0. magnitudes y vectores
DESCRIPTION
MAGNITUDES Y VECTORES MAGNITUD ESCALAR: es aquella Masa: 5 Kg Temperatura: 273 K Energía: 80 J magnitud que queda perfectamente definida por un número y sus unidades. MAGNITUD VECTORIAL: es aquella magnitud que precisa, para ser definida, de módulo, dirección, sentido y punto de aplicación Posición Velocidad ¡¡¡Necesitamos un vector!!! ORIGEN DEL VECTOR: punto de VÉRTICE DE LA FLECHA: sentido. LONGITUD: módulo. aplicación. dirección.TRANSCRIPT
MAGNITUDES Y
VECTORES
MAGNITUDES
MAGNITUD ESCALAR: es aquella
magnitud que queda perfectamente
definida por un número y sus unidades.
Masa: 5 Kg
Temperatura: 273 K
Energía: 80 J
MAGNITUDES
MAGNITUD VECTORIAL: es aquella
magnitud que precisa, para ser definida,
de módulo, dirección, sentido y punto de
aplicación
Posición
Velocidad
¡¡¡Necesitamos un vector!!!
VECTORES
LONGITUD: módulo.
LÍNEA SOBRE LA QUE SE APOYA:
dirección.
VÉRTICE DE LA FLECHA: sentido.
ORIGEN DEL VECTOR: punto de
aplicación.
DESCOMPOSICIÓN DE
VECTORES
𝑟 = 𝑟𝑥 + 𝑟𝑦 + 𝑟𝑧
𝑟 = 𝑟𝑥 · 𝑖 + 𝑟𝑦 · 𝑗 + 𝑟𝑧 · 𝑘
EJEMPLO
𝑟 = 3𝑖 − 2𝑗 + 4𝑘
𝑣 = 2𝑗 + 2𝑘
𝑟 + 𝑣 = 3 + 0 𝑖 + −2 + 2 𝑗 + 4 + 2 𝑘
𝑟 + 𝑣 = 3𝑖 + 6𝑘 → 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑥𝑧
PROYECCIÓN SEGÚN
LOS ÁNGULOS
𝑆𝑥 = 𝑆 · cos 𝛼
𝑆𝑦 = 𝑆 · sin 𝛼
𝑆 = 𝑆 · cos 𝛼 𝑖 + 𝑆 · sin 𝛼 𝑗
MULTIPLICACIÓN
DE
VECTORES
PRODUCTO ESCALAR
Es una operación entre vectores que da como resultado
un número.
Se calcula multiplicando los módulos de los vectores por
el coseno del ángulo que forman.
PE Máximo: cuando los vectores 𝑎 y 𝑏 tienen la misma
dirección.
PE Nulo: cuando los vectores 𝑎 y 𝑏 son perpendiculares
(cos 90º = 0)
𝑎 · 𝑏 = 𝑎 · 𝑏 · cos 𝛼
PRODUCTO ESCALAR
En función de las componentes
𝑎 = 𝑎𝑥𝑖 + 𝑎𝑦𝑗 + 𝑎𝑧𝑘
𝑏 = 𝑏𝑥𝑖 + 𝑏𝑦𝑗 + 𝑏𝑧𝑘
𝑎 · 𝑏 = 𝑎𝑥 · 𝑏𝑥 + 𝑎𝑦 · 𝑏𝑦 + 𝑎𝑧 · 𝑏𝑧
PRODUCTO ESCALAR
Ángulo que forman los vectores
𝑎 · 𝑏 · cos 𝛼 = 𝑎𝑥 · 𝑏𝑥 + 𝑎𝑦 · 𝑏𝑦 + 𝑎𝑧 · 𝑏𝑧
cos 𝛼 =𝑎𝑥 · 𝑏𝑥 + 𝑎𝑦 · 𝑏𝑦 + 𝑎𝑧 · 𝑏𝑧
𝑎 · 𝑏
EJEMPLO
𝑎 = 2𝑖 − 𝑗 + 3𝑘 𝑎 = 4 + 1 + 9 = 14
𝑏 = 𝑖 + 3𝑗 − 2𝑘 𝑏 = 1 + 9 + 4 = 14
𝑎 · 𝑏 = 2 − 3 − 6 = −7 Valor de producto escalar
de los vectores a y b
cos 𝛼 =𝑃𝐸
𝑎 · 𝑏; cos 𝛼 =
−7
14 · 14=−7
14= −
1
2;
𝛼 = cos−1 −12 = 120𝑜
PRODUCTO VECTORIAL
Es una operación entre vectores
El resultado es otro vector
El módulo del vector resultante es el
producto de los módulos iniciales
multiplicado por el seno del ángulo que
forman dichos vectores.
PRODUCTO VECTORIAL
DIRECCIÓN: perpendicular al
plano que forman los dos
vectores originales.
MÓDULO:
SENTIDO: se puede calcular
mediante la regla del
sacacorchos.
𝑢 × 𝑣 = 𝑢 · 𝑣 · sin 𝜃
PRODUCTO VECTORIAL
𝑢 =
𝑢𝑥𝑢𝑦𝑢𝑧
𝑦 𝑣 =
𝑣𝑥𝑣𝑦𝑣𝑧
𝑢 × 𝑣 =𝑖 𝑗 𝑘𝑢𝑥 𝑢𝑦 𝑢𝑧𝑣𝑥 𝑣𝑦 𝑣𝑧
=
−𝑢𝑦 · 𝑣𝑥 · 𝑘 − 𝑢𝑧 · 𝑣𝑦 · 𝑖 − 𝑢𝑥 · 𝑣𝑧 · 𝑗
𝑢 × 𝑣 =
𝑢𝑦 · 𝑣𝑧 − 𝑢𝑧 · 𝑣𝑦𝑢𝑧 · 𝑣𝑥 − 𝑢𝑥 · 𝑣𝑧𝑢𝑥 · 𝑣𝑦 − 𝑢𝑦 · 𝑣𝑥
NOTA: 𝑣 × 𝑢 = − 𝑢 × 𝑣
𝑢𝑦 · 𝑣𝑧 · 𝑖 + 𝑢𝑥 · 𝑣𝑦 · 𝑘 + 𝑢𝑧 · 𝑣𝑥 · 𝑗 −
DERIVADA
DE UN
VECTOR
𝑑𝑟
𝑑𝑡= lim
∆𝑡→0
Δ𝑟
Δ𝑡 𝑟1; 𝑟2 = 𝑓 𝑡
𝑡1 ⇒ 𝑟1 = 𝑟𝑥1𝑖 + 𝑟𝑦1𝑘 + 𝑟𝑧1𝑘
𝑡2 ⇒ 𝑟2 = 𝑟𝑥2𝑖 + 𝑟𝑦2𝑘 + 𝑟𝑧2𝑘
∆𝑟 = 𝑟2 − 𝑟1 = 𝑟𝑥2 − 𝑟𝑥1 𝑖 + 𝑟𝑦2 − 𝑟𝑦1 𝑗 + 𝑟𝑧2 − 𝑟𝑧1 𝑘
∆𝑡 = 𝑡2 − 𝑡1
DERIVADA DE UN VECTOR
∆𝑟
∆𝑡=
𝑟𝑥2 − 𝑟𝑥1𝑡2 − 𝑡1
𝑖 +𝑟𝑦2 − 𝑟𝑦1𝑡2 − 𝑡1
𝑗 +𝑟𝑧2 − 𝑟𝑧1𝑡2 − 𝑡1
𝑘
=∆𝑟𝑥∆𝑡
𝑖 +∆𝑟𝑦
∆𝑡𝑗 +
∆𝑟𝑧∆𝑡
𝑘
lim∆𝑡→0
Δ𝑟
Δ𝑡= lim
∆𝑡→0
∆𝑟𝑥∆𝑡
𝑖 + lim∆𝑡→0
∆𝑟𝑦
∆𝑡𝑗 + lim
∆𝑡→0
∆𝑟𝑧∆𝑡
𝑘
𝑑𝑟
𝑑𝑡=𝑑𝑟𝑥𝑑𝑡
𝑖 +𝑑𝑟𝑦
𝑑𝑡𝑗 +
𝑑𝑟𝑧𝑑𝑡
𝑘
Este resultado es importantísimo ya que nos muestra
que, para derivar un vector podemos derivar componente
a componente.
EJEMPLO
𝑟 = 4𝑡2𝑖 − 7𝑡𝑗 + 3𝑘 𝑟 = 𝑓 𝑡
𝑣 = 𝑟 ′ =𝑑𝑟
𝑑𝑡= 8𝑡𝑖 − 7𝑗
Y ya si nos ponemos… 𝑎 = 8𝑖
Velocidad: 𝑣 =𝑑𝑟
𝑑𝑡
Aceleración: 𝑎 =𝑑𝑣
𝑑𝑡=
𝑑2𝑟
𝑑𝑡2