0 ordresdemagnitud. an`alisidimensional. vectors · 0ordresdemagnitud. an`alisidimensional. vectors...

0 Ordres de magnitud. Analisi dimensional. Vectors 1

0 Ordres de magnitud. Analisi dimensional. Vectors

0.1 Nombres grans i petits 1

Per tractar amb nombres molt grans o molt petits, la notacio cientıfica es sovint mes clara i senzilla que la normal.Recordem que 10n representa un 1 seguit de n zeros. Aixı, 105 es 100000 i 1012 un bilio. 10−n vol dir 1 dividit per10n, aixı per exemple, 10−3 es 1 dividit entre 1000, es a dir, 0.001, una mil.lesima.

Es clar que perque aquesta notacio sigui realment util, cal tenir presents alguns exemples que ens permetin d’establircomparacions rapidament. Xifres com deu mil, un milio o un bilio 2 son relativament frequents. Saber, per exemple,que un milio de segons nomes equival a uns onze dies i mig, mentre que perque passin mil milions de segons cal esperaruns 32 anys, ens permet de formar-nos una idea mes clara de la magnitud relativa d’aquests nombres. Cal habituar-se al fet que els nombres de cinc o sis xifres son quantitats grans i que els de tres representen valors intuıtivamentcomprensibles. Amb tres zeros en tenim prou per comptar el nombre d’estudiants d’un centre universitari; quatrezeros ens donen idea de la poblacio de Vilanova i la Geltru; necessitem sis zeros per representar el nombre d’habitantsd’una gran ciutat.

Per fer-se una idea de la magnitud dels nombres grans es util construir-se una petita col.leccio d’exemples com l’anteriorper cada potencia de 10. I com mes personal sigui, millor. Tambe resulta util practicar fent estimacions de qualsevolquantitat. Quantes paraules hem pronunciat al llarg de la nostra vida? Quantes gotes d’aigua caben a la banyera decasa nostra? Quantes voltes donen les rodes d’un cotxe en el trajecte Barcelona-Tarragona? Quant es desgasten elspneumatics de les rodes en aquest trajecte? Quants arbres cal talar per produir l’edicio dominical d’un diari com ElPaıs?

Per respondre questions com aquestes n’hi ha prou de calcular, encara que sigui d’una forma aproximada (pero fenthipotesis raonables), el valor de la potencia de 10 corresponent. Es a dir, l’ordre de magnitud. Aixı, direm que l’ordrede magnitud del nombre de gotes d’aigua d’una banyera plena es de 106:

mida gota ' 0.5 cm⇒ volum gota = 4/3πr3 = 0.52 cm3 ' 1 cm3

mida banyera ' cub d’1m d’aresta ⇒ volum banyera ' 1m3

Per tant el nombre de gotes es igual a 1m3/1 cm3 = 106. Una regla que cal tenir present: una estimacio acceptablehauria de trobar-se dins d’un marge del 10% de la resposta correcta. Amb un o dos ordres de magnitud per sobre oper sota del valor real podem donar-nos per satisfets.

V L’ordinador mes potent que es pot concebre no podra ser mes gran que l’univers conegut, no podra estarformat per components mes petits que un proto i no podra transmetre informacio mes rapidament que la llum.Amb aquestes limitacions, de quants components elementals estara format aquest super-computador?Solucio: ∼ 10123 components.

1 En aquest capıtol, tot el que fa referencia a ordres de magnitud i analisi dimensional esta extret del llibre Fısica i Ciencia

Ficcio dels autors Jordi Jose i Manuel Moreno d’edicions UPC2 Un bilio america es 109. La diferencia amb el bilio (1012) constitueix una font d’errades en les traduccions de texts. Un

error comu es el de sobreestimar l’edat de l’univers (15 bilions en comptes dels 15000 milions d’anys).

2 Apunts de Fısica

V Quant de temps es trigaria a fer desapareixer una muntanya com l’Everest transportant-la en camions? Suposeuque cada 15 minuts arriba un camio, es carregat instantaniament i se’n va sense interrompre el seguent.Solucio: ∼ 104 anys.

Es poden establir comparacions aproximades. Suposant que un esser huma te una forma esferica de diametre ' 1m:

• la mida d’un virus es a una persona com la d’aquesta es a la de la Terra• un atom es a un home com aquest es a l’orbita de la Terra al voltant del Sol• un proto es a una persona com una persona a la distancia a l’estel mes proper, l’Alfa del Centaure

0.2 Escales

L’estructura del mon fısic es manifesta en una gran varietat d’escales: des de les partıcules elementals fins al conjuntde l’univers, passant per les galaxies, els estels, els planetes, els essers vius, les cel.lules i els atoms. Aquesta disparitatde mides fa que ens sigui difıcil acostumar-nos als petits lapses de temps i les insignificants distancies del microcosmos,i tambe als exorbitants nombres dels fenomens astronomics.

Sistema Mida (m) Caracterıstica estructural Massa ( kg)

Partıcules nuclears 10−15 Unio de quarks 10−27

Nucli 10−14 Unio de partıcules nuclears 10−25

Atom 10−10 Nucli i atoms 10−25

Molecula biologica 10−7 Unio d’atoms 10−20

Cel.lula 10−5 Ordre complex 10−10

Forma de vida avancada 1 Organitzacio intel.ligent 102

Ciutat 104 Ordre social 1011

Muntanya, asteroide 104 − 105 Irregular 1012 − 1013

Planeta 107 Predomini gravitatori 1024

Estrella 109 Reaccions nuclears 1030

Sistema planetari 1011 Estel i planetes 1030

Cumul estel.lar 1018 Lligam gravitatori 1035

Galaxia 1021 Nucli i bracos espirals 1041

Cumul de galaxies 1023 L’estructura mes gran coneguda 1043

Univers 1026 Uniformitat (?) 1053

Taula 1 Els nivells principals de la jerarquia estructural de l’univers.

Interval Temps ( s)

Perıode de la radiacio de la llum visible 10−15

Perıode de semidesintegracio d’un muo 10−6

Perıode del so mes alt audible 10−4

Contraccio mes rapida d’un muscul (parpelleig) 10−1

Batec del cor huma 1

Perıode de la rotacio de la Terra (un dia) 105

Perıode de la translacio de la Terra (un any) 107

Vida mitjana de l’home 109

Vida mes llarga d’un esser viu (arbust: drago; certs pins) 1010

Aparicio del primer homınid 1014

Aparicio dels primers animals i plantes 1015

Perıode de semidesintegracio del 239Pu 1015

Edat de la Terra 1017

Edat de l’univers 1018

Taula 2 Ordres de magnitud d’alguns intervals de temps.

A pesar que cada estructura requereix per a la seva descripcio una branca diferent de la teoria fısica, la major partd’aquestes estructures venen determinades, en ordre de magnitud, per unes poques constants fısiques.


Nom Valorcarrega de l’electro, qe 1.6× 10−19 Cmassa de l’electro, me 9.1× 10−31 kgvelocitat de la llum, c 3× 108 m/sconstant gravitatoria, G 6.7× 10−11 Nm2/ kg2

constant de Planck, h 6.6× 10−34 J s

Taula 3 Algunes constants fonamentals

V Combinant de forma adient la constant de Planck, h, amb la velocitat de la llum, c, i la constant de lagravitacio universal, G, i fent el mateix amb la constant de Hubble, H (H ' 10−18s−1), establiu els lımitsde l’escala de longituds i de temps.Solucio: longitud de Planck lP = Gh/c3 ∼ 10−35 m; temps de Planck tP = Gh/c5 ∼ 10−43 s; radi de l’universlH = cH−1 ∼ 1026 m; edat de l’univers tH = H−1 ∼ 1018 s.

0.2.1 Interaccions fonamentals

Tota pertorbacio que actua sobre un objecte modificant el seu estat actual de moviment s’interpreta com una forca (obe d’un camp). En termes cinematics, tota forca no equilibrada proporciona una acceleracio.Les forces es manifesten a la natura en forma o combinacio de quatre interaccions basiques: gravitatoria, electro-magnetica, nuclear forta i nuclear debil.

Interaccio Intensitat relativa Entorn on es manifestaNuclear forta 1 Nucli atomicElectromagnetica 10−3 Escorca atomicaNuclear debil 10−5 Desintegracio βGravitatoria 10−38 Objectes massius

Taula 4 Quadre d’interaccions basiques

0.3 Analisi dimensional

Sota el nom d’analisi dimensional s’engloba una serie de tecniques que tracten les relacions matematiques entreles dimensions de les magnituds fısiques. Te com a proposit la substitucio de les magnituds fısiques per conjuntsde grups adimensionals i es fonamenta en l’exigencia d’igualtat dimensional entre els dos membres de tota equaciofısica. L’analisi dimensional constitueix una eina molt util per descriure situacions fısiques complexes per a les qualsno es disposa d’una formulacio adient o, si aquesta existeix, es massa complicada per permetre’ns obtenir solucionsanalıtiques del problema en questio. Entre les aplicacions destaquem:

a) la conversio d’unitats d’un sistema a d’altres (factors de conversio),b) la comprovacio de formules,c) l’establiment de la dependencia funcional entre magnituds fısiques,d) la reduccio del nombre de variables que intervenen en un problema complex (nombres adimensionals),e) l’establiment dels principis que governen el disseny de models (teoria de models).

El proces de mesurament d’una magnitud fısica consisteix a trobar experimentalment la relacio entre la magnituddonada i la unitat de mesura corresponent (per exemple, quan diem que la longitud d’una vareta es de 10m, volemexpressar que la seva longitud es deu vegades mes gran que la unitat de longitud anomenada metre). Les unitats demesura es poden escollir arbitrariament pero, per conveni, se n’agafen unes poques (unitats fonamentals), de maneraque les unitats de qualsevol magnitud es poden expressar com a combinacio lineal d’aquestes. Anomenem, doncs,magnituds fonamentals aquelles magnituds la unitat de mesura de les quals s’admet com a fonamental. En el cas dela mecanica n’hi ha prou amb tres magnituds fonamentals: longitud, massa i temps.

4 Apunts de Fısica

Magnitud fonamental Formula dimensional Unitatlongitud L metre, mmassa M quilogram, kgtemps T segon, scorrent electric I amper, Atemperatura θ kelvin, Kintensitat lluminosa J candela, cdquantitat de substancia N mol

Taula 5 Sistema Internacional d’Unitats (S. I.).

Anomenem formula o equacio dimensional d’una magnitud fısica, A, el monomi format pel producte dels sımbolsque representen les magnituds fonamentals elevats a una determinada potencia. En el cas de magnituds mecaniques:

[A] = LpM qT r

i diem que la magnitud A es de dimensio p, q i r respecte de les magnituds longitud, massa i temps. Per exemple,l’equacio dimensional de la velocitat v es:

[v] = LT−1

En el Sistema Internacional d’Unitats la velocitat es mesura en ms−1. Una magnitud fısica, A, es adimensional sip = q = r = 0. L’equacio dimensional corresponent s’escriu com:

[A] = 1

Aixı, els angles son magnituds adimensionals, [α] = 1, perque representen un quocient entre longituds (arc / radi).Si el valor numeric d’una magnitud C es igual al producte, al quocient o a la potencia dels valors numerics de lesmagnituds A i B, llavors la dimensio de C es igual al producte, al quocient o a la potencia de les dimensions d’A i deB:

C = A ·B ⇔ [C] = [A] · [B]

C =A

B⇔ [C] =

[A]

[B]

C = An ⇔ [C] = [A]n

Aixı, les dimensions de l’acceleracio son[a] = [v]/[t] = LT−2

i les dimensions de la forca venen donades per

[F ] = [m][a] =MLT−2

Tota formula o equacio matematica que expressi una relacio entre les magnituds que descriuen un fenomen fısic hade ser dimensionalment homogenia. Es a dir, les dimensions dels dos membres de la igualtat han de ser les mateixes.Aixo significa que l’equacio es valida sigui quin sigui el sistema d’unitats utilitzat per mesurar les magnituds que hiintervenen. Aixı es pot comprovar que l’equacio de la velocitat v de caiguda lliure d’un cos des d’una altura h, donadaper v =

√2gh, es dimensionalment homogenia. Efectivament les dimensions de cada membre son

[v] = LT−1 , [√

2gh] = (LT−2L)12 = LT−1

Les magnituds que apareixen com arguments de funcions no algebraiques (exponencials, trigonometriques,...) hande formar combinacions adimensionals. La dependencia temporal del corrent electric de descarrega I a traves d’unaresistencia R i d’un condensador de capacitat C carregat a una diferencia de potencial V , ve donada per:

I(t) =V

Re−t/RC

l’exponent t/RC no te dimensions: [t/RC] = 1 ⇔ [RC] = T . El producte RC te dimensions de temps (s’anomenaconstant de temps del circuit).


0.3.1 Un exemple: el perıode d’oscil.lacio d’un pendol simple

El fet que tota equacio fısica vertadera hagi de ser dimensionalment correcta ens permet saber la forma que had’adoptar quan es coneixen totes les magnituds implicades. Un exemple senzill es la determinacio de la formula a queobeeix el perıode d’oscil.lacio d’un pendol simple.

En primer lloc fem una llista de les magnituds que creiem que hi intervenen. Per un costat tenim aquelles quecaracteritzen el nostre sistema: la longitud del pendol, l, la massa, m, el perıode d’oscil.lacio, t i l’amplitud angularα. Per un altre, la forca impulsora, el pes, relacionat amb l’acceleracio de la gravetat, g. Seguidament, trobem lesequacions dimensionals de cada magnitud:

[l] = L , [m] =M , [t] = T , [α] = 1 , [g] = LT−2

Volem trobar la dependencia del perıode t amb l, m, i g. Es a dir, volem esbrinar la forma de l’equacio:

t = f(l,m, α, g)

Com que l’equacio ha de ser dimensionalment homogenia, totes les magnituds que apareixen com argument de la funciof han de combinar-se per tal que la dimensio neta sigui com la de t, es a dir, temps, T . Podem procedir intuıtivamentdividint, per exemple, l entre g i aixı eliminar la dependencia en la dimensio longitud, L. Pero el quocient l/g tedimensions de T 2 i, per tant, hem de fer l’arrel quadrada d’aquesta relacio:

t = f

(√

l

g,m, α

)

D’altra banda, resulta impossible eliminar la massa m recorrent a una combinacio amb les altres magnituds, tal comhem fet amb la longitud. Podrıem pensar que la massa estava inclosa erroniament a la llista inicial de magnituds i,llavors, podrem prescindir d’ella. De manera que:

t = f

(√

l

g, α

)

Com que, a mes, l’angle es adimensional, sigui quina sigui la relacio funcional amb el factor√

l/g , que es qui ensproporciona la dimensio adequada T , podrem treure factor comu. Aixı:

t =

√

l

gφ(α)

Aixo es tot el que l’analisi dimensional ens permet fer. Caldra recorrer a l’experimentacio per determinar la formaexplıcita de la funcio φ. Observarem llavors que per valors de l’angle α petits (quan es valida l’aproximacio sinα ' α)la funcio φ(α) es aproximadament constant 3 i igual a 2π. Resultat correcte segons sabem d’aplicar les lleis de lamecanica a aquest sistema:

t = 2π

√

l

g

0.3.2 Proces a seguir

Un cop establert correctament el conjunt de magnituds fısiques relevants en un problema, l’us de l’analisi dimensionales redueix a establir la forma mes general de la dependencia entre les mateixes, compatible amb el requeriment de quetots els termes d’una equacio o formula fısica han de tenir les mateixes dimensions.

En aquells problemes on intervenen moltes magnituds fısiques el proces de recerca pot resultar molt mes laborios queen el cas de l’exemple del pendol. En aquests casos conve seguir un metode sistematic:

• llistar totes les magnituds fısiques que intervenen en el problema• escriure les seves equacions o formules dimensionals

3 Per a valors de l’angle α grans la forma d’aquesta funcio φ es mes complexa.

6 Apunts de Fısica

• expressar la magnitud que volem determinar en funcio de les demes, prenent, en general, una dependencia deltipus:

X = f(A,B, . . .) = cAa Bb . . .

essent una c una constant.• substituir a l’equacio anterior cada magnitud per la seva equacio dimensional

[X] = [c][A]a [B]b . . . = 1 [A]a [B]b . . .

• imposar la homogeneitat dimensional dels dos membres de l’equacio• resoldre el sistema d’equacions resultants pels exponents a, b, . . .• escriure l’equacio o formula amb els valors dels coeficients trobats.

V Deduıu l’equacio del perıode d’un pendol simple per analisi dimensional.

V Deduıu l’equacio de l’energia cinetica d’un objecte en moviment per analisi dimensional.

0.4 Vectors

Des del punt de vista matematic un vector es un element d’un espai vectorial i esta subjecte a les propietats algebraiquescorresponents. Des d’un punt de vista fısic sera un ens que verificara 3 propietats: modul, direccio i sentit. Aixı unamagnitud com la velocitat te determinades aquestes tres propietats: podem dir que un cotxe va a 80 km/h en ladireccio Vilanova – Barcelona i amb sentit cap a Barcelona.

Cal dir que hi ha altres magnituds fısiques vectorials com la forca que cal precisar a mes el punt d’aplicacio. Aixıtenim dues classes de vectors: lliures (velocitat) i fixes (forca). Encara que hi han mes tipus de vectors (lliscants,axials, etc) que no els tractarem.

Representacio matematicaPer realitzar operacions amb vectors podem utilitzar una representacio geometrica o una representacio analıtica.Les operacions “classiques” amb vectors es poden realitzar geometricament. Per poder realitzar les operacions deforma analıtica cal utilitzar una representacio de coordenades. Sigui un sistema de coordenades rectangular XY queanomenarem Σ i considerem la projeccio d’un vector ~v en dos vectors ~vx i ~vy situats damunt dels eixos (~v = ~vx+~vy).

y

x

~

~ı

α

β

vx

vy

Cadascun d’aquest vectors (~vx i vy) el podem expressar com el pro-ducte d’un numero (vx i vy) per un vector de modul unitat (~ı i ~), esa dir,

~v = vx~ı+ vy~ ≡(

vx, vy)

|Σ

on vx, vy son les components i els vectors ~ı, ~ constitueixen la basedel sistema de coordenades utilitzat.

El modul es la longitud del vector i ve donat per

v = |~v| =√

v2x + v2y

i la direccio del vector ve donada pels cosinus directors

x = v cosα , y = v cosβ

on es verifica la relacio trigonometricacos2 α+ cos2 β = 1


Un vector unitari es aquell que te per modul la unitat. Una manera d’obtenir un vector unitari en la mateixa direcciodel propi vector consisteix a dividir el vector pel seu modul, es a dir,

~u =~v

v, |~u| = 1

En general podem representar un vector en un sistema de coordenades tridimensional definit pels eixos x, y i z. Aixı,el vector s’expressara en tres components

~v = vx~ı+ vy~+ vz~k ≡(

vx, vy, vz)

|Σ

i els seus cosinus directorsx = v cosα , y = v cosβ , z = v cos γ

essent α, β i γ els angles que formen les components del vector amb cadascun dels tres eixos de coordenades.

V Donats dos punts del pla: P1 = (2, 2) i P2 = (−1,−2), trobeu el vector que te per origen el punt P2 i l’extremP1. Transformeu aquest vector en un altre que sigui unitari i que tingui la mateixa direccio.

0.5 Operacions amb vectors

Les operacions que podem realitzar amb els vectors poden ser de dos tipus: internes i externes. Quan el resultat del’operacio es un vector es tracta d’una operacio interna i en cas contrari parlem d’una operacio externa.

Suma (op. interna)La suma de dos vectors es realitza component a component, es a dir

~u+ ~v = (ux, uy) + (vx, vy) = (ux + vx, uy + vy)

Producte per escalar (op. interna)El producte per un escalar es realitza multiplicant l’escalar c per cadascuna de les components, es a dir

c · ~v = c · (ux, uy) = (cux, cuy)

Les operacions anteriors es poden realitzar geometricament: per sumar dos vectors s’utilitza la llei del paral.lelogram.La multiplicacio per escalar implica estirar o arronsar el vector segons el valor de c: si c es negatiu implica un canvide sentit.

Producte escalar (op. externa)El producte escalar de dos vectors dona lloc a un numero (escalar)

~u · ~v = |~u| · |~v| · cosα

essent α l’angle que formen els vectors ~u i ~v.

Podem expressar el producte anterior a partir de les components del vectors:

~u · ~v = (ux~ı+ uy~) · (vx~ı+ vy~) = uxvx~ı ·~ı+ uxvy~ı · ~+ uyvx~ ·~ı+ uyvy~ · ~ = uxvx + uyvy

ja que els productes escalars del vectors unitaris son:

~ı ·~ı = 1 · 1 · cos 0 = 1, ~ı · ~ = 1 · 1 · cos 90 = 0, . . .

8 Apunts de Fısica

Propietats

• (c · ~u) · ~v = ~u · (c · ~v) = c · (~u · ~v)• ~u · (~v + ~ω) = ~u · ~v + ~u · ~ω• ~u · ~v = ~v · ~u• ~u · ~u = |~u|2

V Quin angle α formen els vectors ~A = 2~ı− ~, ~B =~ı+ ~+ ~k ?.

SOLUCIO

Una de les aplicacions del producte escalar es coneixer l’angle que formen dos vectors. El producte escalar es potcalcular com

~A · ~B = AxBx +AyBy +AzBz = 2 · 1 + (−1) · 1 + 0 · 1 = 1 (1)

o tambe de la forma seguent:

~A · ~B = | ~A|| ~B| cosα =√

22 + (−1)2 + 02√12 + 12 + 12 =

√15 (2)

Aixı, de les expressions 1 i 2 obtenim

cosα =1√15

⇒ α = 75◦

V Trobeu un vector que sigui perpendicular al vector ~A = (3, 4)

SOLUCIO

Quan dos vectors son perpendiculars (formen un angle de π/2), el seu producte escalar es zero, es a dir,

~A ⊥ ~B ⇔ ~A · ~B = 0

Aixı, si suposem un vector ~B = (Bx, By) que sigui perpendicular al vector ~A es verificara

~A · ~B = (3, 4) · (Bx, By) = 3Bx + 4By = 0 ⇒ By =−3Bx

4

Podem escollir qualsevol parella de valors Bx,By que verifiquin l’expressio anterior. Aixı, si escollim Bx = 4, aleshores

By = −3, i el vector ~B quedara ~B = (4,−3).

V Demostreu que el producte escalar de dos vectors es pot fer multiplicant el modul del primer per la projecciodel segon sobre el primer

SOLUCIO

~u

~v

α

|~v| cosα

~u · ~v = (|~u|) · (|~v| · cosα )


V En un triangle de costats a, b i c, demostreu el teorema del cosinus: c2 = a2 + b2 − 2ab cosα

SOLUCIO

~a ~b

~c

γ

π − γ~a+~b = ~c

(~a+~b)2 = (~c )2

a2 + 2~a ·~b+ b2 = c2

~a ·~b = a · b · cos(π − γ) = −a · b · cosγ

Producte vectorial (op. interna)El producte vectorial de dos vectors dona com a resultat un nou vector perpendicular al pla definit per aquells. Siutilitzem una representacio tridimensional, el resultat de l’operacio queda definida com

~u

~v

~u× ~v

α

• Modul : |~u| · |~v| · sinα• Direccio : Perpendicular al pla format per ~u i ~v.• Sentit : Regla del “cargol”.

L’expressio analıtica ve donada pel determinant seguent:

~u× ~v =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

~ı ~ ~kux uy uzvx vy vz

∣

∣

∣

∣

∣

∣

que es pot calcular a partir de determinants mes petits, es a dir,

~u× ~v =~ı

∣

∣

∣

∣

uy uzvy vz

∣

∣

∣

∣

− ~∣

∣

∣

∣

ux uzvx vz

∣

∣

∣

∣

+ ~k

∣

∣

∣

∣

ux uyvx vy

∣

∣

∣

∣

i cadascun d’aquest es troba fent:

~u× ~v =~ı (uyvz − vyuz)− ~ (uxvz − vxuz) + ~k (uxvy − vxuy)

Propietats

• (c · ~u)× ~v = ~u× (c · ~v) = c · (~u× ~v)• ~u× (~v + ~ω) = ~u× ~v + ~u× ~ω• ~u× ~v = −~v × ~u• ~u× ~u = 0

10 Apunts de Fısica

V Trobeu un vector que sigui paral.lel al vector ~A = (−6, 8)

SOLUCIO

Quan dos vectors son paral.lels (formen un angle de 0), el seu producte vectorial, es a dir,

~A ‖ ~B ⇔ ~A× ~B = 0

Per fer el producte vectorial dels dos vectors treballarem en tres dimensions, es a dir,

~A× ~B =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

~ı ~ ~k−6 8 0Bx By 0

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= ~k(−6By − 8Bx) = 0

Podem escollir qualsevol parella de valors Bx,By que verifiquin l’expressio anterior. Aixı, si escollim Bx = 3, aleshores

By = −4, i, per tant, ~B = (3,−4).

V En un triangle de costats a, b i c, demostreu el teorema del cosinus:a

sinα=

b

sinβ=

c

sin γ

SOLUCIO

~a ~b

~c

αβγ

α

π − γ~a+~b = ~c ⇒ ~a× (~a+~b) = ~a× ~c ⇒ ~a×~b = ~a× ~c| ~a×~b |=| ~a× ~c | ⇒ a · b · sin(π − γ) = a · c · sinβ

a · b · sin γ = a · c · sinβ ⇒ b sin γ = c sinβ

0.6 Derivacio i integracio de vectors

El calcul de la derivada o integral d’un vector es realitza operant sobre cadascuna de les seves components. Si tenimel vector ~v = (vx, vy, vz) podem posar

• Derivada:d~v

dt=

d

dt(vx, vy, vz) =

(

dvxdt

,dvydt

,dvzdt

)

• Integral:

∫

~vdt =

∫

(vx, vy, vz)dt =

(∫

vx dt,

∫

vy dt,

∫

vz dt

)

V Trobeu la derivada del vector velocitat ~v = (3t, 4, 2t2 + 1) a l’instant t = 2.

SOLUCIO

d~v

dt

∣

∣

∣

t=2= (3, 0, 4t)

∣

∣

∣

t=2= (3, 0, 8)

NOTA: No es pot trobar el valor de ~v(2) = (6, 4, 5) i despres derivar ja que sempre donara zero.


V Trobeu la integral definida del vector anterior des de t = 0 fins a t = 2

SOLUCIO

∫ 2

0

~v dt =

(∫ 2

0

vx dt,

∫ 2

0

vy dt,

∫ 2

0

vz dt

)

podem integrar la component x, es a dir,

∫ 2

0

3t dt = 3t2

2

]2

0= 3

(

16

2− 0

)

= 24

Tambe podem fer la integral indefinida,∫

3t dt = 3t2

2+ C

i la determinacio de la constant la fem a partir d’una condicio inicial.

0.7 Exemples

V Un vector ~A de modul 10 te els seus cosinus directors proporcionals a 3,−4. Trobeu el vector ~A.

SOLUCIO

Sigui el vector ~A de components (Ax, Ay). Sabent que el seu modul val 12 podem posar:

Ax2 +Ay

2 = 102 (1)

Les components d’un vector es poden expressar en funcio dels seus cosinus directors i del seu modul com:

Ax = 10 cosα, Ay = 10 cosβ

Com els cosinus son proporcionals a dos numeros tenim:

cosα

3=

cosβ

−4⇒

Ax

3=

Ay

−4(2)

Aixı, a partir de les expressions 1 i 2 tenim dues equacions amb dues incognites que ens permeten trobar lescomponents, es a dir,

Ax = 6, Ay = −8


V Determineu un vector unitari que sigui perpendicular al pla definit pels seguents vectors:~A = (2, 2, 4), ~B = (3,−3, 0).

SOLUCIO

El producte vectorial de dos vectors dona com a resultat a un vector perpendicular al pla definit per aquells:

~C = ~A× ~B =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

~ı ~ ~k2 2 43 −3 0

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= 12 · (1, 1,−1)

Ara nomes hem de convertir el vector ~C en unitari:

~u =~C

|~C|=

1√3(1, 1,−1)

V Quan ha de valer c per tal que els vectors ~A = (2,−1, 1) , ~B = (1, 2,−3) , ~C = (3, c, 5) estiguin enun mateix pla?.

SOLUCIO

Si fem el producte vectorial de ~A i ~B obtindrem un vector ~D que sera perpendicular al pla format per ells:

~D = ~A× ~B =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

~ı ~ ~k2 −1 11 2 −3

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= (1, 7, 5)

Com que ~C ha d’estar en el mateix pla haura d’esser perpendicular a ~D i per tant el producte escalar de ~C i ~D serazero:

~C · ~D = 0 ⇒ (3, c, 5) · (1, 7, 5) = 0 ⇒ c = −4


0.8 Alguns conceptes basics de mecanica

0.8.1 Vector posicio

El moviment d’una partıcula respecte d’un sistema d’eixos XY , ve representat per un vector que ens dona la posiciod’aquella en cada instant. Aquest vector s’anomena vector posicio i s’expressa en funcio de les seves components

~r(t) = x(t)~ı+ y(t)~

Les funcions x(t) i y(t) s’anomenen equacions del moviment. A mesura que varia el parametre t l’extrem d’el vectorposicio descriu una corba que s’anomena la trajectoria de la partıcula.

Vector desplacamentConsiderem el vector posicio en dos instants del moviment t i t+∆t. Si fem la diferencia obtenim el vector desplacament,es a dir,

∆~r = ~r(t+∆t)− ~r(t)

0.8.2 Vector velocitat

Supossem conegut el vector posicio de la partıcula ~r (t). Es defineix el vector velocitat mitja com el quocient entre elvector desplacament ∆~r i l’interval de temps ∆t, es a dir:

~vm =∆~r

∆t

Quan prenem el lımit per ∆t→ 0 en l’equacio de la velocitat mitja obtenim la velocitat en un sol punt: l’anomenemvelocitat instantania o simplement vector velocitat. L’expressio d’aquest vector en les seves components cartesianes es

~v = lim∆t→0

∆~r

∆t=

d~r

dt=

dx

dt~ı+

dy

dt~ = x

d~ı

dt+ y

d~

dt= vx~ı+ vy~

El vector velocitat es sempre tangent a la trajectoria de la partıcula.

0.8.3 Vector acceleracio

La definicio del vector acceleracio es formalment igual a la del vector velocitat canviant la variable r per la variable v,es a dir l’acceleracio mitja es la variacio del vector velocitat respecte al temps

~am =∆~v

∆t

L’acceleracio instantania es defineix com

~a =d~v

dt

L’expressio en components cartesianes es la seguent:

~a = lim∆t→0

∆~v

∆t=

d~v

dt=

dvx

dt~ı+

dvy

dt~ = ax~ı+ ay~

Components intrınseques de l’acceleracioEn general tot vector es pot descomposar en dues4 components rectangulars, es a dir,

~a = ~ax + ~ay = ax~ı+ ay~

Aquesta descomposicio no es unica i podem descompondre el vector acceleracio en una component que sigui tangenta la trajectoria i en una component normal (perpendicular) a la mateixa. La component normal tambe s’anomenacentrıpeta. Aixı l’expressio de l’acceleracio vindra donada per

~a = ~at + ~an = at~ut + an~un

4 En el cas de dues dimensions


essent ~ut i ~un dos vectors unitaris en les direccions tangent i perpendicular. El moviment circular uniforme es unexemple en el qual l’acceleracio en cada punt es perpendicular a la trajectoria. En aquest cas el modul de l’acceleraciocentrıpeta ve donat per

an =v2

R

essent v el modul de la velocitat i R el radi de la circumferencia. En general, el vector ~a no es ni tangent ni perpendiculara la trajectoria.

0.8.4 Calcul de ~a(t) a partir de ~r(t)

Si coneixem el vector posicio de la partıcula podem calcular la velocitat i l’acceleracio. Per aixo nomes cal derivarel vector posicio per obtenir el vector velocitat i a continuacio tornar a derivar per obtenir el vector acceleracio. Elcalcul es realitza per a cada component, aixı, per la component x tenim

Posicio: x(t)

Derivacio:

vx(t) =dx(t)

dt−−−−−−−−−→

y

Velocitat: vx(t)

Derivacio:

ax(t) =dvx(t)

dt−−−−−−−−−→

y

Acceleracio: ax(t)

i igualment per la component y(t) podem trobar la velocitat vy(t) i l’acceleracio ay(t).

0.8.5 Calcul de ~r(t) a partir de ~a(t)

Aquest calcul es realitza de forma inversa a l’anterior, es a dir, en lloc de derivar cal integrar. Per poder determinaramb exactitud les integrals cal coneixer les condicions inicials del problema: la posicio i la velocitat en un instantdeterminat.

Acceleracioax(t)

Integracio:

vx(t) =

∫

ax(t) dt+ C1−−−−−−−−−→

y

←−−−−−−−−− Condicio inicialvx(t0)

Velocitatvx(t)

Integracio:

x(t) =

∫

vx(t) dt+ C2−−−−−−−−−→

y

←−−−−−−−−− Condicio inicialx(t0)

Posicio x(t)


V L’acceleracio d’una partıcula ve donada per la funcio ax(t) = 2t i la seva velocitat val 3m/s quan han passat2 s des de que ha comencat el moviment. Trobeu la velocitat en funcio del temps

SOLUCIOConsiderem que tenim la component x de l’acceleracio que val ax(t) = 2t i que la velocitat per t = 2 s val vx = 3m/s,es a dir, tenim les seguents dades:

ax(t) = 2t, v(2) = 3

A partir d’aqui apliquem l’algorisme d’integracio

vx(t) =

∫

2t dt+ C1

vx(t) = t2 + C1

Una vegada tenim l’expressio de vx(t) cal trobar la constant C1 a partir de la condicio inicial, es a dir

vx(2) = 3 → 3 = 22 + C1 → C1 = −1

V Un electro que te una velocitat inicial vx0 = 1.0 · 104 m/s entra en una regio on es accelerat electricament.Surt a l’altre costat amb una velocitat vx = 4.0 · 105 m/s. Si la regio d’acceleracio es de 1 cm, quina esl’acceleracio, suposada constant?.

SOLUCIO

Considerem el moviment en la direccio x:

a(t) = av(0) = v0x(0) = x0

Calcul equacions−−−−−−−−−−−−−−−−→ v(t) = v0 + atx(t) = x0 + v0t+ at2/2

En el nostre cas x0 = 0 i v0 = 1.0× 104 i per tant

v(t) = 104 + at, x(t) = 104t+ at2/2

En un cert instant t la velocitat 4× 105 i la posicio val 0.01. Tenim doncs el sistema de dues equacions seguent:

4× 105 = 104 + at

0.01 = 104t+1

2at2

que dona lloc a a = 7.995× 1012 m/s2.

0.8.6 Lleis de Newton

• Tots els cossos conserven el seu estat de repos o de moviment rectilini uniforme en absencia de forces externes.• Equacio fonamental de la dinamica: la resultant de totes las forces que actuen sobre una partıcula, li comunicauna acceleracio en la mateixa direccio i el mateix sentit, de forma tal que la forca neta aplicada es igual alproducte de la massa de la partıcula per l’acceleracio adquirida:

∑

~Fi = m · ~a

• Principi d’accio i reaccio: Si un cos exerceix una forca (accio) sobre un altre, aquest exercira sobre el primeruna nova forca (anomenada reaccio), del mateix modul i la mateixa direccio pero de sentit contrari.


0.8.7 Forces a la natura

Totes les forces presents a la natura es poden explicar a partir de les interaccions fonamentals que tenen lloc entrepartıcules elementals.

• Interaccio gravitatoria. Dos cossos de massam1 im2 interactuan amb una forca donada per la Llei de Gravitacio:

~F12 = Gm1m2

r2~ur essent ~ur =

~r

r

• Interaccio electromagnetica. Aquesta interaccio incluo la interaccio electrica i la magnetica. Dues partıcules decarregues q1 i q2 interactuan amb una forca donada per la Llei de Coulomb:

~F12 = kq1q2

r2~ur

• Interaccio nuclear forta. Te lloc entre partıcules elementals anomenades hadrons (entre elles tenim els protons ineutrons) i es la responsable de mantenir l’estabilitat del nucli: compensa la repulsio electrostatica dels protonsdel nucli atomic. Aquesta interaccio te curt abast, decreix rapidament amb la distancia entre les partıcules.• Interaccio nuclear feble: es de curt abast i responsable de la desintegracio β (per exemple, la desintegracio d’unneutro en un proto)

0.8.8 Quantitat de moviment

El moment lineal o quantitat de moviment d’una partıcula de massa m que es desplaca amb una velocitat ~v es defineixcom la magnitud ~p = m~v, de manera que l’equacio fonamental de la dinamica pot expressar-se en funcio de ~p:

~F =d~p

dt

Si la forca externa neta que actua sobre un sistema es nul.la, el moment lineal total del sistema es conserva. Quan esprodueix un xoc entre dues partıcules o be una desintegracio es conserva la quantitat de moviment: el moment linealabans del xoc es igual al moment lineal despres del xoc,

~pi = ~pf ⇒ m1~vi1 +m2~vi2 = m1~vf1 +m2~vf2

on els subındex i i f indiquen les velocitats abans i despres del xoc.

0.8.9 Moment d’una forca

El moment d’una forca ~F respecte d’un punt O, ve definit per

~Mo = ~r × ~F

on ~r es el vector posicio del punt d’aplicacio de ~F .

0.8.10 Treball d’una forca

Es defineix el treball fet per una forca F sobre una partıcula quan es mou d’una posicio ~r1 fins a una posicio ~r2 comla integral

W12(~F ) =

∫ 2

1

~F · d~r, on d~r = (dx, dy, dz)

0.8.11 Energia cinetica

Es defineix l’energia cinetica d’una partıcula de massa m que porta una velocitat v l’escalar

Ec =1

2mv2


0.8.12 Teorema del treball i l’energia cinetica

El treball realitzar per la forca resultant (~FR) sobre una partıcula per anar d’una posicio 1 fins a una posicio 2 esigual a la variacio d’energia cinetica, es a dir,

W12(~FR) = ∆Ec = Ec2 − Ec1

0.8.13 Forces conservatives

En general el treball realitzat per una forca pot dependre del camı seguit. Quan aquest treball no depen del camıdiem que la forca es conservativa.

0.8.14 Energia potencial

Per a tota forca conservativa (~F ) podem associar-li una funcio de punt anomenada energia potencial que es defineixcom

∆Ep = Ep2 − Ep1 =

∫ 2

1

−~F · d~r = −W12(~F )

Es important assenyalar que no es pot parlar de l’energia potencial en un punt de forma absoluta: hem de parlar dela diferencia d’energia potencial

0.8.15 Teorema de conservacio de l’energia

La forca resultant que actua sobre la partıcula es pot descomposar en un terme conservatiu que tindra associada unaenergia potencial i un terme no conservatiu. Aleshores, a partir del teorema del treball i l’energia cinetica, podemposar

∆Ec +∆Ep =W12(~Fno cons.)

El treball de les forces no conservatives sempre es negatiu.


0.9 Apendix: expressions matematiques tıpiques

0.9.1 Derivacio

Sigui la funcio y = f(x) i considerem la recta secant que passa pels punts P i Q. Podem formar el quocient ∆y/∆x(que ens dona el pendent d’aquesta recta) i fer el lımit quan ∆x→ 0 obtenint:

P

Q

α

∆x

∆y

y = f(x)Recta tangent

Recta secant

y′ = lim∆x→0

∆y

∆x=

dy

dx= tgα

on no s’ha de confondre la derivada (y′) amb el diferencial (dy).

Propietats

Siguin u(x), v(x) funcions de la variable x i suposem que xes a la vegada funcio de la variable t, aleshores tenim:

• d

dx(c · u) = c · du

dx→ d(c · u) = c · du

• d(u+ v) = du+ dv.

• d(u · v) = du · v + u · dv

• d( u

v

)

=( du · v − u · dv

v2

)

• du

dt=

du

dx

dx

dt

Regles

y dy y′

c 0 0

xn n · xn−1 · dx n · xn−1

eax a · eax · dx a · eax

lnx dx/x 1/x

sinx cosx · dx cosx

cosx − sinx · dx − sinx

0.9.2 Integracio

Es l’operacio inversa de la derivacio. Vegem-ho:

dF (x)

dx= f(x) ⇒ F (x) =

∫

f(x)dx+ C

essent C es una constant. Diem que la funcio F (x) es la integral indefinida de la funcio f(x). Si avaluem la integralentre dos punts parlarem d’integral definida, es a dir,

∫ b

a

f(x)dx = F (b)− F (a)

Propietats

Si u(x), v(x) son funcions de la variable x, tenim

•∫

dx = x

•∫

cudx = c

∫

udx

•∫

(u+ v)dx =

∫

udx+

∫

vdx

•∫

udv = uv −∫

vdu

Regles

•∫

undu =un+1

n+ 1, per n 6= −1

•∫

du

u= lnu

•∫

eaudu =1

aeau

•∫

sinu du = − cosu

•∫

cosu du = sinu


0.9.3 Superfıcies i volums

Figura Sup. lateral Sup. total Volum

Esfera de radi r — 4πr24

3πr3

Cilindre de radi r i altura h 2πrh — πr2h

Con de radi r i altura h πr√r2 + h2 —

1

3πr2h

0.9.4 Equacio de la recta que passa per dos punts

L’equacio general d’una recta te la forma y = ax + b. Per exemple, si volem que pasi pels punts (3, 0) i (−2, 5)imposarem que verifiquin l’equacio, es a dir,

{

0 = a · 3 + b

5 = a · (−2) + b⇒ a = −1, b = 3 ⇒ y = −x+ 3

0.9.5 Funcions exponencials i logarıtmiques

Tenim tres operacions relacionades segons: n√A = B ⇔ B n = A ⇔ logB A = n

Si B = e ' 2.718 . . . posem logeN ≡ lnN .

n√am = a

mn

n√a · b = n

√a n√b

an · am = an+m

a0 = 1, a 6= 0

an/am = an−m

a−n = 1/an

(an)m = an·m

(a · b)n = an · am

logb(N ·M) = logb(N) + logb(M)

logb(N/M) = logb(N)− logb(M)

logb(Np) = p · logb(N)

lnN = n −→ en = N

0.9.6 Relacions trigonometriques

Taula d’angles

−θ π/2− θ π/2 + θ π − θ π + θ

sin -sinθ +cosθ +cosθ +sinθ -sinθ

cos +cosθ +sinθ -sinθ -cosθ -cosθ

Addicio d’angles

sin(A±B) = sinA cosB ± cosA sinB

cos(A±B) = cosA cosB ∓ sinA sinB

sin(2A) = 2 sinA cosA

cos(2A) = cos2A− sin2A

sin2(A/2) = (1− cosA)/2

cos2(A/2) = (1 + cosA)/2

Sumes → Productes

sinA± sinB = 2 sinA±B

2cos

A∓B2

cosA+ cosB = 2 cosA+B

2cos

A−B2

cosA− cosB = −2 sin A+B

2sin

A−B2

Productes → Sumes

sinA sinB =1

2[cos(A−B)− cos(A+B)]

cosA cosB =1

2[cos(A−B) + cos(A+B)]

sinA cosB =1

2[sin(A−B) + sin(A+B)]

0 ordresdemagnitud. an`alisidimensional. vectors · 0ordresdemagnitud. an`alisidimensional. vectors...

Documents