001-analyse-intégrale de reiman intégrale généralisée equations différentielles les...
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7/29/2019 001-Analyse-Intgrale de reiman Intgrale gnralise Equations diffrentielles Les erxercices
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C h a p i t r e 1
I n t g r a l e s u r [a, b]
D n i t i o n : S o i t I = [a, b]
u n i n t r v a l e d e R
a v e c a e t b d e u x l m e n t s
d eR
( a < b ) , o n a p p e l l e s u b d i v i s i o n d e [a; b]
t o u t e f a m i l l e n i e :
x0 = a < x1 < ...... < xk < ..... < xn = b
D a n s c e c a s o n n o t e n = max{(xi+1xi)/i = 1;2; .....; n1} e t o n l ' a p p e l l e
l e p a s d e l a s u b d i v i s i o n .
E x e m p l e :
1 . P r e n o n s l e c a s d e I = [0, 1].
x0 = 0 < x1 =12 < x2 = 1 e s t u n e s u b d i v i s i o n d e I e t i l e s t c l a i r e
q u e s o n p a s e s t g a l e a = 12
x0 = 0 < x1 =
13 < x2 =
12 < x3 =
34 < x4 = 1 e s t u n e a u t r e
s u b d i v i s i o n d u m m e i n t r v a l e I m a i s c e t t e f o i s l e p a s e s t g a l e a
= 13
x0 = 0 < x1 =1n
< x2 =2n
< x3 =3n
< x4 =4n
< ..... < xn =nn
= 1
e s t u n e s u d i v i s i o n d e I a v e c l e p a s = 1
n
2 . D a n s l e c a s o u I = [a, b], o n p e u t c o n s i d r e r l a s u b d i v i s i o n u n i f o r m e
s u i v a n t e :
x0 = a < x1 = a + .ban
< x2 = a + 2.ban
< x3 = a + 3.ban
...... < xk =
a + k. ban
< .... < xn = b c ' e s t u n e s u b d i v i s i o n u n i f o r m e d e I d o n t l e
p a sn =
1n
1
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2 C H A P I T R E 1 . I N T G R A L E S U R [A, B]
F o n c t i o n e n e s c a l i e r :
D n i t i o n :
O n a p p e l l e f o n c t i o n e n e s c a l i e r s u r I = [a, b]
t o u t e f o n c t i o n : [a, b] R
t e l l e q u e i l x i s t e u n e s u b d i v i s i o n x0 = a < x1 < ...... < xn = b d e [a, b] a v e c :
/]xi1, xi[= i = constante
p o u r t o u t i = 1; 2; ...; n
.
D n i t i o n :
S o i t : [a, b]
R
u n e f o n c t i o n e n e s c a l i e r s u r [a, b]
, a l o r s o n d n i e
l ' i n t g r a l e d e
s u r[a, b]
p a r :
ba
(x)dx =n
i=1
i(xi xi1)
D n i t i o n :
S o i t
f : [a, b] Ru n e f o n c t i o n ,
x0 = a < x1 < ...... < xn = b u n e
s u b d i v i s i o n d e [a, b]
d o n n e ; a v e c l e p a s n .
D a n s c h a q u e i n t r v a l e [xp1, xp] O n c h o i s i t u n l m e n t p .
O n a p p e l l e s o m m e d e R i e m a n n d e f
r e l a t i v e m e n t a l a s u b d i v i s i o n (xi)0
i
n1
, a u p a s n , e t a u l m e n t s (p)p l a q u a n t i t :
Sn =n
p=1
(xp xp1).f(p)
O n d i t q u e f
e s t i n t g r a b l e a u s e n s d e R i e m a n n s u r [a, b]
s i : q u a n d n 0 ( l e
p a s t e n d v e r s z r o ) l a s u i t e Sn t e n d v e r s u n e l i m i t e n i e n o t e :
ba
f(x)dx
P r o p r i t s :
S o i t f : [a, b] R e t g : [a, b] R d e u x f o n c t i o n s i n t g r a b l e s a u s e n s d e
R i e m a n n s u r
[a, b]e t
R a l o r s o n a l e s p r o p r i t s s u i v a n t e s :
1 .
ba
(f + g)(x)dx =
ba
f(x)dx +
ba
g(x)dx.
2 . S i f 0
ba
f(x)dx 0
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3 . S i f
g
b
a
f(x)dx
b
a
g(x)dx
4 . |b
af(x)dx|
ba| f(x) | dx
5 . R e l a t i o n d e C h a s l e : p o r t o u t
a < c < bo n a :
ba
f(x)dx =
ca
f(x)dx +
bc
f(x)dx
6 .
ab
f(x)dx = b
af(x)dx
7 . aaf(x)dx = 0
, p o u r t o u t
a R
T h o r m e :
T o u t e f o n c t i o n c o n t i n u e s u r u n i n t r v a l e [a; b]
e s t i n t g r a b l e a u s e n s d e
R i e m a n n .
S o m m e d e R i e m a n n p o u r l e s f o n c t i o n s c o n t i n u e s :
S o i t f : [a, b] R
u n e f o n c t i o n c o n t i n u e ; a l o r s l e s d e u x s u i t e s s u i v a n t e s :
un =1
n
n1k=0
f(a + k.(b a)
n),et,vn =
1
n
nk=1
f(a + k.(b a)
n)
s o n t c o n v r g e n t e s v e r s l a m m e l i m i t e ; e t o n a :
limn+un = limn+ vn =
1
b ab
af(t)dt
E x e m p l e s :
1 . C a l c u l e r l a l i m i t e d e l a s u i t e s u i v a n t e .
un =
1 +
2 + ...... +
n
n.
n
I l e s t c l a i r e q u ' o n a p a s a f a i r e a u n e s u i t e o r d i n a i r e :
E n e e t un =
1n
(
1n
+
2n
+ ..... +
nn
)e s t u n e s u i t e d e R i e m a n n e t
o n a :
limn+un =
1
1 01
0
xdx =
2
3
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4 C H A P I T R E 1 . I N T G R A L E S U R [A, B]
2 . C a l c u l e r l a l i m i t e d e l a s u i t e s u i v a n t e :
vn =1
n
np=0
pn2 +p2
D e l a m m e m a n i r e q u e p r c e d e m e n t c e t t e s u i t e e s t u n e s o m m e d e
R i e m a n n c a r
vn =1
n
np=0
pn
1 + ( pn
)2
p o u r l a f o n c t i o n f(x) = x
1+x2e t
a +p ban
= pn e t d o n c
a = 0e t
b = 1
e t d o n c o n a lim
n+vn =
1
101
0
f(x)dx = [
1 + x2]10 =
2
1
P r i m i t i v e :
S o i t f
u n e f o n c t i o n d n i e s u r u n i n t r v a l e I
, u n e f o n c t i o n F
e s t d i t e u n e
p r i m i t i v e d e f
s u rI
s i e t s e u l e m e n t s i :
1 )F
e s t d r i v a b l e s u r I
.
2 ) x I, F(x) = f(x).N o t a t i o n :
D a n s c e c a s o n n o t e
F(x) =
f(x)dx
R e m a r q u e :
S iG
e s t u n e a u t r e p r i m i t i v e d e f
s u rI
a l o r s FG = const.
P r o p o s i t i o n :
S o i t f
u n e f o n c t i o n c o n t i n u e s u r [a, b]
e tF
u n e p r i m i t i v e d e f
s u r[a, b]
a l o r s ba
f(x)dx = F(b) F(a)
P r o p o s i t i o n :
S o i t f
u n e f o n c t i o n d n i e e t c o n t i n u e s u r [a, b]
, a l o r s l a f o n c t i o n
xa
f(t)dt
e s t u n e p r i m i t i v e d e f
s u r[a, b]
.
P r i m i t i v e s u s u e l l e s :
1 .
xdx = 1
+1x+1
s i = 1.
2 .
1x
dx = Ln(|x|) + c
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3 . cos(x)dx = sin(x) + c.4 .
sin(x)dx = cos(x) + c
5 .
dx
1+x2= Arctg(x) + C
6 .
dx1+x2
= Arcsin(x) + C
7 .
dx
1+x2= Arccos(x) + C
E x e m p l e :
C a l c u l e r I =
1
1x|x|dx
O n aI =
01
x2dx +10 x
2dx = 13 [13x3]01 + 13 [13x3]10 = 13 + 13 = 0.
T h o r m e d e l a m o y e n n e :
S o i t f : [a, b] R
e tg : [a, b] R
d e u x f o n c t i o n s c o n t i n u e , a v e c f(x) > 0
s u r[a, b]
; a l o r s i l e x i s t e c [a, b]
t e l q u e :
ba
f(t)g(t)dt = g(c)
ba
f(t)dt
D m o n s t r a t i o n :
p u i s q u e g
e s t c o n t i n u e s u r [a, b]
a l o r s i l e x i s t e m
e tM
d a n s R
t e l q u e
g([a, b]) = [m, M]a v e c
m = min{g(x)/x [a, b]}e t
M = max{g(x)/x [a, b]}.D o n c p o u r p o u r t o u t
x [a, b] o n a m g(x) M e t p a r s u i t e o n a :m
ba
f(t)dt b
af(t)g(t)dt M
ba
f(t)dt.
E t p a r c o n s q u e n c e
ba
f(t)g(t)dt
b
a
f(t)dt
[m, M], c e q u i i m p l i q u e l ' x i s t e n c e d ' u n
c d a n s [a, b] t e l q u e :
g(c) =
ba
f(t)g(t)dtba
f(t)dt
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7/29/2019 001-Analyse-Intgrale de reiman Intgrale gnralise Equations diffrentielles Les erxercices
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6 C H A P I T R E 1 . I N T G R A L E S U R [A, B]
I n t g r a t i o n p a r p a r t i e :
P r o p o s i t i o n :
S o i e n t u
e tv
d e u x f o n c t i o n s d e c l a s s e C s u r [a, b] , a l o r s o n a :ba
u(t)v(t)dt = [u(t)v(t)]ba b
au(t)v(t)dt
D m o n s t r a t i o n :
O n p o s e :F(x) =
xa
u(t)v(t)dte t
G(x) = u(x)v(x)u(a)v(a)x
au(t)v(t)dt
.
A l o r s o n a :F(a) = 0
e tG(a) = 0
D e p l u s G(x) = u(x)v(x) + u(x)v(x) u(x)v(x) = u(x)v(x)
e tF(x) = u
(x)v(x)
.
D o n c F = G + constante
e t p u i s q u e G(a) = F(a) = 0
a l o r s l a c o n s t a n t e e s t
n u l l e .
D o n c F(x) = G(x)
p o u r t o u t x [a, b] e n p a r t i c u l i e r p o u r b .
R e m a r q u e :
L a d m o n s t r a t i o n q u ' o n v i e n t d e f a i r e e s t v a l a b l e a u s s i p o u r l e s p r i m i t i v e s
e t o n a l a p r o p o s i t i o n s u i v a n t e :
P r o p o s i t i o n :
S o i e n t u
e tv
d e u x f o n c t i o n s d e c l a s s e
C1
s u r[a, b]
, a l o r s o n a :u(t)v(t)dt = u(t)v(t)
u(t)v(t)dt
E x e m p l e :
C a l c u l e r l e s i n t g r a l e s e t p r i m i t i v e s s u i v a n t e s :
1 .I =
ln(t)dt
.
2 .J =
21
t ln(t)dt.
3 . K = 10
arctan(t)dt .
P o u r 1)
o n p o s e u(t) = 1
e tv(t) = ln(t)
e t d o n c ln(t)dt = t ln(t)
t.
1
tdt = t ln(t) t + c
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. P o u r 2)
o n a :
J =
21
t ln(t)dt = [1
2t2 ln(t)]21
21
1
2t2.
1
tdt = 2Ln(2) 3
4
P o u r 3
O n a :10
arctan(t)dt = [x.arctg(x)]1010
x
1 + x2dx =
41
2[Ln(1+x2]10 =
41
2Ln(2)
C h a n g e m e n t d e v a r i a b l e :
P r o p o s i t i o n :
S o i t
: [, ] [a, b]u n e f o n c t i o n d e c l a s s e
C1e t
f : [a, b] Ru n e f o n c t i o n
c o n t i n u e , a l o r s o n a :
()()
f(u)du =
f((t)).(t)dt
D m o n s t r a t i o n :
O n p o s e F(x) =
(x)()
f(u)du =e t
G(x) =
x
f((t)).(t)dt.
O n a a l o r s F() = 0
e tG() = 0
D e p l u s o n a :G(x) = f((x)).(x)
e tF(x) = f((x)).(x)
e t d o n c F = G
R e m a r q u e :
S i
e s t b i j e c t i v e a l o r s :
ba
f(u)du =
1(b)1(a)
f((t))(t)dt
E x e m p l e :
1 . C a l c u l e r I =
10
1 t2dt
.
2 . C a l c u l e r J =
sin(x)
1+cos2(x)dx
.
P o u r l a p r e m i r e o n p o s e l e c h a n g e m e n t d e v a r i a b l e
t = sin(x)d o n c
dt =cos(x)dx
.
D o n c I =
2
0cos2(x)dx
e t p u i s q u e cos2(x) = 1+cos(2x)2 , a l o r s o n a :
I =
2
0(
1
2+
cos(2x)
2)dx =
1
2([x]
20 ) +
1
4[sin(2x)]
20 =
4
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8 C H A P I T R E 1 . I N T G R A L E S U R [A, B]
P o u r l a d e u x i m e i n t g r a l e o n f a i t l e c h a n g e m e n t d e v a r i a b l e s u i v a n t :
u = cos(x) du = sin(x)dx e t d o n c o n a :J =
du1+u2
= arctan(u) + c = arctan(cos(x)) + c.
T c h n i q u e s d e c a l c u l e s :
P o u r c a l c u l e r u n e i n t g r a l e o n a t o u j o u r s l e p r o b l m e d e s a v o i r q u e l m t h o d e
u t i l i s e , e s t c e q u e u n c h a n g e m e n t d e v a r i a b l e ( i l y ' e n b e a u c o u p s ) o u u n e
i n t g r a t i o n p a r p a r t i e o u d ' a u t r e s ; d a n s l a s u i t e o n v a d o n n e r u n e s r i e d e
m t h o d e s c o n c r n a n t c e r t a i n e s c l a s s e d e f o n c t i o n s :
1 . I n t g r a l e d ' u n e f r a c t i o n r a t i o n n e l l e :
PQ .
O n p r o c d e p a r t a p e s ;
- 1 e r E t a p e :
S ideg(P) deg(Q) ; o n f a i t d ' a b o r d u n e d i v i s i o n E u c l i d i n n e e t d o n c
o n a :P = E.Q + R
D o n c o n a :
P(x)Q(x) = E(x) +
R(x)Q(x) ; a v e c ; deg(R) < deg(Q)
- 2 e m e E t a p e :
O n f a i t l a d c o m p o s i t i o n e n l m e n t s s i m p l e s d a n s R[x]
d e
R(x)Q(x) .
E x e m p l e 1 :
C a l c u l e r I =
x1
x3+4x
D a n s c e t e x e m p l e o n p a s s e d i r c t e m e n t a l a d e u x i m e t a p e :
f(x) =x 1
x3 + 4x=
x 1x(x2 + 4)
=a
x+
bx + c
x2 + 4
C a l c u l e d e a,b,
e tc
:
xf(x) = x1x2+4 = a +
x(bx+c)x2+4 e t o n d o n n e a x l a v a l e u r 0 d o n c a =
14 .
limx0
xf(x) = 0 = a + be t d o n c
b = 14 .
E t p u i s f(1) = 0 = a + b+c5 c = 1 .
d o n c
I = 1
4x
dx+x + 4
4(x2
+ 4)
=1
4
ln(
|x
|)+
1
82x
x2
+ 4
dx+1
4dx
(
x
2 )2
+ 1e t d o n c
I = 14 ln(|x|) + 18 ln(x2 + 4) + 12 arctan(x2 ) + cE x e m p l e 2 :
C a l c u l e r J =
dx
x3x2
O n p o s e g(x) = 1
x3x2 =1
x2(x1) =ax
+ bx2
+ cx1
-
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E t o n c a l c u l a,b,c
x2g(x)/x = 0 b = 1(x 1)g(x)/x = 1 c = 1
limx+xg(x) = 0 = a + c a = 1D o n c
J =
(1x 1
x2+
1
x 1 )dx = ln(|x|) +1
x+ ln(|x 1|) + c
E x e m p l e 3 :
C a l c u l e r K =
x4+x2+4
x3+5x2+8x+4dx
O n f a i t d ' a b o r d u n e d i v i s i o n E u c l i d i e n n e e t o n t r o u v e :
x4 + x2 + 4
x3 + 5x2 + 8x + 4= x 5 + 18x
2 + 36x + 24
x3 + 5x2 + 8x + 4
e tx3 + 5x2 + 8x + 4 = (x + 1)(x + 2)2
E t o n v a d c o m p o s e r e n l m e n t s s i m p l e s l a f r a c t i o n r a t i o n n e l l e :
18x2 + 36x + 24
x3 + 5x2 + 8x + 4=
a
x + 1+
b
x + 2+
c
(x + 2)2
E t a p r s c a l c u l e s o n t r o u v e :
x4 + x2 + 4
x3 + 5x2 + 8x + 4= x 5 + 6
x + 1+
12
x + 2+
24(x + 2)2
E t e n n :
K =1
2.(x 5)2 + 6 ln(|x + 1|) + 12 ln(|x + 2|) + 24
x + 2+ c
E x e m p l e 4 :
C a l c u l e r T =
dx
x3+1
T o u t d ' a b o r d o n r e m a r q u e q u e x3 + 1 = (x + 1)(x2 x + 1)
D o n c o n d c o m p o s e e n l m e n t s s i m p l e s l a f o n c t i o n
f(x) =1
x3 + 1=
a
x + 1+
bx + c
x2 x + 1
E t a p r s u n p e t i t c a l c u l e o n t r o u v e :
-
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1 0 C H A P I T R E 1 . I N T G R A L E S U R [A, B]
f(x) = 1x3+1
=13
x+1 +13
x+ 23x2
x+1
E t
13
x+ 23x2x+1 =
16
2x1x2x+1 +
12
x2x+1E t d e m e m e
12
x2 x + 1 =12
(x 12)2 + 34=
2
3.
1
( 23
x 13
)2 + 1
D o n c T = 13
(|x + 1) 16 ln(|x2 x + 1|) + 23
1
( 23x 1
3)2+1
dx
e t o n p o s a n t l e c h a n g e m e n t d e v a r i a b l e u = 2
3.x 1
3
O n t r o u v e :
T =1
3ln(|x + 1) 1
6ln(|x2 x + 1|) + 3
3. arctan(
23
x 13
) + c
2 . I n t g r a l e d ' u n p o l y n m e e n Sin(x)
e tCos(x)
.
O n s e r a m n e a u c a s :
Ip,q =
cosp(x)sinq(x)dx
a v e c p
, e tq
d e u x l m e n t s d e N
e t I l y a 3
c a s a e n v i s a g :
S ip = 2k + 1
i m p a i r e :
Ip,q =
(cos2(x))ksinq(x)cos(x)dx =
(1sin2(x))ksinq(x)cos(x)dxD a n s c e c a s o n p o s e l e c h a n g e m e n t d e v a r i a b l e
u = sin(x)e t d o n c .
Ip,q =
(1 u2)kuqdu
E x e m p l e :
C a l c u l e r I =
cos(x)sin2(x)dx
o n p o s e u = sin(x)
d o n c du = cos(x)dx
e t p a r s u i t e
I =
u2du = 13u
3 + c = 13sin3(x) + c
S i
q = 2k + 1i m p a i r e :
Ip,q =
(sin2(x))kcosp(x)sin(x)dx =
(1cos2(x))kcosq(x)sin(x)dx
D a n s c e c a s o n p o s e l e c h a n g e m e n t d e v a r i a b l e u = cos(x)
e t d o n c .
Ip,q =
(1 u2)kuqdu
-
7/29/2019 001-Analyse-Intgrale de reiman Intgrale gnralise Equations diffrentielles Les erxercices
11/63
1 1
E x e m p l e :
C a l c u l e r J = cos4(x)sin3(x)dxI l e s t c l a i r e i c i q u ' o n v a p o s e r
u = sin(x)d o n c
du = cos(x)dx, e t d o n c
J =
u4(1 u2)du = 15u5 17u7 + c
D o n c
J =1
5sin5(x) 1
7sin7(x) + c
S ip
e tq
t o u t l e s d e u x p a i r e :
A l o r s d a n s c e c a s o n e s t o b l i g e r d e f a i r e u n e l i n a r i s a t i o n .
E x e m p l e :
C a l c u l e r :
I = cos2(x)sin2(x)dxD a n s c e c a s o n a :
cos(x).sin(x) = 12sin(2x) d o n c cos2(x)sin2(x) =
14sin
2(2x) = 18(1 cos(4x))E t d o n c
I = 18x 132sin(4x) + c
3 . P r i m i t i v e d e l a f o r m e :
F(x, n
ax+bcx+d)dx , a v e c ad bc = 0.
O n p o s e l e c h a n g e m e n t d e v a r i a b l e :
y = nax + b
cx + d yn =
ax + b
cx + d x =
dyn b
a cyn
E x e m p l e :
C a l c u l e r I =
n
1+x1x .
dx2x1 .
A l o r s o n p o s e l e c h a n g e m e n t d e v a r i a b l e :
y = n
1 + x
1 x x =y2 1y2 + 1
dx = 4ydy(1 + y2)2
C e q u i d o n n e :
I = 4y2dy(y2 3)(y2 + 1)E t e n d c o m p o s a n t e n l m e n t s s i m p l e s l a f r a c t i o n r a t i o n n e l l e :
4u
(u 3)(u + 1) =3
u 1 +1
u + 1 4y
2dy
(y2 3)(y2 + 1) =3
y2 1 +1
y2 + 1
-
7/29/2019 001-Analyse-Intgrale de reiman Intgrale gnralise Equations diffrentielles Les erxercices
12/63
1 2 C H A P I T R E 1 . I N T G R A L E S U R [A, B]
D o n c I = 3y23dy +
dyy2+1 e t l e r s t e e s t v i d e n t .
4 . I n t g r a l e d e l a f o r m e
F(cos(x),sin(x))dx
: .
P o u r l e c a l c u l e d e c e g e n r e d e p r i m i t i v e s o u i n t g r a l e s i l y a p l u s i e u r e s
c h a n g e m e n t d e v a r i a b l e p o s s i b l e s l e p l u s i m p o r t a n t e s t p e u t t r e :
t = tg(x
2) dx = 2
1 + t2dt; .sin(x) =
2t
1 + t2; .cos(x) =
1 t21 + t2
E x e m p l e :
C a l c u l e r I =
12+cos(x)dx
D ' a p r e s l e c h a n g e m e n t d e v a r i a b l e p r c d e n t o n a :
I =
2dt3+t2
.
F o r m u l e d e W A L L I S :
I l s ' a g i t d e l a f o r m u l e s u i v a n t e :
Jn =
2
0sinn(x)dx
O n v o i s f a c i l e m e n t q u e J0 =
2 e t J1 = 1
S o i t n u n e n t i e r s t r i c t e m e n t s u p r i e u r 1 .
O n i n t g r e p a r p a r t i e e t o n a :
Jn =
2
0sinn1(x)sin(x)dx = [cos(x)sinn1(x)]
20 +(n1)
2
0cos2(x)sinn2(x)dx
D o n c
Jn = (n1)
2
0(1sin2(x))sinn2(x)dx = (n1)
2
0sinn2(x)dx(n1)
2
0sinn(x)dx
E t e n n o n a :
nJn = (n
1)Jn
2 A l o r s e n u t i l i s a n t c e t t e f o r m u l e o n t r o u v e
f a c i l e m e n t :
J2n =2n 1
2n
2n 32n 2
2n 52n 4 .............
3
4
1
2
2
e t
J2n+1 =2n
2n + 1
2n 22n 1
2n 52n 4 ..............
4
5
2
3.1
-
7/29/2019 001-Analyse-Intgrale de reiman Intgrale gnralise Equations diffrentielles Les erxercices
13/63
1 3
F o n c t i o n d n i e p a r u n e i n t g r a l e :
P r o p o s i t i o n :
S o i t f : I R u n e f o n c t i o n c o n t i n u e , a v e c I u n i n t r v a l e d e R ; e t u ; v
d e u x f o n c t i o n s d n i e s d e J I d e s a p p l i c a t i o n s d e c l a s s e C1 .
O n p o s e a l o r s :
G(x) =
v(x)u(x)
f(t)dt
A l o r s G
e s t u n e f o n c t i o n d r i v a b l e s u r I
e t o n a :
G(x) = f(v(x))v(x) f(u(x))u(x)
D m o n s t r a t i o n :
E n e e t s o i t F
u n e p r i m i t i v e q u e l c o n q u e d e f
s u rI
, a l o r s o n a :
G(x) = [F(t)]v(x)u(x) = F(v(x)) F(u(x))
E t d o n c
G(x) = F(v(x)).v(x) F(u(x)).u(x) = f(v(x)).v(x) f(u(x)).u(x)
E x e m p l e :
E t u d i e r l e s f o n c t i o n s s u i v a n t e s :
1 .G(x) = 2xx dt1+t2 e t
2 .
I(x) =sin2(x)0 arcsin(
t)dt +
cos2(x)0 arccos(
t)dt
1 ] L a f o n c t i o n f(t) = 1
1+t2e s t d n i e c o n t i n u e s u r
R; d o n c i n t g r a b l e
s u r t o u t i n t r v a l e f e r l d u t y p e [a, b]
, e n p a r t i c u l i e r s u r [x, x2]
p o u r t o u t x
d a n s R
.
C e q u i e n t r a i n e q u e l e d o m a i n e d e d n i t i o n d e G
e s tDG = R.
D ' a u t r e p a r t l e s f o n c t i o n s u(x) = x
e tv(x) = 2x
s o n t d e c l a s s e C1
e t d o n c
Ge s t d r i v a b l e s u r
Re t o n a :
G(x) = f(v(x)).v(x) f(u(x)).u(x) = 21 + 4x2
11 + x2
C e q u i d o n n e :
G(x) =3
1 + x2.
1 + 4x2(2
1 + x2 +
1 + 4x2)
-
7/29/2019 001-Analyse-Intgrale de reiman Intgrale gnralise Equations diffrentielles Les erxercices
14/63
1 4 C H A P I T R E 1 . I N T G R A L E S U R [A, B]
2 ] L e s f o n c t i o n s arcsin(
t)
e tarccos(
t)
s o n t c o n t i n u e s s u r [0, 1]
; d o n c s o n t
i n t g r a b l e s s u r [0,sin2(x)] e t s u r [0,cos2(x)] r e s p e c t i v e m e n t p o u r t o u t x d a n s
R, d o n c l e d o m a i n e d e d n i t i o n d e l a f o n c t i o n
Ie s tR
.
D e p l u s i l e s t f a c i l e d e v r i e r q u e I
e s t p a i r e e t p r i o d i q u e d e p r i o d e T = .
E n e e t I(x) = I(x)
c a rsin2(x) = sin2(x)
e tcos2(x) = cos2(x)
.
E t :
sin2(x + ) = (sin(x))2 = sin2(x)cos2(x + ) = (cos(x))2 = cos2(x)
D o n c o n r d u i t l e d o m a i n e d ' t u d e l ' i n t r v a l e [0, 2 ].
S o i t
Fu n e p r i m i t i v e d e
arcsin(t) e t G u n e p r i m i t i v e d e arccos(t).A l o r s :
I(x) = F(sin2(x)) F(0) + G(cos2(x)) G(0).
D o n c :
I(x) = F(sin2(x)).2cos(x).sin(x) G(cos2(x)).2cos(x).sin(x)d o n c
I(x) = sin(2x)[arcsin(|sin(x)|) arccos(|cos(x)|)]E t p u i s q u e
x [0, 2 ] , d o n c sin(x) e t cos(x) s o n t p o s i t i f s a l o r s :
I(x) = sin(2x)[arcsin(sin(x)) arccos(cos(x))] = sin(2x)(x x) = 0D o n c
Ie s t c o n s t a n t e s u r
[0; 2 ], e t c e t t e c o n s t a n t e e s t g a l e :
I(x) = I(
4) =
12
0arcsin(
t)dt +
12
0arccos(
t)dt
d o n c
I(x) =
12
0(arcsin(
t)dt + arccos(
t))dt
o r p o u r t o u t x
[0, 1]
o n a :arcsin(x) + arccos(x) = 2 e t d o n c :
I(x) =
4
-
7/29/2019 001-Analyse-Intgrale de reiman Intgrale gnralise Equations diffrentielles Les erxercices
15/63
C h a p i t r e 2
I n t g r a l e g n r a l i s e
D n i t i o n 1
:
S o i t I = [a, b[
a v e c ( b R
o ub = +
) ,f : I R
, u n e f o n c t i o n l o c a l e m e n t
i n t g r a b l e s u r I c . a . d i n t g r a b l e s u r t o u t i n t r v a l e [a, x] I.
P o u r a < x < b
o n p o s e (x) =
xa
f(t)dt; s i
limxb
(x) = le x i s t e (
R); o n
d i t q u e
ba
f(t)dtc o n v e r g e , e t o n c r i t t o u t s i m p l e m e n t
ba
f(t)dt = l
D a n s l e c a s c o n t r a i r e o n d i t q u e b
a
f(t)dte s t d i v r g e n t e .
E x e m p l e s
I =
10
dx1x2 c o n v e r g e .
O n e e t
0
dx1x2 = [arcsin(x)]
0 = arcsin()
E t p u i s q u e lim1
arcsin() = 2 a l o r s I c o n v e r g e e t o n a I =2
J =
21
dt(t2)2 d i v e r g e .
S i
1 < x < 2a l o r s
(x) = x
1
1(t2)2 dt = [
1t2 ]
x1 =
1x2 1
E t d o n c s i x 2 a l o r s (x) +
K =
10
dtt d i v e r g e .
O n e e t K = lim
0[ln(t)]1 = +
L =
10
dtt2
d i v e r g e .
1 5
-
7/29/2019 001-Analyse-Intgrale de reiman Intgrale gnralise Equations diffrentielles Les erxercices
16/63
1 6 C H A P I T R E 2 . I N T G R A L E G N R A L I S E
E n e e t
L = lim0[1t ]1 = lim0(1 + 1 ) = +
T h o r m e
1:
O n p o s e I() =
10
dtt A l o r s o n a l e s d e u x s i t u a t i o n s s u i v a n t e s :
1 . S i < 1 I() c o n v e r g e .
2 . S i 1 I()
d i v e r g e .
D m o n s t r a t i o n :
S i = 1
c ' e s t l ' e x e m p l e 3
l ' i n t g r a l e e s t d i v e r g e n t e .
S i= 1
d e u x s i t u a t i o n s s e p r s e n t e n t :
I() =
10
dt
t= lim
X0[
t1
1 ]1X = lim
X0(
1
1 X1
1 )
E t d o n c :
I() = 1
1 si 1>0+ si 10
C o n s q u e n c e 1
:
S o i t a
u n r e l s t r i c t e m e n t p o s i t i f ; a l o r s o n a :
a
0
1
tdt converge
< 1
D m o n s t r a t i o n :
m m e t c h n i q u e s q u e l e t h o r m e p r c d e n t .
C o n s q u e n c e 2
:
S o i e n t a
e tb
d e u x r e l s a l o r s o n a :ba
dt(bt) , c o n v r g e , s i e t s e u l e m e n t s i < 1
D m o n s t r a t i o n :
S o i t a < x < b
e t(x) =
x
a
dt(b
t) o n p o s e a l o r s u = b t e t d o n c du = dt
c e q u i d o n n e :
(x) = bx
badu
(u)=
babx
du
u
E t o n f a i s a n t t e n d r e x
v e r s b
o n a :
I =
ba0
duu e s t c o n v r g e n t e s i e t s e u l e m e n t s i
< 1d ' a p r e s l a c o n s q u e n c e
-
7/29/2019 001-Analyse-Intgrale de reiman Intgrale gnralise Equations diffrentielles Les erxercices
17/63
1 7
1.
T h o r m e 2
:
S o i t R o n p o s e I() =
+1
dtt
a l o r s o n a : I()
c o n v e r g e s i e t s e u l e m e n t
s i > 1
D m o n s t r a t i o n :
S i = 1
a l o r s o n a :
I(1) = limX+
X1
dt
t= lim
X+[ln(t)]X1 = lim
X+(ln(X)) = +
S i= 1
A l o r s o n a :
I() = limX+
X1
dt
t= lim
X+[
1
1 t1]X1 = lim
X+(
1
1 X1 1
1 )
E t d o n c I() = +
s i1 > 0
e tI() = 11 s i 1 < 0.
E x e m p l e s
+1
dt3
te s t d i v r g e n t e c a r
13 < 1(
3
t = t13 )
+
1
dt
t
3
te s t c o n v e r g e n t e c a r
43 > 1
T h o r m e
3:
S o i e n t f
e tg
d e u x f o n c t i o n s p o s i t i v e s s u r I = [a, b[
l o c a l e m e n t s i n t g r a b l e s
s u rI
e t t e l l e s q u e :
x I : f(x) g(x)A l o r s o n a l e s a r m a t i o n s s u i v a n t e s :
1 . S i
ba
g(x)dxc o n v e r g e
b
af(x)dx
c o n v e r g e .
2 . S i
b
af(x)dx
d i v e r g e
b
ag(x)dx
d i v e r g e .
E x e m p l e s
1 . E t u d i e r l a n a t u r e d e l ' i n t g r a l e g n r a l i s e :I =
+1
dxx+x2 .
O n r e m a r q u e f a c i l e m e n t q u e 0 1
x+x2 1
x2p o u r t o u t
x > 0.
E t p u i s q u e
+1
dxx2
c o n v r g e c a r 2 > 1
i l e n r s u l t e q u e I
c o n v e r g e .
-
7/29/2019 001-Analyse-Intgrale de reiman Intgrale gnralise Equations diffrentielles Les erxercices
18/63
1 8 C H A P I T R E 2 . I N T G R A L E G N R A L I S E
2 . E t u d i e r l a n a t u r e d e l ' i n t g r a l e g n r a l i s e :J =
+
1
e1x
x
2 dx.
D e l a m e m e f a c o n q u e d a n s 1
o n v a m a j o r e e l a f o n c t i o n f(x) = e
1x
x2p a r
u n e f o n c t i o n d o n t l ' i n t g r a l e g n r a l i s e e s t c o n v r g e n t e :
x 1 1x 1 e 1x e 0 f(x) e
x2
O r
+1
dxx2
c o n v e r g e J
c o n v e r g e .
3 . E t u d i e r l a n a t u r e d e l ' i n t g r a l e g n r a l i s e :K =
+1
exx
dx.
O n p o s e
f(x) =ex
x q u i e s t u n e f o n c t i o n p o s i t i v e .S i
x 1 a l o r s x 1 d o n c 1x 1 e t d o n c f(x) ex .
O r
+1
exdx = [ex]+1 = 1 c o n v e r g e , d o n c K c o n v e r g e .R e m a r q u e
L a c o n d i t i o n f
e tg
p o s i t i v e s e s t u n e c o n d i t i o n n c e s s a i r e .
D o n c a v a n t d ' u t i l i s e r c e c r i t r e i l f a u t s ' a s s u r e r q u e l e s f o n c t i o n s s o n t p o s i t i v e s
.
T h o r m e 4
:
S o i e n t a
e tb
d e u x r e e l s e t I = [a, b[
;f : I
R
u n e f o n c t i o n p o s i t i v e e t
l o c a l e m e n t i n t g r a b l e . O n s u p p o s e q u ' i l e x i s t e r R t e l q u e :
limxb
(b x)rf(x) = l R+
A l o r s o n a :
1 . S i
r < 1 b
af(x)dx
c o n v e r g e .
2 . S i r 1
ba
f(x)dxd i v e r g e .
E x e m p l e s :
1 . E t u d i e r l a n a t u r e d e l ' i n t g r a l e g n r a l i s e I =
10
|ln(x)|x
dx
L e p r o b l m e s e p o s e e n 0
, a v e c f(x) = |ln(x)|
x, e t o n a :
limx0
(x 0)rf(x) = limx0
(x)r12 |ln(x)| = 0
-
7/29/2019 001-Analyse-Intgrale de reiman Intgrale gnralise Equations diffrentielles Les erxercices
19/63
1 9
P o u r t o u t r
12 > 0
E n p a r t i c u l i e r o n p e u t c h o i s i r u n r q u i v r i e a l a f o i s r 12 > 0 e tr < 1
p a r e x e m p l e r = 23 ( e n r a l i t e t o u t l e s r ]12 , 1[) .
D o n c d ' a p r s l e t h o r m e p r c e d e n t I
c o n v e r g e .
2 . E t u d i e r l a n a t u r e d e l ' i n t g r a l e g n r a l i s e J =
10
11xdx
D e l a m m e m a n i r e d u e p r c e d e m e n t o n a , o n p o s e f(x) = 1
x.
limx1
(1 x)rf(x) = limx1
(1 x)r 12 = 0,si,r 12
> 0
D o n c o n p r e n d u n r
q u i v r i e a l a f o i s r
12 > 0 e t r < 1 p a r e x e m p l e
r = 34 , e t d o n c J c o n v e r g e .
T h o r m e
5:
S o i e n t a
u n r e e l s t r i c t e m e n t p o s i t i f , I = [a, +[
; e tf : I R
u n e f o n c t i o n
p o s i t i v e e t l o c a l e m e n t i n t g r a b l e . O n s u p p o s e q u ' i l e x i s t e u n r R
t e l q u e :
limx+(x)
rf(x) = l R+
A l o r s o n a :
1 . S i r > 1
ba
f(x)dxc o n v e r g e .
2 . S i r 1 e t l = 0 b
af(x)dx
d i v e r g e .
E x e m p l e s :
1 . E t u d i e r l a n a t u r e d e l ' i n t g r a l e s u i v a n t e :I =
+1
dx4
(x+1)ex.
O n p o s e
f(x) = 14(x+1)ex e t d o n c o n a :
limx+x
rf(x) = limx+x
r 14 .
1
ex4
= 0
P o u r t o u t r
e n p a r t i c u l i e r p o u r l e s r > 1
.
D o n c I
c o n v e r g e .
2 . E t u d i e r l a n a t u r e d e l ' i n t g r a l e s u i v a n t e :J =
+1
exdxx
C o m m e d a n s l e p r e m i e r e x e m p l e o n p o s e
f(x) = exx
e t o n a :
limx+x
rf(x) = limx+x
r 12 ex = 0,si,r 12
> 0
-
7/29/2019 001-Analyse-Intgrale de reiman Intgrale gnralise Equations diffrentielles Les erxercices
20/63
2 0 C H A P I T R E 2 . I N T G R A L E G N R A L I S E
.
S i p a r e x e m p l e r = 2 a l o r s o n a :
limx+x
2f(x) = limx+x
32 ex = 0
D o n c J
c o n v e r g e .
D n i t i o n 2
:
S o i e n t a, b R = R {, +}
;I =]a, b[
e tf : I R
u n e f o n c t i o n
l o c a l e m e n t i n t g r a b l e .
O n d i t q u e l ' i n t g r a l e
ba
f(x)dxc o n v e r g e s i e t s e u l e m e n t s i p o u r t o u t
a 0 d a n s c e c a s n o u s a v o n s d e u x r a c i n e s r e l l e s d i s t i n c t e s
r1 = r2 e t a l o r s l e s s o l u t i o n s d e E0 s o n t d e l a f o r m e :yssm = exp(r1x) + exp(r2x) , a v e c e t d e u x r e l s :
2emec a s :
= b24ac = 0 d a n s c e c a s l ' q u a t i o n c a r a c t e r i s t i q u e a d m e t u n e s e u l e
-
7/29/2019 001-Analyse-Intgrale de reiman Intgrale gnralise Equations diffrentielles Les erxercices
37/63
3 7
s o l u t i o n d o u b l e r1 = r2 = r e t d a n s c e c a s l e s s o l u t i o n s d e l ' q u a t i o n
s a n s s e c o n d m e m b r e s o n t d o n n e s p a r l a f o r m u l e :
yssm = (x + )exp(r.x)
A v e c
e t
d e u x r e l s q u e l c o n q u e s .3eme
c a s :
= b2 4ac < 0 d a n s c e c a s n o u s a v o n s d e u x r a c i n e s c o m p l e x e s d i s t i n c t e s
z1 = z2 a v e c z1 = + i e t z2 = i e t d a n s c e c a s l e s s o l u t i o n s d e l ' e q u a t i o n s a n s s e c o n d m e m b r e s o n t d o n n e s p a r l a
f o r m u l e :
yssm = exp(x)[A cos(x) + B sin(x)]
a v e c A e t B d e u x l e m e n t s d e R
E x e m p l e s :
r s o u d r e l e s q u a t i o n s s u i v a n t e s :
( a )y + 3y 4y = 0
( b )
y 4y + 4y = 0( c )
y + 4y + 5y = 0
P o u r 1 ) l ' q u a t i o n c a r a c t e r i s t i q u e e s t :r2 + 3r 4 = 0
d o n t l e =
b2 4ac = 9 + 16 = 25e t d o n c
r1 =3+5
2 = 1 e t r2 =35
2 = 4e t d o n c
yssm = exp(x) + exp(4x) , a v e c e t d e u x r e l s :p o u r 2 ) l ' q u a t i o n c a r a c t e r i s t i q u e e s t :
r2 4r + 4 = 0d o n t l e
=
b2 4ac = 16 16 = 0e t d o n c
r1 = r2 =42 = 2
e t d o n c yssm = [x + ]exp(2x) , a v e c e t d e u x r e l s :
p o u r 3 ) l ' q u a t i o n c a r a c t e r i s t i q u e e s t : r2 + 4r + 5 = 0 d o n t l e =b2 4ac = 16 20 = 4 = (2i)2A l o r s
z1 =4+2i
2 = 2 + i e t z2 = 2 iE t d a n s c e c a s
yssm = exp(2x)[A cos(x) + B sin(x)] a v e c A e t B d e u x l e m e n t s d e
R
-
7/29/2019 001-Analyse-Intgrale de reiman Intgrale gnralise Equations diffrentielles Les erxercices
38/63
3 8 C H A P I T R E 3 . E Q U A T I O N S D I F F R E N T I E L L E S
1 3 . R e c h e r c h e d ' u n e s o l u t i o n p a r t i c u l i r e :
c o n s i d e r o n s d ' a b o r t l ' e q u a t i o n :
ay + by + cy = ex.Pn(x)
A v e c
u n r e l e t Pn u n p o l y n m e d e d e g r e n
D a n s c e c a s o n c h e r c h e u n e s o l u t i o n p a r t i c u l i r e d e l a f o r m e :
Yp = ex.xs.(A0 + A1x + ....... + Anx
n)
O A0, A1, ......An d e s c o n s t a n t e s r e l l e s a d t e r m i n e r .
E ts
v r i e :
s = 0
s i
n ' e s t p a s r a c i n e d e E.C
s = 1
s i
e s t r a c i n e s i m p l e d e E.C
s = 2
s i
e s t r a c i n e d o u b l e d e E.C
E x e m p l e :
R s o u d r e l ' q u a t i o n d i r e n t i e l l e s u i v a n t e :
y 3y 4y = 6e2x (1)
O n c o m m e n c e p a r r s o u d r e l ' q u a t i o n c a r r a c t e r i s t i q u e :r2 3r 4 = 0
O n a :
= 9 + 16 = 25d o n c
r1 = 4e t
r2 = 1 e t d o n c l a s o l u t i o n d e l ' q u a t i o n s a n s s e c o n d m e m b r e e s t :
yssm = e4x + ex
a v e c
e t
d e u x r e l s
O n c h e r c h e e n s u i t e u n e s o l u t i o n p a r t i c u l i r e d e l a f o r m e :
Yp = e2x.x0.(A) = A.e2x
A l o r s yp = 2Ae2x e t yp = 4Ae2x e t o n r e m p l a c e d a n s l e q u a t i o n (1)
4Ae2x 6Ae2x 4Ae2x = 6e2x 6A = 6 A = 1E t e n n l a s o l u t i o n g n r a l e d e
(1)e s t :
y = yssm + Yp = e4x + ex e2x
-
7/29/2019 001-Analyse-Intgrale de reiman Intgrale gnralise Equations diffrentielles Les erxercices
39/63
3 9
E x e m p l e 2 :
r s o u d r e l ' q u a t i o n d i r e n t i e l l e s u i v a n t e :
y 2y 3y = 3xex (2)
L e q u a t i o n c a r r a c t e r i s t i q u e :
r2 2r 3 = 0E t
= 16d o n c
r1 = 1 e t r2 = 3 ; d o n c l a s o l u t i o n d e l ' q u a t i o n s a n s s e c o n d m e m b r e e s t d o n n e p a r :
yssm = ex + e3x e t R
O n c h e r c h e e n s u i t e u n e s o l u t i o n p a r t i c u l i r e d e l a f o r m e :
yp = ex.xs.(A0 + A1x)
a v e c s = 1
c a r 1 e s t r a c i n e s i m p l e d e l ' q u a t i o n c a r r a c t e r i s t i q u e .E t o n c a l c u l e
yp = ex(A0+(2A1A0)xA1x2) p u i s yp = ex(2A12A0 + (A0 4A1)x + A1x2) .E t o n r e m p l a c e d a n s l ' q u a t i o n
(2):
c e q u i n o u s d o n n e : A0 = 316 e t A1 = 38 .
C e q u i n o u s d o n n e l a s o l u t i o n g n r a l e d e (2)
:
y = ex + e3x + ex.x.(3
16+
3
8x)
C o n s i d r o n s m a i n t e n a n t l ' q u a t i o n d i r e n t i e l l e s u i v a n t e :
ay + by + cy = ex.Pn(x)cos(.x)
A v e c
,
d e u x r e l s e t Pn u n p o l y n m e d e d e g r e n
D a n s c e c a s o n c h e r c h e u n e s o l u t i o n p a r t i c u l i r e d e l a f o r m e :
yp = exxs[Qn(x)cos(.x) + Rn(x)sin(.x)]
O Qn e t Rn s o n t d e s p o l y n m e d e d e g r e n e t
-
7/29/2019 001-Analyse-Intgrale de reiman Intgrale gnralise Equations diffrentielles Les erxercices
40/63
4 0 C H A P I T R E 3 . E Q U A T I O N S D I F F R E N T I E L L E S
s = 0
s i + i
n ' e s t p a s r a c i n e d e l ' q u a t i o n c a r r a c t e r i s t i q u e .
s = 1 s i + i e s t r a c i n e d e l ' q u a t i o n c a r r a c t e r i s t i q u e
E x e m p l e 1 :
R s o u d r e l ' q u a t i o n d i o r e n t i e l l e s u i v a n t e :y3y4y = 8ex.cos(2x) (3)
E q u a t i o n c a r r a c t r i s t i q u e :r2 3r 4 = 0
, d o n c = 25
e tr1 = 1
e tr2 = 4 e t d o n c l a s o l u t i o n p a r t i c u l i r e s e r a d e l a f o r m e :
yp = ex.(Acos(2x) + Bsin(2x))
O n as = 0
c a r1 + 2i
n ' e s t p a s u n e r a c i n e d e l ' q u a t i o n c a r r a c t e r i s -
t i q u e ; e t o n c a l c u l e yp e t yp p u i s o n r e m p l a c e d a n s l ' q u a t i o n (3) e t
o n t r o u v e : A = 317 e t B = 517 .
E x e m p l e 2 :
R s o u d r e l ' q u a t i o n d i r e n t i e l l e :
y + 2y + 5y = 4excos(2x) y(0) = 1 , y(0) = 0
L e q u a t i o n c a r r a c t e r i s t i q u e e s t :r2+2r+5 = 0
e t s o n = 16 = (4i)2
d o n c l e s s o l u t i o n s s o n t z1 = 1 + 2i e t z2 = 1 2i
O n c h e r c h e d o n c yp = (Acos(2x) + Bsin(2x)).x.e
x( o n a
s = 1c a r
1+2ie s t r a c i n e d e l ' q u a t i o n c a r r a c t e r i s t i q u e ) e t l e r s t e d e s c a l c u l e s
e s t l a i s s a u t u d i a n t s .
R e m a r q u e :
P o u r r s o u d r e u n e q u a t i o n d u t y p e :
ay + by + cy = ex.Pn(x)sin(.x)
o n p r o c d e d e l a m m e m a n i r e e t l a s o l u t i o n p a r t i c u l i r e s e r a a u s s i
d u t y p e :
yp = exxs[Qn(x)cos(.x) + Rn(x)sin(.x)]
1 4 . P r i n c i p e d e s u p r p o s i t i o n :
S o i t l ' q u a t i o n d i r e n t i e l l e :
ay + by + cy = f1 + f2 (E)
-
7/29/2019 001-Analyse-Intgrale de reiman Intgrale gnralise Equations diffrentielles Les erxercices
41/63
4 1
O f1 e t f2 d e u x f o n c t i o n s .
P o u r c h e r c h e r u n e s o l u t i o n p a r t i c u l i r e d e E ; o n c h e r c h e u n e s o l u t i o n
p a r t i c u l i r e y1 d e : ay + by
+ cy = f1 e t u n e s o l u t i o n p a r t i c u l i r e y2 d eay + by + cy = f2 e t a l o r s yp = y1 + y2 s e r a u n e s o l u t i o n p a r t i c u l i r e d e
E.
E x e m p l e :
R s o u d r e l ' q u a t i o n d i r e n t i e l l e s u i v a n t e :
y + y 2y = ex + e2x
t o u t d ' a b o r t o n c r i t l ' q u a t i o n c a r r a c t e r i s t i q u e :r2 + r
2 = 0
e t s o n t
= 1 + 8 = 9
D o n c r1 = 2 e t r2 = 1 , d o n c l a s o l u t i o n d e l ' q u a t i o n s a n s s e c o n d
m e m b r e e s t :
yssm = .ex + .e2x e t R
P o u r c h e r c h e r u n e s o l u t i o n p a r t i c u l i r e d e c e t t e q u a t i o n o n c h e r c h e r a
l e s s o l u t i o n s p a r t i c u l i r e d e y + y2y = ex
e t d e y + y2y = e2x
.
p o u r l a p r e m i e r e q u a t i o n
y1 = A.x.ex
(
s = 1) c a r
1e s t u n e r a -
c i n e d e l ' q u a t i o n c a r r a c t e r i s t i q u e e t d o n c y1 = (Ax + A)ex e t
y1 = (Ax + 2A)ex
, e t p u i s o n r e m p l a c e d a n s l ' q u a t i o n e t o n
t r o u v e :3A = 1
, d o n c A = 13
P o u r l a d e u x i e m e q u a t i o n y2 = B.x.e
2x(s = 1
c a r 2 e s t u n e r a c i n e d e l ' q u a t i o n c a r r a c t e r i s t i q u e e t d o n c
y2 = (2Bx + B)e2xe t
y2 = (4Bx 4B)e2x , e t p u i s o n r e m p l a c e d a n s l ' q u a t i o n e t o n t r o u v e : 3B = 1 , d o n c B = 13
D o n c yp = y1+y2 =
13xe
x13xe2x ; e t l a s o l u t i o n g n r a l e d e l ' q u a t i o n e s t :
yg = yssm + yp = .ex + .e2x +
1
3xex 1
3xe2x
A v e c
e t
d e u x l m e n t s d e R
-
7/29/2019 001-Analyse-Intgrale de reiman Intgrale gnralise Equations diffrentielles Les erxercices
42/63
4 2 C H A P I T R E 3 . E Q U A T I O N S D I F F R E N T I E L L E S
-
7/29/2019 001-Analyse-Intgrale de reiman Intgrale gnralise Equations diffrentielles Les erxercices
43/63
C h a p i t r e 4
L E S E X E R C I C E S
E X E R C I C E S D ' I N T E G R A T I O N S U R R
1 . E X E R C I C E :
C a l c u l e r l e s l i m i t e s d e s s u i t e s s u i v a n t e s :
( a )un =
1n
n
2 + n
4 + ........ + n
2n
un1n3
1
12 + n2 + 2
22 + n2...... + n
n2 + n2
( b )
vn = n.[1
1+n2 +
1
22
+n2 +
1
32
+n2 + ......+
1
n2
+n2 ] vn =
n
k=1
n+k
n2
+k2
( c )wn =
nk=1
(1 + kn
)1n wn =
1np+1
nk=1
kpp o u r
pe n t i e r n a t u r e l .
( d )kn =
1n
.n1p=0
pn2+p2
kn =1n
nk=1
kp kn =n
k=1
1(n+k1)(n+k)
( e )rn =
1n2
np=1
p n
ep rn =1n
arctan(1n1+n ) + arctan(
knk+n ) + .... + arctan(
nnn+n )
( f )zn =
n
p=12[ln(p+n)ln(n)]+5
p+n zn =1n arcsin(1n1+n ) + arcsin( knk+n ) + ...... + arcsin(nnn+n )
( g )sn =
np=1
1(n+p)(1+ln(p+n)ln(n)) sn = n.
nk=1
ekn
k2
( h )n =
1n
(2n)!
n!
1n
4 3
-
7/29/2019 001-Analyse-Intgrale de reiman Intgrale gnralise Equations diffrentielles Les erxercices
44/63
4 4 C H A P I T R E 4 . L E S E X E R C I C E S
2 . E X E R C I C E :
S o i t f u n e f o n c t i o n c o n t i n u e s u r [ 0 ; 1 ] o n p o s e
U n = 1n
nk=1
f(2k12n ) , p o u r n 1
C a l c u l e r l a l i m i t e d e c e t t e s u i t e
3 . E X E R C I C E :
C a l c u l e r l e s p r i m i t i v e s s u i v a n t e s :
( a ) cos(x)exdx 4) x cos(x)dx( b )
Ln(x)
xdx 5)
sin(3x) cos(4x)dx
( c )
x2 cos(x)dx 6)
sin(x) cos(x)sin(x) + cos(x)
dx
4 . E X E R C I C E :
O n p o s e I =
cos(x)
cos(x)+sin(x)dx e t J =
sin(x)
cos(x)+sin(x)dx
( a ) C a l c u l e r I + J
e tI J
( b ) E n d d u i r e I
e tJ
5 . E X E R C I C E :
C a l c u l e r l e s i n t e g r a l e s e t p r i m i t i v e s s u i v a n t e s :
( a )
40
x1+3x2
dx
94
(
x 1x
)dx
( b )
dx
x(1+ 3
x)
Arc sin(x)dx
( c )
xtg2(x)dx
dx
x
1+Ln(x)
6 . E X E R C I C E : C a l c u l e r l e s i n t e g r a l e s e t p r i m i t i v e s s u i v a n t e s :
( a )eArctg(x)
(1+x2)32 dx
sin(x)dxcos(x)(1+cos2(x))( b ) 3 )
dx
sin(x)
e1
xnLn(x)dx
( c )5)
21
Ln(x +
x2 + 1)dx,
11
(Arc cos(x))2dx
-
7/29/2019 001-Analyse-Intgrale de reiman Intgrale gnralise Equations diffrentielles Les erxercices
45/63
4 5
7 . E X E R C I C E :
T r o u v e r u n e r e l a t i o n d e r c u r e n c e p r m e t t a n t d e c a l c u l e r l ' i n t g r a l e
s u i v a n t e :
In =
10
dt(1+t2)n
8 . E X E R C I C E : O n p o s e In =
4
0tgn(x)dx
p o u r n N
( a ) T r o u v e r u n e r e l a t i o n In e t In+2
( b ) C a l c u l e r lim
n+ In
9 . E X E R C I C E :
S o i t Jn = 10
xn sin(x)dx ; n N( a ) t r o u v e r u n e r e l a t i o n e n t r e
Jn e t ; Jn+2
( b ) C a l c u l e r lim
n+n2.Jn
1 0 . E X E R C I C E :
1 ) D c o m p o s e r e n l e m e n t s s i m p l e s l a f o n c t i o n f(t) = 1
t(1+t2)
2 ) E n d d u i r e
tLn(t)dt(1+t2)2
1 1 . E X E R C I C E :
( a ) D o n n e r l a d c o m p o s i t i o n e n l m e n t s s i m p l e s d e l a f r a c t i o n r a -
t i o n n e l l e :f(x) = x
2
(1+x)2(2+x)
( b ) E n d d u i r e u n e p r i m i t i v e d e l a f r a c t i o n r a t i o n n e l l e g(t) = t
4
(1+t2)2(2+t2)
( c ) C a l c u l e r a l o r s l ' i n t g r a l e I =
4
0
sin4(x)dx1+cos2(x)
1 2 . E X E R C I C E :
a ) D c o m p o s e r e n l e m e n t s s i m p l e s : l e s f r a c t i o n s r a t i o n n e l l e s s u i v a n t e s :
( a )f(x) = 1+mx
(1+x2)(xm) , o u m R+
( b )g(x) = 1
(1+x)(1+x2)
b ) C a l c u l e r A l o r s I(x) =
0x
f(t)dta v e c
x < 0e t
J(s) =s
0
et
(1+et)(1+e2t)dt
c ) C a l c u l e r l e s l i m i t e s s u i v a n t e s :
limX
I(X) et lims+J(s)
-
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46/63
4 6 C H A P I T R E 4 . L E S E X E R C I C E S
1 3 . E X E R C I C E :
E n u t i l i s a n t l e c h a n g e m e n t d e v a r i a b l e x = cos(t) c a l c u l e r I =10
x.
1x1+xdx
1 4 . E X E R C I C E :
S o i t a < b
d e u x r e l s e t s o i t f : [a, b] R
u n e f o n c t i o n b o r n e
i n t g r a b l e e t
v r i a n t : p o u r t o u t
x [a, b], f(a + b x) = f(x)
1)M o n t r e r q u e b
ax.f(x)dx =a+b
2 . ba f(x)dx2)
A p p l i c a t i o n :
C a l c u l e r I =
0
x sin(x)1+cos2(x)
dxe t
J =
0
x1+sin(x)dx
1 5 . E X E R C I C E :
S o i t f(x) = x+2
x3(x+1).
1 ) D o n n e r l a d c o m p o s i t i o n e n l m e n t s s i m p l e d e f
e t c a l c u l e r
f(x)dx.
2 ) O n p o s e g(x) = x
2+2x6(x2+1) , e n d d u i r e
g(x)dx
1 6 . E X E R C I C E :
S o i t R
, u n r e l , e t f(x) = x+3
x2(x+1)
1 ) D c o m p o s e r f
e n l m e n t s s i m p l e s d a n s R [X] .
2 ) C a l c u l e r F =
f(x)dx
3 ) P o u r q u e l s v a l e u r s d e
,F(x) e s t u n e f r a c t i o n r a t i o n n e l l e .
4 ) O n s u p p o s e q u e = 2
, c a l c u l e r
+1
f(x)dx.
1 7 . E X E R C I C E :
S o i t f(x) = x+
x2(x+1) , o u
e s t u n r e l d o n n ,
1 ) D c o m p o s e r f e n l e m e n t s s i m p l e s .
2 ) C a l c u l e r G =
f(x)dx
3 ) P o u r q u e l s v a l e u r s d e
,G e s t u n e f r a c t i o n r a t i o n n e l l e .
4 ) O n s u p p o s e q u e = 2
, c a l c u l e r
+1
f(x)dx.
-
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47/63
4 7
1 8 . E X E R C I C E :
C a l c u l e r l e s i n t e g r a l e s s u i v a n t s :10
tdt1+t4 ; 2 )
e0
xn ln(x)dx, 3 )
10
(x2 + 3x + 1)exdx; 4 )
1 9 . E X E R C I C E :
C a l c u l e r p a r p a r t i e s l e s i n t g r a l e s o u p r i m i t i v e s s u i v a n t e s :
( a )I =
11
(x2 + 5x + 6) cos(2x)dx J =
sin(ln(x))dx
( b )K =
x ln(x)dx(1+x2)2
L =
ex cos(2x)dx
2 0 . E X E R C I C E :
c a l c u l e r l e s i n t g r a l e s e t p r i m i t i v e s s u i v a n t e s :
( a )I1 =
dx
1+cos(x) I2 =
2+sin(x)
3+sin(x)+cos(x)dx
( b )J1 =
cos2(x)dx2+sin(x) J2 =
1+x
x24 dx
( c )K1 =
x
3
1+x2+x
dx
2 1 . E X E R C I C E : S o i t G(x) =
x2
0
1 + t4dt
( a ) M o n t r e r q u e G
e s t d r i v a b l e s u r R
e t c a l c u l e r G(x)
( b ) M o n t r e r q u e
1 + t4 t2
p o u r t o u t
t R.( c ) E n d d u i r e l e s l i m i t e s s u i v a n t e s :
limx+G(x) limx+
G(x)x
limx+
G(x)x2
limx+
G(x)x3
limx+
G(x)x4
limx+
G(x)x5
2 2 . E X E R C I C E : S o i t H(x) =
2x2x2
11+t2+t4
dt
( a ) M o n t r e r q u e H
e s t d r i v a b l e s u r R
e t c a l c u l e r H(x)
( b ) M o n t r e r q u e 0 H(x) 12x2 x R
( c ) E n d d u i r e lim
x+H(x)
2 3 . E X E R C I C E : S o i t
F(x) =
x2+x31+x
dt1+t4
-
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4 8 C H A P I T R E 4 . L E S E X E R C I C E S
( a ) C a l c u l e r F(1)
( b ) M o n t r e r q u e F
e s t d r i v a b l e s u r R
e t c a l c u l e r F(x)
p o u r x R
( c ) C a l c u l e r limx1
1x1
x2+x31+x
dt1+t4
2 4 . E X E R C I C E : S o i t h(x) =
x1x
1t2(1+t2)
1+t4
dtd n i e s u r
]0, +[
( a ) C a l c u l e r h(1)
( b ) M o n t r e r q u e h
e s t d r i v a b l e s u r I
e t c a l c u l e r h(x)
p o u r t o u t x I
( c ) E n d d u i r e h(x)
p o u r x I
2 5 . E X E R C I C E : O n c o n s i d r e p o r
n N l ' i n t g r a l e Jn(x) = dx(1+x2)n( a ) c a l c u l e r
J0; J1;e t J2
( b ) E t a b l i r u n e r e l a t i o n d e r c u r e n c e e n t r e
Jn+1 e t Jn . E n d d u i r e
J3 e t J4
2 6 . E X E R C I C E : C a l c u l e r I =
cos(x)exdx
e t e n d d u i r e
J =
eArctg(t)
(1 + t2)32
dt
2 7 . E X E R C I C E : c a l c u l e r l e s p r i m i t i v e s s u i v a n t e s :
( a )A =
dt
t(1+ 3
t)
( b )B =
dx
x
1+ln(x)
( c )
x3+1
x(x1)2 dx
2 8 . E X E R C I C E O n p o s e In =
10
tn
1 + tdt
( a ) C a l c u l e r
I0 e t , I1
( b ) C o m p a r e r tn
e ttn+1
p o u r 0 t 1 e t e n d d u i r e l a m o n o t o n i e
d e l a s u i t e In
( c ) M o n t r e r q u e
1n+1 In
2
n+1
( d ) M o n t r e r q u e p o u r t o u s t [0;1] : 0 2 1 + t 12(1 t)
-
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4 9
( e ) E n d d u i r e a l o r s q u e
2
n+1
1
2n2
In
2
n+1 e t c a l c u l e r l a l i m i t e
d e In e t nIn
2 9 . E X E R C I C E : O n p o s e In =
e1
x(ln(x)ndxp o u r
n N
( a ) C a l c u l e r I0 e t I1
( b ) T r o u v e r u n e r e l a t i o n d e r e c u r e n c e e n t r e In e t In+1
( c ) M o n t r e r q u e I n e s t d c r o i s s a n t e e t q u e
e2
n+3 In e2
n+2
( d ) C a l c u l e r l i m i t e d e In e t nIn
3 0 . E X E R C I C E : C a l c u l e r l e s p r i m i t i v e s s u i v a n t e s :
( a )I =
10
tdt1+t4
J =
sin(Ln(x))dx
( b )K =
dx
sin(x) . . . L =
dx
xLn(x)
( c )
F =
x3+1
x(x1)2 dx
3 1 . E X E R C I C E :
O n p o s e In =
n1
et2
dt(n N)
1 ) M o n t r e r q u e l a s u i t e
Ine s t c r o i s s a n t e
2 ) m o n t r e r q u e In
n1
tet2dt
3 ) E n d d u i r e u n m a j o r a n t d e In e t l a c o n v e r g e n c e d e l a s u i t e In
3 2 . E X E R C I C E :
S o i t
fu n e f o n c t i o n c o n t i n u e s u r
R, o n p o s e :
F(x) =
x+1x1
f(t)dt
1 ) M o n t r e r q u e F e s t d r i v a b l e s u r R e t c a l c u l e r F(x)2 ) M o n t r e r q u e
Fe s t c o n s t a n t e s i e t s e u l e m e n t s i
fe s t p r i o d i q u e d e
p e r i o d e T = 2
3 ) E n v i s a g e r l e c a s f(x) = cos(x)
-
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5 0 C H A P I T R E 4 . L E S E X E R C I C E S
3 3 . E X E R C I C E
1 ) D c o m p o s e r e n l e m e n t s s i m p l e s l a f r a c t i o n r a t i o n n e l l e f(x) =1
(x+1)(x2x+1)2 ) C a l c u l e r l e s p r i m i t i v e s s u i v a n t e s :
dxx3+1 ;
x3dxx3+1
3 ) C a l c u l e r l a p r i m i t i v e
dx
x2+
x
3 4 . E X E R C I C E :
C a l c u l e r l e s p r i m i t i v e s s u i v a n t e s :
1 )I =
10
xx2 + 2xdx
( o n p o s e r a t = arcsin(x 1)
)
2 )J =
11|ex 1| dx
ex+1
3 5 . E X E R C I C E :
S o i t Fn l a f o n c t i o n d n i e p a r :
x R ; n N ; Fn(x) = 1246
(cos(t))nex. cos(t)dt
1 ) M o t r e r q u e x R
;n N
;Fn(x) =
12
20
(cos(t))nex. cos(t)dt
2 ) a ) E c r i r e Fn(0) e t e n i n t e g r a n t p a r p a r t i e t r o u v e r u n e r e l a t i o n d e
r e c u r e n c e e n t r e
Fn(0) e t Fn2(0) , p o u r n 2.b ) E n d e d u i r e l a v a l e u r d e
F2n(0) e t c e l l e d e F2(n+1)(0) p o r t o u t
n 03 ) O n s u p p o s e q u e p o r t o u t
x Re t p o u r t o u t
n 0,
Fn(x) =Fn+1(x) .
( Fn d s i g n e l a f o n c t i o n d r i v e d e Fn )4 ) E x p r i m e r
F(k)0 e n f o n c t i o n d e Fk p o u r t o u t k 1
5 ) E n d d u i r e l e d v e l o p p e m e n t l i m i t l ' o r d r e 7
d e l a f o n c t i o n F0 a u
v o i s i n a g e d e 0
-
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5 1
3 6 . E X E R C I C E :
S o i t I n =
10
xn1+xdx
( a ) E n m a j o r a n t l a f o n c t i o n i n t e g r e , m o n t r e r q u e In t e n d v e r s z r o
( b ) C a l c u l e r In + In+1
( c ) D t e r m i n e r lim
n+(n
k=1
(1)k+1k
).
3 7 . E X E R C I C E :
S o i t In =
10
(1 t2)ndt
( a ) E t a b l i r u n e r e l a t i o n d e r c u r e n c e e n t r e In e t In+1
( b ) C a l c u l e r In
( c ) E n d d u i r e
nk=0
(1)k2k+1 .n
k
3 8 . E X E R C I C E :
S o i t In =
10
tnetdt
( a ) C a l c u l e r I0, I1, I2 I3, I4.
( b ) E t u d i e r l a s u i t e
In
3 9 . E X E R C I C E :
S o i e n t I =
0
x cos2(x)dxe t
J =
0
x sin2(x)dx
( a ) C a l c u l e r I + J
( b ) C a l c u l e r I J
( c ) E n d d u i r e I
e tJ
.
4 0 . E X E R C I C E : O n p o s e p o u r
p, q N:
Ip,q = 1
0tp(1 t)qdt
( a ) M o n t r e r q u e : p N; q N; Ip,q = qp+1Ip+1,q1 .( b ) E n d e d u i r e q u e :
p, q N, Ip;q = p!q!(p+q+1)!
( c ) M o n t r e r q u e :p, q N;
qk=0
(1)kp+k+1 =
p!q!(p+q+1)!
-
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52/63
5 2 C H A P I T R E 4 . L E S E X E R C I C E S
4 1 . E X E R C I C E :
S o i t f
u n e f o n c t i o n d e c l a s s e C1
s u r[a, b]
o n p o s e :
In =
ba
f(t)sin(nt)dt Jn =
ba
f(t)cos(nt)dt
M o n t r e r q u e In e t Jn t e n d e e n t v e r s z r o l o r s q u e n t e n d v e r s +
4 2 . E X E R C I C E :
I ] S o i t f u n e f o n c t i o n c o n t i n u e d e R
d a n s R
, e t s o i e n t u e t v d e u x
f o n c t i o n s d r i v a b l e s s u r R
O n d n i e l a f o n c t i o n G d e R v e r s R p a r :
G(x) =
v(x)u(x)
f(t)dt
1 ] M o n t r e r q u e G
e s t d r i v a b l e s u r R
2 ] M o n t r e r q u ' o n a :
G(x) = v(x).f(v(x)) u(x).f(u(x))
I I ] S o i t f
e tF
l e s f o n c t i o n s d n i e s p a r :
f(t) = t4e4t4e t
F(x) =1+x2
xf(t)dt
( a ) i . D o n n e r l e d o m a i n e d ' t u d e
DE d e f e t d r e s s e r s o n t a b l e a u d e
v a r i a t i o n s u r DE
i i . M o n t r e r q u e p o u r t o u t x R
,f(x) 14e
i . C a l c u l e r l a f o n c t i o n d r i v e F
d eF
i i . E n d d u i r e q u e x [0, 1] : |F(x)| 34e( b ) M o n t r e q u e
x
[0, 1] : 0
F(x) < 1
( c ) O n c o n s i d r a n t l a f o n c t i o n g(x) = F(x) x
m o n t r e r q u ' i l e x i s t e
x0 ]0, 1[ t e l q u e F(x0) = x0( d ) S o i t
un l a s u i t e d n i e p a r : u0 = 0; ..et; ..un+1 = f(un)
i . M o n t r e r q u e un [0, 1]
-
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53/63
5 3
i i . E n u t i l i s a n t l e t h o r m e d e s A c c r o i s s e m e n t n i s e n t r e un1
e t x0 , m o n t r e r q u e
|un x0| 34e |un1 x0|i i i . E n d d u i r e q u e
un c o n v e r g e v e r s x0
4 3 . E X E R C I C E : C a l c u l e r l e s p r i m i t i v e s u i v a n t e s :
( a )I =
dx
sin5(x)
( b )J =
sin3(x)dx
(cos2(x)+1)3
( c )K = dxcos(x)+sin(x)
4 4 . E X E R C I C E :
C a l c u l e r l e s p r i m i t i v e s u i v a n t e s :
( a )
3x+xx38xdx
( b )
t1
3t+1dt
( c )
t
t2t+2dt
( d ) dx
31+x3
( e )
31+x3
x2dx
4 5 . E X E R C I C E :
C a l c u l e r l e s p r i m i t i v e s u i v a n t e s o n u t i l i s a n t u n c h a n g e m e n t d e v a r i a b l e :
( a )I1 =
dx
x1+x
( b )I2 =
2xx
dx
( c )I3 =
x3dx
(1+x2)2
( d )I4 =
(x2 1)x3 3xdx
( e )I5 =
sin(
x)
xdx
( f )I6 =
e3x
1+e2xdx
-
7/29/2019 001-Analyse-Intgrale de reiman Intgrale gnralise Equations diffrentielles Les erxercices
54/63
5 4 C H A P I T R E 4 . L E S E X E R C I C E S
4 6 . E X E R C I C E :
C a l c u l e r l e s i n t g r a l e s e t p r i m i t i v e s s u i v a n t e s o n u t i l i s a n t u n e i n t e g r a -
t i o n p a r p a r t i e :
1 )I1 =
t sin(2t)dt
2 )I2 =
tdt1+t
3 )I3 =
arcsin(t)dt
4 )
I4 =
11
et cos2(t)dt5 )
I5 =
sin(ln(t))dt
6 )I6
10
t2etdt
4 7 . E X E R C I C E :
C a l c u l e r l e s i n t e g r a l e s e t p r i m i t i v e s d e s f r a c t i o n s r a t i o n n e l l e s s u i v a n t e s :
I1 = 1
0 x32
x3
x2
dx3 )
I3 = x3x2+2(x2)(x3)dx 4 ) I4 = x6+2x5x43x31
x3
(x+1)
2 dx5 )
I5 =
(x1)5
(x2+1)(x+3)2dx
6 )I6 =
x2+1
(x21)2 dx 7 ) I7 =
x4+1x3xdx 8 )
I8 =
x2x6x416 dx
4 8 . E X E R C I C E :
( a ) J u s t i e r l a d n i t i o n d e l ' a p p l i c a t i o n I
d eR \ {1, 1}
d a n s R
d n i e p a r :
xR
\ {1, 1
}, I(x) =
2
0
ln(x2
2cos().x + 1)d.
( b ) M o n t r e r q u e I
e s t p a i r e .
( c ) P o u r t o u t R ; d c o m p o s e r l e p o l y n m e x4 2cos().x2 + 1 e n
p r o d u i t d e p o l y n o m e s i r r e d u c t i b l e s d a n s R[X]
.
( d ) S o i t x R\{1; 1} c a l c u l e r I(x2) e n f o n c t i o n d e I(x) ; p u i s I(x2n)
e n f o n c t i o n d e I(x)
p o u r t o u t n N
( e ) D d u i r e d e s r s u l t a t s p r c e d e n t s l a v a l e u r d e I(x)
p o u r x R, |x| 1
( g ) R e t r o u v e r l e s r s u l t a t s d e 5)
e t6)
d i r e c t e m e n t a l ' a i d e d e s s o m m e s
d e R i e m a n n .
-
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55/63
5 5
I N T E G R A L E S G E N E R A L I S E E S
1 . E X E R C I C E :
E t u d i e r l a n a t u r e d e s i n t g r a l e s s u i v a n t e s p a r t i r d e l a d n i t i o n e t
l e s c a l c u l e r v e n t u e l l e m e n t :
10
11t2 dt
2
0
dtsin(t)
10
1t ln(t)dt
10
ln(t)(1+t)2
dt
+0
eaxdx (a R)+
0t2etdt
2 . E X E R C I C E :
E t u d i e r l a n a t u r e d e s i n t g r a l e s u i v a n t e s :
1 )
I =
+0
(1cos(x))x73
dx; 2 )
+0
cos(x)1+x2
dx3 )
+0
x2
1+3x4dx
4 )
+0
x1+x4
dx5 )
+0
sin(x2)x2
dx
3 . E X E R C I C E :
E t u d i e r l a n a t u r e d e s i n t g r a l e s s u i v a n t e s e n d t e r m i n a n t l e s l i m i t e s
c o r r s p o n d a n t s :
1 ) 10Ln(t)dt
2 ) 20 tg(t)dt
3 ) 10
Ln(t)(1+t)2 dt
4 )
+1
dt
t1+t2
5 )
+1
arctg(1t
)dt
4 . E X E R C I C E :
1 ) M o t r e r q u e
+1
1t2
cos(t) cos(1t
)dte s t a b s o l u m e n t c o n v e r g e n t e .
2 ) E n d d u i r e l a n a t u r e d e
+0
sin(t) sin(1t
)dt
5 . E X E R C I C E 5 :
E n u t i l i s a n t l a d n i t i o n , m o n t r e r q u e l e s i n t g r a l e s s u i v a n t e s
s o n t c o n v e r g e n t e s e t c a l c u l e r l e u r s v a l e u r s :
I =
+0
dtt2+t+1 e t
J =
+1
dtt2(t+1)
-
7/29/2019 001-Analyse-Intgrale de reiman Intgrale gnralise Equations diffrentielles Les erxercices
56/63
5 6 C H A P I T R E 4 . L E S E X E R C I C E S
6 . E X E R C I C E :
E t u d i e r l a c o n v e r g e n c e d e s i n t e g r a l e s s u i v a n t e s :
1 )
+
dtet+t2et 2 )
+1
esin(t)
tdt
3 )
10
t1ln(t)dt
4 )
10
dt1tdt 5 )
10
dtarccos(t)
7 . E X E R C I C E :
E t u d i e r l a c o n v e r g e n c e d e s i n t g r a l e s i m p r o p r e s s u i v a n t e s
e t c a l c u l e r l e u r s v a l e u r s l e c a s c h a n t :
I1 = +
1
dx
xx
1
,I2 =
1
0
dx
x(1+x2);
I3 = +
0
dxex+1
8 . E X E R C I C E :
S o i t l ' i n t g r a l e I1 =
+0
dt1+t3
1 ) M o n t r e r q u e
I1 e s t c o n v e r g e n t e ( l e c a l c u l e d e I1 n ' e s t p a s d e m a n d )
2 ) a ) E e c t u e r l a d e c o m p o s i t i o n e n l m e n t s s i m p l e s d e l a f r a c t i o n
r a t i o n n e l l e
1
1+t3
( r a p p e l :1 + t3 = (1 + t)(1 t + t2) ) .
b ) S o i t x > 0
. C a l c u l e r
x
0
1
1+t3dt
c ) E n d d u i r e l a v a l e u r d e I1
3 ) O n c o n s i d e r e l ' i n t e g r a l e I2 =
+0
dt(1+t3)2
E t a b l i r e u n e r e l a t i o n e n t r e I1 e t I2 p e r m e t t a n t d ' e x p r i m e r I2 e n
f o n c t i o n d e I1
4 ) S o i t In =
+0
dt(1+t3)n ; a v e c
nu n e n t i e r n o n n u l .
M o n t r e r q u e In e s t c o n v e r g e n t e
5 ) m o n t r e r q u e In+1 In p o u r t o u t n
6 ) M o n t r e r q u e l ' o n a :0 In I13n p o u r t o u t n 1
7 ) D d u i r e d e c e q u i p r c d e q u e l a s u i t e In e s t c o n v e r g e n t e e t c a l c u l e r
s a l i m i t e
8 ) E t a b l i r e u n e r e l a t i o n e n t r e In e t In+1 . E n d d u i r e l ' e x p r s s i o n d e
In+1 e n
f o n c t i o n d e I1 .
-
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5 7
9 . E X E R C I C E
C a l c u l e r l e s i n t g r a l e s g n e r a l i s e s s u i v a n t e s :
( a )
20
dt2+sin(t)
2
0
tg(t)dt
( b )
2
0
dt3tg(t)+2
4
0cos(t)Ln(tg(t))dt
1 0 . E X E R C I C E
C a l c u l e r l e s i n t g r a l e s s u i v a n t e s :
( a )
+0
dt(1+t2)2
+
dtt2+2t+2
+0
dt(1+t2)4
( b )
+0
2t2+1dt(1+t2)2
+0
dt1+t4
+0
t2dt1+t4
( c )
+1
dtt6(1+t10)
1 1 . E X E R C I C E
C a l c u l e r l e s i n t g r a l e s s u i v a n t e s :
( a )
ba
dt(ta)(bt)
( b )
1
1
dt
(1+t2)1t2
( c )
+0
te
tdt
( d )
10
Ln(1t2)dtt2
( e )
10
Ln(t)dt1t
( f )
+0
t3Ln(t)(1+t4)3
dt
1 2 . E X E R C I C E
C a l c u l e r l e s i n t g r a l e s s u i v a n t e s :
( a )
+0
Ln(1 + a2
t2)dt
( b )
+0
Ln(1+t1t ) tdt(a2+t2)2
( c )
+0
Ln(t)dt1+t2
-
7/29/2019 001-Analyse-Intgrale de reiman Intgrale gnralise Equations diffrentielles Les erxercices
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5 8 C H A P I T R E 4 . L E S E X E R C I C E S
( d ) 1
0
Ln(t)dt
(1+t)1t2
( e )
10
dt1+t+
1t
-
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5 9
L E S E Q U A T I O N S D I F F E R E N T I E L L E S
1 . E X E R C I C E
O n c o n s i d e r e l ' q u a t i o n d i r e n t i e l l e :(E) : x(x 1)y + y = x .
1 ) D e t e r m i n e r l e s s o l u t i o n s d n i e s r s p e c t i v e m e n t s u r c h a c u n d e s i n -
t r v a l l e s :
I1 =], 0[; I2 =]0, 1[; I3 =]1, +[2 ) M o n t r e r q u ' i l e x i s t e u n e i n n i t d e s o l u t i o n s d n i e s s u r
I1 =
], 0[.3 ) M o n t r e r q u ' i l e x i s t e u n e e t u n e s e u l e s o l u t i o n d n i e s u r
R
2 . E X E R C I C E
I n t g r e r l ' q u a t i o n ( e n p r c i s a n t l e s i n t r v a l l l e s d e d n i t i o n s m a x i -
m a l e s . )
(x2 + 4x 5)y 3(x + y) = (x + 5)3
3 . E X E R C I C E
I n t g r e r l ' q u a t i o n d i r e n t i e l l e :
(1 + x
2
)y + xy + x2
= 0
4 . E X E R C I C E
I n t g r e r l e s q u a t i o n s d i r e n t i e l l e s s u i v a n t e s :
( 1 )ysin2(x) ytg(x) = tg(x)
( 2 )y + y + y = xsin(x) cos(x)
5 . E X E R C I C E
O n c o n s i d r e l ' q u a t i o n d i r e n t i e l l e s u i a n t e :
(E) : 2(x 1)y + y = sin(2x) + x2
1 ) R s o u d r e ( E ) s u r ], 1[
e t s u r ]1, +[
( o n l a i s s e r a l e s s o l u t i o n s
s o u s f o r m e i n t g r a l e ) .
2 ) S o i t
l a s o l u t i o n d e ( E ) t e l l e q u e (0) = 0
. m o n t r e r q u e p o u r t o u t
-
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6 0 C H A P I T R E 4 . L E S E X E R C I C E S
n
4
o n a :
2(x 1)n(x) + (2x 1)n1(x) = 2n1sin(2x + (n 1). 2
)
3 ) E n d d u i r e q u e
e s t d e c l a s s e C
s u r], 1[
e t d o n n e r l e d v e l -
l o p p e m e n t l i m i t e d e
a l ' o r d r e 5
a u v o i s i n a g e d e 0
.
6 . E X E R C I C E
O n c o n s i d r e l ' q u a t i o n d i r e n t i e l l e :
(E) : y (4x 1)y + (4x2
2x)y = 0P o u r
R, o n p o s e
u(x) = y(x).e(.x)
a ) E c r i r e l ' q u a t i o n (E) q u e d o i t v r i e r u , s o u s l a f o r m e :
(E) : u + A(x)u + B(x)u = 0
o uA(x)
e tB(x)
s o n t d e s p o l y n o m e s e n x
.
b ) E c r i r e l ' q u a t i o n (E0) : q u e r e m a r q u e z v o u s .
c ) M o n t r e r q u e l ' o n p e u t c h o i s i r
p o u r q u e
B(x)s o i t d e d e g r s t r i c -
t e m e n t
< 2e t r s o u d r e l ' q u a t i o n c o r r s p o n d a n t e .
d ) D o n n e r l e s s o l u t i o n s d e (E)
.
.
.
7 . E X E R C I C E
I n t g r e r l e s q u a t i o n s d i r e n t i e l l e s s u i v a n t e s :
1 )(x2x)y = y2 + y 2 ) y2 + (x2xy)y = 0 3 ) y = xexy
4 )xy = y + xcos2( y
x)
5 )y + ytg(x) sin(2x) = 0 6 )
xy + y y2Ln(x) = 0
8 . E X E R C I C E
R s o u d r e l ' q u a t i o n d i r e n t i e l l e : |x|y + y = x2 .a ) M o n t r e r q u ' i l e x i s t e u n e i n n i t d e f o n c t i o n s d n i e e t c o n t i u e s s u r
-
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6 1
l a d r o i t e r e l l e q u i p o u r x < 0
e tx > 0
s o n t s o l u t i o n s d e l ' q u a t i o n
d i r e n t i e l l e .
b ) M o n t r e r q u ' i l e x i s t e u n e s e u l e q u i e s t d r i v a b l e e n 0
.
9 . E X E R C I C E
R s o u d r e l e s q u a t i o n s d i r e n t i e l l e s s u i v a n t e s :
( a )y y
y31 = 0
( b )y + y
x2= 1
x3
( c ) xy(2y x) y2 = 0( d )
y y = xy2
1 0 . E X E R C I C E
S o i t (E)
l ' q u a t i o n d i r e n t i e l l e d e B e r n o u i l l i d n i e p a r :
y + 2y = y2(2x2 + 3) (E)
( a ) R s o u d r e (E)
( b ) D o n n e r l a s o l u t i o n p a r t i c u l i r e yp v r i a n t yp(0) = 1
( c ) D o n n e r l e d v e l o p p e m e n t l i m i t l ' o r d r e 2
a u v o i s i n a g e d e z r o
d eyp .
( d ) E n d e d u i r e l ' q u a t i o n d e l a t a n g e n t e e n 0
e t l a p o s i t i o n d e l a
c o u r b e p a r r a p p o r t c e l l e - c i .
1 1 . E X E R C I C E
I n t g r e r l e s q u a t i o n s d i r e n t i e l l e s s u i v a n t e s e n s p a r a n t l e s v a r i a b l e s :
y = ex+y
y1 x2
+ y2
xy + 2y = xyy
x(1 y2)y + y(1 x2) = 0
1 2 . E X E R C I C E I n t g r e r l e s q u a t i o n s d i r e n t i e l l e s l i n a i r e s s u i v a n t e s :
( a ) * ) y = x + y
* )xy = 2y + x
-
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62/63
6 2 C H A P I T R E 4 . L E S E X E R C I C E S
( b ) * ) xy
y = Ln(x)
* )y
ycos(x) = sin(2x)
( c ) * ) x(y y) = ex
* )y + ycotg(x) = ecos(x)
a v e c y(2 ) = 0
1 3 . E X E R C I C E
R s o u d r e l e s q u a t i o n s d i r e n t i e l l e s s u i v a n t e s :
( a )y = (x + y + 1)2
( b )y =
y 2x + 3 + 2
( c )y = tg2(x + y)
1 4 . E X E R C I C E
R s o u d r e l e s q u a t i o n s d i r e n t i e l l e s s u i v a n t e s ( a e t m s o n t d e s p a r a -
m t r e s r e l s ) :
y 2y + (1 a)y = 0
y 3y + 2y = x3
y + y + y = cos(mx)
1 5 . E X E R C I C E
R e s o u d r e l e s q u a t i o n s d i r e n t i e l l e s d u s e c o n d o r d r e s u i v a n t e s :
y + 2y + y = 2x2
e
x
+ ex
y 2y = xe2x 2xex
y 2y + y = x + xex
y + 2y + y = exsin2(x)
1 6 . E X E R C I C E
S o i t (x) = 1
x p o u r x > 0
.
a ) C a l c u l e r
12 . + 2
+ .
b ) R s o u d r e l ' q u a t i o n d i r e n t i e l l e s u i v a n t e :
1
2 .y + 2y + y = 1 +7
2 xex
+
(x
1)2
x3
1 7 . E X E R C I C E
O n c o n s i d r e l ' q u a t i o n d i r e n t i e l l e s u i v a n t e :
y 2y + y = xex
1 + x2(E)
-
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63/63
6 3
O n p o s e z(x) = y(x)ex
a ) E c r i r e l ' q u a t i o n d i r e n t i e l l e q u e v r i e r a z s i y e s t s o l u t i o n d e (E).
b ) R s o u d r e l ' q u a t i o n v r i e r p a r z
.
c ) E n d d u i r e l e s s o l u t i o n s d e (E)
.
1 8 . E X E R C I C E
O n c o n s i d e r e l ' q u a t i o n d i r e n t i e l l e s u i v a n t e :
(F) (1 + x2)y + 4xy + (1 x2)y = 0O n p o s a n t
z(x) = (1 + x
2
)y(x)r s o u d r e l ' q u a t i o n
(F)
1 9 . E X E R C I C E
C o n s i d e r o n s l ' e q u a t i o n d i e r e n t i e l l e s u i v a n t e :
(1) : y yx y2 = 4x2
1 ) V e r i e r q u e l a f o n c y i o n y0 = 2x e s t s o l u t i o n d e l ' e q u a t i o n (1) .
2 ) M o n t r e r q u e y = y0+ z
e s t s o l u t i o n d e l ' e q u a t i o n (1)
s i e s t s e u l e m e n t
s iz
e s t s o l u t i o n d e l ' e q u a t i o n d i e r e n t i e l l e :
(2) z ( 1x
+ 4x)z z2 = 03 ) r e s o u d r e l ' e q u a t i o n
(2).
4 ) E n d e d u i r e l e s s o l u t i o n s d e (1)
.
2 0 . E X E R C I C E
R e s o u d r e l e s e q u a t i o n s d i e r e n t i e l l e s s u i v a n t e s :
( a )
y = y(1 + y).
( b )y = sin(x).sin(y)
.
( c )2yy
x =
y2 1
.
( d )
1 + xy = eya v e c c o n d i t i o n i n i t i a l e
y(1) = 1.