01 ­ Apa sih turunan itu?

Selamat datang di belajar­kalkulus.blogspot.com. Tujuan dari blog ini adalah jelas untukmengajari anda tentang kalkulus. Kita akan melakukannya dengan menyelesaikan banyak soal ditiap bagian. Sebelum kita melakukannya, ijinkan saya untuk memberikan sedikit penjelasanmengenai kalkulus dan mengapa kalkulus penting.

Pertama­tama singkirkan segala kekhawatiran anda. Mengapa demikian? Karena kalkulusmempunyai reputasi yang sangat buruk. Kalkulus terdengar sangat menakutkan. Saya inginanda membuang kesan tersebut jauh­jauh. Saya akan mengajarkan anda bagaimana untukmengerjakan kalkulus seperti matematika kelas tiga SD.

Tujuan saya adalah untuk menyelesaikan soal­soal kalkulus langkah per langkah, sehingga andamerasa nyaman dalam mengikutinya. Saya berharap dengan begitu anda dapat membawapengalaman tersebut dalam mengerjakan pekerjaan rumah dan tes anda.Saya akan berusahauntuk membahas tiap­tiap topik yang ada dalam kalkulus. Tugas anda adalah berlatih soal­soaltambahan dari buku. Belajar kalkulus sama seperti bermain basket atau bulutangkis atausepakbola, untuk menguasainya anda harus banyak berlatih.

Saya berusaha menggunakan cara tercepat dalam mengerjakan soal­soal. Saya tidak akanmenjelaskan terlalu banyak teori, melainkan dengan mengerjakan contoh­contoh soal. Tugasanda adalah mengikuti apa yang saya jelaskan dari awal hingga akhir dan anda akan beradadalam kondisi yang baik.

Bagian pertama adalah konsep turunan, kita akan membahasnya dalam beberapa topikberikutnya. Konsep kedua adalah integral, yang mana terdengar “mengerikan”. Tapi tidakmasalah, saya akan menjelaskan apa itu turunan.

Katakanlah saya memegang sebuah pensil, kemudian saya menggerakan pensil tersebutdengan kecepatan tetap. Tidak bertambah cepat ataupun bertambah lambat. Pensil tersebuthanya bergerak melewati anda dengan kecepatan yang tetap. Seperti saat kita menyetir mobildengan kecepatan tetap 60 km/jam.

Gambar 1

Kita akan menggambar grafik dari pergerakan pensil tersebut. Sumbu vertikal adalah posisi,

belajar­kalkulus.blogspot.com              Halaman 1 dari 10 halaman

01 ­ Apa sih turunan itu?

sedangakan sumbu horisontal  adalah waktu. Kita tambahkan ruas pada waktu dan posisi. Lalukita gambarkan pada posisi mana dari titik awal pensil tersebut berada pada waktu tertentu. Jikapensil tersebut bergerak secara konstan, bagaimana grafiknya? Grafik tersebut akan berbentukgaris lurus seperti tampak pada gambar 1. Karena tiap maju satu detik, jaraknya akanbertambah dalam jumlah peningkatan yang sama.

Gambar 2

Jika ada percepatan disana, maka grafiknya akan terlihat seperti pada gambar 2.

Jika anda menuliskan grafik seperti pada gambar 1 sebagai sebuah persamaan, maka andaakan mendapatkan

Gambar 3

Fungsi P(t) berupa garis lurus, atau jika dibuat persamaanya adalah mt yang mana mmerupakan kemiringan dari garis. Anda bisa mengganti m dengan 1, 2 atau 3. m hanyalahkemiringan dari garis pada grafik gambar 1.

Saya akan memberikan pertanyaan kepada anda. Jika grafik seperti pada gambar 1 adalah grafikdari benda yang bergerak dengan kecepatan tetap, maka bagaimana grafik dari kecepatannya?

Saya sudah mengatakan kepada anda bahwa benda tersebut bergerak dengan kecepatan tetap,maka dengan demikian bisa kita gambarkan grafiknya sebagai berikut:

belajar­kalkulus.blogspot.com              Halaman 2 dari 10 halaman

01 ­ Apa sih turunan itu?

Gambar 4

Yang artinya kecepatan tersebut akan selalu tetap (konstan) pada tiap pertambahan waktu.Persamaan dari gambar 4 adalah sebagai berikut:

Gambar 5

Terakhir saya akan menggambarkan grafik untuk percepatannya. Saya sudah menekankanbahwa gerakan benda tidak dipercepat atau diperlambat. Maka jelas bahwa percepatannyaadalah nol, seperti bisa kita lihat pada gambar 6.

Gambar 6

Jika kita tuliskan fungsi dari grafik gambar 6 adalah sebagai berikut:

belajar­kalkulus.blogspot.com              Halaman 3 dari 10 halaman

01 ­ Apa sih turunan itu?

Gambar 7

Anda mungkin akan tekejut jika saya bilang bahwa kita baru saja membuat dua turunan darigrafik Gambar 1. Gambaran besarnya adalah sebagai berikut, “Turunan dari sebuah grafikadalah kemiringannya”. Atau yang biasa dikatakan oleh buku kalkulus sebagai “Laju Perubahan”.

Jika anda menurukan grafik posisi (gambar 1) anda akan mendapatkan grafik kecepatan(gambar 4), jika anda menurunkan grafik kecepatan (gambar 4) anda akan mendapatkan grafikpercepatan (gambar 7). Secara keseluruhan dari yang telah kita bahas diatas tampak padagambar 8 dibawah.

Gambar 8

belajar­kalkulus.blogspot.com              Halaman 4 dari 10 halaman

01 ­ Apa sih turunan itu?

Saya tekankan sekali lagi, turunan adalah kemiringan dari grafik. Pada grafik posisikemiringannya konstan maka kita mendapatkan grafik kecepatan yang konstan. Pada grafikkecepatan kita dapat melihat hanya berupa garis lurus yang tidak punya kemiringan, maka tentusaja turunannya, yaitu grafik percepatan bernilai nol.

Analoginya adalah seperti ketika anda mengendarai mobil di jalanan yang naik diandingkandengan ketika anda mengendari mobil di jalanan yang rata. Di jalanan yang naik, jalanan tersebutmempunyai kemiringan, sedangkan jika anda mengendarainya di jalanan yang rata, tentu sajajalan tersebut tidak mempunyai kemiringan.

Saya akan memformulasikan apa yang telah kita bicarakan tadi.

Gambar 9Kemiringan dari grafik posisi adalah grafik kecepatan. Saya ulangi lagi, dan ini merupakan dasardari Kalkulus, “Turunan adalah kemiringan dari grafik”.

Gambar 10

Kemiringan dari fungsi kecepatan adalah fungsi percepatan. Dan yang paling penting,merupakan dasar dari Kalkulus, hukum alam, dan dasar Fisika adalah “Turunan adalahkemirignan dari grafik”.

Seperti anda lihat, di kelas mungkin anda akan mendapatkan teori semacam ini dalam waktuyang cukup lama, disertai dengan penjelasan yang rumit. Tapi disini kita telah mempelajariturunan dalam waktu yang cukup singkat.

Selanjutnya saya akan menjelaskan bagaimana cara mendapatkan turunan dari grafik yang tidakberupa garis.

Bagimana jika kita mempunyai sebuah benda yang bergerak dipercepat, bukan seperti contoh

belajar­kalkulus.blogspot.com              Halaman 5 dari 10 halaman

01 ­ Apa sih turunan itu?

yang pertama bergerak secara konstan, tetapi dipercepat.

Gambar 11

Grafik dari pergerakan benda yang dipercepat tersebut bisa dilihat di gambar 11. Fungsi darigrafik tersebut adalah parabola, seperti pada gambar 12.

Gambar 12

Lalu pertanyaanya adalah bagaimana kita mencari turunannya? Itu bukan berupa garis lurus,kemiringannya berubah. Seperti dapat anda lihat, di awal grafik kemiringannya landai, namunsejalan dengan bertambahnya waktu, kemiringannya akan semakin curam dan curam dancuram hingga sangat curam seiringan berjalannya waktu.

Gambar 13

Seperti apa grafik kecepatannya?

belajar­kalkulus.blogspot.com              Halaman 6 dari 10 halaman

01 ­ Apa sih turunan itu?

Gambar 14

Kecepatannya meningkat seiring dengan waktu seperti tampak di gambar 14. Seiring denganmeningkatnya kemiringan pada grafik percepatan, kecepatan meningkat.

Gambar 15

Jika anda menuliskan persamaannya tampak seperti pada gambar 15. Lalu bagaimana grafikpercepatannya?

Gambar 16

Grafik percepatannya adalah kemiringan dari grafik kecepatannya. Sehingga grafik tampakseperti gambar 16, berupa garis lurus karena kemiringannya konstan.

belajar­kalkulus.blogspot.com              Halaman 7 dari 10 halaman

01 ­ Apa sih turunan itu?

Gambar 17

Persamaanya seperti tampak pada gambar 17. Sampai saat ini anda telah mendapatkangambaran besar dari turunan. Sekali lagi, turunan adalah kemiringan dari grafik, jika grafiknyatidak berupa garis lurus, maka turunannya adalah perubahan kemiringan pada tiap titik darigrafik.

Pada contoh memang kita banyak membahas mengenai grafik posisi, kecepatan danpercepatan, Namun pada kenyataanya turunan tidak hanya dapat diterapkan pada hal tersebuttetapi juga di bidang lain seperti perubahan tekanan atau perubahan arah pesawat dansebagainya.

Gambar 18

Pada gambar 18 terlihat bahwa turunan adalah kemiringan dari garis pada kurva. Sekarang sayaakan membicarakan mengenai simbol dari dervatif.

Gambar 19

Fungsi kecepatan adalah turunan dari fungsi posisi, dituliskan seperti pada gambar 19,

 dibaca P aksen t.

Dibaca dp dt, artinya derivatif fungsi p terhadap t.

Atau kemiringan dari fungsi apapun., bisa P(t), A(t), dsb

belajar­kalkulus.blogspot.com              Halaman 8 dari 10 halaman

01 ­ Apa sih turunan itu?

Demikian juga dengan fungsi percepatan

Gambar 20

Dibaca p dobel aksen t, ini adalah simbol dari turunan kedua dari sebuah

fungsi. Turunan pertamanya adalah  , yang dibaca p aksen t.

Turunan pertama berarti jika saya punya sebuah fungsi, carilah kemiringannya, maka kita akanmendapatkan turunan pertama. Turunan kedua berati cari turunan pertama dari fungsi, lalu carilagi kemiringannya, sehingga total ada dua kali penurunan, maka kita akan mendapatkan turunankedua dari fungsi tersebut.

Gambar 21

Seperti pada gambar 21, grafik percepatan merupakan turunan kedua dari grafik posisi,sedangkan grafik kecepatan merupakan turunan pertama dari grafik posisi.

dibaca d kuadrat p dt kuadrat, merupakan notasi dari turunan kedua dari

belajar­kalkulus.blogspot.com              Halaman 9 dari 10 halaman

01 ­ Apa sih turunan itu?

sebuah fungsi selain  .

Gambar 22

Jika anda mempunyai grafik seperti gambar 22, anda bisa menentukan turunan dari beberapakurva, tetapi tidak untuk titik tertentu seperti pada bagian yang diberi “Deriv not defined”. Inidisebabkan karena deravatif hanya bisa ditentukan untuk kurva yang mulus. Anda tidak bisamenentukan derivatif dari kurva yang tidak mulus (diskontinyu), atau kurva yang sangat tajam.Karena tentu saja titik puncak kurva tersebut tidak dapat diketahui kemiringannya, oleh karena itufungsi semacam ini tidak bisa diturunkan.

belajar­kalkulus.blogspot.com              Halaman 10 dari 10 halaman