si o-00

o o

oC) o 0 00.

8

permanece ligado al núcleo de P el cual tiene una carga nuclear adicional de +e, luego se puededecir que la impureza de P se comporta como un pseudo-átomo de hidrógeno dentro del Si. Laatracción Coulombíana entre el electrón y la carga positiva del átomo hidrogenoide es muchomás débil que la obtenida para un átomo de hidrógeno en el vacío, ya que en el primer caso sepresenta un fuerte apantallamiento debido a los electrones de valencia y de la coraza del átomode P, así como al gran número de electrones de valencia del Si. Como consecuencia, el electrónde valencia extra está muy débilmente ligado a su átomo de P, cuando éste último está dentro delSi y por lo tanto, se puede ionizar muy fácilmente mediante una excitación térmica o eléctrica.Por esta razón, un átomo de P en Sí se conoce como donador y el electrón de valencia extra, elcual se puede transferir a la banda de conducción del Si se denomina electrón donador.

B. IMPUREZAS ACEPTORAS: Son átomos que se localizan, en la tabla periódica, a laizquierda del átomo original, verificándose que AZ = Zimpureza — Zoriginal < O. Un ejemplo deeste tipo de impurezas se obtiene cuando un átomo de Si se reemplaza por un átomo de boro (B),el cual tiene tres electrones de valencia, ver figura 1,1b. En este caso el átomo impureza estáobligado a aceptar electrones de los átomos de Si vecinos a fin de cumplir con sus necesidadeslocales de enlace químico. Como falta un electrón para cumplir con el número total de enlaces, sepuede imaginar como si B tuviera un hueco adicional muy débilmente ligado a su núcleo.Mientras un átomo donador se compara con un átomo hidrogenoide, el aceptor es análogo a unpositrón ligado a un muón cargado negativamente.

Figura 1.1b Átomo de Boro en una posición sustitucional en la red deSilicio. A baja temperatura el hueco h está ligado al núcleo de Boro enuna órbita que cubre varias distancias interatómicas

1.2 APROXIMACIÓN DE MASA EFECTIVA (AME)

El cálculo exacto de la interacción Coulombiana entre el electrón y el ión donador es muy dificil,pues depende de las interacciones de muchos cuerpos: electrones del átomo impureza y delcristal. Una manera simple de evitar este problema es asumir que la carga positiva del ióndonador está apantallada por la función dieléctrica c del cristal en el cual se encuentra laimpureza. En este caso la interacción Coulombiana se puede escribir como:

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U(19= —5-28P

La cual corresponde a la atracción entre un electrón y una carga puntual de valor e/e.

A pesar de que en los sistemas de baja dimensionalidad E representa una dependencia espacial,en lo que respecta a este trabajo y con el propósito de simplificar los cálculos se tomará E comoconstante. De lo anterior se deduce que el problema de un electrón en un cristal es máscomplicado que su análogo en el cristal ideal, ya que el electrón además de sentir el potencialcristalino está sometido a otros potenciales que no poseen ninguna periodicidad, haciendo que seaimposible de resolver la ecuación de Schródinger (1.2) de manera exacta.

{H° + U(?)}4P(F) =E IP(F) (1.2)

h2

Donde H =

V2 +V (r) es el Hamiltoniano del electrón en un cristal perfecto con potencial2m

periódico V (F) . El término U(r) es cualquier potencial pertubador que sienta el electrón, comoel dado por (1.1).

No obstante la dificultad planteada anteriormente, existe un método aproximado para resolvereste tipo de problemas conocido como: Aproximación de Masa Efectiva (AME)[33]. En general,existen dos enfoques para abordar la AME. Uno de ellos involucra el concepto de funciones deWannier y el otro utiliza únicamente funciones de Bloch, pero ambos enfoques producen elmismo resultado. En este caso se utiliza el primero.

La función de onda 'r(r) en (1.2) se puede expresar como una combinación lineal de unconjunto completo de funciones de Wannier,

LP(F) = f„ (R)a„ (f (1.3)nl

Las funciones de Wannier a„ (F-1¿,) son transformadas de Fourier de las funciones de Bloch

nk (7) ; es decir:

a „ (7 — N E exp(—i k./7?1 ) tijn (7) (1.4)

Donde R, es un vector de la red, k es el vector de onda, N el número de celdas unitarias del

cristal y n un índice de banda, las cuales se asumen no degeneradas.

Es posible transformar la ecuación (1.2) mediante un proceso matemático un poco largo yengorroso, que consiste en reemplazar (1.3) en (1.2), multiplicar por an* (r —R)e integrar sobre

todo el cristal, además de usar la transformada de Fourier para la energía:

En (k)= exp(i Tc .R1 ) o E„1= N—1 Z En (k)exp(—iii.r?,), con k = i V (1.5)

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y la solución para el electrón no perturbado: H° tifk,n = En(l)lik,n De esta manera se obtiene

el resultado:[E (k)frr (f) — Ef (f)

=R + ZU nn. (á i )fn (11 ) =

t. n, I

(1.6)

Donde Unn, (ÉI ,É , ) son los elementos matriciales del potencial perturbador entre funciones de

Wannier.

A pesar de que la ecuación anterior es muy importante, ya que la función envolvente fn (r) se

comporta como una onda, que puede viajar a través de todo el cristal y no definida ünicamente enalgún punto de la red, es posible hacer un mejor uso de ella si se hacen algunas aproximaciones:

Asumir que la perturbación no es suficientemente intensa, esto significa que no es posibleinducir transiciones ínter-bandas, luego se puede ignorar el elemento matricial Unn, para

non'

Suponer que el potencial perturbador varia muy poco en la distancia de una constante de la

red, es decir, que Unn, , .P , ) se puede despreciar cuando R, � a l, ; entonces en este caso se

puede hacer Unn, (A,A.)=w)1,,R,. A partir de las suposiciones A y B la ecuación de

movimiento (1.6) se hace igual a:

[E n (k) + U(T) jfn (f) =Eft, (r) (1.7)

La diferencia entre (1.7) y la ecuación inicial (1.2) radica en que ahora no es necesario incluirexplícitamente el Hamiltoniano H para describir el movimiento del electrón en el cristal. Esteoperador se reemplaza en la ecuación de movimiento por E n (k) .En el caso de materiales

semiconductores se ha encontrado que la energía en el fondo de la banda sigue siendo parabólica;h 2 k2

es decir, E,,(k)=

con m* masa efectiva del electrón y k=— i V . Esto significa que el efecto2 m*

del potencial cristalino es cambiar la masa del electrón en el vacío por una masa efectiva.

1.3 UNIDADES ATÓMICAS EFECTIVAS

Como se verá más adelante, en este trabajo se analizará el comportamiento de impurezashidrogenoides en presencia de campos magnéticos uniformes B paralelos al eje Z y asociados conbandas parabólicas, isotrópicas y no degeneradas.El Hamiltoniano (1.7) en la aproximación de masa efectiva tiene la forma:

1 e2H

e2=

2m*(P.--

c)2 --

er

1con — i h V y el potencial vectorial A=—

2 B x r , siendo r la posición del electrón.

(1.8)