1

01010101010101010101 집합의 뜻

집합어떤 조건에 의하여 대상을 분명하게 정할 수 있을 때, 그 대상

들의 모임을 집합이라고 한다.

원소집합을 이루는 대상 하나하나를 그 집합의 원소라고 한다.

가 집합 의 원소일 때, “는 집합 에 속한다.”고 하며,

이것을 기호로

∈

와 같이 나타낸다.

가 집합 의 원소가 아닐 때, “는 집합 에 속하지 않는

다.” 고 하고, 이것을 기호로

∉

와 같이 나타낸다.

02020202020202020202 집합의 표현

벤 다이어그램집합을 나타내는 방법 중 그림을 이용하여 나타내는 방법이 있

는데 이를 벤 다이어그램이라 부른다.

0101 집합집합집합집합집합집합집합집합집합

S

2

03030303030303030303 집합의 원소의 개수

공집합 원소가 하나도 없는 집합을 공집합이라 한다. 이것을 기호로

∅

와 같이 나타낸다.

유한집합원소의 개수가 유한개인 집합을 유한집합이라 한다.

무한집합 원소의 개수가 무한개인 집합을 무한집합이라 한다.

집합 가 유한집합일 때, 집합 의 원소의 개수를 기호로

와 같이 나타낸다.

3

04040404040404040404 집합의 포함관계

부분집합집합 의 모든 원소가 집합 에 속할 때, “를 의 부분집

합이라고 하고, 기호로

⊂

와 같이 나타낸다.

집합 가 집합 의 부분집합이 아닐 때, 기호로

⊂

와 같이 나타낸다.

두 집합 의 원소가 서로 같을 때, 집합 와 집합 는 서

로 같다고 하고, 이것을 기호로

와 같이 나타낸다.

두 집합 가 서로 같지 않을 때, 이것을 기호로

≠

와 같이 나타낸다.

두 집합 이면 ⊂이고 ⊂이다.

또 ⊂이고 ⊂이면 이다.

진부분집합두 집합 에 대하여 ⊂이지만 ≠일 때, 를 의

진부분집합이라고 한다.

4

05050505050505050505 집합의 연산

두 집합 에 대하여

합집합집합 에 속하거나 집합 에 속하는 모든 원소로 이루이진 집합

∪

교집합집합 에도 속하고 집합 에도 속하는 모든 원소로 이루어진

집합

∩

서로소두 집합 에 대하여 공통인 원소가 하나도 없을 때, 집합

와 집합 는 서로소라고 한다.

이 때,

∩∅

이다.

5

06060606060606060606 집합의 연산법칙

세 집합 에 대하여

교환법칙∪∪

∩∩

결합법칙∪∪ ∪∪

∩∩ ∩∩

분배법칙∩∪ ∩∪∩

∪∩ ∪∩∪

6

07070707070707070707 여집합과 차집합

전체집합 주어진 집합에 대하여 그것의 부분집합을 생각할 때, 처음에 주

어진 집합을 전체집합이라 하고, 기호로

와 같이 나타낸다.

여집합 전체집합 의 부분집합 에 대하여 의 원소중에서 집합

에 속하지 않는 모든 원소로 이루어진 집합을 에 대한 의

여집합이라 하고, 기호로

과 같이 나타낸다.

차집합두 집합 에 대하여 에 속하지만 에는 속하지 않은 원

소로 이루어진 집합을 에 대한 의 차집합이라 하고, 기호로

와 같이 나타낸다.

전체집합 의 두 부분집합 에 대하여

1. ∅ ∅

2.

3. ∩

4. ∪ ∩ ∅

드모르간 법칙전제칩합 의 두 부분집합 에 대하여

1. ∩ ∪

2. ∪ ∩

08080808080808080808 합집합의 원소의 개수

두 집합 가 유한집합일 때,

∪ ∩

7

010101010101010101010101010101 집합과 원소집 합

S

필수필수필수필수필수필수필수필수예제예제예제예제예제예제예제예제

공집합이 아닌 집합 가 다음 조건을 모두 만족시킨다.

(가) 집합 의 모든 원소는 자연수이다.

(나) ∈이면 ∈이다.

이때 집합 의 개수를 구하시오.

8

020202020202020202020202020202 집합의 종류집 합

S

필수필수필수필수필수필수필수필수예제예제예제예제예제예제예제예제

집합 의 부분집합 ∈에 대하여 <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고르시오.

� �

ㄱ. 집합 가 자연수 전체의 집합이면 ∅이다.

ㄴ. 집합 가 실수 전체의 집합이면 집합 는 무한집합이다.

ㄷ. 집합 가 유리수 전체의 집합이고 ∈이면 ∈이다.

| 보 기 |

9

030303030303030303030303030303 집합의 포함관계집 합

S

필수필수필수필수필수필수필수필수예제예제예제예제예제예제예제예제

세 집합 가 다음과 같을 때, 의 포함관계를 바르게 나타낸 것은?

은 정수

은 정수

은 정수

① ⊂⊂ ② ⊂ ③

④ ⊂ ⑤ ⊂⊂

10

040404040404040404040404040404 부분집합의 개수집 합

S

필수필수필수필수필수필수필수필수예제예제예제예제예제예제예제예제

두 정수 의 차가 의 배수이면 ≡또는 ≡로 나타내기로 하자. 두 집합 가 각각

≤ 는 정수, ≡ ∈

일 때, 집합 의 부분집합의 개수를 구하시오.

11

050505050505050505050505050505 집합의 활용집 합

S

필수필수필수필수필수필수필수필수예제예제예제예제예제예제예제예제

자연수 에 대한 집합 을

⋯

이라 하자. 예를 들면

,

이다. 이때 세 집합 중 을 원소로 갖는 집합을 모두 고르시오. (단, 는 보다 크지 않은 최대의 정

수이다.)

12

060606060606060606060606060606 집합의 연산집 합

S

필수필수필수필수필수필수필수필수예제예제예제예제예제예제예제예제

두 집합 에 대하여 집합 ⋆를

⋆ ∪

라 할 때, 전체집합 의 세 부분집합 에 대하여 <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고르시오.

� �

ㄱ. ⋆⋆

ㄴ. ⋆ ∩ ⋆∩⋆

ㄷ. ⋆ ⋆

| 보 기 |

13

070707070707070707070707070707 유한집합의 원소의 개수 (1)집 합

S

필수필수필수필수필수필수필수필수예제예제예제예제예제예제예제예제

전체집합 의 부분집합 에 대하여 를 의 여집합 의 원소의 개수라 하자. 전체집합

의 두 부분집합 에 대하여 다음 <보기> 중 옳은 것을 모두 고르시오.

� �

ㄱ. ∅

ㄴ. ≤이면 ⊂

ㄷ. ∪∩

| 보 기 |

14

080808080808080808080808080808 유한집합의 원소의 개수 (2)집 합

S

필수필수필수필수필수필수필수필수예제예제예제예제예제예제예제예제

어느 학급의 명의 학생에게 회의 봉사활동 프로그램을 제공하였더니 한 번도 봉사활동에 참가하지 않은 학생은

명, 회 모두 참가한 학생은 명이었다. 첫 번째에만 참가한 학생, 두 번째에만 참가한 학생, 세 번째에만 참가한 학

생 수가 모두 같고, 연속해서 회만 참가한 학생 수는 첫 번째와 세 번째의 회만 참가한 학생 수의 배일 때, 첫

번째 봉사활동에는 참가하고 두 번째 봉사활동에는 참가하지 않은 학생 수를 구하시오.

15

★★★★★★★★★★★★★★★ Exercise집 합

S

문제문제문제문제문제문제문제문제문제문제 1111111111 실수 전체의 집합 부분집합 가 다음 두 조건을 만족한다.

(가) ∈ ∈

(나) ∈이면 ∈이다.

이때, 집합 의 원소가 아닌 것은?

① ② ③ ④ ⑤

문제문제문제문제문제문제문제문제문제문제 2222222222 두 함수 와 는 모든 실수 에 대하여 을 만족시킨다. 두 집합 ,

에 대한 다음 설명 중 항상 옳은 것은?

① 는 모두 무한집합이다.

② 는 모두 유한집합이다.

③ 가 유한집합이면 는 무한집합이다.

④ 가 무한집합이면 는 유한집합이다.

⑤ 가 무한집합이면 는 무한집합이다.

16

★★★★★★★★★★★★★★★ Exercise집 합

S

문제문제문제문제문제문제문제문제문제문제 3333333333 세 집합 , ∈ ∈, ∈의 포함 관계를 바르게 나타낸 것은?

① ⊂⊂ ② ⊂⊂ ③ ⊂⊂

④ ⊂⊂ ⑤ ⊂⊂

문제문제문제문제문제문제문제문제문제문제 4444444444 집합 의 부분집합 에 대하여 ⊂⊂를 만족시키는 집합 의 개수를 라

하자. 을 만족시키는 집합 에 대하여 의 진부분집합의 개수를 구하시오.

17

★★★★★★★★★★★★★★★ Exercise집 합

S

문제문제문제문제문제문제문제문제문제문제 5555555555 집합 에서 짝수가 두 개만 포함되는 부분집합을 ⋯ 이라 하고, 집합 의 원소의

총합을 이라고 하자. 이때, ⋯ 의 값을 구하시오.

문제문제문제문제문제문제문제문제문제문제 6666666666 자연수를 원소로 갖는 두 집합

,

가 있다. 이고 ∩ , 일 때, 의 값을 구하시오.

18

★★★★★★★★★★★★★★★ Exercise집 합

S

문제문제문제문제문제문제문제문제문제문제 7777777777 전체집합 의 임의의 두 부분집합 에 대하여 연산 ⋆를

⋆ ∪ ∩∪

으로 정의할 때, 다음 중 ⋆∅과 같은 것은? (단, ≠∅, ≠)

① ∅⋆∅ ② ③ ④ ∅ ⑤

문제문제문제문제문제문제문제문제문제문제 8888888888 어느 고등학교 학생 명에게 좋아하는 스포츠를 조사한 결과 축구가 명, 농구가 명, 야구가 명으로 응답했다.

또 두 가지 이상의 스포츠를 좋아하는 학생들은 축구와 농구가 명, 축구와 야구가 명, 야구와 농구가 명이었다. 이

때, 축구, 농구, 야구 중 어느 것도 좋아하지 않는 학생은 최소 몇 명인지 구하시오.