灵敏度分析 (what-if 分析 )

灵敏度分析 (what-if 分析 )

在实际问题中，我们首先收集有关数据，建立线性规划模型，用 Excel 求解 .

管理科学人员在向管理层提出该问题的最优解（最优方案）之后，任务并未完全结束 .

管理层还希望知道，当各种假设条件变化时，各种管理方法可能产生的结果，并通过对各种结果进行分析，来指导管理层做出最终决策。


如果未来的情况有变化的话，最优解将会如何变化？ ( 实际问题中获得所需的数据是相当困难的，有时只能得到所需的数据的估计值 ) 。

管理层在做出最终决策之前，必然想知道如果这些估计量与实际情况有一定的误差时最优解将会如何变化，或估计值在什么范围内变化时，不会影响最优解


分别讨论下列数据或条件变化时对于最优基（最优解）的灵敏度分析：

1) 目标函数系数 C 的变化； 2) 右端常数的 b 变化； 3) 增加新变量和新的约束条件的变化；使用 Excel 电子表格进行灵敏度分析


电子表格的一个很大的优点是方便展开各种灵敏度分析，当某一参数发生变化时，只需要改变电子表格中相应的数据，重新按“规划求解”按钮求出新的解。

例如 :


目标系数同时变动在分析多个系数同时变动的情况时，可同样使用这

些数据，且有下列法则：目标系数同时变动的百分之百法则：如果若干个目

标函数系数同时变动，计算出每一系数变动量占该系数允许变动量的百分比，再将所有系数变动百分比相加，若所得之和不超过百分之一百，则最优解不会改变，若所得之和超过了百分之一百，则不能确定最优解是否改变。


右端项的灵敏度分析 ( 影子价格 ) 我们来讨论以资源分配问题为背景的线性规划模型

中资源的价格问题。由于资源分配问题是分配 m 种资源做 n 种活动，相应的约束形式为：

约束函数 ≤ 右端项 bi (i = 1, 2, . . . , m) bi 表示第 i 种资源的现有数量；当第 i 种资源的数量由 bi 变为 bi+1 时（其余参数不

变）最优目标函数值的改变量称为（第 i 种资源或第 i 个约束函数的）影子价格或边际价格。


寻找影子价格较简易的方法还是使用电子表格，增加约束右端值一个单位，接着按下规划求解按钮，就可以看到目标函数值增加的数量。同时 Excel 求解灵敏度报告也提供每个函数约束的影子价格。


管理者想要了解增加（或减少）第 i 种资源的数量对目标函数值增加或减少的影响程度。将影子价格 yi 称为第 i 种资源的机会成本（机会损失），在现有资源量的基础上，若增加一个单位的第 i 种资源，企业获利将增加 yi ，反之若减少一个单位的第 i 种资源，企业获利将减少 yi ，。


因此管理者可以根据第 i 种资源的市场价格 li来决策是否应调整原来的生产规模；如果 li < yi （第 i 种资源市场价格低于影子价格），可从市场上采购第 i 种资源若干单位，扩大生产规模；若 li > yi ，可以减少生产规模（变卖资源获利更大）

除了用 Excel 求影子价格外，对于只有两个决策变量的线性规划问题也可以用图解法求第 i 种资源的影子价格 .


类似地，我们有右端项同时变动的百分之百法则如下：

同时改变若干个右端项值，计算每个右端项变动占所允许增加值或减少值的百分比，若所有百分比之和没有超过百分之百，那么影子价格还是有效的（最优基不变），若所有百分比之和超过 100% ，那么，无法确定影子价格是否有效。


增加新的决策变量在实际问题中经常会碰到由于生产条件或市场行业

变化需要在原线性规划模型上增加新的决策变量的情况。 ( 例如在第二章例 1 的资源分配问题中，假如又有一种新产品丙可以生产 )

增加新的约束条件在原问题线性规划求解之后，由于自然条件或工艺要求的变化，有时需要增加一个新的约束条件，此种情况经常发生。


案例分析 :丽欣公司广告投入与收益均衡问题 (P14) 广告运动推销三种产品(1) 儿童奶粉 --- 目标 : 增加市场份额 8%(2) 鲜牛奶 --- 目标 : 增加市场份额 13%(3) 成人奶粉 --- 目标 : 增加市场份额 5% 广告手段(1) 促销会 ----- 单位成本 100万(2) 电视 ------- 单位成本 210万元(3) 印刷媒体 ------- 单位成本 160万元


相关数据 ( 如表 ) 用 X1 表示促销会次数用 X2 表示电视广告次

(套 ) 数 , 用 X3 表示印刷媒体广

告次 (套 ) 数 , 则 : 目标函数 Z=100x1

+210x2 +160x3 最小化

促销会每单位

电视每单位

印刷媒体每单位

儿童奶粉

1 3 2

鲜奶 2 -1 3

成人奶粉

2 0 2


约束条件 :

X1 +3X2 +2X2 ≥8

2X1 -X2 +3X2 ≥13

2X1+2X3 ≥5

非负约束 X1 ≥0, X2 ≥0, X3 ≥0

用 Excel 求解 , 见 P43, 并作敏感性分析报告 .

灵敏度分析 (what-if 分析 )

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