01 1 - rmutphysics · คณิตศาสตร 1 (4) _____ โครงการแบรนด...

คณิตศาสตร 1 (2) _______________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2004

เซต

1. ความรูพ้ืนฐานเก่ียวกับเซต1. การเขียนเซต เราสามารถเขียนเซตได 2 แบบ คือ

1.1 แบบแจกแจงสมาชิก เชน {1, 3, 5, 7, 9}1.2 แบบบอกเงื่อนไข เชน {x | x เปนจํ านวนเต็มบวกคี่ท่ีนอยกวา 10}เขียนแทน “x เปนสมาชิกของเซต A” ดวยสัญลักษณ x ∈ A

2. เซตจํ ากัดและเซตอนันต เมื่อพิจารณาจากจํ านวนสมาชิกของเซต อาจจํ าแนกเซตไดสองประเภทคือ2.1 เซตจํ ากัด คือ เซตท่ีมีจํ านวนสมาชิกเทากับจํ านวนเต็มบวกหรือศูนย เชน {-3, 1, 0, 2}2.2 เซตอนันต คือ เซตท่ีไมใชเซตจํ ากัด เชน {1, 2, 3, …}

3. เซตพิเศษ3.1 เซตวาง คือ เซตท่ีไมมีสมาชิกเลย เขียนแทนดวย φ หรือ { }3.2 เอกภพสัมพัทธ คือ เซตท่ีกํ าหนดขึ้นโดยมีขอตกลงวาจะไมกลาวถึงส่ิงใดนอกเหนือไปจากสมาชิก

ของเซตที่กํ าหนดขึ้น มักเขียนแทนเอกภพสัมพัทธดวย U2. สับเซตและการเทากันของเซต

A เปนสับเซตของ B ก็ตอเมื่อสมาชิกทุกตัวของ A เปนสมาชิกของ B เขียนแทนดวย A ⊂ B

A = B ก็ตอเมื่อ 1. สมาชิกทุกตัวของ A เปนสมาชิกของ B และ2. สมาชิกทุกตัวของ B เปนสมาชิกของ A

นั่นคือ A = B ก็ตอเมื่อ A ⊂ B และ B ⊂ A

โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2004 ________________________________ คณิตศาสตร 1 (3)

ขอสังเกต สํ าหรับเซต A ใดๆ1. φ ⊂ A2. A ⊂ A3. A ⊂ U4. เรียกสับเซตของ A ท่ีไมเทากับ A วา สับเซตแทของ A5. ถา A เปนเซตจํ ากัดท่ีมีจํ านวนสมาชิกเทากับ n แลว A จะมีสับเซตทั้งหมด 2n สับเซต

ตัวอยางท่ี 1 จงหาสับเซตทั้งหมดของ {1, 2, 3}วิธีทํ า φ, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}

3. เพาเวอรเซต

เพาเวอรเซตของ A เขียนแทนดวยสัญลักษณ P(A) นิยามโดยP(A) = {B | B ⊂ A }

ตัวอยางท่ี 2 กํ าหนดให A = {1, 2, 3} จงหา P(A)วิธีทํ า P(A) = {φ, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}ขอสังเกต สํ าหรับเซต A ใดๆ

1. P(A) คือ เซตท่ีประกอบดวยสับเซตทั้งหมดของ A2. ถา A เปนเซตจํ ากัดท่ีมีจํ านวนสมาชิก n ตัว แลว P(A) จะมีจํ านวนสมาชิกเทากับ 2n

3. φ ∈ P(A) และ A ∈ P(A)4. ถา A ⊂ B แลว P(A) ⊂ P(B)5. P(A)UP(B) ⊂ P(AUB)6. P(A)IP(B) = P(AIB)

4. การดํ าเนินการของเซต1. อินเตอรเซกชัน AIB = {x | x ∈ A และ x ∈ B}

ดังนั้น x ∈ AIB ก็ตอเมื่อ x ∈ A และ x ∈ B2. ยูเนียน AUB = {x | x ∈ A หรือ x ∈ B}

ดังนั้น x ∈ AUB ก็ตอเมื่อ x ∈ A หรือ x ∈ B3. คอมพลีเมนต A′ = {x | x ∉ A}

ดังนั้น x ∈ A′ ก็ตอเมื่อ x ∉ A4. ผลตาง A - B = {x | x ∈ A และ x ∉ B} = AIB′

ดังนั้น x ∈ A - B ก็ตอเมื่อ x ∈ A และ x ∉ B


ขอสังเกต สํ าหรับเซต A, B และ C ใดๆ1. AIA = A และ AUA = A2. AIB = BIA และ AUB = BUA3. (AIB)IC = AI (BIC) และ (AUB)UC = AU (BUC)4. φ′ = U และ U′ = φ5. (A′)′ = A6. (AIB)′ = A′UB′ และ (AUB)′ = A′IB′7. φIA = φ และ φUA = A8. UIA = A และ UUA = U9. A - φ = A และ φ - A = φ10. A - U = φ และ U - A = A′11. AIA′ = φ และ AUA′ = U12. ถา A ⊂ B แลว B′ ⊂ A′13. AI (BUC) = (AIB) U (AIC) และ AU (BIC) = (AUB)I (AUC)

5. สูตรเก่ียวกับจํ านวนสมาชิกของเซตจํ ากัดสํ าหรับเซตจํ ากัด A, B และ C ใดๆ1. n(AUB) = n(A) + n(B) - n(AIB)2. n(AUBUC) = n(A) + n(B) + n(C) - n(AIB) - n(AIC) - n(BIC) + n(AIBIC)

แบบทดสอบ

1. กํ าหนดให A = {a}, B = {a, b}, C = {b, c, d}, D = {a, b, c, d} และ M = {{a}, {a, b}, {b, c, d}} ขอใดตอไปนี้ถูกตองท่ีสุด1) {AIB} ∈ M 2) {D - A}ID ∈ M3) (D - B)I (D - C) ⊂ M 4) BU (D - C) ⊂ M

2. ขอความใดตอไปนี้เปนจริง1) กํ าหนดให A, B และ C เปนเซตใดๆ ถา A ⊂ B และ B ∈ C แลว A ∈ C2) กํ าหนดให Bn =

++ 3 n ,2 n 1 - เมื่อ n เปนจํ านวนนับ จะได (B3UB4) - B2 = [5, 6)3) กํ าหนดให A = {2, 4, 8} จะได {{2, 4}} ⊂ P(A) - {A}4) กํ าหนดให A = {x | x เปนจํ านวนเต็มท่ีนอยกวา 7} และ B = {x | x เปนจํ านวนจริงท่ีมากกวาหรือเทากับ 4}

จะได AIB = [4, 7)

3. กํ าหนดให A, B และ C เปนเซตใดๆ ขอใดตอไปนี้ถูกตองท่ีสุด1) ถา A, B เปนเซตจํ ากัด และ AIB = φ แลว P(AUB) ⊂ (P(A)UP(B))2) [(AIB)U (BIC)]′ ⊂ B′I (A′UC′)3) ถา A - B = φ แลว A = B4) ถา AIB′ = φ แลว AUB′ = B′

4. B′ - [A - (A - B′)] เทากับเซตในขอใด1) A′ - B 2) A - B 3) B - A 4) B′ - A′

5. กํ าหนดให A = { x | x เปนจํ านวนเต็มและ -6 < x2 + 5x < 14} จงหา n(P(A))1) 16 2) 64 3) 256 4) 1024

6. กํ าหนดให A = {φ, {φ}, {φ, {φ}}} แลว (P(A) - A)U (A - P(A)) มีสมาชิกก่ีตัว1) 3 2) 4 3) 5 4) 6

7. กํ าหนดให A, B, C เปนเซต n(AUB) = 92, n(AUC) = 79, n(BUC) = 75, n(AIBIC) = 32,n((AIB) - C) = 18, n((AIC) - B) = 6, n((BIC) - A) = 2ดังนั้น n(AUBUC) เทากับขอใดตอไปนี้1) 93 2) 94 3) 95 4) 96

8. ถา n(A) = 10, n(B) = 7, n(C) = 9 และ D = (AIBIC) U (A - B) U ((AIB - C) แลว n(D) มีคาตรงกับขอใด

1) 7 2) 8 3) 9 4) 109. กํ าหนดใหเอกภพสัมพัทธ คือเซต U = {1, 2, 3, 4, 5} และ A, B, C เปนเซตซ่ึงมีเง่ือนไขวา

n(A) = n(B) = n(C) = 3 และ n(A IB) = n(B IC) = n(A IC) = 2ถา AUBUC = U แลว ขอใดตอไปนี้ผิด1) n(AUB) = 4 2) n(AU (BIC)) = 33) n(AI (BUC)) = 2 4) n(AIBIC) = 1

10. สํ าหรับเซต X ใดๆ ให P(X) แทนเพาเวอรเซตของ X และ n(X) แทนจํ านวนสมาชิกของ Xถา A และ B เปนเซตซ่ึง n(P(AIB)) = 4 และ n((AIB) × (AUB)) = 12แลว n(P(AUB) - P((A - B)U (B - A))) เทากับเทาใด1) 16 2) 32 3) 48 4) 56

11. ให A, B และ C เปนเซตซ่ึง n(AU B) = 16, n(A) = 8, n(B) = 14, n(C) = 5 และ n(AI BI C) = 2คาสูงสุดของ n((AI B) × (C – A)) ท่ีเปนไปไดเทากับขอใดตอไปนี้1) 6 2) 12 3) 18 4) 24

12. กํ าหนดให A, B เปนเซต ซ่ึง n(A) = a, n(B) = bถา n[(A - B)U (B - A)] = 7 และ n(A × B) = 40 แลว n({C | C ⊆ AU B และ n(C) ≤ 2}) เทากับเทาใด1) 29 2) 56 3) 84 4) 121


13. หมูบานแหงหนึ่งมีครอบครัวท้ังหมด 800 ครอบครัว ประกอบอาชีพคาขายอยางเดียว 10 ครอบครัว นอกนั้นทํ าสวนเงาะ มังคุด ทุเรียนจากการสํ ารวจเฉพาะชาวสวนพบวา มีครอบครัวท่ีปลูกผลไมต้ังแต 2 ชนิดขึ้นไป 110 ครอบครัว ปลูกเงาะและมังคุด 70 ครอบครัว ปลูกเงาะและทุเรียน 60 ครอบครัว ปลูกมังคุดและทุเรียน 50 ครอบครัว ไมปลูกมังคุดเลย290 ครอบครัว จงหาวามีก่ีครอบครัวท่ีปลูกแตมังคุดเพียงอยางเดียวเทานั้น1) 120 2) 255 3) 310 4) 415

14. การชิงโชคครั้งหนึ่งมีรางวัล 100 รางวัล แตละคนไดรับเพียง 1 รางวัลเทานั้น รางวัลมีเพียง 3 ชนิดคือ รถยนต ตูเย็นและนาฬิกา ผลปรากฏออกมาดังนี้ ชาย 2 คนไดรับรางวัลรถยนต ซ่ึงรางวัลรถยนตท้ังหมดมี 6 รางวัล

ชาย 16 คนไดตูเย็นเปนรางวัล หญิง 35 คนไดนาฬิกาเปนรางวัล หญิงท่ีไดรับรางวัลมีท้ังหมด 57 คน ถา p เปนจํ านวนชายที่ไดรับนาฬิกาเปนรางวัลและ q เปนจํ านวนผูรับตูเย็นเปนรางวัล แลว p + q มีคาเปนเทาใด1) 41 2) 59 3) 69 4) 70

15. การแขงขันปาเปา มีผูเขาแขงขันจํ านวน 50 คน ปรากฏวา40 คนถนัดมือขวา16 คนปาลูกดอกโคง7 คนปาลูกดอกโคงและไดแตมเฉล่ียเกิน 200 แตม9 คนถนัดมือขวาและไดแตมเฉล่ียเกิน 200 แตม11 คนถนัดมือขวาและปาลูกดอกโคง24 คนถนัดมือขวาปาลูกดอกไมโคงและไดแตมเฉล่ียไมเกิน 200 แตม5 คนถนัดมือซายและไดแตมเฉล่ียเกิน 200 แตม

จงหาจํ านวนผูเขาแขงขันท่ีถนัดมือซาย โยนลูกดอกไมโคงและไดแตมเฉล่ียไมเกิน 200 แตม1) 1 2) 2 3) 3 4) 4

16. ระหวางปดภาคเรียนครั้งหนึ่ง เด็กนักเรียนคนหนึ่งไดไปพักผอนท่ีชายทะเลพัทยา ตลอดชวงเวลาที่เขาพักผอนท่ีพัทยาเขาสังเกตวามี 7 วันท่ีฝนตกชวงเชาหรือชวงเย็น แตถาวันใดฝนตกในชวงเชาแลวจะไมตกในชวงเย็น ถามี 6 วนัท่ีฝนไมตกในชวงเชา และม ี 5 วนัท่ีฝนไมตกในชวงเย็น อยากทราบวานกัเรยีนคนนีไ้ปพักผอนชายทะเลพัทยาก่ีวัน1) 2 2) 7 3) 9 4) 13

เฉลย

1. 3) 2. 3) 3. 1) 4. 1) 5. 2) 6. 3) 7. 2) 8. 4) 9. 4) 10. 3)11. 3) 12. 2) 13. 4) 14. 2) 15. 3) 16. 3)


ตรรกศาสตร

1. ประพจนประพจน คือ ประโยคที่เปนจริงหรือเท็จอยางใดอยางหนึ่งเพียงอยางเดียว ซ่ึงอาจจะอยูในรูปประโยคบอกเลา

หรือประโยคปฏิเสธก็ได เชนตัวอยางท่ี 1 ตัวอยางประพจน

(1) 9 ≠ 3 มีคาความจริงเปนจริง(2) ทศนิยมตํ าแหนงท่ี 100 ของ π คือ 7 ซ่ึงแมจะบอกคาความจริงวาเปนจริงหรือเท็จไมไดในทันที แตเรา

ทราบวาประโยคนี้จะตองมีคาความจริงเปนจริงหรือเท็จเพียงอยางใดอยางหนึ่งเทานั้น จึงเปนประพจนคาความจรงิของประพจนจะแทนดวย “T” เมื่อเปน “จริง” และแทนดวย “F” เมื่อเปน “เท็จ”

2. นิเสธและตัวเชื่อมประพจนเราสามารถสรางประพจนใหมท่ีมีคาความจริงตรงขามกับเดิมไดโดยอาศัยตัวดํ าเนินการท่ีเรียกวานิเสธ ซ่ึงเขียน

แทนดวยสัญลักษณ ∼ ซ่ึงสามารถแสดงคาความจริงดวยตารางคาความจริงไดดังนี้

p ∼pTF

FT

นอกจากนี้ประพจนสองประพจนสามารถเชือ่มกันไดดวยตัวเชื่อมประพจนตางๆ กัน 4 แบบคือ1. ตัวเชื่อม และ เขียนแทนดวย ∧2. ตัวเชื่อม หรือ เขียนแทนดวย ∨3. ตัวเชื่อม ถา...แลว เขียนแทนดวย →4. ตัวเชื่อม ก็ตอเม่ือ เขียนแทนดวย ↔ซ่ึงสามารถแสดงคาความจริงสํ าหรับประพจนท่ีมีตัวเชื่อมตางๆ ไดดังนี้

p q p ∧ q p ∨ q p → q p ↔ qTTFF

TFTF

TFFF

TTTF

TFTT

TFFT

หลักในการจํ าคาความจริงสํ าหรับตัวเชื่อมตางๆ1. ตัวเชื่อม และ เปน T เมื่อท้ังคูเปน T นอกนั้นเปน F2. ตัวเชื่อม หรือ เปน F เมื่อท้ังคูเปน F นอกนั้นเปน T3. ตัวเชื่อม ถา...แลว เปน F สํ าหรับ T → F เพียงกรณีเดียวเทานั้น ท่ีเหลือเปน T4. ตัวเชื่อม ก็ตอเมื่อ ถาเหมือนกันเปน T และถาตางกันเปน F


ตัวอยางท่ี 2 กํ าหนดให p, q, r มีคาความจริงเปน T และ s, t มีคาความจริงเปน Fจงหาคาความจริงของประโยคตอไปนี้1. (p ∧ r) → (r ∧ s)2. ∼p ∨ (q ∨ t)3. p ↔ (q → r)

วิธีทํ า 1. (p ∧ r) → (r ∧ s) ≡ (T ∧ T) → (T ∧ F)≡ T → F≡ F

2. ∼p ∨ (q ∨ t) ≡ F ∨ (T ∨ F)≡ F ∨ T≡ T

3. p ↔ (q → r) ≡ T ↔ (T → T)≡ T ↔ T≡ T

3. ตารางคาความจริงการสรางตารางคาความจริงของประพจนเปนการแจงกรณีท่ีเปนไปไดท้ังหมดทุกกรณี ซ่ึงทํ าไดไมยากแตเสียเวลา

เพราะหากมีประพจนยอยตางๆ กันอยู n ประพจนยอย ก็จะมีกรณีท่ีแตกตางกันไดท้ังหมด 2n กรณีตัวอยางท่ี 3 จงสรางตารางคาความจริงของ (p → q) ∧ rวิธีทํ า

p q r p → q (p → q) ∧ rTTTTFFFF

TTFFTTFF

TFTFTFTF

TTFFTTTT

TFFFTFTF

4. ประพจนท่ีสมมูลกันประพจนใดๆ สองประพจนสมมูลกันก็ตอเมื่อไมวาคาความจริงในประพจนยอยจะเปนอยางไร คาความจริงของ

ท้ังสองประพจนนั้นจะเหมือนกันทุกกรณี การตรวจสอบการสมมูลสามารถทํ าไดโดยสรางตารางคาความจริงหรืออาศัยประพจนสมมูลพ้ืนฐานเขาชวย ถา p และ q เปนประพจนท่ีสมมูลกัน จะเขียนแทนดวย p ≡ q


ตัวอยางท่ี 4 จงแสดงวา p → q ≡ ∼p ∨ qวิธีทํ า เมื่อสรางตารางคาความจริง จะเห็นวาประพจนท้ังสองสมมูลกัน

p q p → q ∼p ∨ qTTFF

TFTF

TFTT

TFTT

เพ่ือใหตรวจสอบประพจนท่ีสมมูลกันไดงาย เราอาจอาศัยรูปแบบที่สมมูลกันตอไปนี้เขาชวย1. การสลับท่ี

p ∨ q ≡ q ∨ pp ∧ q ≡ q ∧ p

p ↔ q ≡ q ↔ p2. การจัดหมู

(p ∨ q) ∨ r ≡ p ∨ (q ∨ r)(p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧ (q ∧ r)

3. การกระจายp ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)

4. เอกลักษณp ∨ p ≡ pp ∧ p ≡ pp ∧ T ≡ pp ∨ F ≡ p

5. ถา...แลว p → q ≡ ∼p ∨ q ≡ ∼q → ∼p6. นิเสธซอน ∼(∼p) ≡ p7. นิเสธ ∼(p ∨ q) ≡ ∼p ∧ ∼q

∼(p ∧ q) ≡ ∼p ∨ ∼q∼(p → q) ≡ p ∧ ∼q

8. ก็ตอเม่ือ p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)

ตัวอยางท่ี 5 กํ าหนดให (∼p → q) ↔ q มีคาความจริงเปนเท็จ จงพิจารณาขอความตอไปนี้ก. p ∧ ∼q มีคาความจริงเปนจริงข. p → q มีคาความจริงเปนเท็จ

ขอใดถูกตอง1) ก. ถูก และ ข. ถูก 2) ก. ถูก และ ข. ผิด 3) ก. ผิด และ ข. ถูก 4) ก. ผิด และ ข. ผิด

คณิตศาสตร 1 (10) ______________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2004

วิธีทํ า ถา q เปนจริง จะเห็นวา (∼p → q) ↔ q เปนจริงดวย ซ่ึงขัดแยงกับท่ีโจทยกํ าหนดดังนั้น q เปนเท็จ และเพ่ือให (∼p → q) ↔ q เปนเท็จตามโจทยจึงสรุปไดวา ∼p → q เปนจริง นั่นคือ p เปนจริงขอ ก. p ∧ ∼q ≡ T ∧ T ≡ T ถูกตองขอ ข. p → q ≡ T → F ≡ F ถูกตองตอบ 1)

ตัวอยางท่ี 6 ประพจน p ↔ q สมมูลกับประพจนใด1) (p → q) ∧ (q ∧ ∼p) 2) (∼q → ∼p) ∧ (∼q ∨ p)3) (p ∧ ∼q) ∧ (q → p) 4) (p ∧ ∼q) ∧ (∼p → ∼q)

วิธีทํ า p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)≡ (∼q → ∼p) ∧ (∼q ∨ p)

ตอบ 2)ตัวอยางท่ี 7 ถา p และ q เปนประพจนแลว ประพจน p → ∼(q → p) สมมูลกับประพจนในขอใดตอไปนี้

1) ∼p ∨ (∼p ∧ q) 2) ∼p ∨ (p ∨ q)3) p → (∼p ∨ q) 4) p → ∼(p ∧ q)

วิธีทํ า p → ∼(q → p) ≡ ∼p ∨ ∼(q → p)≡ ∼p ∨ (q ∧ ∼p)

ตอบ 1)

5. สัจนิรันดรเราจะเรียกประพจนใดวา สัจนิรันดร ก็ตอเมื่อไมวาคาความจริงของประพจนยอยจะเปนอะไรก็ตาม คาความจริง

ของประพจนนั้นจะเปนจริงเสมอตัวอยางท่ี 8 จงแสดงวา (p → q) ↔ (∼q → ∼p) เปนสัจนิรันดรวิธีทํ า สรางตารางคาความจริง

p q ∼q ∼p p → q ∼q → ∼p (p → q) ↔ (∼q → ∼p)TTFF

TFTF

FTFT

FFTT

TFTT

TFTT

TTTT

จะเห็นวา (p → q) ↔ (∼q → ∼p) เปนสัจนิรันดร

โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2004 _______________________________ คณิตศาสตร 1 (11)

ตัวอยางท่ี 9 จงตรวจสอบวาประพจน [((p ∧ q) → r) ∧ (p → q)] → (p → r) เปนสัจนิรันดรหรือไมวิธีทํ า แมวาการสรางตารางคาความจริงจะทํ าไดงาย แตเสียเวลาในการแจงกรณี เราจึงลองพิจารณางายๆ วาประพจนท่ีใหมาสามารถมีคาความจริงเปนเท็จไดหรือไม ถาเปนเท็จไมไดเลยก็จะเปนสัจนิรันดร

สมมุติวาประพจนท่ีใหมาเปนเท็จ จะเห็นวาประพจนนี้เชื่อมดวย ถา...แลว จึงพบวา1. [((p ∧ q) → r) ∧ (p → q)] เปนจริง และ p → r เปนเท็จ2. จาก p → r เปนเท็จ จึงทราบวา p เปนจริง และ r เปนเท็จ3. จาก [((p ∧ q) → r) ∧ (p → q)] เปนจริง จะได p → q เปนจริง นั่นคือ q เปนจริงดวย4. แตจากคาความจริงของ p, q และ r ท่ีได จะทํ าให (p ∧ q) → r เปนเท็จ จึงเกิดขอขัดแยง

ดังนั้นประพจนท่ีใหมาเปนเท็จไมได จึงเปนสัจนิรันดร

6. ประโยคเปดและวลีบงปริมาณประโยคเปด คือ ประโยคบอกเลาหรือปฏิเสธท่ีมีตัวแปร ประโยคเปดไมเปนประพจน แตถาแทนตัวแปรดวย

สมาชิกในเอกภพสัมพัทธแลวเราจะไดประพจนตัวอยางท่ี 10 กํ าหนดใหเอกภพสัมพัทธ คือ เซตของจ ํานวนจรงิ ตัวอยางประโยคเปด เชน “5x + 3 = 3” เราจะสังเกต

เห็นวาถาแทนตัวแปร x ดวยสมาชิกในเอกภพสัมพัทธ เราจะไดประพจน เชนแทน x ดวย 0 จะได 0 + 3 = 3 เปนประพจนท่ีเปนจริงแทน x ดวย 5 จะได 25 + 3 = 3 เปนประพจนท่ีเปนเท็จ เปนตน

การทํ าประพจนเปดใหเปนประพจนสามารถทํ าไดโดยการใส วลีบงปริมาณ ซ่ึงมีอยูดวยกัน 2 ตัว คือ “∀”(for all, ทุกๆ) และ “∃” (for some, บางตัว) ซ่ึงการกํ าหนดคาความจริงและการใสนิเสธเปนไปตามตารางตอไปนี้

ขอความ เง่ือนไขที่ทํ าใหจริง เง่ือนไขที่ทํ าใหเท็จ∀x[ p(x)] ทุกๆ x ในเอกภพสัมพัทธ

ทํ าให p(x) จริงมีบาง x ในเอกภพสัมพัทธท่ีทํ าให p(x) เท็จ

∃x[ p(x)] มีบาง x ในเอกภพสัมพัทธท่ีทํ าให p(x) จริง

ทุกๆ x ในเอกภพสัมพัทธทํ าให p(x) เท็จ

ตัวอยางท่ี 11 กํ าหนดให U = { -3, -1, 0, 2, 4 } จงพิจารณาคาความจรงิของประพจนตอไปนี้1. ∀x[ x2 - 10x + 24 ≥ 0]2. ∃x[ x2 + 8x + 14 < 0]

วิธีทํ า 1. เมื่อแทน x = -3, -1, 0, 2, 4 จะเห็นวา x2 - 10x + 24 ≥ 0ดังนั้น ∀x[ x2 - 10x + 24 ≥ 0] เปนจริง

2. เมื่อแทน x = -3 จะเห็นวา x2 + 8x + 14 = -1 < 0ดังนั้น ∃x[ x2 + 8x + 14 < 0] เปนจริง

ในบางครัง้ประโยคเปดของเราอาจมตัีวแปรมากกวาหนึง่ตัวก็ได เชน ให p(x, y) เปนประโยคเปดท่ีแทนขอความวา“x + y = 5” หรือ q(x, y, z) แทนขอความ “x + y + z = 1” เปนตน

การกํ าหนดคาความจริงและการใสนิเสธของประโยคเปดสองตัวแปรเปนดังนี้

ขอความ เง่ือนไขที่ทํ าใหจริง เง่ือนไขที่ทํ าใหเท็จ∀x∀y[p(x, y)] ทุก x ทุก y ในเอกภพสัมพัทธ

ทํ าให p(x, y) จริงมีบาง x และมีบาง y ในเอกภพสัมพัทธท่ีทํ าให p(x, y) เท็จ

∀x∃y[p(x, y)] ทุก x ในเอกภพสัมพัทธ จะหา yท่ีทํ าให p(x, y) จริงได

มีบาง x ท่ีทํ าใหทุก y ในเอกภพสัมพัทธท่ีทํ าให p(x, y) เท็จ

∃x∀y[p(x, y)] มีบาง x ซ่ึงทุก y ในเอกภพสัมพัทธทํ าให p(x, y) เท็จ

ทุก x ในเอกภพสัมพัทธ จะหา yท่ีทํ าให p(x, y) เท็จได

∃x∃y[p(x, y)] มีบาง x และมบีาง y ในเอกภพสัมพัทธท่ีทํ าให p(x, y) จริง

ทุก x และทุก y ในเอกภพสัมพัทธทํ าให p(x, y) เท็จ

ตัวอยางท่ี 12 กํ าหนดใหเอกภพสัมพัทธคือจํ านวนจริง ขอความใดตอไปนี้จริง1) ∀x∀y [x + y = 0] 2) ∀y∃x [x + y = 0]3) ∃x∀y [x + y = 0] 4) ∀x∃y [x2 + y2 = 0]

วิธีทํ า พิจารณาขอ 2) จะเห็นวาสํ าหรับทุก y จะมี x = -y ท่ีทํ าให x + y = 0ดังนั้น ∀y∃x [x + y = 0] เปนจริงตอบ 2)

7. นิเสธของประพจนท่ีมีวลีบงปริมาณ1. ∼∀x[ p(x)] ≡ ∃x[∼p(x)]2. ∼∃x[ p(x)] ≡ ∀x[∼p(x)]3. ∼∀x∀y[p(x, y)] ≡ ∃x∃y[∼p(x, y)]4. ∼∀x∃y[p(x, y)] ≡ ∃x∀y[∼p(x, y)]5. ∼∃x∀y[p(x, y)] ≡ ∀x∃y[∼p(x, y)]6. ∼∃x∃y[p(x, y)] ≡ ∀x∀y[∼p(x, y)]

ตัวอยางท่ี 13 นิเสธของขอความ ∃x∀y [xy < 0 → (x < 0 ∨ y < 0)] คือขอใด1) ∀x∃y [(xy ≥ 0) ∨ (x < 0 ∨ y < 0)] 2) ∃x∀y [(xy < 0) ∧ (x ≥ 0 ∧ y ≥ 0)]3) ∃x∀y [(xy > 0) ∨ (x < 0 ∨ y < 0)] 4) ∀x∃y [(xy < 0) ∧ (x ≥ 0 ∧ y ≥ 0)]

วิธีทํ า ∼∃x∀y [xy < 0 → (x < 0 ∨ y < 0)] ≡ ∀x∃y [∼(xy < 0 → (x < 0 ∨ y < 0))]≡ ∀x∃y [xy < 0 ∧ ∼ (x < 0 ∨ y < 0)]≡ ∀x∃y [xy < 0 ∧ (x ≥ 0 ∧ y ≥ 0)]

ตอบ 4)


8. การอางเหตุผลการอางเหตุผล คือ การอางวาเมื่อมีขอความ p1, p2, ... , pn ชุดหนึ่งเปนจริง เราสามารถสรุปขอความ c ได

หรือไม นั่นคือขอความ (p1 ∧ p2 ∧ ... ∧ pn) → c เปนสัจนิรันดรหรือไมนั่นเองถาขอความ (p1 ∧ p2 ∧ ... ∧ pn) → c เปนสัจนิรันดร เราจะกลาววาการอางเหตุผลนี้สมเหตุสมผล (valid)

ถาไมเปนสัจนิรันดรจะกลาววาการอางเหตุผลนี้ไมสมเหตุสมผล (invalid)ตัวอยางท่ี 14 จงพิจารณาวาการอางเหตุผลนี้สมเหตุสมผลหรือไม

เหตุ 1. ∼t → ∼r2. ∼s3. t → w4. r ∨ s

ผล wวิธีทํ า กํ าหนดใหเหตุขอ 1, 2, 3 และ 4 เปนจริง จะไดวา

I. ∼s (จากเหตุผลขอ 2)II. r (จากขอ I และเหตุขอ 4)III. t (จากขอ II และเหตุขอ 1)IV. w (จากขอ III และเหตุขอ 3)สรุปไดวา การอางเหตุผลนี้สมเหตุสมผล

ตัวอยางท่ี 15 จงพิจารณาวาการอางเหตุผลตอไปนี้สมเหตุสมผลหรือไมเหตุ 1. p → q

2. ∼pผล ∼q

วิธีทํ า จะเห็นไดจากเหตุขอ 2 วา ∼p ซ่ึงเมื่อประกอบกับเหตุขอ 1 แลวไมเพียงพอท่ีจะสรุปวา ∼qเชน ถา p เปนเท็จ และ q เปนจริง จะเห็นวาเหตุท้ังสองขอเปนจริง แตผลเปนเท็จดังนั้นการอางเหตผุลนีจ้งึไมสมเหตุสมผล

1. ให p, q, r, s เปนประพจน ถา [p → (q → r)] ↔ s ∧ r มีคาความจริงเปนจริง และ ∼p ∨ s มีคาความจริงเปนเท็จ แลวขอใดตอไปนี้ถูก1) p → q มีคาความจริงเปนจริง 2) q → r มีคาความจริงเปนจริง3) r → s มีคาความจริงเปนเท็จ 4) s → p มีคาความจริงเปนเท็จ

2. ให p, q และ r เปนประพจน พิจารณาขอความตอไปนี้ก. ถา [(p ∧ ∼r) ∧ q] → ∼(p ∧ q) เปนเท็จ แลว (p ∨ q) → r เปนจริงข. ถา q ∨ ∼r เปนเท็จแลว [p ∨ (q → r)] → ∼q เปนเท็จ

ขอใดตอไปนี้ถูก1) ก. ถูก และ ข. ถูก 2) ก. ถูก และ ข. ผิด3) ก. ผิด และ ข. ถูก 4) ก. ผิด และ ข. ผิด

3. พิจารณาขอความตอไปนี้ก. ถาเอกภพสัมพัทธ คือเซต U = (0, 1) U (2, ∞) แลวประพจน

><∀ 1 1) (x เมื่อ 4

1 21 xx 22

-- มีคาความจริงเปนจริง

ข. ถา q, p, r เปนประพจนแลว p → (q ∧ r) สมมูลกับ (p → q) ∨ (p → r)ขอใดตอไปนี้เปนจริง1) ก. ถูก และ ข. ถูก 2) ก. ถูก และ ข. ผิด3) ก. ผิด และ ข. ถูก 4) ก. ผิด และ ข. ผิด

4. กํ าหนดให p, q, r และ s เปนประพจน โดยท่ี q และ r ตางมีคาความจริงเปนเท็จ พิจารณาขอความตอไปนี้ก. [p ∨ (q → r)] ∧ ∼q มีคาความจริงเปนจริงข. (p → ∼q) ↔ (r → s) มีคาความจริงเปนจริง


5. ให p แทน “32 เปนจํ านวนคู” q แทน “π เปนจํ านวนอตรรกยะ” และ r เปนประพจนใดๆพิจารณาขอความตอไปนี้

ก. ประพจน p ∧ (q → r) มีคาความจริงเปนจริงข. ประพจน ∼(r ∨ ∼p) ↔ q มีคาความจริงเปนเท็จ

ขอใดตอไปนี้ถูกตอง1) ก. ถูก และ ข. ถูก 2) ก. ถูก และ ข. ผิด3) ก. ผิด และ ข. ถูก 4) ก. ผิด และ ข. ผิด


6. ให p แทนขอความ “22 เปนเลขคู”q แทนขอความ “213 เปนเลขคี่”r แทนขอความ “215 เปนเลขคี่”s แทนขอความ “24 เปนเลขคู”

จงพิจารณาคาความจริงตอไปนี้ก. ประพจน [(p ∧ q) ∨ r] → (p ∨ r) มีคาความจริงเปนจริงข. ประพจน [∼(p ∧ ∼s)] ∨ (q ∧ ∼r) มีคาความจริงเปนจริง

ขอใดถูกตอง1) ก. ถูก และ ข. ถูก 2) ก. ถูก และ ข. ผิด3) ก. ผิด และ ข. ถูก 4) ก. ผิด และ ข. ผิด

7. ถากํ าหนดให p แทนประพจน “2 + 2 = 4”q แทนประพจน “4 × 8 = 24”

แลวประพจน p → q มีคาความจริงตรงกับคาความจริงของประพจนในขอใดตอไปนี้1) p ↔ ∼q 2) ∼p ↔ q 3) (p ∧ q) → p 4) (p ∨ q) → q

8. กํ าหนดคาความจริงของ [p → (q → r)] → (q → r) เปนเท็จ ประพจนใดตอไปนี้มีคาความจริงเปนจริง1) (p ∨ ∼q) ∧ (q ∨ ∼r) 2) (q ∨ ∼r) ∧ (r ∨ ∼p)3) (r ∨ ∼p) ∧ (p ∨ ∼q) 4) (p ∨ ∼r) ∧ (r ∨ ∼q)

9. ถากํ าหนดให p ∨ q, p → r และ ∼r เปนขอความท่ีมคีาความจรงิเปนจริงแลวขอใดตอไปนีม้คีาความจริงเปนเท็จ1) [∼(p ∧ r)] ∨ (∼p ∧ r) 2) (p ∨ r) ∨ (q ∧ ∼p)3) [∼p ∧ (p → r)] → q 4) [q ∧ (r → p)] → r

10. ให p, q และ r เปนประพจน ถา (p ∧ ∼q) → (q ∨ r) มีคาความจริงเปนเท็จ แลวประพจนในขอใดตอไปนี้ มีคาความจริงเปนจริง1) ∼p ∨ q 2) p → ∼r 3) p ∧ q 4) q ↔ ∼r

11. ถาประพจน p ∧ (q ∨ r) มีคาความจริงเปนจริง แลวประพจนในขอใดตอไปนี้มีคาความจริงเปนจริง1) (q ∨ r) ↔ (p ∨ s) 2) (p ∨ r) → (∼p ∧ s)3) (∼p ∧ r) ∧ (p ∨ q) 4) p → [(q ∨ r) → ∼p]

12. กํ าหนดให p → r มีคาความจริงเปนเท็จ และประพจน r ∨ q มีคาความจริงเปนจริง พิจารณาขอความตอไปนี้ก. ∼r → (p ∧ ∼q) มีคาความจริงเปนจริงข. r ∨ ∼p มีคาความจริงเปนจริง

ขอใดตอไปนี้ถูกตอง1) ก. ถูก และ ข. ถูก 2) ก. ถูก และ ข. ผิด3) ก. ผิด และ ข. ถูก 4) ก. ผิด และ ข. ผิด

13. ถาคาความจริงของ (p → q) → (p → (q ∧ r)) เปนเท็จ แลวประพจนในขอใดตอไปนี้มีคาความจริงเปนจริง1) (p ∧ q) ∧ r 2) (p ∧ ∼q) ∧ ∼r3) ∼(p ∧ q) ∨ r 4) (p ∧ ∼q) ∨ ∼r

14. ประพจนในขอใดตอไปนี้สมมูลกับประพจน p → q1) ∼p ∨ q 2) p ∨ ∼q3) ∼p ∧ q 4) p ∧ ∼q

15. นิเสธของประพจน p → q คือขอใดตอไปนี้1) ∼p ∧ ∼q 2) p ∧ ∼q3) ∼p → ∼q 4) p → ∼q

16. ประพจนในขอใดสมมลูกับประพจน r → (p ∧ q)1) r → (∼p ∨ ∼q) 2) (∼p ∨ ∼q) → r3) ∼r → ∼(p ∧ q) 4) (∼p ∨ ∼q) → ∼r

17. A ใหคํ าสัญญากับ B วา “ถา B สอบเขามหาวิทยาลัยไดแลว เขาจะพา B ไปดูหนัง หรือซ้ือของขวัญให”สมมติวา B สอบเขามหาวิทยาลัยได ขอใดตอไปนี้ถือวา A ทํ าผิดสัญญา1) A พา B ไปดูหนัง และซ้ือของขวัญให 2) A พา B ไปดูหนัง และไมซ้ือของขวัญให3) A ซ้ือของขวัญให B แตไมพาไปดูหนัง 4) A ไมซ้ือของขวัญให B และไมพาไปดูหนัง

18. ขอความ (ก) และขอความ (ข) ในขอใดตอไปนี้สมมูลกัน1) (ก) ถาแดงไปโรงเรียนแลวดํ าไปเที่ยว (ข) ดํ าไมไปเท่ียวหรือแดงไปโรงเรียน2) (ก) ถาแดงไปโรงเรียนแลวดํ าไมไปเท่ียว (ข) แดงไปโรงเรียนหรือดํ าไปเที่ยว3) (ก) ถาแดงไปโรงเรียนแลวดํ าไมไปเท่ียว (ข) ถาดํ าไปเที่ยวแลวแดงไปโรงเรียน4) (ก) ถาแดงไมไปโรงเรียนแลวดํ าไปเที่ยว (ข) ถาดํ าไมไปเท่ียวแลวแดงไปโรงเรียน

19. ขอความ “ถา ab = 0 แลว a = 0 หรือ b = 0” สมมูลกับขอความใด1) ถา a = 0 หรือ b = 0 แลว ab = 0 2) ถา a = 0 และ b = 0 แลว ab = 03) ถา ab ≠ 0 แลว a ≠ 0 และ b ≠ 0 4) ถา a ≠ 0 และ b ≠ 0 แลว ab ≠ 0

20. นิเสธของขอความ “ถา a ≠ b แลว a b” ตรงกับขอใด1) a ≠ b และ a ≥ b และ a ≤ b 2) a ≠ b และ a ≤ b และ a ≥ b3) a = b และ a ≥ b และ a ≤ b 4) a = b และ a ≤ b และ a ≥ b

21. รูปของประพจน t → (s → w) สมมูลกับรูปของประพจนในขอใด1) t → (w → s) 2) s → (t → w)3) (s → w) → t 4) w → (s → t)

22. ถาเอกภพสัมพัทธคือเซตของจํ านวนจริงแลว ขอใดตอไปนี้เปนจริง1) ∃x [x + 1 = x] 2) ∀x [x + 1 ≠ x]3) ∼∃x [x + 1 ≠ x] 4) ∼∀x [x + 1 ≠ x]

23. ถาเอกภพสัมพัทธ U = {-2, -1, 0, 1, 2} แลวขอใดเปนจริง1) ∀x [x2 = -1] 2) ∃x [x2 = -1]3) ∼∀x [x2 ≠ -1] 4) ∼∀x [x2 = -1]

24. กํ าหนดให U = {-2, -1, 0, 1, 2} ขอความใดมีคาความจริงเปนเท็จ1) ∃x [- x + 6 = x] 2) ∃x [x2 = 2x]

3) ∀x

2x=2 + x4x2 - - 4) ∀x [x2 + 6 > x]

25. นิเสธของ ∼∀x [x + 1 ≠ 0] คือขอใด1) ∃x [x + 1 = 0] 2) ∃x [x + 1 ≠ 0]3) ∀x [x + 1 = 0] 4) ∀x [x + 1 ≠ 0]

26. กํ าหนดใหเอกภพสัมพัทธคือเซตของจํ านวนเต็ม ขอใดเปนจริง1) ∀x [(x > 0) ∨ (x < 0)] → {∀x [x > 0] ∨ ∀x [x < 0]}2) {∃x [x > 0] ∧ ∃x [x < 0]} → ∃x [x > 0) ∧ (x < 0)]3) ∀x [(x > 0) → (x ≥ 0)] → {∃x [x > 0] → ∀x [x > 0]}4) ∃x [(x ≥ 0) → (x > 0)] → {∃x [x ≥ 0] → ∀x [x ≥ 0]}

27. เอกภพสัมพัทธในขอใดตอไปนี้ทํ าใหประพจน ∀x [x2 + 2x - 3 < 0] มีคาความจริงเปนจริง1) (-∞, -3) 2) (-2, 1) 3) (0, 10) 4) (1, ∞)

28. พิจารณาขอความตอไปนี้ก. ถา p, q เปนประพจน โดยท่ี p มีคาความจริงเปนจริง และ ∼q → (∼p ∨ q) เปนสัจนิรันดรแลว q

มีคาความจริงเปนจริงข. นิเสธของขอความ ∃x [(∼P(x)) ∧ Q(x) ∧ (∼R(x))] คือขอความ ∀x [Q(x) → (P(x) ∨ R(x))]


29. กํ าหนดให P(x) และ Q(x) เปนประโยคเปด โดยท่ี ∀x [P(x)] → ∃x [∼Q(x)] มีคาความจริงเปนเท็จเมื่อเอกภพสัมพัทธคือเซตของจํ านวนจริงขอใดตอไปนี้มีคาความจริงเปนจริง1) ∃x [P(x) ∧ ∼Q(x)] 2) ∃x [∼P(x) ∨ ∼Q(x)]3) ∀x [P(x) → ∼Q(x)] 4) ∀x [P(x) → Q(x)]

30. กํ าหนดให A = {x ∈ I+ | 1 ≤ x < 9} เมื่อ I+ เปนเซตของจํ านวนเต็มบวก พิจารณาขอความตอไปนี้ก. ∀x [(x ∈ A) → (x + 1 ∈ A)]ข. ∃x [(x ∈ A) ∧ (x2 < 2)]

ขอใดตอไปนี้ถูก1) ก. จริง ข. จริง 2) ก. จริง ข. เท็จ3) ก. เท็จ ข. จริง 4) ก. เท็จ ข. เท็จ

31. ถาเอกภพสัมพัทธคือเซตจํ านวนเต็มแลวขอใดตอไปนี้ถูก1) ∃x [x2 ≤ 0 ∨ x2 + 1 = 0] มีคาความจริงเปนจริง2) ∃x [x + 4 = 0 ∧ x - 2 = -6] มีคาความจริงเปนเท็จ3) ∀x [x2 > 0] มีคาความจริงเปนจริง4) ∀x [x < 3 → x < 5] มีคาความจริงเปนเท็จ

32. ใหเอกภพสัมพัทธ U = {x ∈ R | |x - 1| ≤ 2} ขอใดตอไปนี้มีคาความจริงเปนจริง1) ∀x [x2 - 3 < 6] 2) ∀x [1 < x + 2 < 5]3) ∃x [| x + 2 | < 2 - x] 4) ∃x [ x > 2]

33. นิเสธของขอความ ∀x∃y [(xy = 0 ∧ x ≠ 0) → y = 0] สมมูลกับขอความในขอใดตอไปนี้1) ∃x∀y [(xy = 0 ∨ x = 0) ∧ y ≠ 0] 2) ∀x∃y [(xy ≠ 0 ∧ x = 0) ∨ y = 0]3) ∃x∀y [(xy = 0 ∧ x ≠ 0) ∧ y ≠ 0] 4) ∀x∃y [(xy ≠ 0 ∨ x = 0) ∨ y = 0]

34. พิจารณาการอางเหตุผลตอไปนี้ก. เหตุ 1. p → ∼q ข. เหตุ 1. p ∨ q

2. q ∨ r 2. q → r3. ∼r 3. ∼r ∨ s

ผล ∼p ผล sขอใดตอไปนี้ถูก1) ก. และ ข. สมเหตุสมผล 2) ก. สมเหตุสมผล แต ข. ไมสมเหตุสมผล3) ก. ไมสมเหตุสมผล แต ข. สมเหตุสมผล 4) ก. และ ข. ไมสมเหตุสมผล

35. พิจารณาการอางเหตุผลตอไปนี้ก. เหตุ 1. p → q ข. เหตุ p → (r ∨ s)

2. q → s ผล ∼p ∨ (r ∨ s)3. ∼s

ผล ∼p ∨ sขอใดตอไปนี้ถูก1) ก. และ ข. สมเหตุสมผลท้ังคู 2) ก. และ ข. ไมสมเหตุสมผลท้ังคู3) ก. สมเหตุสมผล แต ข. ไมสมเหตุสมผล 4) ก. ไมสมเหตุสมผล แต ข. สมเหตุสมผล


36. พิจารณาการอางเหตุผลตอไปนี้เหตุ 1. ถาสมชายไมวายนํ้ าแลวสมหญิงไปดูภาพยนตร

2. สมทรงไมดูโทรทัศน3. ถาสมชายไมไปวายนํ้ าแลวสมพรไมนอนพักผอน4. สมพรนอนพักผอนและสมหญิงไปดูภาพยนตร

ผล pp ตองแทนประพจนในขอใดตอไปนี้จึงจะทํ าใหการอางเหตุผลขางตนสมเหตุสมผล1) สมพรไมนอนพักผอน 2) สมชายไมไปวายนํ้ า3) สมชายไปวายนํ้ า และสมหญิงไมไปดูภาพยนตร 4) สมพรนอนพักผอน และสมชายไปวายนํ้ า

37. กํ าหนดให p, q, r และ s เปนประพจนในการอางเหตุผล

ถา “เหตุ” คือ 1. (p ∨ q) → (r ∧ s)2. r → ∼s

แลว ประพจนในขอใดตอไปนี้เปน “ผล” ท่ีทํ าใหการอางเหตุผลมีความสมเหตุสมผล1) p 2) q 3) ∼p ∧ ∼q 4) ∼p ∧ q

เฉลย

1. 1) 2. 4) 3. 4) 4. 1) 5. 3) 6. 1) 7. 4) 8. 1) 9. 4) 10. 2)11. 1) 12. 4) 13. 4) 14. 1) 15. 2) 16. 4) 17. 4) 18. 4) 19. 4) 20. 1)21. 2) 22. 2) 23. 4) 24. 3) 25. 1) 26. 1) 27. 2) 28. 1) 29. 4) 30. 3)31. 1) 32. 3) 33. 3) 34. 2) 35. 1) 36. 4) 37. 3)


จํ านวนจริง

1. ผังแสดงความสัมพันธของระบบจํ านวนจํานวนจริง (R)

)Q( ยะจํานวนอตรรก ′ จํานวนตรรกยะ (Q)

)I( จํานวนเต็มะที่ไมใชจํานวนตรรกย ′ จํานวนเต็ม (I)

)(I บจํานวนเต็มล - )(I ูนยจํานวนเต็มศ 0 )(I วกจํานวนเต็มบ +

หรือจํานวนนับ (N)

2. การแยกตัวประกอบ1. กํ าลังสองสมบูรณ

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

2. กํ าลังสามสมบูรณ(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

(a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3

3. ผลตางกํ าลังสองa2 - b2 = (a - b)(a + b)

4. ผลตางกํ าลังสามa3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2)

5. ผลบวกกํ าลังสามa3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2)

3. รากของสมการพหุนาม1. รากตรรกยะของสมการพหุนาม

สมการพหุนาม p(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 = 0 โดยท่ี an, an-1, ... , a1, a0 ∈ R และan ≠ 0 จะมีรากตรรกยะที่อยูในรูปเศษสวนอยางต่ํ า q

p เมื่อ p หาร a0 ลงตัวและ q หาร an ลงตัว2. ทฤษฎีบทเศษเหลือ

กํ าหนด p(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 โดยท่ี an, an-1, ... , a1, a0 ∈ R และ an ≠ 0เมื่อหาร p(x) ดวย x - c จะไดเศษเทากับ p(c)

ตัวอยางท่ี 1 จงหาเศษจากการหาร x4 - 5x3 + 2x2 - x + 2 ดวย x - 3วิธีทํ า ให p(x) = x4 - 5x3 + 2x2 - x + 2

เมื่อหาร p(x) ดวย x - 3 จะเหลือเศษเทากับ p(3) = 34 - 5(3)3 + 2(3)2 - 3 + 2 = -37ตัวอยางท่ี 2 จงหาเศษจากการหาร x3 + 4x2 + 5x + 2 ดวย x + 3วิธีทํ า ให p(x) = x3 + 4x2 + 5x + 2 จะเห็นวา x + 3 = x - (-3)

ดังนั้น เมื่อหาร p(x) ดวย x + 3 จะเหลือเศษเทากับ p(-3) = -4ตัวอยางท่ี 3 จงแยกตัวประกอบของพหุนามตอไปนี้ x3 + x2 - 8x - 12วิธีทํ า ให p(x) = x3 + x2 - 8x - 12

เนื่องจาก p(-2) = 0 ดังนั้น x + 2 หาร p(x) ลงตัว

x + 2 x3+ x2- 8x - 12x2 -x - 6

x3+ 2x2x2- - 8x - 12x2- - 2x

- 6x - 12- 6x - 12

ดังนั้น x3 + x2 - 8x - 12 = (x + 2)(x2 - x - 6)= (x + 2)(x - 3)(x + 2)= (x + 2)2(x - 3)

4. ชวงสํ าหรับจํ านวนจริง a และ b ซ่ึง a < b1. ชวงเปด

(a, b) = {x | a < x < b}2. ชวงปด

[a, b] = {x | a ≤ x ≤ b}3. ชวงกึ่งเปดก่ึงปด

(a, b] = {x | a < x ≤ b}[a, b) = {x | a ≤ x < b}

4. ชวงกึ่งอนันต(a, ∞) = {x | x > a}[a, ∞) = {x | x ≥ a}(-∞, a) = {x | x < a}(-∞, a] = {x | x ≤ a}

5. ชวงอนันต(-∞, ∞) = R

5. สมบัติของอสมการให a, b, c, d เปนจํ านวนจริงใดๆ1. ถา a 0 แลว ac < bc3.2 c < 0 แลว ac > bc

4. ถา a < b และ c < d แลว a + c < b + d5. ถา 0 < a < b และ 0 < c < d แลว 0 < ac < bd6. ถา 0 < a < b แลว a

1 b1 0 <<

6. คาสัมบูรณและสมบัติของคาสัมบูรณ

| a | =

<

≥

0 a เมื่อa 0 a เมื่อa

-สํ าหรับจํ านวนจริง a ใดๆ1. a2 = | a |

2. | a | ≥ 03. | a | = | -a |4. | ab | = | a || b |

5. ab = | || |ab6. | a |2 = a2

7. | a + b | ≤ | a | + | b |8. ถา a > 0 แลว

8.1 | x | < a ก็ตอเมื่อ -a < x < a8.2 | x | ≤ a ก็ตอเมื่อ -a ≤ x ≤ a8.3 | x | > a ก็ตอเมื่อ x < -a หรือ x > a8.4 | x | ≥ a ก็ตอเมื่อ x ≤ -a หรือ x ≥ a


7. การแกอสมการที่แยกตัวประกอบได1. ถาจะคูณท้ังสองขางของอสมการดวยคาคงตัวหรือนิพจน จะตองตรวจสอบวาคาคงตัวหรือนิพจนนั้นมีคาเปน

บวกหรือลบอยางใดอยางหนึ่งและอาจตองเปลี่ยนเครื่องหมายอสมการใหเหมาะสม

2. พยายามจัดใหขางหนึ่งของอสมการเปน 0 แลวจึงแยกตัวประกอบ

ตัวอยางท่ี 4 จงแกอสมการ 1 2 x2x ≥+

วิธีทํ า ไมควรคูณดวย x + 2 ท้ังสองขางเพราะ x + 2 อาจมีคาไดท้ังบวกและลบ แตใหลบดวย 1 ท้ังสองขาง จะได 0 1 2 x

2x ≥+ - ซ่ึงสามารถจัดรูปใหงายเปน 0 2 x2 x ≥+

- จึงเขียนชวงไดดังแสดงในรูปขางลาง

-2 2-+ +

ใหสังเกตดวยวาตัวหาร x + 2 ตองไมเทากับศูนย จึงไดเซตคํ าตอบเปน (-∞, -2)U [2, ∞)3. เนื่องจากจํ านวนจริงท่ียกกํ าลังดวยเลขค่ีจะมีเครื่องหมายคงเดิม และจํ านวนจริงท่ียกกํ าลังคูจะมีคาเปนศูนย

หรือบวกเทานั้น จึงสามารถพิจารณาอสมการที่แยกตัวประกอบแลวบางวงเล็บมีเลขยกกํ าลังไดดังนี้3.1 ถาวงเล็บใดยกกํ าลังดวยเลขค่ี ใหแกอสมการเสมือนหนึ่งวาวงเล็บนั้นยกกํ าลังหนึ่ง3.2 ถาวงเล็บใดยกกํ าลังดวยเลขคู ใหตัดวงเล็บนั้นออกไปจากการพิจารณากอน แตเมื่อไดคํ าตอบแลว

จะตองพิจารณาอีกครั้งวาวงเล็บท่ีตัดออกไปกอนนั้นมีผลตอเซตคํ าตอบหรือไม แลวจึงปรับคํ าตอบใหถูกตอง

ตัวอยางท่ี 5 จงแกอสมการ 0 2) (xx

2) (x6) (x52

34≤

+

--

วิธีทํ า ในขั้นตนจะพิจารณาคํ าตอบของอสมการ 0 2 x2 x ≤+

- ซ่ึงจะไดเซตคํ าตอบเปน (-2, 2] แตเมื่อพิจารณาพจน x2 ท่ีตัดท้ิงไป จะเห็นวา x = 0 จะทํ าใหตัวหารเปนศูนยจึงตองตัด 0 ท้ิงไป นอกจากนี้เมื่อพิจารณาพจน (x - 6)4 จะเห็นวา x = 6 เปนคํ าตอบหนึ่งของอสมการดวย

-2 20-+ +

6

จึงไดเซตคํ าตอบที่ถูกตองเปน (-2, 0)U (0, 2]U {6}

8. สมบัติของจํ านวนเต็มในเรื่องนี้จะกลาวถึงเฉพาะจํ านวนเต็มและตัวหารตองไมเปน 01. จํ านวนเต็ม m หารจํ านวนเต็ม n ลงตัวก็ตอเมื่อมีจํ านวนเต็ม c ซ่ึง mc = n และใหเขียนแทนดวย m | n2. จํ านวนเต็มบวก p ≥ 2 เปนจํ านวนเฉพาะก็ตอเมื่อจํ านวนเต็มบวกที่หาร p ลงตัวเปนสมาชิกของเซต {1, p}3. จํ านวนเต็มบวก g จะเห็นตัวหารรวมมาก (ห.ร.ม.) ของจํ านวนเต็ม m กับ n ซ่ึงไมเปน 0 พรอมกันก็ตอเมื่อ

(1) g เปนตัวหารรวมของ m กับ n นั่นคือ g | m และ g | n(2) ในบรรดาตัวหารรวมท้ังหมดของ m และ n ตัวหารรวมท่ีมีคามากท่ีสุดคือ gห.ร.ม. ของ m และ n เขียนแทนดวย (m, n)

4. จํ านวนเต็มบวก c จะเห็นตัวคูณรวมนอย (ค.ร.น.) ของจํ านวนเต็ม m กับ n ซ่ึงไมเปน 0 ก็ตอเมื่อ(1) c เปนตัวคูณรวมของ m กับ n นั่นคือ m | c และ n | c(2) ในบรรดาตัวคูณรวมบวกทั้งหมดของ m และ n ตัวคูณรวมท่ีมีคานอยท่ีสุดคือ cค.ร.น. ของ m และ n เขียนแทนดวย [m, n]

5. ถา m และ n มี ห.ร.ม. เทากับ 1 แลวจะกลาววา m และ n เปนจํ านวนเฉพาะสัมพัทธกันทฤษฎีบทที่สํ าคัญสํ าหรับจํ านวนเต็มมีดังนี้1. ถา a | b และ b | c แลว a | c2. ถา a และ b เปนจํ านวนเต็มบวกซ่ึง a | b แลว a ≤ b3. ถา a | b และ a | c แลว a | bx + cy สํ าหรับจํ านวนเต็ม x และ y ใดๆ4. จํ านวนเต็ม n > 1 จะแยกตัวประกอบในรูปจํ านวนเฉพาะไดเพียงชุดเดียวเมื่อไมคํ านึงถึงลํ าดับการเขียน5. ถา p เปนจํ านวนเฉพาะ และ p | mn แลว p | m หรือ p | n6. ห.ร.ม. ของ m และ n สามารถเขียนในรูปผลรวมเชิงเสนระหวาง m กับ n ไดเสมอ กลาวคือ

มีจํ านวนเต็ม x และ y ซ่ึง (m, n) = mx + ny7. (m, n) = 1 ก็ตอเมื่อมีจํ านวนเต็ม x และ y ซ่ึง mx + ny = 18. ถา g = (m, n) แลว 1 gn ,gm =

9. ผลคูณของ ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ของจํ านวนเต็มสองจํ านวนมีคาเทากับผลคูณของจํ านวนท้ังสอง กลาวคือ(m, n) [m, n] = mn

10. ขั้นตอนวิธีการหารให m และ n เปนจํ านวนเต็มซ่ึง n ≠ 0 จะมีจํ านวนเต็ม q และ r เพียงชุดเดียวเทานั้นซ่ึง

m = qn + r และ 0 ≤ r < |n|เรียก q วาผลหาร และเรียก r วาเศษ

1. จงพิจารณาขอความตอไปนี้ เมื่อ a และ b เปนจํ านวนจริงใดๆก. ถา 0 < a 0 แลว a ≤ aขอใดตอไปนี้ถูก1) ก. ถูก และ ข. ถูก 2) ก. ถูก และ ข. ผิด 3) ก. ผิด และ ข. ถูก 4) ก. ผิด และ ข. ผิด

2. ขอใดตอไปนี้ถูก1) มีจํ านวนตรรกยะ a ≠ 0 และจํ านวนอตรรกยะ b ซ่ึง ab เปนจํ านวนตรรกยะ2) ถา a, b เปนจํ านวนตรรกยะบวกแลว ab เปนจํ านวนตรรกยะเสมอ3) มีจํ านวนอตรรกยะ a, b ซ่ึง a ≠ -b และ a + b เปนจํ านวนตรรกยะ4) ถา a, b เปนจํ านวนอตรรกยะ และ b ≠ 1a แลว ab เปนจํ านวนอตรรกยะเสมอ

3. ขอใดผิด1) ถา 0 < a < c และ 0 cd > 04) ถา bd ≠ 0 และ a > c , b > d จะได ad > cb

4. ขอใดถูก1) ถา a < c และ b < d จะได ab < cd2) ถา a < c และ b < d จะได a2b2 < c2d2

3) ถา a < c และ b < d จะได ab < cd4) ถา 0 < a < c และ 0 < b < d จะได 0 < abcd < 1

5. ขอใดเปนจริง1) มีจํ านวนคี่ 3 จํ านวน รวมกันได 202) ถา a เปนจํ านวนเต็ม และ a2 เปนจํ านวนคี่ จะได a เปนจํ านวนคี่3) ถา a2 เปนจํ านวนคู จะได a เปนจํ านวนคู4) ผลคูณของจํ านวนเฉพาะกับจํ านวนคี่ยอมเปนจํ านวนคี่

6. ถาเอกภพสัมพัทธคือเซตของจํ านวนจริง แลวเซตคํ าตอบของอสมการ 2x - 3 ≥ 4x + 1 คือขอใด1)

0 ,21 - 2) (0, ∞)

3)

∞ 21 , -- U [1, ∞) 4) (-∞, 3]I [-2, ∞)

7. เซตคํ าตอบของอสมการ 72 x - ≤ 3 คือเซตในขอใด1)

∞ 31 , -- 2)

2 ,31 -

3)

∞ 31 , -- U (2, ∞) 4) ไมมีขอใดถูก

8. ถา A เปนเซตคํ าตอบของอสมการ 3x2 - 8x ≥ 6x + 5 แลว ขอใดตอไปนี้ถูก1) {x | 3x + 1 ≥ 0 และ x - 5 ≥ 0} ⊂ A 2) {x | 3x + 1 ≤ 0 และ x - 5 ≤ 0} ⊂ A

3) A′ =

5x3

1x <<- 4) ถูกทุกขอ

9. ให A =

≥ 0 x

5 + xx และ B = {x | 2x2 - 10x ≥ 5x - 27} พิจารณาขอความตอไปนี้

ก. AIB = (0, ∞)ข. AUB =

∞ 27 , - U (4, ∞)

ขอใดตอไปนี้ถูก1) ก. ถูก และ ข. ถูก 2) ก. ถูก และ ข. ผิด 3) ก. ผิด และ ข. ถูก 4) ก. ผิด และ ข. ผิด

10. กํ าหนดให A = {x ∈ R | x2 - 3x - 4 > 0}B =

∈ 04 + x

1 xRx < -

ขอใดตอไปนี้ผิด1) AUB ⊂ (-∞, 2]U [3, ∞) 2) AIB ⊂ [-5, -1]3) A - B ⊂ (-∞, -5]U [3, ∞) 4) B - A′ ⊂ [-5, 3]

11. ให R เปนเซตของจํ านวนจริง และถา A =

≥∈ 0x

1 2xRx -

B = {x ∈ R | 2x2 + 5x - 3 < 0}แลวขอใดตอไปนี้ถูก1) AUB = (-∞, ∞) 2) A - B = {-3, 0} 3) AIB = φ 4) A′ - B =

21

12. เซตคํ าตอบของอสมการ x + 1x ≥ 3 - x คือขอใดตอไปนี้1) (0, 3] 2) [0, 3] 3) (0, ∞) 4) (-∞, 0)U [1, ∞]

13. เซตคํ าตอบของอสมการ x2 ≤ 2 - x คือขอใดตอไปนี้1) [-2, 1] 2) [-1, 2] 3) [-2, 1) 4) [-1, 2)

14. เซตคํ าตอบของอสมการ xx + 12

> x เปนสับเซตของเซตใดตอไปนี้

1) (-∞, -2) 2) (-10, -1) 3) (-2, 1) 4) (1, ∞)

15. ถา A คือเซตคํ าตอบของอสมการ 3x + 5 < x - 7B คือเซตคํ าตอบของอสมการ 1x < 12

แลว A′IB เทากับชวงในขอใดตอไปนี้1) (-6, 0) 2) (2, ∞) 3) (-∞, 0)U (2, ∞) 4) [-6, 0)U (2, ∞)

16. กํ าหนดให A เปนเซตคํ าตอบของอสมการ 12 + x - x2 < 0และ B เปนเซตคํ าตอบของอสมการ |3 - |x|| < 1เซต AIB เปนสับเซตของชวงใดตอไปนี้1) (-5, -3) 2) (-3, -1) 3) (1, 3) 4) (3, 5)

17. ให S เปนเซตคํ าตอบของอสมการ 3x 2x 1

| |-- ≥ 2พิจารณาขอความตอไปนี้

ก. S = (-1, 0]U (1, ∞)ข. ∃x [x ∈ S ∧ (x + 2) ∉ S]


18. กํ าหนดให A เปนเซตคํ าตอบของอสมการ x > | x – 1|และ B เปนเซตคํ าตอบของอสมการ 3) 1)(x (x

5 x++

- ≥ 0

ถา A – B คือชวง (a, b) แลว a + b มีคาเทากับเทาใด1) 4.5 2) 5 3) 5.5 4) 6

19. กํ าหนดให I คือเซตของจํ านวนเต็ม และS = {x | | |x – 1| - 1| ⋅ | |x – 1| + 1| < 50}

จํ านวนสมาชิกของเซต SI I เทากับขอใดตอไปนี้1) 13 2) 14 3) 15 4) 16

20. พิจารณาขอความตอไปนี้ก. ถา a, b และ c เปนจํ านวนเต็มซ่ึง a | (2b - c) และ a2

| (b + c) แลว a | 3cข. ถา A =

<∈ + 1 2 x 2 2x x R x 2

-- และ

B = {x ∈ R | x3 - 2x2 < 0} แลว A = Bขอใดตอไปนี้ถูก1) ก. ถูก และ ข. ถูก 2) ก. ถูก และ ข. ผิด 3) ก. ผิด และ ข. ถูก 4) ก. ผิด และ ข. ผิด

21. กํ าหนดให A เปนเซตคํ าตอบของอสมการ 3 xx + 2

- ≥ 0 และ B เปนเซตคํ าตอบของอสมการ 2x 21 - ≤ 1(A - B)′ เทากับขอใดตอไปนี้1) (-∞, -2)U (-1, ∞) 2) (-∞, -2)U [-1, ∞)3) (-∞, -2]U (-1, ∞) 4) (-∞, -2]U [-1, ∞)

22. ให R แทนเซตของจํ านวนจริง พิจารณาขอความตอไปนี้

ก.

∈ 2=x

1 xRx - =

∈ 2=x

1xRx -

ข.

≥∈ 21 xxRx - = {x ∈ R | | x | ≥ 2 | x – 1|}


23. กํ าหนดให A = {x ∈ I+ | (x - 2)(x - 3) > (x - 4)(x + 3)}B = {x ∈ I | | 2x + 1| > -3}

P(A) แทนเพาเวอรเซตของเซต A และ P(B) แทนเพาเวอรเซตของเซต B ขอใดตอไปนี้ถูก1) A และ B เปนเซตอนันต2) A และ B เปนเซตจํ ากัด3) จํ านวนสมาชิกของ P(A) เทากับ 16 และ B เปนเซตอนันต4) จํ านวนสมาชิกของ P(B) เทากับ 4 และ A เปนเซตอนันต

24. ให P เปนเซตคํ าตอบของอสมการ x2 - 4x + 3 < 0 และ Q เปนเซตคํ าตอบของอสมการ | x | - 2 ≥ 0 ดังนั้น(PUQ)′ คือชวงในขอใดตอไปนี้1) (-2, 1] 2) (1, 2) 3) (-∞, 1] 4) (2, ∞)

25. ให A = {x ∈ R | | x - 1| < 4}B =

≥∈ 01 x

2 + xRx -C = เซตของจํ านวนเต็ม

แลว AIBIC คือเซตในขอใดตอไปนี้1) {-2, 2, 3, 4} 2) {-3, -2, 2, 3, 4}3) {-3, -2, 1, 2, 3, 4} 4) {-3, -2, 1, 2, 3, 4, 5}

26. เซตคํ าตอบของอสมการ 2x + 2 < | x | < 7x + 8 เปนสับเซตของเซตในขอใดตอไปนี้1) (-1, 0) 2)

1 ,3

2 - 3)

34 ,3

1 - 4) (0, 2)

27. เซตคํ าตอบของอสมการ 3 ≤ | x + 1 | ≤ 7 เปนสับเซตของเซตในขอใดตอไปนี้1) (-10, 4) 2) (-9, -2)U (1, 7) 3) (-5, 8) 4) (-10, -3)U (3, 8)


28. กํ าหนดให A = {x ∈ R | 5x2 - 42x + 16 > 0}จงพิจารณาขอความตอไปนี้

ก. A =

>∈ 519 521 xR x -

ข. A = R -

8 ,52


29. ให R เปนเซตของจํ านวนจริง A = {x ∈ R | 3x2 + x - 2 > 0} และ B = {x ∈ R || 3 - 2x | ≤ 4}จงพิจารณาขอความตอไปนี้

ก. B - A =

32 ,2

1 -

ข. AUB′ =

∞ 2

1 , -- U

∞ , 32


30. กํ าหนดให f(x) = x3 + kx2 + mx + 4 เมื่อ k และ m เปนคาคงตัว ถา x - 2 เปนตัวประกอบหนึ่งของ f(x) และเมื่อนํ า x + 1 ไปหาร f(x) ไดเศษเหลือ 3 แลวคาสัมบูรณของ k + m เทากับเทาใด1) 1 2) 2 3) 3 4) 4

31. ให m และ n เปนจํ านวนเต็มบวก ถา 5 หาร m เหลือเศษ 4 และ 5 หาร n เหลือเศษ 2 แลว 5 หาร (m + n)เหลือเศษเทากับขอใดตอไปนี้1) 1 2) 2 3) 3 4) 4

32. ให a, b, c เปนจํ านวนเต็มบวก ถา 7 หาร a เหลือเศษ 1 7 หาร b เหลือเศษ 3 และ 7 หาร c เหลือเศษ 5แลว 7 หาร a(b + c) เหลือเศษเปนจํ านวนเทากับขอใดตอไปนี้1) 1 2) 2 3) 4 4) 6

33. ถา n เปนจํ านวนเต็มบวกที่มากท่ีสุดซ่ึงหาร 90 เหลือเศษ 6 และหาร 150 เหลือเศษ 3 แลว n หาร 41 เหลือเศษเทากับขอใดตอไปนี้1) 5 2) 6 3) 18 4) 20

34. จํ านวนเต็มต้ังแต 1 ถึง 500 ท่ีหารดวย 3 หรือ 5 ลงตัว มีจํ านวนเทากับขอใดตอไปนี้1) 167 2) 200 3) 233 4) 266

35. พิจารณาขอความตอไปนี้ก. 3 | (a4 + 2a3 - a2 - 2a) ทุกจํ านวนเต็ม aข. {x ∈ I- | 6x3 + 17x2 + 14x + 8 ≥ 0} มีสมาชิกเพียงตัวเดียว


36. กํ าหนดใหเอกภพสัมพัทธคือ {x | x เปนจํ านวนเต็มท่ีไมใช 0 และ -100 ≤ x ≤ 100}ให A = {x | ห.ร.ม. ของ x กับ 21 เปน 3} จํ านวนสมาชิกของ A เทากับขอใดตอไปนี้1) 29 2) 34 3) 68 4) 58

37. ให x และ y เปนจํ านวนเต็มบวก ซ่ึง 80 < x < 200 และ x = pq เมื่อ p และ q เปนจํ านวนเฉพาะซ่ึง p ≠ qถา x และ y เปนจํ านวนเฉพาะสัมพัทธ และ ค.ร.น. ของ x, y เทากับ 15015 แลวผลบวกของคาของ y ท้ังหมดท่ีสอดคลองเง่ือนไขท้ังหมดท่ีกํ าหนดใหเทากับเทาใด1) 120 2) 180 3) 270 4) 360

38. กํ าหนดให S เปนเซตคํ าตอบของอสมการ x 1x + 2

- > 2 และ a เปนคาขอบเขตบนนอยสุดของ S แลว a2 + 1เทากับขอใดตอไปนี้1) 2 2) 5 3) 10 4) 26

39. ให A =

≥∈ 14+4x+x

1Rx 2 และ B = {n | n เปนจํ านวนเต็มลบ ซ่ึง n ≤ -2}

ขอบเขตบนคานอยสุดของ AIB เทากับขอใดตอไปนี้1) -4 2) -3 3) -2 4) -1

40. คาขอบเขตบนนอยสุดของเซต

+++ ตม็บวกเปนจํานวนเ n n

n ... 2 1 2- ใน R เทากับขอใดตอไปนี้

1) -1 2) - 12 3) - 14 4) 041. กํ าหนดให S = {n ∈ I+ | n ≤ 1000, ห.ร.ม. ของ n และ 100 เทากับ 1} จํ านวนสมาชกิของเซต S เทากับเทาใด

1) 300 2) 400 3) 500 4) 60042. กํ าหนดให a, b เปนจํ านวนเต็ม ซ่ึง a เปน ห.ร.ม. ของ b และ 216

ให q1, q2 เปนจํ านวนเต็มบวก โดยท่ี216 = bq1 + 106

b = 106q2 + 4ถา f(x) = x3 + ax2 + bx - 36 แลว เมื่อหาร f(x) ดวย x - a ไดเศษเทากับขอใดตอไปนี้1) 192 2) 200 3) 236 4) 272

เฉลย

1. 4) 2. 3) 3. 4) 4. 4) 5. 2) 6. 1) 7. 3) 8. 4) 9. 4) 10. 3)11. 1) 12. 3) 13. 1) 14. 3) 15. 4) 16. 1) 17. 2) 18. 3) 19. 3) 20. 2)21. 4) 22. 4) 23. 3) 24. 1) 25. 1) 26. 1) 27. 2) 28. 1) 29. 3) 30. 4)31. 1) 32. 1) 33. 4) 34. 3) 35. 2) 36. 4) 37. 3) 38. 2) 39. 2) 40. 1)41. 2) 42. 2)


เรขาคณิตวิเคราะหและภาคตัดกรวย

1. เรขาคณิตวิเคราะหเบื้องตน1. ระยะทางระหวางจุด กํ าหนดจุด P1(x1, y1) และจุด P2(x2, y2) จะไดระยะทางระหวางจุดเปน

| P1P2 | = (x x ) + (y y )1 22

1 22

- -

P (x , y )2 2 2

P (x , y )1 1 1

2. การแบงสวนของเสนตรง

P(x, y) r2

r1

P (x , y )2 2 2

P (x , y )1 1 1

พิกัดของจุด P ซ่ึงทํ าให | P1 P| : | PP2 | = r1 : r2 คือ

++

++

212112

212112 r r

yr yr ,r rxr xr

ในกรณีท่ีจุด P แบงครึ่ง P1P2 จะไดพิกัดของจุด P คือ

++

2 y y ,2

x x 2121

3. จุดมัธยฐานของสามเหลี่ยม

กํ าหนดสามเหลี่ยม ABC ดังรูป พิกัดของจุดมัธยฐานคือ

3 y+ y+ y,3

x+ x+ x 321321

A(x , y )1 1

C(x , y )3 3B(x , y )2 2

(x, y)


2. เสนตรง1. ความชันของเสนตรง นิยามความชันของเสนตรงที่ผานจุด P1(x1, y1) และ P2(x2, y2) เปน

m = 2121

xxyy

- - เมื่อ x1 ≠ x2

1.1 ถาเสนตรง L ทํ ามุม θ กับแกน x แลว m = tan θ1.2 กํ าหนดใหเสนตรง L1 และ L2 มีความชันเปน m1 และ m2 ตามลํ าดับ

จะได L1 // L2 ก็ตอเมื่อ m1 = m2และ L1 ⊥ L2 ก็ตอเมื่อ m1m2 = -1

2. สมการเสนตรง2.1 เสนตรงที่ผานจุด (x1, y1) และมีความชัน m มีสมการเปน y - y1 = m(x - x1)2.2 เสนตรงที่ตัดแกน y ท่ีจุด (0, c) และมีความชัน m มีสมการเปน y = mx + c2.3 สมการท่ัวไปของเสนตรงคือ Ax + By + C = 0 ซ่ึงมีความชันเปน m = - B

A เมื่อ B ≠ 03. ระยะทางระหวางจุดกับเสนตรง และเสนตรงกับเสนตรง

3.1 ระยะทางระหวางจุด (x1, y1) กับเสนตรง Ax + By + C = 0 คือ

d = | | Ax +By + CA + B

1 12 2

(x , y )1 1

Ax + By +

C = 0

3.2 ระยะทางระหวางเสนขนาน Ax + By + C1 = 0 กับ Ax + By + C2 = 0 คือ

d = | |C CA + B1 22 2

-

Ax + By +

C = 01

Ax + By +

C = 02

3. วงกลมวงกลม คือ เซตของจุดทุกจุดบนระนาบซึ่งหางจากจุดคงท่ี (จุดศูนยกลาง) จุดหนึ่งเปนระยะทางคงที่ (รัศมี)

เสมอ

สมการวงกลมที่มีจุดศูนยกลางที่จุด (h, k) และรัศมียาว r หนวย คือ

(x - h)2 + (y - k)2 = r2

4. พาราโบลาพาราโบลา คือ เซตของจุดบนระนาบซึ่งหางจากเสนตรงคงที่ (ไดเรกทริกซ) เสนหนึ่งและจุดคงท่ี (โฟกัส)

จุดหนึ่งเปนระยะทางเทากันเสมอเรียกจุดก่ึงกลางระหวางจุดโฟกัสกับไดเรกทริกซวา จุดยอด

c > 0 c < 0

(x - h)2 = 4c(y - k) F(h, k + c)

V(h, k)y = k - c

F(h, k + c)

V(h, k)y = k - c

(y - k)2 = 4c(x - h) F(h + c, k)V(h, k)

x = h - c

F(h + c, k) V(h, k)

x = h - c

ขอสังเกต ความกวางของพาราโบลาที่จุดโฟกัสเทากับ |4c|

r

(h, k)


5. วงรีวงรี คือ เซตของจุดทุกจุดบนระนาบซึ่งผลบวกของระยะทางจากจุดใดๆ ในเซตนี้ไปยังจุดคงท่ี (จุดโฟกัส) สอง

จุดบนระนาบมีคาคงที่ถาใหผลบวกคงที่นั้นเทากับ 2a และใหจุดโฟกัสหางกัน 2c โดยท่ี a > cและกํ าหนด b โดย

a2 = b2 + c2

จะไดสมการวงรีใน 2 รูปแบบตอไปนี้

(x h)a

2

2- + (y k)

b

22

- = 1 เม่ือ a > b > 0 22

bh) (x - + 2

2

ak)(y - = 1 เม่ือ a > b > 0

ab(h, k)

V ′V ab

(h, k)

V

′V

เรียกจุดก่ึงกลางระหวางโฟกัสท้ังสองวาจุดศูนยกลาง ซ่ึงก็คือจุด (h, k) ในรูปเรียกแกนท่ียาววา แกนเอกเรียกแกนท่ีส้ันวา แกนโทเรียกจุดปลายทั้งสองของแกนเอกวา จุดยอด ซ่ึงก็คือจุด V, V′ความหมายของพารามิเตอร a, b, c มีดังนี้คา a จะบอกระยะจากจุดศูนยกลางไปยังจุดยอดท้ังสอง (จุดปลายแกนเอก) จึงอาจเรียก a วาระยะครึ่งแกนเอกคา b จะบอกระยะจากจุดศูนยกลางไปยังจุดปลายทั้งสองของแกนโท จึงอาจเรียก b วาระยะครึ่งแกนโทคา c จะบอกระยะจากจุดศูนยกลางไปยังจุดโฟกัสท้ังสอง โดยจุดโฟกัสจะอยูบนแกนเอกเสมอ

ba

6. ไฮเพอรโบลาไฮเพอรโบลา คอื เซตของจดุทุกจดุในระนาบซึง่ผลตางของระยะทางจากจดุใดๆในเซตนีไ้ปยงัจดุคงท่ี (จุดโฟกัส)

สองจุดบนระนาบมีคาคงตัวถาใหผลตางคงท่ีนั้นเทากับ 2a และใหจุดโฟกัสหางกัน 2c โดยท่ี a < cและกํ าหนด b โดย

c2 = a2 + b2

จะไดสมการไฮเพอรโบลาใน 2 รูปแบบตอไปนี้

(x h)a

2

2- - (y k)

b

22

- = 1 22

ak) (y - - 2

2b h) (x - = 1

cba FF′

(h, k)V′ V

1L 2L

c

ba

V

F′

(h, k)

F

V′1L 2L

จุด V และ V′ เรียกวา จุดยอด และจุด F และ F′ เรียกวา จุดโฟกัสสวนของเสนตรง VV′ เรียกวา แกนตามขวางสวนของเสนตรง AA′ เรียกวา แกนสังยุคเสนตรง L1 และ L2 เรียกวา เสนกํ ากับความหมายของพารามิเตอร a, b, c มีดังนี้คา a จะบอกระยะจากจุดศูนยกลางไปยังจุดยอดท้ังสอง (จุดปลายแกนตามขวาง)คา b จะบอกระยะจากจุดศูนยกลางไปยังจุดปลายทั้งสองของแกนสังยุคคา c จะบอกระยะจากจุดศูนยกลางไปยังจุดโฟกัสท้ังสอง โดยจุดโฟกัสจะอยูบนแกนตามขวางเสมอถาความยาวแกนตามขวางเทากับความยาวแกนสังยุคแลวจะเรียกไฮเพอรโบลานั้นวา ไฮเพอรโบลามุมฉากนอกจากนี้ยังมีไฮเพอรโบลามุมฉากในรูปแบบพิเศษซ่ึงมีสมการเปน xy = k เมื่อ k เปนคาคงที่และ k ≠ 0

0 k k, xy >= 0 k k, xy <=

ba



1. ถารูปสามเหลี่ยม ABC มีจุดยอดอยูท่ี A(-2, 5), B(4, 8) และ C(2, -3) แลวสมการเสนตรงที่ลากผานจุดก่ึงกลางของดานสองดาน ซ่ึงตางก็ส้ันกวาดานท่ีสามของรูปสามเหลี่ยม ABC คือสมการในขอใดตอไปนี้1) 4x + 2y - 17 = 0 2) 11x - 2y + 2 = 0 3) x - 2y + 2 = 0 4) x + 2y - 8 = 0

2. ให P(4, 5) เปนจุดอยูบนเสนตรง L1 ท่ีมีสมการเปน x - y + 1 = 0 และ P1 เปนโพรเจกชันของจุด P บนเสนตรง L2 ท่ีมีสมการเปน x + 3y + 3 = 0 ดังนั้นโพรเจกชันของจุด P1 บน L1 คือจุดในขอใดตอไปนี้1)

54 , 5

1 - 2)

53 , 5

2 - 3)

52 , 5

3 - 4)

51 , 5

4 -

3. ถาเสนตรง 3x + ky + 4 = 0 ขนานกับเสนตรงที่ผานจุด (4, 1) และ (-2, 2) แลว k มีคาในขอใดตอไปนี้1) 12 2) 18 3) - 12 4) -12

4. สมการเสนตรงทีผ่านจดุก่ึงกลางระหวางจุด (2, 3) และ (4, 5) และต้ังฉากกับเสนตรงที่ผานจุด (1, 1) และ (-1, 2)คือขอใดตอไปนี้1) 2x + y - 10 = 0 2) x - 2y + 5 = 0 3) 2x - y - 1 = 0 4) 2x - y + 10 = 0

5. ให P มีโคออรดิเนตเปน (0, 4) และ B เปนโพรเจกชันของจุด P บนเสนตรง y + x = 0 สมการของเสนตรงที่ผานจุด P และ B คือสมการในขอใดตอไปนี้1) y + x - 4 = 0 2) y - x - 4 = 0 3) y + 2x - 4 = 0 4) y - 2x - 4 = 0

6. ให S และ T เปนเสนตรงสองเสนท่ีต้ังฉากกันและมีจุดตัดอยูบนแกน x ถา S มีสมการเปน 5x - 2y - 10 = 0แลว T จะตัดแกน y ณ จุดใด1) (0, -0.8) 2) (0, 0.8) 3) (0, -5) 4) (0, 5)

7. ขอใดตอไปนี้ผิด1) จุด (1, 4), (3, -2) และ (-3, 16) อยูบนเสนตรงเดียวกัน2) จุด (-2, 1) คือโพรเจกชันของจุด (1, -4) บนเสนตรง x - y + 3 = 03) จุดก่ึงกลางระหวางจุด (2, 3) และจุด (3, 4) อยูบนเสนตรง x - y + 1 = 04) ระยะทางระหวางจุด (2, -3) และ (10, 3) เทากับ 10

8. ให M เปนเสนตรงที่มีสมการเปน 3x - 3y + 5 = 7 N เปนเสนตรงที่มีสมการเปน 2x - 5y + 7 = 4 และL เปนเสนตรงที่ขนานกับ M ถา L และ N มีระยะตัดแกน y (y-intercept) เทากันแลว ขอใดตอไปนี้ถูก1) L มีความชันเทากับ 25 2) เสนตรง L จะตัดแกน x ท่ีจุด

0 , 52

3) จุด

1 , 52 อยูบนเสนตรง L 4) L และ N ต้ังฉากกัน

9. ให L เปนเสนตรงที่มีสมการเปน 2x + 3y - 4 = 0 N เปนเสนตรงที่ผานจุด

213 , 2 และต้ังฉากกับ L ถา P

เปนจุดตัดของเสนตรง L กับ N แลว โพรเจกชันของจุด P บนแกน y คือจุดใด1) (-1, 0) 2) (0, 2) 3)

0 , 5

49 - 4)

5121 , 0


10. เสนตรงที่ผานจุด (-3, 4) จะต้ังฉากกับเสนตรง 4x - 2y - 1 = 0 ท่ีจุดใด1) (1.0, 2.0) 2) (1.1, 1.8) 3) (1.2, 1.8) 4) (1.2, 1.9)

11. เสนตรง x - 2ay + 1 = 0 ต้ังฉากกับเสนตรงที่ผานจุด P(1, -5) และจุด Q(-1, 3) คา a คือขอใด1) -4 2) -2 3) 2 4) 4

12. เสนตรงที่ผานจุด (2, 4) และมีระยะตัดแกน x เปนครึ่งหนึ่งของระยะตัดแกน y จะมีความชันและระยะตัดแกน y ตรงกับขอใด1) -2 และ 4 2) -2 และ 8 3) 2 และ 4 4) 2 และ 8

13. ให P เปนจุดก่ึงกลางของสวนของเสนตรงที่เชื่อมระหวางจุด A(2, 3) และ B(4, -5) ถาเสนตรง L ผานจุด Pและขนานกับแกน x สมการแสดงกราฟของเสนตรง L คือขอใด1) x = 3 2) y = -1 3) x = -1 4) y = 4

14. ถาเสนตรง x + 2y - 2 = 0 ต้ังฉากกับเสนตรงที่ผานจุด (4, -3) ท่ีจุด (x, y) แลว x + y มีคาเทากับขอใด1) 175 2) 315 3) 3 4) 4

15. สมการของเสนตรงทีผ่านจดุแบงครึง่ของสวนของเสนตรงทีเ่ชือ่มระหวางจดุ (8, -1) และจุด (-2, 3) และขนานกับเสนตรง 2x - 5y + 10 = 0 ตรงกับขอใด1) 2x - 5y + 1 = 0 2) 4x - 10y - 2 = 0 3) 5x + 2y - 17 = 0 4) 10x + 4y + 34 = 0

16. ถาจุด P(-4, 2), Q(a, 4) และจุด R(2, 6) อยูบนเสนตรงเสนเดียวกัน แลวความยาวของโพรเจกชันของสวนของเสนตรง QR บนแกน x คือขอใด1) 1 2) 2 3) 3 4) 4

17. ถา y = f(x) เปนฟงกชันกํ าลังสอง ซ่ึงกราฟตัดแกน x ท่ีจุด (2, 0), (3, 0) และตัดแกน y ท่ีจุด (0, 6) แลวเซตคํ าตอบของ f(x) = 0 คือขอใด1) {6} 2) {0, 6} 3) {2, 3} 4) {0, 2, 3}

18. ให ABC เปนสามเหล่ียมมุมฉาก โดยมีมุม ABC$ เปนมุมฉากและมุม CAB$ กาง 60 องศา ถาผลบวกของความยาวของดาน AB กับ AC เทากับ 6 หนวย แลว ดาน CB จะยาวเทากับขอใดตอไปนี้1) 6( 2 - 1) หนวย 2) 2 หนวย 3) 2 2 หนวย 4) 2 3 หนวย

19. กํ าหนดให ABC เปนสามเหล่ียมหนาจั่วซ่ึงมี AB เปนฐาน ถาพิกัดของจุด A, B และ C เปน (-4, 2), (4, -6)และ (x, 5) ตามลํ าดับ x มีคาเทากับขอใด1) 2 2) 3 3) 7 4) 8

20. วงกลมวงหนึ่งมีจุดศูนยกลาง (h, k) อยูบนเสนตรง 2x + 3y = 6 โดยท่ี h, k เปนจํ านวนเต็ม ถาวงกลมนี้มีเสนตรง 2x - y = 1 และเสนตรง 2x + y = -3 เปนเสนสัมผัสแลว ความยาวรัศมีของวงกลมนี้อยูในชวงใดตอไปนี้1) [2, 4] 2) [4, 5] 3) [5, 6] 4) [6, 7]


21. กํ าหนดให F1 และ F2 เปนจุดโฟกัสของไฮเพอรโบลา x2 + 6x - y2 - 14y - 41 = 0P1(0, y1) และ P2(0, y2) เปนจุดสองจุดท่ีทํ าใหพ้ืนท่ีของรูปสามเหลี่ยม P1F1F2 และพ้ืนท่ีของรูปสามเหลี่ยมP2F1F2 ตางก็เทากับ 2 2 ตารางหนวย แลว 2

221 y y - มีคาเทากับขอใดตอไปนี้

1) 28 2) 56 3) 84 4) 12022. ถาไฮเพอรโบลา H มีจุดศูนยกลางอยูท่ีจุดศูนยกลางของวงรี 4x2 + 9y2 - 8x - 36y + 4 = 0 จุดยอดอยูท่ี

จุดโฟกัสท้ังสองจุดของวงรีนี้ และผานจุด (5, 5) แลว จุดโฟกัสของไฮเพอรโบลา H คือ จุดในขอใดตอไปนี้

1)

2 ,

117 1 - และ

+ 2 ,

117 1 2)

2 ,

118 1 - และ

+ 2 ,

118 1

3)

2 ,

119 1 - และ

+ 2 ,

119 1 4)

2 ,

1110 1 - และ

+ 2 ,

1110 1

23. กํ าหนดให f1(x) = - x2 + 32 เมื่อ x ≤ 1 และ f2(x) = 3x - 2 เมื่อ x ≥ 1 ถา P(a, b) เปนจุดศูนยกลางของวงกลมที่มีรัศมียาว 7

5 หนวย และสัมผัสกราฟของ f1 และ f2 แลว a + b เทากับขอใดตอไปนี้

1) -2 2 2) 2 2 3) 6 - 2 4) 6 + 224. ให E เปนวงรีซ่ึงผลบวกของระยะทางจากจุดใดๆ บนวงรี E ไปยังจุด (–3, 2) และ (5, 2) เทากับ 12 หนวย

ถา A และ B เปนจุดยอดของวงรี E และวงรี E ตัดแกน Y ท่ีจุด C และ D แลวพ้ืนท่ีของรูปส่ีเหล่ียม ABCD เทากับขอใดตอไปนี้1) 10 5 ตารางหนวย 2) 20 5 ตารางหนวย3) 10 7 ตารางหนวย 4) 20 7 ตารางหนวย

25. กํ าหนดให a เปนจํ านวนจริง และA(a, 1), B(-5, -4), C(1, -2) และ D(2, 3) เปนจุดยอดของรูปส่ีเหล่ียมดานขนาน ABCD ถาเปนเสนตรงที่ต้ังฉากกับ AC และผานจุดก่ึงกลางของดาน AC แลวสมการของเสนตรง l คือสมการในขอใดตอไปนี้1) 5x – 3y + 6 = 0 2) 5x – 3y – 6 = 03) 5x + 3y + 9 = 0 4) 5x + 3y – 9 = 0

26. กํ าหนดให วงกลม C มีจุดศูนยกลางอยูท่ีจุดโฟกัสของพาราโบลา (x - 2)2 + 8y = 8ถาเสนตรง 3x - 4y + 5 = 0 เปนเสนสัมผัสวงกลม C แลว จุดในขอใดตอไปนี้อยูบนวงกลม C1) (0, 1 + 5 ) 2) (2 - 2 2 , 0) 3) (-1, -1) 4) (2, 2)

27. ให H เปนไฮเพอรโบลา 12y2 - 4x2 + 72y + 16x + 44 = 0 ซ่ึงมีจุดโฟกัสคือ F1 และ F2 ให E เปนวงรีซ่ึงมีจุดศูนยกลางรวมกับ H โดยมี F1 และ F2 เปนจุดยอดและสัมผัสกับแกน Y ถา E ตัดแกน X ท่ีจุด Aและ B แลว AB ยาวเทากับขอใดตอไปนี้1) 8 หนวย 2) 7 หนวย 3) 6 หนวย 4) 5 หนวย


28. กํ าหนดใหเสนไดเรกตริกซและแกนของพาราโบลา y2 - 4y + 8x = 20 ตัดกันท่ีจุด P ถาวงกลมวงหนึ่งผานจุดกํ าเนิด, จุด P และจุดโฟกัสของพาราโบลานี้แลว กํ าลังสองของรัศมีของวงกลมนี้มีคาเทากับขอใดตอไปนี้1) 354 2) 374 3) 14316 4) 14516

29. ถา x = 2y2 - 3y + 1 เปนสมการของกราฟพาราโบลา จงหาจุดตัดแกน x1) (0, 1) 2) (1, 0) 3) (-1, 4) 4)

21 , 0

30. ขอใดตอไปนี้เปนสมการของเสนตรงที่ผานจุด (1, 6) และผานจุดโฟกัสของพาราโบลา y2 - 4y - 4x = 81) 3x - 4y + 21 = 0 2) 4x - 3y + 14 = 0 3) 7x + 2y - 19 = 0 4) 2x + 7y - 44 = 0

31. กราฟของฟงกชัน f = {(x, y) ∈ R × R | y = 5 - 4x - x2} ตัดแกน x ท่ีจุดใด1) (-5, 0) และ (1, 0) 2) (0, 5) และ (0, 1) 3) (5, 0) และ (1, 0) 4) (5, 0) และ (-1, 0)

32. ถาพาราโบลามีจุดยอดท่ี (0, 0) มีแกน x เปนแกนสมมาตร และผานจุดตัดของเสนตรง 4x + 3y = 8 กับ2x + y = 2 แลว พาราโบลาจะผานจุดใดตอไปนี้1)

2 , 41 - 2)

2 , 4

1 - 3)

41 , 2 - 4)

41 , 2 -

33. จุดศูนยกลาง C(h, k) ของวงกลมหนึ่งอยูบนเสนตรง 2x - y - 1 = 0 ถาวงกลมนี้ผานจุด P(2, -1) และQ(-2, 0) ขอใดตอไปนี้ถูก1) 2k - h - 1 = 0 2) รัศมีของวงกลม = 17

23) ความชันของดาน CP = - 14 4) ระยะทางระหวางจุด C และ P = 854

34. วงกลมวงหนึ่งมีจุดศูนยกลางอยูท่ีจุด A(0, 0) และจุด B(3, 4) อยูบนเสนตรงรอบวง ถาวงกลมวงนี้ตัดกับเสนตรงx + y = 5 ท่ีจุด C และ D แลว ผลบวกระหวางพ้ืนท่ีของสามเหลี่ยม ABC กับ ABD จะเทากับขอใด1) 7.5 2) 10.0 3) 12.0 4) 17.5

35. สมการใดเปนสมการของวงกลมที่มีจุดศูนยกลางอยูบนแกน y และสัมผัสเสนตรง 3y - 4x + 11 = 0 ท่ีจุด(2, -1)1) x2 + y2 - y = 6 2) x2 + y2 + y = 4 3) x2 + y2 - 2y = 3 4) x2 + y2 - 2y = 7

36. สมการของเสนตรงที่ผานจุดศูนยกลางของวงกลม x2 + y2 + 4x - 6y - 12 = 0 และขนานกับเสนตรงที่สัมผัสวงกลมนี้ท่ีจุด (2, 0) คือขอใด1) 3x - 4y + 18 = 0 2) 4x + 3y - 17 = 0 3) 4x - 3y + 17 = 0 4) 4x - 3y - 18 = 0

37. ให (1, -3) เปนจุดศูนยกลางของวงกลมที่สัมผัสกับเสนตรง y - x + 6 = 0 ท่ีจุด (2, -4) สมการของวงกลมคือขอใด1) x2 + y2 + 2x - 6y + 8 = 0 2) x2 + y2 - 2x + 6y + 8 = 03) x2 + y2 - 2x - 6y + 8 = 0 4) x2 + y2 - 2x + 6y + 6 = 0


38. ขอความใดตอไปนี้บรรยายลักษณะกราฟของ 25x2 + 4y2 - 100 = 0 อยางถูกตอง1) วงรีซ่ึงมีจุดโฟกัสอยูบนแกน x จุดยอดอยูท่ี (5, 0) และ (-5, 0) จุดโฟกัสอยูท่ี ( 21 , 0) และ (- 21 , 0)2) วงรีซ่ึงมีแกนหลักอยูบนเสนตรงที่ขนานกับแกน x จุดยอดอยูท่ี (5, 3) และ (-5, 3) จุดโฟกัสอยูท่ี ( 21 , 3)

และ (- 21 , 3)3) วงรีซ่ึงมีแกนหลักอยูบนเสนตรงที่ขนานกับแกน y จุดยอดอยูท่ี (1, 5) และ (1, -5) จุดโฟกัสอยูท่ี (1, 21 )

และ (1, - 21 )4) วงรีซ่ึงมีแกนหลักอยูบนแกน y จุดยอดอยูท่ี (0, 5) และ (0, -5) จุดโฟกัสอยูท่ี (0, 21 ) และ (0, - 21 )

39. แปลงดอกไมทํ าเปนรูปวงรีมีสมการเปน 25x2 + 16y2 - 100x + 96y - 156 = 0 ตองการปลูกหญาในสวนท่ีแรเงาดงัรปู ถาหนวยท่ีใชเปนเมตร และเสียเงินคาปลูกหญาตารางเมตรละ 20 บาท จะเสียคาปลูกหญาท้ังส้ินเทาใด

��

F

F′

1) 320 บาท 2) 640 บาท 3) 960 บาท 4) 1,280 บาท40. จงหาสมการของวงกลมที่มีจุดศูนยกลางเดียวกันกับจุดศูนยกลางของวงรี 6x2 + 5y2 + 12x - 20y - 4 = 0

และแนบในวงรีนี้ไดสนิทพอดี1) x2 + y2 + 4x - 2y = 0 2) x2 + y2 + 2x - 4y = 03) x2 + y2 - 4x - 2y - 1 = 0 4) x2 + y2 - 2x + 4y - 31 = 0

41. ขวดทดลองใบหนึ่งมีลักษณะคอคอดเปนรูปไฮเพอรโบลอยด (เมื่อผาซีกจะไดรอยตัดเปนไฮเพอรโบลาดังรูป) มีจุกขวดที่คอขวด เมื่อผาซีกแลววางในตํ าแหนงดังรูป พบวาภาคตัดขวางของจุกขวดเปนรูปส่ีเหล่ียมผืนผา ซ่ึงเสนทแยงมุมท้ังสองทับแนวเสนกํ ากับของไฮเพอรโบลาท่ีคอขวดถาไฮเพอรโบลาท่ีคอขวดมีสมการเปน 9x2 - 16y2 - 18x - 64y - 199 = 0 จุกขวดมีปริมาตรเทาใด

1) 96π 2) 36π 3) 24π 4) 64π


42. ถาจุด (h, k) เปนจุดก่ึงกลางระหวางจุดยอดท้ังสองของไฮเพอรโบลา ซ่ึงมีสมการ x2 - 4y2 + 24y - 40 = 0ดังนั้นจุด (h, k) คือขอใด1) (0, 3) 2) (0, -3) 3) (3, 0) 4) (-3, 0)

43. โลกและดาวหางดวงหนึ่งโคจรเขาหากันโดยสมการท่ีมีกราฟเปนไฮเพอรโบลา ซ่ึงมีความยาวของแกนสังยุคเทากับ8 ปแสง โฟกัสท้ังสองหางกัน 16 ปแสง ระยะที่โลกและดาวหางโคจรใกลกันท่ีสุดมีระยะเทากับขอใด1) 8 3 ปแสง 2) 4 3 ปแสง 3) 16 3 ปแสง 4) 2 3 ปแสง

44. ถาภาคตัดกรวยมีสมการเปน 9x2 - 16y2 - 18x - 64y - 199 = 0 แลวระยะทางจากโฟกัสถึงเสนตรง2x + 3y - 5 = 0 เทากับขอใดตอไปนี้1) 1

13 และ 1913 2) 6

13 และ 2413

3) 913 และ 11

13 4) 1413 และ 16

13

เฉลย

1. 2) 2. 2) 3. 2) 4. 3) 5. 2) 6. 2) 7. 2) 8. 3) 9. 2) 10. 4)11. 3) 12. 2) 13. 2) 14. 1) 15. 2) 16. 3) 17. 3) 18. 4) 19. 3) 20. 3)21. 2) 22. 4) 23. 4) 24. 4) 25. 1) 26. 1) 27. 2) 28. 4) 29. 2) 30. 2)31. 1) 32. 2) 33. 1) 34. 2) 35. 1) 36. 3) 37. 2) 38. 4) 39. 4) 40. 2)41. 1) 42. 1) 43. 2) 44. 1)


ความสัมพันธและฟงกชัน

1. ผลคูณคารทีเชียนกํ าหนดให A และ B เปนเซตใดๆ ผลคูณคารทีเซียน (cartesian product) ของ A และ B คือ

A × B = {(a, b) | a ∈ A และ b ∈ B}ขอสังเกต

1. ผลคูณคารทีเซียนของเซต A กับ B เปนเซต เพราะฉะนั้นจึงสามารถพูดถึงนิยามตางๆ เชน เพาเวอรเซต,อินเตอรเซกชันไดเสมอ

2. n(A × B) = n(A) × n(B)3. โดยท่ัวไปแลว A × B ≠ B × A

2. ความสัมพันธสํ าหรับเซต A และ B ใดๆความสัมพันธจาก A ไป B คือ สับเซตของ A × B

ขอสังเกต1. ถา A และ B เปนเซตจํ ากัดแลวจํ านวนความสัมพันธท้ังหมดจาก A ไป B คือ 2n(A)×n(B)

2. φ เปนความสัมพันธเสมอ

3. โดเมนและเรนจกํ าหนดให r เปนความสัมพันธจาก A ไป B3.1 โดเมน (domain) ของความสัมพันธ r คือ Dr = {x ∈ A | มี y ∈ B ท่ีทํ าให (x, y) ∈ r}3.2 เรนจ (range) ของความสัมพันธ r คือ Rr = {y ∈ B | มี x ∈ A ท่ีทํ าให (x, y) ∈ r}

ขอสังเกต1. เราอาจคิดอยางงายๆ ไดวา โดเมนของ r ก็คือ เซตของสมาชกิตํ าแหนงแรกของ r และเรนจของ r ก็คือ เซต

ของสมาชกิตํ าแหนงหลงัของ r2. ในการหาโดเมนของความสัมพันธ r นั้น เราจะเขียนสมการในรูป y = f(x) หลังจากนั้นพิจารณาวา x ท่ีเปน

ไปไดท้ังหมด3. ในการหาเรนจของความสัมพันธ r นั้น เราจะเขียนสมการในรูป x = g(y) แลวพิจารณาคา y ท่ีเปนไปได

ท้ังหมด


4. อินเวอรสของความสัมพันธให r เปนความสัมพันธ จะไดอินเวอรสของ r คือ

r-1 = {(y, x) | (x, y) ∈ r} = {(x, y) | (y, x) ∈ r}ขอสังเกต Dr = Rr-1 และ Rr = Dr-1

5. ฟงกชัน1. ความหมายของฟงกชัน

เราจะเรียกความสัมพันธ r วาเปนฟงกชัน ก็ตอเมื่อ ทุกคูลํ าดับในความสัมพันธนั้นไมมีสมาชิกตํ าแหนงแรกซ้ํ ากันและจะเรียกฟงกชัน f วาเปนฟงกชันจาก A ไป B ซ่ึงเขียนแทนดวย f : A → B ก็ตอเมื่อ

1. Df = A2. Rf ⊆ B

2. ฟงกชันทั่วถึง

เรียกฟงกชัน f วาเปนฟงกชันจาก A ไปท่ัวถึง B และเขียนแทนดวย f : A ทั่วถึง B ก็ตอเมื่อ1. f : A → B2. Rf = B

3. ฟงกชันหนึ่งตอหนึ่งเรียกฟงกชัน f วาเปนฟงกชันหนึ่งตอหนึ่ง (1-1) และเขียนแทนดวย f : A → 1 1- B ก็ตอเมื่อ

∀x1, x2 ∈ Df [f(x1) = f(x2) → x1 = x2]ขอสังเกต ถา f เปนฟงกชัน 1-1 แลวอินเวอรสของ f เปนฟงกชันดวย

6. ฟงกชันคอมโพสิทให f และ g เปนฟงกชัน และ Rf I Dg ≠ φฟงกชันคอมโพสิทของ f และ g เขียนแทนดวย gof นิยามโดย

(gof)(x) = g(f(x)) สํ าหรับทุก x ซ่ึง f(x) ∈ Dg

7. พีชคณิตของฟงกชันให f และ g เปนฟงกชันซ่ึง Df I Dg ≠ φ นิยาม1. (f + g)(x) = f(x) + g(x) ∀x ∈ Df I Dg2. (f - g)(x) = f(x) - g(x) ∀x ∈ Df I Dg3. (fg)(x) = f(x) g(x) ∀x ∈ Df I Dg

4.

gf (x) = g(x)

f(x) ∀x ∈ (Df I Dg) - {x | g(x) = 0}

8. ฟงกชันเพ่ิมและฟงกชันลด1. ถา f(a) < f(b) ก็ตอเมื่อ a f(b) ก็ตอเมื่อ a < b ทุก a และ b ใน Df แลวจะเรียก f วาฟงกชันลด3. ถา f(a) ≤ f(b) ก็ตอเมื่อ a < b ทุก a และ b ใน Df แลวจะเรียก f วาฟงกชันไมลด4. ถา f(a) ≥ f(b) ก็ตอเมื่อ a < b ทุก a และ b ใน Df แลวจะเรียก f วาฟงกชันไมเพ่ิม


1. กํ าหนดให A = {3, 4, 8} และ B = {2, 3, 6, 8} ถา r เปนความสัมพันธ “เปนสองเทา” จาก B ไป A แลวขอใดถูก1) r = {(2, 4), (3, 6)} 2) r = {(6, 3), (8, 4)}3) r = {(4, 2), (6, 3)} 4) r = {(3, 6), (4, 8)}

2. ถา A = {1, 2, 3, 4} และ B = {a, b, c} แลว จํ านวนความสัมพันธจาก A ไป B ท่ีเปนไปไดท้ังหมดคือขอใด1) 7 2) 212 3) 212 - 1 4) 12

3. กํ าหนดให A, B และ C เปนเซตใดๆ ตอไปนี้ ขอใดถูกตอง1) ถา A × B = A × C แลว B = C 2) ถา A ⊆ B แลว AU (B × C) = A × C3) ถา A ⊆ B แลว A × C ⊆ B × C 4) ถา A × B = B × A แลว A = B

4. ถา r = {(x, y) | x = y2 + ay + b} และ (8, 3), (5, 2) เปนสมาชิกใน r แลว (a, b) คือคูอันดับในขอใด1) (2, 5) 2) (-2, 5) 3) (2, -5) 4) (-6, 13)

5. ถา g(x) = -x แลว โดเมนของ g คือขอใด1) {x | x เปนจํ านวนจริง} 2) {x | x = 0}3) {x | x ≤ 0} 4) {x | x ≥ 0}

6. ความสัมพันธ r ซ่ึงมี Dr = Rr คือความสัมพันธในขอใด1) r = {(x, y) ∈ R × R | x > 0, y ≠ 0} 2) r = {(x, y) ∈ R × R | y < 0, x ≠ 0}3) r =

×∈ x

1=yRR y)(x, 4) r = {(x, y) ∈ R × R | y = x2}7. ให r = {(x, y) | y = x 1 - } โดเมนและเรนจของ r ตามลํ าดับ คือขอใดตอไปนี้

1) {x | x > 1} และ {y | y ∈ R} 2) {x | x ≥ 1} และ {y | y ∈ R}3) {x | x ≥ 1} และ {y | y > 0} 4) {x | x ≥ 1} และ {y | y ≥ 0}

8. กํ าหนดความสัมพันธ r =

×∈ 0 = 2 x2 + y+ 4x + xRR y)(x,

2 - ถา A เปนเรนจของความสัมพันธ r แลว

ขอใดตอไปนี้ถูก1) AI (-∞, 2) = φ 2) AU (2, ∞) = A3) AI (2, ∞) = φ 4) A′U (-∞, 2) = A′

9. กํ าหนดใหความสัมพันธ r1 = {(x, y) ∈ R × R | | y | = x2 - 1}

และ r2 =

×∈ 11 + x

1=yRR y)(x, 2 -

ถา A = โดเมนของ r1 และ B = เรนจของ r2 แลว AIB คือเซตในขอใดตอไปนี้1) φ 2) (-0.5, 0] 3) (-1, 0) 4) (-1, 0]

10. ถาเอกภพสัมพัทธคือเซตของจํ านวนจริงแลวเรนจของความสัมพันธ {(x, y) | y = 7 x

2- } คือขอใด1) {x | x ≥ 0} 2) {x | x ≤ 7 }3) {x | 0 ≤ x ≤ 7 } 4) {x | 0 ≤ x ≤ 7}

11. กํ าหนดความสัมพันธ r = {(x, y) ∈ R × R | y = 3 - x 162 - } โดเมน (Dr) และเรนจ (Rr) ของ r คือ

ขอใด1) Dr = {x | x ≤ -4 หรือ x ≥ 4} ; Rr = R 2) Dr = {x | x ≤ -4 หรือ x ≥ 4} ; Rr = {y | y ≤ 3}3) Dr = {x | x ≥ 4} ; Rr = {y | y ≤ 3} 4) Dr = {x | -4 ≤ x ≤ 4} ; Rr = {y | y ≥ 0}

12. ถา r เปนความสัมพันธ ซ่ึงกํ าหนดโดย r =

4 x2 x=y y)(x, 2

-- แลวโดเมนของ r คือขอใด

1) {x | x เปนจํ านวนจริง} 2) {x | x ≠ 2}3) {x | x ≠ -2} 4) {x | x ≠ ±2}

13. กํ าหนดให P = {-1, 1, 2, 3, 4}Q = {-6, -4, -2, 0, 2, 4, 6}

และความสัมพันธ r = {(x, y) ∈ P × Q | 2x - y = 0} ขอใดตอไปนี้ถูก1) Dr - Rr = {-1, 1, 3, 4} 2) Rr - Dr = {-2, 6}3) Q - Rr = {-6, 0} 4) P - Dr = {4}

14. กํ าหนดให r =

4x1+1=y y)(x, 2

- แลวเรนจของ r คือเซตในขอใดตอไปนี้

1) {y | y ≥ 2} 2) {y | y > 2 หรือ y < -2}3) {y | y > 1} 4) {y | y ≠ 1}

15. เรนจของความสัมพันธ

×∈ 5 x

2 + x=yRR y)(x, - คือขอใดตอไปนี้

1) {y ∈ R | y ≠ 5} 2) {y ∈ R | y ≠ -2}3) {y ∈ R | y ≠ 1} 4) {y ∈ R | y ≠ -5}

16. ถา f(x) = - - -( )| |2x 1 3 แลว ขอใดตอไปนี้ถูก1) Df ⊂ (-4, 0) 2) Df ⊂ (-3, 1)3) Df ⊂ (-2, 3) 4) Df ⊂ (0, 4)

17. กํ าหนดให r = {(x, y) ∈ R × R | y = 9 x

2- }พิจารณาขอความตอไปนี้

ก. Dr = {x | -3 ≤ x ≤ 3}ข. Rr = {x | 0 ≤ x}


18. ให r = {(x, y) ∈ A × B | y = 2x - 1} อินเวอรสของ r คือขอใด1) r-1 = {(x, y) ∈ A × B | x = 2y - 1} 2) r-1 = {(y, x) ∈ B × A | x = 2y - 1}3) r-1 =

×∈ 2

1 + x=yAB y)(x, 4) r-1 =

×∈ 2

1 + x=yAB x)(y,

19. ถา r เปนความสัมพันธในเซตของจํ านวนจริง กํ าหนดโดย r = {(x, y) | y = x2 และ x ≥ 0} แลว ขอใดคือ r-1

1) {(x, y) | y = ± x } 2) {(x, y) | y = x }3) {(x, y) | x = ± y } 4) {(x, y) | x = y }

20. กํ าหนดความสัมพันธ r = {(x, y) ∈ R × R | y = x | x |} อินเวอรสของ r คือขอใด

1) r-1 =

≥×∈

0 x, x

0 x, x=yRR y)(x, <

-

2) r-1 =

≥×∈

0 x,x

0 x, x =yRR y)(x, <

--

3) r-1 =

≥×∈

0 x, x

0 x, x=yRR y)(x, <

-

-

4) r-1 =

≥×∈

0 x, x

0 x, x=yRR y)(x, <

--

-

21. ให f(x) = x1 + x | | แลว f

-1(x) คือขอใด1) x1 x - 2) x

1 x | |- 3) x1 + x | | 4) x1 + x

22. ให r1 = {(x, y) ∈ R × R | 4x2 + y2 = 4} และ r2 = {(x, y) ∈ R × R | y = log x} ขอใดตอไปนี้ผิด1) Dr1 ⊂ Rr1 2) Dr2 ⊂ Rr23) Dr1 ⊂ Rr2 4) Rr1 ⊂ Rr2

23. กํ าหนดให R เปนเซตของจํ านวนจริง ถา r = {(x, y) ∈ R × R | 9x2 + 4y2 - 18x + 16y - 11 = 0} แลวDrIRr เทากับขอใดตอไปนี้1) [-1, 3] 2) [-5, 1] 3) [-1, 1] 4) [-5, 3]

24. กํ าหนดความสัมพันธ r1 = {(x, y) ∈ R × R | x2 + y2 = 1} และ r2 =

×∈ 11 +x1=yRR y)(x, 2 -

ให A เปนโดเมนของ r1 และ B เปนเรนจของ r2 A - B คือเซตในขอใดตอไปนี้1) [0, 1]U {-1} 2) (0, 1]U {-1}3) (0, 1] 4) {-1}

25. กํ าหนดให f = {(x, y) ∈ R × R | x2y - x2 - y = 0} โดเมนและเรนจของ f คือขอใดตอไปนี้1) Df = R - {-1, 1} ; Rf = R - (0, 1] 2) Df = R - {-1, 1} ; Rf = R - [0, 1)3) Df = R - {1} ; Rf = R - [0, 1) 4) Df = R - {1} ; Rf = R - (0, 1)

26. กํ าหนด f = {(x, y) ∈ R × R | y = x - | x | } ขอใดตอไปนี้ถูก1) Df = R ; Rf = R 2) Df = R ; Rf = {y | y ≤ 0}3) Df = {x | x ≥ 0} ; Rf = R 4) Df = {x | x ≥ 0} ; Rf = {y | y ≤ 0}

27. ถา f(x) = x2 - 1 และกํ าหนดใหโดเมนของ f เปน

≤∈ 4

1x21Ry < - แลวเรนจของ f คือขอใด

1)

≤∈ 4

3y1615Ry < -- 2)

≤∈ 4

3y1615Ry < --

3)

≤≤∈ 4

3y1Ry -- 4)

≤∈ 4

3y1Ry < --

28. ถา R เปนเซตของจํ านวนจริง และ r = {(x, y) ∈ R × R | 4x2 - y2 = 4} แลวโดเมนของ r คือขอใด1) {x | -1 < x ≤ 1} 2) {x | -2 ≤ x ≤ 2}3) {x | x ≤ -1 หรือ x ≥ 1} 4) {x | x ≤ -2 หรือ x ≥ 2}

29. ให r = {(x, y) ∈ R × R || x | + 2 | y | = 4} โดเมนและเรนจของ r ตามลํ าดับ คือขอใด1) [-4, 4], [-2, 2] 2) [-4, 4], [-4, 4]3) [0, 4], [0, 2] 4) [0, 4], [-2, 2]


30. ให r1 = {(x, y) ∈ R × R | x2 + y2 ≤ 4} และ r2 = {(x, y) ∈ R × R | y2 ≤ x} ขอใดตอไปนี้ถูกตอง1) r1I r2 = r1 2) r1I r2 = φ3) โดเมนของ r1I r2 = [0, 2] 4) เรนจของ r1I r2 = [-2, 2]

31. ความสัมพันธขอใดตอไปนี้เปนฟงกชัน

1)

y

x0

2)

y

x0

3)

y

x04)

2468

123

32. ขอใดตอไปนี้ไมเปนฟงกชัน

1)

≤

≥×∈ 0 x; 1

0 x; 2=yRR y)(x,

2) {(x, y) ∈ R × R | y = 3x + 5}

3) {(x, y) ∈ R × R | y = x2} 4) {(x, y) ∈ R × R | y = 2x}33. ให S = {0, 1} และ P(S) เปนเพาเวอรเซตของเซต S

ถา f : P(S) → S โดยท่ีสํ าหรับสมาชิก A ใดๆ ใน P(S)

f(A) =

∈

∉

A0 ; 1A0 ; 0

แลวฟงกชัน f เทากับเซตในขอใดตอไปนี้1) {(φ, 0), ({0}, 0), ({1}, 0), (S, 1)} 2) {(φ, 0), ({0}, 1), ({1}, 0), (S, 1)}3) {(φ, 1), ({0}, 0), ({1}, 1), (S, 1)} 4) {(φ, 0), ({0}, 1), ({1}, 1), (S, 1)}

34. ให R เปนเซตของจํ านวนจริง กํ าหนด f : R → R โดยท่ี f(x) = x2

สํ าหรับ A ⊆ R นิยาม f(A) = {f(x) | x ∈ A} ถาให A = {x ∈ R | -1 ≤ x ≤ 2} แลว f(A) มีคาเทากับขอใด1) {1, 4} 2) {0, 1, 4}3) {x ∈ R | 0 ≤ x ≤ 4} 4) {x ∈ R | 1 ≤ x ≤ 4}

35. ความสัมพันธขอใดตอไปนี้ไมเปนฟงกชัน1) {(x, y) ∈ R × R | y < x - 1} 2) {(x, y) ∈ R × R | y = x - 1}3) {(x, y) ∈ R × R | y = x 1 - } 4) {(x, y) ∈ A × A | y = 1 - x3} เมือ่ A = {0, 1, 2, 3}

36. ความสัมพันธตอไปนี้ขอใดเปนฟงกชัน1) r1 = {(x, y) ∈ R × R | | y | = | x | + 1}2) r2 = {(x, y) ∈ R × R | x + 3 = 0}

3) r3 =

≥

×∈ 0 y, y0 y, y

=xRR y)(x, <

2

4) r4 = {(x, y) ∈ A × A | y ≥ x} โดยท่ี A = {3, 4}37. ความสัมพันธในขอใดไมเปนฟงกชัน

1) {(x, y) ∈ A × A | y ≥ x} เมื่อ A = {1, 2, 3}2) {(x, y) ∈ B × B | y = x - 2} เมื่อ B = {-2, -1, 0, 1, 2}3) {(x, y) ∈ R × R | y = -2} เมื่อ R = เซตของจํ านวนจริง4) {(x, y) ∈ A × B | y < x} เมื่อ A = {0, 1} และ B = {-1, 1}

38. ถา A = B = เซตของจํ านวนจริง และ f = {(x, y) ∈ A × B | y = | x | + 2} ขอความใดถูกตองท่ีสุด1) f เปนความสัมพันธไมใชฟงกชัน เพราะคา x มากกวาหนึ่งคา ใหคา y เทากัน2) f เปนฟงกชันแตไมใชฟงกชัน 1-1 เพราะเมื่อลากเสนขนานกับแกน x เสนนั้นจะตัดกราฟของฟงกชันมากกวา

หนึ่งจุด3) f เปนฟงกชันจาก A ไปทั่วถึง B เพราะจํ านวนสมาชิกของ A และ B เทากัน4) ถูกท้ังขอ 2) และ 3)

39. ฟงกชันในขอใดตอไปนี้เปนตัวอยางท่ีแสดงวาขอความ “กํ าหนดให A ≠ φ เปนเซตใดๆ f : A → Aเปนฟงกชันท่ัวถึง แลว f เปนฟงกชันหนึ่งตอหนึ่ง” ไมเปนความจริง1) f(n) = n , n ∈ N , N = เซตของจํ านวนเต็มบวก2) f(n) = 2n , n ∈ N , N = เซตของจํ านวนเต็มบวก

3) f(n) =

+ ต็มคูบวกเปนจํานวนเ n ถา 1 nต็มคี่บวกเปนจํานวนเ n ถา n

4) f(n) =

+

ต็มคูบวกเปนจํานวนเ n ถา 2n

ต็มคี่บวกเปนจํานวนเ n ถา 21 n

40. กํ าหนดให r = {(x, y) ∈ R × R | 4x2 - 9y2 = 0} ความสัมพันธในขอใดตอไปนี้เปนสับเซตของ r และเปนฟงกชัน 1-1 จาก R ไปทั่วถึง R1) {(x, y) ∈ R × R | 3y = 2 | x |} 2) {(x, y) ∈ R × R | 3y = x}3) {(x, y) ∈ R × R | 3y = 2x} 4) {(x, y) ∈ R × R | 2x = 3 | y |}

41. ถา A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} และ B = {a, b} แลวจํ านวนฟงกชันจาก A ไปท่ัวถึง B เทากับขอใด1) 14 2) 63 3) 126 4) 252

42. กํ าหนด A = {x | x2 - 2x - 3 = 0} และ B = {x | x(x - 1)(x - 2) = 0} ขอใดตอไปนีเ้ปนฟงกชนัจาก A ไป B1) {(3, 0), (-1, 1)} 2) {(3, 2), (1, -1)}3) {(-3, 1), (1, 2), (1, 0)} 4) {(-3, 1), (1, 2), (-3, 0)}

43. ให R คือเซตของจํ านวนจริง กํ าหนดให A =

∈ 42 + x3 2xRx <

-

พิจารณาขอความตอไปนี้ก. ถา a และ b เปนสมาชิกของ A แลว a + b2 เปนสมาชิกของ Aข. ถา f : A → R กํ าหนดโดย f(x) = x2 แลวเรนจของ f คือ [0, ∞)

ขอใดตอไปนี้ถูกตอง1) ก. ผิด และ ข. ผิด 2) ก. ผิด และ ข. ถูก3) ก. ถูก และ ข. ถูก 4) ก. ถูก และ ข. ผิด

44. ให A = {0, 1, 2} จงพิจารณาขอความตอไปนี้ก. {(x, y) ∈ A × A | y = x2 - 2x + 1} เปนฟงกชันหนึ่งตอหนึ่งข. {(x, y) ∈ A × A | x - 2y + 3 = 3x} เปนฟงกชันหนึ่งตอหนึ่ง

ขอใดตอไปนี้ถูกตอง1) ก. ผิด และ ข. ผิด 2) ก. ผิด และ ข. ถูก3) ก. ถูก และ ข. ถูก 4) ก. ถูก และ ข. ผิด

45. ถา f(x) = 2x - 1 และ g(x) = x2 + 2x + 1 จงหา (gof)(x)1) 4x2 + x - 1 2) 2x2 + 4x + 13) 4x2 + 1 4) 4x2

46. ถา (gof)(x) = 3x + 1 และ f(x) = x + 3 แลว g-1(x) คือขอใด1) x + 83 2) x 83 - 3) x3 4) x + 83

47. ถา f -1(x) = xx 2 - แลว (fog)(x + 2) = 3x + 6 แลว g(2) เทากับขอใดตอไปนี้

1) 56 2) 32 3) 125 4) 2411

48. ให f = {(x, y) ∈ R × R | y = 3x - 2} และ g = {(x, y) ∈ R × R | y = 2x + 7} คาของ (g-1of -1)(2)

คือขอใด1) - 176 2) - 72 3) - 16 4) 72

49. กํ าหนดให f(x) = 10x, g(x) = 1 x

2- และ r = {(x, y) ∈ R × R | y = (fog)(x)} ขอใดตอไปนี้ถูกตอง1) Dr = [-1, 1], Rr = [0, 1] 2) Dr = [0, 1], Rr = [1, 10]3) Dr = [-1, 1], Rr = [1, 10] 4) ไมสามารถหา fog ได

50. กํ าหนดฟงกชัน f และ g จากเซตของจํ านวนจริง R ไปยัง R โดย f(x) = 1 + | x | และ g(x) = 1f(x)(gof)(x) มีคาเทากับขอใดตอไปนี้1) 1 + | x | 2) 2 + | x | 3) 1

1 + x | | 4) 12 + x | |

51. กํ าหนดให f และ g เปนฟงกชนัจากเซตของจ ํานวนจริง R ไปยงั R โดย f(x) = 2x และ g(x) =

≤

1 x; 20x1 x; 1

>2 -

ถา n เปนจํ านวนเต็มบวกที่มีคานอยท่ีสุดทํ าให (gof)(n) > 0 แลว n เทากับขอใดตอไปนี้1) 1 2) 2 3) 3 4) 4

52. ให f(x) = 1x และ g(x) = x โดเมนและเรนจของ fog ตามลํ าดับคือขอใดตอไปนี้1) {x | x > 0} และ {x | x ≠ 0} 2) {x | x > 0} และ {x | x > 0}3) {x | x ≠ 0} และ {x | x = 0} 4) {x | x ≠ 0} และ {x | x > 0}

53. ให f(x) =

≥

1 x; 3+x1 x; 2+x

< และ g(x) = 2x + 3 แลว (fog-1)(1) คือขอใด

1) -4 2) -3 3) 2 4) 154. ถา f(x) = 2x - 5 และ (fog)(x) = -4x + 13 แลว g(1.3) มีคาเทากับขอใดตอไปนี้

1) 6.0 2) 6.2 3) 6.4 4) 6.855. กํ าหนดให f(x) = 1x + 2

และ g(x) = 3x + 1 แลว fog-1(4) มีคาเทากับขอใดตอไปนี้1) 13 2) 23 3) 12 4) 32

56. ถา f(x) = x3 + 1 แลว [(f -1of)of

-1](9) มีคาเทากับขอใดตอไปนี้1) 2 2) 3 3) 9 4) 10

57. กํ าหนดให f(x) = x 1 - , g(x) = x2 ขอใดตอไปนี้ถูกตอง1) (gof)(x) = x - 1 2) (gof)(x) = x 12

-3) (fog)(x) = x - 1 4) (fog)(x) = x2 - 1


58. กํ าหนดให r1 = {(x, y) | ex+y ≤ 1}r2 = {(x, y) | ln (x - 3y + 5) ≥ 0}

พ้ืนท่ีของบริเวณที่เปนกราฟของ r1I r2 ซ่ึงอยูเหนือแกน x เทากับขอใดตอไปนี้1) 1.5 ตารางหนวย 2) 2 ตารางหนวย3) 2.5 ตารางหนวย 4) 3 ตารางหนวย

59. กํ าหนดให I เปนเซตของจํ านวนเต็ม และให f, g เปนฟงกชันจาก I ไป I ซ่ึงกํ าหนดโดย f(x) = 2x

และ g(x) = x2 เม่ือ x เปนจํานวนคูx เม่ือ x เปนจํานวนค่ี

gof - f เปนฟงกชันจาก I ไป I ท่ีมีสมบัติตามขอใดตอไปนี้1) หนึ่งตอหนึ่งและท่ัวถึง 2) หนึ่งตอหนึ่งแตไมท่ัวถึง3) ท่ัวถึงแตไมหนึ่งตอหนึ่ง 4) ไมหนึ่งตอหนึ่งและไมท่ัวถึง

60. กํ าหนดให f(x) = g(x) 5 - โดยท่ี g(x) = 2x + 5 ถา Dfog = [a, b] แลว 4(a + b) เทากับขอใดตอไปนี้1) 90 2) 120 3) 150 4) 180

61. กํ าหนดให f, g เปนฟงกชันท่ีมีสมบัติวา f -1(g(x)) = x + 2 ทุก x ∈ R

พิจารณาขอความตอไปนี้ก. f(2x) = g(2(x - 1)) ทุก x ∈ Rข. g-1(f(x)) เปนฟงกชันเพ่ิมใน R


62. กํ าหนดให f(x) = 13 36 4x 2-

ถา A = {x | x ∈ [-3, 3] และ f(x) ∈ {0, 1, 2, 3}} แลว จํ านวนสมาชิกของเซต A เทากับเทาใด1) 4 2) 5 3) 6 4) 7

63. กํ าหนดให k เปนคาคงตัว และ r = {(x, y) ∈ R+ × R+ | x + k x = y + k y }พิจารณาขอความตอไปนี้

ก. ถา k = 1 แลว r เปนฟงกชันข. ถา k = -1 แลว r เปนฟงกชัน


64. กํ าหนดให f(x) =

≥

<<

≤

+ 2 xเมื่อ 1 x2 x 1 เมื่อ 1) (x

1 xเมื่อ 2 2 --

-

และ g(x) = f(x) + 2 ถา k เปนจํ านวนเต็มท่ีนอยท่ีสุดท่ีทํ าให g(k) > 5 แลว (gof)(k) มีคาเทากับขอใดตอไปนี้1) 5 2) 6 3) 7 4) 8

65. กํ าหนดให f(x) = x เมื่อ x ≥ 0 และ g(x) =

≤

<≤

+ x 1 เมื่อ 1 x1 x 0 เมื่อ x

พิจารณาขอความตอไปนี้ก. gof

-1 เปนฟงกชันเพ่ิมบน Rfข. fog-1 เปนฟงกชันเพ่ิมบน Rg


66. กํ าหนดให A = {1, 2} , B = {1, 2, 3, … , 10}เซต {f | f : A 1-1 B จะมี x ∈ A ซ่ึง f(x) = x}มีจํ านวนสมาชิกเทากับขอใดตอไปนี้1) 16 2) 17 3) 18 4) 19

67. กํ าหนดให f(x) = -(x – 1)2 ทุก x ≤ 1และ g(x) = x 1- ทุก x ≤ 1พิจารณาขอความตอไปนี้

ก. f-1(x) = 1 - |x| ทุก x ≤ 0ข. (g-1of-1)

41- = 43

68. กํ าหนดให f และ g เปนฟงกชัน ซ่ึง f(x) < 0 ทุก xถา (gof)(x) = 2[f(x)]2 + 2f(x) – 4และ g-1(x) = 3

1 x + แลวพิจารณาขอความตอไปนี้

ก. gof เปนฟงกชันคงตัวข. f(100) + g(100) = 300


69. กํ าหนดให r = {(x, y) | 0 ≤ x, 0 ≤ y ≤ 5 และ x2 – y2 – 2x + 6y ≤ 8}พิจารณาขอความตอไปนี้

ก. Dr = [0, 3]ข. ถา 0 < c และ (3, c) ∈ r แลว c = 5


70. กํ าหนดให a > 0 และf(x) = ax2 , x ≥ 0g(x) = x3

ถา (f-1og)(4) = 2 แลว (64)g(64)f

11

--

มีคาเทากับเทาใด

1) 21 2) 1 3) 2

3 4) 2

71. ให r =

=2 x

4 x y y)(x, 2

--

พิจารณาขอความตอไปนี้ก. 4 ∈ Rrข. Rr-1 = [0, 4)U (4, ∞)

72. กํ าหนดให f, g เปนฟงกชัน ซ่ึง Df = [0, ∞) โดยท่ีf -1(x) = x2 , x ≥ 0

และ g -1(x) = (f(x))2 + 1 , x ≥ 0

ถา a > 0 และ f(a) + g(a) = 19 แลว f -1(a) + g-1(a) เทากับขอใดตอไปนี้

1) 273 2) 274 3) 513 4) 51473. กํ าหนดให a > 0 และ

g(x) =

≥

<

1 xเมื่อ 1 x1 xเมื่อ )a(10

3x

--

ถา Rg = (-2.5, ∞) แลวพิจารณาขอความตอไปนี้ก. g-1(a - 1) = log 2

ข. g-1(x) =

≥

<

+ 0 xเมื่อ 1 x0 xเมื่อ )x(4 log

3 ||


เฉลย

1. 2) 2. 2) 3. 3) 4. 2) 5. 3) 6. 3) 7. 4) 8. 3) 9. 4) 10. 3)11. 2) 12. 4) 13. 4) 14. 3) 15. 3) 16. 3) 17. 2) 18. 3) 19. 2) 20. 2)21. 2) 22. 2) 23. 3) 24. 2) 25. 2) 26. 2) 27. 3) 28. 3) 29. 1) 30. 3)31. 4) 32. 1) 33. 2) 34. 3) 35. 3) 36. 3) 37. 1) 38. 2) 39. 4) 40. 3)41. 1) 42. 1) 43. 2) 44. 2) 45. 4) 46. 1) 47. 2) 48. 1) 49. 3) 50. 3)51. 3) 52. 2) 53. 3) 54. 3) 55. 1) 56. 1) 57. 1) 58. 2) 59. 1) 60. 4)61. 1) 62. 2) 63. 2) 64. 3) 65. 1) 66. 2) 67. 1) 68. 2) 69. 4) 70. 1)71. 3) 72. 1) 73. 4)


ฟงกชันตรีโกณมิติ

1. วงกลมหนึ่งหนวยและการวัดมุมวงกลมหนึ่งหนวย คือ วงกลม x2 + y2 = 1 ซ่ึงมีรัศมีหนึ่งหนวยและมีจุดศูนยกลางอยูท่ีจุดกํ าเนิด

(0, 0) (1, 0)

(0, 1)

(-1, 0)

(0, -1)

x

y

กํ าหนดใหมุมท่ีจุดศูนยกลางที่รองรับสวนโคงท่ียาว θ หนวย มีคาเทากับ θ เรเดียนโดยใหมุมบวกเปนมุมท่ีวัดในทิศทวนเข็มนาฬิกาเทียบกับแกน x ดานบวกและใหมุมลบเปนมุมท่ีวัดในทิศตามเข็มนาฬิกาเทียบกับแกน x ดานบวก

ขอสังเกต1. มุม θ และมุม θ + 2nπ เมื่อ n เปนจํ านวนเต็มใดๆ จะมีจุดปลายเดียวกัน2. สวนโคงท่ียาว a ในวงกลมรัศมี r จะรองรับมุมท่ีจุดศูนยกลางเทากับ θ = r

a เรเดียน3. π เรเดียน = 180 องศา

2. ฟงกชันตรีโกณมิติถาจุดปลายของมุม θ มีพิกัดเปน (x, y) บนวงกลมหนึ่งหนวยแลวจะนิยาม2.1 ฟงกชันโคไซน (cosine) โดย cos θ = x2.2 ฟงกชันไซน (sine) โดย sin θ = y2.3 ฟงกชันแทนเจนต (tangent) โดย tan θ = sin

cos θθ เมื่อ cos θ ≠ 0

2.4 ฟงกชันเซเคนท (secant) โดย sec θ = 1cos θ เมื่อ cos θ ≠ 0

2.5 ฟงกชันโคเซเคนท (cosecant) โดย cosec θ = 1sin θ เมื่อ sin θ ≠ 0

2.6 ฟงกชันโคแทนเจนต (cotangent) โดย cot θ = cos sin θθ เมื่อ sin θ ≠ 0

3. เอกลักษณพ้ืนฐาน1. sin2 θ + cos2 θ = 12. 1 + tan2 θ = sec2 θ3. 1 + cot2 θ = cosec2 θ4. sin (-θ) = -sin θ และ cos (-θ) = cos θ5. sin ( 2

π - θ) = cos θ และ cos ( 2π -θ) = sin θ

6. sin (π - θ) = sin θ และ cos (π - θ) = -cos θ7. sin (nπ - θ) = (-1)n+1 sin θ และ cos (nπ - θ) = (-1)n cos θ8. sin ( 2

1 2n + π - θ) = (-1)n cos θ และ cos ( 21 2n + π - θ) = (-1)n sin θ


1. กํ าหนดให 0 < θ < π2 และ sec θ = 53 แลว sin cos tan cosec

θ θθ θ

-- มีคาเทากับขอใดตอไปนี้

1) -2.4 2) - 121553) 12155 4) 2.4

2. กํ าหนดให sin x = 513 และ cos x = - 1213 คา sin (x - π) + cos (x - π) คือขอใดตอไปนี้1) - 1713 2) - 7133) 713 4) 1713

3. ให x เปนจํ านวนจริง ซ่ึง 0 ≤ x ≤ 2π พิจารณาขอความตอไปนี้ก. sin x + cos x ≥ 0 เมื่อ π4 ≤ x ≤ 54π

ข. tan x ≥ 0 เมื่อ 0 ≤ x < π2 หรือ π ≤ x < 32πขอใดตอไปนี้จริง1) ก. ถูก และ ข. ผิด 2) ก. ถูก และ ข. ผิด3) ก. ผิด และ ข. ถูก 4) ก. ผิด และ ข. ผิด

4. คาของ sin 38sin 58

π

π + tan 137tan 7

π

π เทากับขอใดตอไปนี้

1) -2 2) -1 3) 0 4) 1

5. ขอความใดตอไปนี้ผิด1) sin x เปนฟงกชันเพ่ิมบน

ππ

23 ,4

7 -- 2) tan เปนฟงกชันลดบน

ππ

45 ,4

3

3) cos x เปนฟงกชันเพ่ิมบน

ππ 4 ,-- 4) cot x เปนฟงกชันลดบน

ππ

47 ,2

3 -

6. ถา tan θ = - 43 และ sin θ < 0 แลว cos θ เทากับเทาใด1) 35 2) 453) - 35 4) - 45

7. ถา tan θ = 43 และ sin θ < 0 แลว sec θ มีคาเทาใด1) - 53 2) - 543) 53 4) หาคาไมไดเพราะขอมูลไมเพียงพอ

8. sin

ππ

3 2 -

πππ + 3 2 sin 3 sec - มีคาอยูในชวงใด

1) (-2, -0.5) 2) [-0.5, 0)3) [0, 0.5) 4) [0.5, 2)

9. ขอใดตอไปนี้ผิด1) ถา sin θ = -0.1 แลว จุดปลายของสวนโคงของวงกลมที่ยาว θ หนวย จะอยูในควอดรันตท่ี 3 หรือ 42) 40 องศา เทากับ 29π เรเดียน3) ถา π2 < θ < 34π แลว sin θ - cos (6π + θ) > 0

4) cos 296π < 33

10. คาของ 2 sin ( 330 ) + tan ( 405 )cot 225

2- -o o

o ตรงกับขอใด1) 0 2) -23) - 3 - 1 4) 3 - 1

11. กํ าหนดเอกภพสัมพัทธเปนจํ านวนจริง ถา Q(x) แทน 2 x2 sin

π

4 - + 2x cos

π

3 - + 2 = 0

เซตคํ าตอบของ Q(x) ตรงกับขอใด1) {1, -2} 2) {-1, 2}3) {-1, -2} 4) {1, 2}

12. ถา B sinA sin = 3

2 และ B cosA cos = 2

1 แลว tan2 B มีคาเทากับขอใดตอไปนี้

1) 4 2) 23

3) 1 4) 32

13. กํ าหนดให 0 ≤ θ ≤ 2πเซตคํ าตอบของอสมการ cos cos

sin 122

θ θθ-- < 0 เปนสับเซตของเซตในขอใดตอไปนี้

1)

π

3 , 0 2)

ππ

65 , 3

3)

π

4 , 0 U

ππ , 6

5 4)

ππ

2 , 6 U

ππ

23 , 4

3

เฉลย 1. 4) 2. 3) 3. 3) 4. 3) 5. 2) 6. 1) 7. 1) 8. 4) 9. 4) 10. 1)11. 2) 12. 2) 13. 4)

สถิติ

1. ความหมายของสถิติความหมายที่ 1 ความหมายที่ 2

ตัวเลขท่ีแทนขอเท็จจริงหรือข อมูลท่ีมีการเปลี่ยนแปลงหรือแปรปรวนไปในลักษณะที่อาจพยากรณลวงหนาไดบางหรือพยากรณไมไดบาง เชน สถิติเก่ียวกับปริมาณนํ้ าฝน อณุหภมูขิองอากาศ จ ํานวนอบัุติเหตุในวันสุด-สัปดาห เปนตน

ศาสตรซ่ึงเปนท้ังวิทยาศาสตรและศิลปะท่ีมีขั้นตอนตอไปนี้- การเก็บรวบรวมขอมูล (collection of data)- การนํ าเสนอขอมูล (presentation of data)- การวิเคราะหขอมูล (analysis of data)- การตีความหมายขอมูล (interpretation of data)


2. การวัดคากลางของขอมูลลํ าดับ คากลาง สูตร ขอสังเกต

1. คาเฉล่ียเลขคณิต (mean)หรือ x x =

xN

ii=1

N∑ 1. xii=1

N∑ = Nx

2. (x x)ii=1

N -∑ = 0

3. (x a)i2

i=1

N -∑ นอยท่ีสุดเมื่อ a = x

4. ถา yi = axi + b แลว y = ax + b5. xmin ≤ x ≤ xmax

2. มัธยฐาน (median)หรือ Me

Me = คาของขอมูลตํ าแหนงตรงกลางเมื่อเรียงลํ าดับขอมูลแลว

ถา a = Me แลว | x a|ii=1

N -∑ นอยท่ีสุด

3. ฐานนิยม (mode)หรือ Mo

Mo = คาของขอมูลท่ีมีความถ่ีมากท่ีสุด

1. ในกรณีท่ีขอมูลมีการแจกแจงความถี่ อันตรภาคชั้นของทุกชั้นตองเทากัน2. ขอมูลคุณภาพนิยมหาคากลางโดยวิธีนี้

4. เรขาคณิต (geometricmean) หรือ G.M.

G.M. = x x ... x1 2 NN 1. ขอมูล x1, x2, ... , xN ตองทํ าให x x ... x1 2 NN มีความหมาย

2. log G.M. = log xN

ii=1

N∑

เมื่อ xi > 05. ฮารโมนิก (harmonic

mean) หรือ H.M.H.M. = N

1x ii=1

N∑

H.M. = สวนกลับของคาเฉล่ียเลขคณิตของสวนกลับของขอมูลแตละตัว

6. ก่ึงกลางพสัิย (mid range)หรือ M.R.

M.R. = x + x2max min ขอมูลท่ีมีอันตรภาคชั้นเปดจะหาคากลางแบบ

นี้ไมได

3. หลักเกณฑสํ าคัญในการใชคากลางชนิดตางๆ1. คาเฉล่ียเลขคณิตเปนคากลางที่ไดจากการนํ าทุกๆ คาของขอมูลมาเฉล่ีย แตมัธยฐานและฐานนิยมเปนเพียง

คากลางที่ใชตํ าแหนงท่ี (position) ของขอมูลบางคาเทานั้น2. ถาในจํ านวนขอมูลท้ังหมดมีขอมูลบางคาท่ีมีคาสูงหรือต่ํ ากวาขอมูลอื่นๆ มาก จะมีผลกระทบกระเทือนตอ

การหาคากลางโดยใชคาเฉล่ียเลขคณิต กลาวคืออาจจะทํ าใหคากลางที่ไดมีคาสูงหรือต่ํ ากวาขอมูลท่ีมีอยูสวนใหญ แตจะไมมีผลกระทบกระเทือนตอการหาคากลางโดยใชมัธยฐานหรือฐานนิยม

3. มัธยฐานและฐานนิยมใชเพ่ือตองการทราบคากลางของขอมูลท้ังหมดโดยประมาณและรวดเร็ว ท้ังนี้เนื่องจากการหามัธยฐานและฐานนิยมบางวิธีไมจํ าเปนตองมีการคํ านวณซ่ึงอาจใชเวลามาก

4. ถาการแจกแจงความถี่ของขอมูลประกอบดวยอันตรภาคชั้นท่ีมีชวงปด อาจเปนชั้นต่ํ าสุดหรือชั้นสูงสุดชั้นใดชั้นหนึ่งหรือท้ังสองชั้น การหาคากลางโดยใชคาเฉล่ียเลขคณิตไมสามารถหาได แตสามารถหามัธยฐานหรือฐานนิยมได

5. การแจกแจงความถี่ของขอมูลท่ีมีความกวางของแตละอันตรภาคชั้นไมเทากัน อาจจะมีผลทํ าใหคากลางที่หาไดโดยใชคาเฉล่ียเลขคณิตหรือฐานนิยมคลาดเคล่ือนไปจากที่ควรจะเปนไดบาง แตจะไมมีผลกระทบกระเทือนตอการหามัธยฐาน

6. ในกรณท่ีีขอมลูเปนประเภทขอมลูคณุภาพ (qualitative data) จะสามารถหาคากลางไดเฉพาะฐานนิยมเทานั้นแตไมสามารถหาคาเฉล่ียเลขคณิตหรือมัธยฐาน

7. ความสัมพันธของ x , Me, Mo

โคงปกติ โคงเบขวา โคงเบซาย

x = Me = Mo Mo < Me < x x < Me < Mo


1. คาเฉล่ียเลขคณิตของคะแนนวิชาภาษาไทยของนักเรียน 10 คน คือ 72 ถาคะแนนของนักเรียน 8 คน เปนดังนี้39 46 54 70 83 86 93 99 สวนคะแนนของนกัเรยีนอีก 2 คน ครูทํ ากระดาษสอบหาย แตทราบวา 2 คนนี้คะแนนตางกัน 4 คะแนน ดังนั้นคามัธยฐานของคะแนนวิชาภาษาไทยของนักเรียนท้ัง 10 คน มีคาเทาใด1) 69.0 2) 75.03) 76.5 4) หาคาไมไดเพราะขอมูลไมเพียงพอ

2. ถานักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปท่ี 6 ของโรงเรียนสหศึกษาแหงหนึ่งมีคาเฉล่ียเลขคณิตของนํ้ าหนักเปน 58.7 กิโลกรัมและถาคาเฉล่ียเลขคณติของนํ ้าหนกันกัเรยีนชายชั้นนี้เปน 65.8 กิโลกรัม คาเฉล่ียเลขคณติของนํ ้าหนกันักเรียนหญิงชั้นนี้เปน 34.2 กิโลกรัม โรงเรียนนี้มีนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปท่ี 6 ท่ีเปนหญิงรอยละเทาใด1) 77.5 2) 34.23) 22.5 4) ขอมูลท่ีใหไมเพียงพอ

3. นักเรียนชั้นหนึ่งมี 100 คน แบงเปน 2 กลุม ในการสอบวิชาคณิตศาสตร ปรากฏวาคะแนนเฉล่ียของนักเรียนท้ังหมดเทากับ 55.3 ถากลุม I มีนักเรียนมากกวากลุม II อยู 6 คน และคะแนนเฉลี่ยของนักเรียนกลุม I เปน60 คะแนนเฉล่ียของนักเรียนกลุม II คือขอใด1) 50.0 2) 50.63) 55.3 4) 57.65


4. ในการสอบวิชาสถิติของนักเรียนหองหนึ่ง คาเฉล่ียเลขคณิตของคะแนนสอบของนักเรียนหองนี้เทากับ 53 คะแนนแตจากการตรวจสอบพบวามีขอสอบของนักเรียนอีก 2 คน ท่ียังไมไดทํ าการตรวจ เมื่อตรวจเสร็จแลว ปรากฏวาคาเฉล่ียเลขคณิตของคะแนนสอบของนักเรียนหองนี้เทากับ 55 คะแนน และผลรวมของคะแนนสอบเพิ่มขึ้นอีก180 คะแนน จํ านวนนักเรียนในหองนี้เทากับขอใดตอไปนี้1) 37 คน 2) 35 คน 3) 33 คน 4) 31 คน

5. คาเฉล่ียเลขคณติของคะแนนสอบวชิาคณิตศาสตรของนักเรียนหองหนึ่งเปน 43 คะแนน ถาคิดวาคาเฉล่ียเลขคณิตของคะแนนสอบของนักเรียนชายและหญิงแยกกันจะไดเปน 45 และ 40 คะแนน ตามลํ าดับแลว อัตราสวนระหวางจํ านวนนักเรียนชายและนักเรียนหญิงคือขอใดตอไปนี้1) 3 : 2 2) 2 : 3 3) 2 : 5 4) 3 : 5

6. กํ าหนดให x เปนตัวแปรตัวหนึ่ง ถาคาท่ีสังเกตได พรอมท้ังรอยละของความถ่ีสะสมสัมพัทธของคาเหลานี้เปนไปตามตารางขางลาง

คาท่ีสังเกตได (x) -4 -3 1 2 3รอยละของความถี่สะสมสัมพัทธ 30 50 60 80 100

คาเฉล่ียเลขคณิตของขอมูลขางตนคือขอใด1) 2.5 3) -0.23) -0.7 4) ขอมูลท่ีใหไมเพียงพอท่ีจะหาคํ าตอบ

7. จากขอมูลท่ีกํ าหนดใหขอมูลชุด A 1, 3, 2, 2, 5, 3, 4, 4, 3ขอมูลชุด B 1, 2, 4, 1, 2, 5, 2, 5, 1, 5, 5, 3ขอใดตอไปนี้ถูก

1) คาเฉล่ียเลขคณิตของขอมูลท้ังสองชุดเทากันและมัธยฐานของขอมูลท้ังสองชุดเทากัน2) คาเฉล่ียเลขคณิตของขอมูลท้ังสองชุดเทากัน แตมัธยฐานของขอมูลสองชุดนี้ไมเทากัน3) มัธยฐานขอมูลท้ังสองชุดเทากัน แตคาเฉล่ียเลขคณิตของขอมูลสองชุดนี้ไมเทากัน4) มัธยฐานของขอมูลสองชุดนี้ไมเทากัน และคาเฉล่ียเลขคณิตของขอมูลสองชุดนี้ไมเทากัน

8. ครูสอนคณิตศาสตรไดรายงานผลการสอบยอยของนักเรียน 3 กลุม ดังนี้

กลุมท่ี 1 กลุมท่ี 2 กลุมท่ี 3คะแนนเฉลี่ย 15 12 13จํ านวนนักเรียน 10 8 x

ถาคะแนนเฉล่ียของวิชาคณิตศาสตรเทากับ 13.4 จํ านวนนักเรียนกลุมท่ี 3 (x) มีเทากับขอใดตอไปนี้1) 8 2) 10 3) 12 4) 14

9. ขอมูล 5 จํ านวน ท่ีมีคาแตกตางกันท้ังหมดมีดังนี้ a, 6, 2, 5, 4ถาขอมูลชุดนี้มีสมบัติดังนี้

พิสัย = คาเฉล่ียเลขคณิตและ a < 2 หรือ a > 6

แลวคา a ท่ีเปนไปไดเปนจริงตามขอใดตอไปนี้1) มี 1 คา โดยท่ี a < 2 2) มี 1 คา โดยท่ี a > 63) มี 2 คา โดยท่ีผลรวมของคาท้ังสองเทากับ 9712 4) มี 2 คา โดยท่ีผลรวมของคาท้ังสองเทากับ 10712

เฉลย

1. 2) 2. 3) 3. 1) 4. 1) 5. 1) 6. 3) 7. 2) 8. 3) 9. 2)

01 1 - rmutphysics · คณิตศาสตร 1 (4) _____ โครงการแบรนด...

Documents