0 at yh h/2 - kocwelearning.kocw.net/kocw/document/2015/hanyang/yueunjong/... · 2016. 9. 9. · 0...

Mechanic

5.8 직사

순수굽힘

집중하중

수직

- 보의 상

- 전단응

두개

- 두개가

전단공

- 미소 요

- 중립축

cs of Materials

사각형 단면

힘 굽힘모멘

중 전단응력

및 수평 전단

상하면에서는

0 at y h

응력의 존재확

개의 보를 포

가 접착된 보가

공식의 유도

요소의 평형을

축에서의 높이

s, 7th ed., Jame

면 보의 전단

멘트만 작용

력을 유발함.

단응력

는 전단응력=

/ 2h

확인:

포갠 경우

가 더욱 튼튼

을 고려하여

이에 따라 변함

es M. Gere &

단응력

.

0

튼

전단응력 계

함 (분포식 계

Barry J. Goo

계산

계산 가능)

dno

제 5

5 장 보의 응력

Pa

(기본 주제)

age 05-36

Mechanic

cs of Materials

s, 7th ed., Jame

es M. Gere &

Barry J. Goo

dno

제 5

5 장 보의 응력

Pa

(기본 주제)

age 05-37

Mechanic

1M

1

2

F

F

수평방향

3F

전단응력

(5-33),(5

Q VQIb

cs of Materials

2and MyI

1

2(

MydAIMdA

향 힘의 평형조

3(M dF

I

력 가 보의

-34)

y dA ( 1y 윗

전단공식

s, 7th ed., Jame

(M dMI

)

dA

M dM y dAI

조건: 3F F

)dM y dA 폭에걸쳐 등

1dMdx Ib

윗부분의 단면

식 (shear fo

es M. Gere &

)M y

A

2 1F F

My ddAI

등분포 되었다

Vy dAIb

면 1 차모멘트

rmula)

Barry J. Goo

dM y dAI

다면 힘 3F

y dA

트)로 정의하

dno

(5

b dx (5

(5

면 (5

(5-38)

제 5

5-33)

5-34)

5-35,36)

5-37)

5 장 보의 응력

Pa

(기본 주제)

age 05-38

Mechanic

1 차모

- 전체 면

Q 의

- , V Q

(전단력

직사각

2hQ b

Q y

2V

0

cs of Materials

모멘트 Q 의 계

면적에 대한

계산시, 1y 아

의 부호는 무

력의 방향과

각형 보의 전

1 12h y y

1

/ 2h

ydA yb

2212 4

V h yI

10 at /hy

s, 7th ed., Jame

계산

Q y dA 아랫부분의 단

무시하고, 전단

전단응력의

단응력의 분

1/ 22

h y 2

2 4b hb dy

max/ 2 V

es M. Gere &

0 이므로

단면 1 차모멘

단의 방향은

방향이 같기

분포

2

2 4b h y

21y

2

a8 2

3VIh V

A

Barry J. Goo

멘트를 이용해

직관으로 이

기 때문)

21y or

1at 0y

dno

해도 됨.

이해함.

(5-40)

제 5

5 장 보의 응력

Pa

(기본 주제)

age 05-39

Mechanic

제한

- 선형 탄

- 폭이 좁

- 삼각형

- 단면의

- 전단응

- 균일 단

전단변

- 전단응

전단

변형

- 전단력

굽힘

- 전단력

cs of Materials

탄성재료에서

좁은 보에서는

, 반원형 형상

변은 y 축에

응력은 단면의

단면 보에만

변형률의 효과

응력이 높이에

단변형률도 높

형후 평면을

이 일정하면

힘응력에는 영

이 일정하지

s, 7th ed., Jame

서만 적용가능

는 비교적 정

상에는 적용

에 평행해야함

의 폭에걸쳐 균

적용 가능

과

에 따라 변하므

높이에 따라

유지하지 못

면 모든 단면이

영향이 없음

지 않아도 영향

es M. Gere &

능

정확함, 높이가

불가능

함

균일하다고 가

므로

변함

못함

이 같은 모양

향이 크지 않

Barry J. Goo

가 낮아지면

가정할 수 있

양으로 변형

않음 순수

dno

오차 증가 (

있어야함

굽힘 굽힘공

제 5

정사각형 단

식을 계속 사

5 장 보의 응력

Pa

면; 13% 오차

사용 가능

(기본 주제)

age 05-40

차)

Mechanic

예제

문제

- , C

- 응력요

cs of Materials

5-11

C 구하고,

요소에 도시하

s, 7th ed., Jame

하기

es M. Gere &

Barry J. Goo

dno

제 5

5 장 보의 응력

Pa

(기본 주제)

age 05-41

제 5 장 보의 응력 (기본 주제)

Mechanics of Materials, 7th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno Page 05-42

풀이

- 작용하중:

17,920 lb-in, 1,600 lbC CM V

- 관성모멘트:

3 3 41 1 (1.0 in)(4.0 in) 5.333 in12 12

I bh

- 수직응력:

4

(17,920 lb-in)(1.0 in) 3360 psi5.333 inC

MyI

- 단면 1 차모멘트:

3(1.0 in)(1.0 in) (1.5 in) 1.5 inC C CQ A y

- 전단응력:

3

4

(1,600 lb)(1.5 in ) 450 psi(5.333 in )(1.0 in)

C CC

V QIb

Mechanic

예제

문제

100 b

allow

maxP

Note: 목

수

cs of Materials

5-12

mm, 15h 11 MPa,

구하기

목재는 단면위

수평전단에 취

설계시 수평

s, 7th ed., Jame

50 mm, 0a

allow 1.2 M

위 전단 보다

취약함 (길이방

평 전단에서의

es M. Gere &

0.5 m

MPa

방향 섬유에

의 허용응력을

Barry J. Goo

평행한 전단

을 통상적으

dno

단)

로 고려

제 5

5 장 보의 응력

Pa

(기본 주제)

age 05-43



풀이

- 최대 전단력 (지지점), 최대굽힘모멘트 (하중사이 구간): max max V P M Pa

- 단면계수, 단면적: 2 / 6 S bh A bh

- 최대응력: max max

max max2

36 3 2 2

M VPa PS bh A bh

- 하중의 최대허용값:

2allow allow

bending shear2

6 3bh bhP P

a

- 수치를 대입하면:

2

bending

shear

(11 MPa)(100 mm)(150 mm) 8.25 kN6(0.5 m)

2(1.2 MPa)(100 mm)(150 mm) 12.0 kN3

P

P

굽힘응력이 설계를 지배하며, max 8.25 kNP

Note: 대부분의 경우 굽힘응력 (전단이 아니고)이 허용하중을 통제함.

Mechanic

5.9 원형

- 임의의

- 중립축

중립

I

max

- 속이 빈

I

max

여

cs of Materials

형단면 보의

점 m 에서

축 ( z 축)에서는

립축에서의 전

4

4r Q A

(VQ VIb r

빈 원형 단면

4 42 1

4r r

43

VQ VIb A

여기서 A

s, 7th ed., Jame

의 전단응력

전단응력은

는 대칭성으로

전단응력 (최

2

2rAy

3

4

(2 / 3)/ 4)(2 )

V rr r

면

32

2 3

Q r

22 2 1

2 22 1

r r rVA r r

2 22 1r r 를

es M. Gere &

은 y 축에 평행

로 인하여 전

대전단응력)

34 23 3

r r

2

4 43 3

V Vr A

31 2r b

21

2

43

r V

를 이용하였음

Barry J. Goo

행하지 않음

전단응력이 y

은 기존을 공

2b r (부

VA

2 12( )r r

22 2 1 1

4 42 1

r r r rr r

음.

dno

y 축에 평행함

공식 사용가능

부록 D 참조)

(5-42)

(5-43)

21r (5-44)

제 5

함

능

)

5 장 보의 응력

Pa

(기본 주제)

age 05-45

Mechanic

예제

문제

2 4.0d

(a) 기둥

(b) 같은

속이

풀이

(a) max

(b) max

cs of Materials

5-13

10 in, 3.2d

내의 최대전

하중 P , 같

이 찬 기둥의

22

42

43

rVr

0

43 ( / 2

Vd

20

ma

163

Pd

0 1.97 ind

s, 7th ed., Jame

2 in, 150P

전단응력?

같은 최대 전

지름 0d 구하

22 1 1

4 42 1

r r rr

2)

ax

16(15003 (658

n

es M. Gere &

00 lb

단응력에 대

하기.

658 psi

0 lb) 3.878 psi)

Barry J. Goo

해

27 in

dno

제 5

5 장 보의 응력

Pa

(기본 주제)

age 05-46

Mechanic

5.10 플

- 플랜지

복잡

- 웨브에

직사

cs of Materials

플랜지를 가

에서의 전단

잡한 해석 절

에서의 전단응

사각형 보의

s, 7th ed., Jame

진 보의 웨

단응력은 수직

절차가 필요 (

응력은 수직방

전단응력 구

es M. Gere &

웨브에서의 전

직/수평 전단응

(6.7 절에서

방향으로만 작

구하는 공식 사

Barry J. Goo

전단응력

응력 2 가지

해석)

작용

사용 가능

dno

제 5

5 장 보의 응력

Pa

(기본 주제)

age 05-47

Mechanic

웨브에

- 웨브상

ef 윗부

두 부분

cs of Materials

에서의 전단응

상의 위치 ef

부분의 면적에

분으로 나누어

s, 7th ed., Jame

응력

에서의 전단

에 해당하는

어 생각함: 플

es M. Gere &

단응력 수직

1 차모멘트

플랜지 1( )A

Barry J. Goo

직방향이며

Q 를 구하여

+ 웨브 efc

dno

/VQ Ib 를

여야 한다.

2cb ( )A

제 5

를 적용할 수

5 장 보의 응력

Pa

수 있음.

(기본 주제)

age 05-48



1 11 2 1

2 2 2h hhA b A t y

2 2 2 21 1 1 11 2 1 1 1 1

/ 2 / 2 / 2 ( ) ( 4 )2 2 2 8 8h h h h y b tQ A A y h h h y

(5-45)

2 2 2 21 1 1( ) ( 4 )

8VQ V b h h t h yIt It

2 차함수 (5-46)

여기서

333 3 31

1 1( )( ) 1 ( )

12 12 12b t hbhI bh bh th

(5-47)

최대 및 최소 전단응력

최대 전단응력 1( 0)y / 최소 전단응력 (웨브-플랜지 접합부 1 1 / 2y h )

2 2 2 2 2max 1 1 min 1( ) ( )

8 8V Vbbh bh th h hIt It

(5-48a,b)

Note: 보통 max min/ 1.1 ~ 1.6

웨브에서의 전단력

웨브 만이 받는 수직 전단력: (전단응력선도 면적) (웨브 두께)



1web 1 min 1 max min max min

2 ( )( ) ( ) (2 )3 3

thV h h t (5-49)

Note: 보통 web Total/ 0.9 ~ 0.98V V

웨브가 모든 전단력을 받는다고 가정하면, 평균 전단응력은

aver1

Vth

(보통 10% 이내의 오차) (5-50)

제한

- 직사각형 보에 대한 전단공식은 플랜지의 전단응력 계산에는 사용할 수 없음

Mechanic

예제

문제

45 kV

max m,

풀이

1 (12

I b

max 8V

web 3thV

Note: a

cs of Materials

5-14

kN 일 경우

min web, V 구하

3 31bh bh t

2(8V bh bhIt

1max(2

3h

aver1

2Vth

s, 7th ed., Jame

하기

31 ) 130.4th

2 21 1 ) 2h th

min ) 43.0 k

20.7 MPa

es M. Gere &

6 445 10 mm

1.0 MPa

webkN (V

max0.99

Barry J. Goo

4

min (8Vb h

It

Total/ 0.9V

dno

2 21 ) 17h h

6)

제 5

7.4 MPa (

5 장 보의 응력

Pa

max min/ 1

(기본 주제)

age 05-51

1.21)

Mechanic

예제

문제

10,0V

cs of Materials

5-15

000 lb 일 경

s, 7th ed., Jame

경우, 1(secti

es M. Gere &

maion ), nn

Barry J. Goo

ax 구하기

dno

제 5

5 장 보의 응력

Pa

(기본 주제)

age 05-52



풀이

- 중립축 (무게중심)의 위치는 플랜지 1( )A 와 웨브 2( )A 의 합성 면적에 대해 구함:

1 11 1 3

2 1 221 1

( )( ) ( )54.5 in2 2 4.955 in 3.045 in

( ) 11.0 ini i

i

h h hb h h thy Ac c h c

A b h h th

322 2 4 4 412 2

( ) 339.67 in 270.02 in 69.65 in3 3aa

b t hbhI I Ac Ac

- 웨브의 맨 위쪽에서의 응력 1(section ) nn (section )nn 윗 부분의 1 차모멘트 계산

311 1 1( ) (4 in)(1 in)(3.045 in 0.5 in) 10.18 in

2h hQ b h h c

혹은 (section )nn 아랫 부분의 1 차모멘트를 구하여도 동일한 결과가 얻어짐.

31

1 1 2 (1 in)(7 in)(4.955 in 3.5 in) 10.18 in2hQ th c

- (section )nn 에서 전단력:

31

1 4

(10,000 lb)(10.18 in ) 1460 psi(69.65 in )(1 in)

VQIt



- 최대전단응력은 중립축에서 발생, 이 축에 대한 1 차모멘트는 중립축 아래 단면적에 대해 구함

32max 2

4.955 in(1 in)(4.955 in) 12.28 in2 2cQ tc

(중립축 윗부분의 면적에 대해 구해도 같은 결과가 얻어지나, 계산은 더 복잡함.)

3max

max 4

(10,000 lb)(12.28 in ) 1760 psi(69.65 in )(1 in)

VQIt

Mechanic

*5.11 조

두 개 또

(a) 상자형

(b) 적층

(c) 강철

설계계산

(1) 굽힘응

(2) 연결부

cs of Materials

조립 보와 전

또는 그 이상의

형 보 (box b

판 보 (glula

플레이트 거

산

응력과 전단

부는 부품사

s, 7th ed., Jame

전단흐름

의 재료들을

beam)

m)

거더 (plate g

응력을 고려

이의 수평 전

es M. Gere &

한 개의 보로

irder)

하여 한 개의

전단력을 전달

Barry J. Goo

로 접합

의 개체로 설

달시키도록 설

dno

계

설계

제 5

5 장 보의 응력

Pa

(기본 주제)

age 05-55

Mechanic

전단흐

cs of Materials

흐름

s, 7th ed., Jame

es M. Gere &

Barry J. Goo

dno

제 5

5 장 보의 응력

Pa

(기본 주제)

age 05-56



식 (5-33) 반복: 3dMF y dA

I (5-51)

전단흐름 (shear flow): 보의 세로방향축의 단위 거리당 수평 전단력

힘 3F 는 거리 dx 에 걸쳐 작용하므로, 단위 거리당 전단력은

3 1F dM VQfI

y dAdx dx I

(5-52)

Note-1: 면 1pp 의 전단응력이 등분포 되었다면 f b

Note-2: 식 (5-52)는 응력의 분포에 대한 가정이 필요없는 일반식임

Note-3: 3F 는 보조요소와 보의 나머지 부분 사이에 작용하는 전체 수평 전단력

바닥면에서 뿐만 아니라 보조요소의 측면의 어느 곳에서나 분포될 수 있음.

Mechanic

1 차모

(a) 접촉

(b) 전체

(c) 상부

전단

cs of Materials

모멘트 Q 를 계

면 aa 윗부분

채널의 1 차

플랜지의 면

단력은 cc 와

s, 7th ed., Jame

계산할 때 사

분의 면적을

차모멘트인 Q

면적을 Q 계산

dd 면을 따

es M. Gere &

사용되는 면적

Q 계산에 사

Q 를 사용하여

산에 사용하며

라서 전달됨

Barry J. Goo

적

사용함

여야 함

며,

dno

제 5

5 장 보의 응력

Pa

(기본 주제)

age 05-58

Mechanic

예제

문제

10.5V

cs of Materials

5-16

5 kN , 나사의

s, 7th ed., Jame

의 허용전단력

es M. Gere &

력은 개당 F

Barry J. Goo

800 NF 일

dno

일 때 나사의

제 5

허용 간격

5 장 보의 응력

Pa

s 구하기

(기본 주제)

age 05-59



풀이

- 단면 1 차모멘트: 상부 플랜지의 면적에 대하여 구함

3 3(40 mm 180 mm)(120 mm) 864 10 mmf fQ A d

3 3 6 41 1(210 mm)(280 mm) (180 mm)(200 mm) 264.2 10 mm12 12

I

- 전단흐름

3 3

6 4

(10,500 N)(864 10 mm ) 34.3 N / mm(264.2 10 mm )

VQfI

(전달되는 mm 길이당 수평전단력)

- 나사의간격 (나사가 좌/우 2 줄로 배열되므로)

2 2(800 N) 46.6 mm

34.3 N / mmFsf

제작의 편의상 보통 45 mms 와 같은 간격이 선택됨.

Mechanic

*5.12 축

- 구조용

- 항공기

- 폭이 지

예) 경사

수

- 각

M

- 각

- 수

- 중

cs of Materials

축하중을 받

용 부재: 굽힘하

프레임, 건물

지나치게 좁지

진 하중 P 가

수평/수직 성

각각의 하중은

(M Q L x

각각의 응력은

/ ,My I

수직응력의 최

N MyA I

중립축은 도심

s, 7th ed., Jame

받는 보

하중 과 축하

물의 기둥, 기

지 않은 경우

가 작용하는

성분 , S Q 으

은

) x V Q

은

/VQ I

최종분포

심을 통과하지

es M. Gere &

하중을 동시에

기계, 선박의

우 굽힘응력,

경우

로 분해

N S

, /Ib N

(5-5

지 않음.

Barry J. Goo

에 받을 수 있

부품, 우주선

축응력을 중

/ A

3)

dno

있음.

선 등

중첩함.

제 5

5 장 보의 응력

Pa

(기본 주제)

age 05-61

Mechanic

cs of Materials

s, 7th ed., Jame

es M. Gere &

Barry J. Goo

dno

제 5

5 장 보의 응력

Pa

(기본 주제)

age 05-62

Mechanic

편심

단면의 도

도심통

N

중립축 n

0y

제한

- 굽힘모

- 가느다

좌굴

cs of Materials

축하중

도심을 통과하

통과 하중에

P M P PeyA I

nn 의 위치는

IAe

모멘트가 보의

다란 보에 압축

굴 발생 가능

s, 7th ed., Jame

하지 않은 축

굽힘모멘트가

Pe

는 식 (5-54)을

의 처짐과 무관

축하중이 작용

능 (11 장에서

es M. Gere &

축하중 P

가 더하여짐

(5-54

을 0 으로 하

(5-5

관하게 계산

용하면

취급)

Barry J. Goo

4)

면,

5)

dno

제 5

5 장 보의 응력

Pa

(기본 주제)

age 05-63

Mechanic

예제

문제

20.0A

하중 P

cs of Materials

5-17

20 in , 86I

1000 lb 에

s, 7th ed., Jame

46.67 in 일

에 의한 보에서

es M. Gere &

때,

서의 최대인장

Barry J. Goo

장 및 최대압

dno

압축응력 구하

제 5

하기

5 장 보의 응력

Pa

(기본 주제)

age 05-64



풀이

경사진 하중 P 를 수평/수직 분력으로 분해함 0 0

0 0

sin 60 (1000 lb)(sin 60 ) 866 lb

cos60 (1000 lb)(cos60 ) 500 lbH

V

P P

P P

수평분력 HP 는 모멘트 0M 를 추가하여 보의 축으로 이전됨.

0 (866 lb)(5.5 in)=4760 lb-inHM P d

0, , H VP P M 는 정역학적으로 원래 하중 P 와 등가임.

(1) 반력을 구하고

(2) 축력 선도(b), SFD(c), BMD(d)선도 작성

Mechanic

cs of Materials

s, 7th ed., Jame

es M. Gere &

Barry J. Goo

dno

제 5

5 장 보의 응력

Pa

(기본 주제)

age 05-66



- 보의 최대인장응력: 중앙점 C 의 바로 왼쪽에 보의 바닥면 ( 3.0 in)y 에서 발생

max 2 4

866 lb (9870 lb-in)( 3.0 in)( ) 43 psi 342 psi 385 psi20.0 in 86.67 int

N MyA I

- 보의 최대압축응력: 중앙점 C 의 바로 왼쪽에 보의 맨 윗면 ( 3.0 in)y 혹은

중앙점 C 의 바로 오른쪽에 보의 맨 윗면 ( 3.0 in)y 에서 발생

left 2 4

866 lb (9870 lb-in)(3.0 in)( ) 43 psi 342 psi 299 psi20.0 in 86.67 inc

N MyA I

right 4

(5110 lb-in)(3.0 in)( ) 0 0 342 psi 177 psi86.67 inc

N MyA I

최대압축응력은 max( ) 299 psic (점 C 의 바로 왼쪽에 보의 맨 윗면에서 발생)

0 at yh h/2 - kocwelearning.kocw.net/kocw/document/2015/hanyang/yueunjong/... · 2016. 9. 9. · 0...

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