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00 Sistemas Acoplados.doc 1
1. Sistemas Acoplados 1. SISTEMAS ACOPLADOS .....................................................................................1
1.1. SISTEMA ACOPLADO .................................................................................................2
1.2. MATRIZ DE GANANCIA RELATIVA ............................................................................6
1.3. DESACOPLAMIENTO ................................................................................................10
1.4. VERSIÓN GOODWIN.................................................................................................12
1.4.1. Matriz de Ganancia Relativa ..........................................................................15
1.4.2. Acoplamiento como Perturbación ..................................................................17
1.4.3. Control en Adelanto + Control Descentralizado. ..........................................20
1.5. BIBLIOGRAFÍA .........................................................................................................25
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1.1. Sistema Acoplado
( )1y s( )11H s
( )21H s
( )12H s
( )22H s
( )2m s
( )1dy s
( )2y s
( )2cG s( )2dy s
( )1cG s( )1m s
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 11 1 12 2
2 21 1 22 2
y s H s m s H s m s
y s H s m s H s m s
= +
= +
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1 1
2 2 2 2
c d
c d
m s G s y s y s
m s G s y s y s
= − = −
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Asumiendo un lazo abierto
( )2 0m s =
( )1y s( )11H s
( )21H s
( )12H s
( )22H s
( )1dy s
( )2y s
( )1cG s( )1m s
11 11 1
11 1
21 12 1
11 1
1
1
cd
c
cd
c
H Gy yH G
H Gy yH G
=+
=+
[1.1]
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Los dos lazos cerrados,
( )( )
1 11 1 11 1 1 12 2 2 12 2 2
2 22 2 21 1 1 21 1 1 22 2 2
1
1c c d c d c
c c d c c d
y H G H G y H G y H G y
y H G H G y H G y H G y
+ = + −
+ = − + [1.2]
1 11 1 12 2
2 21 1 22 2
d d
d d
y P y P yy P y P y= +
= + [1.3]
donde
( )
( )
( )( )
11 1 1 2 11 22 12 21 12 211 12
22 2 1 2 11 22 12 2121 121 11
11 1 22 2 12 21 1 21 1
c c c c
c c cc
c c c c
H G G G H H H H H GP PQ Q
H G G G H H H HH GP PQ Q
Q H G H G H H G G
+ −= =
+ −= =
= + + −
[1.4]
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Ejemplo de Matlab
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1.2. Matriz de Ganancia Relativa
( )2m t cte=
( )1y s( )11H s
( )21H s
( )12H s
( )22H s
( )2m s( )2y s
( )2cG s( )2dy s
( )1m s( )1y s( )11H s
( )21H s
( )12H s
( )22H s( )2y s
( )1m s
Ensayo 1: Escalón en 1m y ( )2m t cte= Se calcula la ganancia estática: 2
1
1 m
ym∆∆
Ensayo 2: Escalón en 1m con y ( )2y t cte= Se calcula 2
1
1 y
ym′∆
∆
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Ganancia relativa: 2
2
1 111
1 1
m
y
y m
y mλ
∆ ∆=
′∆ ∆
Propiedades: 1: 11 0λ = : 1m no tiene efecto sobre 1y . No se puede usar 1m para controlar 1y
2: 11 1λ = : 1m no tiene efecto sobre 2y . No hay interacción.
3: 110 1λ< < : Hay interacción. A menor 11λ , mayor interacción.
4: 11 0λ < : Hay interacción, pero inversa. Muy peligroso.
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Matriz de Ganancia Relativa:
11 12
21 22
λ λλ λ
Λ =
2
2
1 111
1 1
m
y
y m
y mλ
∆ ∆=
′∆ ∆ 1
2
1 212
1 2
m
y
y m
y mλ
∆ ∆=
′∆ ∆ 2
1
2 121
2 1
m
y
y m
y mλ
∆ ∆=
′∆ ∆ 1
1
2 222
2 2
m
y
y m
y mλ
∆ ∆=
′∆ ∆
Propiedades: 1: 11 12 21 22 11 21 12 22 1λ λ λ λ λ λ λ λ+ = + = + = + =
2: Solo se necesita conocer una de las cuatro.
3: 1 00 1
Λ =
. No hay acoplamiento y se controla 1 1 2 2m y m y→ →
4: 0 11 0
Λ =
. No hay acoplamiento y se controla 1 2 2 1m y m y→ →
5: 0,5 0,50,5 0,5
Λ =
. Hay acoplamiento pero es indistinto controla con una u otra
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6: 0,25 0,750,75 0,25
Λ =
. Recomendable controlar 1 2 2 1m y m y→ →
7: Caso 11 1λ > .
7.1 Si se controla 1 1 2 2m y m y→ → , implica 2 2
1 1 1 1m yy m y m′∆ ∆ > ∆ ∆ . Disminu-
ye el efecto de 1m sobre 1y , cuando se cierra el otro lazo. Hay que aumentar la ga-nancia. Problemas de control.
7.2 Si se controla 1 2 2 1m y m y→ → , implica 12 21, 0λ λ < . Acción de control in-versa.
- La Matriz de Ganancia Relativa es cuadrada. Si tenemos más entradas que
salidas o viceversa, debemos analizar todas las combinaciones posibles.
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1.3. Desacoplamiento
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 11 1 12 2
2 21 1 22 2
y s H s m s H s m s
y s H s m s H s m s
= +
= +
Haciendo
[ ]
( ) ( )
121 1 1 1 2
11
212 2 2 2 2
22
c d
c d
Hm G y y mH
Hm G y s y s mH
= − −
= − −
122
11
211
22
HDHHDH
= −
= −
00 Sistemas Acoplados.doc 11
( )1D s
( )2D s
( )1y s( )11H s
( )21H s
( )12H s
( )22H s
( )2m s
( )1dy s
( )2y s
( )2cG s( )2dy s
( )1cG s( )1m s
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1.4. Versión Goodwin Ejemplo 1.1. Planta Acoplada
0 011 12
0 0 021 22
G GG
G G
=
[1.5]
0 0 1211 122
0 02121 222 2
23 2 1
62 1 5 6
kG Gs s s
kG Gs s s s
= =+ + +
= =+ + + +
[1.6]
a- Punto de Operación 1: 12 21 0k k= = . No hay interacción.
Si queremos tener una respuesta en lazo cerrado:
01 2
94 9
Ts s
=+ +
01 1GCT
GC=
+
( )1TC
G T=
−
se puede despejar los controladores necesarios:
( )( )
2
1
4,5 3 24
s sC
s s+ +
=+
( )( )
2
2
1,5 5 64
s sC
s s+ +
=+
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b- Punto de Operación 2: 12 21 0,1k k= = . Funciona aceptablemente (ver simula-ción
c- Punto de Operación 4: 12 212, 1k k= − = − . Inestable.
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El diseño SISO es limitado. La relación entre referencia y salida, se puede escribir como
[ ] 11 10 0
2 2
Y RI G C G C
Y R−
= +
donde 0 011 12
0 0 021 22
G GG
G G
=
1
2
00C
CC
=
Si hacemos : 12 212, 1k k= − = −
[ ] ( )4 3 2 5 4 3 2
10 0 4 3 2 4 3 2
9 40,5 67,5 18 81 3 30 105 150 7214,5 31,5 63 36 9 40,5 67,5 18 81
s s s s s s s s sI G C G C
d s s s s s s s s s− + + − − − − − − −
+ = − − − − + + − − con
( ) 6 5 4 3 210 51 134,5 164,5 18 81d s s s s s s s= + + + + − −
que implica inestabilidad.
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1.4.1. Matriz de Ganancia Relativa
( ) ( ) 10 00 0ij ij ji
G Gλ−
=
donde
( )0 0ij
G es el elemento ij de la matriz de ganancia estática
( ) 10 0
jiG
− es el elemento ji de la inversa de la matriz de ganancia estática
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En el ejemplo,
122
021
2 2
23 2 1
62 1 5 6
ks s sG
ks s s s
+ + += + + + +
, ( )12
112 21 12 21121
021 21
12 21 12 21
11 11
01 1
1 1
kk k k kk
Gk k
k k k k
−
−
− − − = = − − −
12 21
12 21 12 21
12 21
12 21 12 21
11 1
11 1
k kk k k k
k kk k k k
− − − Λ =−
− −
a- Punto de Operación 1: 12 21 0k k= = . No hay interacción. 1 00 1
Λ =
b- Punto de Operación 2: 12 21 0,1k k= = .1,01 0,010,01 1,01
− Λ = −
c- Punto de Operación 3: 12 212, 1k k= − = − . Inestable.1 2
2 1−
Λ = −
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1.4.2. Acoplamiento como Perturbación Un sistema acoplado se puede interpretar como un sistema diagonal más incer-
tidumbres. Ejemplo 1.2. Continúa el ejemplo anterior,
122
021
2 2
23 2 1
62 1 5 6
ks s sG
ks s s s
+ + += + + + +
Si queremos tener una respuesta en lazo cerrado:
01 2
1 090 14 9
Ts s
= + +
se toma 2
0
2
2 03 2
605 6
s sG
s s
+ += + +
y se diseña con ese modelo
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Ejemplo 1.3. Otro ejemplo,
( )( )
( )( )
1 10 10,251 1 2
10 1 20,251 2 2
ss s s
Gs
s s s
+ + + + = + + + +
se toma 0
1 01
202
sG
s
+= +
la matriz de ganancia relativa es 1,0159 0,01590,0159 1,0159
− Λ = −
Parecería que habría que controlar 1-1 y 2-2
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Si queremos tener una respuesta en lazo cerrado:
01 2
1 090 14 9
Ts s
= + +
y se diseña con ese modelo, los controladores resultan
( )
( )( )
( )( )
9 10
4
9 20
2 4
ss s
C ss
s s
+ + = +
+
Pero con este esquema, los polos en lazo cerrado serán 6; 2,49 4,69; 0,23 1,36; 0,5j j− − ± ± −
Una posible solución es bajar considerablemente la ganancia de los controlado-res.
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1.4.3. Control en Adelanto + Control Descentralizado. Supongamos acoplamiento en un solo sentido. El efecto de 1m sobre 2y se podría pensar como una perturbación medible e in-
tentar corregirlo por medio de un control en adelanto.
( )1D s( )1y s
( )11H s
( )21H s
( )22H s
( )2m s
( )1dy s
( )2y s
( )2cG s( )2dy s
( )1cG s( )1m s
( )2u s
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 21 1 1 22m s H s m s D s H s= − ( ) ( )( )
211
22
H sD s H s= −
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una opción simple es
( )( )
211
22
00ff
HD k H= = −
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Ejemplo 1.4. Planta Acoplada con FF
2
0
2 2
2 13 2 1
0,5 62 1 5 6
s s sG
s s s s
− + + += + + + +
acoplamiento más fuerte desde 2 a 1
haciendo ( )( )
122
11
0 10ffHD k H= = − =
resulta
( ) ( )( )( )
( )( )( )
( )( )( )
1 1 10 0 0
1 1 1
1 10 1
m s m s m sY s G s G s G s
m s m s m s
′ ′ ′= = =
donde
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( )
( )( )
2 2
20
2 2 2
23 2 3 2
0,5 6,5 14,5 92 1 2 1 5 6
ss s s s
G s s ss s s s s s
− + + + + ′ = + + + + + + + +
en este caso 1 00 1
Λ =
Si se rediseña el controlador para, nuevamente, tener una respuesta en lazo cerrado:
01 2
1 090 14 9
Ts s
= + +
los controladores quedan:
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( ) ( ) ( )( )( )( )
2
2
2 2
2 2
3 24,5 04
9 2 1 5 61 04 6,5 14,5 9
s ss sTC s s s s sG T
s s s s
+ + + = = + + + +−
+ + +
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1.5. Bibliografía 1- Chemical Process Control. Stephanopoulos, George. Prentice-Hall – 1984.
Capítulo 24. 2- Control System Design. Goodwin, Graham, Salgado, Mario, Graebe, Stefan.
Prentice-Hall - 2000. Capítulo 21.
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