000013_sistemas con dos grados de libertad
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SISTEMAS CON DOS GRADOS DE LIBERTAD
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Coordenadas principales........................................................................................................... 87
Modo normal de vibración....................................................................................................... 87
Acoplamiento de coordenadas.................................................................................................. 98
Acoplamiento estático.............................................................................................................. 99
Acoplamiento dinámico........................................................................................................... 100
Acoplamiento estático – dinámico........................................................................................... 101
Ecuación de Lagrange.............................................................................................................. 102
Ecuación de Lagrange para una partícula................................................................................. 103
Cálculo de las fuerzas generalizadas........................................................................................ 106
Ecuación de Lagrange para un sistema de partículas............................................................... 107
Ecuación de Lagrange para cuerpos rígidos............................................................................. 109
Vibración armónica forzada..................................................................................................... 113
Absorbedor de vibraciones dinámicas...................................................................................... 115
Vibración libre amortiguada..................................................................................................... 118
Vibración forzada con amortiguamiento.................................................................................. 120
Se dice que un sistema tiene dos grados de libertad, cuando se requieren dos coordenadas para
describir su movimiento. Este sistema es la clave para el estudio de sistemas con varios grados
de libertad.
Si las masas “ ” y “ ” se restringen a moverse
verticalmente; se necesita por lo menos una coordenada “
” para definir la localización de cada una de las masas en un
instante cualquiera, así el sistema necesita en total dos
coordenadas para determinar su posición (Es de dos grados de
libertad).
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Si la masa “m” se restringe a moverse verticalmente, se necesitan
dos coordenadas para determinar el comportamiento del sistema.
Una de estas coordenadas es un desplazamiento rectilíneo y
la otra coordenada será un desplazamiento angular que tiene
que ver con la rotación de la masa.
Las dos coordenadas son independientes una de la otra.
Para el sistema de péndulo doble, es claro que se necesitan dos
coordenadas para especificar la posición de las masas “ ” y “
” en un instante cualquiera; por tanto el sistema es de dos
grados de libertad “ ” y “ ” con “ ”, “ ” o “ ” y “ ” son
los posibles pares de coordenadas.
Un sistema de dos grados de libertad tiene dos ecuaciones de movimiento, una para cada masa; es
decir, un sistema con dos grados de libertad tendrá dos frecuencias naturales.
Las frecuencias naturales se encuentran resolviendo “La ecuación de frecuencia” en un sistema
sin amortiguación o la “Ecuación característica” de un sistema amortiguado.
Cuando las masas de un sistema oscilan de tal forma que llegan simultáneamente a los
desplazamientos máximos y pasan por sus puntos de equilibrio también simultáneamente, o sea,
que todas las partes móviles del sistema están oscilando en fase con una frecuencia. Tal estado se
llama modo normal o modo principal de vibración.
Cuando la vibración libre tiene lugar a una de estas frecuencias naturales, existe una relación
definida entre las amplitudes de las dos coordenadas y la configuración correspondiente es un
modo normal.
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Coordenadas principales.
Es posible encontrar un par de coordenadas, tal que cada ecuación de movimiento contenga
únicamente una cantidad desconocida, entonces cada ecuación puede resolverse
independientemente una de la otra.
A este par particular de coordenadas se denomina coordenadas principales.
Los dos grados de libertad del sistema tendrán dos modos normales de vibración
correspondientes a las dos frecuencias naturales.
La vibración libre iniciada bajo cualquier condición será en general la superposición de los dos
modos normales de vibración.
Sin embargo, la vibración armónica forzada ocurriría a la frecuencia de excitación y la amplitud
de las dos coordenadas tenderá a un máximo a las dos frecuencias naturales.
Modo normal de vibración.
Considerando el sistema no amortiguado, usando las coordenadas “ ” y “ ”, medidas desde
una referencia inercial.
Las ecuaciones del movimiento son:
(1)
(2)
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Se define un modo normal de oscilación, como uno en el cual cada masa experimenta un
movimiento armónico de la misma frecuencia, pasando simultáneamente por la posición de
equilibrio.
Para tal movimiento se puede escribir:
(3)
(4)
Derivando (3) y (4)
; pero
; pero
Sustituyendo en (1) y (2)
En (1)
(5)
En (2)
(6)
Formando un sistema con (5) y (6)
Estas son ecuaciones lineales homogéneas y la solución A=B=0 define la condición de equilibrio.
La otra ecuación se obtiene igualando a cero el determinante.
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y se satisfacen, si el determinante siguiente es cero
Haciendo cambio de variable , el determinante cambia a:
Desarrollando:
Resolviendo:
Retornando a la variable inicial
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Sustituyendo cada una de estas frecuencias en las condiciones (5) y (6) permite hallar la razón de
las amplitudes.
Para
Para
1. El sistema libre masa resorte de dos grados de libertad, está restringido a tener oscilaciones
verticales únicamente. Determinar la ecuación de la frecuencia y las razones de amplitud del
sistema.
DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE
Planteando a cada cuerpo
Ordenando
(1)
(2)
Suponiendo que el sistema es periódico y se compone de movimientos armónicos de diferentes
amplitudes y frecuencias
(3)
(4)
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Donde A, B, son constantes arbitrarias y una de las frecuencias naturales del sistema
Derivando (3) y (4)
(5)
(6)
(5) y (6) en (1) y (2)
(7)
(8)
Formando un sistema con (7) y (8)
Es una ecuación lineal homogénea: La solución A=B=0; define la condición de equilibrio del
sistema.
La otra solución se obtiene igualando a cero el determinante.
sea
Desarrollando el sistema
Ordenando
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(9)
De esta ecuación saldrán dos frecuencias y
La razón de amplitudes o forma modal se obtiene de las ecuaciones (7) y(8)
Cualquier vibración libre puede considerarse como la superposición de sus modos normales; así
los dos desplazamientos pueden escribirse como:
Llamadas soluciones generales:
Se puede representar gráficamente los dos modos normales:
Para la función de forma del modo normal, se esa la siguiente notación:
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2. La figura muestra dos cilindros circulares idénticos de masa “m” y radio “r” unidos por medio
de un resorte “K”. Si los cilindros pueden rodar libremente sobre la superficie horizontal,
deduzca las ecuaciones de movimiento del sistema.
Pero
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3. Encuentre la ecuación de frecuencia del péndulo acoplado.
Para oscilaciones pequeñas
(1)
(2)
Sean:
En (1) y (2)
Como
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(3)
(4)
Desarrollando
4. En la figura, suponga que la tensión en el alambre permanece constante cuando los ángulos de
oscilación son pequeños. Deduzca las expresiones de las frecuencias naturales.
Pero
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Por tanto:
(1)
(2)
Sean: (3)
(3) en (1)
(4)
(3) en (2)
(5)
Diferencia de cuadrados
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5. La masa “m” suspendida dentro de un marco rígido por medio de cuatro resortes. Determine
las frecuencias naturales de vibración.
(1)
(2)
Sean: (3)
(3) en (1)
(3) en (2)
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Acoplamiento de coordenadas.
Las ecuaciones de movimiento para el sistema de dos grados de libertad, están generalmente
“Acopladas” en el sentido de que las dos coordenadas aparecen en cada ecuación.
En el caso más general, las dos ecuaciones tienen la forma:
Que en forma matricial:
Que inmediatamente revela el tipo de acoplamiento presente.
* Existe acoplamiento dinámico o de masa, si la matriz de masas es no diagonal
* Existe acoplamiento estático o de rigidez, si la matriz de rigidez es no diagonal.
- Dependiendo del sistema de coordenadas elegido, tanto el acoplamiento dinámico y estático
pueden estar presentes.
- También es posible encontrar un sistema de coordenadas con ninguna forma de acoplamiento.
Cada ecuación puede ser resuelta independientemente. Tales coordenadas son las
“Coordenadas principales” (Llamadas también coordenadas normales).
Aunque es posible siempre desacoplar las ecuaciones de movimiento para el sistema no
amortiguado, esto no siempre es posible en el sistema amortiguado.
La siguiente ecuación matricial muestra un sistema que no tiene acoplamiento estático ni dinámico, pero las coordenadas están acopladas por la matriz de amortiguamiento.
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Si se da que se dice que el amortiguamiento es proporcional (A la matriz de rigidez o de masa) y las ecuaciones del sistema se desacoplan.
Ejm. Una barra rígida está soportada por dos resortes y . La figura representa un sistema
de dos grados de libertad, puesto que se requieren dos coordenadas para describir su movimiento.
Acoplamiento estático:
El centro de masa no coincide con su centro geométrico
[La decisión de escoger las coordenadas, definirá el tipo de acoplamiento que tiene]
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Formando el sistema:
En forma matricial:
Por la teoría se dice que tiene un acoplamiento estático. Si el acoplamiento estático
desaparece.
Acoplamiento dinámico:
Existe algún punto C a lo largo de la barra en donde una fuerza aplicada normalmente produce
traslación pura; es decir:
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En forma matricial:
Pero como
En este caso, las coordenadas elegidas eliminan el acoplamiento estático e introducen el
dinámico.
Acoplamiento estático – dinámico:
Se obtiene al elegir “x” en el extremo de la barra.
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En forma matricial:
Ecuación de Lagrange.
Son ecuaciones diferenciales de movimiento, expresadas en términos de coordenadas
generalizadas.
Ecuación de Lagrange para una partícula:
Considerando la ecuación del movimiento de una partícula
De aquí se obtiene tres ecuaciones escalares
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(0)
Considerando un desplazamiento virtual:
El trabajo virtual realizado por la fuerza es:
(1)
(2)
Sean un conjunto de coordenadas generalizadas para la partícula, entonces se tiene:
(*)
Se puede expresar los desplazamientos virtuales en términos de
Sustituyendo en (1):
Como el miembro izquierdo es el trabajo virtual y son coordenadas generalizadas, se
llamará a los coeficientes fuerzas generalizadas y se designará por .
Por tanto:
ó
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ó
ó
Ahora se transformará los miembros derechos de estas ecuaciones. Se hará solo para el término:
Derivada de un producto
Despejando: (a)
Derivando (*)
(Se deriva a todos pero en este caso son cts..) (b)
(c)
(b) y (c) en (a)
Haciendo las transformaciones de las partes derechas ,se llega por ejm. Para
De donde:
Siendo: Energía cinética de la partícula
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Análogamente se puede obtener para y en general:
(Ecuación de Lagrange)
Si las fuerzas son conservativas (Las generalizadas) Se tiene:
Donde V es la energía potencial de la partícula y la ecuación de Lagrange puede escribirse:
Como V es función de solamente,
Sea (Lagrangiano)
Entonces la ecuación de Lagrange tiene la forma:
Si consiste tanto de fuerzas conservativas como no conservativas, entonces sería:
Parte no conservativa
ED = Energía disipativa ED=
Por tanto la ecuación de Lagrange será:
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Cálculo de las fuerzas generalizadas.
Se puede calcular por medio de tres métodos:
a) A partir de la fórmula:
Ctte.
a) Este método se aplica solamente con fuerzas conservativas; es decir:
Ejm. Deducir la ecuación de movimiento para las vibraciones libre y forzada de un sistema de un
grado de libertad, que consiste en una masa y un resorte.
Usando la ecuación de Lagrange de la forma:
(*)
La energía cinética es:
La energía potencial es:
El lagrangiano es:
Encontrando los términos de (*)
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La fuerza generalizada no conservativa es: Para vibración libre – forzada
Por tanto la ecuación de movimiento es:
Ecuación de Lagrange para un sistema de partículas.
Puede extenderse directamente hasta cubrir un sistema de partículas y sea “n” el número de
partículas.
Nótese que se requieren “n” coordenadas independientes para describir un
sistema de “n” grados de libertad, donde .
1) Forma general.
Donde
2) Sistemas conservativos.
Donde
3) Para la forma alternativa.
T y V son la energía cinética y potencial del sistema de partículas en conjunto.
Ejm. Dos partículas en vibración libre. Deducir las ecuaciones de movimiento para el sistema de
dos grados de libertad.
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Para
vibración libre - forzada
Como el sistema es conservativo:
Donde: y
La energía cinética del sistema es:
La energía potencial del sistema es:
El Lagrangiano:
Para la coordenada :
Para la coordenada :
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Ecuación de Lagrange para cuerpos rígidos.
Un cuerpo rígido puede considerarse como un conglomerado de partículas infinitamente grande
distribuidas continuamente.
Usando las energías cinética “T” y potencial “V” del cuerpo rígido, de un sistema de cuerpos
rígidos o de un sistema de partículas y cuerpos rígidos.
Ejm. Un disco circular homogéneo y uniforme de masa “m” y radio “R” está oscilando alrededor
de su posición de equilibrio. Deducir las ecuaciones del movimiento para la vibración libre
La energía cinética:
a)
Como (Disco) y
(1)
La energía potencial:
Según el gráfico:
Por proporcionalidad
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Pero: (b)
(2)
El Lagrangiano es:
Para vibración forzada:
1. Usando las ecuaciones de Lagrange, deducir las ecuaciones del movimiento para pequeñas
vibraciones del péndulo doble, que consiste en dos cuerpos rígidos suspendidos en “O” y
articulados en “A”. Los centros de gravedad son y y los momentos de inercia respecto de
y son y respectivamente, siendo las masas y
Sean las coordenadas generalizadas de y
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(1)
(2)
Derivando (1) se obtiene la velocidad
Factorizando:
Derivando (2):
Desarrollando y simplificando:
La energía cinética del sistema es:
(3)
La energía potencial es:
(4)
2. Deducir las ecuaciones del movimiento para el sistema mostrado en la figura.
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Energía Potencial (1)
Energía Cinética
(*)
Para :
Derivando respecto al tiempo
(a)
Por tanto: (**)
La energía cinética total es: (2)
Lagrangiano:
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Por tanto:
Por tanto:
Vibración armónica forzada.
Considerando un sistema excitado por una fuerza armónica
De los diagramas de cuerpo libre:
(1)
(2)
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Suponiendo que el movimiento es periódico y se compone de movimientos armónicos de
diferentes amplitudes y frecuencias: Sea uno de los componentes armónicos.
Reemplazando en (1):
Ordenando: (3)
Reemplazando en (2)
(4)
Formando el sistema:
Resolviendo por determinantes:
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Por tanto la solución es:
Absorbedor de vibraciones dinámicas.
Es sencillamente un sistema de un grado de libertad, generalmente de la forma simple masa–
resorte.
Cuando a este sistema se adiciona como sistema auxiliar otro sistema de un grado de libertad,
transformará todo el sistema en uno de dos grados de libertad, en dos frecuencias naturales de
vibración.
Una de las frecuencias naturales está por encima de la frecuencia de excitación, mientras que la
otra por debajo, de tal forma que la masa principal del sistema completo tendrá una amplitud de
vibración muy pequeña, en lugar de una amplitud muy grande bajo la excitación dada.
Sea una masa “M” que tiene vibración forzada. Con el fin de disminuir la amplitud de “M”
agregar un sistema auxiliar masa-resorte.
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El sistema acoplado tiene dos grados de libertad y las ecuaciones de movimiento son:
(1)
(2)
(a) y (b) en (1)
(3)
(a) y (b) en (2)
(4)
Formando un sistema entre (3) y (4)
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Para anular la vibración de M, se hace A=0 entonces:
Por consiguiente se debe diseñar el absorbedor de modo que su frecuencia natural sea igual a la
frecuencia impresa. (Cuando esto ocurre, la amplitud de “M” es prácticamente cero).
En general, un absorbedor se usa únicamente cuando la frecuencia natural del sistema original es
casi igual a la frecuencia de la fuerza. Por tanto, es aproximadamente cierto para el
sistema completo.
Vibración libre amortiguada.
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(1)
(2)
Como las componentes de vibración de un sistema amortiguado no son periódicos, es decir, son
movimientos oscilatorios con amplitudes decrecientes.
Reemplazando (a) y (b) en (1)
Ordenando: (3)
Reemplazando (a) y (b) en (2)
(4)
Cuando el sistema es homogéneo, la solución únicamente tiene sentido si:
Desarrollando el determinante:
Ecuación característica.
“Sistemas con dos grados de libertad” Página: 118
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La solución de esta ecuación de grado dará 4 valores de s
Por tanto, el movimiento general completo puede expresarse como:
Donde los cuatro coeficientes desconocidos .
(Las B no son incógnitas diferentes, puesto que ).
Se hallan de las cuatro condiciones iniciales, a saber:
Las razones de amplitud se hallan de (3) y (4)
Donde
Vibración forzada con amortiguamiento.
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(1)
(2)
Formando el sistema entre (1) y (2)
La solución general de estas ecuaciones, consiste en la solución general de la ecuación
homogénea y una solución particular de las ecuaciones no homogéneas.
La solución homogénea representa una vibración amortiguada (No tiene interés en el estudio de
problemas del absorbedor dinámico amortiguado, ya que esta vibración se amortigua
rápidamente).
La solución particular de las ecuaciones no homogéneas, que representa la vibración forzada se
halla haciendo:
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