01. mỞ ĐẦu vỀ nguyÊn hÀm - chuyên Đề Ôn thi · i x dx x d x i c= + = + + → = +∫...

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân

Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 1

I. NHẮC LẠI KHÁI NIỆM VỀ VI PHÂN CỦA HÀM SỐ

Vi phân của hàm số y = f(x) được kí hiệu là dy và cho bởi công thức = = =( ) ' '( )dy df x y dx f x dx

Ví dụ:

� d(x2 – 2x + 2) = (x2 – 2x + 2)′dx = (2x – 2)dx

� d(sinx + 2cosx) = (sinx + 2cosx)′dx = (cosx – 2sinx)dx

��Chú ý: Từ công thức vi phân trên ta dễ dàng thu được một số kết quả sau

� ( ) ( )12 2 22

d x dx dx d x= ⇒ =

� ( ) ( )13 3 33

d x dx dx d x= ⇒ =

� ( ) ( ) ( )2

2 2 21 1 1

2 2 2 2

xxdx d d x d x a d a x

= = = ± = − −

� ( ) ( ) ( )3

2 3 3 31 1 1

3 3 3 3

xx dx d d x d x a d a x

= = = ± = − −

� ( ) ( ) ( )ax1 1 ln ax lnax

d bdx dxd b d x

ax b a b a x

+= = + → =

+ +

� ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )1 1 1sin ax sin ax ax cos ax sin 2 os2 ...2

b dx b d b d b xdx d c xa a

+ = + + = − + → = −

� ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )1 1 1cos cos sin cos2 sin 2 ...2

ax b dx ax b d ax b d ax b xdx d xa a

+ = + + = + → =

� ( ) ( ) ( )ax 2 21 1 1ax ...2

b ax b ax b x xe dx e d b d e e dx d ea a

+ + += + = → =

� ( )

( )( )

( ) ( )2 2 2ax1 1 1

tan tan 2 ...2cos cos cos 2

d bdx dxd ax b d x

a aax b ax b x

+= = + → = + +

� ( )

( )( )

( ) ( )2 2 2ax1 1 1

cot cot 2 ...2sin sin sin 2

d bdx dxd ax b d x

a aax b ax b x

+= = − + → = − + +

II. KHÁI NIỆM VỀ NGUYÊN HÀM

Cho hàm số f(x) liên tục trên một khoảng (a; b). Hàm F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) nếu F’(x) = f(x) và

được viết là ( )f x dx∫ . Từ đó ta có : ( ) ( )f x dx F x=∫ Nhận xét:

Với C là một hằng số nào đó thì ta luôn có (F(x) + C)’ = F’(x) nên tổng quát hóa ta viết ( ) ( )f x dx F x C= +∫ , khi đó F(x) + C được gọi là một họ nguyên hàm của hàm số f(x). Với một giá trị cụ thể của C thì ta được một nguyên hàm của hàm số đã cho. Ví dụ: � Hàm số f(x) = 2x có nguyên hàm là F(x) = x2 + C, vì (x2 + C)’ = 2x � Hàm số f(x) = sinx có nguyên hàm là F(x) = –cosx + C, vì (–cosx + C)’ = sinx

III. CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA NGUYÊN HÀM

Cho các hàm số f(x) và g(x) liên tục và tồn tại các nguyên hàm tương ứng F(x) và G(x), khi đó ta có các tính chất sau:

a) Tính chất 1: ( )( ) ( )f x dx f x′ =∫ Chứng minh:

Tài liệu tham khảo:

01. MỞ ĐẦU VỀ NGUYÊN HÀM Thầy Đặng Việt Hùng



Do F(x) là nguyên hàm của hàm số f(x) nên hiển nhiên ta có ( ) ( )( ) ( ) ( )f x dx F x f x′ ′= = ⇒∫ đpcm. b) Tính chất 2: [ ]( )( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx+ = +∫ ∫ ∫ Chứng minh:

Theo tính chất 1 ta có, ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x dx g x dx f x dx g x dx f x g x′ ′ ′+ = + = +∫ ∫ ∫ ∫ Theo định nghĩa nguyên hàm thì vế phải chính là nguyên hàm của f(x) + g(x).

Từ đó ta có [ ]( )( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx+ = +∫ ∫ ∫ c) Tính chất 3: ( ). ( ) ( ) , 0k f x dx k f x dx k= ∀ ≠∫ ∫ Chứng minh:

Tương tự như tính chất 2, ta xét ( )( ) . ( ) . ( ) ( )k f x dx k f x k f x dx k f x dx′ = → = ⇒∫ ∫ ∫ đpcm. d) Tính chất 4: ( ) ( ) ( ) ..f x dx f t dt f u du= =∫ ∫ ∫

Tính chất trên được gọi là tính bất biến của nguyên hàm, tức là nguyên hàm của một hàm số chỉ phụ thuộc vào hàm, mà không phụ thuộc vào biến.

IV. CÁC CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM

�� Công thức 1: dx x C= +∫

Chứng minh:

Thật vậy, do ( ) 1x C dx x C′+ = ⇒ = +∫ �Chú ý:

Mở rộng với hàm số hợp ( )u u x= , ta được du u C= +∫

�� Công thức 2:n 1

n xx dx Cn 1

+

= ++∫

Chứng minh:

Thật vậy, do 1 1

1 1

n nn nx xC x x dx C

n n

+ +′ + = ⇒ = + + +

∫

�Chú ý:

+ Mở rộng với hàm số hợp ( )u u x= , ta được 1

1

nn uu du C

n

+

= ++∫

+ Với 1

2 2 22 2

dx dx dun x C u C

x x u= − ⇒ = = + ←→ = +∫ ∫ ∫

+ Với 2 2

1 12

dx dun C C

x x u u= − ⇒ = − + ←→ = − +∫ ∫

Ví dụ:

a) 3

2

3

xx dx C= +∫

b) ( )5

4 4 22 25

xx x dx x dx xdx x C+ = + = + +∫ ∫ ∫

c)

1 122 2 2 23 3 3

33 312 2 23

x x x x x x xdx dx xdx x dx C x C

x x

−− = − = − = − + = − +∫ ∫ ∫ ∫

d) ( ) ( ) ( ) ( )5

4 4 2 112 1 2 1 2 1

2 5

nu du xI x dx x d x I C+

= + = + + → = +∫ ∫



e) ( ) ( ) ( ) ( )2011

2010 2010 1 311 3 1 3 1 3

3 2011

nu du xI x dx x d x I C−

= − = − − − → = − +∫ ∫

f) ( )

( )( ) ( )

2

2 2

2 11 1 1 1.

2 2 2 1 2 2 12 1 2 1

du

ud xdx

I I C Cx xx x

+= = → = − + = − +

+ ++ +∫ ∫

g) ( ) ( ) ( )3 3

2 21 1 2 3

4 5 4 5 4 5 . 4 5 4 54 4 3 8

I x dx x d x I x C x C= + = + + ⇒ = + + = + +∫ ∫

�� Công thức 3: lndx

x Cx

= +∫

Chứng minh:

Thật vậy, do ( ) 1ln lndxx C x Cx x

′+ = ⇒ = +∫ �Chú ý:

+ Mở rộng với hàm số hợp ( )u u x= , ta được lndu u Cu

= +∫

+ ( )

1ln 2

1 1 2x 2ln ax1ax ax

ln 22 2

dxx k C

d ax bdx kb Cdxb a b a

k x Ck x

= + ++ += = + + →+ + = − − + −

∫∫ ∫

∫

Ví dụ:

a) 4

3 31 1 1 2 ln4

dx xx dx x dx dx x x C

x xx x

+ + = + + = + + + ∫ ∫ ∫ ∫

b) ( )3 21 1

ln 3 23 2 3 3 2 3

du

ud xdx

I I x Cx x

+= = → = + +

+ +∫ ∫

c) ( )2 2 22 12 3 3 3 32 2 3 ln 2 1

2 1 2 1 2 1 2 2 1 2

d xx x dxdx x dx xdx x x x C

x x x x

++ + = + = + = + = + + + + + + + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

�� Công thức 4: sinx cosdx x C= − +∫

Chứng minh:

Thật vậy, do ( )cos sin x sinx cosx C dx x C′− + = ⇒ = − +∫ �Chú ý:

+ Mở rộng với hàm số hợp ( )u u x= , ta được sinu cosdu u C= − +∫

+ ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1sin ax sin ax ax cos ax sin 2 os22

b dx b d b b C xdx c x Ca a

+ = + + = − + + → = − +∫ ∫ ∫ Ví dụ:

a) ( )3

22 11 1

sinx sinx cos2 1 2 1 2 2 1

d xdxx x dx x xdx dx x dx x

x x x

− + + = + + = − + = − − − ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

5

22 1cos ln 2 1

5 2

xx x C= − + − +

b) ( ) ( )4 33 1 3 1 3sin 2 sin 2 3 sin 2 2 os2 ln 4 34 3 4 3 2 4 4 3 2 4

d xdxx dx xdx xd x c x x C

x x x

− + = + = + = − + − + − − − ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

c) sin sinx sin32

xx dx

+ + ∫

Ta có ( ) ( ) ( ) ( )1 1 12 ; 2 2 2 ; 3 3 32 2 2 2 3

x xd dx dx d d x dx dx d x d x dx dx d x = ⇒ = = ⇒ = = ⇒ =

Từ đó :

( ) ( )1 1sin sinx sin3 sin sin 2 sin3 2 sin sin 2 2 sin3 32 2 2 2 2 3

x x x xx dx dx xdx xdx d xd x xd x

+ + = + + = + + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫



1 12cos os2 os3

2 2 3

xc x c x C= − − − +

�� Công thức 5: cos sinxdx x C= +∫

Chứng minh:

Thật vậy, do ( )in cos cosx inxs x C x dx s C′+ = ⇒ = +∫ �Chú ý:

+ Mở rộng với hàm số hợp ( )u u x= , ta được cosu sindu u C= +∫

+ ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1os ax os ax ax sin ax os2 sin 22

c b dx c b d b b C c xdx x Ca a

+ = + + = + + → = +∫ ∫ ∫ Ví dụ:

a) 4 1 5

cos sin cos sin x 4 sinx cos 4 5ln 11 1

xx x dx xdx dx dx x x x C

x x

− − + = − + − = + + − + + + + ∫ ∫ ∫ ∫

b) ( )21

cos 2 sin x os2 sinx sin 2 cos2 2

xx x dx c xdx dx xdx x x C+ − = + − = − − +∫ ∫ ∫ ∫

c) ( )2 1 os2 1 1 1 1 1 1sin os2 os2 2 sin 22 2 2 2 4 2 4

c xxdx dx c x dx x c xd x x x C

− = = − = − = − +

∫ ∫ ∫ ∫

�� Công thức 6: 2 tancosdx

x Cx

= +∫

Chứng minh:

Thật vậy, do ( ) 2 21

tan tan xcos cos

dxx C C

x x′+ = ⇒ = +∫

�Chú ý:


tan uos

duC

c u= +∫

+ ( )( )

( ) ( )2 2 21 1 1

tan tan 2cos cos cos 2 2

d ax bdx dxax b C x C

ax b a ax b a x

+= = + + → = +

+ +∫ ∫ ∫

Ví dụ:

a) 2 2

1 1cos sin 2 cos sin 2 tan sin cos2

cos cos 2

dxx x dx xdx xdx x x x C

x x + − = + − = + + + ∫ ∫ ∫ ∫

b) ( ) ( )( )

( )( )

2 2 2

2 1 5 41 2 1 22

cos 2 1 5 4 cos 2 1 5 4 2 cos 2 1 4 5 4

d x d xdx dxI dx

x x x x x x

− −= + = + = − − − − − − − ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

( )2os 1 1tan 2 1 ln 5 42 2

du

c u x x C→ = − − − +

c) ( )( )

( ) ( )2os

2 2

3 21 1tan 3 2

cos 3 2 2 cos 3 2 2

du

c ud xdx

I I x Cx x

−= = − → = − − +

− −∫ ∫

�� Công thức 7: 2 cot xsindx

Cx

= − +∫

Chứng minh:

Thật vậy, do ( ) 2 21

cot cot xsin

dxx C C

sin x x′− + = ⇒ = − +∫

�Chú ý:


cot usin

duC

u= − +∫

+ ( )( )

( ) ( )2 2 2ax1 1 1

cot ax cot 2sin ax sin ax sin 2 2

d bdx dxb C x C

b a b a x

+= = − + + → = − +

+ +∫ ∫ ∫

Ví dụ:



a) 6

5 52 2

1 1cos 2 2 cos 2 2 sin 2 cot

sin sin 2 3

dx xx x dx xdx x dx x x C

x x − + = − + = + + + ∫ ∫ ∫ ∫

b) ( )( )

( ) ( ) ( )2sin

2 2

1 31 1 1cot 1 3 cot 1 3

sin 1 3 3 sin 1 3 3 3

du

ud xdx

I I x C x Cx x

−= = − → = − − − + = − + − −∫ ∫

c) 2sin

2 2

22 2cot

2sin sin2 2

du

u

xd

dx xI I C

x x

= = → = − +

∫ ∫

�� Công thức 8: x xe dx e C= +∫

Chứng minh:

Thật vậy, do ( )x x x xe C e e dx e C′+ = ⇒ = +∫ �Chú ý:

+ Mở rộng với hàm số hợp ( )u u x= , ta được u ue du e C= +∫

+ ( )2 2

2 2

11 1 2ax

1

2

x k x k

ax b ax b ax b

k x k x

e dx e Ce dx e d b e C

a ae dx e C

+ +

+ + +

− −

= += + = + → = − +

∫∫ ∫

∫

Ví dụ:

a) ( ) ( )2 1 2 1 2 12 2 231 4 4 1 1

2 1 4.2sin 3 sin 3 2 3 sin 3

x x x d xdxe dx e dx dx e d x xx x xx x

− + − + − + − + = − + = − − + − + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

2 11 1 cot 3 8

2 3xe x x C− += − + + +

b) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 2 3 2 3 24 14 os 1 3 4 os 1 3 3 2 os 1 3 1 33 3

x x xe c x dx e dx c x dx e d x c x d x+ + ++ − = + − = + − − −∫ ∫ ∫ ∫ ∫

( )3 24 1 sin 1 33 3

xe x C+= − − +

�� Công thức 9:ln

xx aa dx C

a= +∫

Chứng minh:

Thật vậy, do ln

ln ln ln

x x xx xa a a aC a a dx C

a a a

′ + = = ⇒ = +

∫

�Chú ý:

+ Mở rộng với hàm số hợp ( )u u x= , ta được u ua du a C= +∫

+ ( )1 1kx m kx m kx ma dx a d kx m a Ck k

+ + += + = +∫ ∫ Ví dụ:

a) ( ) ( ) ( )3 2

3 2 3 2 3 21 1 2 32 3 2 3 2 3 3 23 2 3ln 2 2ln3

ux x

a dux x x x x xI dx dx dx d x d x I C= + = + = + → = + +∫ ∫ ∫ ∫ ∫

b) ( ) ( ) ( )1 2

1 2 4 3 1 2 4 3 1 2 4 3 4 31 3 2 32 2 3 2 1 2 4 32 4 2ln 2 4

xx x x x x x xe dx dx e dx d x e d x e C

−− + − + − + +− = − = − − − + = − + +∫ ∫ ∫ ∫ ∫

BÀI TẬP LUYỆN TẬP:

1) ( )51 2I x x dx= +∫ 2) 3 52 71 3I x dxx = − ∫

3) ( )5 2 3 33 4 2I x x x dx= − +∫



4) 34 251 2

4x

I x dxxx

= − +

∫ 5) 5

1x + dx

xI

= ∫ 6)

4

6 2

2 3xI dx

x

+= ∫

7) ( )2

7

1xI dx

x

−= ∫ 8) ( )

238 2 1I x dx= −∫ 9)

( )229 2

4xI dx

x

+= ∫

10) 4 3 2

10 2

3 2 1x x xI dx

x

+ − += ∫ 11) 2

11

x x x xI dx

x

− −= ∫ 12) 12 31 1

I dxx x

= − ∫

13) 3

13

1I x dx

x

= − ∫ 14)

2

14 3

1I x dx

x

= + ∫ 15)

( )2315

2 3x xI dx

x

−= ∫

16) ( )( )416 2I x x x x dx= − −∫ 17) 17 51(2 3)I dxx= −∫ 18) 18 41

( 3)

xI dx

x

+=−∫

19) 19π

sin2 7

xI dx

= + ∫

20) 20 sin 2 sin 3x

I x dx = + ∫

21) 21 sin 2x

I x dx = + ∫

22) 22π 1

sin 3 sin4 2

xI x dx

+ = + −

∫ 23) 2

23 cos 2

xI dx= ∫ 24)

224 sin 2

xI dx= ∫

26) 26 2cos 4dx

Ix

= ∫ 27) ( )27 2cos 2 1dx

Ix

=−∫

28) ( )228 tan 2I x x dx= +∫

29) 429 tanI x dx= ∫ 30) 2

30 cotI x dx= ∫ 31) ( )31 2sin 2 3dx

Ix

=+∫

32) 32 1 cos6dx

Ix

=−∫

33) 2 233 21

cot dxI x xx

= + + ∫ 34)

234

1dx

3 2I x

x = + + ∫

35) 2351

sin2 5

I x dxx

= − − ∫ 36) 36

2dx

3

xI

x

+=−∫

37) 372 1

4 3

xI dx

x

−=+∫

38) 38 6 5x

I dxx

=−∫

39) 2

39

11

3

x xI dx

x

+ +=+∫

40) 2

40

2 5

1

x xI dx

x

− +=−∫

41) 3 2

41

3 2 1

2

x x xI dx

x

+ + +=+∫

42) 3 2

42

4 4 1

2 1

x xI dx

x

+ −=+∫

43) 2

43

4 6 1

2 1

x xI dx

x

+ +=+∫

44) 2x 344I e dx− += ∫ 45) 3 145 cos(1 ) xI x e dx− = − + ∫ 46)

2 146 .

xI x e dx− += ∫

47) 47 22

sin (3 1)xI e dx

x− = + +

∫ 48) 48 22 cosx

x eI e dxx

− = +

∫ 49) ( )1 2 4 349 2 x xI e dx− += −∫

50) 501

2xI dx= ∫ 51) 51

2

7

x

xI dx= ∫ 52)

2 152 3

xI dx+= ∫



1. Khái niệm nguyên hàm

• Cho hàm số f xác định trên K. Hàm số F được gọi là nguyên hàm của f trên K nếu '( ) ( )F x f x= , ∀x ∈ K

• Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì họ nguyên hàm của f(x) là ( ) ( )f x dx F x C= +∫ , C ∈ R.

• Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.

2. Tính chất

• '( ) ( )f x dx f x C= +∫

• [ ]( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx± = ±∫ ∫ ∫

• ( ) ( ) ( 0)kf x dx k f x dx k= ≠∫ ∫

3. Bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp

• 0dx C=∫

• dx x C= +∫

• 1, ( 1)

1x

x dx C+

= + ≠ −+∫

αα α

α

• 1 lndx x Cx

= +∫

• x xe dx e C= +∫

• (0 1)ln

xx aa dx C a

a= + < ≠∫

• cos sinxdx x C= +∫

• sin cosxdx x C= − +∫

• 21

tancos

dx x Cx

= +∫

• 21

cotsin

dx x Cx

= − +∫

• 1cos( ) sin( ) ( 0)ax b dx ax b C aa

+ = + + ≠∫

• 1sin( ) cos( ) ( 0)ax b dx ax b C aa

+ = − + + ≠∫

• 1 , ( 0)ax b ax be dx e C aa

+ += + ≠∫

• 1 1 lndx ax b Cax b a

= + ++∫

Ví dụ 1. Chứng minh F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) biết rằng

a) ( ) (4 5)

( ) (4 1)

x

xF x x e

f x x e

= −

= − b)

4

5 3( ) tan 3 5

( ) 4 tan 4 tan 3

F x x x

f x x x

= + −

= + +

c)

2

2

2 2

4( ) ln

32

( )( 4)( 3)

xF x

xx

f xx x

+= + − = + +

d)

2

2

2

4

2 1( ) ln

2 12 2( 1)

( )1

x xF x

x xx

f xx

− += + +

− = +

Tài liệu bài giảng:

01. MỞ ĐẦU VỀ NGUYÊN HÀM Thầy Đặng Việt Hùng



Ví dụ 2. Tìm các nguyên hàm sau

1) 21

– 3 ..........................................................................x x dxx

+ = ∫

2)4

2

2 3..................................................................................

xdx

x

+ =∫

3) 2

1...................................................................................

xdx

x

− =∫

4)2 2

2

( 1)..............................................................................

xdx

x

− =∫

5) ( )3 4 ......................................................................................x x x dx+ + =∫

6) 3

1 2...............................................................................dx

x x

− = ∫

7) 22sin .............................................................2

xdx =∫

8) 2tan ............................................................................xdx =∫

9) 2cos ................................................................xdx =∫

10)2 2

1.........................................................................................

sin .cosdx

x x=∫

11)2 2

cos 2....................................................................................................................................

sin .cos

xdx

x x=∫

12) 2sin 3 cos 2 ............................................................................................x xdx =∫

13) ( )– 1 .............................................................................x xe e dx =∫

14)2

2 .......................................................................................cos

xx ee dx

x

− + =

∫

15) 3 12

......................................................................................................................1

x xe dxx

+ + = − ∫

Ví dụ 3. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) thoả điều kiện cho trước:

a) 3( ) 4 5; (1) 3f x x x F= − + = b) π= − =( ) 3 5cos ; ( ) 2f x x F

c) 23 5

( ) ; ( ) 1x

f x F ex

−= = d) 2 1 3

( ) ; (1)2

xf x F

x

+= =

e) −= − =3

21( ) ; ( 2) 0xf x F

x f)

1( ) ; (1) 2f x x x F

x= + = −

g) π= =

( ) sin2 .cos ; ' 03

f x x x F h) 4 3

23 2 5( ) ; (1) 2x xf x F

x

− += =



i) 3 3

23 3 7

( ) ; (0) 8( 1)

x x xf x F

x

+ + −= =+

k) 2π π

( ) sin ;2 2 4

xf x F

= =

Ví dụ 4. Cho hàm số g(x). Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) thoả điều kiện cho trước:

a) π = + = =

2( ) cos ; ( ) sin ; 3

2g x x x x f x x x F

b) π= + = =2( ) sin ; ( ) cos ; ( ) 0g x x x x f x x x F

c) 2( ) ln ; ( ) ln ; (2) 2g x x x x f x x F= + = = −

Ví dụ 5. Tìm điều kiện của tham số để hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x):

a) 3 2

2( ) (3 2) 4 3. .( ) 3 10 4F x mx m x x

Tìm mf x x x

= + + − +

= + − b)

2

2

( ) ln 5. .2 3

( )3 5

F x x mxTìm mx

f xx x

= − ++ = + +

c) 2 2

2

( ) ( ) 4 . , , .( ) ( 2) 4

F x ax bx c x xTìm a b c

f x x x x

= + + −

= − − d)

2( ) ( ) . , , .( ) ( 3)

x

x

F x ax bx c eTìm a b c

f x x e

= + +

= −

e) 2 2

2 2( ) ( ) . , , .( ) (2 8 7)

x

x


f x x x e

−

−

= + +

= − − + f)

2

2( ) ( ) . , , .( ) ( 3 2)

x

x


f x x x e

−

−

= + +

= − +

g) ( ) ( 1)sin sin2 sin3 . , , .2 3( ) cos

b cF x a x x x Tìm a b c

f x x

= + + + =

h)

2

2( ) ( ) 2 3

. , , .20 30 7( )

2 3

F x ax bx c x

Tìm a b cx xf x

x

= + + −

− + = −



CÁC BIỂU THỨC VI PHÂN QUAN TRỌNG

1. ( ) ( ) ( )2 2 21 1 12 2 2

xdx d x d x a d a x= = ± = − − 6. ( ) ( ) ( )2 cot cot cotsindx

d x d x a d a xx

= − = − ± = −

2. ( ) ( ) ( )2 3 3 31 1 13 3 3

x dx d x d x a d a x= = ± = − − 7. ( ) ( ) ( )2

dxd x d x a d a x

x= = ± = − −

3. sin (cos ) (cos ) ( cos )x dx d x d x a d a x= − = − ± = − 8. ( ) ( ) ( )x x x xe dx d e d e a d a e= = ± = − −

4. cos (sin ) (sin ) ( sin )x dx d x d x a d a x= = ± = − − 9. ( ) ( ) ( )ln ln lndx d x d x a d a xx

= = ± = − −

5. ( ) ( ) ( )2 tan tan tancosdx

d x d x a d a xx

= = ± = − − 10. ( ) ( )1 1dx d ax b d b axa a

= + = − −

Ví dụ 1. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

a) 1 21

xI dx

x=

+∫ b) 2 10

2 (1 )I x x dx= +∫ c) 2

3 3 1

x dxI

x=

+∫

Hướng dẫn giải:

a) Sử dụng các công thức vi phân ( ) ( )

( )

22 21 1

2 2 2

ln

xxdx d d x d x a

dud u

u

= = = ±

=

Ta có ( ) ( ) ( )

2 2(ln ) ln

21 12 2 2

11 1 1ln 1 .

2 2 21 1 1

dud u u C

ud x d xx

I dx I x Cx x x

= = ++= = = ←→ = + +

+ + +∫ ∫

∫ ∫ ∫

b) Sử dụng các công thức vi phân

( ) ( )2

2 2

1

1 1

2 2 2

1

nn

xxdx d d x d x a

uu du d

n

+

= = = ±

= +

Ta có ( ) ( ) ( ) ( )112

10 102 2 22

111 1 1 .

2 22

xI x x dx x d x C

+= + = + + = +∫ ∫

c) Sử dụng các công thức vi phân ( )

( )

32 31

3 3

2

xx dx d d x a

dud u

u

= = ±

=

Ta có ( ) ( )3 32 3

3 3 3 3

1 11 2 2 1.

3 3 31 1 2 1

d x d xx dx xI C

x x x

+ + += = = = ++ + +∫ ∫ ∫


a) 24 1I x x dx= −∫ b) 5 2 1dx

Ix

=−∫

c) 6 5 2I x dx= −∫

Tài liệu tham khảo:

02. PP VI PHÂN TÌM NGUYÊN HÀM Thầy Đặng Việt Hùng




a) Sử dụng các công thức vi phân

( ) ( )2

2 2

1

1 1

2 2 2

1

nn

xxdx d d x d a x

uu du d

n

+

= = = − −

= +

Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( )321 1

2 2 2 2 22 24

11 11 1 1 1 .

2 2 3

xI x x dx x d x x d x C

−= − = − = − − − = − +∫ ∫ ∫

b) Sử dụng các công thức vi phân ( ) ( )

( )

1 1ax ax

2

dx d b d ba a

dud u

u

= + = − − =

Ta có ( ) ( ) ( )2

5 5

2 1 2 112 1 .

22 1 2 1 2 2 1

dud u

ud x d xdx

I I x Cx x x

=− −= = = ←→ = − +

− − −∫ ∫ ∫

c) Sử dụng các công thức vi phân

( ) ( )1

1 1ax ax

1

nn

dx d b d ba a

uu du d

n

+

= + = − − = +

( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 3

1 22

6

5 22 5 21 1 15 2 5 2 2 5 2 5 2 . .

2 2 2 3 3

xxI x dx x d x x d x C C

−−⇒ = − = − = − − − = − + = − +∫ ∫ ∫


a) 3

7 5 4

2

5

xI dx

x=

−∫ b) 8 5(3 2 )

dxI

x=

−∫ c)

3

9

ln xI dx

x= ∫


a) Sử dụng các công thức vi phân

( ) ( )4

3 4 4

1

1 1

4 4 4

1

n

n

xx dx d d x a d a x

du ud

nu

− +

= = ± = − −

= − +

( ) ( ) ( ) ( )4

4 444 55134 45

7 5 54 4

5 55 542 1 12 5 5 . .

2 2 4 85 5

xd xxx

I dx x d x C Cx x

−

−− ⇒ = = = − − = + = +

− −∫ ∫ ∫

b) Ta có ( ) ( ) ( )6

5

8 5

3 213 2 3 2 .

(3 2 ) 2 12

xdxI x d x C

x

−= = − − − = − +

−∫ ∫

c) Sử dụng công thức vi phân ( )lndx d xx

= ta được ( )3 4

39

ln lnln ln .

4

x xI dx x d x C

x= = = +∫ ∫


a) ( )10 2010

3

4 2

dxI

x=

−∫ b) 11

cos xI dx

x= ∫ c) 12 cos sinI x x dx= ∫


a) Ta có ( )

( ) ( ) ( )( )

20092010

10 2010 2009

4 23 3 3 34 2 4 2 .

2 2 20094 2 4018 4 2

xdxI x d x C C

x x

−− −= = − − − = − + = +

−− −∫ ∫

b) Sử dụng các công thức vi phân ( )

( )cos sin

2

u du d u

dxd x

x

= =



Ta có ( )11 cos cos2 2 os 2sin .2

x xI dx dx c x d x x C

x x= = = = +∫ ∫ ∫

c) Sử dụng các công thức vi phân ( )( )

cos sin

sin x cos

u du d u

dx d x

=

= −

Ta có ( ) ( ) ( )3

31 22

12

2 cos 2 coscos sin cos cos .

3 3

x xI x x dx x d x C= = − = − = − +∫ ∫


a) 313 sin cosI x x dx= ∫ b) 14 5sin

cos

xI dx

x= ∫ c)

415 sin cosI x xdx= ∫


a) Sử dụng các công thức vi phân ( )

( )sin cos

cos sin

u du d u

x dx d x

= −

=

Ta có ( ) ( ) ( )1 4

3 343

3 41 343 33 13

3 sinx 3 sinsin cos sinx sin

4 4

u du d ux

I x x dx d x I C C

= = = ←→ = + = +∫ ∫

b) Ta có ( ) 4

14 5 5 4

cossin (cos ) 1.

cos cos 4 4cos

xx d xI dx C C

x x x

−

= = − = − + = +−∫ ∫

c) Sử dụng các công thức vi phân

( )1

cos sin

1

nn

x dx d x

uu du d

n

+

=

= +

Khi đó ta được ( )5

4 554 4

15 15

sinsin cos sin sin .

5

uu du d x

I x x dx x d x I C

=

= = ←→ = +∫ ∫


a) 16 tanxI dx= ∫ b) 17 sin 4 cos 4I x x dx= ∫ c) 18sin

1 3cos

x dxI

x=

+∫


a) Sử dụng các công thức sin x (cos )

ln

dx d x

duu C

u

= − = +∫

Ta có ( )

16

cossintan ln cos .

cos cos

d xxdxI x dx x C

x x= = = − = − +∫ ∫ ∫

b) Ta có ( ) ( )171 1

sin 4 cos 4 sin 4 cos4 4 sin 4 sin 44 4

I x x dx x x d x x d x= = =∫ ∫ ∫

( )3

322 sin 41 sin 4. .

4 3 6

x xC C= + = +

c) Ta có ( ) ( )

18

cos 3cos 1sin 1 1ln 1 3cos .

1 3cos 1 3cos 3 1 3cos 3

d x d xx dxI x C

x x x

+= = − = − = − + +

+ + +∫ ∫ ∫


a) ( )19 2

2cos

2 5sin

x dxI

x=

−∫ b) 20

cos

4sin x 3

x dxI =

−∫ c) ( )21 tan .ln cosI x x dx= ∫


a) Sử dụng công thức vi phân 2

cos (sin x)

1

xdx d

dud

uu

= = −

( )( )

( )( )

( ) ( )19 2 2 22 sin 2 5sin2cos 2 2

.5 5 2 5sin2 5sin 2 5sin 2 5sin

d x d xx dxI C

xx x x

−⇒ = = = − = +

−− − −∫ ∫ ∫



b) Sử dụng công thức vi phân ( )cos (sin x)

2

xdx d

dud u

u

= =

Ta được ( ) ( ) ( )

20

sin 4sin 4sin 3cos 1 1 14sin x 3 .

4 2 24sin x 3 4sin x 3 4sin x 3 2 4sin x 3

d x d x d xxdxI C

−= = = = = − +

− − − −∫ ∫ ∫ ∫

c) Sử dụng các công thức nguyên hàm cơ bản

( )

2

cossintan ln cos

cos cos

2

d xxdxxdx x C

x x

uu du C

= = − = − +

= +

∫ ∫ ∫

∫

Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )21cossin

tan .ln cos ln cos ln cos ln cos ln coscos cos

d xxI x x dx x dx x x d x

x x= = = − = − =∫ ∫ ∫ ∫

2 2

21

ln (cos ) ln (cos ).

2 2

x xC I C= − + → = − +


a) 22 2tan

cos

xI dx

x= ∫ b)

3

23 4

tan

cos

xI dx

x= ∫ c) 24 2

tan 2 1

cos 2

xI dx

x

+= ∫


a) Sử dụng các công thức ( )2

2

tancos

2

dxd x

x

uu du C

= = +∫

Ta có ( )2 2

22 222 2

tan tan tantan . tan tan .

2 2cos cos

x dx x xI dx x x d x C I C

x x= = = = + → = +∫ ∫ ∫

b) Sử dụng các công thức ( )2

22

tancos

11 tan

cos

dxd x

x

xx

= = +

Ta có ( ) ( )3

3 3 2 5 323 4 2 2

tan 1tan . . tan . 1 tan (tan ) tan tan (tan )

cos cos cos

x dxI dx x x x d x x x d x

x x x= = = + = +∫ ∫ ∫ ∫

6 4 6 4

23

tan tan tan tan.

6 4 6 4

x x x xC I C= + + → = + +

c) Sử dụng các công thức ( )2 2

2

1 ( ) 1tan( )

cos cos

2

dx d axd ax

ax a ax a

uu du C

= = = +∫

Ta có 24 2 2 2 2 2tan 2 1 tan 2 1 tan 2 (2 ) 1 (2 )

2 2cos 2 cos 2 cos 2 cos 2 cos 2

x xdx dx x d x d xI dx

x x x x x

+= = + = +∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 2 2

24

1 1 tan 2 tan 2 tan 2 tan 2tan 2 (tan 2 ) (tan 2 ) .

2 2 4 2 4 2

x x x xx d x d x C I C= + = + + → = + +∫ ∫


a) 25 2cot

sin

xI dx

x= ∫ b) 26 3

tan

cos

xI dx

x= ∫ c) 27

cotπ

cos2

xI dx

x=

+

∫


a) Sử dụng các công thức ( )2

2

cotsin

2

dxd x

x

uu du C

= − = +∫



Ta có ( )2 2

25 252 2

cot cot cotcot . cot cot .

2 2sin sin

x dx x xI dx x x d x C I C

x x= = = − = − + → = − +∫ ∫ ∫

b) Sử dụng các công thức ( )

1

sin x cos

1

n

n

dx d x

du uC

u n

− +

= −

= + − +∫

Ta có ( ) ( ) 3

26 263 4 4 3 3

cos costan sin 1 1.

cos cos cos 3 3cos 3cos

d x xx xdxI dx C C I C

x x x x x

−

= = = − = − + = + → = +−∫ ∫ ∫

c) Sử dụng các công thức

( )

2

cos sin

πcos sin

2

1

x dx d x

x x

duC

u u

= + = −

= − +∫

Ta có ( )27 272 2cot cos cos (sin ) 1 1

.π sin . sin sin sin sin sincos2

x x x dx d xI dx dx C I C

x x x x x xx

= = = − = − = + → = +− +

∫ ∫ ∫ ∫


a) 283 xe

I dxx

= ∫ b) tan 2

29 2cos

xe dxI

x

+

= ∫ c) 21

30 .xI x e dx−= ∫

d) cos31 sinxI e x dx= ∫ e)

2ln 3

32

xeI dx

x

+

= ∫


a) Sử dụng các công thức ( )

2u u

dxd x

x

e du e C

= = +∫

Ta có ( )28 283 3.2 6 6 6 .2

xx x x xe dxI dx e e d x e C I e C

x x= = = = + → = +∫ ∫ ∫

b) Sử dụng các công thức ( ) ( )2 tan tancos

u u

dxd x d x k

x

e du e C

= = ± = +∫

Ta có ( )tan 2

tan 2 tan 2 tan 2 tan 229 292 2

tan 2 .cos cos

xx x x xe dx dxI e e d x e C I e C

x x

++ + + += = = + = + → = +∫ ∫ ∫

c) Sử dụng các công thức ( ) ( )2 21 1 1

2 2u u

x dx d x d x

e du e C

= = − − = +∫

Ta có ( )2 2 2 2 21 1 1 2 1 130 301 1 1. 1 .2 2 2x x x x xI x e dx e x dx e d x e C I e C− − − − −= = = − − = − + → = − +∫ ∫ ∫

d) Sử dụng các công thức ( )sin cos

u u

x dx d x

e du e C

= −

= +∫

Ta có ( )cos cos cos cos31 31sin cos .x x x xI e x dx e d x e C I e C= = − = − + → = − +∫ ∫

e) Sử dụng các công thức ( ) ( )ln ln

u u

dxd x d x k

x

e du e C

= = ± = +∫

Ta có ( ) ( )2ln 3

2ln 3 2ln 3 2ln 3 2ln 332

1 1ln 2ln 3 .

2 2

xx x x xe dxI dx e e d x e d x e C

x x

++ + + += = = = + = +∫ ∫ ∫ ∫



Vậy 2ln 3

2ln 332

1.

2

xxeI dx e C

x

++= = +∫


1) 1 21

xI dx

x=

+∫ 2) 2 10

2 (1 )I x x dx= +∫ 3) 3cos x

I dxx

= ∫

4) 4 cos sinI x xdx= ∫ 5) 5 3sin

cos

xI dx

x= ∫ 6) 36 sin cosI x xdx= ∫

7) 7 2 5x

I dxx

=+∫

4) 82 1

dxI

x=

−∫ 3) 9 5 2I xdx= −∫

10) 3

10

ln xI dx

x= ∫ 11)

2 111 .

xI x e dx+= ∫ 12) 4

12 sin cosI x xdx= ∫

13) 13 5sin

cos

xI dx

x= ∫ 14) 14 cotI x dx= ∫ 15) 15 2

tan

cos

xI dx

x= ∫

16) tan

16 2cos

xeI dx

x= ∫ 17) 17

xeI dx

x= ∫ 18)

218 1I x x dx= +∫

19) 19 5(3 2 )dx

Ix

=−∫

20) 2 320 5I x x dx= +∫ 21) 2

21 3 1

x dxI

x=

+∫

22) 222 1I x x dx= −∫ 23) 23 cos 1 4sinI x x dx= +∫ 24) 2

24 1I x x dx= +∫

25) cos25 sinxI e x dx= ∫ 26)

2 226 .

xI x e dx+= ∫ 27) 27sin

1 3cos

x dxI

x=

+∫

28) 21

28 .xI x e dx−= ∫ 29) ( )sinx29 cos cosI e x x dx= +∫ 30)

2ln 1

30

xeI dx

x

+

= ∫



1. Vi phân nhóm hàm đa thức, hàm căn

• 3 41 (4 5 )I x x dx= − =∫ ....................................................................................................................................

• 32 32 2 1 3 )I x x dx= + =∫ .................................................................................................................................

• 3 24 3 2xdx

Ix

= =−

∫ ...........................................................................................................................................

• 5

4 61 5

xI dx

x= =

−∫..........................................................................................................................................

• 3

5 4

3

2 3

xI dx

x= =

+∫ ......................................................................................................................................

• ( )6 222 3

xdxI

x= =

−∫ .........................................................................................................................................

• 27 cos(3 4 )I x x dx= − =∫ ................................................................................................................................

• 3 48 sin(1 5 )I x x dx= + =∫ ...............................................................................................................................

• 24 5

9xI xe dx− += =∫ ..........................................................................................................................................

•

4

10 2

xe dxI

x= =∫ ................................................................................................................................................

• 3

112

xe dxI

x= =∫ ..............................................................................................................................................

• 123

dxI

x x= =

+∫...........................................................................................................................................

2. Vi phân nhóm hàm lượng giác

• 31 sin .cosI x xdx= =∫ ...................................................................................................................................

• 52 cos .sinI x xdx= =∫ ...................................................................................................................................

• 3 sin . 3cos 2I x x dx= + =∫ .........................................................................................................................

• 44 cos . 5 2sinI x xdx= − =∫ ..........................................................................................................................

• 5sin

2 5cos

xdxI

x= =

+∫......................................................................................................................................


02. PP VI PHÂN TÌM NGUYÊN HÀM Thầy Đặng Việt Hùng



• 6sin

1 3cos

xdxI

x= =

−∫......................................................................................................................................

• ( )7 2

cos

1 2sin

xdxI

x= =

−∫.....................................................................................................................................

• 8sin 2

7 2cos 2

xdxI

x= =

−∫......................................................................................................................................

• 9sin 3

1 2cos3

xdxI

x= =

+∫.....................................................................................................................................

• 10 2tan

3cos

xdxI

x= =∫ ...........................................................................................................................................

• 11 4tan

cos

xdxI

x= =∫ ............................................................................................................................................

• 3cos 212 sin .xI x e dx−= =∫ .................................................................................................................................

• 2 5sin 213 cos 2 .xI x e dx−= =∫ .............................................................................................................................

• 2cot 1

14 2sin

xeI dx

x

−

= =∫ ........................................................................................................................................

• 15 2sin 4cot 3dx

Ix x

= =−∫

...........................................................................................................................

3. Vi phân nhóm hàm mũ, loga

• 1 2 1

x

x

eI dx

e= =

−∫.........................................................................................................................................

• 3

2 31 5

x

x

eI dx

e= =

−∫ .....................................................................................................................................

• ( )

2

3 221 3

x

x

eI dx

e

−

−= =

−∫ ..................................................................................................................................

• 3

4

ln xI dx

x= =∫ ...........................................................................................................................................

• 51 5ln

dxI

x x= =

−∫.....................................................................................................................................

• ( )6 22 3ln

dxI

x x= =

+∫..................................................................................................................................

• 7 2ln

1 4ln

xdxI

x x= =

−∫ ...................................................................................................................................



Dạng 1. Đổi biến số cho các hàm vô tỉ

Phương pháp giải:

Nếu hàm f(x) có chứa ( )n g x thì đặt 1( ) ( ) . '( )n nnt g x t g x n t g x dx−= ⇔ = → =

Khi đó, ( ) ( )I f x dx h t dt= =∫ ∫ , việc tính nguyên hàm ( )h t dt∫ đơn giản hơn so với việc tính ( ) .f x dx∫

� MỘT SỐ VÍ DỤ MẪU:


a) 14 1

xdxI

x=

+∫ b) 3 22 2I x x dx= +∫ c)

2

31

x dxI

x=

−∫


a) Đặt

2

2 221

12 4 . 14 24 1 4 1 ( 1)1 84 14

t tdttdt dxxdx

t x t x I t dtt txx

−== + ⇔ = + → → = = = − − +=

∫ ∫ ∫

33 (4 1)1 14 1 .

8 3 8 3

xtt C x C

+ = − + = − + +

b) Đặt 2 2 2 2 2 3 2 22 2 2 2 2 . ( 2).t x t x x t xdx tdt x dx x xdx t tdt= + ⇔ = + → = − ⇔ = → = = −

Khi đó ( ) ( ) ( ) ( )5 32 2

5 32 3 2 4 2

2

2 2 22 . . 2 2 2.

5 3 5 3

x xt tI x x dx t t tdt t t dt C C

+ += + = − = − = − + = − +∫ ∫ ∫

c) Đặt ( )( )2222 2

2 32 2

2 1 .1 1 1 2

1 1

dx tdt t tdtx dxt x t x x t I

tx t x

= − −= − ⇔ = − ⇔ = − → → = = −= − −

∫ ∫

( ) ( )5 35 322 4 2 (1 ) 2 (1 )22 1 2 2 1 2 2 1

5 3 5 3

x xt tt dt t t dt t C x C

− − = − − = − − + = − − + + = − − + − +

∫ ∫

Khi đó ( ) ( ) ( ) ( )5 32 2

5 32 3 2 4 2

2

2 2 22 . . 2 2 2. .

5 3 5 3

x xt tI x x dx t t tdt t t dt C C

+ += + = − = − = − + = − +∫ ∫ ∫


a) 4ln

1 ln

x dxI

x x=

+∫ b)

2

5 3

ln

2 ln

xdxI

x x=

−∫ c) 6

ln 3 2lnx x dxI

x

+= ∫


a) Đặt ( )2 22

4

ln 1 1 .2ln1 ln 1 ln

1 ln2

x t t tdtx dxt x t x Idx x txtdt

x

= − −= + ⇔ = + → → = =+=

∫ ∫

( )3 33

24

(1 ln ) 2 (1 ln )2 1 2 2 1 ln 2 1 ln .

3 3 3

x xtt dt t C x C I x C

+ + = − = − + = − + + → = − + +

∫

b) Đặt

32 3 2 2

3352 3

ln 2ln (2 ) .3

2 ln 2 ln .2 ln3

x tx dx t t dt

t x t x Idx x txt dtx

= − −= − ⇔ = − → → = =−=

∫ ∫


03. PP ĐỔI BIẾN SỐ TÌM NGUYÊN HÀM – P1 Thầy Đặng Việt Hùng



( )8 58 5 3 3

7 4 2 23(2 ln ) 4 (2 ln )4

3 4 4 3 2 3 2 (2 ln )8 5 8 5

x xt tt t t dt t C x C

− − = − + = − + + = − + − +

∫

c) Đặt

2

2

3ln

23 2ln 3 2ln2

2

tx

t x t xdx

tdtx

−== + ⇔ = + → =

Từ đó ta có ( )2

4 26

ln 3 2ln 3 1ln 3 2ln . . . 3

2 2

x x dx dx tI x x t tdt t t dt

x x

+ −= = + = = −

∫ ∫ ∫ ∫

( ) ( ) ( ) ( )5 3 5 35 5 336

3 2ln 3 2ln 3 2ln 3 2ln1.

2 5 10 2 10 2 10 2

x x x xt t tt C C C I C

+ + + + = − + = − + = − + → = − +


a) 71x

dxI

e=

−∫ b)

( )2

8 31

x

x

e dxI

e=

+∫ c) 9 2 4

dxI

x x=

+∫ d) 10 4 1

dxI

x x=

+∫


a) Đặt

22

2

2

111 1 2

21

xx

x x

x

e te tt e t e tdt

dxe dx tdtt

= − = − = − ⇔ = − → ←→ == −

Khi đó 7 2 22 2 2 ( 1) ( 1)

( 1)( 1) ( 1)( 1) 1 1.( 1) 11xdx tdt dt dt t t dt dt

I dtt t t t t tt t te

+ − −= = = = = = −− + − + − +− −−∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

71 1 1 1 1

ln 1 ln 1 ln ln ln .1 1 1 1 1

x x

x x

t e et t C C C I C

t e e

− − − − −= − − + + = + = + → = ++ − + − +

b) Đặt

( ) ( )( )22 22

8 33 3

1 .21 .1 1

2 1 1

x x x xx x

xx x

t tdte t e dx e e dxt e t e I

te dx tdt e e

− = −= + ⇔ = + → → = = == + +

∫ ∫ ∫

( )2 23 2 2

1 .2 1 1 12 2 2 2 1 .

1

x

x

t tdt t dtdt dt t C e C

tt t t e

− − = = = − = + + = + + + + ∫ ∫ ∫ ∫

c) Đặt

2 22 2

2 2 2

2 2

44

4 42 2

4

x tx t

t x t x dx xdx tdtxdx tdt

x x t

= − = − = + ⇔ = + → ←→ = = = −

Khi đó, 9 2 22 21 1 1 ( 2) ( 2) 1

.4 ( 2)( 2) 4 2 24 44 4

dx dx tdt dt t t dt dtI dt

x t t t t tt tx x x

+ − − = = = = = = − + − − +− − + +∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

( )2 2

92 2

1 1 2 1 4 2 1 4 2ln 2 ln 2 ln ln ln .

4 4 2 4 44 2 4 2

t x xt t C C C I C

t x x

− + − + −= − − + + = + = + → = ++ + + + +

d) Đặt

4 24 2

4 2 4 33

4 2

11

1 14 2

2( 1)

x tx t

t x t x dx x dx tdtx dx tdt

x x t

= − = − = + ⇔ = + → ←→

= == −

Khi đó, 10 2 24 41 1 1 1 ( 1) ( 1)

. .2 4 ( 1)( 1)2( 1) 11 1

dx dx tdt dt t tI dt

x t t tt tx x x

+ − −= = = = =+ −− −+ +∫ ∫ ∫ ∫ ∫

( )4

4

1 1 1 1 1 1 1ln 1 ln 1 ln ln .

4 1 1 4 4 1 4 1 1

dt dt t xt t C C C

t t t x

− + − = − = − − + + = + = + − + + + +∫ ∫




a) 111 2 5

dxI

x=

+ −∫ b) 12 21 2

x dxI

x=

− +∫

c) 3

13 3 24

x dxI

x=

+∫ d)

2

14

1 4ln lnx xI dx

x

+= ∫


a) Đặt 22

2 5 2 5 2 55

tdtt x t x tdt dx dx= − ⇔ = − ⇔ = − → = −

Khi đó, ( )11 2 2 1 1 2 1 21 ln 15 1 5 1 5 1 51 2 5dx t dt t

I dt dt t t Ct t tx

+ − = = − = − = − − = − − + + + + ++ − ∫ ∫ ∫ ∫

( )11 2 2 5 ln 2 5 1 .5I x x C→ = − − − − + + b) Đặt 2 2 22 2 2 2t x t x tdt xdx xdx tdt= + ⇔ = + ⇔ = → =

Khi đó, 12 21 (1 ) 1 (1 )

1 ln 11 1 1 11 2

x dx t dt t d tI dt dt dt t t C

t t t tx

− − − = = = = − = − − = − − − + − − − − − +∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

2 212 ln 1 2 2 .I x x C→ = − − + − + +

c) Đặt ( )2 3

2 33 2 3 2 3 3 22

2

44 3

4 4 43 23 22

x tx t

t x t x x dx t t dtt dtt dt xdx xdx

= − = − = + ⇔ = + → ←→ → = − = =

( ) ( ) ( ) ( )5 22 23 2 3 33 5

4 213 3 2

3 4 3 443 3 34 2 .

2 2 2 5 10 44

x xt t dtx dx tI t t dt t C C

tx

+ +− → = = = − = − + = − +

+ ∫ ∫ ∫

d) Đặt 2 2 2ln

1 4ln 1 4ln 2 4.2ln .4

dx x dx tdtt x t x tdt x

x x= + ⇔ = + ←→ = → =

( )3232 2

14

1 4lnln 11 4ln . .

4 4 12 12

xx dx tdt tI x t t dt C C

x

+→ = + = = = + = +∫ ∫ ∫

� BÀI TẬP TỰ LUYỆN:

1) 14 3

1

xI dx

x

−=+∫

2) 22 1

xdxI

x=

+∫

3) 31x

I dxx

+= ∫ 4) 4 1 1 3dx

Ix

=+ +∫

5) 71 2 1

xdxI

x=

+ −∫ 6) 3 26 1I x x dx= −∫

7) 37 4I x x dx= +∫ 8) 2

8 3 2I x x dx= −∫

9) 3

9 3 21

x dxI

x=

+∫ 10) 10 3 1

dxI

x x=

+∫

11) 11 3 2 4

dxI

x x=

+∫ 12) 12

1 3ln lnx xI dx

x

+= ∫

13) 2

131 1

x

x

e dxI

e=

+ −∫ 14)

( )14 21dx

Ix x

=+

∫



Dạng 2. PP lượng giác hóa

� Nếu hàm f(x) có chứa 2 2a x− thì đặt 2 2 2 2 2

(a sin ) cosa sin

sin cos

dx d t a t dtx t

a x a a t a t

= == →− = − =

� Nếu hàm f(x) có chứa 2 2a x+ thì đặt 2

2 2 2 2 2

( tan )cos

tan

tancos

= == → + = + =

adtdx d a t

tx a t

aa x a a t

t

� MỘT SỐ VÍ DỤ MẪU:


a) ( )1 2 ; 24= =

−∫dx

I ax

b) ( )22 1 ; 1= − =∫I x dx a

c) ( )2

3 2; 1

1= =

−∫x dx

I ax

d) ( )2 24 9 ; 3= − =∫I x x dx a


a) Đặt 12 2 2(2sin ) 2cos 2cos

2sin2cos4 4 4sin 2cos 4

dx d t t dt dx t dtx t I dt t C

tx t t x

= == → → = = = = +− = − = −

∫ ∫ ∫

Từ phép đặt 12sin arcsin arcsin2 2

x xx t t I C = ⇔ = → = +

b) Đặt 2 2

(sin ) cossin

1 1 sin cos

dx d t t dtx t

x t t

= == →− = − =

Khi đó 221 cos2 1 1 1

1 cos .cos cos2 sin 22 2 2 2 4

t tI x dx t t dt dt dt t dt t C

+= − = = = + = + +∫ ∫ ∫ ∫ ∫

Từ 2 2

2cos 1 sin 1sin sin 2 2sin .cos 2 1arcsin

t t xx t t t t x x

t x

= − = −= ⇒ → = = −=

22

arcsin 11

2 2

xI x x C→ = + − +

c) Đặt 2 2

(sin ) cossin

1 1 sin cos

dx d t t dtx t

x t t

= == →− = − =

Khi đó, 2 2

23 2

sin .cos 1 os2 1 1sin sin 2

cos 2 2 41

x dx t t dt c tI t dt dt t t C

tx

−= = = = = − +−∫ ∫ ∫ ∫

Từ 2 2

2cos 1 sin 1sin sin 2 2sin .cos 2 1arcsin

t t xx t t t t x x

t x

= − = −= ⇒ → = = −=

23

arcsin 11

2 2

xI x x C→ = − − +

d) Đặt 2 2

(3sin ) 3cos3sin

9 9 9sin 3cos

dx d t t dtx t

x t t

= == →− = − =

Khi đó, 2 2 2 2 2 2481 81 1 os4

9 9sin .3cos .3cos 81 sin .cos sin 24 4 2

c tI x x dx t t t dt t t dt t dt dt

−= − = = = =∫ ∫ ∫ ∫ ∫


03. PP ĐỔI BIẾN SỐ TÌM NGUYÊN HÀM – P2 Thầy Đặng Việt Hùng



81 1 1 81 1os4 sin 4

4 2 2 4 2 8

tdt c t dt t C

= − = − + ∫ ∫

Từ

22

2cos 1 sin 1 293sin sin 2 13 9

arcsin3

xt t

x xx t t

xt

= − = −

= ⇒ → = − =

Mặt khác, 2 2 2 2

2 2 2 2os2 1 2sin 1 2 1 sin 4 2sin 2 . os2 2. 1 . 13 9 3 9 9

x x x x xc t t t t c t

= − = − = − → = = − −

Từ đó ta được 2 2

4

arcsin81 23

1 . 1 .4 2 6 9 9

xx x x

I C

= − − − +


a) ( )1 2 ; 11dx

I ax

= =+∫ b)

22 2 5I x x dx= + +∫ c) ( )

2

3 2; 2

4

x dxI a

x= =

+∫


a) Đặt 2 2

21 2

2 2

(tan ) (1 tan ) (1 tan )tan cos

1 tan1 1 tan

dtdx d t t dt t dt

x t I dt t Ctt

x t

= = = + += → → = = = + + + = +∫ ∫

Từ giả thiết đặt 1tan arctan arctan .x t t x I x C= ⇔ = → = +

b) Ta có 12 2 22 2 5 ( 1) 4 ( 1) 4t xI x x dx x d x I t dt= += + + = + + + → = +∫ ∫ ∫

Đặt 2

2 222 2

2(2 tan )

2 coscos2 tan22 cos cos.cos4 4 4 tan

coscos

dudt d u

du du u duut u Iu uut u

uu

= == → → = = = + = + =

∫ ∫ ∫

2

(sin ) 1 (1 sin ) (1 sin ) 1 (sin ) 1 (sin ) 1 1 sin(sin ) ln .

1 sin 2 (1 sin )(1 sin ) 2 1 sin 2 1 sin 2 1 sin

d u u u d u d u ud u C

u u u u u u

+ + − += = = + = +− + − − + −∫ ∫ ∫ ∫

Từ phép đặt 2 2

2 22 2 2

1 42 tan tan 1 sin 1 os 1

2 os 4 4 4

t t tt u u u c u

c u t t= ⇔ = → = + → = − = − =

+ +

Từ đó ta được 2 2

2

2 2

11 1

1 1 sin 1 14 2 5ln ln ln .12 1 sin 2 21 1

4 2 5

t x

u t x xI C C Ct xu

t x x

++ ++ + + += + = + = ++− − −

+ + +

c) Đặt 2

2

2 2

2(2 tan ) 2(1 tan )

os2 tan

4 4 tan 4

dtdx d t t dt

c tx t

x t

= = = += → + = +

( )2 2 2 2 2

2 23 23 42 2

4 tan .2(1 tan ) sin sin .cos sin . (sin )4 tan 1 tan 4 4 4

cos cos2 1 tan 1 sin

t t dt t t t dt t d tI t t dt dt

t tt t

+→ = = + = = =+ −

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

Đặt ( )

222

3 2 22

1 (1 ) (1 )sin 4 4 4

1 2 (1 )(1 )1

u u u uu t I du du du

u u uu

+ − − = → = = = − + − −∫ ∫ ∫

2

2 2 2 2

1 1 2 (1 ) (1 ) (1 ) (1 )

1 1 (1 ) (1 ) (1 )(1 ) (1 ) (1 ) (1 )(1 )

du du du d u d u u u dudu

u u u u u u u u u u

− + − + + = − = + − = − + − − + − + − + − + − + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

1 1 1 1 1 1 1 1ln 1 ln 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

du dudu u u C

u u u u u u u u u u − − − + = − − − − = − − − + + − + − + + − − + + − − + ∫ ∫ ∫



3

1 1 1 1 1 1 1 1 sin 1ln ln ln .

1 1 1 1 1 1 sin 1 sin 1 sin 1

u u tC I C C

u u u u u u t t t

− − −= − + + → = − + + = − + +− + + − + + − + +

Từ giả thiết 2 2

2 2 22 2 2

1 42 tan tan 1 tan 1 os sin

2 os 4 4 4

x x xx t t t c t t

c t x x= ⇔ = → = + = + ⇔ = → =

+ +

2

32

2 2 2

11 1 4sin ln .

4 1 1 14 4 4

x

x xt I Cx x xx

x x x

−+⇔ = → = − + +

+ − + ++ + +


a) 1 2 1

dxI

x=

−∫ b) 2 2 2 4

dxI

x x=

−∫ c) 3 2 2 2

dxI

x x=

− −∫


a) Đặt 2

21 22

222

1 coscos

sin sin1 cossinsin sin .cot1 11 cot1 1

sin

t dtt dtdx d

dxt t dx t dttx It t txx tx

t

− −= = = − = → ←→ → = = − − =− = −

∫ ∫

2 2

sin (cos ) (cos ) 1 (1 cos ) (1 cos ) 1 1 cos(cos ) ln .

sin 1 cos (1 cos )(1 cos ) 2 (1 cos )(1 cos ) 2 1 cos

t dt d t d t t t td t C

t t t t t t t

− + + += − = = = = +− − + − + −∫ ∫ ∫ ∫

Từ phép đặt

2

22 2

12 2

111 1 1 1

os 1 sin 1 cos ln .sin 2 1

1

xx xx c t t t I C

t x x x

x

−+−= → = − = − ⇔ = → = +−−

b) Đặt 2 2

2 2 2222

2 2cos 2cossin sin2 sin

8cotsin 4 4 2cot 44 4sinsin

t dt t dtdx d dxt t tx

ttx t x xx

tt

− −= = = = → ←→ − = ⇒ − =− = −

Khi đó, 2 2 2 22

2cos 1 1sin cos .

8cot 4 44 sin .sin

dx t dtI t dt t C

tx x tt

−= = = − = +−∫ ∫ ∫

Từ 2 2

2 222

2 4 4 4os 1 sin 1 cos .

sin 4

x xx c t t t I C

t x x x

− −= → = − = − ⇔ = → = +

c)

( )1

3 32 2 2 22

( 1)

2 2 ( 1) 3 3 3

t xdx d x dt dtI Ix x x t t

= −−= = → = =− − − − − −

∫ ∫ ∫ ∫

Đặt 2

2

222

3 3 cos3 cos

sin sin3sin

sin 3 3 3 cot3 3sin

u dudt d u du

dtu ut u

ut ut

u

−= = − = = → ←→

− =− = −

3 2 222

3 cos sin (cos ) (cos )

sin 1 cos (1 cos )(1 cos )sin . 3 cot3

dt u du u du d u d uI

u u u uu ut

−→ = = = − = =− − +−∫ ∫ ∫ ∫ ∫

1 (1 cos ) (1 cos ) 1 1 cos(cos ) ln .

2 (1 cos )(1 cos ) 2 1 cos

u u ud u C

u u u

− + + += = +− + −∫

Từ

2 2

22

32 2 2

3 2 21 13 3 3 1 1 1os 1 cos ln ln .

sin 2 23 2 21 1

1

t x xt t xt c u t I C C

u t t t x x

t x

− − −+ +− −= ⇒ = − ⇔ = → = + = +− − −− −

−

Chú ý: Tổng hợp các kết quả ta thu một số kết quả quan trọng sau:



� 2 2

1arc tan .

dx xC

x a a a = + + ∫

� 2 2

1ln .

2

dx x aC

x a a x a

+= +− −∫

� 2 2

1ln .

2

dx x aC

a x a x a

−= +− +∫

� 22

ln .dx

x x a Cx a

= + ± +±∫


1) 2

1 2 4

x dxI

x=

+∫ 2)

2

2 2

1 xI dx

x

−= ∫ 3) 2

3 24

x dxI

x=

−∫

4) 4 21

3 2I dx

x x=

−∫ 5) 25 2 1I x dx= +∫ 6) 6 22 5

dxI

x=

−∫



Xét nguyên hàm của hàm phân thức hữu tỉ ( )

( )

P xI dx

Q x= ∫

Nguyên tắc giải: Khi bậc của tử số P(x) lớn hơn Q(x) thì ta phải chia đa thức để quy về nguyên hàm có bậc của tử số nhỏ hơn mẫu số.

I. MẪU SỐ LÀ BẬC NHẤT

Khi đó Q(x) = ax + b. � Nếu bậc của P(x) lớn hơn thì ta chia đa thức.

� Khi P(x) là hằng số (bậc bằng 0) thì ta có ( ) (ax )

ln ax .( ) ax ax

P x k k d b kI dx dx b C

Q x b a b a

+= = = = + ++ +∫ ∫ ∫


a) 14

2 1I dx

x=

−∫ b) 21

1

xI dx

x

+=−∫ c) 3

2 1

3 4

xI dx

x

+=−∫ d)

2

4

4

3

x xI

x

+ +=+∫


a) Ta có 14 4 (2 1)

2ln 2 1 .2 1 2 2 1

d xI dx x C

x x

−= = = − +− −∫ ∫

b) 21 1 2 2

1 2 2ln 1 .1 1 1 1

x x dxI dx dx dx dx x x C

x x x x

+ − + = = = + = + = + − + − − − − ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

c) ( )

( )( )

3

1 53 4 3 42 1 1 5 1 5 1 52 2

3 4 3 4 2 2 3 4 2 2 3 4 2 8 3 4

x d xx dxI dx dx dx x x

x x x x x

− − + −+= = = − + = − + = − − − − − − − ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

3

1 5 1 5ln 3 4 ln 3 4 .

2 8 2 8x x C I x x C= − − − + → = − − − +

d) ( ) ( )2 2

4

34 102 2 10 2 10ln 3 .

3 3 3 2

d xx x xI x dx x dx x x C

x x x

++ + = = − + = − + = − + + + + + + ∫ ∫ ∫ ∫


a) 3

5

7

2 5

x xI dx

x

− +=+∫

b) 3 2

6

3 3 2

1

x x xI dx

x

+ + +=−∫

c) 4 2

7

4 3 2

2 1

x x xI dx

x

+ + +=+∫


a) Chia tử số cho mẫu số ta được 3

2

497 1 5 21 8

2 5 2 4 8 2 5

x xx x

x x

− + = − + −+ +

Khi đó 3

2 25

497 1 5 21 1 5 21 498

2 5 2 4 8 2 5 2 4 8 8 2 5

x x dxI dx x x dx x x dx

x x x

− + = = − + − = − + − + + +

∫ ∫ ∫ ∫

( )3 2 3 22 51 5 21 49 5 21 49. . ln 2 5 .

2 3 4 2 8 16 2 5 6 8 8 16

d xx x x x xx x C

x

+= − + − = − + − + +

+∫

b) Ta có 3 2

2 3 26

3 3 2 93 6 7 3 7 9ln 1 .

1 1

x x xI dx x x dx x x x x C

x x

+ + + = = + + + = + + + − + − − ∫ ∫

c) Chia tử số cho mẫu số ta được 4 2

3 2

54 3 2 1 22 2

2 1 2 2 1

x x xx x x

x x

+ + + = − + − ++ +


04. NGUYÊN HÀM CỦA HÀM HỮU TỶ - P1 Thầy Đặng Việt Hùng



Khi đó 4 2

3 2 3 27

54 3 2 1 1 522 2 2 2

2 1 2 2 1 2 2 2 1

x x x dxI dx x x x dx x x x dx

x x x

+ + + = = − + − + = − + − + + + +

∫ ∫ ∫ ∫

( )4 3 4 32 22 11 5 1 52. ln 2 1 .4 3 2 4 2 1 2 3 2 4

d xx x x xx x x x x C

x

+= − + − + = − + − + + +

+∫


1) 12 1

3

xI dx

x

−=+∫

2) 2

2

3 1

1

x xI dx

x

+ −=+∫

3) 3 2

3

3 3 2

1

x x xI dx

x

+ + +=−∫

4) 3

4

7

2 5

x xI dx

x

− +=+∫

5) 51

4 3

xI dx

x

+=−∫

4) 4 2

6

5 3

3 1

x x xI dx

x

− +=+∫

II. MẪU SỐ LÀ TAM THỨC BẬC HAI

Khi đó Q(x) = ax2 + bx + c. Ta có ba khả năng xảy ra với Q(x).

TH1: Q(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1 và x2

� Nếu P(x) là hằng số thì ta sử dụng thuật phân tích tử số có chứa nghiệm của mẫu số.

� Nếu P(x) bậc nhất thì ta có phân tích ( )( ) ( )( )1 2 1 2 1 2( ) ( ) 1

( )( )

P x P x A BQ x a x x x x

Q x a x x x x a x x x x

= − − → = = + − − − −

Đồng nhất hệ số ở hai vế ta được A, B. Từ đó, quy về bài toán nguyên hàm có mẫu số là hàm bậc nhất đã xét ở trên. � Nếu P(x) có bậc lớn hơn hoặc bằng 2 thì ta chia đa thức, quy bài toán về hai trường hợp có bậc của P(x) như trên để giải. Chú ý: � Việc phân tích đa thức thành nhân tử với các phương trình bậc hai có hệ số a khác 1 phải theo quy tắc

( )( )2 1 2+ + = − −ax bx c a x x x x

Ví dụ: 2( 1)(3 1) : '.

3 4 1 1( 1) : .

3

x x dung

x xx x sai

− −− + = − −

� Khi tử số là bậc nhất thì ngoài cách đồng nhất ở trên, ta có thể phân tích tử số có chứa đạo hàm của mẫu, rồi tách thành 2 nguyên hàm (xem các ví dụ dưới đây).


a) 1 2 2 3

dxI dx

x x=

− −∫ b) 2 22

3 4 1

dxI

x x=

− + −∫

c) 3 22 3

3 4

xI dx

x x

+=− −∫ d) 4 2

3 4

5 6 1

xI dx

x x

+=+ +∫


a) 1 21 ( 1) ( 3) 1 1 3

ln .( 1)( 3) 4 ( 1)( 3) 4 3 1 4 12 3

dx dx x x dx dx xI dx dx C

x x x x x x xx x

+ − − − = = = = − = + + − + − − + +− − ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

b) 2 2 22 2 (3 1) 3( 1)

2 23 4 1 3 4 1 ( 1)(3 1) 4 ( 1)(3 1)

dx dx dx x xI dx

x x x x x x x x

− − − −= = − = − =− + − − + − − − −∫ ∫ ∫ ∫

1 1 1 (3 1) 1 1 1 3 13 ln 1 ln 1 ln 3 1 ln .

2 1 3 1 2 2 3 1 2 2 2 1

dx dx d x xx x x C C

x x x x

− − = − − = − − + = − − + − + = + − − − − ∫ ∫ ∫

c) 3 22 3

3 4

xI dx

x x

+=− −∫

� Cách 1:

Nhận thấy mẫu số có hai nghiệm x = –1 và x = 4, khi đó ( )( )22 3 2 3

1 4 1 43 4

x x A B

x x x xx x

+ += = ++ − + −− −

Đồng nhất ta được ( ) ( )1

2 52 3 4 13 4 11

5

AA B

x A x B xA B

B

= −= + + ≡ − + + → ←→ = − + =



Từ đó 3 2

1 112 3 1 11 1 115 5 ln 1 ln 4 .

1 4 5 1 5 4 5 53 4

x dx dxI dx dx x x C

x x x xx x

− += = + = − + = − + + − + + − + −− −

∫ ∫ ∫ ∫

Vậy 31 11

ln 1 ln 4 .5 5

I x x C= − + + − +

� Cách 2: Do mẫu số có đạo hàm là 2x – 3 nên ta sẽ phân tích tử số có chứa đạo hàm của mẫu như sau:

( )23 2 2 2 2 2

3 42 3 2 3 6 (2 3)6 6

( 1)( 4)3 4 3 4 3 4 3 4 3 4

d x xx x x dx dx dxI dx dx

x xx x x x x x x x x x

− −+ − + −= = = + = ++ −− − − − − − − − − −∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

2 2 26 ( 1) ( 4) 6 6 4ln 3 4 ln 3 4 ln 3 4 ln .5 ( 1)( 4) 5 4 1 5 1

x x dx dx xx x dx x x x x C

x x x x x

+ − − − = − − + = − − + − = − − + + + − − + + ∫ ∫ ∫

Nhận xét: Nhìn hai cách giải, thoạt nhìn chúng ta lầm tưởng là bài toán ra hai đáp số. Nhưng, chỉ bằng một vài phép biến đổi logarith đơn giản ta có ngay cùng kết quả. Thật vậy, theo cách 2 ta có:

2 6 4 6 6 1 11ln 3 4 ln ln 4 ln 1 ln 4 ln 1 ln 1 ln 4 .5 1 5 5 5 5

xx x x x x x C x x

x

−− − + = − + + + − − + + = − + + −+

Rõ ràng, chúng ta thấy ngay ưu điểm của cách 2 là không phải đồng nhất, và cũng không cần dùng đến giấy nháp ta có thể giải quyết nhanh gọn bài toán, và đó là điều mà tôi mong muốn các bạn thực hiện được!

d) 4 23 4 3 4

5 6 1 ( 1)(5 1)

x xI dx dx

x x x x

+ += =+ + + +∫ ∫

� Cách 1:

Ta có

13 53 4 43 4 (5 1) ( 1)4 17( 1)(5 1) 1 5 1

4

AA Bx A B

x A x B xA Bx x x x

B

= −= ++ = + → + ≡ + + + ←→ → = ++ + + + =

Từ đó 43 4 1 17 1 17

( 1)(5 6) 4( 1) 4(5 1) 4 1 4 5 1

x dx dxI dx dx

x x x x x x

+= = − + = − + + + + + + + ∫ ∫ ∫ ∫

4

1 17ln 1 ln 5 1 .

4 20I x x C→ = − + + + +

� Cách 2: Do mẫu số có đạo hàm là 10x + 6 nên ta sẽ phân tích tử số có chứa đạo hàm của mẫu như sau:

( ) ( )4 2 2 2 2

3 2210 6 10 63 4 3 2210 10

5 6 1 5 6 1 10 5 6 1 10 5 6 1

x xx dxI dx dx dx

x x x x x x x x

+ + ++= = = ++ + + + + + + +∫ ∫ ∫ ∫

( )2 22

5 6 13 22 3 22 (5 1) 5( 1)ln 5 6 1

10 5 6 1 10 (5 1)( 1) 10 40 (5 1)( 1)

d x x dx x xx x dx

x x x x x x

+ + + − += + = + + −+ + + + + +∫ ∫ ∫

2 23 22 5 3 11 1ln 5 6 1 ln 5 6 1 ln .10 40 1 5 1 10 20 5 1

dx dx xx x x x C

x x x

+ = + + − − = + + − + + + + ∫ ∫


a) 3

5 2

4 2 1

1

x xI dx

x

+ −=−∫

b) 6 25

3 2

xI dx

x x

−=− −∫


a) Do tử số có bậc lớn hơn mẫu nên chia đa thức ta được 3

5 2 2

4 2 1 6 14

1 1

x x xI dx x dx

x x

+ − − = = + − − ∫ ∫

Ta có 2

766 1 6 1 26 1 ( 1) ( 1)

1 51 ( 1)( 1) 1 1

2

AA Bx x A B

x A x B xA Bx x x x x

B

== +− − = = + → − ≡ − + + ⇔ ⇔ − = − +− − + + − =



( ) ( )2

5

7 5 7 54 2 ln 1 ln 1 .

2 1 2 1 2 2I x dx x x x C

x x

→ = + + = + + + − + + −

∫

b) Ta có 2 2

5 5 55 ( 3) ( 1)

3 2 2 3 ( 1)( 3) 1 3

x x x A Bx A x B x

x x x x x x x x

− − −= = = + → − ≡ + + −− − + − − + − +

6 2

1 1 5 1 22

5 3 2 1 3 1 33 2

A B A x dx dxI dx dx

A B B x x x xx x

= + = − − − → ⇔ → = = + = − + − = − = − + − +− − ∫ ∫ ∫ ∫

( ) ( )2 26

3 3ln 1 2ln 3 ln ln .

1 1

x xx x C C I C

x x

− −= − − + + + = + → = +

− −


1) 1 22 1

3 2

xI dx

x x

−=+ +∫

2) 2 23 4

5 6 1

xI dx

x x

+=+ +∫

3) 2

3 2

3 1

2 3 1

xI dx

x x

+=+ +∫

4) 4 25 4

3 2

xI dx

x x

+=− −∫

5) 5 25 3

2 1

xI dx

x x

+=− −∫

6) 6 21 5

4 5 1

xI dx

x x

−=+ +∫



Xét nguyên hàm của hàm phân thức hữu tỉ ( )

( )

P xI dx

Q x= ∫

Nguyên tắc giải: Khi bậc của tử số P(x) lớn hơn Q(x) thì ta phải chia đa thức để quy về nguyên hàm có bậc của tử số nhỏ hơn mẫu số.

II. MẪU SỐ LÀ TAM THỨC BẬC HAI (tiếp theo)

Khi đó Q(x) = ax2 + bx + c. Ta có ba khả năng xảy ra với Q(x).

TH1: Q(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1 và x2

TH2: Q(x) = 0 có nghiệm kép

Khi đó Q(x) được biểu diễn dưới dạng ( )( )

2

2

( )( ) = + → =

+∫P x

Q x ax b I dxax b

� Nếu P(x) là hằng số thì ta sử dụng các biến đổi sau ( )

2

1

1

= + = − +∫

dx d ax ba

duC

uu

� Nếu ( )

( )( ) ( )2 2 2

( )+ + −+ = + → = = = + − + + + +∫ ∫ ∫ ∫

m bmax b nmx n m dx bm dxa aP x mx n I dx dx n

a ax b aax b ax b ax b

( ) ( )( )2 2 2 2

1ln .

−+ + − = + = + − + + + +∫ ∫

bmnd ax b d ax bm m na bma ax b C

ax b a ax ba a aax b

� Nếu P(x) có bậc lớn hơn hoặc bằng 2 thì ta chia đa thức, quy bài toán về hai trường hợp có bậc của P(x) như trên để giải. �Chú ý:

Ngoài cách giải đã nêu trên, dạng nguyên hàm này có cách giải tổng quát là đặt t b

xt ax b a

dt adx

− == + → =


a) 1 22

2 1

dxI

x x=

− +∫ b) 2 26 9 1dx

Ix x

=+ +∫

c) 3 225 10 1

dxI

x x=

− +∫


a) 1 12 2 22 ( 1) 2 2

2 2 .1 12 1 ( 1) ( 1)

dx dx d xI C I C

x xx x x x

−= = = = − + → = − +− −− + − −∫ ∫ ∫

b) 2 22 2 21 (3 1) 1 1

.6 9 1 (3 1) 3 (3 1) 3(3 1) 3(3 1)

dx dx d xI C I C

x x x x x x

+= = = = − + → = − ++ + + + + +∫ ∫ ∫

c) 3 32 2 21 (5 1) 1 1

.25 10 1 (5 1) 5 (5 1) 5(5 1) 5(5 1)

−= = = = − + → = − +− + − − − −∫ ∫ ∫dx dx d x

I C I Cx x x x x x


a) 4 22 1

4 4 1

xI dx

x x

−=+ +∫ b)

2

5 2

4 3

4 12 9

xI dx

x x

−=+ +∫

c) 6 21 5

9 24 16

xI dx

x x

−=− +∫


a) ( )4 2 2

2 1 2 1

4 4 1 2 1

x xI dx dx

x x x

− −= =+ + +∫ ∫


04. NGUYÊN HÀM CỦA HÀM HỮU TỶ - P2 Thầy Đặng Việt Hùng



� Cách 1:

Đặt ( )4 2 2 2

2 1 2 1 2 1 2 1 12 1 ln

2 2 2 22 1

x t x t dt dt dtt x I dx t C

dt dx t tt tx

= − − − = + → → = = = − = + + = + ∫ ∫ ∫ ∫

4

1 1ln 2 1 .

2 2 1I x C

x→ = + + +

+

� Cách 2:

( ) ( )( )

( ) ( )( )

2

4 2 2 2 2 2 2

18 4 2 4 4 18 4 2 12 1 1 14 2

4 44 4 1 4 4 1 4 4 1 4 4 12 1 2 1

x d x xx d xx dxI dx dx dx

x x x x x x x xx x

+ − + ++ +−= = = − = −+ + + + + + + ++ +∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

( ) ( )( )

2

22 2

4 4 1 2 11 1 1 1 1ln 4 4 1 ln 2 1 .

4 4 2 1 2 2 14 4 1 2 1

d x x d xx x C x C

x xx x x

+ + += − = + + + + = + + +

+ ++ + +∫ ∫

b) ( )

( )( )

2

5 2 22 2

2 34 3 12 12 61 12 6 .

4 12 9 4 12 9 2 32 3 2 3

d xx x dxI dx dx dx x x C

x x x x xx x

+− + = = − = − = − = + + + + + + + + +∫ ∫ ∫ ∫ ∫

c) ( )6 2 2

1 5 1 5

9 24 16 3 4

x xI dx dx

x x x

− −= =− + −∫ ∫

� Cách 1:

Đặt ( )6 2 2 2

5( 4)4 11 5 1 5 1733 4 33 93 43

ttx x dt t

t x I dx dtt txdt dx

++ −= − += − → → = = = −− =

∫ ∫ ∫

6

1 17 1 17 5 175ln 5ln 3 4 ln 3 4 .

9 9 3 4 9 9(3 4)t C I x C x C

t x x = − − + → = − − − + = − − + + − −

� Cách 2:

( )( )( ) ( )

( ) ( )( )6 2 2 2 2

5 173 4 3 4 3 41 5 5 17 5 173 3

3 3 4 3 9 3 4 93 4 3 4 3 4 3 4

x d x d xx dx dxI dx dx

x xx x x x

− − − − −−= = = − − = − −− −− − − −∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

( )65 17 1 5 17

ln 3 4 . ln 3 4 .9 9 3 4 9 9 3 4

x C I x Cx x

= − − + + → = − − + +− −

TH3: Q(x) = 0 vô nghiệm

Khi đó, Q(x) được biểu diễn dưới dạng ( )2 2

22 24( )2 4

− = + + = + + ≡ + +

b ac bQ x ax b c a x mx n k

a a

� Nếu P(x) là hằng số thì ta sử dụng các biến đổi sau ( )

2 2

1

1arctan

= +

= + + ∫

dx d ax ba

du uC

a au a

� Nếu P(x) = αx + β thì ta có phân tích sau:

( ) ( )2 2 2 2

α α2 β 2α β α α2 2 β

2 2

+ + − ++ = = = + − + + + + + + + + ∫ ∫ ∫ ∫

bax b ax b dxx b dxa aI dx dx dx

a aax bx c ax bx c ax bx c ax bx c

( )2 22 2 22 2

2

αβα α α 2β ln

2 2 24 42 4 2 4

−+ + = + − = + + + + + − − + + + +

∫ ∫ ∫

bd ax bx c b dx dxadx ax bx c

a a a aax bx c b ac b b ac ba x x

a a a a

2 22 2 2 2

2

αα 2 ββα α 22 22ln ln arctan .2 24 4 4

2 4

b bb d xax ba aaax bx c ax bx c C

a a ab ac b ac b ac bxa a

+ −− + = + + + = + + + +− − −+ +

∫



� Nếu P(x) có bậc lớn hơn hoặc bằng 2 thì ta chia đa thức, quy bài toán về hai trường hợp có bậc của P(x) như trên để giải. Nhận xét: Nhìn vào biểu thức của bài toán tổng quát trên có thể ban đầu làm cho các bạn phát hoảng, nhưng đừng quá bận tâm đến nó, bạn chỉ cần nắm được ý tưởng thực hiện của nó là phân tích tử số có chứa đạo hàm của mẫu số, rồi tách thành hai bài toán nhỏ hơn đều thuộc dạng đơn giản đã học.


a) 1 2 2 3

dxI

x x=

+ +∫ b) 2 24 4 2dx

Ix x

=+ +∫

c) 3 29 24 20

dxI

x x=

+ +∫


a) ( )

( )( ) ( )1 2 2 22

1 1 1arctan .

2 3 2 21 2 1 2

d xdx dx xI C

x x x x

+ + = = = = + + + + + + +∫ ∫ ∫

b) ( )

( )( )

( )2 2 22 22 11 1

arctan 2 1 .4 4 2 2 22 1 1 2 1 1

d xdx dxI x C

x x x x

+= = = = + +

+ + + + + +∫ ∫ ∫

c) ( )

( )( )3 2 2 2 2

3 4 1 3 4arctan .

2 29 24 20 3 4 4 3 4 2

d xdx dx xI C

x x x x

+ + = = = = + + + + + + +∫ ∫ ∫


a) 4 23 5

2 10

xI dx

x x

+=+ +∫ b) 5 2

4 1

6 9 4

xI dx

x x

−=+ +∫

c) 4

6 2

2

01. mỞ ĐẦu vỀ nguyÊn hÀm - chuyên Đề Ôn thi · i x dx x d x i c= + = + + → = +∫...

Documents