Міністерство освіти і науки України Національний університет водного господарства

та природокористування

Кафедра вищої математики

0 8 5 – 0 1

ВИЩА МАТЕМАТИКА

Програма, методичні вказівки та завдання

для студентів 2-го курсу заочної форми навчання

напряму підготовки 6.060101 „Будівництво”.

Рекомендовано методичною комісією напряму підготовки

6.060101 „Будівництво”, протокол 16 від 08.09.08 р.

Рівне – 2009

2

ВИЩА МАТЕМАТИКА Програма, методичні вказівки та завдання для студентів 2-го курсу заочної форми навчання напряму підготовки 6.060101 „Будівництво” / Іващук Я.Г. – Рівне: НУВГП, 2009. – 63 с.

Упорядник: Іващук Я.Г., старший викладач.

Відповідальний за випуск: Ярмуш Я.І., кандидат фізико-математичних наук, доцент, завідувач кафедри вищої математики.

З М І С Т

1. Робоча програма ……………………….……………………. 3 2. Поради до виконання контрольних робіт ……………….... 6 3. Варіанти завдань контрольних робіт …………………… 7 4. Функції багатьох змінних ……………………………….. 8 5. Інтегральне числення функцій двох змінних …………… 15 6. Зразки розв’язання завдань контрольної роботи 3 ….. 24 7. Завдання для виконання контрольної роботи 3 …… 26 8. Ряди ………………………………………………………... 32 9. Основи теорії ймовірностей …………………………….. 37 10. Зразки розв’язання завдань контрольної роботи 4 ... 48 11. Завдання для виконання контрольної роботи 4 …… 55 12. Рекомендована література …..……... ………………… 61 13. Таблиця значень функції Гаусса ……………………… 62 14. Таблиця значень функції Лапласа ……….……………… 63

© Іващук Я.Г., 2009. © НУВГП, 2009.

3

РОБОЧА ПРОГРАМА 3 НАВЧАЛЬНОЇ ДИСЦИПЛІНИ

"ВИЩА МАТЕМАТИКА" ( третій семестр )

Розділ 7. Функції багатьох незалежних змінних. 1. Поняття функції багатьох змінних. Область визначення, лінії рівня і поверхні рівня. 2. Границя функції двох змінних. Неперервність. 3. Частинні похідні першого порядку функції двох змінних. 4. Повний приріст і повний диференціал функції двох змінних. 5. Застосування повного диференціала до наближених обчислень. 6. Похідна від функції заданої неявно. 7. Дотична площина і нормаль до поверхні. 8. Частинні похідні і диференціал вищих порядків. 9. Скалярне поле. Похідна за напрямом. Градієнт . 10. Екстремум функції двох змінних. Найбільше і найменше значення функції в замкнутій області.

Розділ 8. Кратні та криволінійні інтеграли.

11. Задача про об`єм циліндричного тіла , означення подвійного інтеграла. 12. Задача про масу матеріальної пластинки , означення подвійного інтеграла.

13. Властивості подвійного інтеграла . 14. Умови існування подвійного інтеграла і його обчислення в

декартовій системі координат. 15. Обчислення подвійних інтегралів в полярній системі

координат. 16. Застосування подвійних інтегралів до задач геометрії. 17. Обчислення статичних моментів плоскої фігури. 18. Обчислення координат центра маси плоских фігур 19. Обчислення моментів інерції плоскої області. 20. Поняття потрійного інтеграла ,означення і умови нування. 21. Властивості потрійних інтегралів.

4

22. Обчислення потрійних інтегралів в декартовій системі координат.

23. Обчислення потрійних інтегралів в циліндричних координатах.

24. Застосування потрійних інтегралів до обчислення маси не-однорідного тіла, статичних моментів і координат центра маси.

25. Обчислення моментів інерції неоднорідного тіла з допомо-гою потрійного інтеграла.

26. Поняття криволінійного інтеграла першого роду. 27. Обчислення криволінійного інтеграла першого роду. 28. Властивості криволінійного інтеграла першого роду. 29. Застосування криволінійних інтегралів першого роду. 30. Поняття криволінійного інтеграла другого роду. 31. Обчислення криволінійного інтеграла другого роду і його

властивості. 32. Формула Гріна . 33. Умова рівності нулю криволінійного інтеграла другого роду

по замкнутому контуру . 34. Умова при якій вираз ( ) ( ) dyyxQdxyxP ⋅+⋅ ,, є пов-ним

диференціалом . 35. Незалежність криволінійного інтеграла другого роду від

форми шляху інтегрування . 36. Знаходження первісної функції за її повним диференціалом. 37. Диференціальні рівняння в повних диференціалах і їх

розв’язання. ( четвертий семестр )

Розділ 9. Ряди.

1. Поняття числового ряду. Збіжність і сума ряду. Основні теореми про збіжні числові ряди. Необхідна ознака збіжності числових рядів, її недостатність. 2. Достатні ознаки збіжності числових рядів з додатними членами. 3. Знакозмінні і знакопочережні числові ряди. Абсолютна і умовна збіжність. Теорема Лейбніца.

4. Степеневі ряди. Інтервал і радіус збіжності степеневого ряду. Основні властивості степеневих рядів.

5

5. Ряди Тейлора і Маклорена. Необхідна і достатня умови розкладу функції в ряд Тейлора. Розклад в степеневий ряд функцій: ех, sinx, cosx, (1+х)α, 1/(1+х), ln(1+x), arctgx. 6. Застосування степеневих рядів до наближеного обчислення значень функцій і визначених інтегралів та наближеного інтегрування диференціальних рівнянь. Розділ 10. Основи теорії ймовірностей. 1. Елементи комбінаторики. Правило суми і добутку. 2. Випадкові події. Класифікація подій. 3. Операції над подіями. Класичне і статистичне визначення ймовірності. 4. Теореми додавання ймовірностей для несумісних і сумісних подій ( з доведеннями ). 5. Умовна ймовірність. Теореми множення ймовірностей. 6. Формула повної ймовірності і формула Байєса. 7. Повторення дослідів. Схема Бернуллі. Формула Бернуллі. 8. Локальна теорема Лапласа. 9. Інтегральна теорема Лапласа. 10. Формула Пуассона . 11. Випадкові величини та їх розподіли. 12. Інтегральна функція розподілу дискретної випадкової величини

і її властивості. 13. Числові характеристики дискретної випадкової величини. 14. Біноміальний розподіл і розподіл Пуассона і їхні числові

характеристики. 15. Функція розподілу неперервної випадкової величини.

Щільність розподілу і її властивості. 16. Числові характеристики неперервної випадкової величини. 17. Рівномірний закон розподілу і його числові характеристики. 18. Нормальний закон розподілу і його числові характеристики. 19. Ймовірність попадання в заданий інтервал. Ймовірність

заданого відхилення. Правило “ трьох сигм “.

6

ПОРАДИ ДО ВИКОНАННЯ КОНТРОЛЬНИХ РОБІТ

Перед виконанням кожної контрольної роботи студент заочної форми навчання вивчає відповідний теоретичний матеріал згідно з програмою курсу вищої математики, користуючись вибраним посіб-ником, розбирає приклади розв’язаних задач, розв’язує типові зада-чі до кожної теми. Далі, за таблицею варіантів ( див. стор. 7 або 8 ), студент знаходить свій варіант завдань за двома останніми цифрами учбового шифру. Наприклад, для варіанту 67:

вар

Номери завдань 1 2 3 4 5 6 7

67 7 15 8 1 9 2 10

вибираються такі завдання:Завдання 1.7., Завдання 2.15., Завдання 3.8., Завдання 4.1., Завдання 5.9., Завдання 6.2., Завдання 7.10.

При виконанні роботи студент має керуватись такими вказівками: 1) контрольна робота виконується в зошиті шкільного типу

кульковою ручкою з синьою або фіолетовою пастою, з обов’язко-вим виставленням полів для зауважень рецензента;

2) на зовнішній обкладинці зошита повинні бути вказані прізви-ще, ім’я, по батькові студента, номер групи, назва спеціальності, повний учбовий шифр, номер контрольної роботи та дата її відправ-лення до університету; 3) кожна нова задача повинна починатися з нової сторінки; 4) умова задачі переписується повністю без будь-яких скорочень 5) графіки, які пояснюють умову задачі або її розв’язок, повинні виконуватися акуратно із застосуванням креслярських засобів; 6) розв’язок супроводжується короткими, вичерпними пояснен-нями; 7) якщо контрольна робота не зарахована, то студент повинен у тому ж зошиті виправити допущені помилки у відповідності до зау-важень рецензента та подати роботу на повторне рецензування; 8) при захисті контрольної роботи студент повинен самостійно пояснити всі розв’язки задач і дати відповідь на питання теоретич-ного матеріалу, який пов’язаний з розв’язками. До здачі іспиту чи заліку допускається студент, який виконав контрольну роботу.

7

Варіанти завдань контрольних робіт ( варіанту визначається за двома останніми цифрами

учбового шифру )

вар

Номери завдань вар

Номери завдань 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7

01 6 13 10 7 4 1 13 31 6 8 10 12 14 1 3

02 7 4 11 8 5 2 14 32 7 9 11 13 15 2 4

03 8 5 2 9 6 3 15 33 8 10 12 14 1 3 5

04 9 6 3 15 7 4 1 34 9 11 13 15 2 4 6

05 10 7 4 1 13 5 2 35 10 12 14 1 3 5 7

06 11 8 5 2 14 11 3 36 11 13 15 2 4 6 8

07 12 9 6 3 15 12 9 37 12 14 1 3 5 7 9

08 13 10 7 4 1 13 10 38 13 15 2 4 6 8 10

09 14 11 8 5 2 14 11 39 14 1 3 5 7 9 11

10 15 12 9 6 3 15 12 40 15 2 4 6 8 10 3

11 1 14 12 10 8 6 4 41 1 3 5 7 9 11 13

12 2 15 13 11 9 7 5 42 2 4 6 8 10 12 14

13 3 1 14 12 10 8 6 43 3 5 7 9 11 13 15

14 4 2 15 13 11 9 7 44 4 6 8 10 12 14 1

15 5 3 1 14 12 10 8 45 5 7 9 11 13 15 2

16 6 7 8 9 10 11 12 46 6 9 12 15 3 6 11

17 7 8 9 10 11 12 13 47 7 10 13 1 4 7 12

18 8 9 10 11 12 13 14 48 8 11 14 2 5 8 15

19 9 10 11 12 13 14 15 49 9 12 15 3 6 9 3

20 10 11 12 13 14 15 1 50 10 13 1 4 7 11 5

21 11 12 13 14 15 1 2 51 11 14 2 5 8 1 5

22 12 13 14 15 1 2 3 52 12 15 3 6 9 2 6

23 13 14 15 1 2 3 4 53 13 1 4 7 14 3 12

24 14 15 1 2 3 4 5 54 14 2 5 8 15 4 13

25 15 1 2 3 4 5 6 55 15 3 6 12 1 5 9

26 1 2 3 4 5 6 7 56 1 4 7 13 2 6 10

27 2 3 4 5 6 7 8 57 2 5 10 14 3 7 11

28 3 4 5 6 7 8 9 58 3 6 11 15 4 8 2

29 4 5 6 7 8 9 10 59 4 8 12 1 5 9 6

30 5 6 7 8 9 10 11 60 5 9 13 2 6 10 8

8

Варіанти завдань контрольних робіт ( Продовження таблиці )

вар

Номери завдань вар

Номери завдань 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7

61 1 9 2 10 3 11 4 81 6 5 4 3 2 1 15

62 2 10 3 11 4 12 5 82 7 6 5 4 3 2 1

63 3 11 4 12 5 13 6 83 8 7 6 5 4 3 2

64 4 12 5 13 6 14 7 84 9 8 7 6 5 4 3

65 5 13 6 14 7 15 8 85 10 9 8 7 6 5 4

66 6 14 7 15 8 1 9 86 11 10 9 8 7 6 5

67 7 15 8 1 9 2 10 87 12 11 10 9 8 7 6

68 8 1 9 2 10 3 11 88 13 12 11 10 9 8 7

69 9 2 10 3 11 4 12 89 14 13 12 11 10 9 8

70 10 3 11 4 12 5 13 90 15 14 13 12 11 10 9

71 11 4 12 5 13 6 14 91 15 13 11 9 7 5 3

72 12 5 13 6 14 7 15 92 14 12 10 8 6 4 2

73 13 6 14 7 15 8 1 93 13 11 9 7 5 3 1

74 14 7 15 8 1 9 2 94 12 10 8 6 4 2 15

75 15 8 1 9 2 10 3 95 11 9 7 5 3 1 14

76 1 15 14 13 12 11 10 96 10 8 6 4 2 15 13

77 2 1 15 14 13 12 11 97 9 7 5 3 1 14 12

78 3 2 1 15 14 13 12 98 8 6 4 2 15 13 11

79 4 3 2 1 15 14 13 99 7 5 3 1 14 12 10

80 5 4 3 2 1 15 14 00 6 4 2 15 13 11 9

ФУНКЦІЇ БАГАТЬОХ ЗМІННИХ.

Вивчаючи фізичні стани будь-яких тіл, ми часто спостерігаємо зміну їхніх властивостей наприклад температури тіла, густини і т.д. від точки до точки. Всі ці величини функціонально залежать (є функціями) від координат zyx ,, точки.

Такого роду залежності зв’язані з функціями багатьох змінних. Нехай задано деяку множину 2RD ⊂ площини xOy .

О-1. Якщо кожній точці ( ) DyxM ∈, за певним законом f від-повідає одне і тільки одне дійсне значення z , то кажуть, що на мно-

9

жині D визначено функцію від двох незалежних змінних yix і

записують ( ),, yxfz = або ( )yxzz ,= .

При цьому множину D називають областю визначення функції, або областю існування функції ( )., yxfz = .

Графіком функції двох змінних є геометричне місце точок

( )( ); ; ,x y z x y трьохвимірного простору 3R , тобто функція

( )., yxfz = , ( ) Dyx ∈, визначає деяку поверхню, проекція якої на

площину Oxy є область визначення D . Більш простою геометричною ілюстрацією функції двох змінних є

лінії рівня, які визначаються рівнянням ( ) Cyxf =, , де C - довільні сталі взяті з множини значень функції. Дане рівняння задає деяку однопараметричну сім’ю кривих в площині xOy .

Геометрично, це означає, що зроблено переріз поверхні ( )., yxfz = площинами Cz = і спроектовано їх на площину xOy .

Нехай функція ( ), .f x y визначена в деякому околі точки ( )., 00 yx

Величина ( ) ( ) ( )000000 ,,, yxfyyxxfyxf −∆+∆+=∆ називається

повним приростом функції ( ),f x y в точці ( )., 00 yx

О-2. Функція ( ),f x y називається неперервною в точці ( )0 0,x y ,

якщо повний приріст її в цій точці прямує до нуля, при умові, що прирости її аргументів x та y прямують до нуля, тобто

( )0 000

lim , 0xy

z x y∆ →∆ →

∆ =

О-3. Частинною похідною по змінній x від функції ( )yxfz ,= в

точці ( )0 0,x y називають границю відношення частинного приросту

fx∆ до приросту x∆ при прямуванні x∆ до нуля і позначають:

( )0 0,z x y

x

∂

∂ , або

( )x

yxf

∂

∂ 00 ,, або ( )00 , yxzk′ .

10

Таким чином

( ) ( ) ( )0 0 0 0 0 0

0 0

, , ,lim limx

x xx

z x y f x x y f x yf

x x∆ → ∆ →

∂ + ∆ −∆= =

∂ ∆ ∆.

О-4. Частинною похідною функції ( )yxfz ,= по змінній y в

точці ( )0 0,x y називається границя відношення частинного прирос-ту

y z∆ до приросту y∆ при прямуванні y∆ до нуля і позначають:

( )0 0,z x y

y

∂

∂, або

( )0 0,f x y

y

∂

∂, або ( )00 , yxz y′ .

Таким чином

( ) ( ) ( ) ( )0 00 0 0 0 0 0

0 0

,, , ,lim lim

y

y y

f x yz x y f x y y f x y

y y y∆ → ∆ →

∆∂ + ∆ −= =

∂ ∆ ∆.

При знаходженні частинної похідної функції ( )yxfz ,= по x ,

змінна y вважається сталою, а при знаходженні частинної похідної по

y , змінна x вважається сталою. z

x

∂∂

та z

y

∂∂

визначають величину

швидкості з якою відбувається зміна функції z при зміні тільки x , або

тільки y , а знак частинної похідної z

x

∂∂

, або z

y

∂∂

вказує на характер

зміни (зростання чи спадання ). 0-5. Функція ( )yxfz ,= називається диференційовною в точці

( ) Dyx ∈, , якщо в деякому околі ( ),x yU цієї точки її повний приріст

z∆ можна подати у вигляді

1 2

( , ) ( , )f х у f х уz х у х у

х уε ε

∂ ∂∆ = ∆ + ∆ + ∆ + ∆

∂ ∂

0-6. Лінійну (головну) відносно ∆х і ∆у частину повного

приросту диференційованої в точці ( ),x y функції ( )yxfz ,=

називають повним диференціалом в цій точці і позначають: ( , ) ( , )f х у f х у

dz dх dух у

∂ ∂= +

∂ ∂

11

(оскільки x dx∆ = і y dy∆ = ).

Геометричне тлумачення диференціала полягає в тому, що dz є

приростом аплікати дотичної площини до поверхні ( )yxfz ,= в точці

( ),x y .

Для функції ( )yxfz ,= диференційовної в точці ( ),x y повний

приріст ( )( , ) ,z f x x y y f x y∆ = + ∆ + ∆ − .

Звідси zyxfyyxxf ∆+=∆+∆+ ),(),( . (1) Для достатньо малих ∆х і ∆у виконується наближена рівність:

z dz∆ ≈ , де z z

dz dx dyx y

∂ ∂= +∂ ∂

.

З рівності (1) отримаємо наближену рівність:

( , ) ( , ) ( , )z z

f x x y y f x y dz f x y dx dyx y

∂ ∂+ ∆ + ∆ ≈ + = + +

∂ ∂,

що застосовується при наближених обчисленнях. Нехай в просторі 3R задано поверхню неявним рівнянням

( ), , 0F x y z = , точку ( )0 0 0 0, ,x y zΡ на цій поверхні. Функція

( ), ,F x y z є диференційовною в цій точці. Тоді рівняння дотичної

площини до поверхні в цій точці матиме вигляд:

( )( ) ( ) ( ) ( )( )' ' '0 0 0 0 0 0 0x y zF P x x F P y y F P z z− + − + − = ,

а рівняння нормалі :

( ) ( ) ( )0 0 0

' ' '0 0 0x y z

x x y y z z

F P F P F P

− − −= = .

Якщо поверхню задано явним рівнянням ( ),z f x y= , то рівняння

дотичної площини буде таким:

( ) ( ) ( )( ) ( )' '0 0 0 0 0 0 0, , 0x yf x y x x f x y y y z z− + − − − = ,

а рівняння нормалі : ( ) ( )

0 0 0' '

0 0 0 0 1, ,x y

x x y y z z

f x y f x y

− − −= =

−.

12

Частинні похідні першого порядку ( )' ,xf x y і ( )' ,yf x y в

загальному випадку також є функціями від двох змінних x і y . Якщо

ці функції ще раз продиференціювати по x , або по y , то дістанемо похідні другого порядку:

2''

2 xx

z zz

x xx

∂ ∂ ∂ = = ∂ ∂∂ ,

2''

2 yy

z zz

y yy

∂ ∂ ∂= = ∂ ∂∂

,

2''xy

z zz

x y y x

∂ ∂ ∂ = = ∂ ∂ ∂ ∂ ,

2''yx

z zz

y x x y

∂ ∂ ∂= = ∂ ∂ ∂ ∂

.

Т-1. Якщо функція ( ),z f x y= та її частинні похідні другого

порядку ''xyz та ''

yxz неперервні в деякому околі точки ( ),x y , то '' ''xy yxz z= .

Формула диференціала другого порядку 2d z має вигляд: 2 2 2

2 2 2

2 22

z z zd z dx dx dy dy

x yx y

∂ ∂ ∂= + +

∂ ∂∂ ∂.

О-7. Функція ( ),z f x y= має максимум в точці ( )0 0,x y , якщо

( ) ( )0 0, ,f x y f x y> для всіх точок ( ),x y які належать деякому околу

точки ( )0 0,x y .

О - 8. Функція ( ),z f x y= має мінімум в точці ( )0 0,x y , якщо

( ) ( )0 0, ,f x y f x y< для всіх точок ( ),x y які належать деякому околу

точки ( )0 0,x y .

Максимум і мінімум функції називається екстремумами функції. Необхідна умова екстремуму функції двох змінних :

Т-2 Якщо диференційовна функція ( ),z f x y= має в точці

( )0 0,x y екстремум, то в цій точці частинні похідні першого порядку

по змінним x і y дорівнюють нулю:

13

( )

( )

0 0

0 0

,0,

,0.

z x y

x

z x y

y

∂=

∂∂ = ∂

Точка ( )0 0 0,M x y для якої виконується необхідна умова

називається стаціонарною. Позначимо величини:

( )2

0 02,

zA x y

x

∂=∂

, ( )2

0 0,z

B x yx y

∂=∂ ∂

, ( )2

0 02,

zC x y

y

∂=∂

.

Обчислимо визначник: 2A BAC B

B C∆ = = − .

Т – 3. ( Достатні умови екстремуму ) Якщо для функції

( ),z f x y= виконані необхідні умови екстремуму в деякій точці

( )0 0 0,M x y , то в цій точці функція:

1) має екстремум якщо 0∆ > , причому – має максимум, якщо 0A < , і мінімум, якщо 0A > ;

2) не має екстремуму, якщо 0∆ < ; 3) якщо 0∆ = потрібно проводити додаткові дослідження,

тобто про екстремум нічого сказати не можна. Щоб знайти найбільше і найменше значення функції в замкненій

області, необхідно: 1) знайти стаціонарні точки, якщо точки належать області, то

обчислюють значення функції в цих точках; на екстремум ці точки досліджувати не треба;

2) знайти найбільше і найменше значення функції на межі області; якщо межа складається із кількох меж – на кожній з них;

3) порівняти знайдені значення і встановити яке з них найбільше, а яке найменше.

О–9. Область простору, кожній точці M якої поставлено у

відповідність значення деякої скалярної величини ( )u M називають

скалярним полем.

14

Наприклад, поле температур, поле густин речовини.

Якщо функція ( )u M не залежить від часу, то скалярне поле

називається стаціонарним. Якщо функція ( )u M змінюється з часом,

то поле називається нестаціонарним. Якщо функція ( )u M залежить

від двох змінних, то поле називається плоским, а від трьох змінних – просторовим.

Геометрично плоскі поля зображаються за допомогою ліній рівня,

які визначаються рівняннями ( ),u x y c= , а просторові – поверхонь

рівня – ( ), ,u x y z c= , де c – стала величина.

Важливою характеристикою скалярного поля є швидкість зміни поля в заданому напрямі.

Розглянемо плоске скалярне поле визначене функцією ( ),z f x y=

в деякій області, що містить точку ( ),M x y .

О–10. Похідною даної функції за даним напрямом ( ),x yl l l=r

називається границя відношення приросту функції в даному напрямі до приросту довжини в цьому напрямі, якщо остання прямує до нуля.

Позначається: cos cosz z z

l x yα β

∂ ∂ ∂= +

∂ ∂ ∂,

де cos xl

lα = uur , cos yl

lβ = uur – напрямні косинуси вектора l

r.

О–11. Вектор, що визначає напрям, в якому швидкість зміни скалярного поля в даній точці найбільша називається градієнтом і позначається:

z zgrad z i j

x y

∂ ∂= +∂ ∂

uuuuuur r r.

Градієнт поля в даній точці нормальний до лінії рівня поля в цій

самій точці. Якщо вектор l grad z⊥r uuuuur

, то 0z

l

∂=

∂.

15

ІНТЕГРАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ДВОХ ЗМІННИХ

Подвійний інтеграл. Розглянемо функцію двох змінних ( )yxfz ,= , областю визначення якої є деяка квадровна область

2RD ⊂ . Зауважимо, що коли межа області 2RD ⊂ складається із скінченного числа неперервних кривих, визначених рівняннями виду

( )xfy = або ( )yx ϕ= , де ( )f x і ( )yϕ - неперервні функції своїх

аргументів, то така область квадровна. Діаметром замкненої області D називають найбільшу відстань між двома точками цієї області і

позначають Ddiam . Наприклад, діаметром плоского паралелограма є довжина його найбільшої діагоналі.

1. Задача про об’єм циліндричного тіла. Геометричне тіло, обмежене зверху поверхнею ( )yxfz ,= , з боків

– циліндричною поверхнею, твірні якої паралельні осі Oz , а знизу –

замкненою, обмеженою квадровною областю D , яка лежить у

площині Oxy називають циліндричним. Контур квад-ровної області D є напрямною лінією циліндричної поверхні.

Рис.1. Геометричне тіло.

x

0

z

y

( ),z f x y=

D

kD

16

Обчислимо його об’єм.

Розіб’ємо кривими область D на n довільних частин kD , 1,k n= ,

попарно, без спільних внутрішніх точок: 1

n

k

k

D D=

= U . На кожній

області kD , як на основі, побудуємо циліндричний стовпчик з

твірними, паралельними осі Oz . У кожній з областей kD виберемо

довільну точку ( ) kkkk DyxP ∈, .

Рис.2. Проекція геометричного тіла на площину Oxy .

Тоді ( ) kk SPf ∆⋅ , де kS∆ - площа області nD є наближеним

значенням об’ємів кожного циліндричного стовпчика. Сума

( )∑=

∆⋅n

kkkk Syxf

1

, дає наближене значення об’єму заданого

циліндричного тіла. Точне значення об’єму циліндричного тіла дістанемо, коли в останній сумі перейдемо до границі при умові, що

0max →kDdiam , тобто

( )max 0 1

lim ,k

n

k k kdiam D kn

V f x y S→ =

→∞

= ∆∑ ( 2 )

kD

D

0 a

b

x

y

( )1y y x=

( )2y y x=

17

Таким чином, задача про обчислення об’єму циліндричного тіла, зводиться до знаходження границі виду (2).

О – 1. Подвійним інтегралом від функції ( )yxfz ,= по області D

називається границя ( ) ( )∑ ∫∫=

∞→=∆

n

k D

kkk

Ddiam

ndSyxfSyxf

k1

max

,,lim ,

за умови, що вона не залежить від способу розбиття області D на

частини, та вибору точок ( )kk yx , в кожній частині kD області D .

З означення та формули (2) випливає геометричне тлумачення подвійного інтеграла:

( ),D

V f x y ds= ∫∫ – об’єм циліндричного тіла.

Якщо в подвійному інтегралі підінтегральною функцією є функція

( ),x yγ γ= густини неоднорідної речовини розподіленої на плоскій

пластинці у формі області D , то подвійний інтеграл від функції

( ),x yγ по області D виражає масу неоднорідної плоскої пластинки:

( ),D

m x y dsγ= ∫∫ .

Достатньою умовою існування подвійного інтеграла є непе-

рервність функції ( )yxf , в замкненій квадровній області D .

Область D називають правильною в напрямі осі Oy , якщо будь-

яка пряма паралельна осі Oy проведена через довільну точку області перетинає її границю лише у двох точках, тобто

( ) ( ) ( ) 1 2, : ,D x y y x y y x a x b= ≤ ≤ ≤ ≤ ( див. рис.2 ).

Якщо область D правильна в напрямі осі Oy , то обчислення подвійного інтеграла зводиться до обчислення двох повторних

інтегралів ( ) ( )( )

( )

( )( )

( )2 2

2 1

, , ,y x y xb b

a y x a y xD

f x y dy f x y dy dx dx f x y dy = =

∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ .

18

Інтеграл по змінній y : ( )( )

( )2

1

,y x

y x

f x y dy∫ називають внутрішнім, а

інтеграл по змінній x : ( )( )

( )2

1

,y xb

a y x

f x y dy dx ∫ ∫ називають зовнішнім.

Якщо область D неправильна то її спочатку розбивають на правильні області, а тоді обчислюють подвійний інтеграл.

Обчислення подвійних інтегралів в полярній системі координат зводиться до повторного інтегрування спочатку по змінній ρ , а потім

по змінній ϕ : ( ) ( ), cos , sinD E

f x y dxdy f d dρ ϕ ρ ϕ ρ ρ ϕ= =∫∫ ∫∫

( )( )

( )22

1 1

cos , sinf d dρ ϕϕ

ϕ ρ ϕ

ρ ϕ ρ ϕ ρ ρ ϕ = ∫ ∫ , де диференціал площі ds в

полярних координатах дорівнює d dρ ρ ϕ .

Площа S плоскої області D в прямокутних координатах

обчислюється за формулою D

S dx dy= ∫∫ , а полярній системі координат

,ρ ϕ E

S d dρ ρ ϕ= ∫∫ .

Площа P поверхні, яка проектується на площину Oxy в область

D і задається функцією ( ) 0, ≥= yxfz ( , ,f f

fx y

∂ ∂∂ ∂

- неперервні

функції в області D ), знаходиться за формулою:

∫∫

∂∂

+

∂∂

+=D

dxdyy

f

x

fP

22

1 .

Подвійний інтеграл застосовують до задач механіки: 1) статичні моменти xM і yM , відносно осі Ox і Oy неоднорідної

плоскої пластинки D з заданою густиною ( )yx,γγ = , обчислюється за формулами:

19

( )

( )

; ,

;

x

D

y

D

M y x y dxdy

M x x y dxdy

γ

γ

=

=

∫∫

∫∫;

2) Координати центра маси плоскої області Центр маси плоскої області має цікаву властивість: Статичний момент центра маси плоскої області відносно осі дорівнює статичному моменту всієї плоскої області відносно цієї осі. Якщо точка ( )cc yxC ; є центром маси плоскої області то згідно

цієї властивості: c yx m M= і c xy m M= . Звідси

( )

( )

( )

( )

;

,;

;

;

y Dc

D

x Dc

D

x x y dxdyM

xm x y dxdy

y x y dxdyM

ym x y dxdy

γ

γ

γ

γ

= =

= =

∫∫

∫∫

∫∫

∫∫

;

3) Моменти інерції плоскої області:

формули обчислення моментів інерції пластинки відносно осей

( )2 ,x

D

I y x y dxdyγ= ∫∫

( )2 ,y

D

I x x y dxdyγ= ∫∫

Враховуючи те, що момент інерції 0I матеріальної точки ( ),x y з

масою m відносно початку координат визначається за формулою

( )220 yxmI += , то момент інерції 0I плоскої пластинки відносно

початку координат обчислюватиметься за формулою:

20

( ) ( )2 20 ;

D

I x y x y dxdyγ= +∫∫ , тобто 0 x yI I I= + .

Для випадку полярних координат відповідні формули будуть такими:

Маса пластинки: ( )1

,D

m d dγ ρ ϕ ρ ρ ϕ= ∫∫

Статичні моменти: ( )1

2, sinx

D

M d dγ ρ ϕ ρ ϕ ρ ϕ= ∫∫ ,

( )1

2, cosy

D

M d dγ ρ ϕ ρ ϕ ρ ϕ= ∫∫ .

Координати центра маси плоскої пластинки:

( )

( )1

1

2, cos

,

D

D

d d

xd d

γ ρ ϕ ρ ϕ ρ ϕ

γ ρ ϕ ρ ρ ϕ=∫∫

∫∫,

( )

( )1

1

2, sin

,

D

D

d d

yd d

γ ρ ϕ ρ ϕ ρ ϕ

γ ρ ϕ ρ ρ ϕ=∫∫

∫∫

Моменти інерції: ( )1

3 2, sinx

D

I d dγ ρ ϕ ρ ϕ ρ ϕ= ∫∫ ,

( )1

3 2, cosy

D

I d dγ ρ ϕ ρ ϕ ρ ϕ= ∫∫ ,

( ) 30 ,

D

I d dγ ρ ϕ ρ ρ ϕ= ∫∫ .

Криволінійний інтеграл другого роду. Розглянемо задачу.

Нехай на площині Oxy матеріальна точка рухається під дією сили

F ( )yx, ( )yxP ,= i + Q ( )yx, j вздовж плоскої кривої L = AB від

точки A до точки B (див. рис.3). Знайдемо виконану при цьому роботу.

21

Рис. 3.

Розіб’ємо довільним чином лінію L на частин точками A = nn MMMM ,,...,, 110 − = B . Розглянемо частину лінії між точками

1−iM і iM . Знайдемо спочатку роботу по переміщенню точки з 1−iM в

iM . Припустимо, що 1). Точка рухається не по частині ∪

− ii MM 1 кривої

L , а по хорді ii MM 1− довжина і напрям якої визначається як

=∆S jyix ii ∆+∆ між 1−iM і iM . 2). Сила що діє на точку є сталою і

дорівнює ( )== **, iii yxFF ( ) +iyxP ii** , ( )**, ii yxQ .

Тоді елементарна робота виконана силою iF на відрізку ii MM 1−

( ) ( ) iiiiiiiii yyxQxyxPSFA ∆+∆=∆⋅=∆ **** ,, .

А вся робота : ( ) ( )* * * *

1 1

, ,n n

i i i i i i ii i

A A P x y x Q x y y= =

≈ ∆ = ∆ + ∆∑ ∑

Остання формула виражає собою наближене значення роботи

виконаної силою F P i Q j= +ur r r

по переміщенню матеріальної точки

вздовж кривої L .

iM

iy∆

y

iy

1iy −

А

В

( ),i i iF F x y∗ ∗=uur ur

x x x x∗− − + ∆

0 x

L AB=(

ix∆

1iM −

is∆

22

Границя, якщо вона існує, останньої інтегральної суми дає нам точне значення роботи і називається така границя криволінійним інтегралом другого роду:

( ) ( ) ( ) ( )∫∑ +=∆+∆==

→∆

→∆L

n

iiiiiii

y

xdyyxQdxyxPyyxQxyxPA

i

,,,,lim1

****

0

0

Звідси випливає фізичне тлумачення криволінійного інтеграла

другого роду: робота змінної сили ( ) ( ) jyxQiyxPF ,, += по

переміщенню матеріальної точки ( )yxM , вздовж кривої L . Обчислення криволінійного інтеграла другого роду зводиться до

обчислення визначеного інтеграла: 1) Якщо криву L = AB

( задано рівнянням ( )y y x= , [ ]bax ;∈ , і

похідна ( )y x′ неперервна на [ ]ba; , то

( ) ( )∫ +L

dyyxQdxyxP ,, = ( )( ) ( )( )( ), , ( )b

a

P x y x Q x y x y x dx′+∫ .

2) Якщо крива L задана параметричними рівняннями ( )x x t= ,

( )y y t= , [ ]βα ;∈t , і похідні )(),( tytx tt′′

неперервні на [ ];α β , а

( )yxP , і ( )yxQ , неперервні при відповідних x і y , то

( ) ( )∫ +L

dyyxQdxyxP ,, = ( ) ( )( )( ), ( ) ( ) ( ), ( ) ( )t tP x t y t x t Q x t y t y t dtβ

α

′ ′+∫ .

Властивості:

.1o ( ) ( )∫∪

+AB

dyyxQdxyxP ,, = – ( ) ( )∫∪

+BA

dyyxQdxyxP ,,

Механічна інтерпретація влатсивості: при зміні напряму руху по кривій робота силового поля вздовж цієї кривої змінює знак на протилежний.

.2o Сталий множник можна виносити за знак інтеграла.

.3o ( ) ( )1 2 1 2 1 1 2 2

AB AB AB

P P dx Q Q dy Pdx Q dy P dx Q dy∪ ∪ ∪

± + ± = + + +∫ ∫ ∫

23

.4o Якщо крива ∪

AB точкою C поділяється на дві частини∪

AC і ∪

CB , то ∫ ∫∫∪ ∪∪

+++=+AC CBAB

QdyPdxQdyPdxQdyPdx

Досить часто дуга L утворює замкнений контур. Інтеграли по замкненому контуру позначаються символом:

∫ +L

dyyxQdxyxP ),(),( .

Рис.4. 1G - однозв’язна область, 2G - двозв’язна область.

О-1: Область називається однозв’язною, якщо довільний замкнений контур, розміщений в ній, можна стягнути в точку не виходячи за межі області.

О-2: Напрям обходу вздовж замкненого контура, який обмежує деяку однозв’язну область називається додатнім, якщо область при обході залишається зліва.

Т-1 (Теорема Гріна): Якщо функції ( )yxP , і ( )yxQ , разом з

похідними y

P

∂∂

і x

Q

∂∂

неперервні в деякій області LGG += , де L -

границя області G , то ∫ +L

dyyxQdxyxP ),(),( = ∫∫

∂∂

−∂∂

G

dxdyy

P

x

Q

2G 1G

x

y

0

24

Зразки розв’язання завдань контрольної роботи 3. Завдання 2.16. Знайти похідну функції ( ),z f x y= в точці

( ),A AA x y за напрямом від точки A до точки ( ),B BB x y . З’ясувати

характер зміни поля в даному напрямі.

Дано: 2 22 3 4z x y x y= + − − , ( )1, 2A , ( )4, 6B .

Розв’язання. Знайдемо вектор AB=uuurr

l і його напрямні

косинуси: AB=uuurr

l = ( ) ( )4 1,6 2 3,4− − = , 2 23 4 5= + =url ,

3

cos 0,65

xα = = =

uurlurl

, 4

cos 0,85

yβ = = =

uurlurl

.

Знайдемо частинні похідні першого порядку

,z z

x y

∂ ∂∂ ∂

: 4 1z

xx

∂= −

∂ , 6 4

zy

y

∂= −

∂.

Обчислимо значення частинних похідних в точці А:

( ) 4 1 1 3z

Ax

∂= ⋅ − =

∂ , ( ) 6 2 4 8

zA

y

∂= ⋅ − =

∂.

Обчислимо похідну функції z в точці А за напрямом вектора rl за

формулою: ( ) ( ) ( )cos cosz z z

A A Ax y

α β∂ ∂ ∂

= +∂ ∂ ∂l

.

Отже, ( ) 3 0,6 8 0,8 8, 2z

A∂

= ⋅ + ⋅ =∂ l

Оскільки ( ) 0z

A∂

>∂ l

, то функція 2 24 6z x x xy y= − + − − −

за напрямом вектора ( )3,4AB = =uuur r

l зростає.

Завдання 3.16. Функцію 2 24 6z x x xy y= − + − − − дослідити на екстремум.

Розв’язання. Знайдемо частинні похідні першого порядку z

x

∂∂

і z

y

∂∂

: 6 2z

x yx

∂= − −

∂ , 2

zx y

y

∂= − −

∂,

25

прирівняємо їх до нуля і розв’яжемо систему рівнянь:

6 2 0,

2 0

x y

x y

− − =− − =

, з якої знаходимо стаціонарну точку: 0 4x = , 0 2y = − .

Отже, функція має одну стаціонарну точку ( )0 4, 2M − .

Знайдемо частинні похідні другого порядку і їх значення у точці

0M : 2

22

z

x

∂= −

∂ ,

2

1z

x y

∂= −

∂ ∂ ,

2

22

z

y

∂= −

∂.

Частинні похідні другого порядку є сталими величинами в будь-якій точці області визначення, в тому числі і в точці 0M . Позначимо:

A =

0

2

22

M

z

x

∂= − ∂

, B =0

2

1M

z

x y

∂= − ∂ ∂

, C =0

2

22

M

z

y

∂= − ∂

.

Визначник ( ) ( ) ( )22 2 2 1A B

AC BB C

∆ = = − = − − − − = 3 0> .

Оскільки 0∆ > і 0A < , то в точці ( )0 4, 2M − дана функція має

максимум, причому ( ) ( )max 0 4, 2 8z z M z= = − = .

Завдання 6.16. Обчислити об’єм тіла обмеженого поверхнями 24z y= − , 22y x= , 0z = . Дане тіло і його проекцію на площину O x y

зобразити на рисунку. Розв’язання. Рисунок геометричного тіла зображено на рис.4, а

рисунок його проекції на площину O x y на рис.5. Тоді об’єм

( ) ( )2

2 32 2

0

2

2 4 2 4xD

V y dxdy dx y dy= − = − =∫∫ ∫ ∫

( )2

22 23 62

0 02

82 4 2 8 2

3 3 24x

y xy dx x dx

= − = − − + =

∫ ∫

27

3

0

16 2 32 16 1282 2

3 3 168 3 3 168

xx x

= − + = − + =

412

21 (куб.од.)

26

Рис.5. Геометричне тіло. Рис.6. Проекція тіла на

площину Oxy

ЗАВДАННЯ ДЛЯ КОНТРОЛЬНОЇ РОБОТИ 3.

Завдання 1. Знайти область визначення та повний диференціал

функції двох змінних. Область визначення зобразити (заштрихувати) на рисунку.

1. 1z x y= − − . 2. ( )2 2ln 4z x y= − − . 3. 1

zx y

=−

.

4. z x y= . 5. ( )2 2lnz x y= − . 6. 2 2 1x yz e + −= .

7. 2 2

1z

x y=

+. 8. 2z y x= − . 9. ( )ln 2z y x= − .

10. 1z x y= − . 11. 1

2z

x y=

−. 12. x yz e= .

13. 21z x y= − − . 14. ( )2 2ln 16z x y= + − . 15. 2z x y= − .

x

2

0

z 4

2

y

y

2 0− 2 x

2y =

24z y= −

27

Завдання 2. Знайти похідну функції ( ),z f x y= в точці ( ),A AA x y

за напрямом від точки A до точки ( ),B BB x y . З’ясувати характер

зміни поля в даному напрямі.

1. ( )2 2ln 4z y y x= + + , ( )1,1A , ( )4,5B .

2. 2 22 2z x x y y= − + , ( )0,1A , ( )3,5B .

3. ( )5z arctg x y= , ( )1,0A , ( )7,8B .

4. 10 arccosz y x= , ( )0, 5A − , ( )4, 2B − .

5. 3 3 16z x x y y= + + − , ( )2, 1A − − , ( )3,11B .

6. ( )2 2ln 5z y x= + , ( )1, 0A , ( )2, 4B − − .

7. 2 23 2 8 5z x x y y x y= − + + + − , ( )2,3A , ( )3,15B − .

8. arcsinx

zy

= , ( )0, 2A − , ( )4, 2B − .

9. 2 25 2z x x y y x y= − + + + − , ( )1, 2A , ( )2, 2B .

10. y

z arctgx

= , ( )1,1A − , ( )4,5B − .

11. ( )2 2lnz y x y x= + + , ( )0,1A , ( )3,5B − .

12. 2 4 3 23 2 3z x y x y y= − − , ( )2,1A , ( )7, 11B − .

13. arcsinz x y= , ( )5, 0A , ( )1, 3B − .

14. 3 22 4z x y x y y x= − + + , ( )1, 1A − , ( )4,3B .

15. 2y

zx

= , ( )1,1A , ( )2, 3B − − .

Завдання 3. Функцію ( ),z f x y= дослідити на екстремум.

1. 2 2 8 6 24z x y x y= + − + + .

2. ( ) 2 24 6z x y x y= − − − − .

3. 2 22 8 4 9z x y x y= − − + − − .

4. 2 2 2 5 31z x y x y x y= + − − − − .

28

5. 2 24 2 8z x y x y= − − + − .

6. 2 24 16 6 31z x y x y= + + − + .

7. 2 2 6 9 14z x x y y x y= + + − − + .

8. 2 22 8 6 9z x y x y= + − + + .

9. 2 2 4 8z x y x y= − − + − .

10. ( ) 2 26 3 3 4z x y x y= − − − + .

11. 2 2 2z x x y y x y= + + − − .

12. 2 23 6 2 8z x y x y= − − + + + .

13. 2 2 3 6z x y x y x y= + + − − .

14. 2 22 2 4 2 1z x y x y x y= − − + + + + .

15. 2 23 4 4 6 1z x y x y x y= − + + − − .

Завдання 4. Змінити порядок інтегрування. Область інтегрування зобразити на рисунку.

1. ( )24 25

0 0

,x

dx f x y dy−

∫ ∫ . 2. ( )4

1 0

,x

dx f x y dy∫ ∫ . 3. ( )2

0,5

0

,x

x

dx f x y dy∫ ∫ .

4. ( )22

1 0

,y

dy f x y dx∫ ∫ . 5. ( )22

1 0

,y

dy f x y dx∫ ∫ . 6. ( )21

0 0

,y

dy f x y dx−

∫ ∫ .

7. ( )2 3

0 0

,x

dx f x y dy−

∫ ∫ . 8. ( )0,5

0

,y

y

dy f x y dx∫ ∫ . 9. ( )21 1

0 0

,x

dx f x y dy+

∫ ∫ .

10. ( )21 4

0 0

,x

dx f x y dy−

∫ ∫ . 11. ( )2

1 3

0 2

,x

x

dx f x y dy−

∫ ∫ . 12. ( )2

31,5

0 2

,y

y

dy f x y dx+

∫ ∫ .

13. ( )2

0 3

1 2

,x

x

dx f x y dy+

−∫ ∫ . 14. ( )

2

31

0 2

,y

y

dy f x y dx−

∫ ∫ . 15. ( )2

0 3

1,5 2

,x

x

dx f x y dy−

−∫ ∫ .

Завдання 5. Обчислити подвійний інтеграл. Область інтегрування

зобразити на рисунку та обчислити її площу.

1. ( )2 3 312 16 ;D

x y x y dxdy+∫∫ 2: 1, ,D x y x y x= = = − .

29

2. 3 348 ;D

x y dx dy∫∫ 2: 1, ,D x y x y x= = = − .

3. 2 236 ;D

x y dx dy∫∫ 33: 1, ,D x y x y x= = = − .

4. 2 227 ;D

x y dx dy∫∫ 2 3: 1, ,D x y x y x= = = − .

5. 2 218 ;D

x y dx dy∫∫ 3 3: 1, ,D x y x y x= = = − .

6. 3 332 ;D

x y dx dy∫∫ 23: 1, ,D x y x y x= = = − .

7. 2 218 ;D

x y dx dy∫∫ 2: 1, ,D x y x y x= = = − .

8. 2 227 ;D

x y dx dy∫∫ 3: 1, ,D x y x y x= = = − .

9. 4 ;D

x y dx dy∫∫ 2: 1, ,D x y x y x= = = − .

10. 12 ;D

x y dx dy∫∫ 2: 1, ,D x y x y x= = = − .

11. 8 ;D

x y dx dy∫∫ 33: 1, ,D x y x y x= = = − .

12. 24 ;D

x y dx dy∫∫ 3 3: 1, ,D x y x y x= = = − .

13. 12 ;D

x y dx dy∫∫ 2 3: 1, ,D x y x y x= = = − .

14. 8 ;D

x y dx dy∫∫ 23: 1, ,D x y x y x= = = − .

15. 4

;5D

x y dx dy∫∫ 3: 1, ,D x y x y x= = = − .

Завдання 6. Обчислити об’єм геометричного тіла, обмеженого

заданими поверхнями. Дане тіло і його проекцію на площину O x y зобразити на рисунку. 1. 24 , 0,z y z= = 2 0, 9x y x y− = + = .

2. 4 , 4,z y x y= + = 0, 0x z= = .

3. 2 2 2 2, 4,z x y x y= + + = 0z = .

30

4. 2 , 4,z x z= = 3, 0y y= = .

5. 24 , 4 ,z x y x= − = 0z = .

6. 2 29 , 5z x y z= − − = .

7. 24 , 2 ,z y y x= − = − 0, 0, 0x y z= = = .

8. 21 , 0,z x z= − = 3, 0y y= = .

9. 2 , 2,y x x y= + = 0, 0, 1x z z= = = .

10. 4, 2,x y z x y+ + = + = 0, 0, 0x y z= = = .

11. 2 2 4, 2,x y y z+ = + = 0z = .

12. 21 , 3,z y x= − = 0, 0x z= = .

13. , 4,z y x y= + = 0, 0x z= = .

14. 22 , 2,y x y= = 0, 2z z= = .

15. 21 , 3 ,z x y x= − = − 0, 0z y= = .

Задача 7. Обчислити криволінійний інтеграл другого роду. Зробити рисунок. 1. ( ) ( )

L

x y dx x y dy+ + −∫ по дузі L кола [ ]5cos , 5sin , 0; .x t y t t π= = ∈

2. 2 2( 2 ) (2 ) ,AB

x xy dx x y y dy− + +∫ вздовж дуги параболи 2y x= від

точки А(1;1) до точки В(2;4).

3. ( )2

L

x y x dx x dy− +∫ , де L - дуга параболи 22y x= від точки

( )0;0A до точки ( )1;2B .

4. 2 (3 ) ,AB

ydx x y dy+ −∫ по дузі параболи y x= від точки A(1;1) до

точки B(4;2).

5. 2 2( ) ( )AB

x y dx y x dy− + −∫ по відрізку прямої від точки А(0;0) до

точки В(3;4).

6. 3AB

y dx xy dy−∫( по відрізку прямої від точки А(1;0) до точки В(3;2).

31

7. 2 22 3AB

xy dx x dy−∫ по відрізку прямої від точки А(0;0) до точки В(2;4).

8. 3 2AB

y dx x x dy−∫ по дузі параболи xy 2= від точки А(0;0) до

точки В(1;2).

9. 2 2( )

AB

xy x dx dy

y+ +∫ по дузі кривої xey = від точки А(0;1) до

точки В(1;е).

10. 2

AB

ydx x dy

x+∫ по дузі кривої lny x= від точки А(1;0) до точки

В(е;1).

11. L

xydx dy

y+∫ по дузі кривої xey −= від точки (0;1) до точки

( )1;e− .

12. AB

x dy y dx+∫( по дузі кривої 3y x= від точки А(0;0) до точки

В(1;1).

13. 2 5AB

x dy ydx+∫ по дузі параболи ,2 xy = від точки А(1;1) до точки

В(4;2).

14. ( )2 1AB

y dx x dy+ −∫( по відрізку прямої від точки А(1;1) до точки

В(3;3).

15. ∫ +L

dyyxdxxy 223 32 по будь-якій дузі L, що з'єднує точку А(1;2) з

точкою В(2;4).

32

Розділ 9. РЯДИ 9.1. Основні поняття про числові ряди. Необхідна умова збіжності ряду.

Вираз 1 21

... ...n nn

u u u u∞

=

= + + + +∑ називають рядом, а -

загальним членом ряду; - частинною сумою

ряду. Якщо , то ряд 1

nn

u∞

=∑ збіжний і S – сума цього ряду.

Якщо , то ряд 1

nn

u∞

=∑ – розбіжний.

Ряд 1

n

n

aq∞

=∑ збіжний при , а його сума , і розбіжний

при >1.

Якщо ряд 1

nn

u∞

=∑ збіжний, то .(Необхідна умова

збіжності)

Якщо , то ряд 1

nn

u∞

=∑ розбіжний.(Достатня умова

розбіжності).

9.2. Знакододатні ряди. Достатні ознаки збіжності.

Ознака порівняння. Нехай ряди 1

nn

u∞

=∑ та

1n

n

v∞

=∑ знакододатні і ,

n=1,2,…, тоді якщо ряд 1

nn

v∞

=∑ збіжний, то збіжний і ряд

1n

n

u∞

=∑ , а якщо

ряд 1

nn

u∞

=∑ розбіжний, то розбіжний і ряд

1n

n

v∞

=∑ .

33

Гранична ознака порівняння. Нехай ряди 1

nn

u∞

=∑ та

1n

n

v∞

=∑

знакододатні, причому існує скінченна границя , тоді

ряди або одночасно збіжні, або одночасно розбіжні.

Ознака Д'Аламбера. Якщо для знакододатного ряду 1

nn

u∞

=∑ існує

границя , то ряд збіжний при k<1 і розбіжний при k>1.

Ознака Коші. Якщо для знакододатного ряду 1

nn

u∞

=∑ існує границя

lim nn

nu k

→∞= , то ряд збіжний при k<1 і розбіжний при k>1.

Інтегральна ознака Коші. Нехай задано ряд

причому f(x) додатна, неперервна і незростаюча функція на про-міжку

. Тоді ряд ( )1n

f n∞

=∑ збіжний, якщо збіжний невласний

інтеграл1

( )f x dx∞

∫ , і розбіжний, якщо цей інтеграл розбіжний.

9.3. Знакозмінні ряди. Розглянемо ряд, знаки членів якого чергуються, тобто ряд

Ознака Лейбніца. Нехай для ряду 1

1

( 1)nn

n

u∞

−

=

−∑ ,

виконуються умови: 1)

34

2)

Тоді цей ряд збігається, його сума додатна і не перевищує першого члена цього ряду.

Абсолютна і умовна ознаки збіжності.

Нехай 1

nn

u∞

=∑ – знакозмінний ряд, а ряд

1n

n

u∞

=∑ утворений з модулів

членів цього ряду. Якщо ряд 1

nn

u∞

=∑ збіжний, то збіжний і ряд

1n

n

u∞

=∑ ,

причому абсолютно. Якщо знакозмінний ряд 1

nn

u∞

=∑ збіжний, а ряд

1n

n

u∞

=∑ розбіжний, то ряд

1n

n

u∞

=∑ називають умовно збіжним.

9.4. Функціональні ряди. Ознака Вейєрштрасса.

Вираз виду 1

( )nn

u x∞

=∑ називають функціональним рядом, якщо

– функції.

Ознака Вейєрштрасса. Функціональний ряд 1

( )nn

u x∞

=∑ абсолют-но і

рівномірно збіжний на відрізку , якщо інує знакододатний

збіжний числовий ряд 1

nn

a∞

=∑ такий, що .

9.5. Поняття степеневого ряду. Теорема Абеля.

Функціональний ряд 1

nn

n

a x∞

=∑ називають степеневим рядом.

Теорема Абеля. Якщо степеневий ряд1

nn

n

a x∞

=∑ збіжний при x= ,

то він абсолютно збіжний для всіх значень x, що задоволь-

35

няють нерівність .. Якщо при x= ряд 1

nn

n

a x∞

=∑ розбіж-

ний, то він розбіжний всюди, де . Для визначення радіусу та інтервалу збіжності степеневого ряду

складемо ряд з модулів членів ряду1

nn

n

a x∞

=∑ , тобто

1

nn

n

a x∞

=∑ .

Припустимо, що для коефіцієнтів степеневого ряду існує границя

Число R називають радіусом збіжності степеневого ряду, а

інтервал (-R;R) – його інтервалом збіжності. Питання збіжності ряду при розв’язується для кожного ряду окремо. Якщо , то ряд є збіжним на всій числовій осі, а при R=0 ряд збігається лише в точці x=0.

Радіус збіжності ряду 01

( )nn

n

a x x∞

=

−∑ визначається за тими сами-ми

формулами, що й ряду1

nn

n

a x∞

=∑ .Але інтервал збіжності знаходять з

нерівності , тобто він має вигляд .

9.6. Розвинення елементарних функцій у ряди Тейлора і Маклорена.

Ряд Тейлора має вигляд:

При =0 маємо ряд Маклорена

36

Розвинення деяких функцій у ряд Mаклорена:

( )ln 1 x− =2 3

2 3

nx x xx

n− − − − − −K K ( )( )1;1x∈ − ;

1ln

1

x

x

+=

−

3 5 2 1

23 5 2 1

nx x xx

n

− + + + + + −

K K ( )( )1;1x∈ − .

37

Розділ 10. ОСНОВИ ТЕОРІЇ ЙМОВІРНОСТЕЙ. 10.1.Елементи комбінаторики.

У багатьох галузях людської діяльності доводиться зустрічатися з задачами, в яких треба знайти число можливих розміщень заданих предметів, число способів, якими можна здійснити деякий вибір тощо. Такі задачі вивчає комбінаторика – галузь математики предметом якої є теорія скінченних множин.

Значне число теорем і формул комбінаторики ґрунтується на двох елементарних правилах:

Правило суми. Якщо деякий об’єкт (операцію) a можна вибрати (здійснити) m способами, а об’єкт (операцію) b – n - способами, причому ніякий вибір a не збігається з жодним з виборів b , то один з об’єктів a або b можна вибрати ( m + n ) способами.

Правило добутку. Якщо об’єкт a можна вибрати m способами і при кожному виборі об’єкта a об’єкт b можна вибрати n способами, то послідовний вибір об’єктів a і b можна здійснити m ⋅ n способами.

О-1. Добуток всіх натуральних чисел від 1 до n включно

називається n -факторіалом і записується: ( )! 1 2 1n n n= ⋅ ⋅ − ⋅K .

Запам’ятаємо, що 0!=1 і 1!=1. О-2. Нехай множина М містить n елементів, k ≤ n . Із n

елементів вибираються без повторень k ≤ n елементів і розміщуються в певному порядку (наприклад в тому порядку в якому їх послідовно вибрали). Така операція називається розміщенням k елементів із n елементів.

Число розміщень позначається knA і обчислюється за формулою:

)!(

!

kn

nAk

n −= .

О-3. Розміщенням n елементів із n елементів називається перестановкою з n елементів і обчислюється кількість перестановок за формулою:

!)1(...21 nnnPn =⋅−⋅⋅⋅=

38

О-4 . Із n елементів вибирається k елементів, але не розміщуються в певному порядку. Така операція називається

комбінацією з n елементів по k елементів і позначається knC , а

обчислюється кількість комбінацій за формулою: !)!(

!

kkn

nC k

n ⋅−=

Отже одна комбінація із n елементів по k відрізняється від іншої комбінації з n елементів по k хоча б одним елементом.

10.2. Класичне і статистичне означення ймовірності. Ймовірність – це числова характеристика випадкової події А яка є

мірою достовірності події А. Позначається Р(А). О-5. Ймовірністю Р(А) події А називається відношення числа

випадків m , які сприяють появі події А, до загального числа n рівноможливих і єдиноможливих результатів випробувань, які

утворюють повну групу, тобто: Р(А)=n

m

З означення випливають властивості: ймовірність неможливої події

( ) 00

nΡ ∅ = = . Ймовірність вірогідної події Р(Ω)=1, випадкової події:

0<Р(А)<1. Повторимо стохастичний експеримент n разів. Нехай µ[мю] -

число появ події А.

Відношення n

An

µν =)( називається відносною частотою події А у

проведеній серії експериментів. Якщо відносна частота )(Anν у серіях із n експериментів при

достатньо великих n коливається біля одного і того ж числа р, то кажуть, що експеримент статично стійкий, а число p =Р(А)= )(lim An

nν∞→

називається статичною ймовірністю події А.

Теорія ймовірності має справу тільки з статистично стійкими експериментами. Коли кажуть, що Р(А)=0,29, то це означає, що при 100 дослідах подія А відбудеться 29 разів.

39

10.3. Теореми додавання і множення ймовірностей.

Ймовірність суми двох несумісних подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій: Р(А+В)=Р(А)+Р(В).

Сума ймовірностей протилежних подій дорівнює 1. Ймовірність суми сумісних подій А і В дорівнює

Р(А∪В)=Р(А)+Р(В) – Р(АВ). Нехай деякий стохастичний експеримент проводимо n разів, в

результаті якого може появитися як подія А так і подія В. Число випадків коли відбудеться подія В в цьому експерименті

Bm . Відношення b

AB

m

m показує яку долю від числа випадків появи

події В складає число випадків появи події АВ. Це відношення називається частотою події А, при умові, що подія В відбулася, або просто умовною частотою події А.

При збільшенні кількості експериментів n умовна частота буде коливатися біля числа, яке називається умовною ймовірністю і позначається Р(А/В).

Тому ймовірність події А при умові, що відбулася подія В

обчислюється за формулою: Р(А/В)=РВ(А)=)(

)(

BP

ABP.

З даної формули отримуємо правило множення ймовірностей залежних подій: Р(АВ)=Р(В)⋅РВ(А), або Р(АВ)=Р(А)⋅РА(В).

Якщо події А і В причино незалежні, то ймовірність появи події А не залежить від того, чи відбулася подія В чи ні. Тоді: РВ(А)=Р(А).

Отримаємо правило множення ймовірностей незалежних подій

( ) ( ) ( )A B A BΡ = Ρ Ρ .

10.4. Формула повної ймовірності і формула Байєса Нехай події Н1, Н2,..., Нn утворюють повну групу несумісних подій ,

тобто Н1+Н2+...+Нn= Ω – достовірна подія. Очевидно, що А=А⋅Ω=А(Н1+Н2+...+Нn)= А⋅Н1+...+А⋅Нn За правилом додавання ймовірностей несумісних подій і за

правилом множення ймовірностей залежних подій отримаємо:

40

Р(А)=Р(А⋅Н1+...+А⋅Нn)=Р(АН1)+...+Р(АНn)=)()(...)()(

11 APHPAPHPnHnH ⋅++⋅ , або

∑=

⋅=n

iHi APHPAP

i

1

)()()( - формула повної ймовірності

Нехай потрібно знайти РА(Ні). Двічі використаємо правило множення:

Р(А Ні)=Р(А)⋅РА(Ні)=Р(Ні)⋅ )(APiH . Звідки РА(Ні)=

)(

)()(

AP

APHPiHi ⋅

.

Використавши формулу повної ймовірності дістанемо формулу Байєса:

РА(Ні)=)()(...)()(

)()(

11 APHPAPHP

APHP

n

i

HnH

Hi

⋅++⋅

⋅

10.5. Повторення дослідів. Формула Бернуллі.

Розглянемо деякий стохастичний експеримент і подію А, яка може

відбутися в цьому експерименті з ймовірністю ( )0 1p p< < , і не

відбутися з ймовірністю ( )1q p q+ = . Будемо повторювати

експеримент незалежно n разів, або інколи кажуть, що проводять n незалежних однакових дослідів, розуміючи при цьому, що будь-який набір результатів цих дослідів являє собою групу із n незалежних подій. А ймовірність події Α у всіх дослідах однакова.

Задача: Знайти ймовірність того, що в серії із n дослідів подія A наступить рівно k разів.

Позначимо таку подію черезB. Тоді подія B буде складатися із суми різних елементарних подій – варіантів події B.

Наприклад один з варіантів ΑΑΑ Α Α Α ΑK1 24 34

K1 24 34

k n k−

.

41

Число всіх варіантів очевидно дорівнює knC , а ймовірність появи

кожного з варіантів дорівнює k n kp q −⋅ . Тому ймовірність події B

( ) k k n knp C p q −Β = ⋅ ⋅ , яку часто позначають так:

( ) k k n kn nP k C p q −= ⋅ ⋅ - формула Бернуллі .

Самі ймовірності ( )nP k інколи називають біноміальними

ймовірностями , бо вони пов’язані з біномом Ньютона :

( ) 1 1 1 1n n n n n nn np q p C p q C p q q− − −+ = + ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ + =K

( ) ( ) ( )0 1 1n n nP P P n= + + + =K .

10.6. Локальна і інтегральна теореми Лапласа.

Якщо n достатньо велике, а p мале, то користуватися формулою

Бернуллі недоцільно, а ймовірність ( )nP k краще обчислити за

локальною формулою Лапласа, яка задається теоремою Т-1 (Локальна теорема Лапласа) Якщо ймовірність події А в схемі

Бернуллі дорівнює ( )0 1p p< < причому p мале, а n велике, то

( ) ( )1nP k x

npqϕ≈ ⋅ ,

де ( )2

21

2

x

x eϕπ

−= ⋅ – функція Лапласа, а

k npx

npq

−= .

Т-2. ( Інтегральна теорема Лапласа ) Якщо ймовірність появи події в схемі Бернуллі дорівнює

( )0 1p p< < , то ймовірність того, що ця подія настане не менше k1 і

не більше k2 разів, дорівнює

( ) ( ) ( )2

21 2

1

2

t

nP k k k e dtβ

α

β απ

−≤ ≤ ≈ ⋅ = Φ −Φ∫ ,

42

де ( )xΦ =2

2

0

1

2

tx

e dtπ

−⋅ ∫ - інтегральна функція Лапласа,

1k np

npqα

−= , 2k np

npqβ

−= .

Інтегральна функція Лапласа ( )xΦ непарна, тобто ( )xΦ − = -

( )xΦ . ( )0Φ =0.

10.7 Формула Пуассона.

Т-3. Якщо в схемі випробувань Бернуллі p мале ( 0,1p < ), а n

велике, 10np < , то

( )!

k

nP k ek

λλ −= ⋅ , npλ =

10.8. Випадкові величини. Різні способи задання закону розподілу. О-6. Випадковою величиною пов’язаною з деяким експериментом називається змінна величина, яка може набувати тих або інших числових значень в залежності від випадку.

Випадкові величини позначаються великими буквами латинського алфавіту( ,...,, ΖΥΧ ), а їхні значення відповідно малими

KK ,,,,,, 2121 yyxxx n .

О-7. Дискретною називається випадкова величина, яка може набувати тільки скінчене або злічене числа значень( ,,,, nxxx K21 ...).

Випадкова подія А – це окремий випадок дискретної випадкової

величини, яка набуває значень: 11 =x (А); 02 =x (Α ). О-8. Законом розподілу випадкової величини називається закон

(правило, функція) згідно якого кожному значенню випадкової величини відповідає певна ймовірність цього значення.

43

Для дискретної випадкової величини закон розподілу зручно задавати у вигляді:

1) таблиці: де події дискретної випадкової величини Χ є несумісними, єдино можливими, тобто утворюють повну групу подій, тому

121 =+++ nppp K .

2) многокутника розподілу ймовірностей, якщо на осі абсцис відкладати значення ix , а на осі ординат відкладати відповідні

ймовірності ip цих можливих значень. З’єднавши точки ( )ii px ;

відрізками прямої отримаємо многокутник розподілу

Зауважимо, що те значення випадкової величини якому відповідає

найбільша ймовірність появи називається модою Мо. Згідно рисунка модою є значення 2x , тобто Мо= 2x .

3) аналітичної формули, наприклад: ( ) knkknn qpCk −=Ρ .

Існує інший спосіб задання закону розподілу ймовірностей випадкової величини, з допомогою функції розподілу. О-9. Інтегральною функцією розподілу ймовірностей випад-кової величини Χ називається ймовірність того, що випадкова величина Χ набуває значень, менших від вказаного фіксованого значення x , тобто

)()( xXXF <Ρ= .

Для дискретної випадкової величини функція )(xF обчис-люється за формулою:

( ) ( )i

ix x

F x X x p<

= Ρ < =∑ .

Χ 1x 2x K

nx p

1p 2p K np

44

Ймовірність того, що випадкова величина X набуде можливого

значення з проміжку [ ]1 2;x x , дорівнює приросту інтегральної функції

( )xF на цьому проміжку:

1 2 2 1( ) ( ) ( )P x X x F x F x< < = − .

10.9. Числові характеристики дискретної випадкової величини. О-10. Математичним сподіванням дискретної випадкової величини X яка набуває значень 1 2, , nx x xK з ймовірностями

1 2, , np p pK називається величина

1

( )n

i ii

M x x p=

=∑

Як видно з означення математичне сподівання характеризує середнє значення випадкової величини і зберігає її розмірність:

xxM ≈)( . Математичне сподівання є аналогією центра мас системи матеріальних точок. Дві випадкові величини можуть мати однакові математичні сподівання, але різне розсіяння своїх значень навколо математичних сподівань. Якщо X випадкова величина, то )(xMX − також є випадко-вою величиною, яка називається відхиленням випадкової величини від її математичного сподівання. О-11. Дисперсією випадкової величини X називається матема-тичне сподівання квадрата відхилення цієї величини від її матема-тичного сподівання, тобто

2))(()( xMXMxD −= . Скориставшись властивостями математичного сподівання дисперсію можна обчислити за більш зручнішою формулою:

)()()( 22 xMxMxD −= . Практично дисперсія характеризує ступінь розсіяння випадкової величини навколо її математичного сподівання і вимірюється в квадратних одиницях порівняно з одиницями вимірювання вихід-ної величини.

45

О-12. Середнім квадратичним відхиленням випадкової величини називається корінь квадратний з її дисперсії:

( ) ( )x D xσ =

Середнє квадратичне відхилення має ту саму розмірність що і випадкова величина. 10.11.Біноміальний розподіл і розподіл Пуассона.

Якщо випадкова величина X набуває значення 0,1,2,..., n ...,а відповідні ймовірності обчислюються за формулою Бернуллі

( ) K K n kn nk C p q −Ρ = , то такий розподіл випадкової величини

називається біноміальним. x 0 1 ...... 1−n n p ( )0np ( )1np ...... ( 1)np n − ( )np n

Числа (0)np , (1)np ,..., ( )np n є числами бінома Ньютона nqp )( + .

Для біноміального розподілу

npxM =)( , npqxD =)( , ( )x npqσ = .

Якщо випадкова величина набуває значень 0,1,2,.., k ,.., а відповідні ймовірності обчислюються за формулою Пуассона

( )!

k

nP k ek

λλ −= , ( ,..)2,1,0=k , np=λ ,

то розподіл випадкових величин називається розподілом Пуассона. Видно, що якщо у формулі Бернуллі зафіксувати k і число n збільшувати до ∞ , а ймовірність p до нуля, причому так , щоб

величина λ=np була сталою, то отримаємо формулу Пуассона. Це означає, що розподіл Пуассона є граничним для біноміального розподілу при вказаних вище умовах.

Для розподілу Пуассона: ( ) , ( ) , ( )M X D x xλ λ σ λ= = = .

46

10.12.Функція розподілу неперервної випадкової величини. Густина (щільність) розподілу.

О–13. Випадкова величина називається неперервною, якщо її інтегральна функція ( )xF неперервна при всіх значеннях x .

О-14. Щільністю розподілу (диференціальною функцією) неперервної випадкової величини в даній точці називається границя відношення ймовірності того, що випадкова величина належатиме інтервалу, який містить дану точку, до довжини цього інтервалу за умови, що інтервал стягується до даної точки, тобто

( )

0( ) lim

x

P x X x xf x

x∆ →

≤ < + ∆=

∆.

Властивості: 01 . ( ) ( )f x F x′= . 02 . ( ) 0f x ≥ .

03 .2

1

1 2( ) ( )x

x

P x X x f x dx< < = ∫ . 04 . ( ) ( )x

F x f x dx−∞

= ∫ .

05 . ( ) 1f x dx+∞

−∞

=∫

10.13. Числові характеристики неперервної випадкової величини.

Якщо неперервна випадкова величина задана на ( )+∞∞− ; з

щільністю ( )f x , то математичне сподівання ∫+∞

∞−

⋅= dxxfxxM )()( ,

дисперсія ( )∫+∞

∞−

−= ,)()()( 2 dxxfxMxxD або

2 2( ) ( ) ( )D x x f x dx M x+∞

−∞

= −∫ , а

середнє квадратичне відхилення )()( xDx =σ .

47

Якщо всі значення неперервної випадкової величини лежать на

відрізку [ ]ba; , то ∫=b

a

dxxxfxM )()( ,

( ) dxxfxMxxDb

a

)()()( 2

∫ −= , або ∫ −=b

a

xMdxxfxxD )()()( 22 ,

.)()( xDx =σ

10.14. Нормальний закон розподілу і його числові характеристики. О–15. Випадкова величина X називається розподіленою за

нормальним законом, якщо ( )( )2

221

2

x a

f x e σ

σ π

−−

= ⋅

Оскільки ( )xf є щільністю, тобто ( ) ,0>xf то 0>σ , причому

( )M X a= , ( ) 2D X σ= , ( )Xσ σ= .

Ймовірність того, що випадкова величина X належатиме [ ];α β

дорівнює ( )a a

P x Ф Фβ α

α βσ σ− − < < = −

Якщо випадкова величина X нормально розподілена, то

( ) 2P x a Фε

εσ − < =

.

Правило „трьох сигм”: з ймовірністю близькою до одиниці, можна стверджувати, що значення нормально розподіленої випадкової величини відхиляються від свого математичного сподівання не більше, ніж на три середніх квадратичних відхилення:

( ) 33 2 2 (3) 0,997P x a Ф Ф

σσ

σ − < = = =

.

Дане правило стверджує, що результатами вимірювань з відхиленнями від математичного сподівання більше, ніж на три сигми, нехтуємо як грубими помилками.

48

Зразки розв’язання завдань контрольної роботи 4. Завдання 1.16. Дослідити на збіжність ряд

∑∞

=

−

1

2

3

)12(

nn

n.

Розв’язання. Скористаємося ознакою Д’Аламбера.

nn

na

3

)12( 2−= ,

1

2

13

)12(++

+=

nn

na .

=−

+=

+∞→

+

∞→ 12

21

3)12(

3)12(limlim

n

n

nn

n

n n

n

a

a2

1 2 1 1lim 1

3 2 1 3n

n

n→∞

+ = < − .

Заданий ряд збіжний.

Завдання 3.17. Обчислити інтеграл 2

1

3

0

xe dx−∫ з точністю до 0,001.

Розв’язання. Формулу Ньютона-Лейбніца тут не можна

застосовувати, тому що первісна від 2xe− в елементарних функціях не

виражається. Скористаємося рядом

2 3

11! 2! 3!

x x x xe = + + + +K , ( )( );x∈ −∞ +∞

і запишемо: 2

2 4 6

11! 2! 3!

x x x xe− = − + − +K .

Цей ряд рівномірно збіжний на всій числовій осі, тому його можна почленно інтегрувати на будь-якому скінченному сегменті, зокрема на

відрізку 1

0;3

:

49

2

1

3

0

xe dx−∫

1

2 4 63

0

11! 2! 3!

x x xdx

= − + − + = ∫ K

13 5 7 3

01! 3 2! 5 3!7

x x xx

= − + − + = ⋅ ⋅ K

3 5 7

1 1 1 1

3 1! 3 3 2! 5 3 3! 7 3= − + − +

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅K .

Отримали ряд лейбніцевого типу. І оскільки

3

1 10,001

811! 3 3= >

⋅ ⋅, а

5

1 10,001

24302! 5 3= <

⋅ ⋅,

то з точністю до 0,001 маємо 2

1

3

0

xe dx−∫1 1

0,3213 81

≈ − ≈ .

Завдання 4.16. На ділянці працює дві бригади. Ймовірність

виконання завдання першою бригадою дорівнює 0,8; другою - 0,9. Знайти :

а) ймовірність виконання завдання двома бригадами: Позначимо: А- подія, яка полягає в тому, що завдання виконає

ділянка, тобто завдання виконають обидві бригади; А1 – завдання виконає перша бригада; А2 – завдання виконає друга бригада. Тоді можна записати, що А=А1 А2, а ймовірність

Р(А)=Р(А1)⋅Р(А2)=0,8⋅0,9=0,72; б) ймовірність виконання тільки однією бригадою:

Р(В)=Р(А1 212 AAA + )=0,8⋅0,1+0,2⋅0,9=0,26 в) ймовірність виконання завдання хоча б однією бригадою: І спосіб: С=А+В , Р(С)=Р(А)+Р(В)=0,72+0,26=0,98; ІІ спосіб:

C – жодна бригада не виконає завдання. Тоді

Р(C )=Р( 21 AA )=0,2⋅0,1=0,02, а

Р(С)=1-Р( C )=1-0,02=0,98.

50

Завдання 4.17. В цеху 5 однакових верстатів, що працюють незалежно один від одного. Ймовірність того, що кожен з них працює дорівнює 0,8. Знайти ймовірність того, що з них працює k =0,1,2,3,4,5 верстатів.

Розв’язання. Ймовірність того, що кожен з верстатів не працює дорівнює: 1 1 0,8 0, 2q p= − = − = . Тоді

( ) 0 0 5 55 50 0, 2 0,00032P C p q= ⋅ ⋅ = = ,

( ) 45 1 5 0,8 0, 2 0,0064P = ⋅ ⋅ = ,

( ) 2 35 2 10 0,8 0,2 0,0512P = ⋅ ⋅ = ,

( ) 3 25 3 10 0,8 0,2 0,205P = ⋅ ⋅ = ,

( ) 45 4 5 0,8 0,2 0, 41P = ⋅ ⋅ = , ( ) 5

5 5 0,8P = .

Завдання 4.18. Знайти ймовірність того, що із n =100 зернин зійде

k =80, якщо схожість зернин p =0,8.

Розв’язання. За локальною формулою Лапласа

( ) ( )1nP k x

npqϕ≈ ⋅ ,

де ( )2

21

2

x

x eϕπ

−= ⋅ – функція Гаусса, а

k npx

npq

−= маємо:

80 100 0,80

100 0,8 0, 2x

− ⋅= =

⋅ ⋅. З таблиці значень функції Гаусса ( див.

стор. 62 ) знаходимо: ( )0ϕ =1

2π≈0 4, . Тоді ( )100

0, 480 0,1

4P ≈ = .

Завдання 6.16. Задана функція розподілу ймовірностей неперервної випадкової величини X:

−=

1

)(

0

)( 2axkxF ,

.

,

,

bx

bxa

ax

>

≤<

≤

Необхідно:

51

1) знайти щільність розподілу ймовірностей і коефіцієнт k; 2) побудувати графіки функцій розподілу ймовірностей і щільності

розподілу ймовірностей; 3) знайти математичне сподівання, дисперсію і середнє

квадратичне відхилення випадкової величини X; 4) знайти ймовірність попадання випадкової величини X в інтервал

( )βα ; та зобразити цю ймовірність на графіках функції розподілу ймовірностей і функції щільності розподілу ймовірностей.

Нехай ;3=a ;6=b ;4=α 8=β .

Розв’язання: 1) Оскільки щільність розподілу ймовірностей ( )xf є похідною від функції розподілу, то

−=

,0

),3(2

,0

)( xkxf

.6

,63

,3

>

≤<

≤

x

x

x

Щоб визначити коефіцієнт k, використаємо умову нормування

функції щільності розподілу, тобто ∫ =b

a

dxxf 1)( . За умовою задачі,

маємо : ∫ =−6

3

.1)3(2 dxxk ⇒

⇒ ∫ =−−6

3

)3()3(2 xdxk ( ) 193

63 2 ==− kxk . ⇒

9

1=k .

2) Таким чином, функція розподілу ймовірностей )(xF та функція щільності розподілу остаточно визначатимуться такими формулами:

−=

1

)3(9

10

)( 2xxF ,

6

63

3

>

≤<

≤

x

x

x

,

52

( )

−=

0

39

20

)( xxf ,

.6

63

3

>

≤<

≤

x

x

x

Побудуємо відповідно графіки цих функцій:

Рис. 3. Графік функції розподілу ймовірностей ( )F x .

Рис. 4. Графік щільності розподілу ймовірностей

( диференціальної функції ) ( )f x .

53

3) математичне сподівання M(X) неперервної випадкової вели-чини, яка розподілена в інтервалі (a; b) визначається за формулою:

( ) ( )b

a

x f x dxΜ Χ = ∫

Тоді =−⋅= ∫ dxxxxM )3(9

2)(

6

3

( )∫ =−6

3

2 39

2dxxx =

−

6

3

23

2

3

39

2x

x

= =

+−−2

2795472

9

25.

Дисперсію неперервної випадкової величини обчислимо за

формулою: [ ]∫ −=b

a

xMdxxfxxD 22 )()()( .

Одержимо:

∫ =−−⋅=6

3

2 25)3(9

2)( dxxxxD ( ) =−−∫ 253

9

2 6

3

23 dxxx

= =−

− 25

49

26

3

34

xx

=−

+−− 25274

81216324

9

2

= 5,0254

459

9

2=−⋅ .

Середнє квадратичне відхилення дорівнюватиме:

7,05,0)()( ≈== xDxσ

4) Ймовірність попадання неперервної випадкової величини в заданий інтервал ( )βα ; може бути обчислена двома способами, а саме:

)()()( αββα FFxP −=<< , або ∫=<<β

α

βα dxxfxP )()( .

54

Оскільки 4=α , 8=β , то за функцією розподілу F(x) шукана ймовірність дорівнюватиме:

=<< )84( xP =− )4()8( FF 89,09

8)34(

9

11 2 ≈=−− ,

а за функцією щільності розподілу ймовірностей:

=<< )84( xP ∫ =8

4

)( dxxf ( )∫ ∫ =+−6

4

8

6

039

2dxdxx

=( )

=−

6

4

2

9

3x89,0

9

8

9

11 ≈=− .

Обчислена ймовірність зображена графічно у вигляді приросту

F∆ на графіку функції розподілу ( )F x та заштрихованою площею S

на графіку щільності розподілу ймовірностей ( )f x .

Завдання 7.16. Металургійний завод отримав замовлення для виконання якого необхідно провести 90 кондиційних плавок мета-лу. Ймовірність того, що плавка буде кондиційною, 0,9p = . Тому вирішили зробити 100 плавок. Яка ймовірність того, що із 100 пла-вок кондиційних буде від 90 до 100 ?

Розв’язання. Знайдемо шукану ймовірність за інтегральною формулою Лапласа:

( ) ( ) ( )2

21 2

1

2

t

nP k k k e dtβ

α

β απ

−≤ ≤ ≈ ⋅ = Φ −Φ∫ ,

де 1k np

npqα

−= , 2k np

npqβ

−= .

Отже, 100 100 0,9

3,333100 0,9 0,1

β− ⋅

= ≈⋅ ⋅

, 90 100 0,9

0100 0,9 0,1

α− ⋅

= =⋅ ⋅

.

З таблиці значень функції Лапласа ( див. стор.63 ) знаходимо

( )3,333Φ і ( )0Φ .

Тоді ( )100 90 100P k≤ ≤ ≈ ( )3,333Φ ( )0− Φ = 0,49957.

55

ЗАВДАННЯ ДЛЯ КОНТРОЛЬНОЇ РОБОТИ 4. Завдання 1. Дослідити на збіжність числові ряди.

1. а) 1

1

2nn

n∞

=

+∑ ; б)

1

4 1

5 2

n

n

n

n

∞

=

− +

∑ . 2. а) 1

!

2 1n

n

n

∞

= −∑ ; б) 1

1

2n n

∞

= +∑ . 3.

а) 1 3n

n

n∞

=∑ ; б)

2

1

lnn n n

∞

=∑ . 4. а)

1

4

2nn

n∞

=

+∑ ; б)

1

1

6 1

n

n

n

n

∞

=

+ −

∑ . 5. а)

1

2 1

!n

n

n

∞

=

+∑ ; б)

21

1

4n n

∞

= +∑ . 6. а) 1

2

5

n

nn

∞

=∑ ; б)

1

1

6 1n n

∞

= +∑ .

7. а) 1

1

3nn

n∞

=

−∑ ; б)

1

2

2 1

n

n

n

n

∞

=

+ +

∑ . 8. а) 1

1

3nn

n∞

=

−∑ ; б)

1

3 7

5

n

n

n

n

∞

=

+

∑ . 9.

а) 2

1

!

n

n

n

∞

=∑ ; б)

1 5 1

n

n

n

n

∞

=

−

∑ . 10. а) 1

5

8nn

n∞

=

+∑ ; б)

21

2

1n

n

n

∞

= +∑ . 11. а)

( )1

1

2 !n n

∞

= +∑ ; б) 1

6

3 2

n

n

n

n

∞

=

+

∑ . 12. а) 1 7n

n

n∞

=∑ ; б)

1

n

n

e∞

−

=∑ .

13. а) ( )1 3 !n

n

n

∞

= +∑ ; б) 1

1

3 4n n

∞

= +∑ .

14. а) 1

1

!n n n

∞

=∑ ; б)

1

2 5n

n

n

n

∞

=

+

∑ . 15. а) 0

5

6

n

nn

∞

=∑ ; б)

2

31

3

1n

n

n

∞

= +∑ .

Завдання 2. Знайти радіус, інтервал та область збіжності

степеневого ряду.

1. ( )

31

2n

n

x

n

∞

=

+∑ . 2.

0 2

n

nn

n x∞

=∑ . 3.

1 3

n

nn

x

n

∞

=∑ .

4. 2

1

n

n

x

n

∞

=∑ . 5. ( )

1

3n

n

n x∞

=

+∑ . 6. 1

1 5

n

nn

x∞

+=∑ .

56

7. 1 3 1

n

n

x

n

∞

= +∑ . 8. ( )

1

1n

n

x

n

∞

=

+∑ . 9.

0 1

n

n

x

n

∞

= +∑ .

10. ( )

1

3

3

n

nn

x∞

=

−∑ . 11.

51

n

n

x

n

∞

=∑ . 12.

( )1

1n

n

x

n

∞

=

−∑ .

13. ( )

1

2

1

n

n

x

n

∞

=

−

+∑ . 14.

( )1

1

4

4

n

nn

x∞

+=

−∑ . 15.

( )0

1

2

n

nn

x∞

=

−∑ .

Завдання 3. Попередньо розкладіть підінтегральну функцію в

степеневий ряд, а потім обчисліть визначений інтеграл із заданою точністю 0, 001ε = .

1. 0,5

30 1

x dx

x+∫ . 2.

0,5 2

20

sin xdx

x∫ . 3. 0,5

2

0

1 x dx+∫ .

4. 0,5

2

0

arctg x dx∫ . 5. 1

0

xx e dx−∫ . 6. 0,5

50 1

dx

x+∫ .

7. 1

2

0

sin x dx∫ . 8.

21

2

0

x

e dx−

∫ . 9.

( )

0,5

2330 1

dx

x+∫ .

10. 2

1

3

0

xe dx−∫ . 11. 0,5

0

sin 2xdx

x∫ . 12. ( )0,5

4

0

ln 1 x dx+∫ .

13. 0,25

0

cos x dx∫ . 14. 1

3

0

sinx x dx∫ . 15. 0,5 2

0

sin xdx

x∫ .

Завдання 4. 1. На складання агрегату надходять деталі, які виготовляються

двома верстатами-автоматами. Перший верстат виготовляє в серед-ньому 0,2 % бракованих деталей, а другий – 0,1%. Знайти ймовір-ність надходження бракованої деталі на складання агрегату, якщо від першого верстата надійшло 2000 деталей, а від другого –3000.

57

2. Із множини чисел 1,2,3, 4,5,6,7,8,9Ω = навмання беруть

одне число, а далі з решти – друге. Яка ймовірність того, здобуте двоцифрове число буде парним ?

3. Прилад складається з чотирьох елементів, що працюють не- залежно один від одного. Імовірність того, що перший елемент не вийде з ладу під час роботи приладу, є величиною сталою і дорів-нює 0,95. Для другого, третього і четвертого елементів ця ймовір-ність дорівнює відповідно 0,9; 0,85; 0,8. Яка ймовірність того, що під час роботи приладу з ладу не вийде хоча б один елемент ?

4. Три студенти складають на сесії екзамен з математики. Імо-вірність того, що перший студент складе екзамен, дорівнює 0,9, для другого та третього студентів ця ймовірність становить відповідно 0,8 і 0,7. Обчислити ймовірність того, що тільки два студенти скла-дуть екзамен.

5. Бетон розвозять на 3 будівельні майданчики. Імовірність того, що протягом деякого часу бетон буде потрібен на першому майдан-чику складає 0,5, а на другому і третьому – 0,4. Яка імовірність того , що протягом цього часу бетон буде потрібен на два майданчики ?

6. В ящику 10 резисторів з опором 10 Ом та 6 резисторів з опо-ром 100 Ом. Навмання виймають два резистори. Яка імовірність того, що резистори будуть однаковими ?

7. Цегла виробляється на двох заводах. Об’єм продукції другого заводу у три рази перевищує об’єм продукції першого. Доля браку на першому заводі 1 0,1p = , на другому – 2 0,05p = . Навмання взята цеглина виявилася бракованою. Яка ймовірність того, що вона ви-роблена на другому заводі ?

8. Серед 30N = екзаменаційних білетів є 10n = „щасливих”. У кого із двох студентів більше шансів взяти „щасливий” білет: у того хто бере білет першим, чи другим ?

9. Для кожної з чотирьох дощувальних установок, які працюють на зрошувальному масиві незалежно одна від одної ймовірність виходу із ладу на протязі доби складає 0,1. Яка імовірність того, що на протязі доби вийде з ладу не більше двох установок ?

10. У трьох коробках знаходяться деталі з різних заводів. У першій 20 стандартних і 5 бракованих, у другій – 15 стандартних і 3 бракованих, у третій – 14 стандартних і 6 бракованих. Яка ймовір-

58

ність того, що з навмання взятої коробки буде навмання витягнуто стандартну деталь ?

11. Ймовірність появи події в кожному незалежному випробу-вані дорівнює 0,8. Знайти ймовірність того, що у 100 випробуваннях подія появиться 76 раз.

12. Ділянка електричного поля ( рис. 7 ) складається із трьох елементів, кожен з яких працює незалежно від іншого. Елементи на-дійно працюють протягом певного проміжку часу з ймовірністю –

1 0,9p = , 2 3 0,8p p= = . Знайти ймовірність надійної роботи всієї ділянки.

Рис. 7. Ділянка електричного поля.

13. Відомо, що ймовірність виготовлення бракованого свердла дорівнює 0,02. Виготовлені свердла складають у коробки по 100 штук. Знайти ймовірність того, що у коробці не виявиться брако-ваних свердел.

14. Імовірність настання події у кожному з 10 незалежних випробувань дорівнює 0,2. Знайти ймовірність настання цієї події принаймні один раз.

15. Імовірність того, що електрична лампа залишиться справною після 1000 годин роботи, дорівнює 0,5. Знайти ймовірність того, що хоча б одна з трьох ламп залишиться справною після 1000 годин роботи.

Завдання 5. Закон розподілу дискретної випадкової величини Χ задано таблицею:

ixΧ =

x

x

x

x

( )ix pΡ Χ = =

p

p

p

p

p

1

2

3

59

Знайдіть математичне сподівання ( )Μ Χ , дисперсію ( )D Χ та

середнє квадратичне відхилення ( )σ Χ . Побудуйте многокутник

розподілу ймовірностей і покажіть на цьому рисунку математичне

сподівання ( )Μ Χ і середнє квадратичне відхилення ( )σ Χ . Зна-

чення величин ix та ip для відповідного варіанту завдання виберіть з

таблиці 1 : Таблиця 1.

Варіанти завдання

ix 3

4

5

6

8

1. рі 0,1 0,35 0,2 0,15 0,2 2. рі 0,2 0,25 0,2 0,25 0,1 3. рі 0,3 0,2 0,1 0,2 0,2 4. рі 0,4 0,2 0,1 0,1 0,2 5. рі 0,4 0,25 0,1 0,15 0,1 6. рі 0,2 0,15 0,4 0,15 0,1 7. рі 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 8. рі 0,1 0,25 0,3 0,15 0,2 9. рі 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 10. рі 0,4 0,15 0,2 0,15 0,1 11. рі 0,2 0,35 0,2 0,15 0,1 12. рі 0,1 0,2 0,1 0,2 0,4 13. рі 0,1 0,2 0,2 0,2 0,3 14. рі 0,3 0,15 0,1 0,15 0,3 15. рі 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2

Завдання 6. Задано функцію ( )F x розподілу ймовірностей

неперервної випадкової величини Χ :

( ) ( )2

0 ,

,

1 .

x a

F x k x a a x b

x b

≤

= − < ≤ >

60

Потрібно: 1) знайти функцію щільності ( )f x розподілу ймовір-

ностей і коефіцієнт k ; 2) знайти математичне сподівання, дис-персію і середнє квадратичне відхилення випадкової величини Χ ;

3) знайти ймовірність попадання випадкової величини Χ в

заданий інтервал ( ),α β ; 4) побудувати графіки функцій ( )F x та

( )f x і на них зобразити ймовірність ( )α βΡ < Χ < .

Значення величин , , ,a b α β для кожного варіанту задані в таблиці 2:

Таблиця 2

Варіанти завдання

a b α β

1. 0 0,25 0 3 2. 2 5 1 4 3. 3 5 2 4 4. 0 3 2 5 5. -1 3 0 6 6. 2 6 3 7 7. 1 3 2 4 8. -1 2 0 3 9. 0 5 2 6 10. -2 3 0 4 11. 2 6 4 7 12. -3 3 0 5 13. 0 4 2 6 14. 1 5 3 8 15. -3 2 1 4

Завдання 7. Маса залізобетонних колон прямокутного перерізу

для одноповерхових будівель є нормально розподіленою випадко-вою величиною Χ з математичним сподіванням (проектною масою) a кг і середнім квадратичним відхиленням σ кг. Знайти ймовір-ності того, що маса навмання взятої залізобетонної колони буде:

1) важити не менше α кг і не більше β кг; 2) відхилятися від проектної маси за абсолютною величиною

менше ніж на δ кг.

61

Значення величин , , , ,a σ α β δ для кожного варіанту задані в таблиці 3:

Таблиця 3. Варі

анти завда

ння

a

α

β

1. 850

5 835

860 0

2. 900

10

880

920 5

3. 950

10

940

965 0

4. 1000

10

980

1010 0

5. 1100

15

1070

1115 0

6. 1200

15

1185

1230 6

7. 1300

15

1285

1320 0

8. 1400

20

1360

1420 0

9. 1680

20

1650

1700 0

10. 2220

25

2170

2245 0

11. 2750

25

2700

2800 5

12. 3000

30

2910

3090 0

13. 3600

30

3540

3630 0

14. 4000

40

3960

4060 0

15. 4200

40

4150

4280 0

62

Рекомендована література

1. Мізюк В.Г. Вища математика: Навчальний посібник. – Рівне:

НУВГП, 2008 р. 2. Дубовик В.П., Юрик І.І. Вища математика. Навчальний

посібник. - К.: А.С.К., 2006.−648 с. 3. Дубовик В.П., Юрик І.І. Вища математика. Збірник задач. –

К. 2001. 4. В.Пак, Ю.Носенко Вища математика , - К., Либідь, 1996 р 5. Шкіль М.І., Колесник Т.В., Котлова В.М. Вища математика.

Визначений інтеграл. Функції багатьох змінних. Диференціальні рівняння. Ряди. Кн.2. – К.: Вища школа, 1986.– 512 с.

6. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчис-ление. – М.: Наука, 1985. Т. 2.

7. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории ве-роятностей и математической статистике. – М.: Высшая школа, 1979.

Таблиця значень функції Гаусcа ( )2

21

2

x

x eϕπ

−= .

x 0 l 2 3 4 5 6 7 8 9 0,0 0,3989 3989 3989 3988 3986 3984 3982 3980 3977 3973 0,1 3970 3965 3961 3956 3951 3945 3939 3932 3925 3918 0,2 3910 3902 3894 3885 3876 3867 3857 3847 3836 3825 0,3 3814 3802 3790 3778 3765 3752 3739 3726 3712 3697 0,4 3683 3668 3653 3637 3621 3605 3589 3572 3555 3538 0,5 3521 3503 3485 3467 3448 3429 3410 3391 3372 3352 0,6 3332 3312 3292 3271 3251 3230 3209 3187 3166 3144 0,7 3123 3101 3079 3056 3034 3011 2989 2966 2943 2920 0,8 2897 2874 2850 2827 2803 2780 2756 2732 2709 2685 0,9 2661 2637 2613 2589 2565 2541 2516 2492 2468 2444 1,0 0,2420 2396 2371 2347 2323 2299 2275 2251 2227 2203 1,1 2179 2155 2131 2107 2083 2059 2036 2012 1989 1965 1,2 1942 1919 1895 1872 1849 1826 1804 1781 1758 1736 1,3 1714 1691 1669 1647 1626 1604 1582 1561 1539 1518 1,4 1497 1476 1456 1435 1415 1394 1374 1354 1334 1315 1,5 1295 1276 1257 1238 1219 1200 1182 1163 1145 1127 1,6 1109 1092 1074 1057 1040 1023 1006 0989 0973 0957 1,7 0940 0925 0909 0893 0878 0863 0848 0833 0818 0804

63

1,8 0720 0775 0761 0748 0734 0721 0707 0694 0681 0669

1,9 0656 0644 0632 0620 0608 0596 0584 0573 0562 0551 2,0 0,0540 0529 0519 0508 0498 0488 0478 0468 0459 0449 2,1 0440 0431 0422 0413 0404 0396 0387 0379 0371 0363 2,2 0355 0347 0339 0332 0325 0317 0310 0303 0297 0290 2,3 0283 0277 0270 0264 0258 0252 0246 0241 0235 0229 2,4 0224 0219 0213 0208 0203 0198 0194 0189 0184 0180 2,5 0175 0171 0167 0163 0158 0154 0151 0147 0143 0139 2,6 0136 0132 0129 0126 0122 0119 0116 0113 0110 0107 2,7 0104 0101 0099 0096 0093 0091 0088 0086 0084 0081 2,8 0079 0077 0075 0073 0071 0069 0067 0065 0063 0061 2,9 0060 0058 0056 0055 0053 0051 0050 0048 0047 0046 3,0 0,0044 0043 0042 0040 0039 0038 0037 0036 0035 0034 3,1 0033 0032 0031 0030 0029 0028 0027 0026 0025 0025 3,2 0024 0023 0022 0022 0021 0020 0020 0019 0018 0018 3,3 0017 0017 0016 0016 0015 0015 0014 0014 0013 0013 3,4 0012 0012 0012 0011 0011 0010 0010 0010 0009 0009 3,5 0009 0008 0008 0008 0008 0007 0007 0007 0007 0006 3,6 0006 0006 0006 0005 0005 0005 0005 0005 0005 0004 3,7 0004 0004 0004 0004 0004 0004 0003 0003 0003 0003 3,8 0003 0003 0003 0003 0003 0002 0002 0002 0002 0002 3,9 0002 0002 0002 0002 0002 0002 0002 0002 0001 0001

Таблиця значень функції Лапласа ( )2

2

0

1

2

tx

x e dtπ

−Φ = ∫

х 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0,0 0,0000 0040 0080 0120 0160 0199 0239 0279 0319 0359 0,1 0398 0438 0478 0517 0557 0596 0636 0675 0714 0753 0,2 0793 0832 0871 0910 0948 0987 1026 1064 1103 1141 0,3 1179 1217 1255 1293 1331 1368 1406 1443 1480 1517 0,4 1554 1591 1628 1664 1700 1736 1772 1808 1844 1879 0,5 1915 1950 1985 2019 2054 2088 2123 2157 2190 2224 0,6 2257 2291 2324 2357 2389 2422 2454 2486 2517 2549 0,7 2580 2611 2642 2673 2703 2734 2764 2794 2823 2852 0,8 2881 2910 2939 2967 2995 3023 3051 3078 3106 3133 0,9 3159 3186 3212 3238 3264 3289 3315 3340 3365 3389 1,0 0,3413 3438 3461 3485 3508 3531 3554 3577 3599 3621 1,1 3643 3665 3686 3708 3729 3749 3770 3790 3810 3830 1,2 3849 3869 3883 3907 3925 3944 3962 3980 3997 4015 1,3 4032 4049 4066 4082 4099 4115 4131 4147 4162 4177 1,4 4192 4207 4222 4236 4251 4265 4279 4292 4306 4319 1,5 4332 4345 4357 4370 4382 4394 4406 4418 4429 4441 1,6 4452 4463 4474 4484 4495 4505 4515 4525 4535 4545 1,7 4554 4564 4573 4582 4591 4599 4608 4616 4625 4633

64

1,8 4641 4649 4656 4664 4671 4678 4686 4693 4699 4706 1,9 4713 4719 4726 4732 4738 4744 4750 4756 4761 4767 2,0 0,4772 4778 4783 4788 4793 4798 4803 4808 4812 4817 2,1 4821 4826 4830 4834 4838 4842 4846 4850 4854 4857 2,2 4861 4865 4868 4871 4875 4878 4881 4884 4887 4890 2,3 4893 4896 4898 4901 4904 4906 4909 4911 4913 4916 2,4 4918 4920 4922 4924 4927 4929 4931 4932 4934 4936 2,5 4938 4940 4941 4943 4945 4946 4948 4949 4951 4952 2,6 4953 4955 4956 4957 4959 4960 4961 4962 4963 4964 2,7 4965 4966 4967 4968 4969 4970 4971 4972 4973 4974 2,8 4974 4975 4976 4977 4977 4978 4979 4979 4980 4981 2,9 0,4981 4982 4983 4983 4984 4984 4985 4985 4986 4986

Для значень 3,0x ≥ значення функції ( )xΦ такі:

x 3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6

( )xΦ 0,49865 0,49903 0,49931 0,49952 0,49966 0,49977 0,49984

x 3,7 3,8 3,9 4,0 4,5 5,0x ≥

( )xΦ 0,49989 0,49993 0,49995 0,499968 0,499997 0,5