VIBRACIN TORSIONALDetallesPg.Pndulo de torsin.................................................................................................................... 143Vibracin torsional................................................................................................................... 147Mtodo Holzer.......................................................................................................................... 149Mtodo Holzer para vibracin torsional................................................................................... 152Sistemas con rotores acoplados por engranajes......................................................................... 157Es el movimiento angular peridico de ejes elsticos que tienen discos rgidamente unidos a ellos.Pndulo de torsin.El pndulo de torsin est formado por un cuerpo rgido restringido a girar alrededor de un eje fijo en el espacio.Cuandoel cuerporotaenunngulo desdesuposicindeequilibrio, el momentopara retorcer el rbol es proporcional a Por resistencia de materiales:LGIMptDonde:G = Mdulo de elasticidad al cizalle (Mdulo de rigidez transversal)Vibracin torsional Pgina: 143Facultad de Ciencias y TecnologaIngeniera Mecnica-Vibraciones MecnicasKJpI= Momento polar de inercia de la seccin transversal del eje.Para una seccin transversal circular maciza se tiene:24rIpEntonces:LG rMt24 (1)El momento restaurador producido por el rbol es opuesto y de igual magnitud que (1)t rM M(2)donde: I MrJ = Momento de inercia del volante o cuerpo = aceleracin angular.Segn (2): LG rJ24 Sea :LG rK24Rigidez rotacional o torsionalEntonces: K J 0 + K J [ ] J 0 + JK (3)La ecuacin (3) es un M.A.S., por tanto, la frecuencia circular es: JK2y el periodoKJ 2 En la vibracin torsional existen tambin conexiones en serie y en paralelo.Vibracin torsional Pgina: 144Facultad de Ciencias y TecnologaIngeniera Mecnica-Vibraciones MecnicasL1 L2Volante1 2DPARALELOL 1 L 2D1 2S E R I E2 1K K Keq+ (En Paralelo)2 11 1 1K K Keq+ (En Serie)La configuracin de la figura tiene dos grados de libertad (Correspondientes a los ngulos de torsin de las dos ruedas).Sin embargo puede considerarse como un sistema de unsologradodelibertad, considerandolavariacin con el tiempo del ngulo relativo de torsin de las dos ruedas.Cuandoelsistemavibra, lasruedasgiranensentido contrario.Existe una seccin transversal fija al que se denomina NODO y las secciones transversales a distintos lados del nodo giran en direcciones opuestas.Se puede considerar que el radio divide al sistema en dos sistemas componentes, cada uno de los cuales est empotrado en un extremo.Como las frecuencias naturales de los sistemas componentes deben ser iguales:202201 2211IKIKComo:GLrK241 2 2 12241142 2I L I LIGLrIGLr Vibracin torsional Pgina: 145Facultad de Ciencias y TecnologaIngeniera Mecnica-Vibraciones Mecnicas2,93 1,71KCK1K2I 1I 21 20102K0.2 m.0.3 m.LComo:11211 2 2 1L L LIIL L L L L L + 1. La placa rectangular de 10 Kg. Est suspendida por su centro, por una varilla que presenta una rigidez a la torsin K=1.5 Nm/rad. Determine el periodo natural de vibracin de la placa cuando experimenta un pequeo desplazamiento angular en el plano de la placa.[ ] I MtPor resistencia de materiales:LGIMpt Para una seccin circular maciza 24rIp LG r rLGMt2 24 4 Por tanto: 02 24 4 + LG rI ILG r Sea: LG rK24Rigidez a la torsin0 + K I [ ] I 0 + IK Siendo I = Momento de inercia de la placaVibracin torsional Pgina: 146Facultad de Ciencias y TecnologaIngeniera Mecnica-Vibraciones MecnicasbxyaComo es un M.A.S.2121mb Ix 2121ma Iy ( )2 2121b a m Iz+ Segn la tabla: ( ) ( ) 108 . 0 3 . 0 2 . 0 101211212 2 2 2 + + b a m Iz[ ]2m Kg Reemplazando en *727 . 3108 . 05 . 1 El periodo natural de vibracin es: 727 . 32 2 Vibracin torsional.Es el movimiento angular peridico de ejes elsticos que tienen discos rgidamente unidos a ellos.Existe semejanza muy estrecha entre las vibraciones rectilneas y las vibraciones torsionales, por lo que la teora para la vibracin lineal puede ser aplicada en la vibracin torsional. x x xx m F J KK (Rigidez torsional) 221x m 221J (Energa cintica)Vibracin torsional Pgina: 147Facultad de Ciencias y TecnologaIngeniera Mecnica-Vibraciones Mecnicas[ ] seg 686 . 1 IK 221Kx 221 K (Energa potencial elstica) mK JK (Frecuencia natural)t sen F Kx x c x m 0 + + t sen T K c J 0 + + Ejm. Sea el siguiente sistema. Determinar las frecuencias de vibracin si 1]1

2525110 * 2 10 * 1segKgK K1]1

.22 11 , 53 2 1radm KgJ J J( ) 02 2 1 1 1 1 1 2 1 1 + K K J J K (1)( ) ( ) ( ) 03 2 2 2 1 1 1 2 2 2 2 3 2 2 2 1 1 + + K K K K J J K K (2)( ) 03 2 2 2 3 3 3 3 3 2 2 + K K J J K (3)Suponiendo que el movimiento es peridico yse compone de movimientos armnicos de diferentes amplitudes y frecuenciast sen A t Asen 21 1..... t sen B t Bsen 22 2..... t sen C t Csen 23 3..... Reemplazando en (1), (2) y (3) se obtiene:Vibracin torsional Pgina: 148Facultad de Ciencias y TecnologaIngeniera Mecnica-Vibraciones MecnicasJ1J2J3K1 K2K1( - )J1J2J31 2 K2( - ) 3 2DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE( )( )( )' + + + 00023 2 2222 2 1 1121 1C J K B KC K B J K K A KKB A J KDeterminante igual a cero00023 2 2222 2 1 1121 1 + J K KK J K K KK J KReemplazando los valores de i iJ K se obtiene la ecuacin de frecuencias y haciendo 2 0 10 * 2 10 * 4 . 5 10 * 2 . 68 121015 11 2 6 3 + + De donde:Mtodo Holzer.Mtodotabular queseempleaparadeterminar lafrecuencianatural devibraciones libreso forzadas, con amortiguamiento o sin l.El mtodo se basa en suposiciones sucesivas de la frecuencia natural del sistema, cada una de las cualessehaceconbaseenel clculodelaconfiguracinregidapor lafrecuenciasupuesta inmediatamente antes.El mtodo HOLZER es particularmente til para calcular las frecuencias torsionales en ejes. Para sistemas con ambos extremos libres.jiijii ix mKx x 1121 Para sistemas con un extremo fijo y uno libre.Vibracin torsional Pgina: 149Facultad de Ciencias y TecnologaIngeniera Mecnica-Vibraciones Mecnicas1]1

1]1

segradsegrad658 . 202666 . 12321jijii ix mKx x 1121 Para sistemas con ambos extremos fijos.1]1

+ 11211ij j i iii ix m x KKx x PASOS.1. Suponer una frecuencia natural y una amplitud unitaria de vibracin para la primera masa.2. Se calculan las amplitudes por la frmula y fuerzas de inercia para todas las dems masas.3. Para sistemas con extremos fijos, la amplitud de vibracin de la ltima masa ser cero.4. Para sistemas con extremos libres, la fuerza total de inercia es ceroLos dems valores (Amplitud o fuerza de inercia) para cada una de las frecuencias supuestas se grafican contra los valores supuestos de la frecuencia natural, para hallar las frecuencias verdaderas del sistema.Utilizar el mtodo HOLZER para determinar las frecuencias naturales del sistema de 4 masas, si K=1 lb/Plg. ym=1 lb-seg2/Plg.Para sistemas con un extremo libre y otro fijo:Vibracin torsional Pgina: 150Facultad de Ciencias y TecnologaIngeniera Mecnica-Vibraciones Mecnicasm 2m 3m3K4K2K(4)K3m(3) (2) (1)jijii ix mKx x 1121ITEM MASA2 m ix2 mx 2 mxKKmx22 . 0 1234543210.160.120.080.0410.840.70960.6040.5190.160.1010.05680.0242-0.160.2610.3180.342-1234-0.160.13050.1060.0855-3 . 0 1234543210.320.270.180.021Resolver el siguiente ejercicio.m1 m2K1K21]1

lg122 1Pseg lbm m1]1

lg4001PlbK1]1

lg2002PlbK21 1x x 121x m F 1121KFx 222 1 2x m F F + 222 3KFx x Vibracin torsional Pgina: 151Facultad de Ciencias y TecnologaIngeniera Mecnica-Vibraciones Mecnicas5251010098120400309003196111 x( ) 25 1 25 11 F11 x( ) 100 1 100 11 F11 x( ) 81 1 81 11 F11 x( ) 400 1 400 11 F11 x( ) 900 1 900 11 F11 x( ) 961 1 961 11 F9375 . 04002512 x( ) 4375 . 48 9375 . 0 25 1 252 + F75 . 040010012 x( ) 175 75 . 0 100 1 1002 + F7975 . 04008112 x( ) 5975 . 115 7975 . 0 81 1 812 + F00 . 040040012 x( ) 400 00 . 0 400 1 4002 + F25 . 140090012 x( ) ( ) 225 25 . 1 900 1 9002 + F4025 . 140096112 x( )( ) 8025 . 386 4025 . 1 961 1 9612 + F6953 . 02004375 . 489375 . 03 x125 . 020017575 . 03 x 0695 . 02005975 . 1157975 . 03x220040000 . 03 x125 . 020022525 . 13 x 3365 . 32008026 . 3864025 . 13xMtodo Holzer para vibracin torsional.Este mtodo se basa en suposiciones sucesivas de la frecuencia natural del sistema y empezando con una amplitud unitaria en un extremo del sistema y calculando progresivamente el torque y el desplazamiento angular en el otro extremo.Las frecuencias que resulten en torque externo cero o condiciones de borde compatibles en el otro extremo, son las frecuencias naturales del sistema.Sea el sistema torsional mostrado en la figura.K = Rigidez torsionalVibracin torsional Pgina: 152Facultad de Ciencias y TecnologaIngeniera Mecnica-Vibraciones MecnicasJ 3J 1J 2J 41234K1 K2 K31]1

segrad3021]1

segrad91J = Momento de inercia del discoEl momentorestaurador producidopor el rbol esopuestoydeigual magnitudal momento torsor.t rM M K J (1)Donde: LG rK24Rigidez torsional (Para un eje macizo)De (1) 0 + JK (ecuacin del movimiento armnico simple)02 + Frecuencia naturalDespejando: 2 (2)Reemplazar (2) en (1)( )KJK J 22 (3)Suponiendo una frecuencia y una amplitud11 para el primer discoReemplazar en (3)2 1121 KJPero11 21211 KJDe donde:12121KJ (4)Conocido 2 , el torque de inercia del segundo disco se calcula como: 222 Jy la suma de los dos primeros torques de inercia actan sobre el eje 2K torsionandolo en:3 2222221 +KJ J(5)De esta manera, la amplitud y el torque de cada disco se puede calcular.El torque resultante en el extremo ms alejado es:Vibracin torsional Pgina: 153Facultad de Ciencias y TecnologaIngeniera Mecnica-Vibraciones Mecnicasinii extJ T 21Repitiendo los clculos con otros valores de , las frecuencias naturales se encuentran cuando 0 extT, los desplazamientos angulares i correspondientes a las frecuencias son las formas modales.Ejm. Determinar las frecuencias naturales y formas modales del sistema mostrado si se tiene: J 3J 1J 2K1 K21]1

radm KgJ J J 22 11 , 53 2 11]1

2626110 * 2 . 0 10 * 1 . 0segKgK K2121 11 1 J T1121KT 222 1 2 J T T + 222 3KT 323 2 3 J T T + I2040011 ( ) 2000 1 400 51 T98 . 010 * 1 . 0200016 2 ( ) 6312 98 . 0 400 11 20002 + T94844 . 010 * 2 . 0631298 . 06 3 ( ) 272 . 14658 94844 . 0 400 22 63123 + T40160011 ( ) 8000 1 1600 51 T92 . 010 * 1 . 0800016 2 ( ) 24192 92 . 0 1600 11 80002 + T79904 . 010 * 2 . 02419292 . 06 3 ( ) 208 . 52318 79904 . 0 1600 22 241923 + T1001000011 ( ) 50000 1 10000 51 T5 . 010 * 1 . 05000016 2 ( ) 105000 5 . 0 10000 11 500002 + T26 310 * 5 . 210 * 2 . 01050005 . 0 ( ) ( ) 99500 10 * 5 . 2 10000 22 10500023 + T1201440011 ( ) 72000 1 14400 51 T28 . 010 * 1 . 07200016 2 ( ) 116352 28 . 0 14400 11 720002 + T30176 . 010 * 2 . 011635228 . 06 3 ( ) ( ) 432 . 20754 30176 . 0 14400 22 1163523 + T123.66615293.27911 3978 . 764661 T235336 . 02 0517 . 1160562 T344944258 . 03 181562 . 13 TII1803240011 1620001 T62 . 02 589682 T32516 . 03 048 . 2907423 T202.65811 05351 . 12 29948 . 03 Vibracin torsional Pgina: 154Facultad de Ciencias y TecnologaIngeniera Mecnica-Vibraciones MecnicasK1 K2J1J2J3J 3J 1J 2K1 K21.0-1.0W = 123.6660.235-1.053-0.3450.299W = 202.658 0 WFORMAS MODALES41070.2653248 . 2053511 T 4262 . 2705972 T 1133 . 63 TLa cantidad 3T es el torque a la derecha del disco (3) que debe ser cero a las frecuencias 1.Utilizar el mtodo HOLZER para determinar las frecuencias naturales de vibracin torsional del sistema si 13 2 1 J J J y12 1 K KVibracin torsional Pgina: 155Facultad de Ciencias y TecnologaIngeniera Mecnica-Vibraciones Mecnicas160-10000-290742.048-30000-15000-20000-2500010000-6.1133-1.181562-5000500040 2020754.43214658.272150002000025000100 80 60 120 1403000035000400004500052318.208550005000099500T3220 180 200 W658 . 202666 . 12303210 . 1 0 . 2 0 . 3 0 . 4 0 . 5 0 . 6 0 . 7 0 . 8 1 . 5 1 . 1 1 . 0 0 . 9 1 . 3 1 . 2 1 . 4 1 . 6 1 . 9 1 . 7 1 . 8 2 . 012345- 3- 2- 1La ecuacin correspondiente sera: iii iJK121 TEMiJ2iJi2 iJiiiJ 21 ijKijiiKJ25 . 0 1231110.250.250.2510.750.31250.250.18750.07810.250.43750.5156110.250.43750 . 1 12311111110-110-111011115 . 1 1231112.252.252.251-1.25-0.6872.25-2.8125-1.5462.25-0.5625-2.1085112.25-0.562579 . 1 1231113.20413.20413.20411-2.20411.6543.2041-7.0625.2993.2041-3.85791.4411113.2041-3.8579Por tanto:01 segRad0 . 12 segRadVibracin torsional Pgina: 156Facultad de Ciencias y TecnologaIngeniera Mecnica-Vibraciones Mecnicas7 . 13 segRadSistemas con rotores acoplados por engranajes.Considerando un conjunto de dos rotores con momentos de inercia 2 1J J que estn acopladas por engranajes.Donde la relacin de transmisin est definida como la razn entre la velocidad angular de la rueda conducida a la conductora.212121121212TTZZDDnni (1)Donde: Velocidad angularn = Frecuencia angularVibracin torsional Pgina: 157Facultad de Ciencias y TecnologaIngeniera Mecnica-Vibraciones MecnicasJK11J22K Desplazamiento angularD = DimetroZ = Nmero de dientesT = TorsinPara reducir el sistema dado a otro ms simple, se tiene dos posibilidades:a) Todos los elementos para el eje de entrada de potencia.b) Todos los elementos para el eje de salida de potencia.En ambas posibilidades se debe asegurar que el sistema real y el sistema reducido tengan energa cintica y potencial iguales.La energa cintica de (2) es:22 2 221J T Pero segn (1) 1 2 i ( ) ( )22 '2 1 22 21 2 22121J i J J i i J T (2)La energa potencial es: ( )22 '221 222 2 22121K i K i K K V (3)Por consiguiente, el sistema reducido queda:A partir de este sistema reducido, tambin se puede hacer que este eje escalonado pueda ser sustituido por un nico eje, es decir; por un eje equivalente, lo que se determina por conexin en serie, es decir:2 1'2 1'2 11 1 1K KK KKK K Keqeq+ + Quedando el sistema equivalente como:Vibracin torsional Pgina: 158Facultad de Ciencias y TecnologaIngeniera Mecnica-Vibraciones Mecnicas22122 1K i Ki K KKeq+J12J1KK2,1J,J2KeqEJM. Si los momentos de inercia de las ruedas dentadas son despreciables y 2 12J J , tambin K K K 2 1 y la razn de engrane es3 i . Determinar la frecuencia de vibracin torsional.De la relacin de transmisin: 1 212 i i La energa cintica 22 2 221J T ( ) ( )22 '2 1 22 21 2 22121J i J J i i J T Como3 i ; 1'2 1 2 2 129212 J J J J J J (1)Sistema equivalente:Hallando las ecuaciones de movimiento:( ) 02 1 1 1 + + eqK J (2)( ) 02 1 2'2 + + eqK J (3)Multiplicando por'2J a (2) y por 1J a (3)( ) 02 1'2 1'2 1 + + J J J ( ) 02 1 1 2'2 1 + + eqK J J J Sumando:( ) ( )( ) 02 1'2 1 2 1'2 1 + + + + J J K J Jeq [ ]'2 1J J ( )( )( ) 02 1'2 1'2 12 1 +++ + J JJ J Keq Comparando con la ecuacin del M.A.S.( )'2 1'2 1 2J JJ J Keq+ (4)Como la rigidez equivalente es:KK KKK i Ki K KKeq1093322 222122 1++(5)Vibracin torsional Pgina: 159Facultad de Ciencias y TecnologaIngeniera Mecnica-Vibraciones MecnicasJ1K2KJ1J,J2Keq(1), (5) en (4)211211 12292111092929109JJ KJJ J K

,_

+ 1 121 . 11011JKJK Vibracin torsional Pgina: 160Facultad de Ciencias y TecnologaIngeniera Mecnica-Vibraciones Mecnicas105 . 1JK