Exercices pour le chapitre 8 :Equations de Navier-Stokes

Version 24 juin 2012

1 Exercices de niveau I

NIVEAU Ia Questions simples : cas incompressible

1) On conside`re un fluide incompressible de masse volumique homoge`ne 0.On note U et p les champs euleriens caracterisant son mouvement. On sup-pose quil est soumis aux forces exterieures de gravite f = 0 g ez. Ecrireles equations de Navier-Stokes en notant n la viscosite cinematique.

On adUdt = g ez 10 grad p+ n U .

2) Dans le cas f = 0 g ez, calculer la pression p dans le cas hydrostatiqueU = 0 en supposant que p(0) = p0 a` lorgine.

Lequilibre hydrostatique 0 = g ez 10 grad p conduit a` p = p0 0 g z.

3) Dans le cas f = 0, calculer la pression p dans le cas U = z2 ex, ou` est une constante positive, en supposant que p(0) = p0 a` lorgine.

On calculeUt = 0, U grad U = z2 Ux = 0 et U = 2 ex. On en deduit

py =

pz = 0 et

px = 2 0 n , dou` p = p0 0 n x.

4) Dans le cas f = 0 g ez et U = z2 ex, calculer la pression p ensupposant que p(0) = p0 a` lorgine. Comparer avec les deux questionsprecedentes.

En suivant une demarche similaire a` ces des questions precedentes, on trouve quep(x, z) = p00 g z0 n x. Dans la mesure ou` le terme nonlineaire U grad U estnul, les equations de Navier-Stokes deviennent lineaire. On peut donc superposerles solutions.

5) Cacluler le tenseur des contraintes pour cette solution.

Comme D = z (exez+ezex), on a = p(x, z) I2 0 n z (exez+ezex).

1

2 Exercices pour le chapitre 8

NIVEAU Ib Questions simples : cas compressible

1) On conside`re un fluide compressible et U , , p, e, T les champs euleriens ca-racterisant son mouvement et sa thermodynamique. On note p = PT (, T )et e = ET (, T ) ses lois detat. Quelle relation traduisent les relations(S

)s

= p2 T

et(Se

)

= 1T ? Ecrire lequation de bilan associee.

Il sagit de la relation de Gibbs que lon peut ecrire sous la forme ds = 1T de p2 T dou de = T ds p d

(1

). Lequation de bilan associee est T dsdt =

dedt p2 dt.

2) On suppose que le fluide est parfait (n = n = 0), que le flux de cha-leur Q est nul et quil ny a pas de chauffage volumique (r = 0). Ecrire

alors lequation de bilan de lenergie interne e. En deduire que dsdt = 0.Commenter le resultat obtenu.

Lequation de bilan de lenergie interne secrit dans ce cas dedt = p div U . Enutilisant la loi de conservation de la masse ddt = div U , lequation de Gibbsconduit a` dsdt = 0. Pour un fluide parfait, la viscosite est negligee. Comme de plusles apports de chaleur sont nuls, il est normal que lentropie reste constante le longdes trajectoires des particules fluides. En effet, les transformations sont reversibles.

3) On conside`re un fluide visqueux newtonien de coefficients de Lame n etn. On dit que lon est en presence dune compression isotrope siD = Iavec > 0. Exprimer alors le travail des forces interieures de viscositeest : D ou` est le tenseur des contraintes visqueuse. En invoquantle second principe de la thermodynamique, montrer que lon doit avoir3n + 2n 0.

Comme = n tr (D) I + 2nD, on a : D = (3n + 2n)2. On en deduit3n + 2n = 0.

4) Lhypothe`se de Stokes consiste a` supposer que le travail : D des forcesinterieures de viscosite est nul lors dune compression isotrope. En deduireune relation entre les coefficients de Lame n et n dun fluide newtonien.

On en deduit 3n + 2n = 0.

2 Exercices de niveau II

NIVEAU IIa Ecoulements de Poiseuille - Couette

On conside`re un ecoulement fluide compris entre deux plans dequations z =l et z = l dans le repe`re orthonorme {ex, ey, ez}. On suppose que la loide comportement rheologique du milieu est celle dun fluide newtonien in-compressible de masse volumique homoge`ne 0 et de viscosite cinematique n.On note U(x, t) le champ de vitesse et p(x, t) le champ de pression. On noteg = g ez le champ de gravite. On suppose que la plaque du bas, en z = l,est immobile, et que la plaque du haut, en z = l, est animee dune vitesseuniforme U ex.

Exercices de niveau II 3

1) Ecrire les conditions aux limites pour la vitesse en z = l.Les conditions aux limites secrivent U(x, y,l) = 0 et U(x, y, l) = U ex pour toutcouple (x, y).

2) Ecrire les equations du mouvement.

Les equations du mouvement secrivent div U = 0 et dUdt = 10grad pg ez+n U .

On cherche des solutions stationnaires telles que U(x, t) = U(z) ex. On supposeque p(0, 0, 0) = P0 et p(L, 0, 0) = PL, les pressions en x = 0 et x = Lex sontdes constantes connues. On suppose que PL P0.

3) Ecrire les equations du mouvement que doivent verifier ces solutions par-ticulie`res.

On a trivialement div U = 0. Le profil U(z) verifie 0 = 10px + n U

(z). Lesautres equations secrivent 0 = 10

py et 0 = 10

pz g.

4) Montrer dabord que la pression est de la forme p = C z +G(x) ou` C estune constante que lon precisera.

En integrant les deux dernie`re equations on obtient p = 0 g z +G(x). On a doncC = 0 g.

5) Montrer que G(x) = B et que p est de la forme p = A B x + C z ou`A et B sont des constantes que lon precisera.

En reportant dans la premie`re, on obtient 0 = 10G(x) + n U (z). On en deduitque G(x) est une constante que lon note B. On a donc p = AB x 0 g z. Lesvaleurs de P en x = 0 et x = L sur le plan central entranent A = P0 et B =

P0PLL .

6) Montrer que U(z) est solution dune equation differentielle ordinaire avecdeux conditions aux limites que lon precisera. On pourra noter = (P0PL)/(2 0 n L).

On en deduit que P0PL0 L = n U (z) et donc U (z) = /2 avec les conditionsaux limites U(l) = 0 et U(l) = U.

7) Calculer U(z) dans le cas ou` U = 0 (ecoulement de Poiseuille).Dans le cas U = 0, la solution est U(z) = (l2 z2).

8) Calculer U(z) dans le cas ou` U 6= 0 et PL = P0 (ecoulement de Couette).Dans le cas PL = P0, on a = 0 et donc U(z) = U (z + l)/(2 l).

9) Calculer U(z) dans le cas general U 6= 0 et PL 6= P0. Comparer avec lesprofils des deux questions precedentes et commenter.

Dans le cas general, on a U(z) = (l2 z2) + U (z + l)/(2 l). Cest la somme desdeux profils precedent. Cela resulte du fait que lequation du second degre et lesconditions aux limites constituent un proble`me lineaire.

4 Exercices pour le chapitre 8

NIVEAU IIb Ondes sonores

On conside`re un fluide parfait, compressible, non conducteur de la chaleur,dans un milieu infini en labsence de forces ou de chauffage exterieur. Onsuppose que ses lois detat sont celles dun gaz parfait e = cv T et p = r T ou`cv et r sont des constantes. On suppose connue la representation eulerienne deschamps de vitesse U , de masse volumique , de pression p et de temperatureT a` lordre dominant dun petit parame`tre 1 :

U(x, t) = c cos [k(x1 c t)] e1 +O(2)(x, t) = 0 + 0 cos [k(x1 c t)] +O(2)p(x, t) = p0 + 0 c

2 cos [k(x1 c t)] +O(2)T (x, t) = T0 + (r/cv) T0 cos [k(x1 c t)] +O(2) (8.1)

ou` e1 est un vecteur unitaire de la base canonique et ou` k, p0 et 0 sont desconstantes donnees, T0 =

p0r 0

sen deduit et c est une vitesse que lon veutdeterminer pour que ces champs soient solutions des equations dEuler. Onnegligera les forces de gravite.

1) Montrer que la loi de conservation de la masse est verifiee a` lordre domi-nant en (ordre un).

La loi de conservation de la masse t + div (U) = 0 secrit icit +

x1

(U1) =t ( 0 cos)+

x1

(0 c cos)+O(2) avec = k(x1c t). Comme t +c x1 = 0,

lequation de conservation de la masse est satisfaite a` lordre .

2) Montrer que la loi de conservation de la quantite de mouvement est verifieea` lordre dominant en (ordre un).

Seule la premie`re composante (tU1 + U1

x1

U1

)= x1 p de lequation de la

quantite de mouvement (tU + U grad U

)= grad p necessite une verification

non triviale. Elle secrit 0 ct cos = 0 c2 x1 cos + O(2). Comme

t +

c x1 = 0, lequation de conservation de la conservation de mouvement est satisfaitea` lordre .

3) Montrer que lequation de bilan de lenergie interne est verifiee a` lordredominant en (ordre un).

Lequation de bilan de lenergie interne (te+ U grad e

)= p div U , avec e =

cv T , secrit ici 0 r T0t cos = p0 c x1 cos+O(2). Comme

t + c

x1

= 0et 0 r T0 = p0, lequation de bilan de lenergie interne est satisfaite a` lordre .

4) En exprimant lequation detat du gaz parfait a` lordre un en , montrerque c =

r T0 avec =

cpcv

et cp = cv + r.

Lequation detat p = r T secrit p0+ 0 c2 cos = 0 r T0+ r(0 T0+0 T0 r/cv) cos+

O(2). Lordre dominant est satisfait par definition de T0. Lordre un en conduita` 0 c

2 = 0 T0 r(1 + r/cv) cest-a`-dire c2 = r T0

cv+rcv

=cpcvr T0 = r T0. On obtient

donc bien c = r T0 avec =

cpcv

et cp = cv + r.

5) Commenter le nom de vitesse du son attribue a` la vitesse c.

Exercices de niveau III 5

La vitesse c est la vitesse de propagation dune onde progressive longitudinale quicorrespond a` des oscillations des champs dont le champ de pression. On peut montrerque lentropie s = s0 reste constante au cours de ces oscillations et que lon a en

fait c2 =(P

)s

(0, s0) ou` p = P(, s) est la loi detat des gaz parfaits.

3 Exercices de niveau III

NIVEAU IIIa Calculs energetiques de Couette

On conside`re le champ de pression p(z) = p0 0gz et le champ de vitesseU(z) = a z+b dun fluide incompressible de masse volumique 0 et de viscositecinematique n. Le fluide, soumis a` la gravite g ez est compris entre deuxplans dequations z = l et z = l

1) On suppose que U(l) = 0 et U(l) = U. En deduire a et b.2) Calculer la puissance des efforts interieurs Pint(D) excerces dans le do-

maine D = {x = (x, y, z) IR3 tq 0 x L, 0 y D et |z| l}3) Calculer la puissance Pextcont(D) des efforts de contact exterieurs a` D.4) Comparer les puissances Pint(D) et Pextcont(D). Commenter.

NIVEAU IIIb Compression isotherme

On conside`re le mouvement dun fluide newtonien qui a` t = 0 posse`de unedensite uniforme 0 et occupe un domaine 0 de volume V0. On suppose quece mouvement x = X(a, t) secrit :

x1 = a1 exp

( t

), x2 = a2 exp

( t

), x3 = a3 exp

( t

). (8.2)

1) Calculer le volume V (t) du domaine (t) occupe par le fluide a` linstantt et tracer V (t) en fonction de t.

2) Montrer que la densite (x, t) est independante de x et indiquer son ex-pression (t) en fonction du temps. Calculer le produit (t)V (t) et donnersa signification physique. Tracer cette fonction.

3) Calculer la representation eulerienne du champ de vitesse U(x, t) et endeduire sa divergence div U(x, t).

4) En deduire que et U verifient bien lequation de continuite en representationeulerienne.

On suppose que les lois detat p = P(, e) et e = E(, T ) du fluide visqueuxsont celles dun gaz parfait monoatomique : p = RT/M et e = cvT ou` R, Met cv sont des constantes. On note n et n les coefficient de Lame de ce fluidenewtonien. On suppose de plus que le mouvement est suffisamment lent pourque la transformation puisse etre consideree comme isotherme avec T = T0.

6 Exercices pour le chapitre 8

5) Montrer que p(t) ne depend pas de lespace et donner son expression enfonction de p0 = p(0). Calculer le tenseur des taux de deformation D(x, t)et le tenseur des contraintes (x, t).

6) En deduire la puissance des efforts interieurs Pint [(t)] a` chaque instant t.Que devient cette expression lorsque lon fait lhypothe`se de Stokes 3n+2n = 0. Commenter.

7) Ecrire lequation de bilan de lenergie interne en notant r le terme dechauffage interne et k la conduction thermique. Quels sont les termesnon nuls ? On suppose que la chaleur est evacuee par un rayonnementelectromagnetique modelise par le terme de chauffage r. En deduire lavaleur r(t) pour cette transformatin isotherme. Commenter le signe negatifde r.