01 la regla del trapecio
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MÉTODOS NUMÉRICOS
CAPÍTULO 6: INTEGRACIÓN
NUMÉRICA.
LA REGLA DEL TRAPECIO.
Ing. Willians Medina.
Maturín, Junio de 2015.
Capítulo 6. Integración Numérica. La regla del trapecio.
Métodos Numéricos. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 1
PRESENTACIÓN.
La presente es una Guía de Ejercicios de Métodos Numéricos para estudiantes de
Ingeniería, Ciencia y Tecnología dictada en las carreras de Ingeniería Ambiental, Civil, de
Computación, Eléctrica, Electrónica, Industrial, Mecánica, de Petróleo, de Sistemas y
Química de reconocidas Universidades en Venezuela.
El material presentado no es en modo alguno original, excepto la inclusión de las
respuestas a ejercicios seleccionados y su compilación en atención al contenido
programático de la asignatura y al orden de dificultad de los mismos.
Dicha guía ha sido elaborada tomando como fuente las guías de ejercicios y
exámenes publicados en su oportunidad por Profesores de Métodos Numéricos para
Ingenieros en los núcleos de Monagas y Anzoátegui de la Universidad de Oriente, además
de la bibliografía especializada en la materia y citada al final de cada capítulo, por lo que el
crédito y responsabilidad del autor sólo consiste en la organización y presentación en forma
integrada de información existente en la literatura.
Adicionalmente es conveniente mencionar que este trabajo ha sido realizado con
fines estrictamente académicos y su uso y difusión por medios impresos y electrónicos es
libre, no representando ningún tipo de lucro para el autor.
Finalmente, se agradece infinitamente la dispensa y atención a esta modesta
contribución en la enseñanza y aprendizaje de los Métodos Numéricos, así como las
sugerencias que tengan a bien para mejorar este trabajo, las cuales pueden hacer llegar
directamente a través de los teléfonos: +58-424-9744352 ó +58-426-2276504, PIN:
2736CCF1 ó 7A264BE3, correo electrónico: [email protected] ó
[email protected], twitter: @medinawj ó personalmente en la sección de Matemáticas,
Universidad de Oriente, Núcleo de Monagas.
Ing. Willians Medina.
Capítulo 6. Integración Numérica. La regla del trapecio.
Métodos Numéricos. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 2
ACERCA DEL AUTOR.
Willians Medina es Ingeniero Químico, egresado de la Universidad de Oriente,
Núcleo de Anzoátegui, Venezuela. Durante el transcurso de su carrera universitaria se
desempeñó como preparador docente en el área de Laboratorio de Química I y
Termodinámica Aplicada de la carrera de Ingeniería Química de la referida Universidad.
En el año 1996 ingresó a la Industria Petrolera Venezolana, Petróleos de Venezuela
(PDVSA), desempeñando el cargo de Ingeniero de Procesos en la Planta de Producción de
Orimulsión, en Morichal, al sur del Estado Monagas hasta el año 1998, momento en el cual
comenzó su desempeño en la misma corporación como Ingeniero de Manejo de Gas en el
Complejo Operativo Jusepín, al norte del Estado Monagas hasta finales del año 2000.
Durante el año 2001 formó parte del Plan Integral de Adiestramiento (PIA) en San Tomé,
Estado Anzoátegui, donde recibió cursos de preparación integral en las áreas de producción
y manejo de petróleo y gas, pasando finalmente a la Gerencia de Manejo de Gas del Norte
del Estado Monagas, en la localidad de Punta de Mata, siendo responsable del tratamiento
químico anticorrosivo de gasoductos de la zona de producción de petróleo y gas hasta
finales del año 2002. Desde el año 2006, forma parte del Staff de Profesores de
Matemáticas, adscrito al Departamento de Ciencias, Unidad de Cursos Básicos del Núcleo
de Monagas de la Universidad de Oriente (UDO), cargo en el cual ha dictado asignaturas
tales como Matemáticas I (Cálculo Diferencial), Matemáticas II (Cálculo Integral),
Matemáticas III (Cálculo Vectorial), Matemáticas IV (Ecuaciones diferenciales), Métodos
Numéricos, Termodinámica y Fenómenos de Transporte para estudiantes de Ingeniería. Es
autor de compendios de ejercicios propuestos y formularios en el área de Matemáticas,
Física, Química, Mecánica Vectorial, Métodos Numéricos, Termodinámica, Estadística,
Diseño de Experimentos, Fenómenos de Transporte, Mecánica de los Fluidos e Ingeniería
Económica. Es miembro del Colegio de Ingenieros de Venezuela.
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6.1.- GENERALIDADES.
Con frecuencia surge la necesidad de evaluar la integral definida de una función que
no tiene una antiderivada explícita o cuya antiderivada tiene valores que no son fácilmente
obtenibles. El método básico involucrado para aproximar b
axdxf )( se conoce como
cuadratura numérica y usa una suma del tipo
n
i
ii xfa0
)( para aproximar b
axdxf )( .
Los métodos de cuadratura que discutiremos en esta sección se basan en los
polinomios interpolantes dados en el capítulo 3. Para comenzar, primero seleccionamos un
conjunto de nodos distintos },,,{ 110 nn xxxx de un intervalo a ],[ ba . Si nP es el
polinomio interpolante de Lagrange
n
i
iin xfxLxP0
)()()( (3.14)
Entonces:
!)1(
))(()()()()(
)1(
00
n
xfxxxfxLxf
nn
i
i
n
i
ii
(3.18)
Integramos nP y su término de error de truncamiento sobre ],[ ba para obtener la fórmula
de cuadratura
b
a
nn
i
i
b
an
b
axd
n
xfxxxdxPxdxf
!)1(
))(()()()(
)1(
0
b
a
nn
i
i
b
a
n
i
ii xdn
xfxxxdxfxL
!)1(
))(()()()(
)1(
00
b
a
nn
i
i
n
i
ii xdxfxxn
xfa ))(()(!)1(
1)( )1(
00
donde )(x está en ],[ ba para cada x y b
aii xdxLa )( , para ni ,,1,0
6.2.- FÓRMULAS DE INTEGRACIÓN DE NEWTON – COTES.
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Las fórmulas de Newton – Cotes son los tipos de integración numérica más
comunes. Se basan en la estrategia de reemplazar una función complicada o datos tabulados
por un polinomio de aproximación que es fácil de integrar:
b
an
b
axdxPxdxfI )()( (6.1)
donde )(xPn = un polinomio de la forma
n
n
n
nn xaxaxaxaaxP
1
1
2
210)(
donde n es el grado del polinomio. Por ejemplo, en la figura 6.1a se utiliza un polinomio de
primer grado (una línea recta) como aproximación. En la figura 6.1b, se emplea una
parábola con el mismo propósito.
(a) (b)
Figura 6.1. La aproximación de una integral mediante el área bajo a) una sola línea recta y b) una parábola.
La integral también se puede aproximar usando un conjunto de polinomios
aplicados por pedazos a la función o datos, sobre segmentos de longitud constante. Por
ejemplo, en la figura 6.2, se usan segmentos de línea recta para aproximar la integral.
Aunque pueden utilizarse polinomios de grado superior con los mismos propósitos.
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Figura 6.2. La aproximación de una integral mediante el área bajo tres segmentos de línea recta.
Existen formas cerradas y abiertas de las fórmulas de Newton – Cotes. Las formas
cerradas son aquellas donde se reconocen datos al inicio y al final de los límites de
integración (figura 6.3a). Las formas abiertas tienen límites de integración que se extienden
más allá del intervalo de los datos (figura 6.3b).
(a) (b)
Figura 6.3. La diferencia entre las fórmulas de integración a) cerradas y b) abiertas.
Por lo general, las formas abiertas de Newton – Cotes no se usan para integración definida.
Sin embargo, se utilizan para evaluar integrales impropias y para obtener la solución de
ecuaciones diferenciales ordinarias. Este capítulo se enfatiza las formas cerradas. No
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obstante, se presenta brevemente una introducción a las formulas abiertas de Newton –
Cotes.
Fórmulas cerradas de Newton – Cotes de grado superior.
Algunas de las fórmulas se resumen en la tabla siguiente, junto con el error de
truncamiento.
Segmentos Puntos Nombre Fórmula Error de
truncamiento
1 2 Método
del
trapecio 2
)()()( 10 xfxf
ab
)(3
121 fh
2 3
Regla
de
Simpson
1/3 6
)()(4)()( 210 xfxfxf
ab
)()4(5
901 fh
3 4
Regla
de
Simpson
3/8 8
)()(3)(3)()( 3210 xfxfxfxf
ab
)()4(5
803 fh
4 5 Regla
de
Boole 90
)(7)(32)(12)(32)(7)( 43210 xfxfxfxfxf
ab
)()6(7
9458 fh
5 6 288
)(19)(75)(50)(50)(75)(19)( 543210 xfxfxfxfxfxf
ab
)()6(7
12096275 fh
Fórmulas abiertas de Newton – Cotes de grado superior.
Segmentos Puntos Nombre Fórmula Error de
truncamiento
2 1
Método
del
punto
medio
)()( 1xfab )(3
31 fh
3 2
2
)()()( 21 xfxf
ab
)(3
43 fh
4 3
3
)(2)()(2)( 321 xfxfxf
ab
)()4(5
4514 fh
5 4
24
)(11)()()(11)( 4321 xfxfxfxf
ab
)()4(5
14495 fh
6 5 20
)(11)(14)(26)(14)(11)( 54321 xfxfxfxfxf
ab
)()6(7
14041 fh
Así, no sólo permite la evaluación de datos con segmentos desiguales. De esta manera,
representa un algoritmo básico, para todo propósito en la determinación de la integral de
datos tabulados.
6.3.- LA REGLA DEL TRAPECIO.
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La regla del trapecio es la primera de las fórmulas cerradas de integración de
Newton – Cotes. Corresponde al caso donde el polinomio de la ecuación (6.1) es de primer
grado.
b
a
b
axdxPxdxfI )()( 1
Para derivar la regla del trapecio para aproximar b
axdxf )( , sean ax 0 , bx 1 ,
abh . Usando el polinomio de interpolación de Lagrange de primer grado:
)()()( 1
01
0
0
10
11 xf
xx
xxxf
xx
xxxP
(3.16)
Por lo tanto,
1
0
)()()( 1
01
0
0
10
1x
x
b
axdxf
xx
xxxf
xx
xxxdxf
Al efectuar la integración:
1
0
)()(2
)()(
)(2
)()( 1
01
2
0
0
10
2
1
x
x
b
axf
xx
xxxf
xx
xxxdxf
Al aplicar el teorema fundamental del cálculo:
)()(2
)()(
)(2
)()( 0
10
2
10
1
01
2
01 xfxx
xxxf
xx
xxxdxf
b
a
)(2
)(2
0
10
1
01 xfxx
xfxx
)(2
)(2
0
01
1
01 xfxx
xfxx
)]()([2
01
01 xfxfxx
ó
)]()([2
)( 10 xfxfh
xdxfb
a (6.2)
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La razón por la cual esta fórmula se llama la regla del trapecio es que, cuando f es una
función con valores positivos, b
axdxf )( se puede aproximar calculando el área del
trapecio mostrado en la figura 6.4.
Figura 6.4. Representación gráfica de la regla del trapecio.
Error de la regla del trapecio.
Cuando empleamos la integral bajo un segmento de línea recta para aproximar la integral
bajo una curva, obviamente se tiene un error que puede ser importante (Figura 6.5).
Figura 6.5. Ilustración de la importancia del error en una sola aplicación de la regla del trapecio.
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Una estimación al error de truncamiento local para una sola aplicación de la regla del
trapecio se deduce a continuación.
Aplicando el término del error para un polinomio interpolante de Lagrange (Ecuación
3.19):
n
i
i
n
a xxn
xf
0
)1(
)(!)1(
))(( (3.19)
Para un polinomio interpolante de Lagrange de grado 1 ( 1n ).
)()(2
))((10 xxxx
xfa
1
0
x
xat xdE
1
0
)()(2
))((10
x
xxdxxxx
xf
1
0
)()(2
))((10
x
xxdxxxx
xf
1
0
])([2
))((1010
2x
xxdxxxxxx
xf
1
0
10
210
3
2
)(
32
))((x
x
xxxxxxxxf
)()(
2
)(
32
))((0110
2
0
2
1
10
3
0
3
1 xxxxxxxxxxxf
1
2
0
2
10
1
2
0
3
1
3
0
2
10
3
0
3
1
2222332
))((xxxx
xxxxxxxxxf
22662
))(( 1
2
0
2
10
3
0
3
1 xxxxxxxf
6
33
2
))(( 1
2
0
2
10
3
0
3
1 xxxxxxxf
)33(12
))(( 3
0
2
101
2
0
3
1 xxxxxxxf
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3
01 )(12
))((xx
xfEt
ó
))((12
)( 3
xfab
Et
(6.3)
donde está en algún lugar en el intervalo de a a b. La ecuación (6.3) indica que si la
función sujeta a integración es lineal, la regla del trapecio será exacta. Nótese que la regla
del trapecio dará el resultado exacto cuando se aplique a cualquier función cuya segunda
derivada sea idénticamente cero, o sea, cualquier polinomio de grado uno o menor. De otra
manera, para funciones con derivadas de segundo orden y de orden superior (es decir, con
curvatura), puede ocurrir algún error.
Ejemplo 6.1.
[WM] Use la regla del trapecio para aproximar
3
1
2 )( xdex x. Compare la aproximación
con el valor real y encuentre una cota para el error, si esto es posible.
Solución.
3
1
2 )( xdex x
1a
3b
xexxf 2)(
Aplicando la ecuación 6.2.
)]()([2
)( 10 xfxfh
xdxfb
a (6.2)
10 ax
31 bx
213 abh
6321206.01)1()1()( 1)1(2
0 eefxf
9502129.89)3()3()( 3)3(2
1 eefxf
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La gráfica de estos puntos se ilustra en la figura 6.6.
Figura 6.6. Representación gráfica del empleo de una sola aplicación de la regla del trapecio para aproximar
la integral de xexxf 2)( de 1x a 3x .
Valor aproximado de la integral (Área rayada en la figura 6.6).
)9502129.86321206.0(2
2)(
3
1
2 xdex x
5823335.9
Valor exacto de la integral (Área sombreada en la figura 6.6).
3
1
3
31
3
1
2 )( xx exxdex
])1([])3([ )1(3
31)3(3
31 ee
1
3139 ee
13
326 ee
3485742.8
Error absoluto de aproximación.
aproximadoValor exactoValor t
5823335.93485742.8
2337593.1
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Cota de error.
))((12
)( 3
xfab
Et
(6.3)
La segunda derivada de la función xexxf 2)( es xexf 2)( . Al evaluar en 1x
y en 3x tenemos:
6321206.12)1( 1 ef
9502129.12)3( 3 ef
9502129.112
)13( 3
tE
3001420.1
Observamos que la estimación se encuentra entre los límites del error.
Cálculo de integrales definidas mediante la calculadora.
Algunas calculadoras científicas modernas disponen de la opción para calcular
numéricamente integrales definidas, tales como la CASIO fx-570ES PLUS. En este sentido
conviene conocer la secuencia de teclas que se deben presionar para obtener el valor
numérico de la integral.
El procedimiento es el siguiente:
Encender la calculadora presionando la tecla ON.
Presionar la tecla ʃ. El display muestra:
xd R Math
Ingresar la función teniendo en cuenta que la “x” se ingresa presionando las teclas ALPHA
). Para ingresar la función xexxf 2)( , la secuencia de teclas es:
ALPHA , ) , 2x , – , SHIFT , ln , (–) , ALPHA , ). El display muestra:
xdex x2
R Math
Ingresar el límite inferior de integración. Presionar la tecla e introducir el valor 1.
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1
2 xdex x R Math
Ingresar el límite superior de integración. Presionar la tecla e introducir el valor 3.
3
1
2 xdex x R Math
Presionar la tecla =. Al cabo de unos segundos, la calculadora muestra en el display:
3
1
2 xdex x R Math
8.348574294
De esta manera hemos determinado el valor numérico exacto de la integral.
Ejemplo 6.2.
[WM] Use la tabla de abajo para encontrar una aproximación a 5.1
1.1xde x
.
x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 xe 3.0042 3.3201 3.6693 4.0552 4.4817
Compare la aproximación con el valor real y encuentre una cota para el error, si esto es
posible.
Solución.
5.1
1.1xde x
1.1a
5.1b
xexf )(
Aplicando la ecuación 6.2.
)]()([2
)( 10 xfxfh
xdxfb
a (6.2)
1.10 ax
5.11 bx
4.01.15.1 abh
0042.3)1.1()( 0 fxf
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4817.4)5.1()( 1 fxf
La gráfica de estos puntos se ilustra en la figura 6.7.
Figura 6.7. Representación gráfica del empleo de una sola aplicación de la regla del trapecio para aproximar
la integral de xexf )( de 1.1x a 5.1x .
Valor aproximado de la integral.
)4817.40042.3(2
4.05.1
1.1 xde x
4971800.1
Valor exacto de la integral.
5.1
1.1
5.1
1.1
xx exde
1.15.1 ee
4775230.1
Error absoluto de aproximación.
aproximadoValor exactoValor t
4971800.14775230.1
0196570.0
Cota de error.
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))((12
)( 3
xfab
Et
(6.3)
La segunda derivada de la función xexf )( es xexf )( . Al evaluar en 1.1x y en
5.1x tenemos:
0042.3)1.1( 1.1 ef
4817.4)5.1( 5.1 ef
4817.412
)1.15.1( 3
tE
0239024.0
Observamos que la estimación se encuentra entre los límites del error.
Ejemplo 6.3.
[BF, WM] Dada la función f en los valores tabulados abajo:
x 1.8 2.0 2.2 2.4 2.6
)(xf 3.12014 4.42569 6.04241 8.03014 10.46675
Aproxime 6.2
8.1)( xdxf usando la regla del trapecio.
Solución.
6.2
8.1)( xdxf
8.1a
6.2b
Aplicando la ecuación 6.2.
)]()([2
)( 10 xfxfh
xdxfb
a (6.2)
8.10 ax
6.21 bx
8.08.16.2 abh
12014.3)8.1()( 0 fxf
46675.10)6.2()( 1 fxf
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Valor aproximado de la integral.
)46675.1012014.3(2
8.0)(
6.2
8.1 xdxf
4347560.5
Ejercicios propuestos.
1. [BF, CC] Use la regla del trapecio para aproximar las integrales siguientes. Compare la
aproximación con el valor real y encuentre una cota del error en cada caso, si esto es
posible.
a) 2
1ln xdx b)
1.0
0
3
1
xdx c) 3/
0
2)sen (
xdx
d) 4.0
2.0
3 2cos xdxe x e)
4/
0tan
xdx f) 4/3
2/cot
xdx
g)
5.1
0
1)1( xdx h)
3
0)1( xde x
i) 4
2
52 )41( xdxxx
j) 2/
0)sen 48(
xdx k) 1
0
215 xdx l)
0)sen 35( xdx
2. [CC] Evalúe la integral 5.0
0)( xdxf de los siguientes datos tabulados usando la regla del
trapecio:
x 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
)(xf 1 7 4 3 5 2
3. [CC] Evalúe la integral 11
3)( xdxf de los siguientes datos tabulados usando la regla del
trapecio:
x –3 –1 1 3 5 7 9 11
)(xf 1 –4 –9 2 4 2 6 –3
La regla del trapecio de aplicación múltiple.
Una forma de mejorar la precisión de la regla del trapecio consiste en dividir el
intervalo de integración de a a b en varios segmentos, y aplicar el método a cada uno de
ellos (Figura 6.8). Las áreas de los segmentos se suman después para obtener la integral en
todo el intervalo. Las ecuaciones resultantes se llaman fórmulas de integración, de
aplicación múltiple o compuestas.
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Figura 6.8. Ilustración de la regla del trapecio de aplicación múltiple. a) Dos segmentos, b) tres segmentos, c)
cuatro segmentos y d) cinco segmentos.
La figura 6.9 muestra el formato general y la nomenclatura que usaremos para
obtener integrales de aplicación múltiple.
Hay 1n puntos igualmente espaciados },,,{ 110 nn xxxx . En consecuencia, existen n
segmentos del mismo ancho:
n
abh
(6.4)
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Figura 6.9. Formato general y nomenclatura para integrales de aplicación múltiple.
Si a y b se designan como 0x y nx , respectivamente, la integral completa se representará
como
n
n
x
x
x
x
x
x
b
axdxfxdxfxdxfxdxf
1
2
1
1
0
)()()()(
Sustituyendo la regla del trapecio en cada integral se obtiene
2
)()(
2
)()(
2
)()()( 12110 nn
b
a
xfxfh
xfxfh
xfxfhxdxf
(6.5)
o, agrupando términos,
)]()(2)([2
)(1
1
0 n
n
i
i
b
axfxfxf
hxdxf
(6.6)
o, usando la ecuación 6.4
)]()(2)([2
)(1
1
0 n
n
i
i
b
axfxfxf
n
abxdxf
promedio Altura
1
1
0
Ancho2
)()(2)(
)()(n
xfxfxf
abxdxfn
n
i
ib
a
(6.7)
Como la sumatoria de los coeficientes de )(xf en el numerador dividido entre n2 es igual
a 1, la altura promedio representa el promedio ponderado de los valores de la función. De
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acuerdo con la ecuación (6.7), a los puntos interiores se les da el doble de peso que a los
dos puntos extremos )( 0xf y )( nxf .
Algoritmo de la regla del trapecio de aplicación múltiple.
Para aproximar b
axdxfI )( :
ENTRADA: puntos extremos a, b; entero positivo n.
SALIDA: aproximación XI de I.
Paso 1 Tomar n
abh
Paso 2 Tomar )()(0 bfafXI
).)( de Suma(;01 ixfXI
Paso 3 Para 1,,1 ni seguir los pasos 4 y 5.
Paso 4 Tomar hiax
Paso 5 )(11 XfXIXI
Paso 6 Tomar 2/)120( XIXIhXI
Paso 7 SALIDA ( XI )
PARAR.
Error de la regla del trapecio de aplicación múltiple.
Se tiene un error con la regla del trapecio de aplicación múltiple al sumar los errores
individuales de cada segmento, así
n
i
t xfn
abE
13
3
))((12
)( (6.8)
donde ))(( xf es la segunda derivada en un punto i , localizado en el segmento i. Este
resultado se simplifica al estimar la medida o valor promedio de la segunda derivada en
todo el intervalo como n
xf
f
n
i
1
))((
.
Por lo tanto, la ecuación 6.8 se escribe como
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fn
abEa
2
3
12
)( (6.9)
El valor promedio de la segunda derivada en todo el intervalo se puede escribir como
ab
xdxff
b
a
)(
Ejemplo 6.4.
[WM] Use la regla del trapecio compuesta con 8n para aproximar
3
1
2 )( xdex x .
Compare la aproximación con el resultado exacto.
Solución.
3
1
2 )( xdex x
1a
3b
xexxf 2)(
Aplicando la ecuación 6.7.
n
xfxfxf
abxdxfn
n
i
ib
a 2
)()(2)(
)()(
1
1
0
(6.7)
10 ax
3 bxn
25.08
13
n
abh
Se debe evaluar la función desde 1x hasta 3x con un paso de 25.0h . Los resultados
se muestran en la tabla siguiente:
i x xexxf 2)(
0 1.00 0.6321206
1 1.25 1.2759952
2 1.50 2.0268698
3 1.75 2.8887261
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4 2.00 3.8646647
5 2.25 4.9571008
6 2.50 6.1679150
7 2.75 7.4985721
8 3.00 8.9502129
La gráfica de estos puntos se ilustra en la figura 6.10.
Figura 6.10. Representación gráfica del empleo de la regla del trapecio de aplicación múltiple con n = 8 para
aproximar la integral de xexxf 2)( de 1x a 3x .
La tabla anterior se completa con una columna que incorpore el doble del valor de la
función en los puntos intermedios:
i x xexxf 2)( )(2 xf
0 1.00 0.6321206
1 1.25 1.2759952 2.5519904
2 1.50 2.0268698 4.0537397
3 1.75 2.8887261 5.7774521
4 2.00 3.8646647 7.7293294
5 2.25 4.9571008 9.9142016
6 2.50 6.1679150 12.3358300
7 2.75 7.4985721 14.9971443
8 3.00 8.9502129
Total 57.3596875
Valor aproximado de la integral.
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)8(2
9502129.83596875.576321206.0)13()(
3
1
2
xdex x
16
66.94202102
3677526.8
Error absoluto de aproximación.
aproximadoValor exactoValor t
3677526.83485742.8
0191784.0
El error de aproximación es menor que cuando se utiliza la regla del trapecio en un solo
intervalo.
Ejemplo 6.5.
[WM] Use la tabla de abajo para encontrar una aproximación a 5.1
1.1xde x
.
x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 xe 3.0042 3.3201 3.6693 4.0552 4.4817
Use la regla del trapecio con 2n y 4n . Compare la aproximación con el resultado
exacto.
Solución.
5.1
1.1xde x
1.1a
5.1b
xexf )(
Aplicando la ecuación 6.7.
n
xfxfxf
abxdxfn
n
i
ib
a 2
)()(2)(
)()(
1
1
0
(6.7)
1.10 ax
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5.11 bx
Aplicación de la regla del trapecio con 2n .
2.02
1.15.1
n
abh
Se debe evaluar la función desde 1.1x hasta 5.1x con un paso de 2.0h . Los
resultados están mostrados en la tabla siguiente.
x 1.1 1.3 1.5 xe 3.0042 3.6693 4.4817
Obsérvese que se han tomado de la tabla dada en el planteamiento del problema sólo los
valores de x espaciados en 0.2 que delimitan 2 intervalos dentro de los límites de
integración (1.1 – 1.5). En caso de no disponerse de la tabla, procederíamos como en el
ejemplo 6.5 puesto que es conocida la función que genera los datos de la tabla, xexf )( .
La gráfica de estos puntos se ilustra en la figura 6.11.
Figura 6.11. Representación gráfica del empleo de la regla del trapecio de aplicación múltiple con n = 2 para
aproximar la integral de xexf )( de 1.1x a 4.1x .
Valor aproximado de la integral.
Utilizando los datos seleccionados:
)2(2
4817.4)6693.3(20042.3)1.15.1(
5.1
1.1
xde x
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4
14.82454.0
4824500.1
Error absoluto de aproximación.
aproximadoValor exactoValor t
4824500.14775230.1
0049270.0
Aplicación de la regla del trapecio con 4n .
1.04
1.15.1
n
abh
Se debe evaluar la función desde 1.1x hasta 5.1x con un paso de 1.0h . Los
resultados están mostrados en la tabla proporcionada.
La gráfica de estos puntos se ilustra en la figura 6.12.
Figura 6.12. Representación gráfica del empleo de la regla del trapecio de aplicación múltiple con n = 4 para
aproximar la integral de xexf )( de 1.1x a 4.1x .
Valor aproximado de la integral.
Utilizando los datos de la tabla proporcionada:
)4(2
4817.4)0552.46693.33201.3(20042.3)1.15.1(
5.1
1.1
xde x
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8
4.4817(11.0446)23.00424.0
8
29.57514.0
4787550.1
Error absoluto de aproximación.
aproximadoValor exactoValor t
4787550.14775230.1
0012320.0
Obsérvese que al aumentar el número de segmentos, disminuye el error absoluto de
aproximación.
Existen infinitas posibilidades en cuanto al número de segmentos para determinar el valor
de la integral 5.1
1.1xde x
, puesto que se conoce la función y no estamos limitados a los datos
proporcionados en la tabla dada en el planteamiento del problema. En caso de especificarse
por ejemplo, 5n procederíamos como en el ejemplo 6.5 con la función xexf )( ,
1.1a , 5.1b y 5n .
Ejemplo 6.6.
[BF, WM] Dada la función f en los valores tabulados abajo:
x 1.8 2.0 2.2 2.4 2.6
)(xf 3.12014 4.42569 6.04241 8.03014 10.46675
Aproxime 6.2
8.1)( xdxf usando la regla del trapecio compuesta.
Solución.
6.2
8.1)( xdxf
8.1a
6.2b
Puesto que los extremos (1.8 – 2.6) incluyen entre ellos tres puntos, tenemos un total de
cinco puntos. La subdivisión es entonces de cuatro intervalos, por lo cual 4n .
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Adicionalmente observamos que el paso en este caso es 2.0h , pues es la diferencia
constante entre dos x consecutivos.
Aplicando la ecuación 6.7.
n
xfxfxf
abxdxfn
n
i
ib
a 2
)()(2)(
)()(
1
1
0
(6.7)
8.10 ax
6.2 bxn
Se debe evaluar la función desde 8.1x hasta 6.2x con un paso de 2.0h . Los
resultados están mostrados en la tabla proporcionada.
Valor aproximado de la integral.
Utilizando los datos:
)4(2
46675.10)03014.804241.642569.4(212014.3)8.16.2()(
6.2
8.1
xdxf
8
10.46675(18.49824)23.120148.0
8
50.583378.0
058337.5
Para resolver este ejemplo 6.6, se pudieron tomar también 2 intervalos con 4.0h y los
puntos que se indican a continuación:
x 1.8 2.2 2.6
)(xf 3.12014 6.04241 10.46675
En cuyo caso el valor de la integral, de acuerdo con la ecuación 6.7 es:
)2(2
46675.10)04241.6(212014.3)8.16.2()(
6.2
8.1
xdxf
4
25.671718.0
134342.5
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No existe otra posibilidad en cuanto al número de segmentos para determinar el valor de la
integral 6.2
8.1)( xdxf , puesto que no se conoce la función y estamos limitados a los datos
proporcionados en la tabla dada en el planteamiento del problema.
Como regla general, si se debe utilizar la regla del trapecio de aplicación múltiple, cuando
se da una tabla de valores sin especificar la función a integrar (integrando), el número de
segmentos indicados para aproximar b
axdxf )( debería ser un múltiplo del número de
segmentos que dividen los datos de la tabla dada en el intervalo ],[ ba , a menos que se
deseen aplicar métodos de interpolación como los indicados en el capítulo 5, lo cual
representa un trabajo laborioso, ajeno a los objetivos de este manual. Como ejemplo, si
tenemos 11 datos incluyendo los límites de integración, éstos proporcionan 10 segmentos.
Podríamos aplicar el método de los trapecios en 1, 2, 5 y 10 segmentos. Evidentemente, los
límites de integración son los mismos, pero el espaciamiento (h) es diferente en cada caso.
Ejemplo 6.7.
Considere 4/
0tan
xdx .
a) Use la regla del trapecio extendida con 4n y 8n para aproximar la integral.
b) Encuentre una cota al error en cada caso de a) y compare las aproximaciones con el valor
real.
c) Determine los valores de n y h necesarios para que la aproximación tenga 10–8
de
precisión.
Solución.
4/
0tan
xdx
0a
4b
xxf tan)(
a) Regla del trapecio extendida con 4n .
Aplicando la ecuación 6.7.
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n
xfxfxf
abxdxfn
n
i
ib
a 2
)()(2)(
)()(
1
1
0
(6.7)
00 ax
7853981634.04 bxn
1963495408.04
04
n
abh
Se debe evaluar la función desde 0x hasta 7853981634.0x con un paso de
1963495408.0h . Los resultados se muestran en la tabla siguiente:
i x xxf tan)(
0 0.0000000000 0.0000000000
1 0.1963495408 0.1989123674
2 0.3926990817 0.4142135624
3 0.5890486225 0.6681786379
4 0.7853981634 1.0000000000
La gráfica de estos puntos se ilustra en la figura 6.13.
Figura 6.13. Representación gráfica del empleo de la regla del trapecio de aplicación múltiple con n = 4 para
aproximar la integral de xxf tan)( de 0x a 4/x .
Valor aproximado de la integral.
Utilizando los datos de la tabla obtenida:
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)4(2
1)6681786379.04142135624.01989123674.0(20)07853981634.0(tan
4/
0
xdx
8
1)281304568.1(207853981634.0
8
562609136.37853981634.0
3497583340.0
Regla del trapecio extendida con 8n .
Aplicando la ecuación 6.7.
n
xfxfxf
abxdxfn
n
i
ib
a 2
)()(2)(
)()(
1
1
0
(6.7)
00 xa
7853981634.04
nxb
20981747704.08
04
n
abh
Se debe evaluar la función desde 0x hasta 7853981634.0x con un paso de
20981747704.0h . Los resultados se muestran en la tabla siguiente:
i x xxf tan)(
0 0.0000000000 0.0000000000
1 0.0981747704 0.0984914034
2 0.1963495408 0.1989123674
3 0.2945243113 0.3033466836
4 0.3926990817 0.4142135624
5 0.4908738521 0.5345111360
6 0.5890486225 0.6681786379
7 0.6872233930 0.8206787908
8 0.7853981634 1.0000000000
La gráfica de estos puntos se ilustra en la figura 6.14.
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Figura 6.14. Representación gráfica del empleo de la regla del trapecio de aplicación múltiple con n = 8 para
aproximar la integral de xxf tan)( de 0x a 4/x .
La tabla anterior se completa con una columna que incorpore el doble del valor de la
función en los puntos intermedios:
i x xxf tan)( )(2 xf
0 0.0000000000 0.0000000000
1 0.0981747704 0.0984914034 0.1969828067
2 0.1963495408 0.1989123674 0.3978247348
3 0.2945243113 0.3033466836 0.6066933672
4 0.3926990817 0.4142135624 0.8284271247
5 0.4908738521 0.5345111360 1.0690222719
6 0.5890486225 0.6681786379 1.3363572758
7 0.6872233930 0.8206787908 1.6413575817
8 0.7853981634 1.0000000000
Total 6.0766651628
Valor aproximado de la integral.
Utilizando los datos de la tabla obtenida:
)8(2
1286.076665160)07853981634.0(tan
4/
0
xdx
16
0766651628.77853981634.0
3473749889.0
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Valor exacto de la integral.
4/
0
4/
0)(seclntan
xxdx
)]0[sec(ln)]4/([secln
1ln2ln
3465735903.0
Error absoluto de aproximación.
aproximadoValor exactoValor t
4n 8n
3497583340.03465735903.0 t 3473749889.03465735903.0 t
3101847.3 4100140.8
b) Cota de error.
fn
abEa
2
3
12
)( (6.9).
Siendo xxf tan)( , entonces xxf 2sec)( y xxxf tansec2)( 2
Valor promedio de la segunda derivada.
ab
xdxff
b
a
)(
0
tansec2
4
4/
0
2
xdxx
7853981634.0
1
273239545.1
4n 8n
)273239545.1()4(12
)0(2
3
4
aE )273239545.1()8(12
)0(2
3
4
aE
3102128.3 4100319.8
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c) fn
abEa
2
3
12
)( (6.9)
Al despejar n de la ecuación anterior.
fE
abn
a
12
)( 3
)273239545.1(1012
)0(8
3
4
25.2267
Se requieren 2268 segmentos como mínimo.
000346295.02268
04
n
abh
000346295.0h
Ejercicios propuestos.
4. [CC] Aproxime las integrales h), i) e j) del problema 1 con la regla del trapecio de
aplicación múltiple, usando 2n , 4n y 6n .
5. [BF] Use la regla del trapecio extendida con el valor indicado de n para aproximar las
siguientes integrales definidas. Compare las aproximaciones con el resultado exacto.
a) 3
1 x
xd; 4n b)
2
0
3 xdx ; 4n c) 3
0
21 xdxx ; 6n
d) 1
0sen xdx ; 6n e)
2
0sen xdxx ; 8n f)
1
0
2 xdex x; 8n
g)
2
0
2 2
xdex x; 8n h)
5.1
0
1)1( xdx ; 10n
6. [CC] Integre la siguiente función de manera analítica 3
0
2 xdex x. Después emplee la
regla del trapecio para integrar numéricamente la función. Use la versión de aplicación
múltiple con 4n . Calcule el error relativo porcentual del resultado numérico.
7. [CC] Integre la siguiente función
2
1
21
xdx
x mediante la regla del trapecio, con
1n , 2n , 3n y 4n . Calcule los errores relativos porcentuales con respecto al
Capítulo 6. Integración Numérica. La regla del trapecio.
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valor verdadero 4.8333 para evaluar la exactitud de las aproximaciones de la regla del
trapecio.
8. Use la regla del trapecio extendida con el valor indicado de h para aproximar las
siguientes integrales definidas. Compare las aproximaciones con el resultado exacto.
a) 3
0
21 xdxx ; 5.0h b) 1
0
2 xdex x ; 125.0h
c)
1
0 1xd
x
e x
; 05.0h
9. [CC] Evalúe la integral 5.0
0)( xdxf de los datos tabulados en el problema 2 usando la
regla del trapecio de aplicación múltiple. Compare resultados.
10. [CC] Evalúe la integral 11
3)( xdxf de los datos tabulados en el problema 3 usando la
regla del trapecio de aplicación múltiple. Compare resultados.
11. [BF] Repetir el ejemplo 6.7 para la integral 4/3
2/cot
xdx .
12. [WM] Determine los valores de n y h necesarios para aproximar
3
1
2 )( xdex x con
10–6
de precisión usando la regla del trapecio compuesta.
13. [BF] Determine los valores de n y h necesarios para aproximar 3
1sen xdxe x
con 10–4
de precisión usando la regla del trapecio compuesta.
14. [BF] Determine los valores de n y h necesarios para aproximar 10
1ln xdx con 10
–4 de
precisión usando la regla del trapecio compuesta.
15. [CC] Integre la siguiente función
1
0
)1(201.0 ]1[)2.1( xdexx x. Observe que el valor
verdadero es 0.602297. Evalúe esta integral con la regla del trapecio de segmento múltiple.
Use una n lo suficientemente grande para que tenga usted 4 cifras significativas de
exactitud. Analice sus resultados.
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RESPUESTA A LOS EJERCICIOS SELECCIONADOS.
6.3.- LA REGLA DEL TRAPECIO.
La regla del trapecio de aplicación simple.
Integral Valor aproximado Valor exacto Error Cota del error.
a) 0.3465736 0.3862944 0.0397208 –0.0833333
b) 0.0232079 0.0348119 0.0116040 0.0008596
c) 0.3926991 0.3070924 0.0856067 –0.1913968
d) 0.3991430 0.4037596 0.0046166 –0.0113432
e) 0.3926991 0.3465736 0.0461255 0.1614910
f) –0.3926991 –0.3465736 0.0461255 –0.1614910
g) 1.0500000 0.9162907 0.1337093 –0.5625000
h) 1.4253194 2.0497871 0.6244677 –2.2500000
i) 2736.000000 576.000000 2160.000000 –22896.000000
j) 15.7079632 16.5663706 0.8584073 –1.2919283
k) 113.0000000 41.3581698 71.6418302 –550.0151918
l) 15.7079632 21.7079632 6.0000000 7.7515692
2. 0.7500000.
3. –14.0000000
La regla del trapecio de aplicación múltiple.
4.
Integral 2n 4n 6n
h) 1.8779645 2.0056580 2.0300730
i) 1359.0000000 786.9375000 671.0000000
j) 16.3586084 16.5148339 16.5434982
5.
Integral Valor aproximado Valor exacto
a) 1.1166667 1.0986123
b) 4.2500000 4.0000000
c) 10.3122012 10.2075922
d) 0.6220085 0.6366198
e) –5.95683320 –6.2831854
f) 0.7288902 0.7182818
g) 0.4215820 0.4227251
h) 0.9178617 0.9162907
6. Valor exacto: 5359919.504416
45 e , Valor aproximado: 630.8784809. Error relativo:
25.0413%
7. Valor exacto: 8333333.4629
1n : Valor aproximado: 5.1250000; Error: 6.0345%
2n : Valor aproximado: 4.9097222; Error: 1.5804%
3n : Valor aproximado: 4.8676852; Error: 0.7107%
Capítulo 6. Integración Numérica. La regla del trapecio.
Métodos Numéricos. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 35
4n : Valor aproximado: 4.8527438; Error: 0.4016%
8.
Integral n Valor aproximado Valor exacto
a) 6 10.3122012 10.207593
b) 8 0.7288902 0.7182818
c) 20 0.5388953 0.5386506
9. 2.0500000
10. 0.0000000.
11. Valor exacto: –0.3465736
a) 4n : –0.3497583, 8n : –0.3473750; b) 3102128.3 tE , 4100319.8 tE ; c)
2268n .
12. 1108n , 001805054.0h .
13. 264n , 001805054.0h .
14. 247n , 60364372469.0h .