasi dan variabel

Subjek mampu mengasumsikan hubungan variabel, memberi kuantitas, membuat gambar, grafik, tabel, menarik kesimpulan, hingga mampu merumuskan matematika/model matematika.

3. C→D

Solusi matematika/kemampuan bekerja dengan matematika

Subjek mampu melakukan langkah-langkah penyelesaian soal cerita matematika dengan sistematis dan tepat sesuai dengan rencana sebelumnya.

Subjek mampu menemukan solusi yang tepat dari model matematika tersebut.

4. D→E

Interpretasi hasil/Kemampuan mengartikan solusi matematika

Subjek melakukan pengecekan kembali atau memeriksa kembali hasil perhitungan yang telah dilakukan.

Subjek mampu menginterpretasikan hasil yang telah diperoleh untuk menjawab pertanyaan dalam soal cerita matematika.

19

5. E→F

Validasi/evaluasi

subjek memeriksa, mengkritisi merefleksikan, menerima atau menolak solusi dengan mengkaji ulang masalah atau sebahagian model, dengan merefleksikan cara lain.

6. F→G

Pelaporan/persentase

Subjek mengkomunikasikan, mempublikasikan, mendokumentasikan.

Sementara itu, Simanullang & Clara (2006) memberikan mekanisme

pembentukan model secara umum dan pembentukan model matematika

sederhana.

1. Mekanisme Pembentukan model matematika secara umum

Berikut ini proses pembentukan model atau sering disebut pemodelan

matematika.

a. Tahap 1. Masalah

Adanya masalah nyata yang ingin dicari solusinya merupakan awal

kegiatan penyelidikan. Masalah tersebut harus diidentifikasi secara jelas,

diperiksa dengan teliti menurut kepentingannya.

b. Tahap 2. Karakterisasi masalah

Masalah yang diteliti diperlukan karakterisasi masalahnya yaitu pengertian

yang mendasar tentang masalah yang dihadapi termasuk pemilihan

variabel yang relevan dalam pembentukan model serta keterkaitannya.

c. Tahap 3. Formulasi model matematik

Formulasi model merupakan penterjemahan dari masalah ke dalam

persamaan matematik yang menghasilkan model matematik. Makin paham

20

akan masalah yang dihadapi dan kokoh penguasaan matematik seseorang

akan sangat membantu memudahkan dalam mencari modelnya.

d. Tahap 4. Analisis

Analisis matematik kemudian dilakukan dengan pendugaan parameter

serta deduksi sifat-sifat yang diperoleh dari model yang digunakan.

e. Tahap 5. Validasi

Model umumnya merupakan abstraksi masalah yang sudah

disederhanakan, sehingga hasilnya mungkin berbeda dengan kenyataan

yang diperoleh. Untuk itu model yang diperoleh perlu divalidasi yaitu

sejauh mana model itu dapat dianggap memadai dalam merepresentasikan

masalah yang dihadapi.

f. Tahap 6. Perubahan

Apabila model yang dibuat dianggap tidak memadai maka terdapat

kemungkinan bahwa formulasi model yang digunakan atau karakterisasi

masalah masih banyak belum layak, sehingga perlu diadakan perubahan

untuk kemudian ke tahap berikutnya.

g. Tahap 7. Model memadai

Bila model yang dibuat sudah memadai, maka tahap berikutnya dapat

dilakukan. Model tersebut dapat digunakan untuk mencari solusi masalah

yang diinginkan.

Keseluruhan tahap di atas dapat dilihat pada skema berikut:

21

Gambar 2.2 proses pemodelan oleh Simanullang & Clara (2006)

2. Mekanisme pembentukan model matematika sederhana

Dalam masalah yang sifatnya sederhanah, diberikan indikator

pembentukan model matematika sebagai berikut:

a. Mengidentifikasi masalah: siswa mampu menentukan apa yang diketahui,

apa yang belum diketahui dan apa yang dicari dengan menuliskan

informasi tersebut secara lengkap.

Masalah nyata

Karakteristik masalah

Model memadai

Validasi

Formulasi model matematika

Analisis

Solusi matematika

22

b. Menggunakan variabel: siswa mampu menyatakan apa yang dicari atau

ditanyakan.

c. Mengkontruksi diagram/bagan/gambar: siswa mampu mensketsa untuk

memudahkan atau menentukan hubungan yang ada antara unsur-unsur dan

variabel yang diketahui.

d. Menyatakan model matematika: siswa mampu menyatakan model

matematik yang dicari dalam bentuk persamaan atau pertidaksamaan atau

sistem persamaan.

Dengan mempelajari proses pemodelan diatas, bahwa inti dari

pemodelan matematika memilki pesan yang sama sehingga peneliti

menggunakan indikator pemodelan matematika sederhana menurut Simanullang

& Clara. Maka kemampuan siswa dalam membuat model matematika pada soal

cerita yang dimaksudkan dalam penelitian ini adalah sebagai berikut:

a) Entri pertama pemodelan: Mengidendifikasi Masalah

Siswa dikatakan memahami entri pertama tahap pemodelan apabila

siswa telah mampu mengidentifikasi masalah-masalah yang ada pada konteks

atau situasi dunia nyata/soal cerita yaitu mampu menentukan hal-hal yang

diketahui dengan tepat dan mampu menentukan hal yang ditanyakan sesuai

dengan konteks cerita.

b) Entri kedua pemodelan: Menggunakan Variabel

Pada tahap ini, siswa menggunakan pemikiran matematisnya misalnya

penggunaan simbol yang tepat, kemampuan menemukan sendiri dan strategi

pemecahan masalahnya. Siswa dikatakan telah memahami proses kemampuan

23

menggunakan variabel apabila siswa dapat menggunakan notasi & variabel apa

yang dicari dengan tepat dan mampu mengasumsikan hubungan variabel.

c) Entri ketiga pemodelan: Mengkontruksi gambar

Pada tahap ini, siswa dikatakan telah dapat mengkontruksi gambar

apabila siswa menunjukkan gambar dengan tepat yang sesuai dengan konteks

dunia nyata serta mampu menentukan hubungan yang ada antara unsur-unsur

dan variabel yang diketahui.

d) Entri keempat pemodelan: Menyatakan model matematika

Pada tahap ini, setalah melalui beberapa tahap pemodelan diatas, siswa

dikatakan telah memahami proses pembentukan model matematika apabila

siswa dapat menemukan formula matematika yang bersesuaian dengan situasi

dunia nyatanya.

Berdasarkan uraian diatas, maka kemampuan siswa membuat model

matematika pada soal cerita yang dimaksudkan dalam penelitian ini adalah

kecakapan seorang individu dalam menginterpretasikan soal cerita matematika

ke dalam bahasa/simbol matematika.

C. Kemampuan penalaran matematis

a) Penalaran

Menurut Kamus Besar Bahasa Indonesia (KBBI) Penalaran adalah

cara menggunakan nalar atau cara berpikir logis. Menurut NCTM (2000),

keampuan bernalar berperan penting dalam memahami matematika. Bernalar

secara matematis merupakan suatu kebiasaan berpikir dan layaknya suatu

24

kebiasaan maka penalaran semestinya menjadi bagian yang konsisten dalam

setiap pengalaman-pengalaman matematis siswa. Arini & Rosyidi (2016)

penalaran adalah topik yang sangat erat berhubungan dengan aspek-aspek

yang secara umum disebut berpikir. Sejalan dengan itu, Sariningsih (2014)

penalaran merupakan proses berpikir untuk mengelola sekumpulan informasi

tentang suatu permasalahan dengan menggunakan prinsip-prinsip logika

untuk memperoleh suatu kesimpulan yang berupa pengetahuan. Bjuland

(2007) mengemukakan bahwa penalaran bersasarkan pada tiga model

pemecahan masalah Polya. Menurutya, penalaran merupakan lima proses

yang saling terkait dari aktifitas berpikir matematik yang dikategorikan

sebagai sense-making, conjecturing, convincing, reflecting, dan generalizing.

Sense making terkait erat dengan kemampuan membangun skema

permasalahan dan merepresentasikan pengetahuan yang dimiliki. Ketika

memahami situasi matematik kemudian mencoba dikomunikasikan kedalam

simbol atau bahasa matematik maka pada saat itu juga terjadi proses sense

making melalui proses adaptasi dan pengaitan informasi baru yang saling

berhubungan dalam struktur pengetahuannya. Conjecturing berarti aktifitas

memprediksi suatu kesimpulan dan teori yang didasarkan pada fakta yang

belum lengkap dan produk dari proses conjecturing adalah strategi

penyelesaian. Convincing berarti melakukan atau mengimplementasikan

strategi penyelesaian yang didsarkan pada kedua proses sebelumnya.

Reflecting berupa aktifitas mengevaluasi kembali ketiga proses yang sudah

dilakukan dengan melihat kembali keterkaitannya dengan teori-teori yang

25

dianggap relevan. Kesimpulan akhir yang diperoleh dari keseluruhan proses

kemudian diidentifikasi dan digeneralisasi dalam suatu proses yang disebut

generalising.

Ramdani (2012: 48) mengemukakan bahwa secara garis besar

penalaran dibagi menjadi dua yaitu penalaran induktif dan penalaran deduktif.

Penalaran induktif adalah proses penalaran yang menurunkan prinsip atau

aturan umum dari pengamatan hal-hal atau contoh-contoh kasus. Sedangkan

penalaran deduktif adalah proses penalaran dari pengetahuan prinsip atau

pengalaman yang umum yang menuntun kita memperoleh kesimpulan untuk

sesuatu yang khusus.

Penalaran merupakan terjemahan dari reasoning. Afif (2016)

mengatakan bahwa penalaran merupakan salah satu standar proses

matematika disamping komunikasi, koneksi matematika dan pemecahan

masalah. Penalaran juga merupakan proses mental dalam mengembangkan

pikiran dari beberapa fakta atau prinsip. Shurter dan Pierce (Danapriyanto,

2013) penalaran didefinisikan sebagai proses pencapaian kesimpulan logis

berdasarkan fakta dan sumber yang relevan.

Adapun ciri-ciri penalaran menurut Danapriyanto (2013) adalah (1)

adanya suatu pola pikir yang disebut logika. Dalam hal ini dapat dikatakan

bahwa kegiatan penalaran merupakan suatu proses berpikir logis. (2) proses

berpikirnya bersifat analitik. Penalaran merupakan suatu kegiatan yang

mengandalkan diri pada suatu analitik, dalam kerangka berpikir yang

dipergunakan untuk analitik tersebut adalah logika penalaran yang

26

bersangkutan. Kemudian, Lithner (2008) penalaran merupakan pemikiran

yang diadopsi untuk menghasilkan pernyataan dan mencapai kesimpulan

pada pemecahan masalah yang tidak selalu didasarkan pada logika formal

sehingga tiak terbatas pada bukti.

Jadi, jadi penalaran dapat diartikan sebagai suatu kegiatan, suatu

proses, suatu aktivitas berpikir untuk meanrik kesimpulan atau membuat

pernyataan baru yang benar dan berdasarkan pada pernyataan yang

kebenarannya sudah dibuktikan atau sudah diasumsikan sebelumnya.

b) Kemampuan Penalaran matematis

Penalaran matematis adalah menghubungkan pengetahuan yang baru

dengan pengetahuan yang dimiliki dan sesungguhnya mengatur kembali

pengetahuan yang didapatkan (Brodie dkk, 2009). Menurut Hudojo (2003)

penalaran matematis adalah penalaran deduktif. Ball, Lewis & Thamel

(Burais, 2016) penalaran matematis adalah fondasi untuk mendapatkan atau

mengkontruksi pengetahuan matematika.

Pada peraturan Dirjen Dikdasmen Depdiknas Nomor

506/C/Kep/PP/2004 yang dikutip oleh Wardhani (Afif, 2016) bahwa

indikator siswa yang memiliki kemampuan penalaran matematis yaitu

1) Menyajikan pernyataan matematika secara lisan, tertulis, gambar dan

diagram;

2) Mengajukan dugaan;

3) Melakukan manipulasi matematika;

27

4) Menarik kesimpulan, menyusun bukti, memberikan alasan atau bukti

terhadap kebenaran solusi;

5) Menarik kesimpulan dari pernyataan;

6) Memeriksa kesahihan suatu argumen dan

7) Menentukan pola atau sifat dari gejala matematis untuk membuat

generalisasi.

Adapun indikator kemampuan penalaran matematis menurut Sumarmo

(Lestari & Yudhanegara, 2015:82) yaitu:

1) Menarik kesimpulan logis

2) Memberikan penjelasan dengan model, fakta, sifat-sifat dan hubungan.

3) Memperkirakan jawaban dan proses solusi.

4) Menggunakan pola dan hubungan untuk menganalisis situasi atau

membuat analogi dan generalisasi

5) Menyusun dan menguji konjektur

6) Membuat counter example (kontra contoh)

7) Mengikuti aturan inferensi dan memeriksa validitas argumen

8) Menyusun argumen yang valid

9) Menyusun pembuktian langsung, tidak langsung, dan menggunakan

induksi matematika.

Sedangkan NCTM (dalam Johar, 2006) menyatakan bahwa penalaran

matematika terjadi ketika siswa (1) mengamati pola atau keteraturan (2)

menemukan generalisasi dan konjektur berkenaan dengan keteraturan yang

diamati (3) menilai/menguji konjektur (4) mengkonstruk dan menilai

28

argumen matematika dan (5) menggambarkan (menvalidasi) konklusi logis

tentang sejumlah ide dan keterkaitannya.

Jadi, Berdasarkan uraian di atas, maka kemampuan penalaran

matematis yang dimaksudkan dalam penelitian ini adalah kecakapan seorang

individu berpikir secara logis, analitik, dan sistematis dalam menghubungkan

fakta atau pernyataan yang telah diasumsikan benar menuju suatu

kesimpulan.

Dalam penelitian ini, indikator yang digunakan peneliti hanya

mengambil lima indikator yang termuat dalam indikator menurut peraturan

Dirjen Dikdasmen Depdiknas Nomor 506/C/Kep/PP/2004 dan dua indikator

menurut Sumarmo yang telah dijelaskan diatas yaitu:

1) Menyajikan pernyataan matematika secara lisan, tertulis, gambar

dan diagram. Terkait dengan materi yang diangkat dalam penelitian ini

adalah kemampuan menyajikan pernyataan matematika secara tertulis

berupa gambar/diagram.

2) Mengajukan dugaan. Kemampuan siswa mencari atau menemukan

beberapa alternatif cara penyelesaian suatu soal yang berbeda sehingga

mendapatkan hasil yang berbeda meskipun terkadang hasil yang

didapatkan sama.

3) Menggunakan pola dan hubungan untuk menganalisis situasi

matematik. Kemampuan siswa menggunakan pola-pola yang diketahui,

kemudian menghubungkannya untuk menganalisa situasi matematik yang

terjadi;

29

4) Menyusun argumen yang valid. Kemampuan siswa dapat menyusun

argumen yang valid dengan menggunakan langkah penyelesaian yang

sistematis;

5) Menarik kesimpulan dari suatu pernyataan. Kemampuan siswa untuk

membuat suatu pernyataan baru yang benar berdasarkan pada beberapa

pernyataan yang kebenarannya yang telah dibuktikan atau diasumsikan

sebelumnya.

Indikator-indikator diatas digunakan untuk mengetahui tingkat

kemampuan penalaran matematis siswa dengan melihat hasil pekerjaannya.

D. Materi Trigonometri

Trigonometri berasal dari bahasa Yunani, yaitu trigonon yang berarti

segitiga dan metro yang berarti ukuran. Jadi trigonometri dapat diartikan sebagai

ilmu yang mempelajari ukuran-ukuran dalam segitiga. Sedangkan, menurut

Kamus Besar Bahasa Indonesia, Trigonometri diartikan sebagai bagian dari

matematika yang mempelajari tentang ulmu ukur sudut dan batasan-batasan

dalam segitiga. Jadi dapat disimpulkan bahwa Trigonometri adalah bagian dari

ilmu matematika yang mempelajari tentang hubungan antara sisi dan sudut suatu

segitiga serta fungsi dasar yang muncul dari relasi tersebut.

Trigonometri diberikan di SMA dikarenakan trigonometri merupakan

ilmu yang sangat penting dan sangat dekat dengan keseharian siswa.

Trigonometri memiliki peran yang sangat besar dalam ilmu pengetahuan dan

teknologi, khususnya dalam astronomi. Dengan menggunakan Trigonometri,

A

B

30

rahasia alam jagad raya dapat diungkapkan yaitu dapat memperkirakan dan

menghitung jarak suatu planet atau bintang-bintang terdekat terhadap bumi.

Selain itu trigonometri dapat juga digunakan dalam sistem navigasi satelit.

Diberikannya Trigonometri di tingkat SMA diharapkan mampu memberikan

bekal pengetahuan yang cukup bagi siswa ketika akan melanjutkan pendidikan

yang lebih tinggi sesuai dengan minat mereka. Di tingkat SMA, Trigonometri

mulai dikenalkan di kelas X semester 2 yang meliputi: ukuran sudut,

perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku, perbandingan trigonometri

sudut-sudut istimewa, perbandingan trigonometri sudut-sudut di semua kuadran,

dan grafik fungsi Trigonometri.

1. Ukuran Sudut (Derajat dan Radian)

Pada umumnya, ada dua ukuran yang digunakan untuk menentukan

besar suatu sudut yaitu derajat dan radian. Tanda “⁰” dan “rad” berturut-turut

menyatakan simbol derajat dan radian. Singkatnya, putaran penuh = 360⁰,

atau 1⁰ didefinisikan sebagai besarnya sudut yang dibentuk oleh 1

360 kali

putaran penuh.

Satu radian diartikan sebagai ukuran sudut pusat ∝ yang panjang

busurnya sama dengan jari-jari.

Jika besar ∆ AOb=∝ ,AB = OA = OB, maka ∝= ABr

=1 radian .

O

31

Jika panjang busur tidak sama dengan r, maka cara menentukan besar sudut

tersebut dalam satu radian diselesaikan menggunakan rumus perbandingan.

Dalam kajian geometris, sudut didefinisikan sebagai hasil rotasi dari sisi awal

(initial side) ke sisi akhir (terminal side). Selain itu, arah putaran memiliki

makna dalam sudut. Suatu sudut bertanda “positif” jika arah putarannya

berlawanan dengan arah putaran jarum jam, dan bertanda “negatif” jika arah

putarannya searah dengan jarum jam. Arah putaran sudut juga dapat

diperhatikan pada posisi sisi akhir terhadap sisi awal. Untuk

memudahkannya, perhatikan deskripsi berikut:

Dalam koordinat kartesius, jika sisi awal berimpit dengan sumbu x dan sisi

terminal terletak pada salah satu kuadran pada koordinat kartesius, disebut

sudut standar (baku). Jika sudut akhir berada pada salah satu sumbu pada

koordinat tersebut, sudut yang seperti ini disebut pembatas kuadran, yaitu 0 ,⁰

90 , 180⁰ ⁰, 270⁰ dan 360⁰. Sebagai catatan bahwa untuk menyatakan suatu

sudut, lazimnya menggunakan huruf yunani seperti ∝ , β , γ ,θ dan juga

menggunakan huruf-huruf kapital seperti A, B, C, D. Selain itu, jika sudut

yang dihasilkan sebesar αmaka sudut β disebut sebagai sudut koterminal,

seperti yang dideskripsikan pada gambar berikut:

BD

F

C E Gα

A

32

Sudut-sudut koterminal adalah dua sudut ditempatkan pada posisi standar,

memiliki sisi-sisi akhir (terminal side) yang berimpit.

2. Perbandingan Trigonometri

Perhatikan Gambar berikut.

Diketahui sudut lancip α . Pada salah satu kakinya ditetapkan titik-titik B, D,

F,..., dan seterusnya. Kemudian, titik-titik tersebut diproyeksikan kepada kaki

yang lain dari α hingga terbentuk segitiga siku-siku

∆ ABC , ∆ ADE ,∆ AFG , …,dan seterusnya. ∆ ABC ∆ ADE ∆ AFG,..., dan

seterusnya. (tanda “ dibaca: “sebangun”).

Karena ∆ ABC ∆ ADE ∆ AFG maka:

BCAB

=DEAD

=FGAF

; BCAC

=DEAE

= FGAG

;dan ACAB

= AEAD

= AGAF

.

0

B (x,y)

C

B

A Cα

ry

x

ac

b

33

Selama sudut α tetap, harga perbandingan-perbandingan tersebut juga tetap.

Oleh karena itu, harga perbandingan-perbandingan tersebut bergantung pada

besarnya sudut α . perbandingan-perbandingan panjang tiap-tiap dua sisi

itulah yang disebut perbandingan Trigonometri. Perbandingan Trigonometri

pada segitiga siku-siku didefinisikan dengan menggunakan gambar berikut. (

∆ ABCditempatkan pada koordinat Cartecius, A berimpit di 0 dan C pada

sumbu x).

sin α= panjang sisi depan αpanjang sisi miring

atausin α=ac= y

r

cos α= panjang sisi yang mengapit αpanjang sisimiring

ataucosα=bc= x

r

tan α= panjangsisi di depanαpanjang sisi yangmengapit α

atau tan α=ab= y

x

secanα= panjang sisi miringpanjang sisi yang mengapit α

atau sec α= cb= r

x

cosecan α= panjang sisimiringpanjang sisidi depan α

atau cosec α= ca= r

y

cotangen α= panjang sisi yangmengapit αpanjang sisidi depanα

ataucotan α=ba= x

y

B

A D C

2

P

34

Dari definisi perbandingan Trigonometri, diperoleh hubungan kebalikan

sebagai berikut.

sec α= 1cos α

cosec α= 1sin α

cotan α= 1tan α

tan α= sin αcos α

cotan α=cos αsin α

a. Nilai perbandingan trigonometri sudut istimewa

Jenis sudut yang merupakan sudut-sudut istimewa adalah sudut

0 ° ,30 ° , 45 ° ,60 ° , dan 90 °. Nilai perbandingan sudut 30 ° dan 60 °

diperoleh dengan memanfaatkan segitiga sama sisi, (gambar a). Sedangkan

nilai perbandingan trigonometri sudut 45 ° diperoleh dengan

memanfaatkan segitiga siku-siku sama kaki, (gambar b).

1

(a) (b)

√3

Y

X

P

1

35

Untuk menentukan perbandingan trigonometri untuk 0 ° dan 90°

digunakan lingkaran satuan di koordinat Cartesius. Perhatikan gambar

berikut:

θ °=0 ° atau garis OP berimpit dengan sumbu x maka koordinat P adalah

(1, 0), sehingga: sin 0 °= y=0 , cos0 °=x=1 , dan tan 0 °= yx=0

1=0.

Selanjutnya jika θ=90 ° maka garis OP berimpit dengan sumbu y maka

koordinat P adalah (0,1), sehingga: sin

90 °= y=1 ,cos 90 °=x=0 , dan tan 90 °=10={tak terdefinisi }. Jadi, nilai

perbandingan trigonometri sudut-sudut istimewa dapat dilihat dalam tabel

berikut:

α 0 ° 30 ° 45 ° 60 ° 90 °

Sin 0 12

12 √2 1

2 √3 1

Cos 1 12 √3 1

2 √2 12

0

Tan 0 13 √3 1 √3 ∞

Cotan ∞ √3 1 13 √3 0

1

x

Y

X

P, (x,y)P2x

r y

x P1O

cos ( 90°−α )=sin α

36

b. Perbandingan Trigonometri Sudut Berelasi

1) Sudut α di kuadran I (0 °<α <90°)

Perhatikan gambar berikut ini:

β=90 °−α

sin β= xr

sin (90 °−α )= xr

cos α= xr

cos β= yr

cos ( 90°−α )= yr

sin α= yr

Jadi,

sin (90 °−α )=cosα tan (90 °−α )=cotan α

sin (90 °−α )=cosα

Y

X

yr

xOαα

β

P' (−x , y ) P(x,y)

P1' -x

37

cos ( 90°−α )=sin α cotan ( 90°−α )=tan α

2) Sudut α di kuadran II (90 °<α <180 °)

Perhatikan gambar berikut, Titik P (x,y) di kuadran I dicerminkan

terhadap sumbu-y, di dapat P' (−x , y ) di kuadran II.

PO P1=α ,

P' O P1' =α ,

XO P'=β=180 °−α

sin α= yr

sin β= yr=sin (180°−α )=sin α

cos α= xr

cos β=−xr

=cos (180 °−α )=−cosα

tan α= yx

tan β= y−x

=tan (180 °−α )=−tan α

P' (−x ,− y )

αα

βr

y

xO

-y

-x

P(x,y)

P1

P1'

P(x,y)

βr

y

38

cotan α= xy

cotan β=−xy

=cotan (180°−α )=−cotan α

Jadi,

sin (180 °−α )=sin α tan (180 °−α )=−tan α

cos (180 °−α )=−cosα cotan (180 °−α )=−cotan α

3) Sudut α di kuadran III (180 °<α<270° )

Perhatikan gambar berikut:

Jadi,

sin (180 °+α )=−sin α tan (180 °+α )=tan α

cos (180 °+α )=−cos α cotan (180 °+α )=cotanα

4) Sudut α di kuadran IV (270 °<α <360° )

Perhatikan gambar berikut:

P' (−x ,− y )

O

α

α-y

39

PO P1=α ,

P1O P'=α

XO P'=β=360 °−α

sin α= yr

sin β=¿ sin (180 °−α )=− yr

¿

= −sin α

cos α= xr

cos β=cos (360 °−α )= xr=cosα

tan α= yx

tan β=tan (360 °−α )= y−x

=−tan α

cotan α= xy

cotan β=cotan (360 °−α )=−xy

=−cotan α

Jadi,

sin (360 °−α )=−sin α tan (360 °−α )=−tan α

cos (360 °−α )=cosα cotan (360°−α )=−cotan α

270⁰

0⁰/

90⁰

180⁰

Kuadran III

Tangen positif

Kuadran IV

Kosinus positif

P(x,y)

P' (x ' ,− y ')

r

r’

α-α

40

Salah satu cara untuk menentukan nilai sin, cos, dan tan di berbagai

kuadran adalah menggunakan sistem kuadran seperti pada gambar

berikut:

Bila menggunakan garis mendatar sebagai sudut batas yaitu 0⁰,

180⁰ dan 360⁰ maka nama fungsi trigonometri tidak berubah. Bila

menggunakan garis tegak sebagai sudut batas yaitu 90⁰ dan 270⁰ maka

nama fungsi trigonometri berubah yaitu sinus menjadi kosinus, kosinus

menjadi sinus, dan tangen menjadi cotangen.

5) Sudut-sudut Negatif

perhatikan gambar berikut:

sin (−α )=sin (360 °−α )= y '

r ' =− y

r=−sin α

Kuadran 1

Semua positif

Kuadran II

Sinus positif

41

cos (−α )=cos (360 °−α )= x '

r ' =xr=cosα

tan (−α )=tan (360 °−α )= y '

x ' =− y

r=−tan α

cotan (−α )=cotan (360 °−α )= y '

y ' =x

− y=−cotan α

Jadi, disimpulkan bahwa:

sin (−α )=−sin α tan (−α )=−tan α

cos (−α )=cosα cotan (−α )=−cotan α

6) Sudut-sudut yang lebih besar dari 360⁰

Perbandingan sinus dan kosinus dengan sudut lebih besar dari 360⁰

atau tangen dan cotangen dengan sudut lebih besar 180⁰ tidak dapat

diperoleh dengan aturan segitiga. Untuk memperoleh nilai

perbandingan trigonometrinya digunakan aturan:

sin α=sin (k .360°+α ) cos α=cos (k .360°+α)

tan α=tan (k .180 °+α ) cotan α=cotan(k .180 °+α )

c. Perbandingan Trigonometri Sudut dengan Satuan Radian

Ada dua macam satuan ukuran sudut yaitu derajat dan radian.

1 putaran penuh = 360⁰ 1 °= 1360°

× satu putaran penuh.

Sudut pusat lingkaran (1 putaran penuh) = 2 πr

rradian=2π radian.

Jadi,

360 °=2π rad

42

180 °=π rad

90 °= π2

rad

60 °= π3

rad dan seterusnya.

Dengan mengubah satuan sudut dari radian ke derajat maka dapat

ditentukan nilai perbandingan trigonometrinya.

3. Sudut Elevasi dan Sudut Depresi

Sudut antara garis pandang dengan garis horizontal dari objek ke mata

pengamat dinamakan sudut elevasi. Jika seseorang mengamati objek

dibawahnya, sudut antara garis pandang dengan garis horizontal dinamakan

sudut depresi.

4. Fungsi Trigonometri

Fungsi yang terbentuk f(x) = sin x, f(x) = cos x, dan f(x) = tan x

merupakan beberapa contoh fungsi trigonometri. Seperti fungsi yang lain,

fungsi trigonometri dapat dinyatakan dengan grafik pada bidang koordinat.

Sumbu koordinat grafik fungsi trigonometri untuk sumbu x merupakan garis

bilangan real yang menyatakan besar sudut dengan satuan panjang busur

lingkaran satuan (lingkaran dengan jari-jari r = 1 satuan) dan sumbu y

merupakan garis bilangan real yang menyatakan nilai fungsi tersebut. Satuan

ini disebut juga radian.

43

Menggambar grafik fungsi trigonometri dapat dilakukan dengan 2 cara, yaitu:

a) Membuat daftar nilai fungsi (tabel) dan

b) Membuat lingkaran satuan yaitu lingkaran berjari-jari 1 satuan.

5. Penerapan Konsep Trigonometri dalam Penyelesaian Masalah

Bila kita mengukur tinggi pohon atau bangunan secara langsung, kita

akan mendapat kesulitan karena harus memanjat pohon atau bangunan

tersebut terlebih dulu. Permasalahan itu merupakan sebagian contoh masalah

nyata yang dapat diselesaikan dengan perbandingan trigonometri. Beberapa

permasalahan lain dalam kehidupan sehari-hari dapat pula diselesaikan

dengan menggunakan konsep trigonometri.

Agar memahami penerapan konsep perbandingan trigonometri dalam

penyelesaian masalah nyata, berikut diberikan contoh soal yang berkaitan

dengan konsep tersebut dan juga berkaitan dengan kemampuan membuat

model matematika dan keterkaitan jawaban dengan indikator kemampuan

membuat model matematika.

Contoh:

Ahmad akan mengukur tinggi suatu pohon. Kemudian ia berdiri berjarak 5

meter dari pohon tersebut dan melihat pucuk pohon dengan sudut elevasi 45⁰.

Jika tinggi badan Ahmad adalah 160 cm. Tentukanlah tinggi pohon tersebut

yang dinyatakan dalam bentuk model matematika.

Penyelesaian:

Step 1) Mengidentifikasi masalah

Diketahui: Jarak Ahmad dari pohon adalah 5 meter.

44

Sudut elevasi yang terbentuk adalah 45⁰.

Tinggi Ahmad yaitu 160 cm.

Ditanyakan: Model matematika yang menyatakan tinggi pohon dan

penyelesaian modelnya.

Step 2) Menggunakan Variabel.

Misalkan tinggi pohon adalah x.

Step 2) Mengkontruksi gambar

Step 3) Menyatakan model matematika

Perhatikan ∆ CDF . Maka diperoleh hubungan tangen yaitu

tan 45 °=CF5

=1 -> Model matematika

Berdasarkan model matematika yang diperoleh maka, tinggi pohon adalah

x=Tinggi Ahmad+CF

¿1,6+5=6,6

jadi tinggi pohon tersebut adalah 6,6 meter.

D

C

A 5 meter

160 cm

x45⁰

B

F

45

BAB III

METODE PENELITIAN

A. Pendekatan dan Jenis Penelitian

Penelitian ini berjudul Deskripsi Kemampuan Siswa Membuat Model

Matematika pada Soal Cerita di tinjau dari Kemampuan Penalaran Matematis

Siswa Kelas X SMA Negeri 1 Bajeng Tahun Ajaran 2016/2017 merupakan jenis

penelitian deskriptif dengan menggunakan pendekatan kualitatif yakni penelitian

yang menggunakan data kualitatif kemudian mendeskripsikan data tersebut

untuk mengungkap seluruh gejala atau keadaan yang terjadi saat penelitian

dilakukan tentang kemampuan siswa membuat model matematika pada soal

cerita di tinjau dari kemampuan penalaran matematis siswa.

B. Subjek Penelitian

46

Penelitian ini dilaksanakan di SMA Negeri 1 Bajeng dengan subjek pada

penelitian ini adalah siswa kelas X IPA 7 semester genap tahun pelajaran

2016/2017 yang telah menyelesaikan materi Trigonometri. Pengambilan subjek

penelitian dengan melihat hasil tes penalaran matematis siswa hingga

memperoleh subjek penelitian yang diinginkan. Berdasarkan hasil analisis

pengelompokan tingkat kemampuan penalaran matematis siswa yang diberikan

kepada 33 siswa, diperoleh sebanyak 4 siswa termasuk kelompok penalaran

tinggi, 25 siswa termasuk kelompok penalaran sedang dan 3 siswa termasuk

kelompok penalaran rendah.

Selanjutnya dari kelompok penalaran tinggi, penalaran sedang dan

penalaran rendah, dipilih secara purposive masing-masing kelompok sebanyak 2

siswa yang akan dideskripsikan kemampuannya membuat model matematika.

Pemilihan ini berdasarkan pertimbangan guru dengan memperhatikan

kemampuan siswa dalam mengemukakan pendapat atau jalan pikirannya secara

lisan. Subjek yang akan dianalisis sebanyak 6 siswa yang terdiri dari 2 siswa

dengan penalaran tinggi, 2 siswa dengan penalaran sedang dan 2 siswa dengan

penalaran rendah.

Adapun subjek yang terpilih dalam penelitian ini diperlihatkan pada tabel

3.1 berikut:

Tabel 3.1 Subjek Penelitian

No Subjek Subjek Tingkat

1 SNR Tinggi2 NAZ Tinggi3 JMR Sedang4 AMR Sedang

47

5 MFR Rendah6 NRM Rendah

Untuk lebih jelasnya, Secara sistematik langkah-langkah pemilihan

subjek penelitian dapat dilihat pada gambar 3.1. sebagai berikut:

Keterangan:

KT: Kelompok Tinggi

Pemilihan 2 orang subjek pada masing-masing tingkat kemampuan penalaran

matematis

KT KS KR

Pengelompokkan

Memeriksa hasil tes

Memberikan tes kemampuan

48

KS: Kelompok SedangKR: Kelompok Rendah

C. Fokus Penelitian

Fokus penelitian yang ditetapkan berfungsi untuk mengarahkan peneliti

sehingga dapat mencurahkan perhatian secara jelas terhadap apa yang

semestinya. Untuk menjawab rumusan masalah penelitian dengan baik, maka

fokus penelitian ini diarahkan untuk mendeskripsikan atau memaparkan

kemampuan siswa membuat model matematika ditinjau dari penalaran

matematis siswa kelas X IPA 7 SMA Negeri 1 Bajeng.

D. Instrumen Penelitian

Instrumen penelitian dimaksudkan sebagai alat mengumpulkan data.

Dalam penelitian kualitatif, peneliti berperan sebagai instrumen utama. Peneliti

sekaligus merupakan perencana, pelaksana pengumpulan data, analis, penafsir

data dan pada akhirnya menjadi pelapor hasil penelitiannya. Peneliti sebagai

instrumen utama juga dibantu dengan instrumen pendukung, yaitu:

1. Tes Penalaran Matematis

Tes penalaran matematis dalam penelitian ini digunakan dalam

memilih subjek penelitian untuk setiap tingkat kemampuan penalaran

matematis tinggi, kemampuan penalaran matematis sedang dan kemampuan

penalaran matematis rendah. Tes ini berupa tes tertulis yang berisikan soal-

soal cerita berbentuk essai/uraian dengan menggunakan soal yang

terstandarisasi. Sebelum digunakan kepada subjek penelitian, terlebih

dahulu dilakukan uji validitas konstruk dan isi sehingga soal mampu

49

mengukur penalaran matematis siswa. Tingkat kemampuan penalaran

matematis dalam penelitian ini adalah pengelompokan tingkat kemampuan

penalaran matematis siswa didasarkan pada hasil perolehan tes kemampuan

penalaran matematis yang dikonversikan pada kategori tinggi, sedang dan

rendah. Pengkategorian siswa dengan masing-masing tingkat penalaran

menurut Suherman dan Sukjaya (Afif, 2016) adalah sebagai berikut:

a. Kelompok Penalaran matematis tinggi:nilai≥ x+1S

b. Kelompok Penalaran matematis sedang: x−1 S<nilai<x+1 S

c. Kelompok Penalaran matematis rendah: nilai≤ x−1 S

keterangan:

x : rata-rata hasil tes kemampuan penalaran matematis

S : simpangan baku hasil tes kemampuan penalaran matematis

Setelah pengelompokan berdasarkan tingkat kemampuan penalaran

matematis, selanjutnya siswa diberikan tes kemampuan membuat model

matematika.

2. Tes Kemampuan Membuat Model Matematika pada Soal Cerita

Tes kemampuan membuat model matematika pada penelitian ini

menggunakan soal cerita pada materi Trigonometri. Peneliti menggunakan

bentuk soal tes tipe subjektif yaitu essay (uraian). Tes diberikan kepada

enam subjek penelitian yang telah ditentukan sebelumnya berdasarkan

tingkat kemampuan penalaran matematisnya yaitu tinggi, sedang dan

rendah.

3. Pedoman Wawancara

50

Penggalian data melalui wawancara dilakukan dengan wawancara semi

terstruktur. Wawancara semi terstruktur adalah wawancara bebas dimana

peneliti tidak menggunakan pedoman wawancara yang telah tersusun

sistematis dan lengkap untuk pengumpulan datanya. Pedoman wawancara

yang digunakan hanya berupa garis-garis besar permasalahan yang akan

ditanyakan. Dengan kata lain, pada wawancara semi terstruktur, pertanyaan

tidak disusun terlebih dahulu tetapi disesuaikan dengan keadaan dan ciri

dari subjek. Pertanyaan-pertanyaan dalam wawancara nantinya berkaitan

dengan jawaban subjek terhadap tes soal cerita matematika pada materi

Trigonometri.

Langkah-langkah mengembangkan pedoman wawancara adalah sebagai

berikut.

a) Merancang pedoman wawancara untuk mendeskripsikan kemampuan

siswa dalam membuat model matematika pada soal cerita matematika.

Pertanyaan-pertanyaan dalam instrumen dikembangkan pada

pertanyaan yang meminta subjek untuk mengkonfirmasi jawaban

subjek dalam model matematika pada soal cerita dengan tujuan

mengungkap lebih mendalam informasi mengenai kemampuan siswa

dalam membuat model matematika pada soal cerita. Metode wawancara

yang dilakukan adalah wawancara semi terstruktur dengan ketentuan.

1. Pertanyaan wawancara yang diajukan disesuaikan dengan kondisi

jawaban terhadap soal yang diberikan kepada subjek (tulisan

maupun penjelasannya).

51

2. Pertanyaan yang diajukan tidak harus sama dengan yang tertulis

pada pedoman wawancara tetapi memuat inti permasalahan yang

sama.

3. Apabila siswa mengalami kesulitan dengan pertanyaan tertentu,

mereka akan didorong dengan pertanyaan dengan kalimat lebih

sederhana tanpa menghilangkan inti permasalahan.

b) Melakukan validasi isi dan konstruk kepada validator yang dipandang

ahli atau berpengalaman dalam mengembangkan instrumen penelitian.

c) Mendiskusikan hasil validasi ahli.

d) Diperoleh pedoman wawancara yang layak untuk digunakan.

4. Catatan Lapangan

Catatan lapangan adalah catatan tertulis yang berisi tentang apa yang

didengar, dilihat, dialami dan dipikirkan dalam rangka pengumpulan data

dan refleksi terhadap data dalam penelitian kualitatif. Catatan lapangan

berisi dua bagian yaitu deskriptif dan reflektif. Deskriptif berisi gambaran

tentang latar pengamatan, orang, tindakan dan pembicaraan. Reflektif berisi

tentang kerangka berpikir dan pendapat peneliti serta gagasan peneliti.

E. Prosedur Pelaksanaan Penelitian

Prosedur yang ditempuh dalam penelitian dibagi menjadi dua tahap,

yaitu:

1. Tahap Persiapan

a. Orientasi lapangan (tempat penelitian)

52

b. Merancang instrumen penelitian

c. Validasi instrumen oleh ahli

2. Tahap Pelaksanaan

Langkah-langkah pelaksanaan penelitian, yaitu:

a. Memberikan tes penalaran matematis kepada siswa kelas X IPA 7 yang

kemudian, sesuai dengan hasil tesnya, akan dikategorikan ke dalam tiga

tingkatan penalaran matematis, yaitu penalaran matematis tinggi,

penalaran matematis sedang, dan penalaran matematis rendah.

b. Memberikan tes soal membuat model matematika materi Trigonometri

kepada seluruh subjek penelitian.

c. Melakukan wawancara dengan subjek penelitian untuk mengklarifikasi

jawaban yang telah diberikan sehingga dapat memberikan informasi

lebih lanjut tentang kemampuan siswa dalam membuat model

matematika pada soal cerita materi Trigonometri.

d. Melakukan pengumpulan data dari hasil tes membuat model

matematika pada soal cerita materi Trigonometri dan hasil wawancara

dengan subjek penelitian, kemudian dilanjutkan dengan menganalisis

data yang diperoleh.

e. Menyusun laporan penelitian.

F. Teknik Pengumpulan Data

53

Tujuan utama dalam penelitian adalah mendapatkan data, untuk itu

diperlukan teknik pengumpulan data. Teknik pengumpulan data yang digunakan

dalam penelitian ini adalah tes dan wawancara.

1. Tes

Dalam penelitian ini dilakukan tes penalaran matematis dan tes

kemampuan membuat model matematika pada soal cerita. Tes penalaran

matematis untuk keperluan pengkategorian subjek penelitian dalam masing-

masing kategori penalaran matematis dan tes kemampuan membuat model

pada soal cerita untuk mengetahui sejauh mana kemampuan subjek

penelitian membuat model matematika pada soal cerita.

2. Wawancara

Wawancara dilakukan kepada subjek penelitian setelah pengerjaan tes

kemampuan membuat model matematika oleh subjek penelitian. Seperti

yang telah diungkapkan sebelumnya bahwa wawancara yang akan dilakukan

pada penelitian ini adalah jenis wawancara semi terstruktur. Wawancara

dilakukan setelah data hasil tes soal kemampuan membuat model

matematika pada soal cerita diperoleh. Tujuannya adalah untuk

mengklarifikasi jawaban yang telah diberikan oleh subjek penelitian

sehingga dapat memberikan informasi lebih lanjut tentang kemampuan

membuat model matematika pada soal cerita.

Skema teknik pengumpulan data dapat dilihat dibawah ini:

Identifikasi siswa telah mempelajari materi Trigonometri

Tes Kemampuan Penalaran matematis

Kemampuan penalaran matematika tinggi

Kemampuan penalaran matematika tinggi

Kemampuan penalaran matematika tinggi

WawancaraTes soal membuat model

matematika pada soal cerita

Triangulasi teknik

Temuan penting Apakah data valid? data konsisten

54

Gambar 3.2

55

G. Hasil Validasi Instrumen Penelitian

Dalam penelitian ini, peneliti sebagai instrumen utama didukung oleh

beberapa instrumen pendukung diantaranya tes penalaran matematis, tes

kemampuan membuat model, pedoman wawancara dan catatan lapangan.

1. Hasil Validasi Tes Kemampuan Penalaran

Instrumen pertama dalam penelitian ini adalah tes tertulis yang bertujuan

untuk mengukur tingkat kemampuan penalaran siswa. Tingkat kemampuan

penalaran matematis siswa terbagi dalam 3 kelompok yaitu tinggi, sedang dan

rendah. Tes penalaran matematis yang digunakan merupakan instrumen yang

baku dan valid yang relevan dengan tujuan. Tes tersebut kemudian dilakukan

validasi isi dan konstruk oleh dua orang pakar di bidang pendidikan

matematika dari Jurusan Matematika FMIPA Universitas Negeri Makassar

agar tujuan dari pemberian tes ini dapat tercapai. Data yang diperoleh

56

digunakan untuk mengelompokkan subjek berdasarkan tingkat penalarannya.

Adapun hasil review validator menyatakan bahwa soal yang termuat di dalam

tes kemampuan penalaran matematis perlu beberapa perbaikan. Validator

pertama mengarahkan untuk memperjelas tiap butir soal agar sesuai dengan

aspek yang akan diukur kemudian mengarahkan untuk menuliskan petunjuk

pada tes sesuai dengan aspek yang akan diukur. Validator kedua

menyarankan perbaikan pada penggunaan kata dan bahasa. Setelah di revisi,

validator menyatakan bahwa tes penalaran matematis layak digunakan pada

penelitian ini.

2. Hasil Validasi Tes Kemampuan Membuat Model Matematika

Tes kemampuan membuat model matematika digunakan untuk

mengumpulkan data kemampuan membuat model matematika dalam

menyelesaikan permasalahan trigonometri. Tes ini merupakan tes berbasis

pemecahan masalah yang dikemas dalam bentuk soal cerita. Untuk

mengumpulkan data tersebut, maka disusunlah soal yang relevan dengan

tujuan. Kemudian dilakukan validitas isi dan konstruk oleh validator terhadap

soal tersebut agar tes tersebut benar-benar valid. Adapun hasil validasi

sebagai berikut: validator pertama mengungkapkan bahwa tes kemampuan

membuat model matematika sudah baik dan relevan untuk digunakan serta

telah memenuhi indikator atau aspek yang diukur, validator kedua

menyarankan beberapa revisi seperti penggunaan kata dan bahasa. hasil

57

review validator menyatakan bahwa tes kemampuan membuat model

matematika layak digunakan dalam penelitian ini.

3. Hasil Validasi Pedoman Wawancara

Pedoman wawancara berisi garis-garis besar pertanyaan yang akan

diajukan saat wawancara. Pertanyaan-pertanyaan khusus/spesifik akan

berkembang berdasarkan temuan-temuan pada jawaban tes kemampuan

membuat model matematika masing-masing subjek penelitian. Butir-butir

pertanyaan yang diajukan tidak harus sama untuk setiap subjek penelitian,

tergantung dari jawaban yang diberikan subjek penelitian pada setiap

pertanyaan. Selanjutnya dilakukan validasi dan adapun hasil validasi oleh dua

orang validator bahwa validator pertama menyarankan pertanyaan-pertanyaan

yang mengarahkan siswa mengungkap kemampuan membuat model

matematika sementara validator kedua mengarahkan untuk menambahkan

identitas subjek yang akan diwawancarai. Beberapa revisi juga dilakukan

tentang penggunaan kata dan bahasa. Setelah revisi maka pedoman

wawancara dinyatakan layak untuk digunakan.

H. Pemeriksaan Keabsahan Data

Untuk memeriksa keabsahan data dalam penelitian ini, maka digunakan

teknik triangulasi. Triangulasi adalah pengecekan data dari berbagai sumber

dengan berbagai cara dan waktu. Terdapat tiga macam triangulasi, yaitu

triangulasi sumber, triangulasi teknik pengumpulan data, dan triangulasi waktu

58

Dalam penelitian ini, triangulasi yang digunakan adalah triangulasi

teknik pengumpulan data. Triangulasi teknik pengumpulan data yang berbeda

yaitu tes kemampuan membuat model matematika pada soal cerita dan

wawancara. Dari data hasil tes membuat model matematika pada soal cerita

nantinya akan dicocokkan dengan data yang diperoleh dari hasil wawancara.

Kemudian ditarik kesimpulan dari data hasil tes kemampuan membuat model

matematika dan data hasil wawancara.

I. Teknik Analisis Data

Analisis data kualitatif pada penelitian ini dilakukan dengan 3 langkah,

yaitu reduksi data, penyajian data, dan penarikan kesimpulan yang dilanjutkan

dengan verifikasi.

1. Reduksi Data

Reduksi data yaitu kegiatan/aktivitas merangkum, memilih hal-hal yang

pokok, memfokuskan pada hal-hal yang penting, dicari tema dan polanya

dan membuang yang tidak perlu. Dengan demikian data yang telah

direduksi akan memberikan gambaran yang jelas dan mempermudah

peneliti untuk melakukan pengumpulan data selanjutnya. Dalam mereduksi

data, setiap peneliti akan dipandu oleh tujuan yang akan dicapaianya, dalam

59

penelitian ini tujuannya adalah mengetahui kemampuan siswa membuat

model matematika ditinjau dari tingkat kemampuan penalaran

matematisnya. Apabila terdapat data yang tidak valid, maka data itu

dikumpulkan tersendiri dan mungkin dapat digunakan sebagai verifikasi

ataupun hasil-hasil samping lainnya.

2. Penyajian Data

Dalam penelitian kualitatif, penyajian data dilakukan dalam bentuk

uraian singkat, bagan, hubungan antar kategori, flowchart dan sejenisnya.

Yang paling sering digunakan untuk menyajikan data kualitatif adalah

dengan bentuk teks yang bersifat naratif. Penyajian data dalam penelitian ini

menuliskan kumpulan data-data yang telah ditemukan dalam hasil tes dan

wawancara siswa ke dalam bentuk naratif atau dapat juga berupa grafik dan

bentuk lainnya. Penyajian data yang terorganisir ini akan memudahkan

dalam menarik kesimpulan.

3. Penarikan Kesimpulan

Menarik kesimpulan penelitian dari data yang sudah dikumpulkan dan

memverifikasi kesimpulan tersebut. Kesimpulan dalam penelitian kualitatif

adalah adanya temuan baru yang belum pernah ada sebelumnya yang

diperoleh dari hasil tes dan wawancara siswa dan deskripsi kemampuan

siswa membuat model matematika pada soal cerita. Temuan dapat berupa

deskripsi atau gambaran tentang objek yang sebelumnya masih remang-

remang atau gelap setelah diteliti menjadi jelas.

60

BAB IV

HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN

Pada bab ini dikemukakan data hasil penelitian dan pembahasan tentang

kemampuan siswa membuat model matematika pada soal cerita matematika ditinjau

dari kemampuan penalaran matematis siswa kelas X SMA Negeri 1 Bajeng tahun

ajaran 2016/2017. Siswa yang dimaksud pada penelitian ini adalah siswa kelas X

IPA 7 SMA Negeri 1 Bajeng pada materi trigonometri. Pengumpulan data dalam

penelitian ini melalui tes dan wawancara. Subjek penelitian ditentukan berdasarkan

hasil tes penalaran matematis siswa. Selanjutnya peneliti menganalisis skor hasil tes

penalaran siswa yang sesuai dengan teknik pedoman penskoran kemampuan

penalaran matematis dan mengelompokkan ke dalam kategori kelompok penalaran

61

tinggi, sedang dan rendah. Kemudian, peneliti memberikan tes kemampuan membuat

model matematika kepada siswa dimana tes ini merupakan tes berbasis pemecahan

masalah yang dikemas dalam bentuk soal cerita matematika. Tes ini dilakukan

dengan tujuan untuk melihat bagaimana kemampuan siswa membuat model

matematika pada materi trigonometri.

Data penelitian ini dianalisis melalui petikan jawaban subjek yang diberi kode

dengan mengacu pada kode petikan jawaban subjek dalam petikan wawancara. Kode

petikan jawaban subjek terdiri atas enam huruf diawali dengan huruf “KT”, “KS”,

dan “KR” yang menyatakan kemampuan tinggi (KT), kemampuan sedang (KS) dan

kemampuan rendah (KR), kemudian diikuti oleh empat digit angka. Digit ketiga

menyatakan urutan subjek, digit keempat menyatakan urutan soal dan dua digit

terakhir menyatakan urutan petikan pertanyaan/jawaban pada setiap tugas. Misalnya,

petikan jawaban “KS12-21” berarti petikan pertanyaan/jawaban ke-21 untuk subjek

ke-1 pada tugas/soal 2.

A. Paparan Data dan Analisis Data

Pada bagian ini akan dilakukan paparan data dan analisis data hasil

penelitian tentang kemampuan siswa membuat model matematika pada soal

cerita materi Trigonometri ditinjau dari kemampuan penalaran matematis siswa.

1. Paparan Data Kemampuan Membuat Model Matematika Siswa

Kemampuan Penalaran Tinggi

a. Subjek Pertama (KT1)

1) Pada tes kemampuan membuat model matematika soal pertama

62

Soal 1

Dari sebuah titik dipermukaan tanah, puncak dari sebuah menara

terlihat dengan sudut elevasi 60⁰. Jarak horizontal dari titik itu ke

menara adalah 8 meter. Formulasikanlah bentuk matematis atau

model matematika yang menyatakan tinggi menara dan tentukan

penyelesaiannya untuk mengetahui tinggi menara.

a) Hasil Pengerjaan

Gambar 4.1 Jawaban KT1 soal pertama

Berdasarkan hasil tes tertulis kemampuan membuat model

matematika untuk subjek pertama kelompok tinggi tersebut diatas

diperoleh bahwa:

1. Subjek tinggi mampu memahami masalah pada konteks soal

cerita yang diberikan dengan cara menuliskan hal-hal yang

diketahui dan hal yang ditanyakan. Subjek tinggi pertama

terlihat menuliskan hal-hal yang diketahui dan yang ditanyakan

dengan benar. Dengan demikian, subjek tinggi dikatakan telah

mampu mengidentifikasi masalah.

63

2. Tampak bahwa, subjek tinggi dalam menentukan model

matematika pada masalah tersebut mampu menggunakan sebuah

variabel apa yang dicari dengan tepat. Subjek tinggi

memberikan variabel x sebagai tinggi menara yang nampak

pada gambar subjek. Dengan demikian, subjek tinggi pertama

dikatakan mampu melakukan tahap kedua proses pembentukan

model matematika yaitu menggunakan variabel.

3. Subjek juga mampu mensketsa gambar dengan benar sesuai

konteks cerita. Subjek tinggi melengkapi gambar dengan semua

informasi hal diketahui dan ditanyakan sebelumnya. Oleh

karena itu, dapat dikatakan bahwa subjek telah mampu

mengkontruksi gambar pada konteks soal cerita.

4. Selanjutnya, subjek KT1 mampu menyatakan model matematika

untuk soal pertama. Dapat dilihat bahwa subjek mengkotakkan

model matematika yang ia peroleh. Kemudian, setelah

menemukan modelnya, subjek KT1 juga mampu menyelesaikan

modelnya untuk mencari tinggi menara sesuai yang diinginkan

pada masalah. Jadi subjek KT1 mampu membuat model

64

matematika dengan benar dan juga mampu menyelesaikan

modelnya dengan solusi yang benar.

b) Hasil Wawancara

Kemudian, untuk mengklarifikasi kemampuan subjek

membuat model matematika tersebut diatas, maka dilakukan

wawancara dengan berbagai pertanyaan yang kemudian direduksi

menjadi petikan wawancara sebagaimana terlampir.

Berikut paparan data hasil wawancara subjek KT1 untuk soal

pertama:

Tabel 4.1 Petikan wawancara KT1 pada soal pertama

Kode P/J Wawancara

P11-01 P Nomor satu dulu dek, apa yang adik pahami pada soal?

KT11-01 J Yang ditanyakan itu tinggi menara dan bentuk matematisnya dan yang diketahui itu sudut elevasi dari tanah itu ke puncak menara adalah 60⁰. Terus, jarak dari tanah ee dari titik ke dasar menara adalah 8 meter.

P11-02 P Mengertijaki maksudnya itu apa yang dicari?

KT11-02 J Iye kak

P11-03 P Apa maksudnya?

65

KT11-03 J Intinya kak tingginya menara dalam bentuk model matematikanya dan penyelesaian modelnya itu

P11-04 P Apa yang dimaksud model matematika?

KT11-04 J Menurutku persamaannya, intinya untuk menentukan itu tingginya

P11-05 P Jadi informasi yang ada di soal itu, menurut adik cukupmi ini untuk dapatkan penyelesaiannya?

KT11-05 J Sangat cukup kak.

P11-06 P Berarti bisajaki buatki model matematikanya?

KT11-06 J iye kak. Yang inimi modelnya kak (menunjuk

jawaban)

P11-07 P Cobaki jelaskan bagaimana carata dapatkan modelnya?

KT11-07 J Karena yang diketahui disini sudut elevasi 60⁰, jaraknya dari sudut tersebut ke menara itu 8 meter dan yang ditanyakan itu adalah x (sambil menjelaskan gambar) jadi bisa digambarkan yang diketahui itu depan sama samping. Depan sama samping itu bisa dinyatakan dalam tan.

Berarti tan600= x8 . Dimana x adalah tinggi

menara dan 8 adalah jarak dari sudut tersebut ke dasar menara.

P11-09 P Apa tujuannya disini dek kita kasi x?

KT11-09 J Sebagai simbolis

P11-10 P Jadi berdasarkan ini model matematika bisamaki dapatkan tingginya menara?

KT11-10 J Iye kak. dari tan600= x8 . tan 60⁰ itu √3= x

8 terus

dikali silangki kak jadi di dapatmi x nya itu 8√3 .

66

P11-11 P Ini kan kulihat kita gambarki,

jadi ini kita dapat tan 60 derajat = x/8 berdasarkan gambarnya atau langsungmi kita tahu dari hanya membaca soal?

KT11-11 J Mmm kalau menurutku kak kalau mengertimaki disini pasti bisamaki gambarki disini kak. Jadi kugambarki kak supaya mudah.

Berdasarkan hasil wawancara subjek KT1, diperoleh bahwa:

1. Sesuai dengan jawabannya pada paparan data hasil tes, setelah

dilakukan wawancara subjek memang mengetahui maksud dari

soal cerita sehingga mampu menjawab permasalahan dengan

benar. Subjek menjelaskan dengan baik apa yang ia ketahui

pada soal dan menjelaskan apa yang harus dicari pada soal.

Subjek KT1 memahami apa yang harus dicari pada masalah dan

mampu membuat model matematikanya, (KT11-01).

67

2. Selanjutnya pada kutipan wawancara (KT11-07 dan KT11-09)

subjek memang mampu menyatakan sebuah variabel apa yang

dicari, dengan tujuan penggunaan variabel adalah sebagai

simbolis dalam menjawab masalah.

3. Subjek juga memberikan gambar untuk menjawab

permasalahan, dengan mengkontruksi gambar subjek lebih

mudah dalam penentuan model matematika karena dengan

gambar ia mampu menggambarkan sisi samping dan sisi depan

sesuai dengan informasi pada soal, (KT11-11).

4. Kemudian, pada kutipan wawancara (KT11-08) Subjek mampu

menunjukkan model matematika yang ia peroleh dengan benar.

Subjek memperoleh model matematika dengan menghubungkan

gambar dengan hal yang diketahui dan hal yang ditanyakan.

Dari hubungan tersebut, subjek lalu menarik kesimpulan untuk

menggunakan konsep perbandingan trigonometri sehingga

subjek KT1 memperoleh model matematikanya. Setelah itu,

berdasarkan model matematika yang ia peroleh, subjek mampu

menjelaskan penyelesaian dari model matematika tersebut untuk

menentukan tinggi menara.

c) Validasi Data

Berdasarkan hasil data yang diperoleh melalui tes tertulis dan

wawancara pada soal pertama, diketahui bahwa siswa memiliki

kecenderungan jawaban yang sama pada kedua teknik metode

68

pengambilan data. Siswa mampu memahami permasalahan dengan

baik yang ditandai dengan mampu mengidentifikasi masalah yaitu

menuliskan hal diketahui dan ditanyakan, menyatakan variabel

dengan benar, mengkonstruksi gambar dengan baik yang sesuai

dengan konteks soal cerita serta menentukan model matematika

dengan benar kemudian menyelesaikannya. Dengan demikian

dapat disimpulkan bahwa data tersebut valid.

d) Analisis Data

Berdasarkan data yang diperoleh melalui tes tertulis dan hasil

wawancara, subjek KT1 mampu membuat model matematika pada

soal nomor 1. Hal ini terbukti dari tahap-tahap membuat model

matematika yang dilakukan subjek secara benar. Subjek mampu

mengidentifikasi masalah dengan baik. Kemudian subjek mampu

menggunakan variabel serta mengkontruksi gambar secara tepat.

Selanjutnya subjek mampu menyatakan model matematika dan

menyelesaikan model matematika dengan perhitungan yang benar.

2) Pada tes kemampuan membuat model matematika soal kedua

Soal 2

Lulu berjalan lurus di jalan yang datar ke arah gedung. Dari lokasi A,

ujung gedung itu terlihat dengan sudut elevasi 30⁰. Kemudian Lulu

berjalan lurus lagi sejauh 20 meter ke lokasi B. Dari lokasi B gedung

terlihat dengan sudut elevasi 60⁰. Jika tinggi Lulu adalah 1,6 meter.

69

Nyatakan tinggi gedung tersebut dengan formulasi model matematika

dan selesaikanlah modelnya!

a) Hasil Pengerjaan

Berdasarkan hasil kerja tes tertulis pada soal kedua

kemampuan membuat model matematika, diperoleh bahwa:

1. Subjek mampu memahami masalah dengan menuliskan

informasi pada soal. Subjek menuliskan hal diketahui dan

ditanyakan dengan tepat kemudian menghubungkannya dengan

Gambar 4.2 Jawaban KT1 Soal kedua

70

gambar. Dengan demikian, dikatakan siswa mampu

mengidentifikasi masalah pada konteks soal cerita.

2. Subjek memberikan variabel x sebagai hal yang dicari dan juga

memberikan variabel a untuk mencari jarak dari lokasi A ke

gedung. Dengan demikian, subjek KT1 mampu menyatakan

sebuah variabel untuk menentukan model matematika soal

kedua.

3. Subjek KT1 juga memahami soal. Tampak bahwa subjek

memahami dengan mensketsa gambar dengan benar dan jelas.

4. Subjek mampu menyatakan model matematika pada masalah

kemudian mampu menyelesaikan model matematikanya dengan

benar.

b) Hasil Wawancara

Berikut paparan data hasil wawancara subjek KT1 untuk soal

kedua:

Tabel 4.2 Petikan wawancara KT1 pada soal kedua

Kode P/J Wawancara

P12-15 P Apa yang dipahami dari soal tersebut?

KT12-15 J Ee katanya Lulu ini dari lokasi A berjalan ke lokasi B sejauh 20 meter, nah dari lokasi A itu sudut pandangnya lulu ke puncak menara itu sudutnya 30⁰ sedangkan di lokasi B pandangannya ke sudut menara itu sebesar 60⁰. Berarti ada dua sudutyang diketahui terus tingginya lulu itu 1,6 meter. Jadi yang diketahui Cuma itu kak.

P12-16 P Jadi apa yang dicari disitu?

71

KT12-16 J Yang dicari itu x dalam bentuk model matematikanya sama dari lokasi A ke lokasi gedung atau jarak dari lokasi A ke gedung.

P12-17 P Jadi harus dicari dulu jaraknya dari lokasi A ke gedung?

KT12-17 J Iye

P12-18 P Kenapa harus dicari?

KT12-18 J Karena supaya bisa didapat tingginya ini haruski dicari sampingnya.

P12-19 P Jadi di soal ini bisamaki buatkan gambarnya?

KT12-019 J Iye

P12-20 P Bisamaki buatkan apa yang didapat dari gambarnya itu bisamaki buatkanki model matematikanya?

KT12-20 J Mm iye

P12-21 P Bagaimana caranya?

KT12-21 J Kalau saya pakai tan karena sudah adami disini diketahui sampingnya dari lokasi A ke lokasi B

P12-22 P Terus apa ini a?

KT12-22 J Jarak dari lokasi A ke gedung.

P12-23 P Kalau x?

KT12-23 J Tinggi gedung dikurangi tinggi lulu

P12-24 P Terus setelah dapat ini?

72

KT12-24 J Setelah itu, di carimi kak, a nya dulu yang dicari

P12-25 P Jadi dapat a nya berapa?

KT12-25 J

A nya itu x akar tiga.

P12-27 P Oh oke. setelah dapat a?

KT12-27 J Ee bukanpi nilainya a kak masih rumusnya a.

P12-28 P Terus?

KT12-28 J Terus sudah itu tan 60 lagi kak untuk dapat x.

P12-29 P Terus?

KT12-29 J Tan 60 kan sama dengan depan per sampingnya to kak. Jadi tan 60 sama dengan x/a-20. A kan dari lokasi ini kesini, tapi ini kan dari siniji ke sini to kak jadi a-20. (menjelaskan gambar). Terus kak di dapatmi x sama dengan akar tiga dikali a-20. x sama dengan akar tiga dikali x akar tiga-20. Ku kali masukmi kak, jadi 3x – 20 akar tiga. Terus ku kerja dan didapatmi x kak itu 10 akar tiga.

Terus kak didapatmi x. Baru kan tingginya menara yang dicari sedangkan x itu cuma tinggi dari kepalanya lulu jadi karena sudahmi diketahui tingginya lulu itu 1,6

73

meter makanya tinggi gedung itu = x ditambah tinggi lulu.

P12-30 P Jadi kan di dapatmi tinggi menara, jadi yang mana disini model matematikanya?

KT12-30 J Menurutku ini kak yang saya kasi kotak kak.

P12-31 P Oh iye. Jadi strategi apa yang terpikirkan dek atau kita gunakan untuk cari modelnya dan penyelesaiannya?

KT12-31 J Itumi kak saya gambarki dulu supaya mudah baru ku misalkanmi kak sampai dapatmi kak itu modelnya.

Berdasarkan hasil wawancara subjek KT1 soal kedua,

diperoleh bahwa:

1. Subjek memang mampu menjelaskan hal-hal diketahui dan

ditanyakan pada soal cerita dengan lengkap. Dengan demikian

subjek dikatakan mampu mengidentifikasi masalah, (KT12-15

dan KT12-16).

2. Subjek memang mampu menyatakan variabel yaitu memberikan

variabel x sebagai tinggi menara dan juga memberikan variabel

a untuk mencari jarak dari lokasi A ke gedung. (KT12-22 dan

KT12-23).

74

3. Subjek KT1 mampu memahami masalah dengan mensketsa

gambar dengan baik untuk mempermudah memperoleh

penyelesaian masalah, (KT12-19 dan KT12-31).

4. Subjek mampu menunjukkan dan menjelaskan model

matematika pada masalah kemudian mampu menjelaskan

penyelesaian model matematikanya dengan benar (KT12-30).

c) Validasi Data

Berdasarkan hasil data yang diperoleh melalui tes tertulis dan

wawancara pada soal kedua, diketahui bahwa subjek KT1 memiliki

kecenderungan jawaban yang sama pada kedua metode

pengambilan data. Siswa mampu mengidentifikasi masalah dengan

baik, menyatakan variabel, mengkontruksi gambar dengan benar

serta mampu membuat model matematika dengan tepat dan

menyelesaikan model matematikanya. Dengan demikian dapat

disimpulkan bahwa data tersebut valid.

d) Analisis data

Berdasarkan data yang diperoleh melalui tes tertulis dan hasil

wawancara, subjek KT1 mampu memecahkan permasalahan pada

soal nomor 2. Hal ini terbukti dari tahap-tahap membuat model

matematika yang dilakukan secara benar. Siswa mampu

mengidentifikasi masalah dengan baik. Kemudian subjek mampu

menggunakan variabel apa yang dicari serta mampu mengkontruksi

gambar yang sesuai konteks cerita secara tepat. selanjutnya subjek

75

mampu menyatakan model matematikanya dengan benar dan juga

mampu menyelesaikannya.

b. Subjek Kedua (KT2)

1) Pada tes kemampuan membuat model matematika soal pertama

Soal 1

Dari sebuah titik dipermukaan tanah, puncak dari sebuah menara

terlihat dengan sudut elevasi 60⁰. Jarak horizontal dari titik itu ke

menara adalah 8 meter. Formulasikanlah bentuk matematis atau

model matematika yang menyatakan tinggi menara dan tentukan

penyelesaiannya untuk mengetahui tinggi menara.

76

a) Hasil Pengerjaan

Berdasarkan hasil tes kemampuan membuat model

matematika soal pertama untuk subjek kedua kelompok tinggi

diperoleh bahwa:

1. Subjek mampu memahami masalah dengan menentukan hal-hal

yang diketahui dengan tepat. Subjek juga mampu menentukan

hal yang ditanyakan pada masalah yang diberikan. Dengan

Gambar 4.3 Jawaban KT2 Soal Pertama

77

demikian, subjek dikatakan telah mampu mengidentifikasi

masalah.

2. Subjek mampu menggunakan variabel apa yang ditanyakan atau

yang dicari pada konteks soal cerita/masalah yang diberikan.

Subjek memberikan notasi ataupun variabel yang ditunjukkan

pada gambar untuk digunakan pada proses memperoleh model

matematika.

3. Subjek mampu memberikan gambar atau mensketsa gambar

yang sesuai pada konteks cerita/masalah untuk memudahkan

subjek mengenali masalah dan penyelesaian.

4. Subjek menghubungkan hal-hal yang diketahui, ditanyakan,

menggunakan variabel hingga mengkontruksi gambar sehingga

subjek mampu melakukan proses penyelesaian model

matematika. Dalam hal ini subjek mampu menyatakan masalah

dalam bentuk model matematika dengan benar, mampu

menyelesaikan model matematika dan melakukan perhitungan

dengan benar. Dengan demikian, subjek dikatakan telah mampu

membuat model matematika pada masalah pertama yang

diberikan.

78

b) Hasil Wawancara

Tabel 4.3 Petikan wawancara KT2 pada soal pertama

Kode P/J Wawancara

P21-01 P Okey, nomor satu dulu dek, apa yang dipahami dari soal?

KT21-01 J Em yang dipahami itu kak yang pertama itu yang diketahui puncak sebuah menara yang disimbolkan dengan T itu 60⁰. Terus jarak dari titik ke menara adalah 8 meter.itu kak.

P21-02 P Terus apa yang ditanyakan?

KT21-02 J Yang ditanyakan itu tinggi menara dan dinyatakan dalam bentuk model matematika

P21-03 P Jadi bagaimana carata dapatkan itu model matematikanya?

KT21-03 J Caranya itu kak kan yang pertama itu kak formulasikan bentuk matematis atau model matematikanya untuk menyatakan tinggi menara. Jadi yang pertama kak ditentukanki anunya kak model matematikanya dulu untuk mencari tinggi menara. Terus karena sesuai dengan trigonometri to kak dipakeki sin cos tan, terus saya pilihki kak tan karena kurasa kak itu lebih mudah. Itumi kak jawabannya jadi ku pakeki kak itu tan. Oh iya, sebelumnya itu kak digambarki dulu supaya lebih gampang kak. Terus didapatmi begini gambarnya jadi dicarimi itu kak tan 60 eh tan 60 disini kak karena satuji sudutnya diketahui. Jadi dipakeki kak tan 60, kan rumusnya tan 60 itu kak depan/samping , jadi tan 60 itu kak BC/AB.

P21-05 P Terus?

79

KT21-05 J Ee terus setelah itu kak diubahmi kak, kan diketahui itu kak AB itu jaraknya jarak titi ke menara itu kak 8 meter, jadi digantimi itu kak jaraknya AB menjadi 8. Jadi inimi kak model matematikanya tan 60 derajat = BC (tinggi menara) dibagi 8.

P21-06 P Apa tujuannya kita kasi ini disini A, B dan C? (menunjuk gambar)?

KT21-06 J Supaya lebih mudah lagi kak untuk dipahami. Karena kalau misalnya kak anggaplah kalau dituliski lagi kak disitu titik permukaan tanah, lebih panjangki lagi kak.

P21-07 P Jadi berdasarkan ini model matematikanya bisamaki selesaikanki?

KT21-07 J Iye kak

Berdasarkan hasil wawancara dengan subjek pada soal

pertama, diperoleh bahwa:

1. Subjek mampu menjelaskan dengan tepat hal-hal yang

diketahui pada masalah dan mampu memahami dengan baik

hal yang ditanyakan pada masalah. Subjek mampu memahami

maksud model matematika yang menyatakan tinggi menara

tersebut, (KT21-01 dan KT21-02).

80

2. Subjek mampu menyatakan sebuah variabel untuk

mempermudah prosesnya dalam mencari model matematika,

(KT21-06).

3. Subjek mengkontruksi gambar sebelum merumuskan formulasi

matematis atau model matematika, (KT21-03).

4. Subjek mampu menjelaskan dengan tepat model matematika

yang subjek peroleh pada masalah, (KT21-05).

c) Validasi Data

Berdasarkan hasil data yang diperoleh melalui tes tertulis dan

wawancara pada soal nomor 1, diketahui bahwa siswa memiliki

kecenderungan jawaban yang sama pada kedua metode

pengambilan data. Siswa mampu mengidentifikasi masalah dengan

tepat, menyatakan variabel dan mengkontruksi gambar serta

membuat model matematika dengan benar kemudian mampu

menyelesaikan model matematikanya. Dengan demikian, dapat

disimpulkan bahwa data tersebut valid.

d) Analisis Data

Berdasarkan data yang diperoleh melalui tes tertulis dan hasil

wawancara, subjek KT2 mampu membuat model matematika pada

soal nomor 1. Hal ini terbukti dari tahap-tahap membuat model

yang dilakukan subjek dengan benar. Subjek mampu

mengidentifikasi masalah dengan baik. Kemudian mampu

menggunakan variabel dengan tepat dan mengkontruksi gambar

81

dengan benar. Selanjutnya subjek KT2 mampu menyatakan model

matematikanya dengan benar dan menyelesaikan modelnya.

2) Pada tes kemampuan membuat model matematika soal kedua

Soal 2

Lulu berjalan lurus di jalan yang datar ke arah gedung. Dari lokasi A,

ujung gedung itu terlihat dengan sudut elevasi 30⁰. Kemudian Lulu

berjalan lurus lagi sejauh 20 meter ke lokasi B. Dari lokasi B gedung

terlihat dengan sudut elevasi 60⁰. Jika tinggi Lulu adalah 1,6 meter.

Nyatakan tinggi gedung tersebut dengan formulasi model matematika

dan selesaikanlah modelnya!

a) Hasil Pengerjaan

82

Berdasarkan hasil kerja tes tertulis pada soal kedua

kemampuan membuat model matematika, diperoleh bahwa:

Untuk soal nomor 2, subjek KT2 mampu menunjukkan

dengan benar hal-hal yang diketahui dan hal ditanyakan pada soal.

Dalam hal ini, subjek dikatakan telah mampu mengidentifikasi

masalah pada konteks soal cerita nomor 2.

Gambar 4.4 Jawaban KT2 Soal Kedua

83

Selanjutnya, subjek mampu membuat gambar atau

mengkontruksi gambar yang sesuai pada konteks soal cerita.

Tampak bahwa, subjek menuliskan informasi yang lengkap dari

hasil identifikasi masalah pada gambar sehingga gambar terlihat

lebih jelas dan mudah dipahami. Kemudian, subjek juga mampu

menyatakan sebuah variabel untuk menjawab permasalahan.

Subjek memberikan variabel a, b dan c seperti yang terlihat pada

gambar.

Dari soal pertama, subjek juga mampu membuat model

matematika untuk soal kedua. Tampak bahwa, bagian (a) yang

terlihat pada gambar diatas merupakan jawaban dari model

matematika yang diinginkan. Subjek mampu memformulasikan

model matematika yang ditunjukkan pada persamaan (1) dan (2)

lalu subjek KT2 menyederhanakan lagi model tersebut dengan cara

menyamakan antara persamaan (1) dan (2) sehingga subjek

84

memperoleh model matematika untuk menyatakan tinggi menara.

Dengan demikian, subjek KT2 mampu membuat model matematika

dengan benar. Kemudian, tak hanya mampu membuat model

matematika, subjek KT2 juga mampu menyelesaikan model

matematika yang ia peroleh, seperti berikut:

dan ia memberikan proses penyelesaian dengan tepat dan jelas

sehingga memperoleh solusi dengan benar untuk tinggi menara.

b) Hasil Wawancara

Berikut paparan data hasil wawancara subjek KT2 untuk soal

kedua:

Tabel 4.4 Petikan Wawancara KT2 Soal Kedua

Kode P/J Wawancara

P22-16 P Oiye, okey dek, kita lanjut ke soal nomor 2. Apa yang dipahami dari soal nomor 2?

KT22-16 J Yang dipahami itu kak dari lokasi A atau dianggapmi kak itu titik A gedung terlihat sudut elevasi 30⁰. Lulu berjalan lurus lagi ke lokasi B sejauh 20 m. Terus dari lokasi B gedung terlihat dengan sudut elevasi 60⁰. Terus diketahui tinggi lulu itu 1,6 meter.

85

P22-17 P Apa yang dicari?

KT22-17 J Yang ditanyakan tinggi gedung dengan formulasi model matematika

P22-18 P Bagaimana carata dapatki model matematikanya?

KT22-18 J Yang pertama itu kak kalau menurutku saya digambarki dulu kak.

P22-20 P Mengertijaki toh apa yang ditanyakan ini?

KT22-20 J Iye

P22-21 P Mengertijaki apa maksudnya ini formulasi model matematikanya?

KT22-21 J Kurangi ia kak karena kalau jawab soal matematika biasanya langsungji ku kerja kak baru tidak diperhatikanji model matematikanya.

P22-22 P jadi bagaimana carata dapatki ini tadi model matematikanya?

KT22-22 J Ee yang pertama itu kak kugambarki dulu supaya lebih mudahki diketahui. Jadi beginimi ini kak gambarnya

Ku gambar orang sebagai lulu, kugambarki titik A baru titik B terus kan ini kak titik A membentuk sudut elevasi 30⁰ dari puncak gedung terus ini titik B 60⁰ terus tinggi lulu itu kak 1,6 meter terus jarak dari titik A ke B itu 20 m.

P22-23 P Oo jadi berdasarkan ini gambar adami strategi penyelesaian yang dipikirkan?

KT22-23 J Adami kak. Dari itu kak gambar didapatmi itu kak model matematikanya kak, karena dua sudut elevasi berarti menggunakanki

86

lagi 2 persamaan. Pertama itu kak sudut 30⁰ karena tadi kak di soal pertama kak tan itu yang kupake lebih mudah jadi kupakeki tan disini. Dan juga karena digambarnya itu kak kan yang ditanyakan itu tinggi gedung dan tinggi gedung itu sisi depan, terus yang diketahui lagi yang lain itu kak sisi samping jadi saya pakai tan karena rumusnya depan/samping.

P22-24 P Terus?

KT22-24 J Terus tan 30 = c, c itu kak diumpamakan sebagai tinggi gedung.

P22-25 P Kenapa diumpamakan c?

KT22-25 J Supaya lebih mudahki kak. Terus dibagi a+b. Kenapa kak a+b karena yang ditanyakan itu kak sudut 30, kalau berdasarkan gambar kak jaraknya itu yang ditanyakan atau sisi sampingnya itu haruski dari titik A ke gedung. Terus disini kak ada dua jaraknya kak karena berjalanki lagi dari titik B. Jadi a+b kak.

P22-26 P Terus?

KT22-26 J Terus saya balikki lagi kak karena tinggi menaranya yang ditanyakan kak. Ee sama dengan tan 30 derajat dikali a+b.

Persamaan satu itu kak. Terus, begituji lagi kak caranya untuk tan 60. Tan 60 itu kak tinggi menaranya itu c dibagi b (samping)

P22-27 P Terus?

KT22-27 J Terus ku subtitusimi itu kak persamaan (1) ke persamaan (2) dimana c=c jadi ku kasi masukmi itu kak nilainya c.

87

P22-28 P Terus?

KT22-28 J Inimi kak model matematikanya kak. Dari persamaan (1) terus persamaan (2) terus dapatmi kak ini

P22-30 P Jadi berdasarkan ini modelnya bisamaki selesaikanki cari tinggi gedung?

KT22-30 J Iye

Berdasarkan hasil wawancara subjek KT2 soal kedua,

diperoleh bahwa:

Subjek menjelaskan dengan baik hal yang diketahui dan yang

ditanyakan berarti subjek untuk soal kedua memang mengetahui

maksud soal cerita. Dalam hal ini, sesuai dengan paparan data hasil

kerja, subjek mampu menjelaskan maksud soal dan teridentifikasi

dengan benar, (KT22-17). Kemudian, untuk memperoleh model

matematika soal kedua, subjek KT2 harus mengubah soal cerita ke

dalam bentuk gambar agar subjek KT2 lebih mudah memahami

dan lebih mudah untuk memperoleh model matematika tersebut,

(KT22-22). Dari gambar yang diperoleh, subjek memberikan

sebuah variabel (KT22-25) agar prosesnya juga lebih mudah.

Variabel tersebut subjek gunakan pada model matematika.

Selanjutnya, berdasarkan kutipan wawancara (KT22-26 dan KT22-

88

28) subjek mampu menjelaskan model matematika soal kedua.

Subjek memang mampu menjelaskan proses memperoleh model

matematika dengan benar dimana ia mampu menghubungkan

konsep matematis yang harus digunakan sehingga bisa memperoleh

model tersebut. Subjek KT2 menghubungkan informasi, gambar

serta variabel untuk memperoleh formulasi model matematikanya.

Kemudian, subjek juga bisa menyelesaikan model dan

menjelaskannya dengan baik dan benar.

c) Validasi Data

Berdasarkan hasil data yang diperoleh melalui tes tertulis dan

wawancara pada soal nomor 2, diketahui bahwa siswa memiliki

kecenderungan jawaban yang sama pada kedua metode

pengumpulan data. Siswa mampu mengidentifikasi masalah,

menyatakan sebuah variabel, mengkontruksi gambar dan membuat

model matematikanya dengan benar sehingga dapat disimpulkan

bahwa data tersebut valid.

d) Analisis Data

Berdasarkan data yang diperoleh melalui tes tertulis dan hasil

wawancara, subjek KT2 mampu membuat model matematika pada

soal nomor 2. Hal ini terbukti dari tahap-tahap membuat model

yang dilakukan subjek dengan benar. Subjek mampu

mengidentifikasi masalah dengan baik. Kemudian mampu

menggunakan variabel dengan tepat dan mengkontruksi gambar

89

dengan benar. Selanjutnya subjek KT2 mampu menyatakan model

matematikanya dengan benar.

2. Paparan Data Kemampuan Membuat Model Matematika Siswa

Kemampuan Penalaran Matematis Sedang

a. Subjek Pertama (KS1)

1) Pada tes kemampuan membuat model matematika soal pertama

Soal 1

Dari sebuah titik dipermukaan tanah, puncak dari sebuah menara

terlihat dengan sudut elevasi 60⁰. Jarak horizontal dari titik itu ke

menara adalah 8 meter. Formulasikanlah bentuk matematis atau

model matematika yang menyatakan tinggi menara dan tentukan

penyelesaiannya untuk mengetahui tinggi menara.

a) Hasil Pengerjaan

Gambar 4.5 Jawaban KS1 Soal Pertama

90

Berdasarkan hasil pekerjaan subjek KS1 soal pertama,

diperoleh bahwa:

1.

Subjek KS1 mampu mengidentifikasi masalah dengan benar.

Semua informasi pada soal teridentifikasi dengan benar.

2. kemudian, subjek juga

mampu mengkontruksi gambar yang sesuai dengan konteks

soal cerita dengan benar. Subjek melengkapi gambar

dengan semua informasi yang ada.

3. Subjek KS1 juga mampu menggunakan sebuah variabel.

Subjek melengkapi gambar dengan memberikan variabel a,

b dan c untuk hal yang ditanyakan. Subjek juga

memberikan keterangan pada titik permukaan tanah yaitu

titik A, B dan puncak menara adalah C.

4. Subjek mampu menunjukkan model matematika untuk

menyatakan tinggi menara namun tidak benar.

91

dapat dilihat

pada persamaan sin 60°= cb . subjek salah dalam

menentukan sisi depan dan sisi samping gambar.

Kemudian, subjek menggunakan lagi cos 60°=ab untuk

mencari nilai a atau tinggi dari menara tersebut. Hal ini

menunjukkan bahwa subjek melakukan proses yang salah.

Namun, subjek kembali menuliskan

untuk mencari tinggi menara.

Lalu menyimpulkan tinggi menaranya adalah 8√3.

. Dari hasil

kerja tersebut, tampak bahwa subjek tidak memberikan arah

penyelesaian yang teratur atau proses penyelesaian yang

terarah.

b) Hasil Wawancara

92

Tabel 4.5 Petikan wawancara KS1 pada soal pertama

Kode P/J Wawancara

P11-02 P Okey, nomor satu dulu dek, apa yang dipahami dari soal?

KS11-02 J Jaraknya 8 meter, sudutnya 60 yang ditanyakan bentuk matematis untuk menyatakan tinggi menara.

P11-03 P Jadi mengertijaki ini maksudnya apa yang mau dicari?

KS11-03 J Anunya kak bentuk matematika untuk mencari tinggi menaranya kak.

P11-04 P Mengertijaki maksudnya bentuk matematika?

KS11-04 J Anunya kak kayak rumusnya begitu

P11-05 P Jadi bagaimana carata dapatkan itu model matematikanya?

KS11-05 J Penyelesaiannya pertama kak kita bentuk menara (menunjuk gambar)

terus sudut elevasinya yaitu 60 terus jarak dari titik ke menara itu 8 meter. Terus kan jarak A ke B itu 8 meter.

P11-06 P Apa ini A sama apa ini C?

KS11-06 J Cuma simbolji kak bilang ini ee apalagi itu.. Nd ku tauki kak. hehe

P11-07 P Terus?

KS11-07 J Terus untuk mencari tinggi menaranya kita menggunakan perbandingan trigonometri. Disini yang diketahui samping dengan miring

P11-08 P Apa tadi yang diketahui?

93

KS11-08 J Samping dengan miringnya, eh sudutnya, sudut a 60 dengan sampingnya yaitu jarak A ke B 8 meter. Kita menggunakan perbandingan trigonometri sin 60 berarti sin 60, sin itu depan per miring

P11-09 P Kenapa pakai sin?

KS11-09 J Karena sudutnya diketahui 60 derajat. Karena sisi miringnya belum diketahui dengan depannya. Jadi sin 60 derajat.

P11-10 P Harus pakai sin?

KS11-10 J Harus karena yang diketahui itu samping, terus sebentar yang ditanyakan itu mau dicari dulu sisi miringnya baru dicarimi sisi depannya atau tinggi menaranya.

P11-11 P Terus?

KS11-11 J Sin 60 = 8/b karena disini sampingnya 8. Terus sin 60 derajat itu ½ akar tiga. Kemudian dapatmi dari sini b nya. Untuk mencari tingginya kak, terus.. eee.. kupakemi lagi cos untuk mencari tingginya menara kak. Cos 60 itu = a/b jadi inimi a

nya kak a nya 2 akar tiga kak tapi ee setelah ku cariki bisa juga kak dipake tan 60 jadi ku ulangi kak, Tan lagi ku pakai kak.

P11-12 P Kenapa pakai Tan lagi?

KS11-12 J (diam)

P11-13 P Terus?

KS11-13 J A nya dua akar tiga tapi bisa juga dicari tan 60 derajat kak.

P11-14 P Jadi yang mana disini yang benar?

KS11-14 J (diam) mm hehe

94

P11-15 P Jadi yang mana dipakai?

KS11-15 J Pertamanya sin ku pakai kak baru cos nya, untuk mencari cosnya a/b. Disini a nya yang mau dicari kak ku dapatmi 2√3

P11-16 P Jadi kita gunakanmi itu sin dan cos?

KS11-16 J Iye kak

P11-17 P Kan cos adalah samping/miring, yang mana samping yang mana miring?

KS11-17 J Ee samping.. samping itu ee yang ini kak yang c terus a itu depan dan b irtu sisimiring

P11-18 P Jadi yang mana model matematisnya?

KS11-18 JMm yang ini kak yang begininya

P11-19 P Jadi penting itu model matematika?

KS11-19 J Penting kak karena untuk mencari sisinya itu kak harus menggunakan perbandingan trigonometri.

P11-20 P Jadi yang mana benar tadi? Pakai sin cos atau tan?

KS11-20 J Mmm benar semuaji kayaknya kak. Hehe tapi ini kak kalau cos 60 a=2√3, tidak samaki dengan jawabannya kalau pakai tan 60 kak. Jadi bingungka

P11-22 P Kenapaki menggunakan gambar disini?

KS11-22 J Untuk memudahkan kak supaya di tahuki yang mana diketahui dan mana yang ditanyakan.

P11-23 P Untuk dapatki model matematikanya bisaki dapat modelnya dari melihat soal atau melalui gambar?

KS11-23 J Melalui gambar kak.

95

Berdasarkan hasil wawancara soal pertama di atas, diperoleh

bahwa: subjek memang mampu memahami masalah yang

dibuktikan dengan mampu menjelaskan hal-hal diketahui dan hal

ditanyakan dengan lengkap (KS11-02) serta mampu

mengkonstruksi gambar yang sesuai dengan konteks soal cerita,

(KS11-05). Kemudian, subjek mampu menggunakan sebuah

variabel untuk menentukan model matematikanya. Subjek

menggunakan variabel yang dituliskan dalam gambar namun tidak

mampu menjelaskan tujuan penggunaan variabel, (KS11-06).

Subjek menerapkan rumus perbandingan trigonometri untuk

menyelesaikan tinggi menara. Subjek mengatakan bahwa ia

memakai rumus perbandingan trigonometri sin, cos dan tan.

Namun, subjek ragu dalam penggunaan ketiga rumus perbandingan

trigonometri tersebut. Dari ketiga rumus yang ia gunakan, subjek

tidak tahu rumus yang tepat untuk digunakan, (KS11-20).

Kemudian, subjek juga salah dalam penentuan sisi samping dan sisi

depan gambar (KS11-17). Subjek mampu menunjukkan model

matematika tetapi model yang ditunjukkan salah (KS11-18), subjek

KS1 tidak konsisten dalam proses penyelesaian masalah.

c) Validasi Data

Berdasarkan hasil data yang diperoleh melalui tes tertulis dan

wawancara pada soal nomor 1, diketahui bahwa siswa memilki

kecenderungan jawaban yang sama pada kedua metode

96

pengambilan data. Siswa mampu memahami permasalahan dengan

baik yaitu dengan mampu mengidentifikasi masalah dan

mengkonstruksi gambar. Kemudian mampu menyatakan sebuah

variabel dan menunjukkan model matematika namun model

matematika yang diberikan tidak tepat. dengan demikian dapat

disimpulkan bahwa data tersebut valid.

d) Analisis Data

Berdasarkan data yang diperoleh melalui tes tertulis dan hasil

wawancara, subjek KS1 tidak mampu membuat model matematika

pada soal nomor 1 dengan benar disebabkan karena belum

memahami konsep perbandingan trigonometri yang digunakan

dengan baik. Namun, pada tahap mengidentifikasi masalah subjek

mampu melakukannya dengan benar. Kemudian mampu

menggunakan variabel serta mengkontruksi gambar dengan benar.

Selanjutnya subjek KS1 mampu menunjukkan model

matematikanya tapi model yang ditunjukkan salah.

2) Pada tes kemampuan membuat model matematika soal kedua

Soal 2

Lulu berjalan lurus di jalan yang datar ke arah gedung. Dari lokasi A,

ujung gedung itu terlihat dengan sudut elevasi 30⁰. Kemudian Lulu

berjalan lurus lagi sejauh 20 meter ke lokasi B. Dari lokasi B gedung

terlihat dengan sudut elevasi 60⁰. Jika tinggi Lulu adalah 1,6 meter.

97

Nyatakan tinggi gedung tersebut dengan formulasi model matematika

dan selesaikanlah modelnya!

a) Hasil Pengerjaan

Gambar 4.6 Jawaban KS1 Soal Kedua

Berdasarkan hasil pekerjaan subjek KS1 soal kedua, terlihat

bahwa:

1. Subjek mengidentifikasi

masalah dengan menuliskan hal-hal diketahui dan

ditanyakan. Namun tidak menuliskan dengan lengkap hal

ditanyakan pada lembar kerja.

98

2. Subjek mampu

mengkontruksi gambar sesuai konteks soal cerita dengan

benar dan menuliskan semua informasi pada soal ke dalam

gambar.

3. Dari gambar, subjek menggunakan sebuah variabel yaitu a,

b, x dan y. Dimana b adalah jarak dari titik A ke B dan a

adalah jarak dari titik B ke gedung, y adalah jarak dari titik

A ke menara serta x melambangkan tinggi gedung yang

akan dicari.

4. Tampak bahwa, subjek tidak mampu menunjukkan model

matematika dari permasalahan. Subjek hanya menuliskan

rumus perbandingan trigonometri segitiga siku-siku yaitu

dan . Dari rumus

tersebut, dapat dilihat bahwa subjek juga salah dalam

menentukan sisi depan dan sisi samping gambar dari soal

nomor 2. Kemudian ia tidak dapat menyelesaikan dengan

benar untuk memperoleh solusinya.

b) Hasil Wawancara

99

Tabel 4.6 Hasil wawacara KS1 Soal kedua

Kode P/J Wawancara

P12-25 P Ke nomor dua lagi.

KS12-25 J Diketahui sudut elevasinya A 30 derajat. Terus sudut elevasi dari B 60 derajat. Kan lulu yang mengamatinya kak, terus tinggi lulu itu 1,6 meter. Terus yang ditanyakan tinggi gedung.

P12-26 P Tinggi gedungnya saja?

KS12-26 J Iye kak

Untuk mencari tinggi gedung kita harus mencari bentuk matematisnya toh kak sama gambarnya juga

P12-29 P Terus?

KS12-29 J Disini kita menggunakan perbandingan trigonometri juga kak. Terus disini kak tan 30 ku pakai depan/samping.depannya juga tidak diketahui, sampingnya juga kak tidak diketahui. Terus menggunakan perbandingan trigonometri berarti tan 30=a/x. Terus tan 30 itu nilainya 1/3√3. Terus a dan x tidak diketahui ini kak. Itumi yang tidak ku mengerti lagi kak.

P12-30 P Terus setelah itu apalagi yang dilakukan

KS12-30 J Ee yang bagian dari titik A ke B. Berarti saya menggunakan juga tan, terus tan=depan/samping jadi y/x dan y itu a+b/x.

P12-31 P Kenapa a ditambah b?

KS12-31 J Ini kak dari gambarku. Terus a+b itu dibagi x terus ee beginimi kak nda ku taumi disini ka. Disinimi yang susah

P12-32 P Jadi yang mana model matematikanya disini?

KS12-32 J (diam)

100

P12-33 P Tidak didapatki model matematikanya?

KS12-33 J Tidak kak. Tidak ku tahuki yang mana.

P12-34 P Apa yang dipikirkan disini di nomor 2, setelah lihatki ini soal bisamaki tahuki strategi penyelesaiannya?

KS12-34 J Belum

P12-35 P Disini saya lihat kita menggunakan variabel

KS12-35 J Iye

P12-36 P Apa tujuannya penggunaan variabel?

KS12-36 J Supaya ditahuki kak depannya itu a sampingnya itu b. Begitu kak.

Berdasarkan hasil wawancara subjek di atas, diperoleh

bahwa: subjek memang mampu mengidentifikasi masalah dengan

menjelaskan hal-hal diketahui dan ditanyakan, (KS12-26).

Kemudian, ia harus mengkontruksi gambar untuk mencari model

matematika dan penyelesaiannya (KS12-23 dan KS12-26). Subjek

juga mampu menggunakan variabel dan menjelaskan tujuan

penggunaan variabel (KS12-36). Subjek mengatakan bahwa ia

tidak mampu memperoleh model matematika dari soal nomor 2

(KS12-33) dan tidak mampu melakukan proses penyelesaian,

(KS12-31).

c) Validasi Data

Berdasarkan data yang diperoleh melalui tes tertulis dan hasil

wawancara pada soal nomor 2, diketahui bahwa siswa memiliki

kecenderungan jawaban yang sama pada kedua metode

101

pengumpulan data. Siswa mengidentifikasi permasalahan dengan

menuliskan hal diketahui dan ditanyakan, subjek mengkontruksi

gambar dan menyatakan variabel serta menggunakan rumus

perbandingan trigonometri namun salah dalam penentuan sisi

depan dan sisi samping. Subjek tidak mampu memperoleh model

matematika dan tidak mampu menyelesaikan permasalahan nomor

2. Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa data tersebut valid.

d) Analisis Data

Berdasarkan data yang diperoleh melalui tes tertulis dan hasil

wawancara, subjek KS1 tidak mampu membuat model matematika

pada soal nomor 2. Hal ini terbukti dari tahap menyatakan model

matematika, subjek tidak mampu menunjukkan dan memperoleh

model matematikanya namun subjek mampu mengidentifikasi

masalah dengan baik. Kemudian mampu menggunakan variabel

dengan tepat dan mengkontruksi gambar dengan benar.

b. Subjek Kedua (KS2)

1) Pada tes kemampuan membuat model matematika soal pertama

Soal 1

Dari sebuah titik dipermukaan tanah, puncak dari sebuah menara

terlihat dengan sudut elevasi 60⁰. Jarak horizontal dari titik itu ke

menara adalah 8 meter. Formulasikanlah bentuk matematis atau

102

model matematika yang menyatakan tinggi menara dan tentukan

penyelesaiannya untuk mengetahui tinggi menara.

a) Hasil Pengerjaan

Gambar 4.7 Jawaban Subjek KS2 Soal Nomor 1

Berdasarkan hasil pekerjaan subjek KS2 pada soal pertama di

atas, terlihat bahwa:

1. Subjek mampu memahami

masalah dengan mampu mengidentifikasi masalah soal cerita

yang ditunjukkan dengan menuliskan hal-hal diketahui dan hal

ditanyakan dengan baik dan benar.

103

2. Subjek juga memahami masalah dengan

menunjukkan gambar dengan tepat. sehingga, ia dikatakan

mampu mengkontruksi gambar dari konteks soal cerita.

3. Subjek mampu menyatakan sebuah variabel yang dituliskan

dalam gambar. Ia menuliskan variabel x dimana x adalah tinggi

menara dan kemudian variabel tersebut dihubungkan untuk

mencari model matematika yang menyatakan tinggi menara.

4. Kemudian, subjek mampu

membuat model matematika dengan benar. Subjek

menghubungkan konsep perbandingan trigonometri untuk

mencari tinggi menara dan model matematika. setelah

memperoleh model matematika, ia mampu menyelesaikan

hingga memperoleh nilai x yaitu tinggi menaranya

.

b) Hasil Wawancara

Tabel 4.7 Hasil wawancara subjek KS2 Soal Pertama

Kode P/J Wawancara

P21-01 P Apa yang dipahami dari soal nomor satu?

KS21-01 J Sudut elevasi dari permukaan tanah ke menara itu 60 derajat dan jarak horizontal

104

ke menara adalah 8 meter.

P21-02 P Apa yang dicari?

KS21-02 J Model matematika dan penyelesaiannya

P21-03 P Mengertijaki maksudnya model matematika?

KS21-03 J Iye kak.

P21-04 Bagaimana carata dapatki model matematikanya?

KS21-04 Kan yang diketahui itu sampingnya dan yang ditanyakan itu depannya jadi saya memakai rumus Tan. Dan tan ini memiliki sudut elevasi 60 derajat jadi depan AB baru samping CA.

P21-05 PJadi ini modelnya ini?

KS21-05 J iye

P21-06 P Apa itu x?

KS21-06 J x itu yang ditanyakan

P21-07 P Apa gunanya ko kasi disini variabel x?

KS21-07 J Karena belum diketahui disini berapa nilainya kak.

P21-08 P Ini juga apa gunanya ko kasi A, B sama C

KS21-08 J Supaya lebih mudah mengetahui yang mana depan dan yang mana samping

P21-09 P Terus ini informasi yang kau dapat di nomor satu, cukupmi untuk menjawab ini masalah?

KS21-09 J Iye kak

P21-010 P Terus?

KS21-010 J Kan CA samping dan AB depan jadi kan AB belum diketahui jadi saya kasi variabel x dan CA=8 m jadi saya memakai rumus

105

matematika. (menjelaskan). Jadi x=8√3

P21-015 P Kalau ko baca ini soal tanpa menggambar bisa jako jawab?

KS21-015 J Susahki kak

P21-016 P Kenapa susah?

KS21-016 J karena tidak ditauki yang mana depan yang mana samping

P21-017 P Oh jadi haruski gambarki?

KS21-017 J Iye

Berdasarkan hasil wawancara subjek KS2 pada soal pertama

di atas, diperoleh bahwa: subjek memang mampu menjelaskan hal-

hal diketahui dan hal ditanyakan dengan jelas dan benar (KS21-01

dan KS21-02). Subjek juga memahami apa yang harus dicari dan

mampu menjelaskan proses penyelesaiannya dengan baik. Untuk

mendapatkan model matematikanya, subjek menggunakan rumus

perbandingan segitiga siku-siku yaitu tan60 °=AB /CA dan subjek

mengatakan bahwa tan60 °=AB /CA adalah model matematika

yang menyatakan tinggi menara, (KS21-04 dan KS21-05). Subjek

juga menyatakan sebuah variabel dan mampu menjelaskan tujuan

penggunaan variabel (KS21-06 dan KS21-07). Kemudian, subjek

juga harus mengkontruksi gambar agar lebih memudahkan dalam

memperoleh penyelesaian (KS21-016) dan subjek mampu

menjelaskan proses penyelesaian dari model matematika yang ia

peroleh.

106

c) Validasi Data

Berdasarkan hasil data yang diperoleh melalui tes tertulis dan

wawancara pada soal nomor 1, diketahui bahwa siswa memilki

kecenderungan jawaban yang sama pada kedua metode

pengambilan data. Subjek mampu mengidentifikasi masalah,

mengkontruksi gambar, menyatakan sebuah variabel dan membuat

model matematika dengan benar. Dengan demikian dapat

disimpulkan bahwa data tersebut valid.

d) Analisis Data

Berdasarkan data yang diperoleh melalui tes tertulis dan hasil

wawancara, subjek KS2 mampu membuat model matematika pada

soal nomor 1. Hal ini terbukti dari tahap-tahap membuat model

yang dilakukan subjek dengan benar. Subjek mampu

mengidentifikasi masalah dengan baik. Kemudian mampu

menggunakan variabel dengan tepat dan mengkontruksi gambar

dengan benar. Selanjutnya subjek KS2 mampu menyatakan model

matematikanya dengan benar dan menyelesaikan modelnya.

2) Pada tes kemampuan membuat model matematika soal kedua

Soal 2

Lulu berjalan lurus di jalan yang datar ke arah gedung. Dari lokasi A,

ujung gedung itu terlihat dengan sudut elevasi 30⁰. Kemudian Lulu

berjalan lurus lagi sejauh 20 meter ke lokasi B. Dari lokasi B gedung

terlihat dengan sudut elevasi 60⁰. Jika tinggi Lulu adalah 1,6 meter.

107

Nyatakan tinggi gedung tersebut dengan formulasi model matematika

dan selesaikanlah modelnya!

a) Hasil Pengerjaan

Gambar 4.8 Jawaban Subjek KS2 Soal Kedua

Berdasarkan hasil pekerjaan subjek KS2 pada soal kedua di

atas, terlihat bahwa:

1. Subjek mampu

mengidentifikasi masalah pada konteks soal cerita dengan baik.

Subjek menuliskan unsur-unsur diketahui dan ditanyakan secara

lengkap.

108

2. Subjek mampu mengkontruksi

gambar yang sesuai dengan konteks soal cerita.

3. Subjek juga menuliskan sebuah variabel x sebagai variabel

yang ditanyakan dan variabel lainnya tidak jelas.

4. Subjek mampu menunjukkan model matematika yang ia

peroleh yaitu dan

tetapi melakukan

perhitungan yang salah dan tidak mampu menyelesaikan

model matematika hingga selesai.

b) Hasil Wawancara

Tabel 4.8 Hasil wawancara KS2 Soal kedua

Kode P/J Wawancara

P22-18 P Lanjutmaki di nomor 2, apa yang dipahami disitu?

KS22-18 J Yang dipahami adalah lokasi A sudut elevasinya 30 derajat, lokasi B itu sudut elevasinya 60 derajat. Jarak A ke B itu 20 meter sedangkan tinggi lulu 1,6 meter.

P22-19 P Apa yang dicari?

KS22-19 J Yang ditanyakan itu menyatakan tinggi gedung dalam formulasi model matematika

P22-20 P Bagaimana carata selesaikan?

KS22-20 J Pertama digambar kak kemudian saya pakai tan karena depan yang diambil,

109

karena sudut 30 berarti diketahui kan depannya berarti depan CF berarti x karena belum diketahui. Dan samping FM = 20. Terus untuk dapat jaraknya F ke M Berarti jaraknya itu 10 ka setengahnyaji. (menjelaskan gambar)

P22-21 P Kenapa bisa setengahnya?

KS22-21 J Kan 20 kak, masing-masing jaraknya disitu 10.

P22-22 P Terus?

KS22-22 J Jadi tan 30 dikali dengan 10.

P22-23 P Terus?

KS22-23 J Itumi nda ku tau. Baru tan 60 lagi di cari kak. FB=20

P22-24 P Terus?

KS22-24 J Nda ku taumi lagi caranya

P22-25 P Yang mana model matematikanya?

KS22-25 JYang ini kak sama

Berdasarkan hasil wawancara subjek pada soal kedua,

diperoleh bahwa: subjek memang mampu menjelaskan hal-hal

diketahui dan hal ditanyakan dengan benar (KS22-18 dan KS22-

19). Kemudian, subjek menjelaskan bahwa untuk menyelesaikan,

subjek mengkontruksi gambar dan kemudian menyatakan sebuah

variabel dimana x adalah CF (sisi depan) yang harus dicari.

Kemudian ia menggunakan rumus perbandingan trigonometri yaitu

tan = depan/samping. Namun, ia salah dalam proses penyelesaian

110

dan salah dalam menentukan jarak dari F ke M, (KS22-20). Subjek

juga mampu menunjukkan model matematika dari soal kedua yaitu

memiliki 2 model matematika sebagaimana yang dijelaskan pada

kode (KS22-25) namun salah dalam perhitungan, subjek tidak

mampu menyelesaikan model yang ia peroleh.

c) Validasi Data

Berdasarkan hasil data yang diperoleh melalui tes tertulis dan

wawancara pada soal kedua, diketahui bahwa siswa memiliki

kecenderungan jawaban yang sama pada kedua metode

pengambilan data. Siswa mampu mengidentifikasi masalah dengan

baik, mengkontruksi gambar dengan benar, menyatakan sebuah

variabel serta mampu menunjukkan model matematika namun

tidak mampu menyelesaikan model matematikanya. Dengan

demikian dapat disimpulkan bahwa data tersebut valid.

d) Analisis Data

Berdasarkan data yang diperoleh melalui tes tertulis dan hasil

wawancara, subjek KS2 mampu membuat model matematika pada

soal nomor 2 namun salah perhitungan, hal ini terbukti dari tahap

menyatakan model matematika dimana salah dalam menentukan

jarak dari sisi samping gambar namun subjek mampu melakukan

tahap mengidentifikasi masalah dengan baik. Kemudian mampu

menggunakan variabel dengan tepat dan mengkontruksi gambar

dengan benar.

111

3. Paparan Data Kemampuan Membuat Model Matematika Siswa

Kemampuan Penalaran Matematis Rendah

a. Subjek Pertama (KR1)

1) Pada tes kemampuan membuat model matematika soal pertama

Soal 1

Dari sebuah titik dipermukaan tanah, puncak dari sebuah menara

terlihat dengan sudut elevasi 60⁰. Jarak horizontal dari titik itu ke

menara adalah 8 meter. Formulasikanlah bentuk matematis atau

model matematika yang menyatakan tinggi menara dan tentukan

penyelesaiannya untuk mengetahui tinggi menara.

a) Hasil Pengerjaan

Gambar 4.9 Jawaban KR1 Soal Pertama

Berdasarkan hasil kerja subjek KR1 pada soal pertama,

diperoleh bahwa:

1. Subjek mampu memahami soal dengan mengkontruksi gambar

yang sesuai dengan konteks cerita. subjek mampu mengubah

112

soal ke dalam bentuk gambar namun tidak melengkapi gambar

dengan informasi pada soal cerita.

2. kemudian, subjek mampu mengidentifikasi masalah pada soal

cerita yaitu dengan menuliskan informasi diketahui pada soal

dengan benar tapi subjek tidak menuliskan informasi yang

ditanyakan soal.

3. Subjek tidak mampu menyatakan sebuah variabel. Tampak

bahwa subjek tidak menuliskan sebuah variabel untuk mencari

penyelesaiannya.

4. Subjek juga tidak mampu menyelesaikan permasalahan soal

cerita, subjek tidak mampu menerapkan rumus menjadi bentuk

model matematika. Subjek menyelesaikan dengan cara yang

salah.

b) Hasil Wawancara

Tabel 4.9 Hasil Wawancara Subjek KR1 Soal Pertama

Kode P/J Wawancara

P11-01 P Apa yang dipahami dari soal nomor satu?

KR11-01 J Sudut elevasi dari permukaan tanah ke menara itu 60 derajat dan jarak dari titik itu ke menara adalah 8 meter.

P11-02 P Apa yang dicari?

KR11-02 J Bentuk matematika atau model matematikanya baru dicariki tinggi menara

P11-03 P Mengertijaki maksudnya model matematika?

KR11-03 J (diam) agak bingung

113

P11-04 Kenapa bingung?

KR11-04 Tidak ku tauki kak

P11-05 P Oh oke. Jadi bagaimana caramu selesaikanki itu?

KR11-05 J Pertama ku gambarji dulu, begini baru pake rumus demi, sami, desa.

P11-06 P Apa itu?

KR11-06 J Yang sin cos tan, sin itu depan miring, cos itu samping miring terus tan itu depan samping. Baru disini pake rumus tan yaitu depan per samping.

P11-07 PKenapa disini kamu bagi 60/8?

KR11-07 J Disini pakai rumus tan

P11-08 P Apa rumusnya tan?

KR11-08 J Depan per samping.

P11-09 P Yang mana depan dan yang mana samping?

KR11-09 J Depan itu kak yang ini. . samping yang ini

114

P11-010 P Terus dimana kamu terapkan itu?

KR11-010 J Mm (diam)

P11-011 P Itu 60 apa?

KR11-011 J Sudut elevasinya

P11-012 P Kamu bagi dengan 8?

KR11-012 J Iye untuk dapat tingginya jadi disini dapatmi tingginya 7,5.

P11-013 P Jadi sudutnya itu yang dibagi?

KR11-013 J (diam dan tertawa)

P11-014 P Kenapa bisa berpikir begitu caranya?

KR11-014 J Karena pernah dikasi soal kayak begini kak

P11-015 P Kenapa tidak menggunakan variabel digambar?

KR11-015 J Tidak ku tahuki. Langsungji

Berdasarkan hasil wawancara subjek KR1 soal pertama:

diperoleh bahwa: subjek KR1 memang memahami konteks soal

cerita yaitu dengan menjelaskan informasi diketahui dan

ditanyakan pada soal cerita namun subjek tidak memahami maksud

dari model matematika dengan demikian subjek kurang mampu

mengidentifikasi masalah, (KR11-01 dan KR11-02) sehingga tidak

mampu menyelesaikan (KR11-05). Kemudian, subjek menjelaskan

cara memperoleh penyelesaiannya. subjek terlebih dahulu

memberikan gambar lalu menghubungkannya dengan rumus

perbandingan trigonometri. Namun, ia tidak mampu menerapkan

rumus tersebut untuk memperoleh jawaban sehingga melakukan

115

proses yang salah, Subjek juga salah dalam menentukan sisi

samping dan sisi depan gambar. Kemudian, ia juga tidak

menggunakan sebuah variabel, (KR11-15).

c) Validasi Data

Berdasarkan hasil data yang diperoleh melalui tes tertulis dan

wawancara pada soal nomor 1, diketahui bahwa siswa memiliki

kecenderungan yang sama pada kedua metode pengambilan data.

Siswa kurang mampu mengidentifikasi masalah yaitu menuliskan

hal diketahui tapi tidak paham tentang model matematika. Subjek

juga mampu mensketsa atau mengkontruksi gambar namun tidak

dapat menyatakan sebuah variabel serta tidak mampu memperoleh

model matematika dan penyelesaiannya.

d) Analisis Data

Berdasarkan data yang diperoleh melalui tes tertulis dan hasil

wawancara, subjek KR1 tidak mampu membuat model matematika

pada soal nomor 1. Hal ini terbukti dari tahap-tahap membuat

model yang dilakukan subjek kurang tepat. Subjek kurang mampu

mengidentifikasi masalah dengan baik, mampu mengkontruksi

gambar yang sesuai konteks cerita namun belum mampu

menggunakan variabel dan tidak mampu menghubungkan gambar

dengan konsep perbandingan trigonometri. Dalam hal ini, subjek

tidak bisa menunjukkan model matematikanya.

2) Pada tes kemampuan membuat model matematika soal kedua

116

Soal 2

Lulu berjalan lurus di jalan yang datar ke arah gedung. Dari lokasi A,

ujung gedung itu terlihat dengan sudut elevasi 30⁰. Kemudian Lulu

berjalan lurus lagi sejauh 20 meter ke lokasi B. Dari lokasi B gedung

terlihat dengan sudut elevasi 60⁰. Jika tinggi Lulu adalah 1,6 meter.

Nyatakan tinggi gedung tersebut dengan formulasi model matematika

dan selesaikanlah modelnya!

a) Hasil Pengerjaan

Gambar 4.10 Jawaban KR1 Soal Kedua

Berdasarkan hasil pekerjaan subjek diatas terlihat bahwa:

siswa mengerjakan soal dengan proses yang salah. Namun, subjek

mampu memahami masalah dengan dapat mengidentifikasi konteks

soal cerita yaitu menuliskan hal diketahui dan ditanyakan pada

lembar kerja. Siswa menggunakan gambar untuk menyelesaikan

117

masalah namun memberikan gambar yang tidak tepat. ia salah

dalam menempatkan posisi Lulu dari lokasi A ke lokasi B, dengan

demikian subjek tidak mampu mengkontruksi gambar dengan

benar. Subjek juga tidak menggunakan variabel dan tidak dapat

menyatakan soal ke dalam bentuk model matematika. subjek

melakukan langkah penyelesaian yang tidak benar.

b) Hasil Wawancara

Tabel 4.10 Hasil Wawancara KR1 Soal kedua

Kode P/J Wawancara

P12-16 Lanjut nomor 2

P Apa yang kamu pahami?

KR12-16 J Yang pertama itu sudut elevasi dari A itu 30 derajat, terus berjalanki ke B itu 20 m, sudut di B 60 derajat dan tingginya lulu 1,6 meter.

P12-17 P Apa yang dicari?

KR12-17 J Yang ditanyakan itu tentukan model matematikanya untuk mencari tinggi gedung. Mau diselesaikan modelnya

P12-18 P Bagaimana caranya kamu selesaikan?

KR12-18 J Ku gambarki dulu baru ku pakai rumus tan terus rumus silang

P12-19 P Yang mananya disitu rumus silang?

KR12-19 J

Yang ini ku bagi 30/20 = 60/1,6 terus ku kali silangmi. Dapatmi 25.

P12-20 P Jadi rumus tannya?

KR12-20 J Itumi juga

118

P12-21 P Kenapa begitu caramu?

KR12-21 J (diam) begituji kak ku tau

P12-22 P Yang mana model matematikanya?

KR12-22 J

(diam) yang ini, rumus tan

Berdasarkan hasil wawancara dengan subjek diperoleh hasil

bahwa subjek tidak mampu menyelesaikan soal dengan sempurna.

Siswa tidak menyelesaikan permasalahan dengan benar namun

subjek memang mampu menjelaskan hal-hal yang diketahui dan

ditanyakan pada konteks cerita. kemudian, untuk menyelesaikan,

subjek menunjukkan gambar dan menyelesaikan dengan tidak

benar. Subjek kemudian menentukan model matematika yang

salah.

c) Validasi Data

Berdasarkan hasil data yang diperoleh melalui tes tertulis dan

wawancara pada soal nomor 2, diketahui bahwa subjek memiliki

kecenderungan yang sama pada kedua metode pengambilan data.

Siswa kurang mampu mengidentifikasi masalah dan tidak mampu

mengkontruksi gambar dengan benar. kemudian, subjek tidak

mampu menyatakan sebuah variabel serta tidak mampu

menperoleh model matematika dengan benar. Dengan demikian

dapat disimpulkan data tersebut valid.

d) Analisis Data

119

Berdasarkan data yang diperoleh melalui tes tertulis dan hasil

wawancara, subjek KR1 tidak mampu membuat model matematika

pada soal nomor 2. Hal ini terbukti dari tahap-tahap membuat

model yang dilakukan subjek kurang tepat. Subjek tidak mampu

mengidentifikasi masalah dengan baik dan tidak mampu

mengkontruksi gambar dengan benar. Subjek juga belum mampu

menggunakan variabel sehingga subjek tidak bisa menunjukkan

dan memperoleh model matematikanya dengan tepat.

b. Subjek Kedua (KR2)

1) Pada tes kemampuan membuat model matematika soal pertama

Soal 1

Dari sebuah titik dipermukaan tanah, puncak dari sebuah menara

terlihat dengan sudut elevasi 60⁰. Jarak horizontal dari titik itu ke

menara adalah 8 meter. Formulasikanlah bentuk matematis atau

model matematika yang menyatakan tinggi menara dan tentukan

penyelesaiannya untuk mengetahui tinggi menara.

a) Hasil Pengerjaan

Gambar 4.11 Jawaban KR2 Soal Pertama

120

Berdasarkan hasil kerja tes kemampuan membuat model soal

pertama untuk subjek KR2, diperoleh bahwa:

Subjek KR2 tidak mampu menyelesaikan masalah pada

konteks soal cerita. subjek tidak bisa membuat model matematika

dari soal tersebut. Subjek KR2 tampak hanya mampu memahami

soal yang ditunjukkan dengan kemampuan subjek mengkontruksi

gambar dan mengidentifikasi masalah. Untuk tahap mengkontruksi

gambar, terlihat bahwa subjek bisa menunjukkannya dengan benar

sesuai dengan permasalahan soal cerita. sedangkan untuk tahap

mengidentifikasi masalah, subjek terlihat hanya mampu

menuliskan hal-hal yang diketahui dan tidak memahami dengan

baik apa yang dicari, ia hanya menuliskan pada hal yang cari

adalah tinggi menara. Sehingga dalam hal ini kurang mampu

mengidentifikasi masalah.

b) Hasil Wawancara

Tabel 4.11 Hasil wawancara KR2 soal pertama

Kode P/J Wawancara

P21-01 P Apa yang dipahami dari soal nomor satu?

KR21-01 J Sudut elevasi 60 derajat. Jarak horizontal dari titik ke menara 8 meter.

P21-02 P Apa yang dicari?

KR21-02 J Tinggi menara, penyelesaiannya tidak ku tauki hehe

P21-03 P Jadi ini yang dicari ko pahamiji?apa yang disuruh cari

121

KR21-03 J Penyelesaian untuk mengetahui tinggi menara

P21-04 P Satuji yang ditanyakan?

KR21-04 J Iye kak

P21-05 P Coba baca ulang nomor satu

KR21-05 J (membaca soal)

P21-06 P Satuji tanyakan?

KR21-06 J Dua

P21-07 P Tauji ini maksudnya bentuk matematis?

KR21-07 J Tidak kak

P21-08 P Kenapa nu gambarki?

KR21-08 J Ituji kutau caranya

Berdasarkan hasil wawancara subjek KR2 di atas diperoleh

hasil bahwa subjek benar-benar tidak mampu menyelesaikan soal

cerita, (KR21-02). Subjek hanya mampu menjelaskan hal-hal

diketahui namun tidak bisa memahami apa yang harus dicari.

Subjek hanya memahami yang dicari adalah tinggi menara, (KR21-

03). Kemudian, subjek hanya mampu mengkontruksi gambar dari

konteks soal cerita, (KR21-08).

c) Validasi Data

Berdasarkan hasil data yang diperoleh melalui tes tertulis dan

wawancara pada soal nomor 1, diketahui bahwa siswa memiliki

kecenderungan yang sama pada kedua metode pengambilan data.

Siswa belum mampu menyelesaikan soal. Siswa hanya

mengidentifikasi masalah namun tidak memahami dengan lengkap

122

apa yang dicari, mampu mengkonstruksi gambar namun tidak dapat

menyelesaikan. Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa data

tersebut valid.

d) Analisis Data

Berdasarkan data yang diperoleh melalui tes tertulis dan hasil

wawancara, subjek KR2 tidak mampu membuat model matematika

pada soal nomor 1. Hal ini terbukti dari tahap-tahap membuat

model yang dilakukan subjek kurang tepat. Subjek kurang mampu

mengidentifikasi masalah karena tidak memahami dengan baik

persoalan model matematika. kemudian, subjek mampu

mengkontruksi gambar yang sesuai konteks cerita namun belum

mampu menggunakan variabel sehingga subjek tidak bisa membuat

model matematikanya.

2) Pada tes kemampuan membuat model matematika soal kedua

Soal 2

Lulu berjalan lurus di jalan yang datar ke arah gedung. Dari lokasi A,

ujung gedung itu terlihat dengan sudut elevasi 30⁰. Kemudian Lulu

berjalan lurus lagi sejauh 20 meter ke lokasi B. Dari lokasi B gedung

terlihat dengan sudut elevasi 60⁰. Jika tinggi Lulu adalah 1,6 meter.

Nyatakan tinggi gedung tersebut dengan formulasi model matematika

dan selesaikanlah modelnya!

a) Hasil Pengerjaan

123

Gambar 4.12 Jawaban KR2 Soal Kedua

Berdasarkan hasil kerja subjek KR2 tes kemampuan

membuat model matematika soal kedua diatas, diperoleh bahwa:

Sesuai dengan paparan data hasil kerja subjek KR2 soal

pertama, subjek melakukan hal yang sama untuk soal kedua.

Subjek hanya mampu menyebutkan informasi pada soal yaitu hal

diketahui tapi untuk hal ditanyakannya kurang lengkap. Sehingga

subjek kurang mampu mengidentifikasi masalah. kemudian, subjek

juga tidak mampu mengkontruksi gambar dengan benar. subjek

tidak menuliskan semua informasi pada gambar dan tampak bahwa

tidak mampu menyatakan sebuah variabel.

b) Hasil Wawancara

Tabel 4.12 Hasil wawancara KR2 soal kedua

Kode P/J Wawancara

P22-09 P Lanjutmi nomor dua

KR22-09 J Yang diketahui itu sudut elevasi lokasi A 30

124

derajat. Tinggi lulu juga diketahui tingginya 1,6 meter. Baru jarak dari ini lokasi A ke B 20 meter kapang.

P22-10 P Terus?

KR22-10 J Terus yang ditanyakan tinggi gedung

P22-11 P Satuji ditanyakan?

KR2-11 J Dua

P22-12 P Kenapa nda ko tuliski?

KR2-12 J Karena tidak ku tauki apa maksudnya

P22-13 P Nda ditau penyelesaiannya ini?

KR2-13 J Tidak, ku gambarji saja

Subjek hanya mampu menjelaskan hal-hal diketahui namun

tidak memberikan informasi yang lengkap untuk hal ditanyakan

karena tidak memahami maksud dari model matematika. Subjek

hanya mensketsa gambar dan subjek benar-benar tidak mengetahui

proses penyelesaiannya.

c) Validasi Data

Berdasarkan hasil data yang diperoleh melalui tes tertulis dan

wawancara pada soal nomor 2, diketahui bahwa siswa memiliki

kecenderungan yang sama pada kedua metode pengambilan data.

Subjek tidak mampu menyelesaikan masalah. Subjek kurang

mampu mengidentifikasi masalah. Siswa juga mengkontruksi

125

gambar namun kurang tepat. dengan demikian, dapat disimpulkan

bahwa data tersebut valid.

d) Analisis Data

Berdasarkan data yang diperoleh melalui tes tertulis dan hasil

wawancara, subjek KR2 tidak mampu membuat model matematika

pada soal nomor 2. Hal ini terbukti dari tahap-tahap membuat

model yang dilakukan subjek kurang tepat. Subjek kurang mampu

mengidentifikasi masalah karena tidak memahami dengan baik

persoalan model matematika. kemudian, subjek juga belum mampu

mengkontruksi gambar dengan benar dan belum mampu

menggunakan variabel sehingga subjek benar-benar tidak bisa

membuat model matematikanya.

126

B. Pembahasan

Berdasarkan hasil paparan data dan analisis data yang telah disajikan, maka

diberikan rangkuman kemampuan tiap subjek penalaran tinggi, subjek penalaran

sedang dan subjek penalaran rendah yang ditunjukkan dalam tabel 4.13 berikut

ini:

Tabel 4.13 Rangkuman Tahap Membuat Model Matematika Tiap Subjek

Tahapmembuat model

matematika

Subjek

KT1 KT2 KS1 KS2 KR1 KR2

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

Entri pertama pemodelan: Mengidentifikasi Masalah

√ √ √ √ √ √ √ √ - - - -

Entri kedua pemodelan: menggunakan variabel

√ √ √ √ √ √ √ √ - - - -

Entri ketiga pemodelan: mengkontruksi gambar

√ √ √ √ √ √ √ √ √ - √ -

Entri keempat pemodelan: menyatakan model matematika

√ √ √ √ - - √ - - - - -

Keterangan:

√ : Subjek mampu melakukan tahap membuat model matematika

- : Subjek tidak mampu melakukan tahap membuat model matematika

127

1. Kemampuan Membuat Model Matematika pada Siswa dengan

Kelompok Penalaran Tinggi

a. Mengidentifikasi masalah pada konteks/situasi dunia nyata/soal

cerita

Subjek KT1 dapat mengidentifikasi masalah dengan baik. Subjek

KT1 mampu menyebutkan hal-hal diketahui dan hal ditanyakan

berdasarkan konteks soal cerita dengan lengkap dan benar. Demikian

juga dengan subjek KT2 yang mampu mengidentifikasi masalah dengan

baik dan benar. Pada langkah ini, kedua subjek memiliki kecenderungan

tidak mengalami kesulitan dalam menentukan syarat yang diperlukan

untuk membuat model matematika atau menyelesaikan permasalahan.

Kedua subjek mampu mengidentifikasi masalah, dalam hal ini dikatakan

juga mampu memahami masalah.

b. Menggunakan variabel untuk menyatakan apa yang dicari atau

ditanyakan

Dalam menggunakan variabel, subjek KT1 dapat menyatakan

variabel dengan baik. Subjek KT1 dapat menjelaskan tujuan penggunaan

variabel dan dapat menjelaskan hubungan antara yang diketahui dan

yang ditanyakan secara tepat terhadap pemakaian variabel. Variabel yang

digunakan merupakan variabel untuk menyatakan apa yang dicari pada

soal cerita. begitu juga subjek KT2 mampu menggunakan sebuah

128

variabel dengan tepat. kedua subjek menggunakan unsur variabel untuk

memudahkan memperoleh model matematika dan solusinya.

c. Mengkontruksi gambar

Pada langkah ini, kedua subjek mampu melaksanakanya dengan

benar dan tepat. siswa melakukan proses mensketsa gambar sesuai

dengan konteks cerita untuk memudahkan menentukan hubungan yang

ada antara unsur-unsur dan variabel yang diketahui sehingga kedua

subjek mampu membuat model matematika dan menyusun penyelesaian

modelnya.

d. Menyatakan model matematika

Pada tahap ini, kedua subjek telah mampu menunjukkan model

matematika dengan benar setelah melewati tahap mengidentifikasi,

menggunakan variabel dan mengkontruksi gambar. Kedua subjek

mampu membuat model matematika dari kedua soal yang ada.

2. Kemampuan Membuat Model Matematika pada Siswa dengan

Kelompok Penalaran Sedang

a. Mengidentifikasi masalah pada konteks/situasi dunia nyata/soal

cerita

Subjek KS1 dapat mengidentifikasi masalah dengan benar yaitu

mampu menuliskan dan menjelaskan hal-hal diketahui dan hal

ditanyakan berdasarkan konteks soal cerita dengan lengkap dan benar.

Demikian juga dengan subjek KS2 yang mampu mengidentifikasi

129

masalah dengan baik dan benar. Pada langkah ini, kedua subjek memiliki

kecenderungan tidak mengalami kesulitan dalam menentukan syarat

yang diperlukan untuk membuat model matematika atau menyelesaikan

permasalahan. Kedua subjek mampu mengidentifikasi masalah, dalam

hal ini dikatakan juga mampu memahami masalah.

b. Menggunakan variabel untuk menyatakan apa yang dicari atau

ditanyakan

Dalam menggunakan variabel, subjek KS1 dapat menyatakan

variabel dengan baik dan benar. Subjek KS1 dapat menjelaskan tujuan

penggunaan variabel dan dapat menjelaskan bahwa variabel yang

digunakan untuk menyatakan apa yang dicari sehingga akan diperoleh

hubungan yang lebih sederhana. Begitu juga subjek KS2 mampu

menggunakan sebuah variabel dengan tepat. kedua subjek menggunakan

unsur variabel untuk memudahkan memperoleh model matematika dan

solusinya.

c. Mengkontruksi gambar

Pada langkah ini, kedua subjek mampu melaksanakanya dengan

benar dan tepat. siswa melakukan proses mensketsa gambar sesuai

dengan konteks cerita untuk memudahkan menentukan hubungan yang

ada antara unsur-unsur dan variabel yang diketahui sehingga kedua

subjek mampu membuat model matematika dan menyusun penyelesaian

modelnya.

d. Menyatakan model matematika

130

Pada tahap ini, subjek KS1 tidak mampu menunjukkan model

matematika pada soal pertama dengan benar sedangkan subjek KS2

mampu memperoleh model matematikanya dengan benar dan

menyelesaikannya dengan memperoleh solusi yang benar. Sedangkan,

pada soal kedua, subjek KS1 juga tidak dapat menyatakan model

matematika dari permasalahan tersebut dikarenakan masalah soal cerita

yang lebih rumit dari soal pertama. Sementara itu, subjek KS2 juga

belum mampu menunjukkan model matematikanya dengan tepat dan

tidak mampu menyelesaikan untuk mencari solusi dari permasalahan.

Kedua subjek tidak mampu memperoleh model matematika berdasarkan

gambar dan variabel yang digunakan.

3. Kemampuan Membuat Model Matematika pada Siswa dengan

Kelompok Penalaran Rendah

a. Mengidentifikasi masalah pada konteks/situasi dunia nyata/soal

cerita

Subjek KR1 tidak mampu mengidentifikasi masalah dengan benar.

Subjek KR1 tidak mampu memberikan informasi yang lengkap apa yang

dicari. Hal ini disebabkan karena siswa tidak paham tentang model

matematika Demikian juga dengan subjek KR2 tidak mampu

mengidentifikasi masalah dengan baik dan benar. Pada langkah ini,

kedua subjek memiliki kecenderungan mengalami kesulitan dalam

menerjemahkan maksud formulasi model matematika yang menyatakan

131

tinggi menara/gedung. Kedua subjek tidak mampu mengidentifikasi

masalah, dalam hal ini dikatakan juga tidak memahami masalah dengan

baik.

b. Menggunakan variabel untuk menyatakan apa yang dicari atau

ditanyakan

Dalam menggunakan variabel, subjek KR1 tidak dapat menyatakan

variabel. Begitupun untuk subjek KR2 juga tidak menyatakan variabel.

Kedua subjek hanya menggunakan gambar dan tidak menambahkan

informasi apapun tentang penggunaan variabel.

c. Mengkontruksi gambar

Pada langkah ini, kedua subjek mampu melaksanakanya dengan

baik. Tahap ini dilakukan setelah kedua subjek mengidentifikasi

masalah. Namun, pada soal kedua, kedua subjek tidak mampu

mengkontruksi gambar yang jelas dan benar.

d. Menyatakan model matematika

Pada langkah menyatakan model matematika, kedua subjek tidak

mampu melaksanakannya dengan benar dan tepat. hal tersebut

dikarenakan dari awal pemahaman masalah sampai pada perencanaan

membuat model siswa tidak melaksanakannya dengan benar. Kedua

subjek tidak mampu menerapkan hubungan atau rumus yang digunakan

setelah melihat atau memperoleh gambar. Keduanya memiliki kesulitan

dalam menyusun dan membuat model.

132

BAB V

PENUTUP

A. Kesimpulan

Berdasarkan hasil analisis data dan pembahasan, maka dapat ditarik beberapa

kesimpulan sebagai berikut:

1. Kemampuan siswa yang memiliki penalaran matematis tinggi dalam membuat

model matematika adalah (a) mampu mengidentifikasi masalah dengan

menentukan apa yang diketahui dan ditanyakan dengan baik dan benar; (b)

mampu menggunakan variabel untuk menyatakan apa yang dicari dengan tepat;

(c) mampu mengkontruksi gambar yang baik dan jelas sesuai dengan konteks

soal cerita; (d) mampu menyatakan model matematika dengan benar, sehingga

siswa yang memiliki kemampuan penalaran matematis tinggi mampu membuat

model matematika pada soal cerita materi perbandingan Trigonometri karena

memenuhi semua tahap membuat model matematika.

2. Kemampuan siswa yang memiliki penalaran sedang dalam membuat model

matematika adalah (a) mampu menentukan apa yang diketahui dan ditanyakan,

dalam hal ini mampu mengidentifikasi masalah; (b) mampu menggunakan

variabel apa yang dicari dengan benar; (c) mampu memahami masalah yang

ditunjukkan dengan mengkontruksi gambar yang tepat; (d) namun pada entri

menyatakan model matematika, subjek pertama pada soal pertama kurang

mampu menyatakan model matematika dengan benar sedangkan subjek kedua

133

mampu menyatakannya dengan benar. Pada soal kedua, kedua subjek kurang

mampu menyatakan model matematika. sehingga siswa dengan kemampuan

penalaran sedang kurang mampu membuat model matematika materi

perbandingan Trigonometri karena tidak memenuhi dengan baik entri keempat

membuat model matematika.

3. Kemampuan siswa yang memiliki penalaran rendah dalam membuat model

matematika adalah (a) hanya mampu menentukan apa yang diketahui dan tidak

memahami dengan baik apa yang ditanyakan sehingga dalam hal ini kurang

mampu dalam mengidentifikasi masalah (b) tidak mampu menggunakan variabel.

(c) pada soal pertama, mampu mengkontruksi gambar dengan benar namun pada

soal kedua, tidak mampu mengkontruksi gambar dengan benar (d) tidak mampu

menyatakan model matematika sehingga siswa dengan kemampuan penalaran

rendah tidak mampu membuat model matematika pada soal cerita materi

perbandingan Trigonometri karena tidak mampu memenuhi dengan baik semua

tahap-tahap membuat model matematika.

B. Keterbatasan Penelitian

Penelitian ini telah diusahakan dan dilaksanakan sesuai dengan prosedur

ilmiah, namun demikian masih memiliki keterbatasan yaitu:

1. Keterbatasan pada lingkup soal, dimana siswa secara langsung mampu

mengidentifikasi permasalahan yaitu menentukan apa yang diketahui dan

ditanyakan sehingga kemampuan mengidentifikasi masalahnya tidak dapat

diukur. Hal ini disebabkan karena soal yang diberikan sangat jelas.

134

2. Keterbatasan berkaitan dengan tahapan dalam membuat model matematika

yang masih perlu menjadi bahan pertimbangan untuk dianalisis lebih lanjut.

Sebab kemungkinan tahap mengkontruksi gambar dilakukan terlebih dahulu

sebelum menggunakan variabel.

C. Saran

Berdasarkan kesimpulan yang telah dikemukakan, maka penulis

mengajukan beberapa saran sebagai berikut:

1. Dalam meningkatkan kemampuan membuat model matematika dan

menyelesaikan soal-soal non rutin, diharapkan guru tidak hanya

memperhatikan siswa yang memiliki kemampuan penalaran tinggi, walaupun

secara substansi siswa yang memiliki kemampuan penalaran tinggi sudah

dapat mencapai kompetensi yang ditetapkan.

2. Diharapkan guru mengedukasi langkah-langkah membuat model matematika

kepada siswa sebagai bekal dalam menyelesaikan soal cerita.

3. Bagi siswa agar dapat melatih kemampuannya membuat dan menyusun model

matematika pada soal-soal cerita sebagai salah satu tahap dalam

menyelesaikan permasalahan.

4. Bagi penelitian lain hendaknya untuk melakukan penelitian lebih lanjut dalam

pemodelan matematika agar diperoleh informasi yang akurat guna

memperluas hasil penelitian ini.

5. Sebagai tindak lanjut dari penelitian ini, diharapkan bagi mahasiswa calon

peneliti untuk membuat soal cerita dengan menggunakan lebih dari satu

variabel yang ditanyakan agar memperluas hasil penemuan tentang

kemampuan siswa membuat model matematika.

135