ルベーグ積分論講義ノート

中島誠 ∗

2014/10/01

∗nakamako@math.tsukuba.ac.jp総合研究棟 B505

1

目次0 集合と位相 I 4

0.1 準備・記号 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40.2 集合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40.3 距離・位相 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1 σ -加法族と測度 111.0 リーマン積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.1 σ -加法族 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.2 ボレル集合族 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.3 有限加法的測度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.4 測度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2 積分 232.1 可測関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.2 ルベーグ積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.3 収束定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.4 微分と積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.5 測度の完備化とルベーグ積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.6 リーマン積分とルベーグ積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.7 広義積分とルベーグ積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3 測度の存在と一意性 393.1 単調族定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.2 *外測度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.3 *拡張定理の証明 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.4 *ルベーグ-スティルチェス積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.5 *フラクタルとハウスドルフ測度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4 フビニの定理 504.1 直積測度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504.2 直積空間の完備化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.3 *ルベーグ測度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

5 Lp-空間 625.1 Lp-空間の定義と基本的性質 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 625.2 Lp-空間の完備性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

A *集合と位相 II 70A.1 距離・位相 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70A.2 ハウスドルフ空間 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71A.3 ストーン-ワイエルシュトラスの定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

B *バナッハ空間,ヒルベルト空間 74

C 準備中のネタ 74C.1 多様体上の測度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74C.2 サードの定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

2

実解析 I, IIでは主に測度論と呼ばれる概念について学んでいく. 測度論とは集合の「長さ」、「面積」、「体積」などを測るために導入された理論である. 微分積分学ではジョルダン測度というものを導入したが,これも集合の「体積」を測るものであった. しかし (あとで確かめるが)ジョルダン測度では [0,1]∩Qといった集合ですら測れなかった. このような不自由さを解消するために「測度」と呼ばれる概念が導入された.

測度論は現在では偏微分方程式や確率論などの解析の分野に限らず幾何や代数の一部の分野でも使われている. 例えばサードの定理は幾何学の分野で非常に重要な役割を果たしている. また第 3.5節ではフラクタルと関連する話題を少し扱っている. その中で数論との関わりを少しだけ書いている.少しだけ確率論の宣伝をしておくと確率論は統計力学や量子力学などの物理学や金融工学,数理ファイナンスなどの経済の分野でも使われており非常に応用との関連を意識できる分野である. (他の分野がそうではないとは言っていない. ただサイコロ振って喜んだり,常にギャンブルのことを考えているような学問ではないことを知っておいてほしい. ちなみに ICM2014でフィールズ賞の受賞者が発表されたがそのうちの一人M. Hairerは確率論の研究者である.) まだ今後どの分野を卒業研究に選ぶか決めていない人は一つの候補にいれてみてはいかがだろうか.

この講義ノートは実解析 Iで学ぶ測度論についてまとめたものである. 実解析 Iでは第 3章までの内容,実解析 IIでは第 4, 5章の内容を扱う. *がついている節は高度な内容なので初学の際は読み飛ばしてもらってかまわない. またこの講義ノートには問,問題が含まれているが「問」は定義の内容などを理解する助けとなるような問題になっている. 自分で解いてみることをすすめる. 「問題」は少し難易度の高い,もしくは他の分野に関連するような内容になっているので興味がある人はやってみるとよい. またこの講義ノートでは扱っていない内容も多数あるのでぜひ興味のある者は他の教科書等を読んでみてほしい.

A, Bでは覚えてなくてもよいが 1本題を話す際に必要な用語や命題についてまとめている. (すみません.前々から準備していましたが Bは間に合いませんでした. 今後加筆していきます.)

参考文献[1] 服部哲弥: ルベーグ積分（測度論）に関する大学院入試問題と解答例 (web サイト.

http://web.econ.keio.ac.jp/staff/hattori/inmon.htm 検索キーワード「服部哲弥 大学院入試問題 ルベーグ積分」)

[2] Kenneth Falconer (服部久美子, 村井浄信訳): 「フラクタル幾何学」共立出版 (新しい解析学の流れ),2006

[3] 伊藤清三:「ルベーグ積分入門」裳華房

[4] 宮島静雄：「関数解析」横浜図書

[5] Inder K. Rana : An introduction to measure and integration. Second edition. Graduate Studies in Mathemat-ics, 45. American Mathematical Society. 2002.

[6] Walter Rudin: Real and complex analysis. Third edition. McGraw-Hill. 1987

[7] Terence Tao.: An introduction to measure theory. Graduate Studies in Mathematics, 126. American Mathe-matical Society. 2011

[8] Michael E. Taylor.: Measure theory and integration. Graduate Studies in Mathematics, 76. American Math-ematical Society. 2006

[9] 吉田伸生: 「ルベーグ積分入門―使うための理論と演習」遊星社

1数学科の学生として覚えておいてほしい,というのが本心だけど...

3

0 集合と位相 Iこの章では実解析を学んでいく上で必要な最低限の知識を書いたつもりである. 大体数学をやる上で必須の知識なので各自確認しておくこと.

0.1 準備・記号• N= 1,2, · · ·: 自然数全体

• N0 = 0∪N

• Z: 整数全体

• Q: 有理数全体

• R: 実数全体

• C: 複素数全体

• R= R∪−∞,∞: 拡張した実数全体.

– a ∈ R∪−∞であるとき, a < ∞,

– a ∈ R∪∞であるとき, a >−∞,

と定義する.

• a,b ∈ Rに対して

a∨b = maxa,b, a∧b = mina,b

特に a+ = a∨0, a− = 0∨(−a)とし,それぞれ aの正部,負部という. 明らかに a= a+−a−, |a|= a++a−

が成り立つ.

• R-値関数 f ,gに対して ( f ∨g)(x)は x 7→ f (x)∨g(x)を表す. ( f ∧g)(x), f+(x), f−(x)も同様.

0.2 集合Z を集合とする.

Z の部分集合 X ,Y に対して

X ∪Y = x : x ∈ X または x ∈ Y

を X と Y の和集合という.

例題 0.1. Z = Nとする.X = 正の偶数全体 , Y = 正の奇数全体 とすると X ∪Y = Nである.

Z の部分集合 X ,Y に対して

X ∩Y = x : x ∈ X かつ x ∈ Y= x : x ∈ X ,x ∈ Y

を X と Y の共通部分という.

例題 0.2. Z = Nとする.X = 正の偶数全体 , Y = 正の奇数全体 とすると X ∩Y = /0である.

4

Z の部分集合 X ,Y に対して

X\Y = x : x ∈ X かつ x ∈ Y

を X と Y の差集合という.

例題 0.3. X = Z = R, Y =Qとする.R\Q= 無理数全体 である.

Z の部分集合 X に対して

Xc = Z\X = x ∈ Z : x ∈ X

を X の補集合という.

集合 X ,Y が X ∩Y = /0であるとき X ,Y は非交差,互いに素であるといい, X ∪Y を X +Y と表す.集合 X の部分集合 Aに対して,次のように定義される関数 1A : X →0,1を Aの定義関数と呼ぶ:

1A(x) =

1, x ∈ Aのとき

0, x ∈ Aのとき.

X の部分集合全体を 2X と表す.

問 0.1. 定義関数について次のことを示せ.

・ 1A∩B = 1A ∧1B = 1A1B ・ 1A∪B = 1A ∨1B = 1A +1B −1A∩B

・ 1A+B = 1A +1B ・ 1A\B = (1A −1B)∨0 = 1A −1A1B

Λを集合とし, λ ∈ Λに対して Xλ を集合とする.

•∪

λ∈ΛXλ ,

∩λ∈Λ

Xλ を

∪λ∈Λ

Xλ = z: z ∈ Xλ となる λ ∈ Λが存在する.

∩λ∈Λ

Xλ = z: 全ての λ ∈ Λに対して z ∈ Xλ .

と定義する. 特に Xλλ∈Λの任意の２つが非交差であるとき Xλλ∈Λは非交差であると言い∪

λ∈Λ Xλ

を

∑λ∈Λ

Xλ

と記す.

問 0.2. 集合の族 Xλλ∈Λ, Yλλ∈Λ に対して次を示せ.(∪λ∈Λ

Xλ

)c

=∩

λ∈ΛXc

λ ,

(∩λ∈Λ

Xλ

)c

=∪

λ∈ΛXc

λ .(∪λ∈Λ

Xλ

)\

(∪λ∈Λ

Yλ

)⊂∪

λ∈Λ(Xλ\Yλ ) .

定義 0.1. (集合列の上極限,下極限) Ann≥1 を集合列に対して,

limn→∞

Andef=∪n≥1

∩n≥m

An, limn→∞

Andef=∩

m≥1

∪n≥m

An.

をそれぞれ下極限集合,上極限集合とよぶ.limn→∞

An ⊂ limn→∞

Anが成り立つ. また limn→∞

An = limn→∞

Anのとき,その集合を極限集合と呼び, A = limn→∞

Anと書く.

5

問 0.3. 次のことを示せ.

• limn→∞

An = z :有限個の nを除いて z ∈ An.

• limn→∞

An = z :無限個の nに対して z ∈ An.

全ての nに対し An ⊂ An+1 が成り立つとき Ann≥1 は非減少,単調増加であるといい, An ⊃ An+1 であるとき非増加,単調減少であるという.「Ann≥1が非減少,かつ A = ∪n≥1Anである」とき,「Ann≥1が非減少,かつ A = ∩n≥1An である」ときをそれぞれ

An A, An A

と書く.

問 0.4. 次のことを示せ.

•(

limn→∞

An

)c

= limn→∞

Acn,(

limn→∞

An

)c= lim

n→∞Ac

n.

• limn→∞

(An ∪Bn) = ( limn→∞

An)∪ ( limn→∞

Bn), limn→∞

(An ∪Bn) = ( limn→∞

An)∪ ( limn→∞

Bn)

問 0.5. X を集合とする. 次を示せ.

(i) A ⊂ 2X に対して, 1∪A∈A A = supA∈A 1A, 1∩A∈A A = infA∈A 1A.

(ii) An ⊂ X (n = 1,2, · · · )に対して 1 limn→∞

An= lim

n→∞1An , 1 lim

n→∞An

= limn→∞

1An .

X ,Y を集合, φ : X → Y を写像とする.

• A ⊂ X に対して φ(A) def= φ(x) ∈ Y : x ∈ A ⊂ Y を φ による Aの像と呼ぶ.

• B ⊂ Y に対して φ−1(B) def= x ∈ X : φ(x) ∈ B ⊂ Y を φ による Bの逆像と呼ぶ.

• φ(X) = Y であるとき φ は全射であるといい, y ∈ φ(X)に対して φ−1(y)が 2つ以上の元を含まないとき, φ を単射であるという.

• φ が単射であるとき, 各 y ∈ φ(X) に対して φ−1(y) ∈ X を対応させることができる. この写像をφ−1 : φ(X)→ X を φ の逆写像と呼ぶ.

• φ が単射,かつ全射であるとき全単射であるという.

• A ⊂ X に対し, A ∋ x 7→ φ(x)として得られる Aから Y への写像を φ|Aと表し, φ の Aへの制限と呼ぶ.

• 集合 Z と写像 ψ : Y → Z に対して,写像 X ∋ x 7→ ψ(φ(x)) ∈ Z を φ と ψ の合成といい, ψ φ と表す.

例題 0.4. X ,Y を集合, f : X →Y を写像とする. X の部分集合 A1,A2と Y の部分集合 B1,B2に対して次がなりたつ.

• f (A1 ∪A2) = f (A1)∪ f (A2), f (A1 ∩A2)⊂ f (A1)∩ f (A2).

• f−1(B1 ∪B2) = f−1(B1)∪ f−1(B2), f−1(B1 ∩B2) = f−1(B1)∩ f−1(B2).

証明. f (A1 ∪A2) = f (A1)∪ f (A2)について.(⊂) y ∈ f (A1 ∪A2)とすると,

ある x ∈ A1 ∪A2 で f (x) = yとなるものが存在する.

6

よって y ∈ f (A1)∪ f (A2)である. つまり f (A1 ∪A2)⊂ f (A1)∪ f (A2).

(⊃) y ∈ f (A1)∪ f (A2)とすると y ∈ f (A1)または y ∈ f (A2)である. y ∈ f (A1)ならば

ある x ∈ A1 で f (x) = yとなるものが存在する

ので y ∈ f (A1 ∪A2)である. y ∈ f (A2)の時も同様に y ∈ f (A1 ∪A2)であることが示せるので f (A1)∪ f (A2)⊂f (A1 ∪A2).他のものについても同様に示せる.

問 0.6. 例題 0.4の残りを証明せよ.

問 0.7. X ,Y を集合, f : X →Y を写像とする. X の部分集合族 Aλ : λ ∈ Λと Y の部分集合族 Bµ : µ ∈ Mに対して次を示せ.

• f (∪λ∈ΛAλ ) =∪

λ∈Λ f (Aλ ), f (∩λ∈ΛAλ )⊂∩

λ∈Λ f (Aλ ).

• f−1(∪µ∈MBµ) =∪

µ∈M f−1(Bµ), f−1(∩µ∈MBµ) =∩

µ∈M f−1(Bµ).

次の可算集合,非可算集合の概念は測度論を理解する上で不可欠なものなのできちんと理解しておくことが望ましい. 集合 X から自然数全体の集合 Nへの全単射な写像 φ が存在するとき,集合 X は可算集合であるという. X が有限集合,または可算集合であるとき X は高々可算集合であるという.また X が無限個の元を含み可算集合でないとき X は非可算集合であるという.

特に, N, N0, Q, Zは可算集合であり,可算集合の有限直積も可算集合である. (たとえば Z2 も可算集合である.) 一方で R, Cは非可算集合である.

問 0.8. Q, Z, Z2 が可算集合であることを示せ.

0.3 距離・位相 S: 集合.

定義 0.2. 関数 d : S×S → [0,∞)が集合 S上の距離であるとは次の条件を満たす時をいう.

x,y ∈ Sに対して d(x,y) = 0 ⇔ x = y.

x,y ∈ Sに対して d(x,y) = d(y,x).

x,y,z ∈ Sに対して d(x,y)≤ d(x,z)+d(z,y).

(X ,d)を距離空間という. 例題 0.5. x = (x1, · · · ,xn),y = (y1, · · · ,yn) ∈Rnに対して d2(x,y) =

(n

∑i=1

|x1 − y1|2)1/2

とおくと (Rn,d2)は距

離空間になる. (Rn,d2)を特にユークリッド空間と呼ぶ.

例題 0.6. x = (x1, · · · ,xn),y = (y1, · · · ,yn) ∈ Rn に対して d∞(x,y) = max|x1 − y1|, · · · , |xn − yn| とおくと(Rn,d∞)は距離空間になる.

問 0.9. 例題 0.6を証明せよ.

7

問 0.10. −∞ < a < b < ∞とする. C[a,b]を区間 [a,b]上の実数値連続関数全体の集合とする. f ,g ∈C[a,b]

に対して

d( f ,g) = supx∈[a,b]

| f (x)−g(x)|

とすると (C[a,b],d)は距離空間になることを示せ.

問 0.11. −∞ < a < b < ∞とする. C[a,b]を区間 [a,b]上の実数値連続関数全体の集合とする. f ,g ∈C[a,b]

に対して

d′( f ,g) =∫ b

a| f (x)−g(x)|dx

とすると (C[a,b],d′)は距離空間になることを示せ.

問 0.12. (S,d)を距離空間とする. x,y ∈ Sに対して

d′(x,y) =d(x,y)

1+d(x,y)

と定義すると (S,d′)は距離空間であることを示せ.

問題 0.1. 距離空間の列 (Sn,dn) : n ≥ 1を考える. 直積空間 S = ∏n≥1 Sn に対して

d(x,y) = ∑n≥1

1∧dn(xn,yn)

2n , x = (x1,x2, · · ·), y = (y1,y2, · · ·)

と定義すると (S,d)は距離空間であることを示せ. (S,d):距離空間

定義 0.3. a ∈ S, ε > 0に対して B(a,ε) = x ∈ S : d(x,a)< εを点 aの ε-近傍という.集合 A ⊂ Sに対して

B(a,ε)⊂ A

となるような ε > 0が存在するとき aは Aの内点とよぶ. 集合 Aの内点全体の集合を Aの内部といいAo と書く.任意の ε > 0に対して

B(a,ε)∩A = /0, B(a,ε)∩Ac = /0

となるような点を Aの境界点と呼び,集合 Aの境界点全体の集合を境界といい ∂Aと表す.任意の ε > 0に対して

B(a,ε)∩A = /0

となる点を Aの触点といい,集合 Aの触点全体の集合を Aの閉包とよび Aと表す.Ao = Aとなるとき Aは Sの開集合といい, A = Aとなるとき Aは Sの閉集合と呼ぶ.Sの部分集合 Aが点 a ∈ X の近傍であるとは

a ∈ Ao

を満たすときをいう. aの ε-近傍は点 aの近傍になっていることは明らかである.また点 aの近傍全体のなす集合を近傍系という.

8

問 0.13. 次の集合 Aの内部,境界,閉包を求めよ.

(i) A =Q∩ [0,1] (ii) A = x ∈ Rn : d2(x,o)≤ 1. ただし oは Rn の原点

問 0.14. 距離空間 (S,d)の部分集合 Aが開集合であることは,ある εx > 0 : x ∈ Aが存在して

A =∪x∈A

B(x,εx)

と書けることと同値であることを示せ.

問 0.15. 問 0.14を使って 2次元ユークリッド空間において長方形 I = (−1,1)× (−1,1)は開集合であることを示せ.

問 0.16. 点 a ∈ Sが集合 Aの触点であるとは点 aに収束するような Aの列 an ∈ A : n ≥ 1が存在することであることを示せ. (距離空間での収束の意味が分からない時はユークリッド空間の場合に示せ.)

S(= /0): 集合. O ⊂ 2S: 部分集合族

定義 0.4. O が集合 Sの位相であるとは次の条件を満たす時をいう.

S ∈ O, /0 ∈ O

O1, · · · ,On ∈ O ⇒n∩

i=1

Oi ∈ O, 有限交差で閉じている

Oλ ∈ O,λ ∈ Λ ⇒∩

λ∈ΛOλ ∈ O, 和で閉じている (非可算和でもよい)

また位相 O を与えられたとき (S,O)を位相空間といい, O ∈ O を Sの開集合と呼ぶ. またCc ∈ O であるときCを Sの閉集合と呼ぶ.

位相空間 (S,O)とする. N ⊂ Sが点 a ∈ Sの近傍であるとは a ∈ No となるときをいう. 特に aを含む開集合を開近傍とよぶ. 集合 Sに対して O1 = /0,S, O2 = 2S はそれぞれ位相になる. O1 を密着位相, O2 を離散位相と呼ぶ.

集合 Sに距離 d が入っているとき自然に位相が定義できる. (問 A.1参照)

以下,断りがない限り距離空間には距離により自然に定まる位相が入っているものとする.

問 0.17. (S,d)を距離空間とする. O = O ⊂ S : Oは Sの開集合 とすると O は定義 0.4の条件をすべて満たすことを示せ.

問 0.18. Rn 上の距離 d2,d∞ に対してそれぞれ位相 O2,O∞ が定義できる. O2 = O∞ であることを示せ. 定義 0.5. (S,OS), (T,OT )を位相空間とする. 写像 f : S → T が点 x ∈ Sで連続であるとは f (x)の開近傍 N ∈ OT に対して

f−1(N) ∈ OS

となるときを言う. Sの各点で連続であるとき f は連続であるという. 問 0.19. (S,OS), (T,OT ), (U,OU )を位相空間とする. 写像 f : S → T , g : T →U がそれぞれ連続であるとする. このとき g f : S →U は SからU への連続な写像であることを示せ.

9

問 0.20. 位相空間 (S,OS), (T,OT )と連続写像 f : S → T で次のようなものを見つけよ.

ある O ∈ OS が存在して f (O) ∈ OT (S,O):位相空間.

定義 0.6. K ⊂ Sがコンパクトであるとは

K の任意の開被覆に対して有限個の開被覆が存在することである. つまり

Oλ : λ ∈ Λ ∈ O, K ⊂∪

λ∈ΛOλ

⇒ある λ1, · · · ,λn ∈ Λが存在して K ⊂n∪

i=1

Oλn . 距離空間 (Rn,d2)の位相の下ではK ⊂Rnがコンパクトであることと有界閉集合であることは同値である.

問 0.21. (S,O)はコンパクト空間であるとする. f が S上の実数値連続関数であるとき f は有界であることを示せ.

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1 σ -加法族と測度微分積分学では空間上の様々な集合に対して「面積」や「体積」の概念を数学的に定義し,さらに関数

の微分や積分を学んだ. この「長さ」「面積」や「体積」といったものは集合の大きさを測っていると捉えられる. しかし微分積分学の範囲での定義では大きさを測ることができないような集合が存在する (問 1.1).そのような集合の大きさを測るために「面積」や「体積」といったもの精密化していく.

また Rd の部分集合だけでなく,他の集合についても大きさを測ることも考えていく. 2

例えば確率論で標本空間とはある試行をしたときに起こりうる全ての結果の集合のことで,事象とは標本空間の部分集合のことである. 1回のコイン投げに対してその標本空間はΩ = 表,裏 になる.また事象は

/0,表 ,裏 ,表,裏

のいずれかである. このとき「表が出る確率」とは「事象 表 の大きさ」を測っていると捉えられる.

1.0 リーマン積分

実解析 I, IIの講義,演習では主に積分に関する話題を扱う.微分積分学で扱う積分とは一般にはリーマン積分と呼ばれるもので以下のように定義された. d ∈ N, −∞ < a j < b j < ∞ (1 ≤ j ≤ d)とする.

定義 1.1.

A =[a1,b1)×·· ·× [ad ,bd) 右半開区間

or (a1,b1]×·· ·× (ad ,bd ] 左半開区間

or (a1,b1)×·· ·× (ad ,bd) 開区間

or [a1,b1]×·· ·× [ad ,bd ] 閉区間

を Rd の区間と呼ぶ. ただし (−∞,b], (−∞,∞), [a,∞)等も認める.有限区間 Aの測度を |A|と表し

|A|=d

∏j=1

(b j −a j)

と表す.

2この講義ノートは最初から一般の集合に対して測度を定義していく構成になっている. 一般の集合の議論でわからない場合は Rd

やその部分集合に置き換えて読むことを勧める.

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定義 1.2. A ⊂ Rd : 有界集合, f : Rd → R,有界. ただし x ∈ Ac であるとき f (x) = 0とする.集合 Aの分割 ∆を次のように定義する.

∆ =

I j : I j (1 ≤ j ≤ k)は互いに素な Rd の区間で A ⊂

k∪j=1

I j

.

Aの分割 ∆に対して f の不足和 s( f ,∆),過剰和 S( f ,∆)を次のように定義する.

s( f ,∆) =k

∑j=1

|I j| infx∈I j

f (x)

S( f ,∆) =k

∑j=1

|I j|supx∈I j

f (x)

さらに (Darboux)の下積分 D( f ),上積分 D( f )を

D( f ) = sup∆

s( f ,∆), D( f ) = inf∆

S( f ,∆)

と定義する.特に D( f ) = D( f )であるとき f は A上リーマン可積分であるといい,その値を

∫A f (x)dxと表しリー

マン積分と呼ぶ.また f (x) = 1A(x)がリーマン可積分であるとき Aはジョルダン可測であるといい,

∫Rd 1A(x)dxを Aの

ジョルダン測度と呼び mJ(A)と表し,またジョルダン可測な集合全体をJ と表す. 注: Aに対して D(1A)をジョルダン内測度, D(1A)をジョルダン外測度と言い,それぞれ m∗J(A), m∗

J(A)と表す.

例題 1.1. (i) 一点集合 x(x ∈ Rd)はジョルダン可測である.

(ii) Rd の有界区間 Aはジョルダン可測である.

(iii) (0,1]d ∩Qd はジョルダン可測ではない.

問 1.1. (0,1]d ∩Qd はジョルダン可測ではないことを示せ.

上の例から生まれる疑問がある.

疑問 (1) リーマン可積分な関数は意外と少ない?

(2) (0,1]∩Qの “長さ”はどれくらい? 0?, 1?, 12 ?· · ·

面積や体積,積分の概念をもっと一般化できないか?⇒測度,ルベーグ積分.注: 大雑把に言うとリーマン積分は定義域の分割を行っていたのに対して,ルベーグ積分は値域の分割を行って積分を定義する.

問 1.2. f , gは [a,b]上リーマン可積分関数であるとする. このとき f +gもリーマン可積分関数であり∫ b

a( f (x)+g(x))dx =

∫ b

af (x)dx+

∫ b

ag(x)dx

が成り立つことをリーマン積分の定義を使って示せ.

問 1.3. f : [a,b]→ Rはリーマン可積分とする. このとき f は任意の x ∈ [a,b]に対して [a,x]上リーマン可積分であることを示せ. また

F(x) =∫ x

af (t)dt

12

は [a,b]上一様連続であることを示せ.

問題 1.1. f : [a,b]→ Rで | f |はリーマン可積分であるが f はリーマン可積分でないような例を見つけよ.

問題 1.2. I = [0,1]∩Qとする. I は可算集合であるのでその元を c1,c2, · · · と番号付けする. 次の関数 f は[0,1]上リーマン可積分であることを示し,積分の値を求めよ.

f (x) =

1k

x = ck (k ∈ N)

0 x ∈ [0,1]\I.

問題 1.3. [0,1]上の関数 f を次のように定義する.

f (x) =

1m

x =nm.ただし m,nは互いに素な自然数

1 x = 0

0 それ以外.

以下の問に答えよ.

(i) f は I = [0,1]∩Qの点では連続でないが, [0,1]\Qの点では連続であることを示せ.

(ii) f はリーマン可積分であることを示し,積分の値を求めよ.

1.1 σ -加法族「測度」とは “長さ”, “面積”, “体積”を測る尺度のようなもの. ジョルダン測度では (0,1]∩Qですら測れない.⇒もう少し “精度のよい”測度が欲しい.まずは “測ることができる集合全体”とはどのような性質を持っていてほしいかについてみる. 3

S: 集合, A ⊂ 2S: 部分集合族.

定義 1.3. A が次を満たすとき Sの σ -加法族 (完全加法族 a)という.

/0 ∈ A (空集合を含む) (1.1)

A ∈ A ⇒ Ac = S\A ∈ A (補集合で閉じている) (1.2)

An ∈ A , n ∈ N⇒∪n≥1

An ∈ A (可算和で閉じている) (1.3)

• Sと σ -加法族A の組 (S,A )を可測空間と呼ぶ.

• (S,A )が可測空間, A ∈ A であるとき Aは可測であるという.

a偏微分方程式の分野では完全加法族,確率論の分野では σ -加法族と呼ぶ人が多い (という勝手な印象) 例題 1.2. (i) 集合 Sに対して /0,S ⊂ 2S は σ -加法族である.

(ii) 集合 Sに対して 2S は σ -加法族である.

(iii) ジョルダン可測集合全体は σ -加法族ではない.

3定義 1.2 からリーマン積分では積分⇒ ジョルダン測度⇒ ジョルダン可測集合の順で定義していったことがわかるが,ルベーグ積分ではこの逆の順番で定義していく.

13

何故このような部分集合族を考えるのであろうか?名前からわかるようにA の元はある “測度”で測ることができる (長さ,面積,体積などがわかる)対象になる. つまり条件 (1.1), (1.2), (1.3)が “よい精度”を持つ測度で測れるためのよい条件であると予想される.実際 (1.1), (1.2)は自然な条件であろう. (1.3)を (1.3’)とみると,「互いに素な測ることができる集合が可算個あれば,その和集合も測ることができる」と解釈できる. これもまた自然な条件である.

命題 1.1. A ⊂ 2S が σ -加法族であるとき

An ∈ A ,n ∈ N⇒∩n≥1

An ∈ A (可算交差で閉じている) (1.4)

A,B ∈ A ⇒ A\B ∈ A .

証明. An ∈A とすると (1.2)よりAcn ∈A . また (1.3)から∪

n≥1 Acn ∈A . ふたたび (1.2)を使って

(∪n≥1

Acn

)c

=∩n≥1

An ∈ A .

また A\B = A∩Bc であり Bc ∈ A であるので (1.4)において A1 = A, An = Bc (n ≥ 2)とすると A\B ∈ A

がわかる.

問 1.4. (1.1),(1.2)を仮定する. 次のことを示せ.

(1.3)⇔ An ∈ A ,An ∩Am = /0,(n = m ∈ N)⇒ ∑n≥1

An ∈ A . (1.3’)

命題 1.2. S,T を集合. f : S → T を写像, A ⊂ 2S, B ⊂ 2T とする.

f−1(B) = f−1(B) : B ∈ B ⊂ 2S

f (A ) = B ⊂ T : f−1(B) ∈ A ⊂ 2T

と定義する.

(a) Bが σ -加法族であるとき f−1(B)は Sの σ -加法族. (Bの f によるひきもどし).

(b) A が σ -加法族であるとき f (A )は T の σ 加法族. (A の f による押し出し.)

証明. S,T の空集合を /0S, /0T とする. (1.1)∼(1.3)を確認すればよい.(a) (1.1) f−1( /0T ) = /0S, /0T ∈ Bより, /0S ∈ f−1(B).(1.2) f−1(B)の元はB∈Bを使って f−1(B)と表せるがT\B∈Bに対して f−1(B)∋ f−1(T\B)= S\ f−1(B)

である.

(1.3) f−1(Bn) ∈ f−1(B) (Bn ∈N)に対して∪n≥1

Bn ∈ Bであるので∪n≥1

f−1(Bn) = f−1

(∪n≥1

Bn

)∈ f−1(B).

(b)も同様に示せる.

問 1.5. (b)を証明せよ.

問 1.6. 次の集合 Sと部分集合族A ⊂ 2S の組 (S,A )は可測空間であることを示せ.

(i) S, A = 2S (ii) S = N,A = A ⊂ N : ♯A = ∞または ♯Ac = ∞

(iii) S = 1,2,3,4, A = /0,1,2,3,4,S

(iv) S = R, A (n) =

I ⊂ R : I =

∪j∈J

I(n)j ,J ⊂ Z

.ただし I(n)k =

(k−1

2n ,k2n

].

(v) S = R, A = A ⊂ R : Aまたは R\Aが可算 .

14

問 1.7. 次の集合の Sの σ -加法族を全て挙げよ.

(i) S = 0,1, (ii) S = 0,12,

(iii) S = あ,い,う

問 1.8. 集合 Sの σ -加法族A1, A2 に対してA1 ∪A2 が σ -加法族でないようなものの例を挙げよ.

問 1.9. 各 λ ∈ Λに対して (S,Aλ )は可測空間であるとする. このときA =∩

λ∈ΛAλ は Sの σ -加法族である

ことを示せ.

問題 1.4. 問 1.6 (iv)の (S,A (n))を考える. 写像 φ : S → Sを φ(x) = 2xと定義する. A (n) の φ による引き戻し,および押し出しを求めよ.

1.2 ボレル集合族集合 Sに対して σ -加法族を構成する方法を考える.

第 1.1節では集合 Sに対して /0,Sや 2Sは Sの σ -加法族であることを確認した. しかしこれらは小さすぎ,または大きすぎて非常に使い勝手が悪い. そこで適当な大きさの σ -加法族が欲しい.そこで次の補題が役立つ. 補題 1.1. G ⊂ 2S に対して

σ [G ] =∩

A :S の σ -加法族A ⊃G

A

と定義すると σ [G ]は G を含む最小の σ -加法族である. 証明. σ [G ]は σ -加法族であり G を含む. (問 1.9)ただし A : Sの σ -加法族,A ⊃ G ∋ 2Sであることに注意 (空集合ではない). 最小性は定義から明らか.

σ [G ]を G が生成する σ -加法族と呼ぶ. 集合 Sを明示するときは σ [G ]S と書く.

問 1.10. 次の集合 Sとその部分集合族A に対して σ [A ]を求めよ.

(i) S = 1,2,3,4,5, A = 1,2,3,3,4,5

(ii) S = R, A = x,x ∈ R

(iii) S = 0,12, A =(0,0),(1,1)

Rd 上の関数を扱う上で含んでいてほしい集合族とは一体なんであるか考えたときに真っ先に思い浮か

ぶのは開集合全体である. そこで Rd の開集合全体を含む σ -加法族を考える. 定義 1.4. Rd の開集合全体を Od と表すことにする.

B(Rd) = σ [Od ]

をボレル集合族と呼ぶ. 注: Rd の閉集合全体を C d と表すとB(Rd) = σ [C d ]である.注 2: 一般に位相空間 (S,O)に対して σ [O]を Sのボレル集合族と呼びB(S)と表す.

15

今 S = Rd の場合を考えたが, Sが Rd の部分集合である場合はどのように定義すべきか考える. 補題 1.2. S ⊂ T , A ⊂ 2S, B ⊂ 2T とする.

(a) B|S = B∩S : B ∈ BをBの Sへの制限と呼ぶ. Bが T の σ -加法族であるときB|Sは Sの σ -加法族.

(b) A が S上の σ -加法族であるとき, B ⊂ T : B∩S ∈ A は T の σ -加法族である. 問 1.11. 補題 1.2を証明せよ.

補題 1.2により S ⊂ Rd に対してB(Rd)|S とすることで Sの σ -加法族が定義できる.一方で Od |S = O∩S : O ∈ Odと定義すると,これは Sの位相になっている. これにより σ [Od |S]も Sの

σ -加法族である. はたしてB(Rd)|S と σ [Od |S]は一致するのであろうか. それは次の補題により一致することがわかる. 補題 1.3. S ⊂ T , G ⊂ 2T とする. このとき σ [G ]T |S = σ [G |S]S.

証明. ⊃) σ [G ]T |S は S上の σ -加法族で G |S を含む. σ [G |S]S の最小性よりわかる.⊂)「すべての B ∈ σ [G ]T に対して B∩S ∈ σ [G |S]S」を示す.

F = B ∈ 2T : B∩S ∈ σ [G |S]S

と定義するとF は T の σ -加法族であり, G ⊂ F である. よって σ [G ]T ⊂ F .

注: G = Od とすることで一致することがわかった.

Rd の左半開区間全体の集合をI d と表すことにする.

命題 1.3.

B(Rd) = σ [I d ].

問 1.12. 命題 1.3を d = 1の場合に証明せよ.

次に R上のボレル加法族を考える. まず R上に次の距離を定義する.

d(x,y) = |Arctan(x)−Arctan(y)|, x,y ∈ R.

この距離により Rに位相 O を定義でき (R,d)はコンパクト距離空間になる. これにより R上の σ -加法族を σ [O]で定義でき, B(R)と表す.

問題 1.5. B(R)|R = B(R)であることを示せ. (Hint: 補題 1.3を適用する)

16

発展 1可測空間 (Ω,F ), (Ω,G )がF ⊂ G であるとき明らかに (Ω,F ∪G )は可測空間である. では可測空間列 (Ω,Fn) : n ≥ 1がF1 ⊂ F2 ⊂ ·· · ⊂ Fn ⊂ ·· · を満たすとき (Ω,∪n≥1Fn)は可測空間だろうか? 答えは否である. 次のような例がある.

Ω = 0,1N ∋ ω = (ω1,ω2, · · ·), ωn ∈ 0,1

を考える. さらに可測空間 (Ωn,Gn)を

Ωn = 0,1n,Gn = 2Ωn

と定義する. また写像 πn : Ω → Ωnを πn(ω) = (ω1, · · · ,ωn)で定義する. このとき πnによる引き戻しでΩ上に σ -加法族Fn が構成できる. 特に

A ∈ Fn ⇔ある An ∈ 2Ωn が存在して A = (ω1,ω2, · · ·) : (ω1, · · · ,ωn) ∈ An

⇔ ω ∈ Aまたは ω ∈ Aが (ω1, · · · ,ωn)で決定される.

よってFn ⊂ Fn+1 がわかる.次のような部分集合を考える.

U = (ω1,ω2, · · ·) : ωn = 1となる nが無限個存在する.

明らかにU ∈∪n≥1

Fn. また An = ω : ωn = 1とすると An ∈ Fn であり, U は An を使って

U =∩

m≥1

∪n≥m

An

と書くことができる. もし∪n≥1

Fn が σ -加法族になっているならばU ∈∪n≥1

Fn となるので矛盾.

1.3 有限加法的測度ここで一度ジョルダン可測集合とジョルダン測度の性質を思い出す. 次のことが成り立つ.

(a-1) /0 ∈ J ,

(a-2) A,B ∈ J であるとき B\A ∈ J ,

(a-3) A1, · · · ,Ak ∈ J ⇒k∪

j=1

A j ∈ J ,

(b-1) 0 = mJ( /0)≤ mJ(A)≤ ∞,

(b-2) A ⊂ B ⇒ mJ(A)≤ mJ(B),

(b-3) A∩B = /0 ⇒ mJ(A∪B) = mJ(A)+mJ(B).

これらの性質は保ったまま一般化したい. そこでまず (a-1)-(a-3)を拡張した次のようなものを定義する.

17

定義 1.5. 集合 Sの部分集合族 ˜A が次を満たすとき ˜A を有限加法族という.

/0 ∈ ˜A ,

A ∈ ˜A ⇒ S\A ∈ ˜A ,

A1, · · · ,Ak ∈ ˜A ⇒k∪

i=1

Ai ∈ ˜A . 有限和で閉じている

例題 1.3. S ⊂Rd : ジョルダン可測. J |Sを Sの部分集合でジョルダン可測なもの全体とする. このときJ |Sは有限加法族である.

例題 1.4. Sが有限集合であるとき, ˜A が有限加法族⇔ ˜A が σ -加法族.

問 1.13. 例題 1.3を証明せよ.(Hint: Aがジョルダン可測集合である⇔ m∗

J(∂A) = 0.)

注: 我々の定義ではJ ∋ Rd である.ジョルダン測度を一般化して次のように定義する. 定義 1.6. 集合 Sの部分加法族 ˜A は Sの有限加法族であるとする.µ : ˜A → [0,∞]が次を満たすとき, ˜A 上の有限加法的測度という.

(A-1) µ( /0) = 0,かつ A ∈ ˜A ⇒ 0 ≤ µ(A)≤ ∞,

(A-2) A,B ∈ ˜Aかつ A∩B = /0 ⇒ µ(A∪B) = µ(A)+µ(B). 例題 1.5. (a) S ⊂Rd はジョルダン可測であるとする. このとき mJ は (S,J |S)上の有限加法的測度である.

(b) (S,2S)に対して ♯ : 2S → [0,∞]を

µ(A) = ∑x∈A

1 = ♯x : x ∈ A

と定義すると ♯は (S,2S)上の有限加法的測度である.

問 1.14. 例題 1.5を確認せよ. ただし (a)は d = 1の場合のみでよい.

有限加法的測度 µ について次の性質が成り立つ.

命題 1.4. (S, ˜A )は有限加法族, µ は (S, ˜A )上の有限加法的測度であるとする. このとき

A1, · · · ,Am ∈ ˜A ,A0 =m

∑i=1

Ai ⇒ µ(A0) =m

∑i=1

µ(Ai), 有限加法性, (1.5)

A1, · · · ,Am ∈ ˜A ,A0 =m∪

i=1

Ai ⇒ µ(A0)≤m

∑i=1

µ(Ai), 有限劣加法性, (1.6)

A1,A2 ∈ ˜A ,A1 ⊂ A2 ⇒ µ(A1)≤ µ(A2), 単調性 (1.7)

が成り立つ.

問 1.15. 命題 1.4を証明せよ.

問 1.16. Iを R内の有界閉区間とする. f : I → [0,∞)が I上の連続な関数であるとする. µ : J |I → [0,∞]を

µ(B) =∫

Bf (x)dx

と定義すると µ は (I,J |I)上の有限加法的測度であることを示せ.

18

問 1.17. A が有限加法族であり, (A ,µ)が有限加法的測度であるとする. A1,A2 ∈ A であるとする.

(i) µ(A1)+µ(A2) = µ(A1 ∪A2)+µ(A1 ∩A2)を示せ.

(ii) µ(A1 ∪A2)< ∞ならば, µ(A1)≤ µ(A2)⇔ µ(A1\A2)≤ µ(A2\A1)であることを示せ.

問題 1.6. 次のようにして [0,1]の部分集合の列 Cn∞n=0 を構成する.

(a) C0 = [0,1].

(b) Cn =Cn−1 にある各区間の中心から長さ 13n の開区間を取り除いてできる集合.

C =∩

n≥0 Cn とする.

(i) Cは [0,1]のコンパクト集合であることを示せ.

(ii) Cはジョルダン可測であることを示せ.

注: 問 1.6で得られた集合Cをカントール集合といいフラクタル 4の一種である. Cは非可算集合である.

例題 1.6. カントール集合を次のように拡張する. 0 < r < 13 とする.

(a) C(r)0 = [0,1].

(b) C(r)n =C(r)

n−1 にある各区間の中心から長さ rn の開区間を取り除いてできる集合.

C(r) =∩n≥0

C(r)n とすると,以下のことがわかる.

(i) C(r) は閉集合である.

(ii) C(r) の各点は孤立点である.

(iii) m(C(r)) = 1−3r1−2r .

(i)∼(iii)よりC(r)はジョルダン可則集合でないことがわかる. つまり有界閉集合であってもリーマン積分が定義できないような例になっている.

1.4 測度第 1.3節では有限加法的測度の性質を見た. 特にジョルダン測度はJ の元は測れるが σ [J ]の元は測れないことがわかった. そこで “よい精度”を持つものを考える.

(X ,F )を可測空間とする.

定義 1.7. µ : F → [0,∞]が次を満たすとき (F ,µ)は測度であるという.

A ∈ F に対して 0 = µ( /0)≤ µ(A)≤ ∞, 非負性 (1.8)

An ∈ F , Ai ∩A j = /0 (i = j)⇒ µ

(∑n≥1

An

)= ∑

n≥1µ(An), 可算加法性,完全加法性 (1.9)

またそのとき (X ,F ,µ)を測度空間と呼ぶ. なぜ可算加法性を仮定するのか.

4ある種の自己相似性を持つような集合. シルピンスキーガスケット (Sierpinski gasket) やシルピンスキーカーペット (Sierpiskicarpet) などが有名である. 特にこれらの例では次元が整数ではない. 3.5 節参照.

19

(可算性が自然な理由) 0 = a0 < a1 < · · ·< an 1とする. An = (an−1,an]とおくと ∑n≥1

An = (0,1)であり,

mJ(∑n≥1

An) = mJ(0,1) = 1 = limn→∞

an = limn→∞

n

∑k=1

(an −an−1) = ∑n≥1

mJ(An).

(非可算和ではいけない理由)一点集合 x ∈ Rを考えると (0,1) =∪

x∈(0,1)xである. もし非可算和が可

能であるとすると

mJ(0,1) = 1 = 0 = ∑x∈(0,1)

0 = ∑x∈(0,1)

mJ(x).

例題 1.7. (a) 例題 1.3(b)で与えられた (S,2S, ♯)は測度空間である. 特に ♯を個数測度と呼ぶ.

(b) x ∈ Sとする. δx : 2S → [0,∞]を

δx(A) =

1, A ∋ x

0, A ∋ x

と定義すると δx は測度である. (δx を点 xにおけるディラク測度という.)

問 1.18. 例題 1.7(a),(b)をそれぞれ確かめよ.

命題 1.5. (X ,F ,µ)を測度空間とする. このとき (1.5)∼(1.7)が成り立つ.さらに

An ∈ F (n ≥ 1)⇒ µ

(∪n≥1

An

)≤ ∑

n≥1µ(An), 可算劣加法性 (1.10)

A1 ⊂ A2 ⊂ ·· · ⊂ An ⊂ ·· · , An ∈ F (n ≥ 1)⇒ limn→∞

µ(An) = µ

(∪n≥1

An

), (1.11)

A1 ⊃ A2 ⊃ ·· · ⊃ An ⊃ ·· · , An ∈ F (n ≥ 1),µ(A1)< ∞ ⇒ limn→∞

µ(An) = µ

(∩n≥1

An

)(1.12)

問 1.19. (1.10), (1.11), (1.12)を確かめよ.

問 1.20. (1.12)は µ(A1)< ∞がなければ一般には成り立たない. 例を与えよ.

問題 1.7. an : n ∈ N (an ∈ [0,∞])を考える. µa : 2N → [0,∞]を

µa(A) = ∑n∈A

an

とおくと µa は (N,2N)上の測度となることを示せ.

ここまで一般的な可測空間について扱ってきたがB(Rd)上の測度について考察する. 定理 1.1. 測度 (B(Rd),m)で J =

d

∏j=1

(a j,b j]∩Rに対して m(J) =d

∏j=1

(b j −a j)となるものがただ一つ

存在する.

この mをB(Rd)上のルベーグ測度 (Lebesgue measure)という. 証明. 存在,一意性の証明は後に回す.(第 3節)

注: 定理 1.1により m((0,1]∩Q) = ∑q∈(0,1]∩Q m(q) = 0となる.

20

問 1.21. (R3,B,m)を測度空間とする. ただしBはボレル加法族, mはルベーグ測度とする. このとき平面(x,y,z) ∈ R3 : z = 0はボレル可測集合でルベーグ測度 0であることを示せ.

(平面はジョルダン可測ではなかったことに注意.)

注: ジョルダン可測であるがボレル可測でない例が存在する.5 (X ,F ,µ): 測度空間.

定義 1.8. µ(X) < ∞であるとき, µ は有限測度であるという. また µ(X) = ∞であるとき, µ は無限測度であるという.特に µ(X) = 1であるとき µ を確率測度とよび, (X ,F ,µ)を確率空間と呼ぶ. また無限測度 µ に対して

An ∈ F , A1 ⊂ A2 ⊂ ·· · , µ(An)< ∞, X =∪n≥1

An (1.13)

となるものが存在するとき µ は σ -有限測度と呼ぶ. 問 1.22. B(Rd)上のルベーグ測度 mは σ -有限測度であることを示せ.

問 1.23. 無限測度であるが σ -有限測度ではないような測度 µ の例を作れ.

問 1.24. (X ,F ,µ)が測度空間とする. An ∈ F (n ≥ 1)とする. ∑n≥1

µ(An)< ∞であるならば µ( limn→∞

An) = 0で

あることを示せ. (Hint: Bn =∪

m≥n

Am とすると · · · )

問題 1.24の結果をボレル-カンテリの補題という.

5[吉田伸生: ルベーグ積分入門使うための理論と演習]

21

発展 2 (発展 1の続き)表が出る確率が 1

2 ,裏が出る確率が 12 のコイン投げを無限回行う試行を考える. 表を 1,裏を 0と対応

させると無限回の試行による標本空間は

Ω = 0,1N

である. このとき n回の試行で決まる事象 Aとは A ∈ Fn を満たす Ωの部分集合のことである.F =

∪n≥1

Fn とおく. このとき A ∈ F に対して自然に事象 Aが起こる確率を定義できる. つまりある

P : F → [0,1]で任意の A ∈ F に対して

P(A) =事象 Aが起きる確率

となるものが存在する. 特に A,B ∈ F , A∩B = /0のとき P(A∪B) = P(A)+P(B)である.では表が無限回出る確率を計算してみよう.表が無限回出るという事象は発展 1のU に相当するのでU ∈ F である. そこで Pを F = σ [F ]上の測度になるように拡張できたとする a. Bn =

∪m≥n Amとおくと Bnは n回以降に 1度は表が出る事象で

ある. あきらかに

Bcn =

∩k≥0

Acn+k =

∩m≥1

m∩k=0

Acn+k

である. P

(m∩

k=0

Acn+k

)=

12m+1 から

P(Bn) = 1−P(Bcn) = 1− lim

m→∞P

(m∩

k=0

An+k

)= 1 (1.14)

であり

P(U) = limn→∞

P(Bn) = 1 (1.15)

となる. ここで (1.14), (1.15)では測度の性質を使っていることに注意. このように “無限回の試行”というものを考えるときには測度を用いて議論する必要が出てくる. またΩ ∋ 0 = (0,0,0, · · ·)である. つまり確率 1で無限回表が出るが標本空間には 0 (=裏しか出ない)が入っている.

a実際に拡張できるがその話は確率論の講義に譲る

22

2 積分第 1章では面積や体積といった概念を一般化した. この章では積分の定義を測度に合わせて拡張する.

2.1 可測関数積分が定義できるような関数は一体どのようなものであろうか? リーマン積分の場合大雑把にいうと連続関数は積分可能であるが,例えば 1(0,1]∩Q は積分可能ではない. このような関数に対しても積分を定義できるようになりたい.

(X ,F ), (Y,G )を可測空間とする.

定義 2.1. f : X → Y が次を満たすとき f はF/G -可測であるという.

B ∈ G ⇒ f−1(B) ∈ F . 参照: (S1,O1), (S2,O2)を位相空間とする.

f : S1 → S2が連続である.def⇔ A ∈ O2 ⇒ f−1(A) ∈ O1.

G が自明であるときF -可測と略すこともある. F , G が自明なとき単に可測ということもある.

問 2.1. A∈F であるとする. このとき関数 f (x)= 1A(x)はF -可測関数であることを示せ. また a1, · · · ,an ∈R,

A1, · · · ,An ∈ F (Ai ∩A j = /0)に対して関数 f (x) =n

∑i=1

ai1Ai(x)はF -可測であることを示せ.

問 2.2. (X ,F ), (Y,G ), (Z,H )を可測空間, F : X →Y , G : Y → Zが可測であるとする. このときGF : X → Z

が可測であることを示せ. 補題 2.1. X , Y を集合, A を X の部分集合族, ˜A を Y の部分集合族とする.

f : X → Y が f−1( ˜A )⊂ A ⇒ f はσ [A ]/σ [ ˜A ]-可測. 証明. D = A ∈ σ [ ˜A ] : f−1(A) ∈ σ [A ]とすると D は σ -加法族であり, ˜A ⊂ D なので σ [ ˜A ]⊂ D .

問 2.3. f : Rd → Rが連続関数であるならば f はボレル可測であることを示せ.

問題 2.1. 連続関数 f ,g : Rd → Rがルベーグ測度 0の集合 E 以外の点で一致するとする. このとき f ,gはいたるところ一致することを示せ.

命題 2.1. (X ,F )を可測空間とする.

f : X → Rが可測

⇔任意の a ∈ Rに対して f−1((a,∞)) ∈ F

⇔任意の a ∈ Rに対して f−1([a,∞)) ∈ F

⇔任意の b ∈ Rに対して f−1((−∞,b)) ∈ F

⇔任意の a ∈ Rに対して f−1((−∞,b]) ∈ F .

23

証明. 一つ目の同値性のみ示す. ⇒)自明⇐)任意の a ∈ Rに対して f−1((a,∞)) ∈ F とすると

任意の a ∈ Rに対して f−1((−∞,a]) ∈ F である.

このとき aの ε-近傍を Bε(a) = x ∈ R : |x−a|< εと定義すると

Bε(a) = (a− ε)∩

(∪n≥1

(−∞,a+ ε − 1n ]

)

となるので

f−1(Bε(a)) = f−1(a,∞)∩

(∪n≥1

f−1((−∞,a+ ε − 1n ])

)∈ F

である. R は可分なので R の開集合は高々可算個の開球の和で表される (第 2 可算公理). よって任意のO ∈ O に対して f−1(O) ∈ F .

問題 2.2. (X ,F )が可測空間であるとする. 次を示せ.

f : X → RがF -可測. つまり A ∈ B(R)ならば f−1(A) ∈ F .

⇔ f−1((a,∞]) ∈ F , for ∀a ∈ R

⇔ f−1([a,∞]) ∈ F , for ∀a ∈ R

⇔ f−1([−∞,a)) ∈ F , for ∀a ∈ R

⇔ f−1([−∞,a]) ∈ F , for ∀a ∈ R

問 2.4. (X ,F )は可測空間とする. g1, · · · ,gd : X → Rは可測関数とする. 以下の問に答えよ.

(i) G : X → Rd を G(x) = (g1(x), · · · ,gd(x)), x ∈ X と定義すると Gは F -可測であることを示せ. (Hint:B(Rd) = σ [I d ].)

(ii) f : Rd → Rが可測であるとき F : X → Rを F(x) = f (g1(x), · · · ,gd(x)), (x ∈ X)と定義すると F はF -可測であることを示せ.

問 2.5. (X ,F )が可測空間であるとする. f ,g, fn : X → Rは可測関数 (n ≥ 1), a,b ∈ Rとする.

(i) a f +bg, f g, f ∨g, f ∧gはF -可測であることを示せ.

(ii) supn≥1

fn, infn≥1

fn, limn→∞

fn, limn→∞

fn はF/B(R)-可測であることを示せ.

問 2.6. f ,g : R→Rはボレル可測関数であるとする. このとき集合 x ∈R : f (x) = g(x)はボレル可測集合であることを示せ.

2.2 ルベーグ積分(X ,F ,µ)を測度空間とする.この節では可測関数に積分を定義する. 定義 2.2. f : X → Rは可測であるとする. ♯ f (X)< ∞であるとき,すなわち

f (x) =n

∑j=1

a j1A j(x), a j ∈ R, A j ∈ F

であるとき, f を可測単関数という. 24

問 2.7. f ,g : X → Rが可測単関数であるとき f +g, f gも可測単関数であることを示せ.

例題 2.1. (i) 定数関数は可測単関数である.

(ii) f (x) = 1Q(x)は可測単関数である. 定義 2.3. (可測単関数の積分)

φ : X → [0,∞]が可測単関数であり, φ(x) =n

∑i=1

ai1Ai(x), ai ≥ 0, Ai ∈ F で与えられているとする. φ の X

上での積分を ∫X

φ(x)µ(dx) =∫

Xφdµ =

n

∑i=1

aiµ(Ai) (2.1)

と定義する. また φ と E ∈ F に対して∫

E φdµ =∫

X 1E ·φdµ と定義する. 注: ∞×0 = 0と定義する.注: この積分の定義は Aがジョルダン可測のとき

∫Rd 1A(x)dx = mJ(A)と定義したことと同様のことを考

えている.また次の補題から非負可測単関数の積分は矛盾なく定義できている (well-defined)ことがわかる. 補題 2.2. 非負可測単関数 φ が 2つの表現

φ(x) =n

∑i=1

ai1Ai(x) =m

∑j=1

b j1B j(x), (ai,b j ≥ 0, Ai,B j ∈ F )

をもつとき ∑ni=1 aiµ(Ai) = ∑m

j=1 b jµ(B j)である. 証明. Ai,B j を互いな素な可測集合の和として表せばよい.

次の命題では積分として自然な性質を見る.

命題 2.2. φ ,ψ を非負可測単関数とする.

φ ≥ ψ ⇒∫

Xφdµ ≥

∫X

ψdµ. (2.2)

a ≥ 0, b ≥ 0 ⇒∫

X(aφ +bψ)dµ = a

∫X

φdµ +b∫

Xψdµ. (2.3)

E,F ∈ F , E ∩F ∈ /0 ⇒∫

E∪Fφdµ =

∫E

φdµ +∫

Fφdµ. (2.4)

E,F ∈ F , E ⊃ F ⇒∫

Eφdµ ≥

∫F

φdµ . (2.5)

次に非負可測関数に対する積分を定義する. 定義 2.4. (非負可測関数の積分)f : [0,∞]が可測とする. f の X 上の積分を次のように定義する.∫

Xf (x)µ(dx) = lim

n→∞

∫X

φn(x)µ(dx).

ただし, φnn≥1は非負単関数列で 0 ≤ φ1(x)≤ φ2(x)≤ ·· · かつ,任意の x ∈ X で limn→∞

φn(x) = f (x)を満たすようなもの. この定義が矛盾なく定義できていることは以下の問の結果から従う.

25

問 2.8. (φn(x)n≥1 の存在)f : X → [0,∞]を可測関数とする. 次のように ϕn : X → [0,∞)を定義する.

E(n)k = f−1

([ k−1

2n , k2n ))

(1 ≤ k ≤ n2n), E(n)∞ = f−1([n,∞])に対して, φn(x) =

n2n

∑k=1

k−12n 1

E(n)k

+n1E(n)

∞

このとき

φnは非負単関数であり 0 ≤ φ1(x)≤ φ2(x)≤ ·· · , limn→∞

φ(x) = f (x),x ∈ X

を満たすことを示せ.

問 2.9. φnn≥1, ψ を非負単関数列で φ1(x)≤ φ2(x)≤ ·· · , limn→∞

φn(x)≥ ψ(x), (x ∈ X)が成り立つとき「(A)limn→∞

∫X φndµ ≥

∫X ψdµ」が成り立つことを以下を示すことで証明せよ.

(i) E0 = x ∈ X : ψ(x) = 0, E = X\E0とする. 十分小さい ε > 0に対して全ての x ∈ Eで ψ(x)> ε となる.

(ii) 十分小さい ε > 0に対して Fn = x ∈ E : φn(x)> ψ(x)−εと定義する. このとき limn→∞

µ(Fn) = µ(E)である.

(iii) (A)が成り立つことを証明せよ.

問 2.10. φnn≥1, ψnn≥1を非負単関数列でφ1(x)≤φ2(x)≤ ·· · , ψ1(x)≤ψ2(x)≤ ·· · , limn→∞

φn(x)= limn→∞

ψn(x),

(x ∈ X)が成り立つとき limn→∞

∫X

φndµ = limn→∞

∫X

ψndµ が成り立つことを問 2.9を使って示せ.

注: この結果を使うと非負可測関数 f の積分の定義が矛盾なく定義できていることがわかる.

問 2.11. f ,g : X → [0,∞]は可測関数であるとする. 次のことが成り立つこと示せ.

(i) f ≥ gならば∫

X f dµ ≥∫

X gdµ .

(ii) a ≥ 0, b ≥ 0ならば∫

X (a f +bg)dµ = a∫

X f dµ +b∫

X gdµ .

(iii) E,F ∈ F , E ∩F = /0ならば∫

E∪F f dµ =∫

E f dµ +∫

F f dµ .

(iv) E,F ∈ F , E ⊃ F ならば∫

E f dµ ≥∫

F f dµ .

最後に一般の可測関数に対して積分を定義する. 定義 2.5. (可測関数の積分)f : X →Rは可測関数, E ∈ F とする. このとき f+, f−に対して積分

∫E

f+dµ ,∫

E f−dµ が定義できる.

これらのうち少なくとも一方が有限であるとき,またそのときに限り f は E 上の積分∫

Ef dµ も持つ

といい, ∫E

f dµ =∫

Ef+dµ −

∫E

f−dµ

と定める. このように定義された可測関数の積分をルベーグ積分とよび,特に∫

Ef dµ が有限であると

き, f は E 上ルベーグ可積分であるという. 問 2.12. E ∈ F とする f ,g : X → R が E 上可積分, a,b ∈ R であるとき a f + bg も E 上可積分であり,∫

E(a f +bg)dµ = a

∫E

f dµ +b∫

Egdµ が成り立つことを定義に戻って証明せよ. また (2.4)が成り立つこと

を証明せよ.

26

問 2.13. f : X → [0,∞]を可測関数とする. 次のことを示せ.∫X

f dµ = 0 ⇔ µ(x ∈ X : f (x)> 0) = 0.

問 2.13のように測度が 0の集合というものが考えられる.測度が 0となる集合というものはルベーグ積分論では非常に重要な役割を果たす. そこで測度が 0となる集合全体というものを考える. 定義 2.6. N ⊂ X に対して N ∈ F で

N ⊂ N,µ(N) = 0

と満たすものが存在するとき, N は µ-零集合とよぶ. また µ-零集合全体をN µ と表す. 注: N ∈ N µ が N ∈ F とは限らない.

問 2.14. An ∈ N µ とすると ∪n≥1 An ∈ N µ であることを示せ.

命題 2.3. f : X → Rは可測で E,F ∈ F とする.

(i) f が E 上可積分⇔∫

E | f |dµ < ∞.

(ii) F ⊂ E,かつ f が E 上可積分ならば f は F 上可積分である.

(iii) µ(E) = 0ならば∫

E f dµ = 0.

系 2.1. E ∈ F かつ f ,g : X → Rは E 上の積分を持つとする. F = x ∈ E : f (x) = g(x)と定義する.

µ(F) = 0 ⇒∫

Ef dµ =

∫E

gdµ .

証明. E0 = E\F とすると∫E

f dµ =∫

E0

f dµ +∫

Ff dµ =

∫E0

gdµ =∫

E0

gdµ +∫

Fgdµ =

∫E

gdµ .

E ∈ F . E の点に関した命題があり,それが µ(F) = 0となる F ∈ F が存在して全ての x ∈ E\F に対して成立するとき,その命題は E上ほとんどいたるところ,またはほとんど全ての点 x ∈ E に対して成立するという.記号としては a.e.x ∈ E, a.a.x ∈ E, µ-a.e., µ-a.a.と表す

例題 2.2. (a) (R,B(R),m)を考える. ただし mはB(R)上のルベーグ測度とする. このとき

f (x) =

1, x ∈Q∩ [0,1],

0, x ∈Q∩ [0,1],

はほとんどいたるところ 0である. つまり f (x) = 0 a.e.x ∈ X .

(b) (S,2S,δy)を考える. ここで y ∈ S, δy はディラク測度. このとき

f (x)≡ 1, g(x) =

1, x = y,

0, x = y,

とすると f = g, δy-a.e.である.

27

問 2.15. (Rd ,B,δx), x ∈ Rd とする. ただし δx はディラク測度. f : Rd → Rをボレル可測関数であるとき,積分

∫Rd

f (y)δx(dy)を求めよ.

応用上有用である複素数値関数の積分は次のように定義する. f : X → Cは可測関数, E ∈ F であるとする.

定義 2.7. Re f , Im f が共に E 上可積分であるときにのみ f は E 上可積分であるといい, その積分の値を ∫

Ef dµ =

∫E(Re f )dµ + i

∫E(Im f )dµ

と定義する. 命題 2.4. f は C-値可測関数, E ∈ F であるとする. このとき∣∣∣∣∫E

f dµ∣∣∣∣≤ ∫E

| f |dµ , (三角不等式)

が成り立つ.

証明. E = x ∈ X : f (x) = 0とする. φ(x) =f (x)| f (x)|

1E(x)とする. a =∫

Ef dµ = 0とする. α =

a|a|とおくと,

|a|= Re(∫

X| f (x)|αφ(x)dµ

)=∫

X| f (x)|Re(αφ(x))dµ

≤∫

X| f (x)|dµ.

このように可測な関数に対して積分を定義できたが,ひとつ重要な疑問がある.

ルベーグ積分は本当にリーマン積分の拡張になっているのか?

先に述べておくと疑問に対する答えは Yesである. 次の結果が成り立つ. 定理 2.1. A ⊂ Rd は有界なジョルダン集合とする. f : A → Rが有界なリーマン可積分な関数であるとき f は A上ルベーグ可積分であり,それぞれの積分の値は一致する.

定理 2.2. f : Rd →R, A ⊂Rdかつ x ∈Rd\Aでは f (x) = 0とする. さらにA1 ⊂ A2 ⊂ ·· · は有界でAn A

とする.

(a) fn(x) = f (x)1An(x)としたときに fn は有界でリーマン可積分,

(b) supn≥1 D(| fn|)< ∞,

を満たすとき∫

A| f (x)|m(dx)< ∞,かつ

∫A

f (x)m(dx) = limn→∞

D( fn),つまり広義積分の値とルベーグ積分の値が一致する.

注: 簡潔に言うと f の広義積分が絶対収束すると f はルベーグ可積分であり,両者の値は一致する.証明にはルベーグ積分の収束定理と呼ばれるルベーグ積分論の重要な定理や測度の完備化と呼ばれる操作が必要となるのでしばらく後回しにしておく.注: f (x) =

sinxxは R上広義リーマン可積分であるがルベーグ可積分ではない!

28

問題 2.3. 測度空間 (N,2N, ♯)を考える. このとき関数 f : N→ Rが可積分であるとはどういうことか考え,次の f : N→Rが可積分であるか答えよ. また可積分であるときその積分の値を求めよ. ただし, ♯は例 1.4.2で定義した個数測度.

(i) f (n) =

1 n ≤ 100

0 n > 100(ii) f (n) =

nen

(iii) f (n) =(−1)n

n!(iv) f (n) =

1m log(m+1) n = 2m−1

− 1m log(m+1) n = 2m

問題 2.4. 次の可測関数 f : R→ RがB(R)上のルベーグ測度に関してルベーグ可積分かどうか判定せよ.

(i) f (x) =sin3 x

x3 (ii) f (x) = e−x2

(iii) f (x) =

exp(

1x

)−1 x ∈ [−1,1]

0 x ∈ [−1,1](iv) f (x) =

x

ex −1x > 0

0 x ≤ 0

2.3 収束定理この節ではルベーグ積分論における非常に重要な定理である収束定理について述べる.まずリーマン積分に関する収束定理について思い出す. fn, f が [a,b]上リーマン可積分であるとする. このとき

fn“ → ” f ならば∫ b

afn(x)dx →

∫ b

af (x)dxが成り立つ.

これ命題は

“ → ”が各点収束であるとき偽

“ → ”が一様収束であるとき真

である.一般に一様収束は非常に強い条件であり使い勝手がよくない. できれば「各点収束＋ “よい条件”」で積分の収束が言えるとうれしい. “よい条件”とはどういったものなのかについて以下で考える. 定理 2.3. (単調収束定理)f , fnn≥1 は非負可測関数で任意点 x ∈ X で

0 ≤ f1(x)≤ f2(x)≤ ·· · , limn→∞

fn(x) = f (x)

を満たすとする. このとき

limn→∞

∫X

fn(x)µ(dx) =∫

Xf (x)µ(dx).

ただし両辺が ∞になる場合も含める. 証明には次の問の結果を使う.

問 2.16. sを X 上の非負可測単関数とする. A ∈ F に対して

ν(A) =∫

As(x)µ(dx)

と定義すると (X ,F ,ν)は測度空間になることを示せ.

29

定理 2.3の証明. 0 ≤∫

Xfn(x)µ(dx)≤

∫X

fn+1(x)µ(dx)より α = limn→∞

∫X

fn(x)µ(dx) ∈ [0,∞]が存在する. また

fn(x)≤ f (x)であるので∫

Xfn(x)µ(dx)≤

∫X

f (x)µ(dx)なので α ≤∫

Xf (x)µ(dx)がわかる.

s : X → [0,∞]を任意の x ∈ X で 0 ≤ s ≤ f を満たす可測単関数とする. 0 < c < 1に対して

En = x ∈ X : fn(x)≥ cs(x)

と定義すると E1 ⊂ E2 ⊂ ·· · ,かつ X =∪n≥1

En である.

よって∫

Xfn(x)µ(dx)≥

∫En

fn(x)µ(dx)≥ c∫

En

s(x)µ(dx). n → ∞とすると問 2.16より

α ≥ c∫

Xs(x)µ(dx).

ここで全ての x ∈ X に対して 0 ≤ s1(x)≤ s2(x)≤ ·· · , limn→∞

sn(x) = f (x)が成り立つような非負可測単関数列とすると積分の定義より

α ≥ c∫

Xsn(x)µ(dx)→ c

∫X

f (x)µ(dx).

今 0 < c < 1なので α ≥∫

Xf (x)µ(dx)となる.

問題 2.5. 定理 2.3.1(単調収束定理)を仮定を次のように変更して証明せよ.f , fnn≥1: 非負可測関数,で「ほとんどすべての x ∈ X で 0 ≤ f1(x)≤ f2(x)≤ ·· · , lim

n→∞fn(x) = f (x)」で

あるとき∫

Xf dµ = lim

n→∞fndµ .

問題 2.6. 定理 2.3は単調減少関数列に対しては成り立たない. 例を一つ作れ.

問題 2.7. f , fnn≥1 を可測関数とする. f1(x) ≥ f2(x) ≥ ·· · , limn→∞

fn(x) = f (x) a.e. x ∈ X ,∫

X | f1|dµ < ∞が成り立つとき以下を示せ.

limn→∞

∫X

fndµ =∫

Xf dµ .

問 2.17. 問題 2.7は∫

X | f1|dµ = ∞であるとき成立するかどうか考えよ.

次の補題は使う頻度は少ないかもしれない 6 が重要な補題である. 補題 2.3. (ファトゥの補題) fnn≥1 は非負可測関数とする. このとき∫

Xlimn→∞

fn(x)µ(dx)≤ limn→∞

∫X

fn(x)µ(dx). 証明. gn(x) = infm≥n fm(x)とすると

0 ≤ g1(x)≤ g2(x)≤ ·· · , limn→∞

gn(x) = limn→∞

fn(x)

かつ gn(x)≤ fn(x)であるので単調収束定理より∫X

limn→∞

fndµ = lim∫

Xgndµ ≤ lim

n→∞

∫X

fndµ .

6個人的な意見である. 忘れかけた頃に遭遇する. 特に極限として得られる未知の関数の可積分性を確かめるときに役立つ

30

次の定理がルベーグ積分における非常に重要な定理である. 定理 2.4. (ルベーグの優収束定理) fnn≥1 は可測関数で,ほとんど全ての点 x ∈ X で f (x) = lim

n→∞fn(x)とする.

ある非負可積分関数 gに対して

ほとんど全ての点 x ∈ X で | fn(x)| ≤ g(x) (n ≥ 1)が成り立つとする. (2.6)

このとき

limn→∞

∫X| fn(x)− f (x)|µ(dx) = 0.特に lim

n→∞

∫X

fn(x)µ(dx) =∫

Xf (x)µ(dx).

注: 次のことが成り立つ.

(2.6)⇔ supn≥1

| fn(x)|が可積分である.

しかし supn≥1 | fn(x)|の積分を実際に計算するのは難しいので応用上は適当な gを見つけることが重要になる.

証明. | f | ≤ g a.e.x ∈ X より 2g−| fn − f |にファトゥの補題を適用すると∫X

2gdµ ≤ limn→∞

∫X(2g−| fn − f |)dµ

=∫

X2gdµ + lim

n→∞

(∫X−| fn − f |dµ

)=∫

X2gdµ − lim

n→∞

∫X| fn − f |dµ .

∫X gdµ < ∞より limn→∞

∫X | fn − f |dµ ≤ 0. また後半は三角不等式から従う.

注: (2.6)に現れる gは nに依存してはいけない!7

例題 2.3. (i) limn→∞∫ 1

0nxcosxn2x2+1 dxを考えると,簡単な計算で各 nで supx∈[0,1]

∣∣∣ nxcosxn2x2+1

∣∣∣≤ 12 であり, 1

2 は [0,1]上可積分であるのでルベーグの優収束定理が使えて積分の極限は 0である. (ルベーグ積分論を使わずにリーマン積分の知識だけでも 0に証明することは示せる.[問 2.19])

(ii) limn→∞

∫ n

0e−xn

dxを考えると, limn→∞

e−xn=

1 x ∈ [0,1)

e−1 x = 1

0 x ∈ (1,∞)

となることがわかる. また |e−xn | ≤ 1[0,1](x)+

e−x1(1,∞)(x)が全ての点で成り立ち,右辺は可積分であるのでルベーグの収束定理が適用でき積分の極限は 1であることがわかる.

注: 例 2.3の関数列はそれぞれ各点収束するが一様収束はしない.

問 2.18. 次の極限を求めよ.

(i) limn→∞

∫ π

0exp(−n2 sin2 x)dx (ii) lim

n→∞

∫ n

0

(1− x

n

)ne

x2 dx. (iii) lim

n→∞

∞

∑m=1

nsin( π

mn

)m+1

(iv) limn→∞

∫ n

0

1+nx2

(1+ x2)n dx (v) limm→∞

limn→∞

∫ 1

0|cos(2πm!x)|ndx (vi) lim

n→∞

∫ π

0sin(e−nx)dx

(vii) limn→∞

∫ n

0

exn

1+ xn dx (viii) limn→∞

∫ 1

0nx(1− x)ndx. (ix) lim

n→∞

∫R

enx

e2nx +1dx

7ルベーグの優収束定理を使おうとして gを nに依存するようなものをとる間違いがいつも現れる. また例えば (−∞,∞)など無限測度を持つ集合上の積分を考える際に g として定数関数を選ぶ間違いも何度も見かける. また積分範囲が n に依存してしまっているようなものは定義関数を用いて日積分関数を表すとよい.

31

問 2.19. fn(x) =nxcosxn2x2 +1

(x ∈ [0,1])とする. 以下の問に答えよ.

(i) fn(x)は 0に各点収束するが一様収束しないことを示せ.

(ii) 各 nに対して∫ n−

12

0fndx,

∫ 1

n−12

fndxが共に 0に収束することを示せ.

例題 2.4. (定理 2.4が適用できない例 1) n ≥ 1に対して

fn(x) =

2n x ∈(

12n ,

12n−1

]0 x ∈

(12n ,

12n−1

]と定義すると supn≥1 | fn(x)|= ∑n≥1 | fn(x)|である. また gn(x) = ∑n

k=1 | fk(x)|と定義すると,これは単調収束定理の条件を満たし,かつ

∫ 10 gn(x)dx = nであることがわかり (2.6)を満たすような gが存在しないことが

わかる. また

1 = limn→∞

∫ 1

0fn(x)dx =

∫ 1

0limn→∞

fn(x)dx = 0.

例題 2.5. (定理 2.4が適用できない例 2) f (x) =1

1+ x2 に対して fn(x) =n

n2 + x2 と定義すると∫R

fn(x)dx = π

だが supx∈R

| fn(x)| → 0より,∫R

limn→∞

fn(x)dx = limn→∞

∫R

fn(x)dxである.

注: 広義可積分関数列は一様収束の条件だけでは収束しないという例.

問 2.20. fnn≥1を X 上の可積分な関数で ∑n≥1 fn(x)がほとんどいたるところ収束するとする. このとき次のことを示せ. ∫

X∑n≥1

| fn(x)|dµ(x)< ∞ ⇒∫

X∑n≥1

fn(x)dµ(x) = ∑n≥1

∫X

fn(x)dµ(x)

問題 2.8. 可測関数 h : R→ [0,∞]は∫R e−h(x)dx < ∞を満たすとする.

(i) limn→∞

∫R

e−nh(x)dxはどのような値になるか答えよ.

(ii) limn→∞

∫R

((1− h(x)

n

)+)n

dxはどのような値になるか答えよ.

問題 2.9. µ は (X ,F )上の有限測度であるとする. F -可測な関数 f : X → [0,∞]が∫

Xf (x)µ(dx)< ∞を満た

すとする. このとき

limM→∞

Mµ(x ∈ X : | f (x)|> M) = 0

であることを示せ.

問題 2.10. µ は (X ,F )上の有限測度であるとする. F -可測な関数 f : X → [0,∞]で∫

Xf (x)µ(dx) = ∞を満

たし,

limM→∞

Mµ(x ∈ X : | f (x)|> M) = 0

となるようなものを一つ見つけよ.

問 2.21. f : X → Rを非負可測関数で可積分であるとする. 任意の A ∈ F に対して

ν(A) =∫

Af dµ

と定義すると (X ,F ,ν)は測度空間であることを示せ.

32

問 2.22.∫ ∞

0

xex −1

dx =∫ ∞

0∑n≥1

xe−nxdx = ∑n≥1

1n2 であることを示せ.

問 2.23.∫ ∞

0

sin2 xx2 dxの値を求めよ.

(Hint:

12

∫ ∞

−∞

1− cos2x2x2 dxを計算すればよい.

)問題 2.11. f , fnは実数値可測関数, g,gn (n ≥ 1)は非負値可積分関数で gn → g, µ-a.e.かつ

∫X

gn(x)µ(dx)→∫X

g(x)µ(dx)と仮定する. 次を示せ. 全ての n ≥ 1に対して 0 ≤ fn(x)≤ gn(x)かつ fn(x)→ f (x), µ-a.e. xで

あるとき∫

Xfn(x)µ(dx)→

∫X

f (x)µ(dx).

2.4 微分と積分この節では微分と積分が交換可能かどうかについて考察する.まずリーマン積分の場合を思い出すと次の定理があった. 定理 2.5. A ⊂ Rd はジョルダン可測. f : [a,b]×A → Rは連続で

(a) f (t,x)は各 t ∈ [a,b]で偏微分可能,

(b)∂ f∂ t

(t,x)は [a,b]×A上連続,

であるならば F(t) =∫

Af (t,x)dxは微分可能であり,

dFdt

(t) =∫

A

∂ f∂ t

(t,x)dx. 注: ジョルダン可測集合は有界集合であったことに注意. つまり広義積分に対しては適用できない.同様のことがルベーグ積分に対して言えるのかという疑問があるが,次のことが知られている. 定理 2.6. I = (a,b)⊂ Rとする.

(a) f (t,x) : I ×X → Cは各 t ∈ I 毎にF -可測で X 上可積分,

(b) ほとんど全ての x ∈ X に対して x毎に t の関数として f (t,x)が I上微分可能であり, X 上の可積分関数 gが存在して ∣∣∣∣∂ f

∂ t(t,x)

∣∣∣∣≤ g(x), a.e. x ∈ X

であるならば∫

X f (t,x)µ(dx)は t の関数として (a,b)上微分可能であり

ddt

∫X

f (t,x)µ(dx) =∫

X

∂ f∂ t

(t,x)µ(dx). 証明.

Fh(t,x) =f (t +h,x)− f (t,x)

h

とすると平均値の定理より,ある 0 ≤ θ < 1が存在して Fh(t,x) = ∂∂ t f (t +θh,x)が成り立ち, t ∈ I ならばほ

とんど全ての x ∈ X に対して

Fh(t,x)→∂ f∂ t

(t,x)

33

である. 仮定 (b)よりほとんど全ての x ∈ X に対して |Fh(t,x)| ≤ g(x)であるのでルベーグの優収束定理が使えて,

ddt

∫X

f (t,x)µ(dx) = limh→0

∫X

Fh(t,x)µ(dx) =∫

X

∂ f∂ t

(t,x)µ(dx).

注: 定理 2.6は t ∈ A ⊂C, (Aは単連結開集合)で f (t,x)が x毎に t の関数として正則で他の条件を満たしていれば同様の結果が言える.

問 2.24. (定理 2.6の証明の補足) F(t+hn)−F(t)hn

が hn → 0の時収束するとする. この極限が hn → 0の取り方によらないとき F は t で微分可能であることを示せ.

問 2.25. 定理 2.6を使って ∑n≥1 nxn−1 (|x|< 1)を計算せよ.

問 2.26.∫ ∞

0x2e−x sinxdxを求めよ.

問 2.27.∫ ∞

−∞e−αx2

dx (α > 0)の値を求めることで,∫ ∞

−∞x2ne−x2

dx (n ∈ N)の値を求めよ.

2.5 測度の完備化とルベーグ積分前節までボレル集合族上のルベーグ測度や一般の測度について議論してきた. しかし次のことが一般に

知られている.

∃A ∈ B(Rd) s.t.∃B ∈ B(Rd), A ⊂ B and m(B) = 0.

つまりルベーグ測度ゼロの集合の部分集合で可測でないものが存在することを言っている. これでは不便である. これを解消するために測度の完備化を行う. 定義 2.8. 測度空間 (X ,F ,µ)が完備であるとはF ⊃ N µ であるときを言う.

つまり A ⊂ X に対して,ある B ∈ F が存在して A ⊂ Bかつ µ(B) = 0ならば A ∈ F かつ µ(A) = 0. 問 2.28. 次の問に従って測度空間 (X ,F ,µ)の拡張で完備なものが構成できることを示せ.

(i) F µ = A∪N : A ∈ F ,N ∈ N µと定義するとF µ はF , N µ を含む σ -加法族であることを示せ. またF µ = σ(F ∪N µ)であることを示せ.

(ii) F µ の元 B = A∪N (A ∈ F , N ∈ N )に対して µ∗(B) = µ(A)と定義する. このとき µ∗(B)の値は A,N

の選び方によらないことを示せ.

(iii) (X ,F µ ,µ∗)は測度空間になっていることを示せ.

(iv) N µ∗= N µ ⊂ F µ であることを示すことで (F µ ,µ∗)が完備であることを確認せよ. (このような方

法で構成した (F µ ,µ∗)を (F ,µ)の完備化という.) 定義 2.9. (Rd ,B(Rd),m)を問 2.28の方法で完備化したものを (Rd ,M ,m)と表す. このときM をルベーグ可測集合族と呼び mを Rd 上のルベーグ測度と言う.

問 2.29. (X ,G ,ν)が完備であり, F ⊂ G , ν |F = µ を満たすとするとF µ ⊂ G かつ ν |F µ = µ∗ である.

34

補題 2.4. (完備化の別定義)(X ,F ,µ)を測度空間とする. このとき

F = A ⊂ X :∃ B, B ∈ F s.t. B ⊂ A ⊂ Bかつ µ(B\B) = 0,

A ∈ F に対して µ(A) = µ(B)と定義する.このとき (X ,F ,µ)は完備測度空間であり,問 2.28で定義した (X ,F µ ,µ∗)と一致する.

証明. (X ,F µ ,µ∗) = (X ,F ,µ)を示せば十分.(F µ = F ) A ∈ F µ ならば B ⊂ A ⊂ B で B, B ∈ B かつ µ(B\B) = 0 となるものが存在する. よって

A\B ⊂ B\Bより A\B ∈ N µ . よって A ∈ F . また A ∈ F のとき, B ∈ F , N ∈ N µ が存在して A = B∪N と書ける. また N に対してC ∈ F で A ⊂Cかつ µ(C) = 0を満たすものが存在する. よって B ⊂ A ⊂ B∪Cとなり B,B∪C ∈ F , µ((B∪C)\B)≤ µ(C) = 0となり A ∈ F µ である.

(µ∗ = µ) A ∈ F に対して B ∈ F , N ∈ N µ で A = B∪N となるものをとると定義より µ(A) = µ(B). またN ⊂Cで µ(C) = 0となるC ∈ F を考えると定義より µ∗(A) = µ(B)がわかる.

問 2.30. (X ,F ,µ)を完備でない測度空間とし, (X ,F ,µ)をその完備化した測度空間とする. f : X → RはF -可測関数とする. 以下の問に答えよ.

(i) f が単関数であるとき,あるF -可測関数 f0 とF -可測関数 f1 ですべての x ∈ X に対して f (x) = f0(x)+ f1(x)

f (x) = 0 µ-a.e.x

となるようなものが存在することを示せ.

(ii) 一般のF -可測関数 f に対して (i)のような f0, f1 が存在することを示せ.

Rd 上のルベーグ測度について次の性質が知られている.

定理 2.7. A ⊂ Rd をルベーグ可測集合とする. a > 0, z ∈ Rd に対して

aA = ax : x ∈ A, A+ z = x+ z : x ∈ A

と定義すると,

(i) m(aA) = adm(A), (ii) m(A+ z) = m(A)

(ii)をルベーグ測度の平行移動不変性とよぶ.8

また次のことが知られている.

B(Rd)⊊ M ⊊ 2Rd

証明は [伊藤清三,ルベーグ積分入門]などを参照.

8平行移動不変かつ体積の拡張になっているような完備な測度はルベーグ測度だけであることが知られている.[Rudin: Real andComplex Analysis]

35

2.6 リーマン積分とルベーグ積分この節ではルベーグ積分が実際にリーマン積分の拡張になっていることを確かめる. 定理 2.8. −∞ < a < b < ∞, f : [a,b]→ Rは有界であるとする. このとき

f が [a,b]上リーマン可積分⇒ f は [a,b]上ルベーグ可積分.

さらに,それぞれの積分の値は一致する. 注: 多次元や一般ジョルダン可測集合上のリーマン可積分関数の場合でも同様のことが成り立つ.記号: f の [a,b]上のリーマン積分を R-

∫ ba f (x)dx,ルベーグ積分を L-

∫ ba f (x)m(dx)と表すことにする.

証明. a = 0,b = 1としてよい. I = [0,1]を次のように分割する.

∆n : I(n)1 =

[0,

12n

), I(n)=2

[12n ,

22n

), · · · , I(n)2n =

[2n −1

2n ,1].

このとき I =2n∪

k=1

I(n)k . さらに

M(n)k =sup

f (x) : x ∈ I(n)k

, m(n)

k = inf

f (x) : x ∈ I(n)k

,

M =sup f (x) : x ∈ I , m = inf f (x) : x ∈ I ,

φn(x) =2n

∑k=1

m(n)k 1

I(n)k(x), ψn(x) =

2n

∑k=1

M(n)k 1

I(n)k(x),

とすると −∞ < m < M < ∞であり,かつ φn,ψn はボレル可測単関数で,

m ≤ φn(x)≤ φn+1(x)≤ f (x)≤ ψn+1(x)≤ ψn(x)≤ M

が成り立つ.

φ(x) def= lim

n→∞φn(x) = sup

n≥1φn(x)

ψ(x) def= lim

n→∞ψn(x) = inf

n≥1ψn(x)

とすると,これらはボレル可測で

m ≤ φ(x)≤ f (x)≤ ψ(x)≤ M.

また

s( f ,∆n) =2n

∑k=1

M(n)k |I(n)k |= L-

∫ 1

0φn(x)m(dx),

S( f ,∆n) =2n

∑k=1

m(n)k |I(n)k |= L-

∫ 1

0ψn(x)m(dx),

である. 今 f はリーマン可積分なので n → ∞とすると共に R-∫ 1

0 f (x)dxへ収束する. 一方 m,M は [0,1]上可積分なので φn,ψnに対してルベーグの優収束定理が使えて

limn→∞

s( f ,∆n) = L-∫ 1

0φ(x)m(dx), lim

n→∞S( f ,∆n) = L-

∫ 1

0ψ(x)m(dx).

よって L-∫ 1

0 (ψ(x)−φ(x))m(dx) = 0がわかり,ほとんど全ての x ∈ [0,1]に対して φ(x) = ψ(x) = f (x)であり L-

∫ 10 φ(x)m(dx) = L-

∫ 10 f (x)m(dx).9

注: リーマン可積分ならばルベーグ可積分であることを示したが広義積分に対しては一般には成り立たない. 実際 f (x) = sinx

x とおくと, f は [0,∞)上広義積分可能であるがルベーグ可積分ではない. (∫ ∞

0

∣∣ sinxx

∣∣dx = ∞)9ψ,ϕ はボレル可測であることがわかるが一般には f はルベーグ可測関数であり,ボレル可測であるとは限らない.

36

2.7 広義積分とルベーグ積分前節ではリーマン可積分であればルベーグ可積分であることを確認した. この節では広義積分とルベーグ積分の関係を見る.まず広義積分の定義を思い出す. 定義 2.10. (i) (d = 1の場合)関数 f : (a,b)→Rとする. a< c< c′ < bを満たす c,c′に対して

∫ c′c f (x)dx

が定義でき, limc→a,c′→b

∫ c′

cf (x)dxが存在し有限であるとき, f は広義リーマン可積分であるといい,そ

の値を∫ b

a f (x)dxと表す.

(ii) (d ≥ 2の場合) A ⊂Rd とする. 関数 f : A →Rが次を満たすとき, f は広義積分可能であるという.

ジョルダン可測コンパクト集合の増加列 K1 ⊂ K2 ⊂ ·· · , Kn ⊂ A,∪

n≥1 Kn = Aが存在し,

f は各 Kn 上リーマン可積分で limn→∞

∫Kn

f+(x)dx, limn→∞

∫Kn

f−(x)dxが収束する.

∫A

f (x)dx = limn→∞

∫Kn

f+(x)dx− limn→∞

∫Kn

f−(x)dxと定義する. 次の定理で広義積分とルベーグ積分の関係がわかる. 定理 2.9. f : Rd → R. A ⊂ Rd . 任意の x ∈ Rd\Aでは f (x) = 0とする.

有界な集合列 Ann≥1 ⊂ Rd で A1 ⊂ A2 ⊂ ·· · . A = ∪n≥1An となるものが存在し

(a) fn = f ·1An は有界リーマン可積分,

(b) supn≥1

D(| fn|)< ∞,

であるとき L-∫

A| f (x)|m(dx)< ∞であり, L-

∫A

f (x)m(dx) = limn→∞

D( fn).

特に An をジョルダン可測コンパクト集合と選べた時 L-∫

Af (x)m(dx) =

∫A

f (x)dxである. 証明. (a)より D(| fn|) = D(| fn|)であり,定理 2.8より

∫| fn|(x)m(dx) = D(| fn|)< ∞.

また 0 ≤ | f1| ≤ | f2| ≤ · · · ,かつ limn→∞ | fn|= | f |から単調収束定理が使えて∫A| f (x)|m(dx) = lim

n→∞

∫A| fn(x)|m(dx) = lim

n→∞D(| fn|)

(b)< ∞.

また limn→∞ fn(x) = f (x), | fn(x)| ≤ | f (x)|,かつ∫

A | f (x)|m(dx)< ∞なのでルベーグの収束定理が使えて∫A

f (x)m(dx) = limn→∞

∫A

fn(x)m(dx) = limn→∞

D( fn).

問 2.31. (可積分性の判定条件) R上の可測関数 f を考える. I = (0,1),または (1,∞)とする. 次のことを示せ.

(i) I 上 | f (x)| ≤Cx−p (C ∈ (0,∞), p > 0)が成り立つとする. このとき

∫I| f |dµ < ∞ ⇔

p < 1, I = (0,1)

p > 1, I = (0,∞)

37

(ii) I 上 | f (x)| ≥Cx−p (C ∈ (0,∞), p > 0)が成り立つとする. このとき

∫I| f |dµ = ∞ ⇔

p ≥ 1, I = (0,1)

p ≤ 1, I = (0,∞)

問 2.32. Rez > 0とする. このとき積分∫ ∞

0 tz−1e−tdt はルベーグ可積分であることを示せ.

問 2.33. f は区間 (0,∞)でルベーグ可測で∫ ∞

0 x| f (x)|dx < ∞であるとする. このとき

limt→0+

1t

∫ ∞

0(e−tx −1+ tx) f (x)dx = 0

であることを示せ.

問 2.34. f を区間 (0,∞)でルベーグ積分可能な関数とする. 0 ≤ t < ∞なる t に対して g(t) =∫ ∞

0 e−tx f (x)dx

とおく. 次を示せ.

(i) gは区間 (0,∞)で連続である.

(ii) g′ は区間 (0,∞)で連続である.

問 2.35. s > 0に対してガンマ関数を

Γ(s) =∫ ∞

0xs−1e−xdx

と定義する. ガンマ関数 Γ(s), s > 0に対して次が成り立つことを示せ.

(i) Γ(s+1) = sΓ(s).

(ii) Γ(t)は t > 0で無限階連続微分可能であることを示し,

Γ(n)(s) =∫ ∞

0xs−1e−x(logx)ndx

であることを示せ.

38

3 測度の存在と一意性第 2章まででは測度の存在や一意性を仮定して,測度の性質を色々と調べてきた. この章では存在と一意性を確かめていく. (ただし証明は後回し)

3.1 単調族定理測度の一意性を確かめるためにはどうすればよいのか. 定義に戻ると測度空間 (X ,F ,µ1)と (X ,F ,µ2)

に対して

µ1 = µ2 ⇔全ての A ∈ F に対して µ1(A) = µ2(A)

である. しかしここで「任意の A ∈ F」は非常に強い条件で扱いづらい. そこでもう少し弱い条件で考えたい.

S:集合. A ⊂ 2S とする.

定義 3.1. A が単調族であるとは次の条件を満たすときをいう.

(a) Dnn≥1 ⊂ A ,かつ各 nに対して Dn ⊂ Dn+1 ならば∪

n≥1 Dn ∈ A .

(b) Cnn≥1 ⊂ A ,かつ各 nに対してCn ⊃Cn+1 ならば∩

n≥1 Cn ∈ A . 問 3.1. A ⊂ 2S に対してA を含む最小の単調族が存在することを示せ. (m[A ]と表す.) 定理 3.1. A ⊂ 2S が有限加法族であるとき m[A ] = σ [A ].

証明. m[A ]⊂ σ [A ]は明らか.(σ [A ]⊂ m[A ]) Mc = A ⊂ S : Ac ∈ m[A ]とするとMc は単調族である. よってMc ⊃ m[A ].次にA ∈A に対してMA = B ⊂ S : A∪B ∈m[A ]と定義するとMAは単調族である. よってMA ⊃m[A ].最後に A ∈ m[A ] に対して M = B ⊂ S : A ∪ B ∈ m[A ] と定義すると M は単調族である. よって

M ⊃ m[A ]. つまりすべての A,B ∈ m[A ]に対して A∪B ∈ m[A ]となり問 3.2より証明できた.

問 3.2. A が単調族で,かつ有限加法族であるならば A は σ -加法族であることを示せ. 定理 3.2. G ⊂ 2S は有限加法族であるとする.σ [G ]上の測度 µ1,µ2 が (G ,µ1|G ) = (G ,µ2|G ),かつ

ある Ann≥1 ⊂ G が存在して A1 ⊂ A2 ⊂ ·· · ,∪n≥1

An = S,µ0(An)< ∞ (3.1)

を満たすとする. ただし µ0 = µ1|G = µ2|G とする.このとき (S,σ [G ],µ1) = (S,σ [G ],µ2)である.

証明. 各 nに対して

Dn = B ∈ σ [G ] : µ1(B∩An) = µ2(B∩An)

と定義するとDnは単調族であり, G を含む. よって任意の B ∈ σ [G ]に対して µ1(B∩An) = µ2(B∩An)が成り立つので n → ∞とすることで µ1(A) = µ2(A)である.

39

問 3.3. 定理 3.2の証明の Dn が単調族であることを示せ.

問 3.4. (Rd ,B(Rd),µ1), (Rd ,B(Rd),µ1)を測度空間とする. このときµ1|I d = µ2|I dならば (Rd ,B(Rd),µ1)=

(Rd ,B(Rd),µ2)であることを示せ.

次に (3.1)のない場合の反例をみる.

例題 3.1. S = N0, G = E ∈ 2S :「♯E < ∞,かつ E ∋ 0」または「♯Ec < ∞,かつ Ec ∋ 0」とすると G は有限加法族である. また σ [G ] = 2S である. A ⊂ S, a ∈ [0,∞]に対して µa を

µa(A) =

♯A, A ∋ 0,

a+(♯A−1) A ∋ 0,

と定義すると,これは (S,2S)上の測度になっている.

次に測度の存在と一意性に関する定理を与える. 証明は第 3.2節,第 3.3節へ後回しにする. (X ,G ,µ0): 有限加法的測度空間.

定理 3.3. (E.ホップの拡張定理)µ0 が σ [G ]上の測度 µ へ拡張可能

⇔ En ∈ G , En ∩Em = /0 (n = m), E =∪n≥1

En ∈ G ⇒ µ0(E) =∞

∑n=1

µ0(En).(可算加法性) (3.2)

特に (3.1)を満たすとき拡張は一意である. この節ではルベーグ測度の存在と一意性について確かめる. 定理 3.4. 測度 (B(Rd),m)で J =

d

∏j=1

(a j,b j]∩Rに対して m(J) =d

∏j=1

(b j −a j)となるものがただ一つ

存在する. (0×∞ = 0とする.) 証明. 以下のことを示す.

(i) L = A ∈ 2Rd

:ある互いに素な左半開区間 I jkj=1が存在して A =

∪kj=1 I jが有限加法族である.

(ii) A =∪k

j=1 I j ∈ L に対して m(A) = ∑kj=1 m(I j)と定義したとき (3.2)を満たす.

(iii) mは (3.1)を満たす.

(i): L ∋ /0, Rd は明らか.I1 = ∏d

j=1(a1j ,b

1j ], I2 = ∏d

j=1(a2j ,b

2j ] に対して I1 ∪ I2 ∈ L を示す. a j = mina1

j ,a2j, A j = maxa1

j ,a2j,

b j = minb1j ,b

2j, B j = maxb1

j ,b2jとする.

さらに J1j = (a j,A j], J2

j = (A j,b j], I3j = (b j,B j]とする. このとき I1 ∪ I2 = ∑i j=1,2,3 Ji1

1 × Ji22 ×·· ·× Jid

d ∈ L .また I = ∏d

j=1(a j,b j]に対して J11 = (−∞,a j], J2

j = (a j,b j], J3j = (b j,∞)と定義すると

Ic = ∑j1=1,2,3

( j1,··· , jd )=(2,··· ,2)

J j11 ×·· ·× J jd

d ∈ L .

(iii)は容易.(ii) 有限測度の単調性より m(E) ≥ ∑k

j=1 m(E j) が成り立つので m(E) ≥ ∑n≥1 m(En). よって m(E) ≤∑n≥1 m(En)を示せば十分.

E ∈ L より,互いに素な I jkj=1 ⊂ I d が存在して E =

∪kj=1 I j と書ける.

40

m(E) < ∞のとき. 各 En に対して互いに素な左半開区間 I(n)j knj=1 ⊂ I d が存在して En =

∪knj=1 I(n)j とな

るものが存在する.

I(n)j =d

∏i=1

(anji ,b

nji ], I j =

d

∏i=1

(a ji ,b ji ]

と表す. ε > 0を任意に小さくとる. このとき

I(n)j =d

∏i=1

(anji −δ (n)

j ε,bnji),

˜I(n)j =d

∏i=1

(anji −δ (n)

j ε,bnji ]

I j =d

∏i=1

[a ji +δ jε,b ji −δ jε], ˜I j =d

∏i=1

(a ji +δ jε,b ji −δ jε]

と定義する. ただし δ (n)j ,δ > 0は

|I(n)j |= | ˜I(n)j | ≤ |I(n)j |+ ε2nkn

, |I j|= | ˜I j| ≥ |I j|−εk

˜I j ∩ ˜Ik = /0 ( j = k)

となるようにとり,ある j = 1, · · · ,d で a j,anj =−∞や b j,bn

j = ∞となるような I j, I(n)j に対しては I j =˜I j =

I(n)j = ˜I(n)j = /0と定義する.次のように集合を定義する.

F =k∪

j=1

I j,˜F =

k∪j=1

˜I j, Fn =k∪

j=1

I(n)j , ˜Fn =k∪

j=1

˜I(n)j .

このとき F はコンパクト集合で ˜F ∈ L , F ⊂ ˜F ⊂ E,かつ

m( ˜F) =k

∑j=1

|I j| ≥k

∑j=1

(|I j|−εk)≥ m(E)− ε.

また, Fn は開集合で ˜Fn ∈ L , Fn ⊂ ˜Fn, F ⊂∪

n≥∞˜Fn かつ

m( ˜Fn)≤kn

∑j=1

| ˜I(n)j | ≤ m(En)+ε2n .

特に F がコンパクトであるので Fn jℓj=1 が存在して

˜F ⊂ F ⊂ℓ∪

j=1

Fn j ⊂ℓ∪

j=1

˜Fn j

とできる. 劣加法性より

m(E)− ε ≤ m( ˜F)≤ℓ

∑j=1

m( ˜Fn j)≤ ∑n≥1

m( ˜Fj)≤ ∑n≥1

(m(En)+ε2n )≤ ∑

n≥1m(En)+ ε.

ε > 0は任意なので成り立つ.m(E) = ∞の場合. m(E) = ∑k

j=1 m(I j)より |I j|= ∞となるものが存在する. また Ln = ∏dj=1(−n,n] ∈ L と

すると m(Ln) = (2n)d , Rd =∪

n≥1 Ln である. このとき m(E ∩Ln)< ∞なので

∑n≥1

m(En)≥ ∑n≥1

m(En ∩Lm) = m(E ∩Lm) ∞, (m → ∞)

より示せた.

41

最後に (3.2)の同値な条件を確認しておく. 応用上ではこちらを使う方が議論が簡単な場合がある. 定理 3.5. (X ,G ,µ0): 有限加法的測度空間.

En ∈ G , En ⊃ En+1, µ0(E1)< ∞,∞∩

n=1

En = /0 ⇒ limn→∞

µ0(En) = 0. (3.3)

En ∈ G , En ⊂ En+1, µ0(E1)< ∞,E =∞∪

n=1

En ∈ G , µ0(E) = ∞ ⇒ limn→∞

µ0(En) = ∞. (3.4)

とする. このとき

(3.2)⇔ (3.3)かつ (3.4).

また, (3.1)を満たしているとき, (3.4)は次の条件に置き換えられる.

E ∈ G , µ0(E) = ∞ ⇒ limn→∞

µ0(E ∩An) = ∞ (3.4’) 3.2 *外測度この節ではホップの拡張定理の存在部分の証明に使う道具の準備を行う. 定義 3.2. 集合 X に対して µ∗ : 2X → [0,∞]が次を満たすとき, X のカラテオドリの外測度という.

(i) µ∗(ϕ) = 0.

(ii) A ⊂ B ⊂ X ならば µ∗(A)≤ µ∗(B).

(iii) An ⊂ X ならば µ∗

(∪n≥1

An

)≤ ∑

n≥0µ∗(An).

注: 今まで有限加法的測度や測度などは有限加法族や σ -加法族などの X の部分集合族 (2X より真に小さいことが多い)から [0,∞]への関数であった. しかし外測度は X の部分集合全体に定義されている. ただし,測度になっているとは限らない.そこで外測度 µ∗ を測度の性質を満たすような部分集合族にのみ着目して測度を構成することが目標で

ある. 定義 3.3. µ∗ を X の外測度とする. E ⊂ X が

任意の A ⊂ X に対して µ∗(A) = µ∗(A∩E)+µ∗(A\E) (C)

を満たすとき, Eは µ∗-可測であるといい, µ∗-可測集合全体の集合をMµ と表す. さらに µ∗|Mµ = µ と定義する.

注: (C)は次の同値である.

任意の A ⊂ X に対して µ∗(A)≥ µ∗(A∩E)+µ∗(A\E) (C’)

定義 3.3により集合 X の部分集合族Mµ とその上の関数 µ が定義できた. 次の定理でこの組 (X ,Mµ ,µ)が測度空間になっていることを確認する.

42

µ∗ を X 上の外測度とする.

定理 3.6. 定義 3.3で定義した (X ,Mµ ,µ)は完備測度空間である. 注: ただの測度ではなく完備な測度空間である.

証明. (i) /0 ∈ Mµ は明らか.(ii) E ∈ Mµ ⇒ Ec ∈ Mµ を示す. これは定義より任意の A ∈ 2X に対して

µ∗(A) = µ∗(A∩E)+µ∗(A\E)

が成り立つが A∩E = A\(Ec), A\E = A∩Ec より Ec ∈ Mµ である.(iii) E1,E2 ∈ Mµ ならば E1 ∩E2 ∈ Mµ を示す. E1,E2 ∈ Mµ , A ⊂ X に対して

µ∗(A) = µ∗(A∩E1)+µ∗(A\E1)

= µ∗(A∩E1 ∩E2)+µ∗((A∩E1)\E2)+µ∗(A\E1)

= µ∗(A∩E1 ∩E2)+µ∗(A∩E1 ∩Ec2)+µ∗(A\E1).

次に

A\(E1 ∩E2) = A∩ (E1 ∩E2)c = (A∩Ec

1)∪ (A∩Ec2)

= (A∩Ec1)∪ (A∩Ec

2 ∩E1)∪ (A∩Ec2 ∩Ec

1)

⊂ (A∩Ec1)∪ (A∩Ec

2 ∩E1)

よって (C’)により

µ∗(A)≥ µ∗(A∩ (E1 ∩E2))+µ∗(A\(E1 ∩E2))⇒ E1 ∩E2 ∈ Mµ .

(iv) En ∈ Mµ , En ∩Em = /0(n = m)のとき

E =∪n≥1

En ∈ Mµ , µ(E) = ∑n≥1

µ(En)

を示す.まず帰納的に次を示す.

任意の A ⊂ X に対して µ∗(A) =k

∑n=1

µ∗(A∩En)+µ∗(A\E). (3.5)

k = 1のときは (C’)と単調性から従う.k = ℓのとき成り立つとするとき Aを A\Eℓ+1 と置き換えて (3.5)を適用すると

µ∗(A\Eℓ+1) =ℓ

∑n=1

µ∗(A∩Ecℓ+1 ∩En)+µ∗((A\Eℓ+1)\E)

=ℓ

∑n=1

µ∗(A∩En)+µ∗(A\E).

よって Eℓ+1 ∈ Mµ より

µ∗(A) = µ∗(A∩Eℓ+1)+µ∗(A\Eℓ+1)

≥ℓ+1

∑n=1

µ∗(A∩En)+µ∗(A\E)

43

となり (3.5)が従う. k → ∞とすることで

任意の A ⊂ X に対して µ∗(A)≥∞

∑n=1

µ∗(A∩En)+µ∗(A\E)

≥ µ∗(∪n≥1

(A∩En))+µ∗(A\E)⇒ (C’).

また A = E とすることで µ(E) = ∑n≥1 µ(En)も示せた.(v) (i)∼(iv)より En ∈ Mµ ならば

∪n≥1 En ∈ Mµ が示せる.

(vi)完備性もわかる.

問 3.5. 上の証明の (v), (vi)を示すことにより証明を完成せよ.

3.3 *拡張定理の証明3.2では X 上の外測度 µ∗が存在すれば可測集合Mµ とその上の測度 µ が存在することが言えた. 今我々は有限加法的測度空間 (X ,G ,µ0)から測度空間を構成することを目標としている. つまり外測度 µ∗ を “うまく”作ることで σ [G ]⊂ Mµ , µ |G = µ0 とできることを示したい. 定理 3.7. (X ,G ,µ0)は有限加法的測度空間であるとする. A ⊂ X に対して

µ∗(A) = inf

∞

∑n=1

µ0(En) : En ∈ G ,A ⊂∞∪

n=1

En

と定義する. µ∗ は X 上の外測度である. a

特に (3.2)を満たすとき E ∈ G に対して µ∗(E) = µ0(E)である.

aフラクタルのハウスドルフ次元を決めるハウスドルフ測度も似たような定義がされる. 問 3.6. 上で定めた µ∗ が外測度であることを示せ.

定理 3.7後半の証明. E ∈ G とすると, µ∗(E)≤ µ0(E)は明らか. 次に E ⊂∪n≥1

En, En ∈ G となるような任意

の被覆に対して

F1 = E ∩E1, Fn =

(En\

n−1∪k=1

Ek

)∩E (n ≥ 2)

と定義すると

Fn ∈ G ,Fn ∩Fm = /0 (n = m),Fn ⊂ En, E =∞∪

n=1

Fn.

よって µ0 は (3.2)を満たすので

µ0(E)(3.2)=

∞

∑n=1

µ0(Fn)≤∞

∑n=1

µ0(En).

この不等式は E の任意の被覆 En ∈ G : n ≥ 1に対して成り立つので

µ0(E)≤ inf

∞

∑n=1

µ0(En) : En ∈ G ,E ⊂∞∪

n=1

En

= µ∗(E).

注: Rd 上の有限加法的測度空間として定理 3.4の証明で定義した (Rd ,L ,m)を考えると定理 3.7から外測度 m∗が定義でき完備測度空間 (Rd ,Mm,m)が構成できる. 実はこの完備測度空間は Rd のルベーグ測度空間と一致する. 10

10[吉田伸生: ルベーグ積分入門使うための理論と演習]

44

3.4 *ルベーグ-スティルチェス積分Rd 上に新しい測度を構成することにする. そのためにまず次の補題を用意する. 定理 3.4の証明のようにL = Rd の左半開区間全体を含む最小の有限加法族 とその有限加法的測度 mを与える.

補題 3.1. µ0 がL 上の有限加法的測度であるとする. このとき次の２つは同値である.

(i) µ0 がL 上完全加法性をもつ.

(ii) In∞n=1 ⊂ L , In ⊂ In+1, m(In)< ∞, I =

∞∪n=1

In ∈ L

⇒ µ0(I) = limn→∞

µ0(In). 証明. 定理 3.5を使う. (3.3), (3.4)⇔ (ii)を示せばよい.⇒) µ0(I) = ∞であるとき (3.4)より (ii).µ0(I)< ∞であるとき, En = I\

(∪nj=1 I j

)= I\In とおくと En ∈ L , I ⊃ En ⊃ En+1, µ0(E1)< ∞. さらに

∞∩i=1

En = /0.

よって (3.3)より 0 = limn→∞ µ0(En) = µ0(I)− limn→∞ µ0(In).⇐) (3.3)を示す.In = E1\

(∩nj=1 E j

)= E1\En とおくと In ∈ L , In ⊂ In+1.

m(In)< ∞のとき. このときE1 =∪∞

n=1 In. よってµ0(E1)= limn→∞(µ0(E1)−µ0(En))となり limn→∞ µ0(En)=

0.m(In) = ∞のとき. このとき Xk = (−k,k]d ∈ L とおくと Xk ⊂ Xk+1, m(Xk)< ∞, Rd =

∪∞k=1 Xk. よって上と

同じ議論で Jkn = In ∩Xk = (E1 ∩Xk)\(En ∩Xk)とおくことで µ0(Jk

1) = limn→∞ µ0(Jk1\Jk

n) ≤ limn→∞(µ0(E1)−µ0(En)). また仮定より limk→∞ µ0(Jk

1) = µ0(E1). これにより limn→∞ µ0(En) = 0.

(3.4)を示す. Xk を上のようにとる. このとき Hkn = En ∩Xk, Hk =

∪∞n=1 Hk

n と定義する.このとき µ0(Hk) = limn→∞ µ0(Hk

n ). 特に Hk ⊂ Hk+1, m(Hk)< ∞, E =∪∞

k=1 Hk.ある kで µ0(Hk) = ∞ならば limn→∞ µ0(Hk

n )≤ limn→∞ µ0(En)≤ µ0(E)となり limn→∞ µ0(En) = ∞である.すべての kで µ0(Hk)< ∞であるとき limk→∞ µ0(Hk) = µ0(E) = ∞. さらに任意の kに対してある nk が存

在して

µ0(Hk)−1k≤ µ0(Hk

nk)

とできる.

∞ = limk→∞

µ0(Hknk)≤ lim

k→∞µ0(Enk)≤ µ0(E).

µ0(En)は単調増加なので示せた. (Rd ,L ,m):有限加法的測度空間

定理 3.8.

I ∈ L , |I|< ∞ ⇒ m(I)< ∞ (3.6)

であるとする. mが補題 3.1(ii)を満たすとき mはB(Rd) = σ(L )上の σ -有限な測度に一意に拡張できる.

45

証明. 補題 3.1より mはL 上完全加法的であり,さらに Xn = ∏dj=1(−n,n]とすることで (3.1)を満たすの

で定理 3.3が適用できる. 定義 3.4. 定理 3.8により構成された測度空間 (Rd ,B(Rd),m)の完備化 (Rd ,B(Rd),m)をルベーグ-スティルチェス測度という.

例題 3.2. (a1,b1]×·· ·× (ad ,bd ]に対して m(I) = ∏dj=1(b j −a j)としたときに定理 3.8で定まる測度の完備

化はルベーグ測度である.

例題 3.3. F : R→ Rが以下の性質を満たすとする.

(i) limε0

F(x+ ε) = F(x) (右連続).

(ii) x > yならば F(x)≥ F(y) (非減少).

さらに

m((a,b]) =

F(b)−F(a) (−∞ < a < b < ∞)

limr→∞

F(r)−F(a) (a ∈ R,b = ∞)

F(b)− liml→−∞

F(l) (a =−∞,b ∈ R)

limr→∞

F(r)− liml→−∞

F(l) (a =−∞,b = ∞)

と定義すると (R,L ,m)は有限加法的測度で補題 3.1(ii)を満たす (証明は定理 3.4の証明と同様 11). また(3.6)は容易に確認できるのでルベーグ-スティルチェス測度へ拡張できる.

3.5 *フラクタルとハウスドルフ測度この節ではハウスドルフ測度と呼ばれる外測度 12について述べる. ハウスドルフはカントール集合やシルピンスキーガスケット,コッホ曲線などのフラクタル図形の次元を測るときに使われる. 13

まずフラクタル図形の例の一つとしてシルピンスキーガスケットの定義を与えておく.

(1) R2 上に 1辺の長さ 1の正三角形 K0 をとる.

(2) 各辺の中点を結んでできる三角形を K0から取り除いてできる集合を K1とする. このとき K1は 1辺の長さが 1

2 の 3個の正三角形が頂点でのみ接している.

(3) Knの 3n個の 1辺の長さが 12n の正三角形から各辺の中点を結んでできる三角形を取り除いてできる

集合を Kn+1 とする. シルピンスキーガスケット K とは K =∩n≥0

Kn のことである.

簡単な計算でわかるが上の Knから Kn+1を作るとき集合の面積は 34 倍されるので R2内での Kのルベー

グ測度は 0である.ではこの集合は 1次元的であろうか? Kn から Kn+1 を作り出すと 1辺の長さが 1

2n の三角形が 3n 個増えることより ∂Kn+1 の長さは ∂Kn より 3 ·3n · 1

2n 増えることになり K の境界は長さが ∞となってしまう.このようにシルピンスキーガスケット K は 1次元とも 2次元とも言いがたい集合である.このように複雑な構造を持つような集合の解析を行う. 特に次元に関する考察を以下行っていく.

11F の右連続性は証明で使われる12ハウスドルフ測度というと測度になっているように思えるが実際には外測度である.13ハウスドルフ測度を使う以外にもフラクタルの次元を測る方法がが種々存在し,必ずしもそれらで定義された次元が一致すると

は限らない.

46

図 1: シルピンスキーガスケット

r ≥ 0とする. S ⊂ Rd , δ > 0に対して

h∗r,δ (S) = inf

∑n≥1

(diam Bn)r : S ⊂

∪n≥1

Bn,diam Bn < δ

と定義する. ただし diam B = sup|x− y| : x,y ∈ Bとする. このとき集合関数 h∗r,δ は外測度になっている.また δ < δ ′ のとき h∗r,δ (S)≥ h∗r,δ ′(S)となることがわかる.そこで

Hr(S) = limδ→0

h∗r,δ (S)

と定義する.このときHr は外測度になっている. また任意の S ⊂ Rd に対して r1 < r2 ならば

Hr1(S)≥ Hr2(S)

が成り立つことがわかる. そこで

dimH(S) = infr ≥ 0 : Hr(S) = 0= supr ≥ 0 : Hr(S)> ∞

を定義し,これをハウスドルフ次元と呼ぶ.まず次の事実がある.

定理 3.9. A ∈ B(Rd)がルベーグ測度 mに対して m(A)> 0であるとき

dimH(A) = d.

つまりハウスドルフ次元は次元の拡張になっているとみなしてよい.ではカントール集合 (問題 1.6)に対してハウスドルフ次元を調べてみよう.

命題 3.1. カントール集合Cに対して

dimH(C) =log2log3

.

証明. r = log2log3 とする. Ck は 2k 個の長さ 1

3k の閉区間からなっていることがわかる. よって r =log2log3

のとき

hr3−k(C)≤ 2k

(13k

) log2log3

= 1

47

より k → ∞のときHr(C)≤ 1である. よって dimH(C)≤ log2log3 .

Cの被覆 Bn : n ≥ 1に対して

∑n≥1

(diam Bn)r ≥ 1

2(3.7)

を示す. h∗r,δ (C)を定義する際, Cの被覆 Bn : n ≥ 1でで Bn を区間としてよい. さらに Bn を少しだけ拡張して開区間 Bn とするとCのコンパクト性より高々有限個の開被覆 B jk : k = 1, · · · ,mが存在する. δ > 0に対して

(diam Bn

)r= (diam Bn)

r + δ2n となるように構成すると

∑n≥1

(diamBn)r = ∑

n≥1

(diam Bn

)r −δ ≥m

∑k=1

(diam B jk

)r −δ

となる. よって有限個の開区間による被覆 Bn : n = 1, · · · ,mに対して (3.7)を示せばよい.Bn に対して

13k+1 ≤ diamBn <

13k

となるような kをとってくると Bnは高々1つのCk内の区間としか交わらない. また j ≥ kのとき Bnは高々2 j−k ≤ 2 j3r(diamBn)

r 個のC j の区間としか交わらない. jを十分大きくとり 13 j+1 ≤ min

n=1,··· ,mdiamBn となる

ようにすると合計 2 j 個の区間と交わるので

2 j ≤m

∑n=1

2 j3r(diamBn)r = 2 j+1

m

∑n=1

(diamBn)r

となり (3.7)が示せた.

注: 実際にはH log2log3

(C) = 1である.

証明はしないがシルピンスキーガスケットのハウスドルフ次元では次のことが成り立つ.

命題 3.2. K をシルピンスキーガスケットとする. このとき

dimH(K) =log3log2

.

カントール集合をCL =C∩ [0, 13 ], CR =C∩ [ 2

3 ,1]と分割する. このときCL, CR はCと相似な集合になる.シルピンスキーガスケットに対して K1 で現れる 1辺の長さが 1

2 の正三角形をそれぞれ K1,K2,K3 とすると K1 = K ∩K1, K2 = K ∩K2, K3 = K ∩K3 もやはり K と相似である. このように集合 Sが Sと相似な集合S1, · · · ,Sn (n ≥ 2)を用いて S =

∪ni=1 Si と表せるとき Sは自己相似集合であるという.14

自己相似集合に対するハウスドルフ次元の直観的な判定法.自己相似集合 Sが相似な集合 S1, · · · ,Snを用いて S =

∪nk=1 Sk と表せるとする. また Siの Sに対する相似

比を ci (0 < ci < 1)とする.このとき Sのハウスドルフ測度は

Hr(S) =n

∑i=1

Hr(Si)

と書ける. また定義からHr(Si) = cri Hr(S)となることがわかるので

Hr(S) =

(n

∑i=1

cri

)Hr(S)

14自然界の中にも自己相似集合のように見えるものは種々存在する. 例えばシダ植物の葉や雲や気といったものはどことなく自己相似になっているように見えなくもない...

48

となる. r = dimH(S)で 0 < Hr(S)< ∞であると仮定すると∑ni=1 cr

i = 1となる. このような rを見つければよい.実際にカントール集合のときCL,CRに分割でき相似比は 1

3 なので 2( 1

3

)r= 1を満たす rは log2

log3 = dimH(C)

である. またシルピンスキーガスケットの場合には K1, K2, K3 に分割でき相似比は 12 なので 3

( 12

)r を満たす rは log3

log2 = dimH(K)である.

フラクタルの研究は上の例のように規則正しく構成されたものだけではなく,規則性のないものについても行われる.

整数論においての例. x ∈ [0,1)を自然数 m ≥ 2に対して m進展開する. つまり

x = ∑n≥1

an(x)mn , an(x) ∈ 0,1, · · · ,m−1

とする. ただしある kが存在してすべての n > kに対して an = m−1となったものは n > kで an = 0となったものと同一視する. 0 < p0, · · · ,om−1 < 1を p0 + · · ·+ pm−1 = 1となるものとする. このとき

F(p1, · · · , pm−1) =

x ∈ [0,1) : lim

n→∞

n

∑k=1

1ak(x) = jn

= p j

と定義する. つまり「xを m進展開したときに “ jが p j の割合で”現れる点全体」である. このとき

m(F(1m, · · · , 1

m) = 1

である. つまりほとんどすべての点はm進展開したときに均等に 0, · · · ,m−1が現れる. 一方で p1, · · · , pm−1

のいずれかが 1m でなければ F(p1, · · · , pm−1)の大きさをハウスドルフ次元で調べることができる.

定理 3.10.

dimH(F(p1, · · · , pm−1)) =− 1logm

m−1

∑i=0

pi log pi.

フラクタルは他の数学の分野への様々な寄与がなされる分野である. フラクタルについて興味を持ったものは [2]や他の本を読んでみるとよい.

49

4 フビニの定理この章では直積空間上の測度と積分について考察する.例えば 2次元ルベーグ測度空間 (R2,B(R2),m2)と 1次元ルベーグ測度空間 (R,B(R),m1) (ただし md は

d 次元のルベーグ測度とする.)にはどのような関係があるのだろうか?

4.1 直積測度(X ,FX ,µX ), (Y,FY ,µY )を測度空間とする. Z = X ×Y とする.

定義 4.1. Zの部分集合 E が A ∈ FX , B ∈ FY を使って E = A×Bと書けるとき E は矩形集合であるという.Z の部分集合族を

GZ = Z の矩形集合全体を含む最小の有限加法族

と定義し, σ [GZ ]を直積 σ -加法族といい, σ [GZ ] = FX ×FY と表す. 注: GZ =

E ∈ 2Z :∃ A j ∈ FX ,

∃G j ∈ FY s.t. E =∪k

i=1(A j ×B j)

特に, E ∈ GZ ならば, (A j,B j)kj=1 (A j ∈ FX , B j ∈ FY )で

(Ai ×Bi)∩ (A j ×B j) = /0, (i = j), E =k∪

j=1

(A j ×B j) (4.1)

となるものが存在する.

証明. n = 2では (A1 ×B1)∩ (A2 ×B2) = /0なら (A1 ∩A2)× (B1 ∪B2), (A1\A2)×B1, (A2\A1)×B2 と分割できる. 定理 4.1. (直積測度の存在と一意性) (X ,FX ,µX ), (Y,FY ,µY )は σ -有限な測度空間とする. このとき(Z,σ [GZ ])上の測度 µZ で Z = A×B (A ∈ FX ,B ∈ FY )に対して

µZ(E) = µX (A)µY (B) (4.2)

を満たすようなものが存在し一意である.

(4.2)を満たすような (Z,σ [GZ ])上の測度を直積測度 (product measure)と呼び, (Z,σ [GZ ],µZ)を直積測度空間 (product measure space)という. また (Z,σ [GZ ],µZ)を (X ×Y,FX ⊗FY ,µX ⊗µY )と表す.

証明. µZ : GZ → [0,∞]を (4.2)と定義すると (Z,GZ ,µ(Z))は有限加法的測度空間である. よって (3.2)を満たすことを示せば測度 µZ の存在が言える. En = ∑kn

i=1 A(n)i ×B(n)

i ∈ GZ(A(n)i ∈ FX , B(n)

i ∈ FY )かつ n = mのとき En ∩Em = /0であり, ∑n≥1 En = E = ∑k

j=1 A j ×B j ∈ GZ を満たすとする.

µZ(E)≥ ∑n≥1

µZ(En)

は明らかである. よって µZ(E)≤ ∑n≥1 ∑knj=1 µX (A

(n)j )µY (B

(n)k )となることを示す. (x,y) ∈ X ×Y に対して

1E(x,y) =k

∑j=1

1A j(x)1B j(y) = ∑n≥1

1En(x,y) = ∑n≥1

kn

∑i=1

1A(n)

i(x)1

B(n)i(y).

50

であるので, 番号を付け直すことで 1E(x,y) = ∑m≥1 1A′m(x)1B′

m(y) (A′

m ∈ FX , B′m ∈ FY , m = nのとき A′

m ×B′

m ∩A′n ×B′

n = /0)とかける. xに関して積分すると

k

∑j=1

µX (A j)1B j(y) =∞

∑m=1

µX (A′m)1B′

m(y)

である. さらに yに関して積分すると

k

∑j=1

µX (A j)µY (B j) = ∑m≥1

µX (A′m)µY (B′

m)

である. 右辺は非負な数の和であるので和の順序に関して値は不変である. よって

µZ(E) = ∑n≥1

kn

∑j=1

µZ(En)

がいえた.また各 (X ,FX ,µX ), (Y,FY ,µY )に対して Xnn≥1 ⊂ FX , Ynn≥1 ⊂ FY が (3.1)を満たすようなものとすると Zn = Xn ×Yn とおくと (3.1)を満たすので一意性も従う.

次に µZ に関する積分と µX , µY に関する積分の関係を調べていく.

E ⊂ X ×Y , x ∈ X , y ∈ Y に対して

Ex = y : (x,y) ∈ E, Ey = x : (x,y) ∈ E

を x-切片 (x-section), y-切片 (y-section)と呼ぶ. 定理 4.2. E ∈ σ [GZ ]とすると x ∈ X に対して Ex ∈ FY , y ∈ Y に対して Ey ∈ FX である.

証明. T = E ∈ σ [GZ ] : Ex ∈ FY ,Ey ∈ FXと定義する. E = A×B (A ∈ FX , B ∈ FY )とすると x ∈ Aならば Ex = B, x ∈ Aならば Ex = /0である. 同様のことが Ey に対しても言えるので T は全ての矩形集合を含む. また T が σ -加法族であることがわかるので T = σ [GZ ].

問 4.1. T が σ -加法族であることを示せ.

記号 4.1. (W,FW )は可測空間, f : X ×Y →W が σ [GZ ]/FW -可測関数とする. 各 x ∈ X に対して f (x,y)をY 上の関数と見なしたものを fx(y)と表すことにする. 同様に各 y ∈ Y に対して f (x,y)を X 上の関数と見なしたものを fy(x)と表すことにする. 定理 4.3. f : X ×Y →W が可測関数であるとする. このとき

(i) 各 x ∈ X に対して fx はFY/FW -可測関数.

(ii) 各 y ∈ Y に対して fy はFX/FW -可測関数. 証明. (i) F ∈FW に対して f−1(W ) = (x,y)∈ X ×Y : f (x,y)∈ F ∈ σ [GZ ]. また ( f−1(W ))x = y ∈Y : fx(y)∈Fである. 定理 4.2より ( f−1(W ))x ∈ FY なので fx はFY/FW -可測である.

(ii)同様.

51

定理 4.4. (X ,FX ,µX ), (Y,FY ,µY )は σ -有限な測度空間とする.Q ∈ σ [GZ ], x ∈ X , y ∈ Y に対して φ(x) = µY (Qx), ψ(y) = µX (Qy)と定義すると

φ はFX -可測関数, ψ はFY -可測関数であり,∫

XµY (Qx)µX (dx) =

∫Y

µX (Qy)µY (dy) (4.3)

が成り立つ. 証明.

T = Q ∈ σ [GZ ] : Qは (4.3)を満たす.

と定義する. 次のことを示す.

(a) T ⊃ GZ .

(b) T は単調族.

E = A×Bを矩形集合とする. このとき φ(Ex) =∫

Y1A(x)1B(y)µY (dy) = µY (B)1A(x)はFX -可測関数である.

ψ(y)も同様である. また∫

Xφ(x)µX (dx) =

∫Y

ψ(y)µY (dy) = µX (A)µY (B). 任意の Q ∈ GZ を (4.1)のように分

解すると 1E(x,y) =k

∑j=1

1A j(x)1B j(y)と表すことができるので (a)が示せる.

Qn ∈ T は Qn ⊂ Qn+1 ⊂ ·· · を満たすとする. このとき Q =∪

n≥1 Qn に対して 1Q(x,y) = limn→∞

1Qn(x,y)である. また単調収束定理より

µY (Qx) = limn→∞

∫Y

1Qn(x,y)µY (dy) = limn→∞

µY ((Qn)x)

が成り立ちFX -可測関数である. 同様ことが µX (Qy)に対しても言える. 再び単調収束定理を適用して∫X

µY (Qx)µX (dx) = limn→∞

∫X

µY ((Qn)x)µX (dx)

= limn→∞

∫Y

µX ((Qn)y)µY (dy)

=∫

YµX (Qy)µY (dy)

が成り立つことがわかる.次に Q′

n ∈ T は Q′1 ⊃ Q′

2 ⊃ ·· · を満たすとする. また σ -有限測度空間であるので Xn ∈ FX , Yn ∈ FY で(1.13)を満たすようなものが存在する.

Zn = Xn ×Yn とする. このとき Q′ =∩

n≥1 Q′n に対して各 mで

1Q′∩Zm(x,y) = limn→∞

1Q′n∩Zm(x,y)

である. ここで 0 ≤ 1Q′n∩Zm(x,y)≤ 1Xm(x)1Ym(y)であり 1Xm(x)µY (Ym)< ∞であるのでルベーグの優収束定理

が適用できて

µY ((Q′∩Zm)x) = limn→∞

µY ((Q′n ∩Zm)x)

となりFX -可測関数である. また Q′x =

∪m≥1(Q

′∩Zm)x であるから測度の性質から

µY (Qx) = limm→∞

µY ((Q′∩Zm))

が成り立ち µY (Q′x)はFX -可測関数である. 同様のことが µX (Q′

y)に対しても成り立つ. またルベーグの収束定理を

∫X

µY ((Q′n ∩Zm)x)µX (dx) =

∫Y

µX ((Q′n ∩Zm)y)µY (dy)に対して適用すると∫

XµY ((Q′∩Zm)x)µX (dx) =

∫Y

µX ((Q′∩Zm))µY (dy)

52

であり,単調収束定理より ∫X

µY (Q′x)µX (dx) =

∫Y

µX (Q′y)µY (dy)

となる.

系 4.1. (X ,FX ,µX ), (Y,FY ,µY )は σ -有限な測度空間とする. このとき任意の Q ∈ σ [GZ ]に対して

µZ(Q) =∫

XµY (Qx)µX (dx) =

∫Y

µX (Qy)µY (dy)

が成り立つ.

問 4.2. 系 4.1を証明せよ. 定理 4.5. フビニの定理 (Fubini’s theorem) (X ,FX ,µX ), (Y,FY ,µY )は σ -有限な測度空間とする. このとき次が成り立つ.

(i) f : Z = X ×Y → [0,∞]がFX ⊗FY -可測であるとする. φ(x) =∫

Y fx(y)µ(dy), ψ(y) =∫

X fy(x)µX (dx)

とすると

(a) φ はFX -可測関数, ψ はFY -可測関数であり,

(b)∫

Xφ(x)µX (dx) =

∫X×Y

f (z)µZ(dz) =∫

Yψ(y)µY (dy).

(ii) f : Z = X ×Y → CがFX ⊗FY -可測であるとする. このとき (ia)を満たし, f を | f |と置き換えたときに (ib)のいずれかの積分が有限ならば f に対しても (ib)が成り立つ.

証明. φ についてのみ議論する. (ia): f に対して非負単調増加可測単関数列 sn = ∑knj=1 αn

j 1Enjで sn → f とな

るものが存在する. このとき単調収束定理より∫

Yfx(y)µY (dy) = lim

n→∞

∫Y

sn(x,y)µY (dy) = limn→∞

kn

∑j=1

αnj µY ((En

j )x)

となり定理 4.4によりFX -可測である.(ib): φn(x) =

∫Y sn(x,y)µY (dy)と定義すると∫

X×YsnµZ =

∫X

φn(x)µX (dx)

が成り立ち,単調収束定理より

(左辺)→∫

X×Yf µZ , (右辺)→

∫X

(∫Y

f (x,y)µY (dy))

µX (dx)

となる.f が複素数値関数であるときは f を (Re f )+, (Re f )−, (Im f )+, (Im f )− に分割して考えればよい.

問 4.3. 0 < a < b < ∞に対して D = (x,y) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ 1, a ≤ y ≤ bとおく.∫ 1

0

xb − xa

logxdx =

∫∫D

xdxdy = log1+b1+a

となることを示せ.

53

問 4.4. 関数 f (x,y) =x2 − y2

(x2 + y2)2 に対して∫ 1

0dx∫ 1

0f (x,y)dy,

∫ 1

0dy∫ 1

0f (x,y)dx

を計算せよ. また∫[0,1]×[0,1] | f (x,y)|dxdyは発散することを示せ.

例題 4.1. E = [0,1]n, I = 1,2, · · · ,nとする.∫

Emaxx1, · · · ,xndx1 · · ·dxnを計算する. つぎのような点の集

合 EI を考える.

EI = 1 ≥ x1 > x2 > · · ·> xn ≥ 0.

さらに I の置換 σ ,σ ′ に対して σ = σ ′ のとき Eσ I と Eσ ′I は非交差である. また i = jに対して xi = x j となるような点の集合はルベーグ測度 0なので積分に影響しない. よって積分の対称性とフビニの定理より∫

Emaxx1, · · · ,xndx1 · · ·dxn = n!

∫EI

x1dx · · ·dxn

= n!∫ 1

0x1

∫ x1

0· · ·∫ xn−1

0dx1 · · ·dxn

= n!∫ 1

0

xn1

(n−1)!dx1 =

nn+1

.

問 4.5. E = [0,1]n とする.∫

Eminx1, · · · ,xndx1 · · ·dxn を計算せよ.

問 4.6. E = (0,∞)× [0,1]とする. ∫E

ye−xy sinxdxdy

を計算することにより ∫ ∞

0

sinxx

(1− e−x

x− e−x

)dx =

12

log2.

を示せ.

問 4.7. (X ,F ,µ) = (Y,G ,ν) = (N,2N, ♯)とする. f : X ×Y → Rを

f (m,n) =

1 m = n

−1 m = n+1

0 それ以外

と定義したとき, ∑m ∑n f (m,n) = ∑n ∑m f (m,n)であることを確認せよ.

問 4.8. X = (0,1), Y = (1,∞)にボレル集合族とルベーグ測度を与える. f (x,y) = e−xy −2e−2xy とすると∫ 1

0

∫ ∞

1f (x,y)dydx =

∫ ∞

1

∫ 1

0f (x,y)dxdy

であることを確認せよ.

問 4.9. (X ,F ,µ) = ((0,1),B((0,1)),m), (Y,G ,ν) = ((0,1),2(0,1), ♯)とする.

f (x,y) =

1 x = y

0 それ以外

とすると ∫X

∫Y

f (x,y)ν(dy)µ(dx) =∫

Y

∫X

f (x,y)µ(dx)ν(dy)

であることを確認せよ.

54

問 4.10. (X ,F ,µ)を測度空間とする. g : X → [0,∞]を可測集合とする. このとき∫X

gdµ = (µ ×m)((x,y) ∈ X ×R : 0 ≤ y < g(x)) =∫ ∞

0µ(x : g(x)> y)dy

が成り立つことを示せ. ここで mはB(R)上のルベーグ測度.

問 4.11. s > 0, Re z > 0に対して

Γs(z) =∫ ∞

0xs−1e−zxdx

と定義する. 以下の問に答えよ.

(i) z ∈ z ∈ C : Re z > 0で Γs(z)は連続であることを示せ.

(ii) z ∈ C : Re z > 0内の区分的に C1 級の閉曲線 γ に対して∫

γΓs(z)dz = 0であることを示し, Γs(z)は

z ∈ C : Re z > 0で正則関数であることを示せ.

(iii) θ ∈ Rに対して Γs(1− iθ)Γs(1)

を求めよ.

4.2 直積空間の完備化(X ,FX ,µX ), (Y,FY ,µY )は完備な σ -有限な測度空間であるとする.フビニの定理より直積測度空間 (X ×Y,FX ⊗FY ,µX ⊗ µY ) が一意に定まる. しかし一般に測度空間

(X ×Y,FX ⊗FY ,µX ⊗µY )は完備とは限らない. 実際

FX ⊗FY ⊊ FX ⊗FY

である.

例題 4.2. (Rd ,M(d)m ,md): d次元ルベーグ測度空間. このときM

(1)m ⊗M

(1)m ⊊M

(2)m である. A ∈M

(1)m , B ⊂R

はルベーグ可測ではないとすると,

m2(A×R) = m1(A)m1(R) = 0, A×B ⊂ A×R

より A×B ∈ M(2)m であるが A×B ∈ M

(1)m ⊗M

(1)m .

そこで直積測度の完備化とそれに対するフビニの定理を考える. まず次の補題を考える. 補題 4.1. (X ,F ,µ):測度空間.f が非負値F -可測関数であるとする. このときある非負値F -可測関数 gが存在して次を満たす.

f (x)≥ g(x), x ∈ X

ある E ∈ F , µ(E) = 0が存在して f (x) = g(x), x ∈ X\E. 証明. A ∈ F とすると定義からある B1,B2 ∈ F が存在して

B1 ⊂ A ⊂ B2, µ(B2\B1) = 0

を満たす. f (x) = 1A(x)であるときは g(x) = 1B1(x)とすればよい. 同様に f がF -可測単関数であるときも主張は正しい. 一般の非負値F -可測関数に対しては問 2.8より非負値F -可測単関数の増大列 fnで f に各点収束するものが存在する. 各 fn に対して上の議論から

f (x)≥ fn(x)≥ gn(x)≥ 0, x ∈ X

ある En ∈ F , µ(En) = 0が存在して fn(x) = gn(x), x ∈ X\En

55

となるような非負値F -可測単関数列 gnが構成できる. さらに gnは gn+1(x)≥ gn(x) x ∈ X ,かつF -可測関数となるように構成できる. そこで g(x) = limn→∞ gn(x)と定義すると gはF -可測関数で E =

∪n≥1 En

とすると µ(E) = 0かつ x ∈ X\E で f (x) = g(x).

問 4.12. 補題 4.1の証明で

f (x)≥ fn(x)≥ gn(x)≥ 0, x ∈ X

gn+1(x)≥ gn(x), x ∈ X

ある En ∈ F , µ(En) = 0が存在して fn(x) = gn(x), x ∈ X\En

を満たすようなF -可測関数列 gnが存在することを示せ.

最後に直積測度空間の完備化に関するフビニの定理を述べておく. 定理 4.6. (X ,FX ,µX ), (Y,FY ,µY )は σ -有限な完備測度空間とする.FX ⊗FY -可測関数 f に対して次が成り立つ.

(i) ほとんどいたるところの y ∈ Y に対して f (x,y)は xについてFX -可測.

(ii) 特に f が µX ⊗µY -可積分であるとき次が成り立つ.

(a) ほとんどいたるところの y ∈ Y に対して f (x,y) は x について µX -可積分であり, g(y) =∫X

f (x,y)µX (dx)はFY -可測.

(b) (ii)の gは µY -可積分になり∫X×Y

f (x,y)µX ⊗µY (dx,dy) =∫

Y

(∫X

f (x,y)µX (dx))

µY (dy). 問 4.13. 定理 4.6を補題 4.1を使って証明せよ.

4.3 *ルベーグ測度この節では Rn 上のルベーグ測度の性質を確かめる.これまでボレル集合族B(Rd)上のルベーグ測度や Rd 上のルベーグ測度を含む一般の測度について議論してきたが改めてルベーグ測度の性質について見ていく.ルベーグ測度の持つ基本的な性質を確かめる.

定義 4.2. 位相空間 (S,O)に対してある集合 G ⊂ Sが Gδ 集合であるとは Gが Sの可算個の開集合の共通部分で表されるときをいう. つまり

ある開集合の列 Onn≥1 が存在して G =∩n≥1

On.

またある集合 F ⊂ Sが Fδ 集合であるとは F が Sの可算個の閉集合の和で表されるときをいう. つまり

ある閉集合の列 Cnn≥1 が存在して F =∪n≥1

Cn.

注 1: 明らかに開集合 Oは Gδ 集合であり,閉集合Cは Fδ 集合である.

注 2: Gδ 集合 G, Fδ 集合 F はボレル可測集合である.次の定理はルベーグ可測集合がGδ 集合, Fδ 集合と測度 0の集合を除いて一致していることを示している.

56

定理 4.7. E ⊂ Rd はルベーグ可測であるとする. このとき次が成り立つ.

(i) 任意の ε > 0に対してある開集合 Oε で

E ⊂ Oε かつ m(Oε\E)< ε

となるものが存在する.

(ii) 任意の ε > 0に対してある閉集合Cε で

Cε ⊂ E かつ m(Eε\Cε)< ε

となるものが存在する.

(iii) ある Gδ 集合 Gで

E ⊂ G かつ m(G\E) = 0

となるものが存在する.

(iv) ある Fδ 集合 F で

F ⊂ E かつ m(E\F) = 0

となるものが存在する. 証明. (i) m(E)< ∞とする. ルベーグ可測集合の定義よりある左半開区間 I1, · · · , In で

E ⊂n∪

i=1

Ii かつ m(E) = m∗(E)>n

∑i=1

m(Ii)−ε2

となるものが存在する. また各 Ii (i = 1, · · · ,n)に対して開区間 Ji で

Ii ⊂ Ji かつ m(Ji)≤ m(Ii)+ε2i

を満たすものが存在する. Oε =n∪

i=1

Ji とすると E ⊂ Oε かつ

m(Oε\E) = m(Oε)−m(E)≤n

∑i=1

m(Ji)−m(E)

∑i=1

ε2i +

n

∑i=1

m(Ii)−m(E)≤ ε.

m(E) = ∞のとき σ -有限性を使うと,ルベーグ可測集合の列 En : n ≥ 1で En∩Em = /0 (n = m),∪n≥1

En =Rd ,

m(En)< ∞となるものが存在する. E ∩En に対して開集合 Onε を

E ∩En ⊂ Onε かつ m(On

ε\(E ∩En))<ε2n

となるものがわかるので Oε =∪n≥1

Onε とすると E ⊂ Oε であり Oε\E ⊂

∪n≥1

(Onε\(E ∩En))であるので

m(Oε\E)≤ ∑n≥1

m(Onε\(E ∩En))< ε.

57

(iii) 開集合 Gnを E ⊂ Gnかつ m(Gn\E)< 1n となるようにとる. G =

∩n≥1

Gnとすると Gは Gδ 集合で任

意の nに対して

m(G\E)≤ m(Gn\E)<1n

なので m(G\E) = 0.(ii), (iv)も同様に示せる.

注: 上の定理でルベーグ測度 mを外測度 m∗で置き換えると (i)∼(iv)はそれぞれ集合 E ⊂Rd がルベーグ可測集合であることと同値になる [8].次の補題は自明なように思えるがきちんと確認しておく必要がある. x = (x1, · · · ,xd) ∈ Rd , E ⊂ Rd に対して

E +x = y+ x : y ∈ E, xE = (x1y1, · · · ,xdyd) : y = (y1, · · · ,yd) ∈ E

とする.

命題 4.1. mを Rd 上のルベーグ測度とする. このとき以下が成り立つ.

(i) O ∈ Rd が開集合であるとき m(O)> 0.

(ii) E ∈ M , x ∈ Rd であるとき E + x ∈ M , xE ∈ M . さらに

m(E + x) = m(E), m(xE) = |x1x2 · · ·xd |m(E). 注: (i)の逆は成り立たない!! つまり m(A)> 0であるからといって Aが開集合を含むとは限らない.

証明. (i) O が開集合であるとき, x = (x1 · · · ,xd) ∈ Oに対してある ε > 0で

d

∏i=1

(xi − ε,xi + ε]⊂ O

となるものが存在する. このとき

d

∏i=1

(xi − ε,xi +

ε2

]⊂ O

とできる. よって測度の単調性より

0 <

(3ε2

)d

< m(O).

(ii) まず任意の開集合 Oに対して主張が成り立つことを示す. O ∈ M に対して O+ ε ∈ M は明らかである. また拡張定理の証明より任意の ε > 0に対して

O ⊂∪n≥1

d

∏i=1

(ani ,b

ni )

∞

∑n=1

m((an1,b

n1)×·· ·(an

d ,bnd))< m(O)+ ε

58

となるようなものがとれることがわかる. このとき

O+ x ⊂∪n≥1

d

∏i=1

(ani + xi,bn

i + xi), xO ⊂∪n≥1

d

∏i=1

(xiani ∧ xibn

i ,xiani ∨ xibn

i )

∞

∑n=1

m

(d

∏i=1

(ani + xi,bn

i + xi)

)< m(O)+ ε,

∞

∑n=1

m

(d

∏i=1

(xiani ∧ xibn

i ,xiani ∨ xibn

i )

)= |x1 · · ·xd |(m(O)+ ε).

となり m(O+ x) = m(O), m(xO) = |x1 · · ·xd |m(O)が成り立つことがわかる.次に任意の ε > 0と E ∈ M に対して定理 4.7 (i)のような Oε をとってくる. このとき Oε + x,xOε ∈ M

であり

E + x ⊂ Oε + x, m(Oε) = m(Oε + x)≤ m(E + x)+ ε

xE ⊂ Oε , |x1, · · ·xd |m(Oε) = m(xOε)< m(xE)+ |x1 · · ·xd |ε.

ε > 0は任意なので E + x,xE ∈ M かつ m(E + x) = m(E), m(xE) = |x1 · · ·xd |m(E)となる.

次に変数変換の公式を確かめる. Ω1,Ω2 を Rd 上の開集合とする. F を Ω1 から Ω2 への微分同相な写像であるとする.

定理 4.8. uを非負可測関数,またはルベーグ可積分関数であるとする. このとき∫Ω2

u(y)dy =∫

Ω1

u(F(x))J(x)dx (4.4)

が成り立つ. ただし J(x)は F のヤコビアン行列式の絶対値,つまり

J(x) = |det(DF(x))|

である. 定理 4.8の証明をするために以下の補題を与えておく.

補題 4.2. Ω1,Ω2 を Rd 上の開集合とする. F を Ω1 から Ω2 への微分同相な写像であるとする.E ⊂ Ω1 がルベーグ測度 0の集合であるとき m(F(E)) = 0.

補題 4.2の証明. コンパクト集合Cm = [−m,m]d をとってきて Em = E ∩Cm に対して示せば十分. F は微分同相なのでCm 上ある定数 K が存在して

|F(x)−F(x′)| ≤ K|x− x′|, x,x′ ∈Cm

が成り立つ. m(Em) = 0なのである開区間 In : n ≥ 1で

Em ⊂∪n≥1

In, ∑n≥1

m(In)< ε

となるものが存在する. In の中心を xn, yn = F(xn)とすると

F(In)⊂ yn +KF(In − xn)

となることがわかる. 右辺の集合は開集合であることに注意すると

F(Em)⊂∪n≥1

(yn +KF(In − xn)) , m(Em)≤ ∑n≥1

m(yn +KF(In − xn))< Kdε

が成り立つので m(F(Em)) = 0が示せた.

59

問 4.14. Ω1,Ω2 を Rd 上の開集合とする. F を Ω1 から Ω2 への微分同相な写像であるとする.E ⊂ Ω1 がジョルダン測度 0の集合であるとき m(F(E)) = 0となることを示せ.

定理 4.8の証明. まず有界開区間 Aに対して u(x) = 1A(x)として (4.4)が成り立つことを示す. B ⊂ Ω1を閉区間とする. このとき F(B)は閉集合であり問 4.14より

1A(y)1F(B)(y)

はジョルダン可則関数である. よってリーマン積分に対する変数変換の公式より∫F(B)

1A(y)dy =∫

B1A(F(x))J(x)dx

が成り立つ.また開集合は互いに高々一辺しか交わらない可算個の閉区間 Bk : k ≥ 1の和で表されるのでルベーグの収束定理と補題 4.2より∫

Ω2

1A(y)dy = ∑k≥1

∫F(Bk)

1A(y)dy = ∑k≥1

∫Bk

1A(F(x))J(x)dx =∫

Ω1

1A(F(x))J(x)dx

である.補題 4.2より有界左半区間 I = [a1,b1)×·· ·× [ad ,bd)に対して

m(I) = m((a1,b1)×·· ·× (ad ,bd))

=∫

Ω2

1A(y)dy

=∫

Ω1

1F−1(A)(x)dx

=∫

Ω1

1F−1(I)(x)dx

である.次に有界開集合 Aに対して u(x) = 1A(x)として (4.4)が成り立つことを示す. 任意の有界開集合 Aに対して有界左半開区間の列 In : n ≥ 1で

A =∪n≥1

In

となるものが存在する. 特に Inの有限和は互いに素な左半開区間の有限和で表現できることに注意すると,単調収束定理より

m(A) = ∑n≥1

m(In)

= limn→∞

∫Ω2

1∪nm=1 Im(y)dy

= limn→∞

∫Ω1

1∪nm=1 Im(F(x))dx

=∫

Ω1

1A(F(x))dx

が示せる.有界ルベーグ可測集合 Eに対して定理 4.7(iii)のGを選ぶ. このときある有界開集合の列OnでG =

∩n≥1

On

60

となるものが存在する. よってルベーグの収束定理と補題 4.2より

m(E) = m(G) =∫

Ω2

1G(y)dy

= limn→∞

∫Ω2

1∩nm=1 Om(y)dy

= limn→∞

∫Ω1

1∩nm=1 Om(F(x))dx

=∫

Ω1

1G(F(x))dx

=∫

Ω1

1E(F(x))dx

が示せた.あとは標準的な議論で非負可測関数, またはルベーグ可積分関数 f に対して (4.4)が成り立つことが示せる.

系 4.2. n次正方行列 Aは正則であるとする. f を非負可測関数,またはルベーグ可積分関数であるとする.このとき ∫

Rdf (Ax)dx = |detA|

∫Rd

f (x)dx (4.5)

特にこの変数変換は多様体上の測度を構成する際に必要になってくる.15 (覚えておく必要はないがきちんと定義しようとすると結構めんどくさいんだと知っておくとよい.)

15余力があれば構成をこのノートの最後のほうで扱うつもりだった

61

5 Lp-空間ここからは関数の持つ性質について考察する. Lp-空間と呼ばれる関数空間を新たに導入するが偏微分方程式論では様々な関数空間を考える. 興味のある人は文献を読むとよい.

5.1 Lp-空間の定義と基本的性質 (X ,F ,µ):測度空間.

定義 5.1. 1 ≤ p ≤ ∞に対して Lp-空間を次のように定義する.

(i) (1 ≤ p < ∞) Lp = Lp(X) = Lp(X ,µ) =

f∣∣∣∣ f : X → C, F −可測,

∫X| f (x)|pµ(dx)< ∞

(ii) (p = ∞) L∞ = L∞(X) = L∞(X ,µ) = f | f : X → C,F -可測,かつ本質的に有界.. ここでF -可測関数 f が本質的に有界であるとはある定数 M が存在して | f (x)| ≤ M µ-a.e.x ∈ X を満たすときをいう.

また f ∈ Lp に対して

∥ f∥p =

(∫

X| f (x)|pµ(dx)

)1/p

, 1 ≤ p < ∞,

infM > 0 || f (x)| ≤ M,µ-a.e.x ∈ X , p = ∞

と定義する. 例題 5.1. Rd 上のルベーグ測度空間を考える. α ∈Rに対して fα(x) = (1+ |x|)α とする. このとき 1 ≤ p < ∞に対して ∫

Rd(1+ |x|)α pdx =

∫|ω|=1

∫ ∞

0(1+ r)α prd−1drdω, ω:角度成分

≤ ωd

∫ ∞

0(1+ r)α p+d−1.

ここでωdはRdの単位球面の面積. 特に α p+d−1 <−1のときこの値は有限になる. 一方, α p+d−1 ≥−1のとき左辺は発散する.

問 5.1. fα を例題 5.1のものとする. α p+d −1 ≥−1のとき∫Rd (1+ |x|)α pdx = ∞であることを示せ.

問 5.2. fα を例題 5.1のものとする. fα ∈ L∞ となるような α ∈ Rの範囲を与えよ.

問 5.3. X = B(0,1) 上のルベーグ測度空間を考える. ただし B(0,1) = x ∈ Rd : |x| ≤ 1 とする. またgα(x) = |x|α とおく. 以下のことを示せ.

(1) α ≥ 0 ⇒ gα ∈ Lp.

(2) α p+d > 0, p = ∞ ⇒ gα ∈ Lp.

(3) α p+d ≤ 0, p = ∞ ⇒ gα ∈ Lp.

問 5.4. (X ,F ,µ)は測度空間とする. f ,g : X → CがF -可測関数とする. 以下の問に答えよ.

(i) ∥ f∥p = 0 ⇔ f (x) = 0, µ-a.e.x

(ii) ∥ f g∥p ≤ ∥ f∥∞∥g∥p. ただし,右辺で 0と ∞の積は 0とする.

62

(iii) ∥ f +g∥∞ ≤ ∥ f∞∥+∥g∥∞.

例題 5.2. Sが可算集合とする. (S,2S, ♯)に対しては特に Lp(S)を ℓp(S)と表す.

次の補題で示す不等式は非常に有用である. 補題 5.1. (ヘルダーの不等式) p,q ∈ [1,∞]とする.

1p+

1q= 1, f ∈ Lp, g ∈ Lq であるとき

∥ f g∥1 ≤ ∥ f∥p∥g∥q 証明. p = 1,q = ∞または p = ∞,q = 1の場合は容易にわかる. よって p,q ∈ (1,∞)の場合について考える.

∥ f∥p∥g∥q = 0の場合も自明. よって ∥ f∥p∥g∥q = 0としてよい. a =| f (x)|∥ f∥p

, b =|g(x)|∥g∥q

に対して次の不等式

(ヤングの不等式)を適用する.

a,b ≥ 0, p,q ∈ (1,∞),1p+

1q= 1 ⇒ ab ≤ 1

pap +

1q

bq.

すると

1∥ f∥p∥g∥q

| f (x)g(x)| ≤ 1p| f (x)|p

∥ f∥pp

+1q|g(x)|q

∥g∥qq.

両辺を積分することにより求まる.

注: 特に p = q = 2のとき補題 5.1の不等式をシュワルツの不等式という.

問 5.5. µ(X)< ∞とする. 1 ≤ p ≤ q ≤ ∞とする. このとき Lq ⊂ Lp であることを示せ.

注: µ(X) = ∞であるとき一般には Lp と Lq の包含関係はない.

問題 5.1. Lp−([0,1],dx) =∩

q<pLq([0,1],dx)と定義する. Lp−([0,1],dx) = Lp([0,1],dx)を示せ.

問 5.6. 測度空間 (N,2N, ♯)に対して 1 ≤ p ≤ q ≤ ∞のとき ℓq(N)⊂ ℓp(N)であることを示せ.

次の不等式は Lp-空間における三角不等式でミンコウスキの不等式と呼ばれる. 補題 5.2. (ミンコウスキの不等式) 1 ≤ p ≤ ∞, f ,g ∈ Lp であるとき

∥ f +g∥p ≤ ∥ f∥p +∥g∥p 証明. p = 1,∞のときはあきらか. p ∈ (1,∞)のとき全ての x ∈ X で

| f (x)+g(x)|p ≤ || f (x)|+g(x)|p ≤ 2p−1 (| f (x)|p + |g(x)|p) (5.1)

が成り立つことに注意すると f ,g ∈ Lpならば f +g ∈ Lpであることがわかる. また ∥ f∥p∥g∥p = 0であるときは自明である. ∥ f∥p∥g∥p = 0であるとき補題 5.1より 1

p+

1q= 1に対して

∫X(| f (x)|+ |g(x)|)p−1 | f (x)|µ(dx)≤

(∫X(| f (x)|+ |g(x)|)(p−1)q

)1/q(∫X| f (x)|pµ(dx)

)1/p

,

∫X(| f (x)|+ |g(x)|)p−1 |g(x)|µ(dx)≤

(∫X(| f (x)|+ |g(x)|)(p−1)q

)1/q(∫X|g(x)|pµ(dx)

)1/p

となる. 辺々を加え, ∥ f +g∥p ≤ ∥| f |+ |g|∥p < ∞であることを使うと求まる.

問 5.7. (5.1)を示せ.

63

5.2 Lp-空間の完備性この節では Lp-空間の完備性について議論する. Kを Rまたは Cとする. まず関数空間の基本的な定義を思い出す.

V を K上のベクトル空間とする.

定義 5.2. 写像 q : V → [0,∞)が次の 3つを満たすとき V 上のノルムという.

(i) x = 0 ⇔ q(x) = 0.

(ii) λ ∈K, x ∈V に対して q(λx) = |λ |q(x).

(iii) x,y ∈ X に対して q(x+ y)≤ q(x)+q(y).

ノルムが与えられたベクトル空間 V に対して,その組 (V,q)をノルム空間と呼ぶ. 注: ノルム空間 (V,q)は距離空間である. 実際距離関数 d : V ×V → [0,∞)を d(u,v) = q(u−v)と定義すると距離になる.

例題 5.3. 1 ≤ p < ∞とする. x = (x1, · · · ,xd)∈Rdに対して qp(x) = ∥x∥p =

(d

∑i=1

xpi

)1/p

と定義すると (Rd ,qp)

はノルム空間である.

例題 5.4. x = (x1, · · · ,xd) ∈ Rd に対して q∞(x) = ∥x∥∞ = max|xi| : i = 1, · · · ,dと定義すると (Rd ,q∞)はノルム空間である.

問 5.8. 例題 5.3, 5.4を確かめよ.

例題 5.5. cを収束する複素数列全体のなす集合とする. つまり

c =an∞

n=0 ⊂ C : limn→∞

an =∃α ∈ C

.

このとき cは C上のベクトル空間であることが容易にわかる. また ∥ann≥0∥= supn≥0 |an|と定義するとcのノルムになる. また c0を cの部分集合で 0に収束するような数列全体とするとこれは部分空間になる.

問 5.9. 例題 5.5を確かめよ.

問 5.10. S ⊂Rとする. S上の連続関数全体の集合をC(S)と表すことにする. このとき (C(S),∥ ·∥∞)はノルム空間になることを示せ.

今 Lp-空間がノルム空間かどうかを調べたい. まずベクトル空間であることは補題 5.2を使うと容易にわかる. しかし ∥ · ∥p はそのままではノルムにならない.実際,可測関数 f が f (x) = 0 a.e.-xであるとき ∥ f∥p = 0であるので条件を満たさない. そこで Lp-空間の

元について次のような同値関係を与える.(X ,F ,µ): 測度空間. f ,g ∈ Lp(X ,µ)に対して

f ∼ g ⇔ f (x) = g(x), µ-a.e.x.

この同値関係 ∼に関して Lp(X ,µ)の商空間 Lp(X ,µ) = Lp(X ,µ)/∼を考え,代表元 f ∈ Lp(X ,µ)に対して ∥ f∥p を ∥ f∥p で定義する. このとき (Lp(X ,µ),∥·∥p)はノルム空間になる. つまり Lp の元 f ,gはf = g a.e.-xであるとき f “ = ”gと同一視するとノルム空間と捉えることができるということである.以下ノルム空間 (Lp(X ,µ),∥·∥p)を改めて (Lp(X ,µ),)∥ · ∥p と書くことにする.

問 5.11. 上で定義した (Lp(X ,µ),∥·∥p)がノルム空間であることを確かめよ.

64

次に内積を定義する. V :K上のベクトル空間とする.

定義 5.3. 写像 (·, ·) : V ×V →Kが以下の条件を満たすとき (·, ·)はV の内積という. u,v,w ∈V , α,β ∈Kとする.

(i) (u,u)≥ 0,かつ (u,u) = 0 ⇔ u = 0.

(ii) (u,v) = (v,u). ただし λ ∈ Cに対して λ は λ の複素共役.

(iii) (αu+βv,w) = α(u,w)+β (v,w).

特に内積を備えたベクトル空間V に対して組 (V,(·, ·))を内積空間,もしくは前ヒルベルト空間という. 問 5.12. f ,g ∈ L2 に対して

( f ,g) =∫

Xf (x)g(x)µ(dx)

と定義すると (L2,(·, ·))は内積空間であることを示せ.

注: (V,(·, ·))を内積空間とする.v ∈V に対して ∥v∥= (v,v)1/2 と定義すると ∥ · ∥はノルムになる.次に距離空間の完備性を復習する. (S,d):距離空間.

定義 5.4. 距離空間 Sが完備であるとは Sの任意のコーシー列が収束するときをいう. 注: 距離空間 (S,d)のコーシー列とは Sの点列 xnn で lim

m,n→∞d(xn,xm) = 0を満たしているものをいう.

特に完備なノルム空間をバナッハ空間とよび,完備な内積空間をヒルベルト空間と呼ぶ.

次に関数空間の様々な収束の定義を考える. (X ,F ,µ): 測度空間.

M = f : f は複素数値F -可測関数

とする.

定義 5.5. fn ⊂ M, f ∈ Mとする.

(i) n → ∞のとき fn(x)→ f (x) a.e.x ∈ X であるとき fn は f に概収束するという.

(ii) 任意の ε > 0に対して limn→∞

µ (x ∈ X : | fn(x)− f (x)|> ε) = 0であるとき fnは f に測度収束するという.

(iii) fn, f ∈ Lp かつ limn→∞

∥ fn − f∥p = 0であるとき fn は f に Lp 収束するという. 問 5.13. µ(X) < ∞ であるとする. fn が f に概収束するならば fn は f に測度収束していることを示せ.µ(X) = ∞の場合はどうか.

問 5.14. fn ⊂ Lp, f ∈ Lpとする (1 ≤ p ≤ ∞). fnが f に Lp収束するならば fnは f に測度収束することを示せ. また逆は成り立たない. 例を作れ.

65

次の定理で Lp-空間の完備性を確認できる. 定理 5.1. Lp-空間は完備である. (つまり (Lp,∥ · ∥p)はバナッハ空間である)

証明. 1 ≤ p < ∞とする. fn ⊂ Lpがコーシー列であるとする. このとき任意の k ∈Nに対してある増大列nkが存在して任意の n ≥ nk に対して

∥ fn − fnk∥p ≤12k

とできる. さらに

g(x) = | fn1(x)|+∞

∑k=1

| fnk+1(x)− fnk(x)|

と定義するとこれはF -可測関数である. 単調収束定理により

∥g∥p = ∥| fn1 |+ limN→∞

N

∑k=1

| fnk+1 − fnk |∥p

= limN→∞

∥| fn1 |+N

∑k=1

| fnk+1 − fnk |∥p

≤ ∥ fn1∥p + limN→∞

N

∑k=1

∥ fnk+1 − fnk∥p

≤ ∥ fn1∥p +1 < ∞.

となり g ∈ Lp であり, gはほとんどいたるところの xで絶対収束している. よって

f (x) = fn1(x)+∞

∑k=1

(fnk+1(x)− fnk(x)

)はほとんどいたるところの xで収束し,かつ f ∈ Lp である. また

f (x) = fnℓ(x)+∞

∑k=ℓ

(fnk+1(x)− fnk(x)

)であることに注意すると ℓ→ ∞で

0 ≤ ∥ f − fnℓ∥p ≤∞

∑k=ℓ

∥ fnk+1 − fnk∥p → 0.

また任意の ε > 0に対してある N が存在して n,nℓ > N に対して

∥ fn − fnℓ∥p < ε

とできるので n → ∞のとき ∥ f − fn∥→ 0となることがわかる.また p = ∞ のとき fnn ∈ L∞ がコーシー列であるとする. このとき An,m = x ∈ X : | fn(x)− fm(x)| >

∥ fn − fm∥∞とすると µ(An,m) = 0であるので A =∪

n,m≥1 An,m とおくと µ(A) = 0となる. 今 x ∈ Aに対して任意の nで fn(x) = 0として構わない. このとき | fn(x)− fm(x)| ≤ ∥ fn − fm∥∞であるので fn(x)nは Cのコーシー列である. f (x) = limn→∞ fn(x)とすることができる. これはF -可測関数であり, | f (x)| ≤ supn ∥ fn∥∞

より f ∈ L∞. | fn(x)− fm(x)| ≤ ∥ fn − fm∥∞ で m → ∞ とすると | fn(x)− f (x)| ≤ limm→∞ ∥ fn − fm∥∞ となり∥ fn − f∥∞ ≤ limn→∞ ∥ fn − fm∥である. n → ∞とすると ∥ fn − f∥∞ → 0である. 系 5.1. L2 はヒルベルト空間である. 注: 測度空間の完備性と Lp-空間の完備性は無関係.

66

問 5.15. (C([0,1]),∥ · ∥1)はノルム空間であるがバナッハ空間ではないことを示せ. fnn: F -可測関数列, f : F -可測関数.

補題 5.3. fn が f に測度収束するときある部分列 fnk ⊂ fnが存在して

limnk→∞

fnk(x) = f (x), µ-a.e.x

とできる. 証明. nk > nk−1をµ

(| fnk(x)− f (x)|> 1

2k

)≤ 1

2k となるようなものとする. Ank =

x ∈ X : | fnk(x)− f (x)|> 12k

とおくと∑

kµ(Ank)< ∞となり問 1.24より µ

(lim

nk→∞Ank

)= 0. つまり A = lim

nk→∞Ank としたとき x ∈ X\Aε で

はある kが存在して j ≥ kならば

| fn j(x)− f (x)| ≤ 12 j

よって fn j(x)→ f (x), a.e.x.

以下, Lp-空間の元に関する主張を確かめる際などに役立つ定理を与える. (X ,F ,µ)を測度空間とする.

定理 5.2. Sを X 上の複素数値可測単関数 sで

µ(x ∈ X : s(x) = 0)< ∞

となるもの全体の成す集合とする. 1 ≤ p < ∞のとき Sは Lp(µ)で稠密である. 証明. S ⊂ Lp(µ)は明らかである. よって任意の f ∈ Lp(µ)に対して,ある φn : n ≥ 1 ⊂ Sで

∥ f −φn∥p → 0, n → ∞

となるようなものが存在することを言えばよい. さらに f ≥ 0と仮定してよい. f に対して φn(x)を問 2.8のように選ぶ. このとき φn ∈ Lp(µ)であり, | f (x)−φn(x)|p ≤ f (x)pである. よってルベーグの収束定理より

limn→∞

∫X| f (x)−φn(x)|pµ(dx) = 0

となり示せた.

位相空間 X 上の複素数値関数 f に対して,その台を

x ∈ X : f (x) = 0

で定義する.次の定理は Lp(Rd)に対する非常によい性質を与える. 定理 5.3. 1 ≤ p < ∞に対してCc(Rd)は Lp(Rd)で稠密である.ただしCc(Rd)は台がコンパクトとなるような複素数値関数全体である. この定理の系として次の重要な結果が得られる.

系 5.2. 1 ≤ p < ∞で Lp(Rd)は可分である.

67

系 5.2の証明. ストーン・ワイエルシュトラスの定理を使えばよい.

証明には次の定理を使う. f : Rd → Cをルベーグ可測関数とする.

定理 5.4. (ルジンの定理)m(A)< ∞となるルベーグ可測集合 Aで f (x) = 0 (x ∈ A)となるものが存在したとする. このとき任意の ε > 0に対してある g ∈Cc(Rd)で

m(x : f (x) = g(x))< ε

となるものが存在する. また

supx∈Rd

|g(x)| ≤ supx∈Rd

| f (x)|

とできる. 定理 5.3の証明. 可測単関数 sで m(x ∈ Rd : s(x) = 0)< ∞となるものをある g ∈Cc(Rd)で近似する. 定理 5.4よりある任意の ε > 0に対してある g ∈Cc(Rd)が存在して

m(x ∈ Rd : s(x) = g(x))< ε

とできる. |g| ≤ ∥s∥∞ より

∥s−g∥p ≤ ∥s∥∞ε1/p

である. 任意の f ∈ Lp(Rd)に対して sを定理 5.2のようにとると

∥ f −g∥p ≤ ∥ f − s∥p +∥s−g∥p ≤ 2ε

となるような g ∈Cc(Rd)がとれる.

定理 5.4の証明. まず 0 ≤ f ≤ 1,かつさらに Aがコンパクト集合の場合を考える. 問 2.8のように φn(x) :n ≥ 1をとり,

s1(x) = φ1(x), sn = φn(x)−φn−1(x) n ≥ 2

とする. 定義から 2nsn はある可測集合 Tn ⊂ Aの定義関数で,

f (x) = ∑n≥1

sn(x)

である. 開集合 Oで A ⊂ O ⊂ Oで Oがコンパクトになるようなものとする. 定理 4.7より各 Tnに対してコンパクト集合 Kn と開集合 On で

Kn ⊂ Tn ⊂ On, m(On/Kn)<ε2n

となるようなものがとれる. ウリゾーンの補題 (定理 A.1)より Rd 上の連続関数 hn で

(1) 0 ≤ hn(x)≤ 1,

(2) x ∈ Kn のとき hn(x) = 1,

(3) x ∈ On のとき hn(x) = 0

68

となるものが存在する.

g(x) = ∑n≥1

12n hn(x)

とすると右辺の級数は一様収束するので gは連続関数で g ∈Cc(Rd)である.

sn(x) =12n hn(x), x ∈ On\Kn

なので

f (x) = g(x), x ∈∪n≥1

(On\Kn)

である. よって

m(x ∈ Rd : f (x) = g(x))≤ m

(∪n≥1

(On\Kn)

)≤ ∑

n≥1

ε2n ≤ ε

となり示せた.Aがコンパクト集合でないとき m(A)< ∞より十分大きい nに対して

m(x : f (x) = 0∩ ([−n,n]d)c)<ε2

とできるので A∩ [−n,n]d として上の議論を適用すればよい. また Bn = x ∈ Rd : | f (x)| > n とすると∩n≥1 Bn = /0であり仮定より m(Bn)<

ε2 となるような nが存在する. あとは fn(x) = 1Bc

n(x) f (x)に対して上の議論を適用すればよい.

69

A *集合と位相 IIこの章では第 0章では扱わなかった集合と位相に関する細かい知識を復習する.

A.1 距離・位相この節では距離空間における用語を位相空間に拡張する. (S,O)を位相空間とする.

定義 A.1. 点 a ∈ Sの近傍全体の集合を近傍系と呼ぶ.O の部分集合Bが開基であるとは

任意の開集合 Oに対してBの部分集合B0 が存在して

O =∪

A∈B0

Aとできるときをいう.

例題 A.1. ユークリッド空間 Rに対して開区間全体の集合は開基である.

例題 A.2. 距離空間 (S,d)に対してB = B(x,ε) : x ∈ S,ε > 0は開基である.

問 A.1. 例題 A.2を示せ. (S,O)を位相空間とする.

定義 A.2. 点 a ∈ Sの近傍系N(x)の部分集合B(x)が点 xの基本近傍系であるとは

N ∈N(x) ⇒ U ⊂ N となるU ∈B(x)が存在する

ときをいう. また

(i) 任意の Sの点 aが高々可算個の近傍からなる基本近傍系をもつとき,位相空間 (S,O)は第一可算公理を満たすという.

(ii) Sが高々可算個の開集合からなる開基をもつとき,位相空間 (S,O)は第二可算公理を満たすという. 例題 A.3. 距離空間 (S,d)に対してB(x) = B(x, 1

n ) : n ∈ Nは基本近傍系である.

問 A.2. 例題 A.3を示せ.

問 A.3. 第二可算公理を満たす位相空間は第一可算公理を満たすことを示せ. (S,O: 位相空間

定義 A.3. Sの部分集合 Aが稠密であるとは

Aの閉包が Sと一致する. つまり A = S

を満たす時をいう.特に (S,O)が高々可算個の元からなる稠密な集合をもつとき可分であるという.

70

例題 A.4. Qは Rで稠密であることを示せ. (つまり Rは可分である.) 定義 A.4. 距離空間 (S,d)上の点列 an : n ≥ 1が点 a ∈ Sに収束するとは

点 aの任意の近傍 N に対してある n0 が存在して n > n0 ならば an ∈ N (A.1)

とできるときをいう.

定義 A.5. 位相空間 (S,O)上の点列 bn : n ≥ 1が点 b ∈ Sに収束するとは

点 bの任意の近傍 N に対してある n0 が存在して n > n0 ならば bn ∈ N

とできるときをいう. 問 A.4. (A.1)は

任意の ε > 0に対してある n0 が存在して n > n0 ならば d(an,a)< ε (A.1’)

とできることと同値であることを示せ.

A.2 ハウスドルフ空間 (S,O): 位相空間.

定義 A.6. a,b ∈ Sが開集合によって分離されるとは

互いに交わらない開集合U,V で a ∈U , b ∈V となるものが存在する

ときをいう.(S,O)は Sの任意の異なる 2点が開集合によって分離されるときハウスドルフ空間という. (S,O): 位相空間.

定義 A.7. A,B ⊂ Sが開集合によって分離されるとは

互いに交わらない開集合U,V で A ⊂U , B ⊂V となるものが存在する

ときをいう.(S,O)は Sの任意の互いに交わらない 2つの閉集合が開集合によって分離されるとき正規空間という. (S,O): 位相空間.

定義 A.8. A ⊂ Sと Aに属さない Sの点 aが開集合によって分離されるとは

互いに交わらない開集合U,V で A ⊂U , a ⊂V となるものが存在する

ときをいう.(S,O)は Sの任意の閉集合 C と C に属さない点 a ∈ Sが開集合によって分離されるとき正則空間という.

問 A.5. ハウスドルフ空間では一点集合は閉集合であることを示せ.

71

注: 正規ハウスドルフ空間は正則空間である.

問 A.6. 距離空間は正規ハウスドルフ空間であることを示せ.

問題 A.1. (S,O)を位相空間, (S′,O ′)をハウスドルフ空間とする. f ,gを Sから S′ への連続写像とする. このとき x ∈ S : f (x) = g(x)は閉集合であることを示せ.

(S,O): 正規空間.

定理 A.1. (ウリゾーンの補題)A,B ⊂ Sを互いに交わらない閉集合とする. このとき (S,O)上の連続関数 f で

• 0 ≤ f ≤ 1.

• x ∈ Aならば f (x) = 0.

• x ∈ Bならば f (x) = 1

となるようなものが存在する. 証明のために次の補題を与えておく.

補題 A.1. (S < O)を正規空間とする. 閉集合 F と開集合 Gに対して F ⊂ Gが成り立つときある開集合U

で

F ⊂U ⊂U ⊂ G

を満たすようなものが存在する.

証明. F と Gc は互いに素な閉集合なのであるU1,U2 で F ⊂U1, Gc ⊂U2, U1 ∩U2 = /0となるものが存在する. このとき G ⊂U1 ⊂Uc

2 ⊂ Gとなる. よってこのU1 が命題を満たす.

定理 A.1の証明. 正規空間の定義から A,Bに対して開集合U,V で A ⊂U , B ⊂ V , U ∩V = /0となるようなものがとれる.第 k位までの二進小数を次のように定義する.

Bk =

r : r =

k

∑i=1

ai

2i , ただし ai ∈ 0,1

∪1.

全ての二進小数 r ∈ Bin =∪∞

k=1 Bk に対して,次のような閉集合Cr を構成する.

C0 = A, C1 =U , かつ r < r′ ならばCr ⊂Cor′ . (A.2)

C0, C1は上のように定義するので r = 0,1に対して上のようなCr を構成する. まず r = 12 に対してC1の構

成方法よりC0 ⊂Co1 であるので補題 A.1より,ある開集合U1/2でC0 ⊂U1/2 ⊂U1/2 ⊂Co

1 となるものが存在する. C1/2 =U1/2 とおく.

r ∈ Bk に対して閉集合Cr で (A.2)を満たすようなものがとれたとする. このとき r ∈ Bk+1\Bk に対して,両隣の第 k位までの二進小数が存在する. それらを r1,r2 とするとCr1 , Cr2 は (A.2)を満たしているので補題 A.1より,開集合U ′ で

Cr1 ⊂U ′ ⊂U ′ ⊂Cor2

となるようなものが存在する. Cr2 =U ′ とすれば構成方法より r ∈ Bk+1 に対して (A.2)を満たすことがわかる. よって帰納的に (A.2)を満たすCr が構成できる.

72

このCr を使って f を構成する. 次のように f を定義する.

f (x) =

infr : x ∈Cr, r ∈ Bin, x ∈C1

1 x ∈C1

x ∈ Aのとき f (x) = 0, x ∈ Bのとき f (x) = 1である. よってあとは f が連続関数であることを示せば十分.x ∈ Sで f (x) = t (0 < t < 1)であるとする. t1 < t < t2とする. このときある二進小数 r1,r2で t1 < r1 < t <

r2 < t2 となるようなものがとれる. このとき定義より

x ∈Cr1

である. また t < r3 < r2 となる二進小数に対して定義より

x ∈Cr3 ⊂Cor2

となる. よって U = Cor3\Cr1 は x を含む開集合であり, y ∈ Co

r3\Cr1 ならば r1 ≤ f (y) ≤ r3 となる. よって

0 < f (x)< 1となるような点では連続である.f (x) = 0とする. このとき任意の ε > 0に対して二進小数 0 < r < ε が存在する. このときさらに二進小

数 0 < r′ < rが存在し

x ∈Cr′ ⊂Cor

とできる. y ∈C0r ならば f (y)≤ r < ε であるので xで連続である.

f (x) = 1となるような xに対しても同様に連続であることが示せる.

A.3 ストーン-ワイエルシュトラスの定理ワイエルシュトラスの多項式近似定理は閉区間 [a,b]上の連続関数 f としたとき任意の ε > 0に対して,

ある多項式 gで

∥ f −g∥∞ = supx∈[a,b]

| f (x)−g(x)|< ε

となるようなものが存在することを主張していた.この小節では一般化したストーン-ワイエルシュトラスの定理を考える. 16

Sをコンパクトハウスドルフ空間とする. S上の連続関数のなす空間C(S)は線形空間であることは容易にわかる. また積の構造も入れることができ,分配法則

f (g+h) = f g+ f h, f ,g,h ∈C(S)

が成り立つこともわかるので,代数構造が入っている. S: コンパクトハウスドルフ空間

定義 A.9. C(S)の部分集合 Aが部分代数であるとは

AがC(S)の線形部分空間であり,積で閉じている ( f ,g ∈ A ⇒ f g ∈ A)

ときをいう.Aが C(S)の部分集合であるとき, Aを含む最小の部分代数が存在するので,それを Aの生成する部分代数という.

16証明は省略する.

73

問 A.7. Sをコンパクトハウスドルフ空間とする. Aを C(S)の部分集合とするとき Aを含む最小の部分代数が存在することを示せ.

S: コンパクトハウスドルフ空間.

定理 A.2. (ストーン－ワイエルシュトラスの定理)A ⊂C(S)が次の 2条件を満たしているとする.

(i) Aが定数関数 1を含んでいる.

(ii) 任意の異なる x,y ∈ Sに対して f (x) = f (y)となる f ∈ Aが存在する.

このとき Aの生成する部分代数はC(S)で稠密である. 問 A.8. S ⊂ Rd はコンパクトであるとする. Rd 上の多項式全体のなす集合は C(S)で稠密であることを示せ. またC(S)は可分であることを示せ.

B *バナッハ空間,ヒルベルト空間

C 準備中のネタこの節は多様体上の測度に興味のある人用に準備しようかと思っていたが,予想以上に時間がかかりそうなので今回は保留にしておく. 興味のある方は文献を探してみてください. (様々な定理を仮定すれば多少短く済む. 特に多様体上に測度を構成する際に Riesz-Markov-角谷の表現定理というものを使うがこの定理の証明は非常に長い. サードの定理の証明もきちんと書くと長い. いくつか文献を見たが測度の構成をきちんと扱っているものは見つからなかった.)

C.1 多様体上の測度リーマン多様体上にはユークリッド空間におけるルベーグ測度のような測度を構成できる.

C.2 サードの定理 定理 C.1. (サードの定理) M,N をそれぞれ次元 m,nのリーマン多様体とする. f : M → N が滑らかな写像であるとき, f の臨界点の測度は 0である.ただし点 x ∈ Mが f の臨界点であるとは f の微分 d f : T M → T N の階数が mより小さい時を言う.

74

索引a.a.x, 27a.e.x, 27

Fδ 集合 (Fδ set), 56

Gδ 集合 (Gδ set), 56

Lp 空間, 62

µ-a.a., 27µ-a.e., 27µ-零集合 (µ-null set), 27

σ -加法族 (σ -algebra), 13集合族が生成する, 15直積–(product–), 50

位相 (topology), 9密着–(indiscrete–), 9離散–(discrete), 9

位相空間 (topological space), 9ウリゾーンの補題 (Urysohn’s lemma), 72押し出し (push forward), 14開基 (open base), 70確率空間 (probability space), 21可算加法性 (countably additivity), 19可算劣加法性 (countably subadditivity), 20過剰和 (upper Darboux sum), 12下積分 (lower Darboux integral), 12可積分

リーマン–(Riemann integrable), 12ルベーグ–(Lebesgue integrable), 26

可積分 (integrable)広義リーマン–(improper Riemann integrable),

37可測 (measurable), 13, 23

F/G -可測, 23µ-, 42

可測空間 (measurable space), 13可測単関数 (simple function), 24可分 (separable), 70カラテオドリの外測度 (Carateordory’s outer mea-

sure), 42カントール集合 (Cantor set), 19完備 (complete)

–化 (completion), 34

距離空間が–, 65–測度空間 (measure space), 34

ガンマ関数 (Gamma function), 38境界 (boundary), 8境界点 (boundary point), 8共通部分 (intersection), 4極限集合 (limit set), 5

下極限集合 (inferior limit set), 5上極限集合 (superior limit set), 5

距離 (metric), 7–空間 (–space), 7

近傍 (neighborhood), 8, 9–系 (system of –), 8, 70開–(open), 9基本近傍系 (fundamental system of –), 70

逆写像 (inverse mapping), 6逆像 (inverse image), 6区間

開区間 (open interval), 11左半開区間 (left-open, right-closed interval),

11閉区間 (closed interval,), 11右半開区間 (left-closed, right-open interval),

11区間 (interval), 11矩形集合 (rectangle), 50広義積分可能 (improper integrable), 37個数測度 (counting measure), 20コンパクト (compact), 10合成 (composition), 6差集合 (difference set), 5集合 (set)

開– (open–), 8, 9可算– (countable), 7非可算– (uncountable–), 7閉– (closed–), 8, 9

収束Lp-, 65概–, 65測度–, 65

収束 (convergence), 71シュワルツの不等式 (Schwarz’s inequality), 63触点 (abherent point), 8自己相似集合 (self-similar set), 48

75

上積分 (upper Darboux integral), 12ジョルダン可測 (Jordan measurable), 12ジョルダン外測度 (Jordan outer measure), 12ジョルダン測度 (Jordan measure), 12ジョルダン内測度 (Jordan inner measure), 12ストーン-ワイエルシュトラスの定理 (Stone-Weierstrass

theorem), 74正規空間 (normal space), 71制限 (restriction), 6, 16正則空間 (regular space), 71正部 (positive part), 4積分 (integral)

可測関数の–, 26可測単関数の–, 25非負可測関数の–, 25リーマン–(Riemann integral), 12ルベーグ–(Lebesgue), 26

全射 (surjection), 6全単射 (bijection), 6測度 (measure), 19

σ -有限 (σ -finite measure), 21確率–(probability measure), 21無限–(infinite measure), 21有限–(finite mesure), 21ルベーグ-スティルチェス-(Lebesgue-Stieltjes),

46測度空間 (measure space), 19像 (image), 6互いに素 (disjoint), 5単射 (injection), 6単調減少 (monotonically decreasing), 6単調収束定理 (monotone convergence theorem), 29単調性 (monotonicity), 18単調増加 (monotonically increasing), 6単調族 (monotone class), 39台 (support), 67第一可算公理 (first axiom of countability), 70第二可算公理 (second axiom of countability), 70稠密 (dense), 70定義関数 (characteristic function, indiator function),

5ディラク測度 (Dirac measure), 20内積 (inner product), 65

–空間 (–space), 65内点 (interior point), 8内部 (interior), 8ノルム (norm), 64

–空間 (–space), 64ハウスドルフ空間 (Hausdorff space), 71ハウスドルフ次元 (Hausdorff dimension), 47バナッハ空間 (Banach space), 65ひきもどし (pull back), 14非減少 (non-decreasing), 6非減少 (non-increasing), 6非交差 (disjoint), 5非負性 (non-negativity), 19標本空間, 11ヒルベルト空間 (Hilbert space), 65

前–(pre-), 65ファトゥの補題 (Fatou’s lemma), 30不足和 (lower Darboux sum), 12負部 (negative part), 4部分代数 (subalgebra), 73

∼の生成する– (–generated by), 73分離, 71閉包 (closure), 8ヘルダーの不等式 (Holder’s inequality), 63補集合 (complement), 5ホップの拡張定理 (E. Hopf’s extension theorem),

40ほとんどいたるところ (almost everywhere), 27ほとんど全ての (almost all), 27本質的に有界 (essentially bounded), 62ボレル-カンテリの補題 (Borel-Cantelli’s lemma),

21ボレル集合族 (Borel σ -algebra), 15ミンコウスキの不等式 (Minkowski’s inequality),

63ヤングの不等式 (Young’s inequality), 63有限加法性 (finite additivity), 18有限加法族 (finitely additive field), 18有限加法的測度 (finitely additive measure), 18有限劣加法性 (finite subadditivity), 18ユークリッド空間 (Euclidean space), 7ルジンの定理 (Lusin’s theorem), 68ルベーグ可測集合族 (Lebesgue measurable sets),

34ルベーグ測度 (Lebesgue measure)

Rd 上の-, 34B(Rd)上の–, 20

ルベーグの優収束定理 (Lebesgue’s dominated con-vergence theorem), 31

連続 (continuous), 9和集合 (union), 4

76