syarifahmads.files.wordpress.com · web viewstatistika adalah ilmu yang merupakan cabang matematika...
TRANSCRIPT
BAB 1
STATISTIKA
A. BEBERAPA ISTILAH DALAM STSTISTIKA
1. Pengertian Statistika dan Statistika
Statistika adalah ilmu yang merupakan cabang matematika terapan
yang membahas metode-metode ilmiah tentang tata cara
mengumpulkan dan mengelompokkan data,menyusun dan
menyajikan data, sampai pada mengambil kesimpulan yang sahih
sehingga keputusan yang diambil dapat diterima.
Nilai-nilai ukuran data yang didapatkan dari perhitungan seperti
rataan, median, modus, kuartil, jankauan, dan lain-lain merupakan
nilai statistika.
2. Pengertian Populasi dan Sampel
a. Ukuran sampel. Jika sampel terlalu sedikit, maka ada
kemungkinan sampel tidak mempresentasikan populasi secara
benar.Sampel juga jangan terlalu besar, karena sampel yang
besar akan memerlukan waktu, tenaga, dan biaya yang besar
pula.
b. Metode pengambilan sampel. Perlu diingat bahwa
pengambilan sampel dilakukan secara acak (random). Artinya
tiap objek dalam populasi mempunyai kesempatan yang sama
untuk terpilih sebagai sampel.
3. Pengertian Datum dan Data
Misalkan kita melakukan pengamatan terhadap hasil ulangan
matematika 10 orang siswa. Hasilnya sebagai berikut:
6 8 6 5 7 6 5 9 10 10
angka-angka 6, 8, 6, ..., 10 masing-masing disebut datum. Keseluruhan
angka-angka tersebut disebut data.
Jadi, datum merupakan informasi yang di dapat dari pengamatan
terhadap obyek. Datum dapat berupa angka atau lambang. Data
adalah kumpulan dari datum-datum secara keseluruhan.
4. Jenis-jenis Data
Berdasarkan jenisnya, data dikelompokkan menjadi dua macam.
a. Data Kuantitatif adalah data yang menunjukkan ukuran objek
yang diamati. Karena berupa ukuran, maka data kuantitatif
Data kuantitatif disajikan dalam bentuk angka atau bilangan.
Data kuantitatif di bagi dua macam:
1) Data Diskrit, yaitu data yang diperoleh dengan acara
menghitung banyak objek yang diamati. Misalnya data
tentang banyaknya anak SMA kelas 3 yang tidak lulus
UAN.
2) Data kontinu, yaitu data yang diperoleh dengan cara
mengukur objek yang diamati. Misalnya data tentang
tinggi badan anak SMA kelas 2IPS.
b. Data Kualitatif
Data kualitatif adalah data yang menunjukkan keadaan fisik
suatu objek yang diamati. Data kualitatif dibagi menjadi dua
macam:
1) Data Nominal, yaitu data yang memerlukan sub bagian
untuk melengkapi deskripsi data. Contoh: warna kulit:
cokelat, kuning langsat, dan hitam.
2) Data Ordinal, yaitu data yang memerlukan
pemeringkatan untuk mendeskripsikan data. Contoh:
kecepatan siswa dalam mengerjakan soal: cepat,
sedang, lambat.
B. STATISTIKA DESKRIPTIF
1) Ukuran Pemusatan
Terdapat tiga buah nilai statistika yang dapat dimiliki sekumpulan data
yang telah diperoleh, yaitu:
a) Rataan Hitung (mean)
Rataan hitung atau mean dari suatu data didefinisikan sebagai
jumlah semua nilai datum dibagi dengan banyaknya datum
yang diamati.
Rataan hitung(mean)
Misalnya diberikan data x₁, x₂, x₃, ..., xn, maka rataan hitung
data tersebut dapat dinyatakan sebagai:
atau x
b) Median
Median adalah nilai tengah yang membagi seluruh data menjadi
dua bagian yang sama apabila data telah diurutkan. Secara umum,
misalnya diberikan data tunggal terurut x₁, x₂, x₃, ..., xn dengan x₁ ≤
x₂ ≤ x₃ ≤ ... ≤ xn, maka median dari data tersebut dapat ditentukan
sebagai berikut:
1) jika n ganjil, maka mediannya adalah nilai datum ke- ( ),
yaitu median =
2) Jika n genap, maka mediannya adalah rataan nilai datum
ke- dan nilai datum ke-( + 1), yaitu median
( X + + 1).
c) Modus
Modus dari suatu data didefinisikan sebagai nilai datum yang
paling sering muncul atau nilai datum yang mempunyai frekuensi
terbanyak. perhatikan bahwa pada suatu data, modus yang
diperoleh bisa lebih dari satu nilai bahkan tidak ada sama sekali.
2) Ukuran Letak
Terdapat dua ukuran letak yang akan kita pelajari, yaitu:
a. Kuartil
Kuartil adalah nilai yang membagi seluruh data menjadi
empat bagian yang sama.
median membagi seluruh data menjadi dua bagian yang
sama, yaitu bagian sebelah kiri dan bagian sebelah kanan.
Apabila bagian sebelah kiri dibagi lagi menjadi dua bagian
yang sama, maka nilai yang membagi tersebut disebut
kuartil bawah atau kuartil pertama (Q₁) dan apabila bagian
sebelah kanan dilakukan yang sama, maka nialai yang
membagi tersebut disebut kuartil atas atau kuartil ketiga
(Q₃) dan mediannya disebut kuartil tengah atau kuartil
kedua (Q₂).
Untuk ukuran data minimal terdiri dari empat datum, kita
bisa menentukan ketiga nilai kuartilnnya.
1) Kuartil Pertama atau kuartil bawah, yaitu Q₁ yang membagi
data menjadi data nilainya ≤ Q₁ dan data nilainya ≤ Q₁.
2) Kuartil kedua atau kuartil tengah, yaitu Q₂ yang membagi
data menjadi data nilainya ≤ Q₂ dan data nilianya ≥ Q₂.
3) Kuartil ketiga atau kuartil atas, yaitu Q₃ yang membagi
data menjadi data nialainya ≤ Q₃ dan data nilainya ≥ Q₃.
Untuk menentukan kuartil dari suatu data yang telah
diurutkan bisa dilakukan dengan cara yang telah
disebutkan diatas, bisa juga menggunakan rumus sebagai
berikut:
Q₁ =
dengan
Q₁ = kuartil ke-1
n = banyaknya datum
= datum pada urutan ke-
b. Desil
Desil adalah ukuran yang membagi data menjadi 10 bagian
sama besar. Berarti kita dapatkan sembilan buah desil,
yaitu D₁, D₂, D₃, ..., D₉ dengan Di melambangkan desil ke-i.
Desil ke-i membagi data menjadi data nilainya ≤ Di dan
data nilianya ≥ Di.
1) D₁ membagi data menjadi data nilainya ≤ D₁ dan
data nilianya ≥ D₁.
2) D₅ membagi data menjadi data nilainya ≤ D₅ dan
data nilianya ≥ D₅.
3) D₈ membagi data menjadi data nilainya ≤ D₈ dan
data nilianya ≥ D₈.
Untuk menentukan desil ke-i, akan lebih mudah
dengan cara menggunakan rumus:
Di =
dengan
Di = desil ke-i
n = banyaknya datum
= datum pada urutan ke-
c. Ukuran Penyebaran
Statistik lima serangkai yang telah kita bahas memberikan
gambaran tentang pemusatan data. Selanjutnya untuk
mendapatkan keterangan atau gambaran yang lengkap
tentang suatu data kita perlu mengetahui juga ukuran
persebaran data, yaitu:
1) Jangkauan Data
Ukuran penyebaran data yang sederhana adalah
jangkauan data atau rentan data. Jangkauan data
adalah selisih antara nilai datum terbesar (Xmaks)
dengan nilai datum terkecil (Xmin). Jangkauan
dilambangkan dengan “J”.
J = Xmaks – Xmin
2) Jangkauan Antarkuartil (Hamparan)
Jangkauan antarkuartil atau hamparan diartikan
sebagai selisih antara kuartil ketiga dengan kuartil
pertama. Hamparan dilambangkan dengan “H”.
H = Q₃ - Q₁
3) Simpangan Kuartil (Jangkauan Semi Antarkuartil)
Simpangan kuartil atau jangkauan semi antarkuartil
didefinisikan sebagai setengah dari hamparan.
Simpangan kuartil dilambangkan dengan “Qd’.
Qd = H = (Q₃ - Q₁)
4) Langkah (L)
Langkah dirumuskan dengan
L = (Q₃ - Q₁)
5) Pagar Dalam
Pagar dalam dirumuskan dengan
Pagar dalam = Q₁ - L
6) Pagar Luar
Pagar luar dirumuskan dengan
Pagar luar = Q₃ + L
7) Simpangan Rata-rata(SR)
Simpangan rata-rata adalah ukaran seberapa jauh
penyebaran nilai-nilai data terhadap rataan.
Dirumuskan dengan
SR =
dengan n menyatakan banyaknya datum
xi menyatakan data ke-i
menyatakan rataan
8) Ragam (S²)
Ragam adalah ukuran yang menyatakan rata-rata
kuadrat jaraksuatu data dari nilai rataannya,
dirumuskan dengan
S² = Type equation here.9) Simpangan Baku (S)
Simpangan baku dirumuskan dengan
S =
C. PENYAJIAN DATA
1. Penyajian Data dalam Bentuk Diagram
a. Diagram Garis
Untuk menyajikan perkembangan data yang berkesinambungan
(kontinu) seperti informasi berat badan bayi, suhu badan pasien di
rumah sakit, curah hujan dan sebagainya sebaiknya disajikan dalam
bentuk diagram garis.Dalam diagram garis waktu biasanya
ditempatkan pada sumbu datar (sumbu-X) dan nilai data ditempatkan
pada sumbu tegak (sumbu-Y) sehingga diperoleh titik-titik koordinat.
Jika titik-titik yang berurutan dihubungkan oleh garis lurus, maka akan
diperoleh diagram garis.
Diagram garis berikut menunjukkan perkembangan berat badan bayi
dari minggu pertama sampai minggu kelima.
3,8 interpolasi
3,5 ekstrapolasi
3,0
I II III IV V
Dari data di atas, kita dapat mengikuti kecenderungan dari data yang
kita amati. Ruas garis – ruas garis menunjukkkan perkembangan berat
badan bayi dari minggu pertama sampai dengan minggu kelima
disebut garis interpolasi, sedangkan ruas garis setelah minggu ke lima
yang menunjukkan ramalan perkembangan data yang akan disebut
garis ekstrapolasi.
b. Diagram Batang
cara penyajian data stastika lainnya untuk menampilkan data agar
lebih kelihatan menarik adalah dengan menggunakan diagram batang
pada diagram batang terdapat dua sumbu, yaitu sumbu mendatar dan
sumbu tegak. Sumbu mendatar biasanya untuk batang yang mewakili
jenis data,sedangkan sumbu tegak untuk skala yang mewakili
banyaknya data. antara batang yang satu dengan batang yang lain
diberi jarak sehingga letaknya terppisah. Untuk lebih jelasnya,
perhatikan contoh berikut!
Hasil survey yang dilakukan terhadap penduduk suatu kelurahan
tentang jenis pekerjaan, diperoleh data sebagai berikut:
100 orang bekerja sebagai PNS
250 orang bekerja sebagai petani
25 orang bekerja sebagai TNI
125 orang bekerja sebagai Pedagang
25 orang bekerja sebagai Dokter
Buatlah diagram batang dari hasil survey tersebut!
Diagram batang dari hasil survey di atas ditunjukkan oleh Gambar 1.3
berikut.
250
125
100
25
PNS Petani TNI Pedagang Dokter
Gambar 1.3
c. Diagram Lingkaran
Penyajian data statistik lainnya adalah dengan menggunakan diagram
Lingkaran. pada diagram lingkaran, daerah lingkaran dibagi menjadi
beberapa juring dengan sudut pusatnya sesuai dengan proporsi data
yang disajikan pada juring tersebut. Untuk lebuh jelasnya, perhatikan
contoh berikut!
Hasil survey yang dilakukan terhadap 90 orang siswa adalah sebagai
berikut: 45 orang menyukai sepak bola, 15 orang menyukai bola voli,
20 orang menyukai basket, dan 10 orang menyukai bulu tangkis.
Buatlah diagram lingkaran dari data di atas!
Jawab:
Sudut pusat juring untuk siswa yang menyukai sepakb x 360
= 180⁰
Sudut pusat juring untuk siswa yang menyukai bola voli = x 360
= 60⁰
Sudut pusat juring untuk siswa yang menyukai bola basket = x 360
= 80⁰
Sudut pusat juring untuk siswa yang menyukai bulu tangkis = x 360
= 40⁰
2. Daftar Distribusi Frekuensi
penyajian suatu data dapat dilakukan dengan menggunakan daftar
distribusi frekuensi. Metode ini digunakan untuk data berukuran besar
(n ≥ 30).
a. Daftar Distribusi Frekuensi Data Tunggal
Diketahui data mengenai jumlah anak dari 30 karyawan suatu
perusahaan sebagai berikut:
3 2 0 1 4 2 2 2 1 2
0 3 3 2 1 1 2 1 2 2
2 1 2 2 0 3 1 1 2 3
data diatas dapat dibuat daftar distribusi frekuensi data tunggal
seperti daftar dibawah ini:
Jumlah anak Turus Frekuensi
0
1
III
IIII III
3
8
sepakbola
basket voli
b.tangkis
2
3
4
IIII IIII II
IIII
I
13
5
1
Jumlah 30
b. Daftar Distribusi Frekuensi Data Berkelompok
Untuk data yang sangat besar, bila kita menggunakan daftar distribusi
frekuensi data tunggal, maka akan diperoleh daftar yang panjang.
Untuk itu data tersebut kita kelompokkan dalam suatu kelompok yang
disebut kelas interval sehingga diperoleh daftar distribusi frekuensi
data berkelompok.
Buatlah daftar distribusi frekuensi data berkelompok dari data nilai
ulangan matematika dari 40 siswa di bawah ini!
79 60 62 56 68 72 64 58 52 59 52 62 70 72 74 70 57 62 61 63
68 73 78 64 53 67 62 53 72 74 71 51 60 68 67 70 55 52 77 63
jawab:
Dari data tersebut diperoleh nilai Xmin = 51 dan Xmaks = 79 sehingga
jangkauan data adalah J = Xmaks – Xmin = 79 – 51 = 28
Jumlahkelas interval (k) dengan menggunakan aturan Sturgess, yaitu
k = 1 + 3,3 log 40 = 1 + 5,9 = 6,26 kita bulatkan nilai k menjadi 6.
Panjang kelas dapat ditentukan dengan rumus c = = = 4,67 = 5
Karena Xmin = 51, maka kelas interval pertama 51 – 55. Dari contoh
1.10 dapat dibuat daftar distribusi frekuensi data seperti pada tabel
1.2.
Kelas Interval Turus Frekuensi
51-55 IIII II 7
56-60 IIII I 6
61-65 IIII IIII 9
66-70 IIII III 8
71-75 IIII II 7
76-80 III 3
JUMLAH 40
c. Daftar Distribusi Frekuensi Relatif
Frekuensi relatif suatu kelas interval diperoleh dengan membagi
frekuensi kelas interval tersebut dengan jumlah data. Data pada
contoh 1.10 dapat di buat ke dalam tabel berikut:
Kelas Interval Frekuensi Frekuensi Relatif
51-55 7 0,175
56-60 6 0,15
61-66 9 0,225
67-70 8 0,2
71-75 7 0,175
76-80 3 0,075
jumlah 40
d. Daftar Distribusi Frekuensi Kumulatif
Terdapat dua macam daftar distribusi frekuensi kumulatif, yaitu:
1) Daftar distribusi frekuensi kumulatif “kurang dari’ adalah jumlah
seluruh frekuensi dari data yang nilainya kurang dari atau sama
dengan nilai tepi atas pada setiap kelas, dilambangkan dengan
“fk ≤”. Untuk lebih jelas perhatikan tabel 1.4 berikut:
Tabel 1.4 kumulatif Kurang Dari
Kelas Interval Frekuensi Nilai fk ≤51-55 7 ≤55,5 756-60 6 ≤60,5 1361-65 9 ≤65,5 2266-70 8 ≤70,5 3071-75 7 ≤75,5 3776-80 3 ≤80,5 40
2) Daftar distribusi frekuensi kumulatif “lebih dari” adalah jumlah
seluruh frekuensi dari data yang nilainya lebih dari atau sama
dengan nilai tepi bawah pada setiap kelas, dilambangkan dengan
“fk ≥”. Untuk lebih jelas perhatikan Tabel 1.5 berikut:
Tabel 1.5 Frekuensi kumulatif Lebih Dari
Kelas Interval Frekuensi Nilai fk ≥51-55 7 ≥50,5 4056-60 6 ≥55,5 3361-65 9 ≥60,5 2766-70 8 ≥65,5 1871-75 7 ≥70,5 1075-80 3 ≥75,5 3
e. Histogram, Poligon frekuensi, dan Ogive
Pada pembahasan sebelumnya, kita telah mempelajari penyajian data
statistik dalam bentuk diagram garis, diagram batang, dan diagram
lingkaran. Berikut ini kita akan mempelajari penyajian data statistik
dalam daftar distribusi frekuensi menjadi sebuah diagram.
1) histogram dan Poligon Frekuensi
Histogram adalah diagram batang yang alasnya merupakan
panjang kelas interval, sedangkan tingginya merupakan frekuensi
kelas interval.
Jika tiap tengah-tengah sisi atas batang yang berurutan
dihubungkan dengan garis lurus, maka diperoleh poligon
frekuensi.
Sajikan data berikut ini kedalam histogram dan poligon frekuensi!
Tabel 1.6
Kelas Interval Tepi Kelas Frekuensi15-19 14,5-19,5 220-24 19,5-24,5 1025-29 24,5-29,5 1930-34 29,5-34,5 2735-39 34,5-39,5 1640-44 39,5-44,5 1045-49 44,5-49,5 650-54 49,5-54,5 555-59 54,5-59,5 360-64 59,5-64,5 2
jumlah 100
Jawab:
Histogram dan poligon frekuensi dari tabel 1.6 ditunjukkan pada
gambar berikut:
30 27
25
Poligon Frekuensi
15 10
2 5 Histogram
2
17 22 27 32 37 42 47 52 57 62
2) Ogive
Ogive adalah kurva mulus yang diperoleh berdasarkan daftar
distribusi frekuensi kumulatif. Dikenal dua macam ogive, yaitu
ogive positif dan ogive negatif. Ogive positif adalah grafik atau
kurva yang disusun berdasarkan daftar distribusi frekuensi
kumulatif kurang dari. Ogive negatif adalah grafik yang disusun
berdasarkan daftar distribusi frekuensi kumulatif lebih dari.
Sebagai contoh, kurva ogive untuk frekuensi kumulatif pada
contoh 1.11 adalah sebagai beikut:
100
80 ogive positif
60
40
20
0
14,5 24,5 34,5 44,5 54,5 64,5
100
80 ogive negatif
60
40
20
0
14,5 24,5 34,5 44,5 54,5 64,5
D. STATISTIKA DESKRIPTIF(Lanjutan)
1. Ukuran Pemusatan Data
Statistik Rataan, median, modus, dan kuartil merupakan pemaparan
statistik yang menjelaskan ukuran pemusatan data.
a. Rataan Hitung
Ukuran pemusatan data (tendensi sentral) yang banyak digunakan
adalah rataan hitung atau aritmatika atau rataan. Sebagaimana telah
anda pelajari di SMP, rataan suatu data didefinisikan sebagai:
Rataan =
Misalnya suatu data disajikan dalam bentuk data tunggal
x₁, x₂, x₃, ..., xn, maka rataan hitung data tersebut, x adalah
x = atau =
b. Menghitung Rataan dengan Menggunakan Rataan Sementara
Pada bagian ini kita akan menghitung rataan dengan cara yang lebih
mudah, yaitu dengan menggeser bilangan yang dicari rataannya
menjadi bilangan yang lebih kecil. Besarnya bilangan yang dipilih
untuk menggeser tersebut kurang lebih nilai rataannya dan besarnya
kita taksir. Oleh karena itu cara ini kita sebut dengan cara rataan
sementara.
Misalnya diketahui data x₁, x₂, x₃, ..., xn, dan x₅ adalah rataan
sementara yang dipilih untuk menggeser bilangan-bilangan tersebut
sehingga kita mendapatkan data baru berikut.
d₁ = x₁ - xs; d₂ = x₂ - xs ; d₃ = x₃ - xs ; ... ; dn = xn – xs
Rataan data baru tersebut adalah
d =
d =
d =
d = x – xssehingga rataan data aslinya x = xs + d Cara menghitung rataan diatas disebut cara simpangan.Menghitung rataan dengan cara simpanganMisalnya diketahui data tunggal x₁, x₂, x₃, ..., xn, dan rataan
sementara yang ditaksir adalah xs, maka rataan data trsebut adalah
x = xs +
dengan di = xi - xs
c. Modus
Modus dari data satu data adalah nilai datum yang memiliki frekuensi
terbesar.
d. Median
Median(Me) adalah ukuran tengah dari statistik peringkat.
Median data berkelompok:
Median = L +( ) c
dengan
L = tepi bawah kelas median
fk = frekuensi kumulatif kelas sebelum median
c = lebar kelas
n = banyaknya data
f = frekuensi kelas median
2. Ukuran Letak
a. Kuartil
Selain median membagi data menjadi dua bagian yang sama, dikenal
juga kuartil yang membagi datamenjadi empat bagian yang sama.
Untuk data berkelompok, cara mencari kuartil serupa dengan cara
mencari median. Hanya saja angka n diganti dengan n untuk
kuartil pertama dan angka n diganti dengan n untuk kuartil ketiga.
Kuartil
Kuartil data berkelompok dirumuskan dengan
Qi = Li + ( ) c
dengan
i = 1, 2, 3
Li = tepi bawah kuartil ke-i
fk = frekuensi kumulatif kelas sebelum kuartil ke-i
f = frekuensi kelas kuartil ke-i
c = lebar kelas
n = banyaknya data
b. Desil
Seperti halnya kuartil, desil membagi data berkelompok menjadi 10
bagian yang sama, yaitu D₁, D₂, D₃, ...., D₉. Cara mencari desil pada
data berkelompok dirumuskan sebagai berikut.
Di = Li + ( ) c
dengan:
i = 1,2,3,...,9
Li = tepi bawah kelas interval yang memuat Di,
fk = jumlah frekuensi semua kelas interval sebelum kelas interval
yang memuat Di,
f = frekuensi kelas interval yang memuat Di,
c = lebar kelas interval,
n = banyaknya data.
desil ke-i adalah data yang terletak pada nomor urut ke-
3. Ukuran Penyebaran Data
a. Jangkauan dan Simpangan Kuartil
Jangkauan adalah selisih antara datum terbesar dan terkecil pada
suatu data. Jangkauan yang kan kita bicarakan berikut adalah
jangkauan antar kuartil disebut juga hamparan yang didefinisikan
sebagai nilai dari selisih antara kuartil atas(Q₃) dan kuartil bawah (Q₁).
jangkauan antarkuartil atau hamparan dilambangkan dengan
H,sehingga
H = Q₃ - Q₁
Setengah dari nilai jangkauan antarkuartil disebut dengan
Qd,sehingga:
Qd = H Qd = (Q₃ - Q₁)
Nilai satu setengah kali dari nilai jangkauan antarkuartil disebut
langkah dan delambangkan L,sehingga:
L = 1 H L = 1 (Q₃ - Q₁)
Data yang letaknya satu langkah dibawah kuartil bawah disebut pagar
dalam yaitu
Pagar Dalam = Q₁ - L
data yang letaknya satu langkah di atas kuartil atas disebut pagar
luar,yaitu
Pagar Luar = Q₃ + L
Data ukuran yang besarnya kurang dari pagar dalam dan lebih besar
dari pagar luar dinamakan pencilan.
b. Simpangan rata-rata
Simpangan rata-rata atau deviasi rata-rata adalah ukuran seberapa
jauh penyebaran nilai-nilai data terhadap nilai rataan.
Simpangan rata-rata
diketahui data tunggal x₁, x₂, x₃, ..., xn, dengan rataan hitung x
simpangan rata-rata data tersebut adalah
SR =
dengan n menyatakan banyaknya data