Πάνω σε µια επίπεδη µεταλλική επιφάνεια, που θεωρείται τέλειος αγωγός, προσπίπτει µονοχρωµατικό Η/Μ κύµα του οποίου η διεύθυνση διαδόσεως είναι κάθετη στην επιφάνεια. i) Να δείξετε ότι το ηλεκτρικό πεδίο του ανακλώµενου στην επιφά νεια κύµατος παρουσιάζει αύξηση φάσεως κατά π σε σχέση µε το ηλεκτρικό πεδίο του προσπίπτοντος κύµατος, ενώ η φάση του µαγνητικού πεδίου παραµένει αναλλοίωτη κατά την ανάκλαση. ii) Εάν Ε0, Τ είναι το πλάτος και η περίοδος αντιστοίχως του ηλεκ τρικού πεδίου στο προσπίπτον Η/Μ κύµα, να γράψετε τις εξισώ σεις διαδόσεως των πεδίων

�

! E και

�

! B στο προσπίπτον και το ανακ

λώµενο κύµα, λαµβάνοντας ως θετική φορά την κατεύθυνση του ανακλώµενου κύµατος και ως αρχή µέτρησης των αποστάσεων το σηµείο τοµής Ο της µεταλλικής επιφάνειας µε τον άξονα διαδόσεως του κύµατος. iii) Nά δείξετε ότι µπροστά από την µεταλλική επιφάνεια σχηµατί ζεται στάσιµο Η/Μ κύµα, στο οποίο οι δεσµοί του ηλεκτρικού πεδί ου είναι κοιλίες του µαγνητικού πεδίου. Να σχεδιάσετε τα δύο ακραία στιγµιότυπα του στασίµου αυτού κύµατος. iv) Eάν κατά µήκος της διεύθυνσης διαδόσεως του κύµατος µετα κινείται µικρή µεταλλική σπείρα, της οποίας η ακτίνα r είναι πολύ µικρή σε σχέση µε το µήκος κύµατος του στάσιµου Η/Μ κύµατος, µε το επίπεδό της συνεχώς κάθετο στην διεύθυνση του πεδίου

�

! B ,

να δείξετε ότι στην σπείρα κυκλοφορεί ηλεκτρικό ρεύµα, το οποίο παρουσιάζει τοπική και χρονική περιοδικότητα στασίµου κύµατος. Να σχεδιάσετε τα δύο ακραία στιγµιότυπα του “κύµατος αυτού”. Δίνεται η ταχύτητα διαδόσεως C του φωτός στο κενό και η ηλεκτρι κή αντίσταση R της σπείρας. ΛΥΣΗ: i) Εξετάζουµε το Η/Μ κύµα από ένα αδρανειακό σύστηµα αναφοράς Οxyz, του οποίου ο άξονας Οx ταυτίζεται µε την διεύθυνση διαδόσεως του κύµατος, ενώ το επίπεδο xy συµπίπτει µε το επίπεδο ταλάντωσης του ηλεκ τρικού πεδίου

!

E του κύµατος, οπότε κατ' ανάγκη το επίπεδο xz θα αποτελεί το επίπεδο ταλάντωσης του µαγνητικού του πεδίου

�

! B (σχ. 1). Επειδή η

ένταση του ηλεκτρικού πεδίου σ' ένα οποιοδήποτε σηµείο της εξωτερικής επιφάνειας µεταλλικού αγωγού οφείλει να µην έχει συνιστώσα παράλ ληλη προς την επιφάνεια (αν υπάρχει ένταση αυτή πρέπει να είναι

κάθετη προς την επιφάνεια) αυτό σηµαίνει ότι η ένταση του ηλεκτρι κού πεδίου στο ανακλώµενο κύµα και στα σηµεία της επιφάνειας είναι αντίθετη της έντασης στο προσπίπτον κύµα, ώστε η ολική ένταση του ηλεκ τρικού πεδίου στα σηµεία της επιφάνειας να είναι µηδενική *. Aν εποµένως

�

! E

! είναι η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου στο σηµείο O της µεταλλικής

επιφάνειας, που αντιστοιχεί στο προσπίπτον κύµα και

�

! E

! η αντίστοιχη

ένταση στο ανακλώµενο κύµα, θα ισχύει η σχέση:

�

! E

!= -

! E

" (1)

Aς δούµε όµως ποια µεταβολή παθαίνει η ένταση του µαγνητικού πεδίου κατά την ανάκλαση του κύµατος. Eάν

�

! B

!,

�

! B

! είναι οι εντάσεις του µαγνη

τικού πεδίου στο Ο που αντιστοιχούν στο προσπίπτον και στο ανακλώµενο κύµα και

�

! S

!,

�

! S ! τα µοναδιαία διανύσµατα της κατεύθυνσης διαδόσεως του

Σχήµα 1

προσπίπτοντος και του ανακλωµένου κύµατος αντιστοίχως, τότε πρέπει οι διατεταγµένες τριάδες διανυσµάτων (

�

! E

!,

�

! B

!,

�

! S

!) και (

�

! E

!,

�

! B

!

�

! S !) να αποτε

λουν δεξιόστροφα συστήµατα. Για την πρώτη τριάδα αυτό συµβαίνει, διότι το εγγυάται η διάδοση του προσπίπτοντος Η/Μ κύµατος. Για να συµβαίνει όµως και για την δεύτερη τριάδα πρέπει οι εντάσεις

�

! B

!,

�

! B

! να είναι οµόρ

ροπες και ίσου µέτρου, αφού η ανάκλαση είναι τέλεια, δηλαδή χωρίς απώ λεια ενέργειας µαγνητικού πεδίου. Έτσι θα ισχύει η σχέση;

�

! B

!=

! B

" (2)

Οι σχέσεις (1) και (2) δηλώνουν ότι: Κατά την ανάκλαση Η/Μ κύµατος σε τέλεια αγώγιµη επιφάνεια το ηλεκτρικό του πεδίο υφίσταται αύξηση φάσεως κατά π, ενώ η φά ση του µαγνητικού πεδίου παραµένει αναλλοίωτη. ------------------------------------ * Η ένταση

�

! E στα σηµεία της µεταλλικής επιφάνειας αποκλείεται να

είναι διάφορη του µηδενός, διότι τότε θα ήταν κάθετη στην επιφάνεια, γεγονός που το απαγορεύει τόσο η κατεύθυνση διαδόσεως του προσπίπ τοντος όσο και κατεύθυνση διαδόσεως του ανακλώµενου κύµατος.

ii) Aν λάβουµε ως θετική φορά του άξονα x την κατεύθυνση διαδόσεως του ανακλώµενου κύµατος και ως αρχή O το σηµείο τοµής του άξονα x µε την µεταλλική επιφάνεια, τότε η εξίσωση διαδόσεως του ηλεκτρικού πεδίου του προσπίπτοντος κύµατος θα έχει την µορφή:

�

E!= E0"µ2!

t

T+

x

"#

$ %

&

' ( (3)

όπου λ το µήκος κύµατος του Η.Μ κύµατος, ίσο µε CT. H αντίστοιχη εξίσωση διαδόσεως του ανακλώµενου κύµατος θα είναι της µορφής:

�

E! = E0!µ2"tT

-2"x#

+ "$

% &

'

( ) = -E0!µ2"

t

T-x

#$

% &

'

( ) (4)

Eξάλλου oι εξισώσεις διαδόσεως του µαγνητικού πεδίου του προσπίπτοντος και του ανακλώµενου κύµατος, θα έχουν την µορφή:

�

B! = -E0

C!µ2!

t

T+

x

"#

$ %

&

' ( και

�

B! = -E0

C!µ2"

t

T-x

#$

% &

'

( )

όπου το (-) πρόκύπτει από το γεγονός ότι στην θέση x=0 τα Επ , Βπ είναι κάθε στιγµή ετερόσηµα, ένω τα Εα, Βα οµόσηµα (σχ. 1). iii) Σύµφωνα µε την αρχή της επαλληλίας, το αποτέλεσµα που προκύπτει για το ηλεκτρικό πεδίο, εκ της συµβολής του προσπίπτοντος και του ανακ λώµενου κύµατος, θα περιγράφεται από την σχέση:

�

E = E!+ E

"= E0 #µ2!

t

T+

x

"#

$ %

&

' ( -#µ2!

t

T-x

"#

$ %

&

' (

)

*

+

,

-

. !

�

E = 2E0!µ2!x"

#

$ %

&

' ( )*+

2!tT

#

$ %

&

' ( (5)

Εφαρµόζοντας την αρχή της επαλληλίας για το πεδίο

�

! B έχουµε:

�

B = B!+ B

"= -

E0

C#µ2!

t

T+

x

"#

$ %

&

' ( +#µ2!

t

T-x

"#

$ %

&

' (

)

*

+

,

-

. !

�

B = -2E0

C!"#

2$x%

&

' (

)

* + !µ

2$tT

&

' (

)

* + (6)

Oι σχέσεις (5) και (6) περιγράφουν ένα στάσιµο ηλεκτροµαγνητικό κύµα, δηλαδή µια κατάσταση όπου το ηλεκτρικό και µαγνητικό πεδίο δεν διαδίδον ται, αλλά απλώς ταλαντώνονται µε περίοδο Τ και µε πλάτος που µεταβάλ λεται µε την απόσταση x εκ της µεταλικής επιφάνειας. Συγκεκριµένα στα σηµεία για τα οποία ισχύει:

�

2!x/" = k! ! x = 2k(λ/4) µε k = 0, 1, 2, ...

η ένταση !

E είναι διαρκώς µηδενική, ενώ η ένταση !

B λαµβάνει µέγιστο µέτ ρο 2E0/C, δηλαδή στα σηµεία αυτά υπάρχουν δεσµοί ηλεκτρικού πεδίου και κοιλίες µαγνητικού πεδίου. Στα σηµεία για τα οποία ισχύει:

�

2!x/" = k! + !/2 ! x = (2k+1)λ/4 µε k = 0, 1, 2, ... η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου λαµβάνει µέγιστο µέτρο 2E0 , ενώ η ένταση του µαγνητικού πεδίου είναι διαρκώς µηδενική, δηλαδή στα σηµεία αυτά υπάρχουν κοιλίες του ηλεκτρικού πεδίου και δεσµοί του µαγνητικού πεδί ου. Στα σχήµατα (2) και (3) φαίνονται τα ακραία στιγµιότυπα του ηλεκτρι κού και του µαγνητικού πεδίου αντιστοίχως στο στάσιµο Η/Μ κύµα.

Σχήµα 2 Σχήµα 3 iv) Όταν η µεταλλική σπείρα βρίσκεται στην τυχαία θέση x, µέσα από την επιφάνειά της διέρχεται µαγνητική ροή Φ, που κάθε στιγµή δίνεται από την σχέση:

�

! = "r2B

�

!

(6)

�

! = -2"r2E0

C#$%

2"x&

'

( )

*

+ , !µ

2"tT

'

( )

*

+ , (7)

Παρατηρούµε από την (7) ότι η µαγνητική ροή Φ µεταβάλλεται χρονικά, οπότε σύµφωνα µε τον νόµο της επαγωγής του Faraday αναπτύσσεται κατά µήκος της σπείρας επαγωγική ηλεκτρεγερτική δύναµη, που καθορίζεται από την σχέση:

�

E!"= -

d#

dt

�

!

(7)

�

E!" = -d

dt-2"r2E0

C#$%

2"x&

'

( )

*

+ , !µ

2"tT

'

( )

*

+ ,

-

.

/

0

1

2 !

�

E!" =2"r2

E0

C#$%

2"x&

'

( )

*

+ ,

2"T

#$%2"tT

'

( )

*

+ , !

�

E!" =4" 2

r2E

0

#$%&

2"x#

'

( )

*

+ , $%&

2"tT

'

( )

*

+ , (8)

Επειδή η σπείρα αποτελεί κλειστό κύκλωµα, η

�

E!"

δηµιουργεί σ’ αυτήν ρεύµα επαγωγικό που δίνεται από τον νόµο του Οhm, δηλαδή από την σχέ ση:

�

I!"=

E!"

R

�

!

(8)

�

I!" =4" 2

r2E

0

#R$%&

2"x#

'

( )

*

+ , $%&

2"tT

'

( )

*

+ , (9)

Aπό την (9) συµπεραίνουµε ότι το επαγωγικο ρεύµα στην µεταλλική

Σχήµα 4

σπείρα παρουσιάζει τοπική και χρονική περιοδικότητα, όµοια µε εκείνη του στάσιµου κύµατος. Στο σχήµα (4) φαίνονται τα ακραία στιγµιότυπα του “κύµατος” αυτού.

P.M. fysikos

Μια γυάλινη πλάκα πάχους d παρεµβάλλεται µεταξύ µιας µονοχρωµατικής φωτεινής πηγής Φ και ενός παρατη ρητή Π, ώστε οι έδρες της να είναι κάθετες στην ευθεία ΦΠ. i) Nα δείξετε ότι η επίδρασή της πλάκας στο φωτεινό κύµα που φθάνει στον παρατηρητή είναι η προσθήκη µιας διαφοράς φάσεως που ικανοποιεί την σχέση:

�

!" = -2#d

$ 0

(n - 1)

όπου n ο δείκτης διαθλάσεως της πλάκας για την ακτινοβολία που εκπέµπει η πηγή και λ0 το µήκος κύµατος αυτής στον αέρα. ii) Εάν η εξίσωση της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου του ηλεκτρο µαγνητικού κύµατος που αντιστοιχεί στο φως της πηγής έχει στην θέση αυτής την µορφή Ε=Ε0ηµωt, όπου Ε0 είναι το πλάτος της έντα σης, να γραφεί η εξίσωση της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου του φωτεινού κύµατος στην θέση του παρατηρητή, θεωρώντας ως αρχή µέτρησης των αποστάσεων την πηγή. Να αµεληθεί η ακάκλαση και η απορρόφηση του φωτός από την γυάλινη πλάκα. iii) Eάν η διαφορά φάσεως Δφ είναι µικρή, είτε διότι το πάχος της πλάκας είναι πολύ µικρό είτε διότι ο δείκτης διαθλάσεως αυτής είναι πολύ µικρός, να δείξετε ότι το φωτεινό κύµα που φθάνει στον παρατηρητή µπορεί να θεωρηθεί πως προκύπτει από την συµ βολή του αρχικού κύµατος, πλάτους Ε0 όταν δεν υπάρχει η πλάκα και ενός κύµατος πλάτους 2πΕ0d(n-1)/λ0 που παρουσιάζει µετατό πιση φάσεως –π/2 ως προς το αρχικό. Δίνεται η απόσταση ΦΠ=L. ΛΥΣΗ: i) Η παρεµβολή της γυάλινης πλάκας µεταξύ της πηγής Φ και του παρατηρητή Π προκαλεί µια χρονική καθυστέρηση Δt στην διάδοση του ηλεκτροµαγνητικού κύµατος του φωτός, η οποία υπολογίζεται από την σχέ ση:

�

!t = t"# - t$%& =d

C-

d

C0

�

!

�

!t =d

C0/n-

d

C0

=nd

C0

-d

C0

=d

C0

(n - 1) (1)

όπου C0, C oι ταχύτητες διάδοσης του φωτός στο κενό και στην πλάκα αντι στοίχως. Επειδή κατά την διέλευση (διάθλαση) του φωτός δεν προκαλείται µεταβολή της φάσεως του ηλεκτρικού πεδίου για τις διαθλώµενες στις έδρες του ακτίνες, στην χρονική καθυστέρηση Δt αντιστοιχεί µια φασική καθυστέ ρηση Δφ, η οποία υπολογίζεται από την σχέση:

�

!t

T=!"

2#

�

!

�

!" =2#!t

T

�

!

(1)

�

!" =2#d

TC0

(n - 1) =2#d

$ 0

(n - 1) (2)

όπου Τ η περίοδος του µονοχρωµατικού φωτός της πηγής. ii) Αν αναφερθούµε στα σηµεία Μ της ευθείας ΦΠ που η θέση τους x ως προς την αρχή Φ ικανοποιεί την σχέση x>α+d, τοτε η εξίσωση που περιγ ράφει την διάδοση του ηλεκτρικού πεδίου στα σηµεία αυτά έχει την µορφή:

�

E = E0!µ 2"

t

T-

x

#0

-$%2"

&

' (

)

* +

�

!

(2)

�

E = E0!µ 2"t

T-

x

# 0

-d(n - 1)

# 0

$

% &

'

( ) (3)

µε t > α/C0 + nd/C0. Η σχέση αυτή εφαρµοζόµενη στην θέση του παρατηρητή (x=L) δίνει:

�

E = E0!µ 2"t

T-

L

# 0

-d(n - 1)

# 0

$

% &

'

( ) (4)

µε t > L/C0 + d(n-1)/C0. iii) Aς δεχθούµε ότι στον παρατηρητή Π φθάνουν δύο ηλεκτροµαγνητικά κύµατα µε πλάτη ηλεκτρικού πεδίου Ε0 και Ε’0 =2πΕ0d(n-1)/λ0, εκ των οποί

Σχήµα 5 ων το δεύτερο παρουσιάζει ως προς το πρώτο φασική καθυστέρηση π/2. Θεω

ρώντας τα στρεφόµενα διανύσµατα

�

!A1 και

�

!A2 της έντασης του ηλεκ τρικού πεδίου των δύο αυτών κυµάτων στην θέση του παρατηρητή κατά µια χρονική στιγµή t, µε t > L/C0 + d(n-1)/C0, έχουµε να παρατηρήσουµε ότι τα

διανύσµατα αυτά είναι µεταξύ τους κάθετα και προπορεύεται το στρεφό µενο διάνυσµα του πρώτου κύµατος, όπως φαίνεται στο σχήµα (5). Το µέτρο

της συνισταµένης

�

!A των δύο αυτών διανυσµάτων εκφράζει το πλάτος Εολ της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου του ηλεκτροµαγνητικού κύµατος, που προκύπτει εκ της συµβολής των δύο κυµάτων. Έτσι θα έχουµε την σχέση:

�

E!"

= |#A2 |2+ |#A2 |

2= E

0

2+ E'

0

2

�

!

�

E!" = E0

2+

2#E0d(n - 1)

" 0

$

% &

'

( )

2

�

!

�

E!"

= E0 1+4#

2d

2(n - 1)

2

" 0

2$ E0

(5)

διότι 4π2d2(n-1)2/λ0

2 <<1. Επίσης από το ίδιο σχήµα για την γωνία φ παίρνου µε την σχέση:

�

!"# =|$A2 |

|$A1 |=

E'0

E0

=2%d(n - 1)E0

& 0E0

=2%d(n - 1)

& 0

Eπειδή η ποσότητα d(n-1) θεωρήθηκε πολύ µικρή, µπορούµε να ταυτίσουµε την εφφ µε την ίδια την γωνία φ σε rad, οπότε η προηγούµενη σχέση γράφε ται:

�

! "2#d(n - 1)

$ 0

(6)

Άρα η εξίσωση που περιγράφει την ένταση του ηλεκτρικού πεδίου στην θέση του παρατηρητή έχει την µορφή:

�

E = E!"#µ2$t

T-

L

"0

-%2$

&

' (

)

* +

�

!

(5),(6)

�

E = E0!µ 2"t

T-

L

# 0

-d(n - 1)

# 0

$

% &

'

( )

Δηλαδή επανευρίσκουµε την σχέση (4).

P.M. fysikos

Ένα γυάλινο πλακίδιο πάχους d, παρεµβάλλε ται κάθετα προς την διεύθυνση διαδόσεως ενός µονοχρωµατικού Η/Μ κύµατος περιόδου Τ. Το πλάτος της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου στο προσπίπτον κύµα είναι Ε0 και ο δείκτης διαθλάσεως του πλακιδίου για το θεωρούµενο Η/Μ κύµα είναι n, ενώ το πλακί

διο δεν απορροφά ενέργεια κατά την διέλευση του κύµατος µέσα από αυτό. i) Εάν ισχύει d=3C0T/n, όπου C0 η ταχύτητα διαδόσεως του κύµα τος στο κενό, να σχεδιάσετε ένα στιγµιότυπο του ηλεκτρικού πεδί ου στο προσπίπτον κύµα, στο ανακλώµενο κύµα, στο κύµα που διαδίδεται εντός του πλακιδίου και στο κύµα που εξέρχεται από το πλακίδιο, κατά µια χρονική στιγµή t που το Η/Μ κύµα έχει διαπε ράσει το πλακίδιο και η φάση του κύµατος στα σηµεία της έδρας προσπτώσεως είναι περιττό πολαπλάσιο του π. ii) Λαµβάνοντας ως αρχή µέτρησης των αποστάσεων πάνω στην διέυθυνση διαδόσεως το σηµείο Ο στο οποίο η διεύθυνση αυτή τέµ νει την έδρα προσπτώσεως και ως θετική φορά την κατεύθυνση διαδόσεως του προσπίπτοντος κύµατος, να γράψετε τις εξισώσεις διαδόσεως του ηλεκτρικού πεδίου για το προσπίπτον, το ανακλώ µενο, το διερχόµενο µέσα από το πλακίδιο και το εξερχόµενο από το πλακίδιο κύµα, θεωρώντας ως αρχή µέτρησης του χρόνου την στιγµή που το κύµα συναντά το πλακίδιο. Να δώσετε όλες τις απα ραίτητες εξηγήσεις για τα πλάτη των κυµάτων αυτών. ΛΥΣΗ: i) Επειδή η ταχύτητα διαδόσεως του Η/Μ κύµατος στον αέρα είναι µεγαλύτερη της ταχύτητας διαδόσεώς του στο πλακίδιο, συµβαίνει αύξηση της φάσεως του ηλεκτρικού πεδίου του ανακλώµενου κύµατος κατά π, σε σχέση µε την φάση του ηλεκτρικού πεδίου στο προσπίπτον κύµα, ενώ η φάση του αντίστοιχου πεδίου στο διαθλώµενο κύµα παραµένει αναλλοίωτη. Επίσης αναλλοίωτη παραµένει η φάση του ηλεκτρικού πεδίου την στιγµή που το κύµα εξέρχεται από το πλακίδιο προς τον αέρα. Εξάλλου όταν το Η/Μ κύµα διαδίδεται µέσα στο πλακίδιο το µήκος κύµατός του µεταβάλλε ται από την τιµή C0T στην τιµή C0T/n, δηλαδή το µήκος κύµατος µειώνεται. Λόγω της σχέσεως d=3C0T/n, το πάχος του πλακιδίου καλύπτει 3 πλήρεις εξελίξεις του κύµατος από την στιγµή της εισόδου του στο πλακίδιο, οπότε

Σχήµα 6 τα δεδοµένα του προβλήµατος εγγυώνται για το ζητούµενο στιγµιότυπο του Η/Μ κύµατος την εικόνα που φαίνεται στο σχήµα (6). ii) Αν λάβουµε ως αρχή µέτρησης των αποστάσεων στην διεύθυνση διαδόσε ως x’x του Η.Μ. κύµατος το σηµείο O στο οποίο η x’x τέµνει την έδρα

προσπτώσεως του πλακιδίου και ως θετική φορά την φορά διαδόσεως του προσπίπτοντος κύµατος, τότε η εξίσωση του ηλεκτρικού πεδίου στο προσπί πτον κύµα θα είναι:

�

E! = E0"µ 2!

t

T-

x

#0

$

% &

'

( )

�

!

�

E! = E0"µ 2!

t

T-

x

C0T

#

$ %

&

' ( (1)

µε x<0. Η αντίστοιχη εξίσωση στο ανακλώµενο κύµα θα είναι:

�

E! = " E 0#µ

2$tT

+2$xC

0T

+ $%

& '

(

) *

�

!

�

E! = - " E 0#µ 2$

t

T+

x

C0T

%

& '

(

) * (2)

µε x<0 και Ε0’<Ε0, διότι η ενέργεια που µεταφέρει το προσπίπτον ηλεκτρικό κύµα διαµοιράζεται στο ανακλώµενο και στο διαθλώµενο κύµα. Εξάλλου η εξίσωση του ηλεκτρικού πεδίου στο κύµα που διαδίδεται µέσα στο πλακίδιο έχει την µορφή:

�

E! = " " E 0 #µ 2$t

T-

x

(C0 /n)T

%

& '

(

) *

�

!

�

E! = " " E 0#µ 2$

t

T-

nx

C0T

%

& '

(

) * (3)

µε 0< x <d, t > nd/C0 και E’’0 < E0. Tέλος η εξίσωση του ηλεκτρικού πεδίου στο κύµα που έχει διαπεράσει το πλακίδιο είναι:

�

! E " = ! ! E 0#µ 2$

t - t1

T

%

& '

(

) * (4)

όπου t1 ο χρόνος διαδόσεως του κύµατος από το Ο στο σηµείο Μ µε συντε ταγµένη x > d και Ε0” < Ε0 . Όµως για τον χρόνο t1 ισχύει:

�

t1 =d

C0 /n+

x - d

C0

=d(n - 1)

C0

+x

C0

οπότε η (4) γράφεται:

�

! E " = ! ! E 0 #µ 2$t

T-

x

C0T-d(n - 1)

C0T

%

& '

(

) *

µε x > d και t > nd/C0.

P.M. fysikos

Ένα γυάλινο πλακίδιο µε παράλληλες έδρες πάχους d, περιβάλλεται από ατµοσφαιρκό αέρα. Όταν στην πάνω έδρα του προσπίπτει κάθετα µονοχρωµατικό φως µήκους κύµατος λ1, τότε η έδρα αυτή φαίνεται έντονα φωτεινή λόγω ενισχυτικής συµβολής των ανακλώµενων στην άνω και κάτω έδρα του πλακι δίου ακτίνων, ενώ όταν επί της έδρας αυτής προσπίπτει µονοχρω µατικό φως µήκους κύµατος λ2, η έδρα αυτή φαίνεται σκοτεινή

λόγω αποσβεστικής συµβολής των αντίστοιχων ακτίνων. Eάν για τις ακτινοβολίες που το µήκος κύµατός τους λ0 ικανοποιεί την σχέ ση λ2≤λ0≤λ1 δεν προκύπτει εξ’ ανακλάσεως αποσβεστική συµβολή στην πάνω έδρα του πλακιδίου, να βρεθεί ο δείκτης διαθλάσεως αυτού, θεωρούµενος ίδιος για τα µήκη κύµατος λ1 και λ2. ΛYΣH: Έστω ότι στο σηµείο M της πάνω έδρας του πλακιδίου προσπίπτει κάθετα η µονοχρωµατική ακτίνα (α), η οποια δίνει την ανακλώµενη ακτίνα (1) και την διαθλώµενη MN, η οποία όταν ανακλάται στην κάτω βάση του πλακιδίου εξέρχεται από την πάνω βάση ως ακτίνα (2) (σχ. 7). Επειδή η ανάκ

Σχήµα 7 λαση στην πάνω έδρα του πλακιδίου είναι ανάκλαση Η/Μ κύµατος που προέ ρχεται από οπτικώς αραιότερο µέσο προκαλείται κατά την ανάκλαση πήδηµα φάσεως κατα π, δηλαδή η φάση του ηλεκτρικού πεδίου στο ανακλώ µενο Η/Μ κύµα υπερβαίνει την αντίστοιχη φάση του στο προσπίπτον Η/Μ κύµα κατά γωνία π. Έτσι η διαφορά φάσεως µεταξύ των ακτίνων (1) και (α) είναι:

φ1 - φα = π (1) Όµως για την ανακλώµενη στην κάτω βάση του πλακιδίου ακτίνα (2) δεν προκύπτει πήδηµα φάσεως, διότι η ανάκλαση αυτή αφορά Η/Μ που προέρ χεται από οπτικώς πυκνότερο µέσο µε αποτέλεσµα η προσπίπτουσα και η ανακλώµενη ακτίνα να είναι τώρα συµφασικές. Έτσι η διαφορά φάσεως µετα ξύ των ακτίνων (2) και (α) οφείλεται µόνο στην διαδροµή 2d του κύµατος εντός του πλακιδίου και υπολογίζετα από την σχέση:

�

!2- !

"= 2#

2d

!=

4#d

!0/n

=4#dn

!0

(2)

όπου λ0, λ το µήκος κύµατος του µονοχρωµατικού φωτός στον αέρα και στο πλακίδιο αντιστοίχως. Aφαιρώντας κατά µέλη τις σχέσεις (1) και (2) έχουµε:

�

!2- !

1= 4"dn/# -" (3)

Eάν φ2 -φ1=2kπ, όπου k ακέραιος, συµβαίνει ενισχυτική συµβολή των ανακ λώµενων ακτίνων (1) και (2), οπότε θα έχουµε:

�

4!dn/!0-! = 2k! !

�

2dn = (k +1/2)! 0 (4)

µε k=0,1,2,... Eάν φ2-φ1=2kπ-π, όπου k ακέραιος, συµβαίνει αποσβεστική συµ βολή των ανακλώµενων ακτίνων (1) και (2), οπότε θα έχουµε:

�

4!dn/"0-!= 2k! - ! !

�

2dn = k!0 (5)

µε k=1,2,...Για λ0=λ1 έχει, σύµφωνα µε τα δεδοµένα του προβλήµατος, νόηµα η σχέση (4), ενώ για λ0=λ2 έχει νόηµα η (5), οπότε µπορούµε να γράψουµε τις σχέσεις:

�

2dn = (k1 +1/2)!1

2dn = k2!2

!

"

#

!

�

(k1 +1/2)!1 = k2!2 (6)

όπου k1, k2 καθορισµένοι ακέραιοι αριθµοί. Όµως, σύµφωνα µε το πρόβληµα, όταν το µήκος κύµατος αυξάνεται από λ2 σε λ1 δεν προκύπτει αποσβεστική συµβολή και αυτό επιβάλλει k1=k2–1, οπότε η σχέση (6) γράφεται:

�

(k2 - 1/2)!1 = k2!2

!

�

k2(!1 - !2) = !1/2 !

�

k2 = !1/2(!1 - !2) (7) H σχέση 2nd=k2λ2 µε βάση την (7) παίρνει την µορφή.

2dn =

!1!2

2(!1 - !2) !

n =!1!2

4d(!1 - !2) P.M. fysikos

Ένα γυάλινο πλακίδιο µε παράλληλες έδρες πάχους d=10m, βρίσκεται µέσα στον αέρα. H πάνω έδρα του πλακι δίου φωτίζεται υπό γωνία φ=π/3 µε σύνθετο φως, το οποίο περιλαµ βάνει µήκη κύµατος λ για τα οποία ισχύει: 4.10-7 m ≤ λ ≤ 6.10-7 m Eάν ο δείκτης διάθλασης του πλακιδίου για όλα τα µήκη κύµατος είναι n= 3 , να βρεθεί ποιά µήκη κύµατος λείπουν από το φάσµα που προκύπτει από την συµβολή των ανακλώµενων ακτίνων στις δύο έδρες του πλακιδίου. ΛYΣH: Eάν θ είναι η γωνία διαθλάσεως των ακτίνων που προσπίπτουν στην πάνω έδρα του πλακιδίου, θα ισχύει:

!µ" = n!µ# ! !µ" =

!µ#

n=!µ($/3)

3 !

!µ" =

3

2 3=

1

2 !

! ="

6 (1)

Έστω ότι η ακτίνα που προσπίπτει στο B συναντά την κάτω έδρα του πλακι δίου στο M και αφού ανακλασθεί µερικώς συναντά την πάνω έδρα στο ση µείο A (σχ. 8). Στο σηµείο αυτό συµβάλλουν οι ακτίνες (1) και (2), εκ των οποίων η (1) είναι η ανακλωµενη ακτίνα που αντιστοιχεί στην προσπίπτουσα ακτίνα (β), ενώ η (2) είναι η αναδυόµενη στο A ακτίνα. Για να συµβαίνει αποσβεστική συµβολή των δύο αυτών ακτίνων πρέπει η διαφορά φάσης τους Δφ να ικανοποιεί την σχέση: φ1 – φ2 = 2kπ+π (2)

Σχήµα 8 όπου k ακέραιος. Eάν φβ είναι η φάση της ακτίνας (α) και φ1 η φάση της ακτίνας (1), τότε λόγω της ανάκλασης στο A ισχύει: φ1 - φβ = π (3) Eξάλλου, εάν φα είναι η φάση της ακτίνας (α) και φ2 η φάση της ακτίνας (2) θα ισχύει:

�

!!

- !2 =2" (BM + MA)

#/n=

2"n2(BM)

#=

4"nd

# $%&' (4)

H διαφορά φάσεως φβ - φα µεταξύ των ακτίνων (α) και (β) οφείλεται στην διαφορά πορείας τους ΓA, οπότε θα ισχύει:

!" -!# =

2$(%A)

&=

2$(BA)'µ!

&=

�

=2!2d "#$%µ#

&=

4!d%µ$%µ#

&'()$=

4!dn%µ2$

&'()$ (5)

Προσθέτονταςντας κατά µέλη τις σχέσεις (3) και (4) έχουµε:

�

!!-!

2( ) + !1-!"( ) =

4#nd

$%&'(+#

!

�

!1-!

2( ) + !!-!"( ) =

4#nd

$%&'(+#

(5)

!

�

!1 -!2( ) +4"dn#µ2$

%&'($=

4"nd

%&'($+"

!

�

!1 -!2 =4"nd

#$%&'-4"dn(µ2'

#$%&'+"

!

�

!1 -!2 =4"nd

#$%&'1 -(µ2'( ) +"

!

�

!1-!

2=4"nd#$%&

'+"

(2)

!

�

4!nd"#$%

&+! = 2k! +! !

�

! =2nd"#$%

k=

2nd 3

2k=

nd 3

k (6)

Όµως δίνεται 4.10-7 m ≤ λ ≤ 6.10-7 m, η οποία µε βάση την (6) γράφεται:

�

4!10-7m "

dn 3

k" 6!10

-7m !

�

4!10-7"

10-5! 3 3

k" 6!10

-7 !

�

4!10-2"

3

k" 6!10

-2 !

�

k ! 75

k " 50

#

$

%

!

�

50 ! k ! 75 (7)

Θέτοντας στην σχέση (6) τις τιµές του k που καθορίζονται από την (7) υπο λογίζουµε τα µήκη κύµατος, που λείπουν από το φάσµα συµβολής των ανακ λώµενων ακτίνων στις έδρες του πλακιδίου.

P.M. fysikos