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MATEMTICAFINANCEIRA

1a Edio - 2007

SOMESBSOCIEDADE MANTENEDORA DE EDUCAO SUPERIOR DA BAHIA S/C LTDA.

GERVSIO MENESES DE OLIVEIRAPRESIDENTE

WILLIAM OLIVEIRAVICE-PRESIDENTE

SAMUEL SOARESSUPERINTENDENTE ADMINISTRATIVO E FINANCEIRO

GERMANO TABACOFSUPERINTENDENTE DE ENSINO, PESQUISA E EXTENSO

PEDRO DALTRO GUSMO DA SILVASUPERINTENDENTE DE DESENVOLVIMENTO E PLANEJAMENTO ACADMICO

FTC-EADFACULDADE DE TECNOLOGIA E CINCIAS ENSINO A DISTNCIA

REINALDO DE OLIVEIRA BORBADIRETOR GERAL

MARCELO NERYDIRETOR ACADMICO

JEAN CARLO NERONEDIRETOR DE TECNOLOGIA

ANDR PORTNOIDIRETOR ADMINISTRATIVO E FINANCEIRO

RONALDO COSTAGERENTE ACADMICO

JANE FREIREGERENTE DE ENSINO

LUS CARLOS NOGUEIRA ABBEHUSENGERENTE DE SUPORTE TECNOLGICO

ROMULO AUGUSTO MERHYCOORD. DE SOFTWARES E SISTEMAS

OSMANE CHAVESCOORD. DE TELECOMUNICAES E HARDWARE

JOO JACOMELCOORD. DE PRODUO DE MATERIAL DIDTICO

MATERIAL DIDTICO

PRODUO ACADMICA PRODUO TCNICA

JANE FREIRE JOO JACOMELGERENTE DE ENSINO COORDENAO

ANA PAULA AMORIM CARLOS MAGNO BRITO ALMEIDA SANTOSSUPERVISO REVISO DE TEXTO

GECIARA DA SILVA CARVALHO PAULO HENRIQUE RIBEIRO DO NASCIMENTOCOORDENADOR DE CURSO REVISO DE CONTEDO

ADRIANO PEDREIRA CATTAIMAURCIO PORTO SILVA PAULO HENRIQUE RIBEIRO DO NASCIMENTO

AUTOR(A) EDIO EM LATEX 2

EQUIPEALEXANDRE RIBEIRO, ANGLICA JORGE, CEFAS GOMES, CLAUDER FILHO, DELMARA BRITO, DIEGO DORIA ARAGO, FBIO

GONALVES, FRANCISCO FRANA JNIOR, HERMNIO FILHO, ISRAEL DANTAS, LUCAS DO VALE, MARCIO SERAFIM, MARIUCHAPONTE, RUBERVAL FONSECA E TATIANA COUTINHO.

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Sumrio

Bloco 1: A Matemtica e o Clculo Financeiro 6

Tema 1: Progresses Aritmticas e Geomtricas, Juros Simpl es e Compostos 61.1 Progresses Aritmticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.1.1 Classificao das Progresses Aritmticas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1.2 Termo Geral de uma Progresso Aritmtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1.3 Representaes Especiais de uma PA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.1.4 Soma dos n Primeiros Termos de uma PA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.1.5 Exerccios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2 Progresses Geomtricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.2.1 Termo Geral de um Progresso Geomtrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2.2 Representao Especial de uma PG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.2.3 Soma dos n Primeiros Termos de uma PG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.2.4 Soma dos Infinitos Termos de uma PG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16


1.3 Juros Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.3.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.3.2 Capitalizao Simples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.3.3 Taxas Equivalentes em Juros Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.3.4 Anlise Grfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20


1.4 Juros Compostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.4.1 Capitalizao Composta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.4.2 Taxas Equivalentes em Juros Compostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.4.3 Anlise Grfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.4.4 Juros Simples Juros Compostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.4.5 Exerccios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.4.6 Taxa Nominal Taxa Efetiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.4.7 Exerccios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

Tema 2: Descontos e Equivalncia de Capitais 332.1 Fluxo de Caixa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.2 Equivalncia de Capitais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.2.1 Equivalncia de Capitais a Juros Compostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34


2.3 Desconto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.4 Desconto Racional Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36


2.5 Desconto Comercial Simples ou Bancrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38


2.6 Relao entre os Descontos: Racional Simples e Comercial Simples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.7 Desconto Bancrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.8 Desconto Racional Composto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42


MATEMTICA FINANCEIRA 3

2.9 Desconto Comercial Composto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43


Bloco 2: Pagamentos, Financiamentos e Anlise de Investime ntos 45

Tema 3: Srie de capitais, Inflao e Depreciao 453.1 Srie de Capitais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.1.1 Srie Postecipada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45


3.1.3 Sries Antecipadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51


3.1.5 Sries Diferidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.1.6 Sries Diferidas Postecipadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55


3.1.8 Sries Diferidas Antecipadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58


3.2 Inflao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3.2.1 Atualizao de Preos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3.2.2 Taxa Nominal e Taxa Real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61


3.3 Depreciao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3.3.1 Mtodo de Depreciao Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3.3.2 Plano de Depreciao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63


Tema 4: Sistemas de Amortizao e Anlise de Investimentos 6 54.1 Sistemas de Amortizao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.2 Sistema de Amortizao Constante - SAC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66


4.3 Sistema de Amortizao Francs - SAF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70


4.4 Sistema de Amortizao Americano - SAA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76


4.5 Sistema de Amortizao Varivel - SAV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77


4.6 Anlise de Investimentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

4.6.1 Mtodos de Avaliao de Investimentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

4.6.2 Mtodo do Valor Presente Lquido - VPL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80


4.6.4 Mtodo da Taxa Interna de Retorno - TIR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83


4.6.6 Mtodo do Prazo de Retorno - PayBack . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86


Referncias Bibliogrficas 89

FTC EaD | LICENCIATURA EM MATEMTICA4

Caro aluno,

Poderamos afirmar, sem equvoco algum, que, em forma resumida, a matemtica financeira

possui, basicamente, dois aspectos importantes: Os juros simples e os juros compostos.

A matemtica financeira poderia ser definida como a matemtica do cotidiano, do dia-a-dia de

cada um de ns. No simples ato de adquirir um certo bem de consumo, um televisor numa compra

a prazo ou, ento, pedir um desconto por estar comprando algo a vista, so exemplos prticos da

influncia da matemtica financeira, seja por meios diretos ou indiretos, na vida de todos ns.

O interessante na leitura deste material que o aluno possa adquirir conhecimento suficiente ao

ponto de questionar situaes cotidianas como, por exemplo, saber se tal financiamento na hora de

comprar um carro , realmente o melhor dentre as opes fornecidas.

No tema 1, as progresses aritmticas e geomtricas, to importantes no ensino mdio, junta-

mente com os princpios bsicos da matemtica financeira, que so os juros simples e compostos.

No tema 2, estudaremos equivalncia de capitais e descontos, onde daremos bastante nfase a

situaes do cotidiano. No tema 3, estudaremos todos os tipos de sries de pagamentos: posteci-

pada, diferida e antecipada. Tais sries so utilizadas em situaes como financiamento de imveis,

carros, compras a prazo, etc. No tema 4, abordaremos os principais sistemas de amortizao,

falaremos um pouco sobre inflao e depreciao.

O estudo a distncia feito com base no estudante. Aqui o material apresenta a teoria de modo

didtico. Faa uma leitura de efeito, ou seja, com ateno e muita pacincia, de modo que, todo

conceito aqui escrito possa ser compreendido e assimilado.

Agradecemos a ajuda de todos os professores que, exerceram, de algum modo, influncia na

construo desse material e, tambm, aos alunos leitores que nos ajudaro, continuamente, a

aprimor-lo.

Desejamos uma boa leitura, e que Deus nos abenoe nesta caminhada.

Prof. Maurcio Porto Silva.

APRESENTAO DA DISCIPLINA

BLOCO 01A Matemtica e o Clculo Financeiro

TEMA 01Progresses Aritmticas e Geomtricas,

Juros Simples e Compostos

Apresentao

Os conceitos de capitalizao simples (Juros Simples) e de capitalizao composta (Juros Compostos)

esto presentes no dia-a-dia, seja de forma direta ou indireta. Adquirir um certo bem de consumo numa loja

comercial qualquer, aplicar um certo valor em dinheiro numa caderneta de poupana so exemplos prticos da

utilizao da matemtica financeira no cotidiano. Assim sendo, alguns questionamentos importantes se fazem

presentes neste momento. Por exemplo: Qual ser a melhor forma de investir o nosso dinheiro?, ou ento:

Ser que essa forma de pagamento a melhor dentre todas as disponveis?. A resposta de tais perguntas no

to difcil quanto parece; contudo, a compreenso dos conceitos e aplicaes dos juros simples e compostos

sero de fundamental importncia para que possamos encontrar as respostas.

Os conceitos de juros simples e compostos sero abordados neste tema; aplicaes e exerccios para a

fixao de todos os conceitos que sero apresentados se fazem presentes tambm. A matemtica financeira

possui uma linguagem ou forma de apresentao bastante simples e direta, tornando o estudo mais atrativo e

interessante.

Antes do estudo dos juros simples e compostos, faremos uma breve reviso sobre as progresses, um caso

particular das seqncias numricas. Entender os conceitos sobre progresses aritmticas e geomtricas ser

muito importante dentro do contexto dos juros simples e compostos.

1.1 Progresses Aritmticas

Introduo

Bissexto o ano em que ao ms de fevereiro atribudo 29 dias ao invs de 28. Eles foram introduzidos no

nosso calendrio e so contados de quatro em quatro anos. Na realidade, um ano possui 365 dias e 6 horas

e, para que possamos definir um ano com uma quantidade exata de dias, foi necessrio criar o ano bissexto

e, assim, a cada 4 anos as 24 horas acumuladas seriam compensadas. Sendo assim, os anos passaram a ter

365 dias exceto os bissextos, com 366 dias.

Suponha que, a partir do ano de 2000, estivssemos interessados em contar os anos bissextos. Assim,

podemos escrever:

2.000, 2.004, 2.008, 2.012, . . .

e, dessa forma, percebemos que todos os anos bissextos, a partir do ano de 2.000, formam uma seqncia

numrica. Observa-se, tambm, que os elementos dessa seqncia so acrescidos em 4 unidades a partir

do primeiro termo que no caso em questo seria o ano de 2.000. Podemos visualizar a relao entre esses

elementos de uma outra maneira, por exemplo, denotando por:

a1 = 2.000, a2 = 2.004, a3 = 2.008 e a4 = 2.012


temos que a diferena entre um termo qualquer e o seu antecessor ser sempre constante e igual a 4, ou seja,

a2 a1 = a3 a2 = a4 a3 = 4.

Seqncias numricas que possuem tal caracterstica so chamadas de progresses aritmticas. A definio

formal de uma progresso aritmtica, ou PA por abreviao dado a seguir:

1.1 Definio. Uma progresso aritmtica (PA) uma seqncia de nmeros reais em que a diferena entre

um termo qualquer (a partir do 2 termo) e do seu antecessor um valor constante. A este valor constante

d-se o nome razo da PA e , geralmente, representado pela letra r .

Exemplo 1.1. (a) (2, 4, 6, . . .) uma PA de razo r = 2;

(b) (1, 1, 1, . . .) uma PA de razo r = 0;

(c) (4, 3, 2, . . .) uma PA de razo r = 1.

1.1.1 Classificao das Progresses Aritmticas

Podemos classificar as progresses aritmticas, de acordo com o sinal da razo r , em 3 tipos. Se a razo

positiva (r > 0), a PA crescente. O exemplo (a) ilustra tal situao. Quando r = 0, significa que todos os

elementos da PA so iguais entre si, e a PA constante (exemplo (b)). Finalmente, se r < 0 (exemplo (c)) a PA

decrescente.

Identificar se uma dada seqncia numrica uma PA, no uma tarefa difcil, uma vez que ela uma

seqncia numrica que possui um termo geral, ou seja, uma frmula que relaciona qualquer um dos seus

termos. O mais interessante que o termo geral de uma PA, depende de um de seus termos e da razo r , que

facilmente calculada.

1.1.2 Termo Geral de uma Progresso Aritmtica

Suponha que uma certa PA (a1, a2, a3, a4, . . .) possua razo igual a r . J sabemos que a diferena entre

qualquer termo (comeando pelo 2 termo) pelo seu antecessor ser sempre igual a razo r , assim:

a2 a1 = r a2 = a1 + ra3 a2 = r a3 = a2 + r a3 = (a1 + r) + r a3 = a1 + 2 ra4 a3 = r a4 = a3 + r a4 = (a1 + 2 r) + r a4 = a1 + 3 r

......

......

Observe que a2 = a1 + r , a3 = a1 + 2 r , a4 = a1 + 3 r . Seguindo essa lgica chegamos ao termo geral, oun-simo termo da seqncia:

an = a1 + (n 1) r , n N.

Dessa forma, de posse do primeiro termo da seqncia a1 e da razo r , podemos encontrar qualquer outro

termo que desejarmos.

Nota 1. Uma outra frmula para o termo geral de uma progresso aritmtica dada por:

an = ak + (n k) r , n N; k N.

Exemplo 1.2. Encontrar o 50 termo da PA (3, 1, 5, 9, . . .).

Soluo: Observe que o primeiro termo da PA igual a 1, para encontrarmos a razo, basta fixar umtermo (exceto o primeiro) e subtrairmos o seu antecessor. Por exemplo, r = a2 a1 = 1 (3) = 4. Observe


ainda, que poderamos calcular a razo utilizando a3 e a4 sem qualquer tipo de problema, pois neste caso

r = a4 a3 = 9 5 = 4. Assim, de posse de a1 = 3 e r = 4 pelo termo geral da PA para n = 50 temos que:

a50 = a1 + 49 r = 3 + 49 4 = 193.

Exemplo 1.3. Encontre uma PA onde o 10 termo igual a 48 e a soma do 5 termo com o 20 igual a 121.

Soluo: Como a10 = 48, temos a1 + 9 r = 48. A soma a5 + a20 igual a 121, ou seja, (a1 + 4 r) + (a1 +19 r) = 121. Segue que, 2 a1 + 23 r = 121. Para encontrarmos a PA devemos resolver o sistema:(

a1 + 9 r = 482 a1 + 23 r = 121

Multiplicando-se a primeira equao por 2, temos que:(2 a1 18 r = 962 a1 + 23 r = 121

Adicionando-se as equaes, temos: 5 r = 25 r = 255

r = 5. Para encontrar o primeiro termo, podemosescolher qualquer uma das equaes anteriores. Para simplificar os clculos, escolhemos a1 + 9 r = 48.Isolando a1 nesta equao temos: a1 = 48 9 5 = 3. Assim, a PA (3, 8, 13, . . .).

Exemplo 1.4. Quantos meios aritmticos devem ser inseridos entre 15 e 160, de modo que a razo da

interpolao seja igual a 5?

Soluo: Neste exemplo, devemos encontrar a quantidade de elementos entre os termos a1 = 15 e

an = 160 para algum valor de n. Utilizando a expresso para o termo geral de uma PA, temos que:

160 = 15 + (n 1) 5 n 1 = 160 155

n 1 = 29 n = 30

Observe que entre a quantidade total de elementos ser 30, como j temos dois, ou seja, a1 e a30 significa

que entre eles existem um total de 28 elementos.

1.1.3 Representaes Especiais de uma PA

Em algumas situaes, faz-se necessrio o uso de uma notao ou representao especial para pro-

gresses aritmticas. Tal representao visa equacionar, de forma simples e eficiente, situaes que envolvem

progresses aritmticas as quais o nmero de termos conhecido. Por exemplo, suponha que estejamos

procurando trs termos em uma PA tais que a soma deles igual a 33 e o produto igual a 440. Poderamos

modelar a situao da seguinte forma: Suponha que os termos a1, a2 e a3 so de uma PA. Portanto, a2 = a1 + r ,

a3 = a1 + 2 r . Assim, utilizando os dados fornecidos, temos que:

a1 + (a1 + r) + (a1 + 2 r) = 33 e a1 (a1 + r) (a1 + 2 r) = 440.

Observe que, agindo desta forma, transformamos um problema, a princpio simples, num sistema de equaes

no linear, cuja soluo no to simples assim. Como devemos proceder ento?

Lembrando que podemos selecionar uma quantidade de termos em uma PA e que esta um nmero

natural, a quantidade de termos um nmero par ou mpar. Caso este seja mpar, existir um termo central e,

assim, comearemos a equacionar, a partir dele. No exemplo em questo, n = 3 e, dessa forma, os termos em

progresso representado por:

(x r , x , x + r).


A representao especial mostrada anteriormente no poder, em hiptese alguma, deixar de satisfazer as

condies de uma PA. Por exemplo, a diferena entre qualquer termo (comeando pelo segundo termo) com

o seu antecessor sempre igual a razo, chamando de a1 = x r , a2 = x e a3 = x + r , fcil perceber quea2 a1 = x (x r) = r e a3 a2 = x + r x = r .

Voltando a nosso exemplo: a soma dos trs elementos 33 e o produto dos meus elementos era igual a 44,

utilizando a notao especial, temos:

(x r) + x + (x + r) = 33 3x = 33 x = 11(x r) x (x + r) = 440 11 (11 r) (11 + r) = 440

Observe que, na primeira equao, j encontramos uma das variveis, ou seja, o valor de x . Substituindo na

segunda equao, ficamos apenas com uma equao com uma varivel, no caso r , encontrando o valor de r

temos que:

(11 r) (11 + r) = 40 121 r2 = 40 r =

81 r = 9

Como no existiu outra informao a respeito da PA, encontramos, para o problema, duas respostas, que so:

(2, 11, 20) e (20, 11, 2).

E, quando selecionarmos cinco elementos que esto em uma PA, como ficaria a sua representao espe-

cial?

Neste caso, a quantidade de elementos tambm mpar e, desta forma, existe um termo central que, por

razes bvias, o a3. Assim, a representao para cinco termos em uma PA :

(x 2r , x r , x , x + r , x + 2r).

No caso em que a quantidade de nmeros par, no existir mais o termo central da PA. Mesmo assim,

existir uma representao especial. Supondo que a PA tenha quatro termos, uma representao :

(x 3y , x y , x + y , x + 3y)

Observe que, neste caso, r = 2y (verifiquem!) e, somente desta forma, conseguimos uma representao

simtrica.

ER 1. Determine trs nmeros em PA crescente cuja soma seja 39 e o produto dos extremos seja 144.

Soluo: O exemplo fala de uma PA de trs termos. Assim, usaremos a notao especial dada por:

(x r , x , x + r).

Observe que a soma dos termos igual a 39, dessa forma temos:

(x r) + x + (x + r) = 39 3x = 39 x = 13.

Como o produto dos termos extremos 144 e conhecendo o valor de x , ficamos com:

(13 r) (13 + r) = 144 132 r2 = 144 r =

25 r = 5.

A questo menciona o fato da PA ser crescente. Dessa forma, o valor negativo para a razo no nos interessa.

Portanto, r = 5. A PA procurada (13 5, 13, 13 + 5) = (8, 13, 18).

ER 2. Num quadriltero, os ngulos internos esto em PA e o maior deles mede 150. Quais so as medidas

dos outros ngulos internos?


Soluo: Para este exemplo, utilizaremos a notao especial para uma PA de quatro elementos:

(x 3y , x y , x + y , x + 3y), onde r = 2y .

O exemplo informa que o maior, dentre os 4 ngulos do quadriltero, mede 150. Por razes bvias isto

significa que x + 3y = 150. A soma dos ngulos internos de qualquer quadriltero igual a 360. Portanto:

(x 3y) + (x y) + (x + y) + (x + 3y) = 360 4x = 360 x = 90

Substituindo o valor de x em x + 3y = 150 com a finalidade de encontrar y chegamos a:

90 + 3y = 150 y = 150 903

y = 20

Dessa forma, os 4 ngulos do quadriltero que formam a PA so: PA = (30, 70, 110, 150).

1.1.4 Soma dos n Primeiros Termos de uma PA

Pelo simples fato de ser um caso particular de uma seqncia numrica, podemos pensar em conceitos mais

sofisticados, tais como convergncia. Com relao a uma PA (a1, a2, a3, . . .) de razo r , ser que a soma dos

elementos converge? a resposta no. Prove isso como exerccio. Entretanto, se tomarmos uma determinada

quantidade de elementos da PA, a sua soma facilmente obtida. Vamos demonstrar isso.

Considere os n termos de uma PA (a1, a2, a3, . . . , an2, an1, an) de razo r . A sua soma dada por:

Sn = a1 + a2 + a3 + . . . + an2 + an1 + an

Suponha, para um certo ndice k , com 1 < k < n, que todos os termos anteriores a ak e este, sejam escritos

em funo do primeiro termo a1 e da razo r . Do termo de ndice k + 1 em diante, todos sero escritos em

funo do termo an e da razo r .

Atravs de um exemplo com 6 termos de uma PA visualizaremos o que foi dito anteriormente.

Considere os termos (a1, a2, a3, a4, a5, a6) de uma PA e tomemos k = 3. Assim, para n = 1, n = 2 e n = 3,

todos os termos sero escritos em funo de a1, ou seja:

(a1, a1 + r , a1 + 2r , a4, a5, a6)

Para os demais termos, n = 4, n = 5 e n = 6, escreveremos em funo do ltimo termo da PA, que no caso em

questo o a6. Assim, temos:

(a1, a1 + r , a1 + 2r , a6 2r , a6 r , a6).

Observe que esta representao poder ser feita com qualquer quantidade de termos de uma PA. Alm disso,

a representao preserva as caractersticas dos termos que esto em uma PA. Por exemplo, a diferena entre

o quarto e o terceiro termo ser igual a razo da PA. Observe:

a4 a3 = (a6 2r) (a1 + 2r) = (a1 + 5r 2r) a1 2r = 3r 2r = r .

Retornemos representao dos n termos de uma PA como sugerido, ou seja,

(a1, a1 + r , a1 + 2r , . . . , an 2r , an r , an).

Assim, a soma dos n primeiros termos da PA :

(i) Sn = a1 + (a1 + r) + (a1 + 2r) + . . . + (an 2r) + (an r) + an


Podemos calcular a mesma soma, de uma outra maneira. Por exemplo, do ltimo termo para o primeiro, afinal,

a ordem das parcelas no altera a soma.

(i i) Sn = an + (an r) + (an 2r) + . . . + (a1 + 2r) + (a1 + r) + a1.

Adicionando (i) a (i i) temos:

Sn = a1 + (a1 + r) + (a1 + 2r) + . . . + an 2r + an r + anSn = an + (an r) + an 2r + . . . + (a1 + 2r) + (a1 + r) + a1

2 sn = (a1 + an) + (a1 + an) + (a1 + an) + . . . + (a1 + an) + (a1 + an) + (a1 + an)

Observe que a parcela (a1 + an) foi adicionada n vezes. Portanto,

2 Sn = (a1 + an) n Sn =(a1 + an) n

2.

Exemplo 1.5. Calcule a soma dos 15 primeiros termos da PA (14,10,16, . . .).

Soluo: Utilizando a frmula para o clculo da soma dos n termos de uma PA para n = 15, temos:

S15 =(a1 + a15) 15

2.

Como o primeiro termo a1 = 14 e a razo da PA r = 10 (14) = 10 + 14 = 4, temos quea15 = a1 + 14 r = 10 + 14 4 = 46. Assim, a soma dos quinze primeiros termos :

S15 =(14 + 46) 15

2 S15 =

32 152

S15 = 240.

Exemplo 1.6. Dada a PA (ex , ex +1, ex +2, . . .), determine o valor de x tal que a soma dos seus dez primeiros

termos seja igual a 50.

Soluo: A soma dos dez primeiros termos :

S10 =(a1 + a10) 10

2 S10 = (a1 + a10) 5.

Como a1 = ex e a razo da PA r = a2 a1 = ex + 1 ex = 1, ento a10 = a1 + 9 r = ex + 9. Substituindo-seS10 = 50 em S10 = (a1 + a10) 5, temos:

50 = (ex + ex + 9) 5 10 = 2ex + 9 2ex = 1 ex = 12 x = ln(1/2).

1.1.5 Exerccios Propostos

EP 1.1. Numa PA o primeiro termo 12 e o dcimo quinto termo 30. Qual o quarto termo dessa PA?

EP 1.2. Numa PA de 7 termos, a7 = 3 a1 e o termo central 6. Qual a razo da progresso?

EP 1.3. Determine m de modo que a seqncia (m 14, 2m + 2,m2) seja uma PA

EP 1.4. Interpole seis meios aritmticos entre 22 e 20.

EP 1.5. Quantos nmeros inteiros x , tais que 23 x 432, no so mltiplos de 3?

EP 1.6. Determine trs nmeros que formam uma PA crescente cuja soma deles seja 39 e o produto dos

extremos seja 144.

EP 1.7. Num quadriltero, os ngulos internos esto em PA e o maior deles mede 150.Quais so as medidas

dos outros ngulos internos?


EP 1.8. Uma gravadora observou, que em um ano, a venda de cds aumentava mensalmente segundo uma

PA de razo 400. Se em maro foram vendidos 1.600 cds, quantos cds a gravadora vendeu naquele ano?

EP 1.9. Quantos termos devemos somar na PA = (15,12,9, . . .) para obtermos uma soma igual a 270?

EP 1.10. Suponha que, em um certo ms, o nmero de queixas dirias registradas em um rgo de defesa

do consumidor aumente segundo uma PA Sabendo que nos 10 primeiros dias houve 245 reclamaes e nos 10

dias seguintes houve mais 745 reclamaes. Determine a seqncia do nmero de reclamaes naquele ms.

1.2 Progresses Geomtricas

Introduo

Uma lenda antiga retrata a histria da criao do jogo de xadrez. Diz a lenda que, num certo reino, o rei,

todo poderoso, estava cansado de tanto governar. Assim, pediu a um dos seus servos mais inteligentes que

criasse um jogo, no qual ele pudesse se entreter. Levando em considerao um pedido muito especial, o jogo

tinha que representar, necessariamente, uma espcie de batalha, dado que o rei era um verdadeiro f de tal

tipo de atividade fsica. Em retribuio inveno de tal jogo, o rei deu a sua palavra ao servo, prometendo

que atenderia a qualquer pedido seu. Ele, que no era bobo, aps a inveno do jogo, fez o seguinte pedido:

Como o jogo que inventei se passa num tabuleiro contendo 8 8 quadradinhos, ao todo, peo-te, rei,que, para cada quadradinho, eu ganhe uma certa quantidade de gros, contados da seguinte forma: para o

primeiro quadrado, um gro apenas; para o segundo, o dobro; para o terceiro, o dobro do segundo, ou seja,

quatro gros, e assim sucessivamente, at o ltimo quadrado.

O rei, que no era matemtico, achou o pedido fcil de ser atendido, mas, desconfiado, como qualquer

rei, pediu a alguns de seus braos direitos que contabilizassem a quantidade total de gros. Ser que a

quantidade de gros era pagvel? vamos analisar da seguinte forma:

1 Quadrado 1 gro = 20gro2 Quadrado 2 gros = 21gros3 Quadrado 4 gros = 22gros

......

...

64 Quadrado 264gros

Observe que a quantidade a ser paga a soma de todas as quantidades por cada um dos quadradinhos do

tabuleiro de xadrez. Assim,

20 + 21 + 22 + . . . + 264

S para se ter uma idia da quantidade de gros que deve ser pago, nos dias atuais, a quantidade mundial

de gros, no seria capaz de chegar nem perto do valor obtido pela soma anterior. Nem tudo parece ser to

simples quanto a forma com a qual se apresenta, o rei no sabia, mas o conjunto formado pela quantidade de

gros em cada quadradinho do jogo, ou seja, (20, 21, 22, . . . , 264) so termos de um tipo especial de seqncia,

denominada progresso geomtrica. Observe que, cada termo desta seqncia (exceto pelo primeiro termo)

obtido do seu antecessor multiplicado por 2. A definio matemtica de uma progresso geomtrica, ou PG de

forma abreviada, dada a seguir:

1.2 Definio. [Progresso geomtrica] Uma progresso geomtrica uma seqncia de nmeros reais

no nulos em que o quociente entre um termo qualquer (a partir do segundo) e o seu antecessor sempre

constante. Essa constante chamada de razo da PG e ser indicada pela letra q.

So exemplos de progresses geomtricas, as seqncias:


(a) (2, 6, 18, 54, . . .), onde q = 3;

(b) (5, 15,45, 135, . . .), onde q = 3;

(c) (20, 10, 5,5

2, . . .), onde q =

1

2;

(d) (4,4, 4,4, . . .), onde q = 1;

(e) (1,13,1

9, 1

27, . . .), onde q =

1

3;

(f) (1,2,4,8, . . .), onde q = 2.

As progresses geomtricas se dividem em trs tipos:

Alternada ou oscilante: Quando a razo for negativa. Como exemplo, podemos citar as progresses ge-omtricas em (b) e em (d).

Crescente: Quando a razo q for maior que 1 (q > 1), aliado ao fato do primeiro termo ser positivo (a1 > 0). o caso do exemplo em (a). Um outro caso dado quando a razo q for um nmero real positivo menor

que 1, 0 < q < 1 e o primeiro termo for negativo. o caso do exemplo em (e).

Decrescente: Quando o primeiro termo positivo (a1 > 0) e a razo um nmero positivo menor que um(0 < q < 1). o caso do exemplo em (b). Ou ainda, quando (a1 < 0) e a razo maior do que 1 (q > 1).

o caso do exemplo em (f).

1.2.1 Termo Geral de um Progresso Geomtrica

Assim como foi visto nas progresses aritmticas, as geomtricas possuem uma frmula para o clculo do

termo geral. A idia que utilizaremos bem simples e de fcil compreenso.

Suponha que uma certa PG (a1, a2, a3, a4, . . .) possua razo igual a q. J sabemos que o quociente entre

qualquer termo (a partir do 2 termo) pelo seu antecessor igual a razo q. Assim:

a2

a1= q a2 = a1 q

a3

a2= q a3 = a2 q a3 = (a1 q) q a3 = a1 q2

a4

a3= q a4 = a3 q a4 = (a1 q2) q a4 = a1 q3

......

...

Observe que a2 = a1 q, a3 = a1 q2, a4 = a1 q3. Seguindo essa lgica chegamos ao termo geral, ou n-simotermo da seqncia:

an = a1 qn1, n 1

Dessa forma, de posse do primeiro termo da seqncia (a1) e da razo q, podemos encontrar qualquer outro

termo que desejarmos tal como aconteceu nas progresses aritmticas.

ER 3. Qual o 8 termo da PG (800, 400, 200, . . .)?

Soluo: Encontrar o 8 termo, significa fazer n = 8 na expresso do termo geral da PG. Portanto, a8 =

a1 q7. Como a1 = 800 e q =400

800=

1

2, substituindo na expresso anterior, temos: a8 = 800

1

2

7 a8 =

800

27.

Exemplo 1.7. O 2 termo de uma PG de termos positivos 105 e o 10 termo 1021. Qual a razo dessa

PG?

Soluo: O segundo termo de qualquer PG obtido fazendo o ndice n do termo geral igual a 2. Dessa

forma:

a2 = a1 q como a2 = 105 a1 =a2

q a1 =

105

q


O dcimo termo obtido do termo geral, fazendo o ndice n igual a 10, assim:

a10 = a1 q9 como a10 = 1021 e a1 =105

q 1021 = 10

5

q q9 10

21

105= q8.

Assim, q8 = 1016 q = 8

1016 = 102. Como a PG formada de termos positivos, ento q = 102.

ER 4. Dada a PG (2x , 22x , 23x , . . .), determine o valor de x de modo que seu dcimo termo seja1

128.

Soluo: O dcimo termo da PG ser obtido, fazendo o ndice n igual a 10. Portanto, a10 = a1 q9. Comoa1 = 2

x , precisamos encontrar a razo da PG e com isso calcular o seu dcimo termo. A razo ser dada por

q =a2

a1=

22x

2x q = 2x . Utilizando o fato de que a10 =

1

128temos:

1

128= 2x (2x)9 210x = 1

27 210x = 27 10x = 7 x = 7

10.

1.2.2 Representao Especial de uma PG

Assim como foi visto para os termos iniciais de uma progresso geomtrica, temos, tambm, representaes

simples e eficientes para os n termos iniciais de uma progresso geomtrica. Por exemplo, suponha a seguinte

situao:

As idades de trs irmos so nmeros inteiros que esto em PG. Se o produto dessas idades 64 e a soma

das idades dos dois mais velhos 20, quantos anos tem cada um dos irmos?

Para resolver este problema, suponha que os trs primeiros termos (a1, a2, a3) de uma PG representam as

idades procuradas. Observe que poderamos escrever estes termos em funo apenas do primeiro termo (a1)

e da razo q. Dessa forma,

(a1, a1 q, a1 q2)

Contudo, esta representao no a ideal, pois quando formos utilizar as informaes do problema, o sistema

de equaes obtido ser de resoluo bastante complicada. Compare:a1 (a1 q) (a1 q2) = 64(a1 q) + (a1 q2) = 20

a31 q3 = 64(a1 q) + (a1 q2) = 20

Resolver um sistema como o anterior uma tarefa bastante rdua e complicada. Entretanto, existem atal-

hos que a matemtica nos proporciona, fazendo com que possamos representar a mesma situao de uma

maneira muito mais atrativa e simplificada.

Considere 3 termos de uma PG (a1, a2, a3). Como a quantidade de elementos mpar, temos a presena

de um termo central. Sendo assim, consideraremos o termo central como sendo x , ou seja, a2 = x . Comoa2

a1= q a1 =

x

qea3

a2= q a3 = x q, Uma outra representao para os termos da PG dado por:

x

q, x , x q

Voltando ao problema, tinhamos que o produto das idades dos trs irmos era igual a 64 e a soma das

idades dos dois mais velhos era igual a 20. Assim,8

A primeira equao j nos fornece o valor de x , pois, se x3 = 64, ento x = 4. Substituindo este valor na

equao x (q + 1) = 20, encontramos o valor de q. De fato,

4 (q + 1) = 20 q + 1 = 204

q + 1 = 5 q = 4

De posse do valor de x e de q, podemos, enfim, saber quais so as idades de cada um dos irmos, que so

os termos (1, 4, 16).

Observe que podemos equacionar, de maneira anloga, qualquer quantidade mpar de termos de uma PG.

Por exemplo, se tivermos cinco termos de uma PG, faremos o termos central a3 = x e sua representao

especial : x

q2,x

q, x , x q, x q2

.

No caso de progresses geomtricas que possuem um nmero par de elementos, procedemos de uma

forma um pouco diferente, afinal no existe o termo central.

Tomemos, inicialmente, quatro termos iniciais de uma PG. Uma representao especial que apresenta uma

espcie de simetria dos elementos dada por:x

y3,x

y, x y , x y2

Observe que, assim como ocorreu com os termos iniciais de uma progresso aritmtica, os de uma pro-

gresso geomtrica, em nmero par de elementos, possui representao especial uma nova varivel. Em am-

bos os casos, utilizamos y . Para encontrar a razo, basta dividir, por exemplo, o segundo termo pelo primeiro,

na representao especial de quatro termo de uma PG, a razo q = y2 (verifiquem!)

1.2.3 Soma dos n Primeiros Termos de uma PG

Considere os n primeiros termos de uma PG (a1, a2, a3, . . . , an1, an), onde q 6= 1, e seja Sn a soma destes ntermos. Assim,

(i)Sn = a1 + a2 + a3 + . . . + an1 + an

Multiplicando-se ambos os lados da igualdade pela razo q, temos:

(i i)q Sn = q (a1 + a2 + a3 + . . . + an1 + an) = q a1 + q a2 + q a3, . . . , q an1 + q an

Sabemos que numa PG o quociente entre um termo qualquer, a partir do segundo, pelo seu antecessor igual

a razo. Isto pode ser enunciado de outra maneira. A saber: um determinado termo (exceto o primeiro) o

produto do seu antecessor pela razo. Dessa forma, a2 = a1 q, a3 = a2 q e, seguindo essa lgica, an = an1 q.

Substituindo esses resultados em (i i), temos:

(i i i)q Sn = a2 + a3 + a4 + . . . + an + an q.

Subtraindo (i i i) de (i) temos:

q Sn Sn = (a2 + a3 + a4 + . . . + an + an q) (a1 + a2 + a3 + . . . + an1 + an).

Fazendo as devidas simplificaes, chegamos a:

(iv)q Sn Sn = an q a1.

Como an = a1 qn1 e substituindo em (iv), obtemos:

q Sn Sn = a1 qn1 q a1 Sn (q 1) = a1 (qn 1) Sn =a1 (qn 1)

(q 1) .


Observe que a condio para que a razo seja diferente de 1 se faz necessria para a existncia da soma

dos termos.

Nota 2. Se uma PG possui razo igual a 1, por motivos bvios, todos os termos so iguais. Assim, para

somar os n termos iguais, basta que multipliquemos n por qualquer um dos termos da PG.

(a1, a1, . . . , a1| {z }n

) Sn = a1 + a1 + . . . + a1| {z }n

= n a1

ER 5. Calcule a soma dos oito primeiros termos da PG (2, 6,18, . . .).

Soluo: Para responder este exemplo precisamos fazer o ndice n da expresso que calcula a soma

dos termos de uma PG igual a 8, dessa forma:

S8 =a1 (q8 1)

(q 1) .

O termo a1 = 2, a razo da PG encontrada dividindo-se o segundo termo pelo primeiro. Assim,

q =a2

a1 q = 62 = 3.

Calculando a soma, temos:

S8 =2 [(3)8 1]

(3 1) S8 =2 6.560

4 S8 = 3.280.

1.2.4 Soma dos Infinitos Termos de uma PG

Vimos, na disciplina Clculo III, que uma srie formada pela adio dos infinitos termos de uma seqncia.

Se podemos encontrar um resultado para esta adio (soma), a srie dita convergente. Estudamos vrios

resultados, os quais garantem a convergncia de uma srie. Quando tratamos de uma PG que possui razo q,

1 < q < 1, sua srie converge para um valor s que dada por:

S = limn

Sn S = limn

a1 (qn 1)(q 1) .

Observe que qn tende a zero medida que o expoente n aumenta, uma vez que 1 < q < 1. Dessa forma,

S =a1 (0 1)

q 1 S =a1q 1 S =

a1

1 q .

Em suma, dada uma PG (a1, a2, a3, . . .), com 1 < q < 1, temos que a adio de seus termos dada por:

a1 + a2 + a3 + . . . =a1

1 q .

ER 6. Utilizando a frmula da soma dos infinitos termos de uma progresso geomtrica, encontre a frao

geratriz da dzima peridica 0, 777 . . .

Soluo: Podemos decompor a dzima peridica atravs da adio de infinitas parcelas as quais so

termos de uma PG. Veja a seguinte decomposio:

0, 777 . . . = 0, 7 + 0, 07 + 0, 007 + . . . =7

10+

7

100+

7

1000+ . . . =

7

10+

7

102+

7

103+ . . .

Observe que as parcelas determinam a PG

7

10,

7

102,

7

103, . . .

de razo q =

7

1027

10

=7

102 10

7=

1

10.


Como 1 < 110

< 1, temos que S =a1

1 q =7

10

1 110

=

7

109

10

=7

9.

Portanto, a frao geratriz da dzima peridica 7

9.

ER 7. Resolva a equao x +x2

2+

x3

4+

x4

8+ . . . = 6, com x R.

Soluo: Observe que as parcelas determinam uma PG de razo

q =a2

a1=

x2/2

x=

x

2,

e que temos que a soma 6. Portanto,

S = 6 6 =x

1 x2

x = 6

2 x2

x = 6 3x 4x = 6 x = 3

2.


EP 1.11. Os termos

2

3,4

9, 8

27, . . .

esto em PG. Qual o sexto termo?

EP 1.12. Determine x de modo que os termos (3x+1, 34x , 33x+1) sejam de uma PG.

EP 1.13. Qual o nmero de termos (

3,

6, . . . , 16

3) sabendo que estes esto em PG.

EP 1.14. Numa PG oscilante, a soma do 2 com o 5 termo 210, e a soma do 4 com o 7 840. Qual o primeiro termo dessa PG?

EP 1.15. Subtraindo-se um mesmo nmero dos nmeros 6, 14 e 38, obtemos, nessa ordem, os 3 termos

iniciais de uma PG. Qual a razo dessa PG?

EP 1.16. Quantos termos da PG = (2,6, 18,54, . . .) devemos considerar a fim de que a soma seja 9.842?

EP 1.17. Encontre a frao geratriz da dzima peridica 1, 777 . . ..

EP 1.18. A soma de trs termos iniciais de uma PG crescente 26 e o produto entre eles 216. Encontre

essa PG.

EP 1.19. Sabendo que a seqncia (4y , 2y 1, y + 1, . . .) uma PG, determine:

(a) O valor de y (b) A razo da PG

EP 1.20. Os nmeros que expressam as medidas do lado, da diagonal e da rea de um quadrado podem

estar, nessa ordem, em PG? Em caso afirmativo, qual a razo dessa PG?

1.3 Juros Simples

1.3.1 Introduo

Quando estudamos alguns conceitos, no ensino mdio, como velocidade e acelerao, suas unidades de

medidas so dadas pelo quociente entre duas outras unidades de medidas. No caso da velocidade, a unidade

m

s(metros por segundo). J em respeito acelerao, temos

m

s2(metros por segundo ao quadrado). Existem


duas caractersticas presentes nas unidades mencionadas, nota-se que ambas so dadas como um quociente

entre medidas e a medida situada no denominador da frao de natureza temporal, ou seja, uma grandeza

que mede unidade de tempo.

Uma taxa nada mais do que um quociente entre medidas. A acelerao e a velocidade so exemplos de

taxas, onde a medida situada no denominador da frao de natureza temporal. Uma taxa de juros representa

um valor monetrio qualquer, em que a unidade de tempo pode ser dias, semanas, meses, semestres, anos e

etc. Representaremos a taxa de juro pela letra i admitindo, portanto, as formas: percentual e unitria.

Taxa de Juros Forma Percentual Forma Unitria

2 por cento ao dia i = 2% a.d. i = 0, 02 a.d.

24 por cento ao ms i = 24% a.m. i = 0, 24 a.m.

30 por cento ao semestre i = 30% a.s. i = 0, 30 a.s.

5 por cento ao ano i = 5% a.a. i = 0, 05 a.a.

Observe, na tabela anterior, que as taxas possuem uma forma simplificada na escrita. Ao invs de escrever-

mos 10 por cento ao bimestre, escrevemos i = 10% a.b. Isso faz com que a representao da taxa de juros

seja de fcil compreenso. Agora que j sabemos como representar uma taxa, em qualquer unidade temporal,

podemos ento comear a pensar em capitalizar, primeiramente, a juros simples.

1.3.2 Capitalizao Simples

Andando pelo centro da cidade, um certo indivduo se depara com a seguinte proposta:

Invista R$ 1.000, 00 durante 4 meses aplicando uma taxa fixa de juros i = 10% am

O primeiro questionamento a ser feito nesta situao : quanto ele ir lucrar utilizando a taxa de juros

mencionada? Outra importante pergunta : como o investimento inicial ser capitalizado?

O investimento inicial ser de R$1.000, 00. Assim, o capital inicial que denotaremos, a partir deste instante,

pela letra C ser, exatamente, o valor de R$ 1.000, 00. Portanto C = R$ 1.000, 00. O capital inicial sofrer

a ao da taxa de juros i = 10% durante quatro meses que agora chamaremos de nmero de perodos

e representaremos pela letra n. O primeiro perodo de capitalizao sempre ser representado por n = 0.

Dessa forma, capitalizar, durante quatro perodos, significa admitir quatro valores naturais, comeando pelo

zero, ou seja, n {0, 1, 2, 3}. O juro do perodo, ser representado pela letra J. A simulao descrita deforma detalhada na tabela abaixo. Observe, ainda, que em cada um dos perodos ser calculado o juro e, em

seguida, o montante, representado pela letra M , obtido. Obviamente, o montante a soma do capital com os

juros do perodo corrente, ou seja:

M = C + J

Perodo Capital Juros Montante

0 1.000, 00 0 M = 1.000, 00 + 0 = 1.000, 00

1 1.000, 00 1.000, 00 (0, 10) = 100, 00 M = 1.000, 00 + 100, 00 = 1.100, 002 1.000, 00 1.000, 00 (0, 10) = 100, 00 M = 1.100, 00 + 100, 00 = 1.200, 003 1.000, 00 1.000, 00 (0, 10) = 100, 00 M = 1.200, 00 + 100, 00 = 1.300, 00

fcil perceber que os juros correntes durante toda a simulao uma taxa fixa, exceto pelo perodo n = 0.

Dessa forma, podemos afirmar que os juros total a soma de todos os juros encontrados em cada um dos

perodos. Chamando de Jn os juros do perodo n, com n {0, 1, 2, 3}, temos:

J = J0 + J1 + J2 + J3 = 0 + 1.000, 00 (0, 10) + 1.000, 00 (0, 10) + 1.000, 00 (0, 10)


Simplificando os clculos, os juros totais da simulao dado por: J = 1.000, 00 (0, 10) 3.

Observe que se tivssemos uma quantidade maior de perodos a capitalizar, o produto 1.000, 00 (0, 10) semanteria fixo, mudando-se apenas o nmero a ser multiplicado pela direita. Por exemplo, se capitalizarmos

durante 6 perodos, o juro total acumulado dado por: J = 1.000, 00 (0, 10) 5. Assim, para uma capitalizaoqualquer de um certo capital inicial C , submetido a uma taxa de juros i durante um perodo n, teremos que o

juro total acumulado pode ser calculado pela expresso:

J = C i n

De posse da expresso que calcula os juros fixos, durante todo o perodo de capitalizao, podemos encontrar

a relao entre o montante M , o capital inicial C , a taxa de juros i e o nmero de perodos n. Observe o

seguinte desenvolvimento:

M = C + J, e J = C i n

Segue que,

M = C + C i n M = C (1 + i n).

Para a simulao descrita anteriormente, o montante obtido depois de submeter o capital inicial de R$1.000, 00

a uma taxa i = 10% a.m., durante quatro meses de capitalizao, M = R$1.300, 00. Observe que este mesmo

valor poder ser calculado utilizando a frmula M = C (1+ i n), onde C = R$1.000, 00, i = 10% e n = 4 meses(verifiquem!).

1.3 Definio. [Juros Simples] Chamamos de capitalizao simples ou regime juros simples a toda movi-

mentao financeira em que a taxa de juros por perodo incide sempre sobre o capital inicial. Os juros, neste

caso, verificam a relao J = C i n e, alm disso, o montante M , obtido depois de submeter um certo capitalC a uma taxa de juros i durante um certo nmero de perodos n dado por M = C (1 + i n).

Nota 3. As unidades temporais da taxa de juros i , juntamente com o nmero de perodos n, devem ser

sempre as mesmas. Por exemplo, se i = 4% a.a. o nmero de perodos dever, necessariamente, ser

dado em anos tambm. Suponha que, neste caso, n = 12 meses. Como proceder? Em alguns casos,

mudar a unidade temporal do nmero de perodos, mais simples do que mudar a da taxa de juros.

fcil perceber que, se n = 12 meses, ento n = 1 ano e, dessa forma, colocamos a taxa de juros e o

nmero de perodos em sintonia no que diz respeito a unidade temporal de ambos.

Como mudaramos a taxa de juros, ento? Tal questionamento simples de responder. Introduziremos, a

partir de agora, o conceito de taxas equivalentes e desta forma podemos alterar a unidade temporal da taxa

para qualquer outra unidade que quisermos.

1.3.3 Taxas Equivalentes em Juros Simples

Suponha que tenhamos um certo capital inicial C de R$ 500, 00 e desejamos submeter a regime de juros

simples utilizando duas taxas de juros ia = 12% a.a. e im = 1% a.m. durante n = 12 meses. Lembrando que

n = 12 meses pode ser reescrito como n = 1 ano, temos:

Para a primeira taxa de juros ia = 12% a.a. o montante M1 obtido : M1 = 500 (1 + (0, 12 1)) = 500 1, 12 =560, 00.

Para a segunda, im = 1% a.m., o montante M2 : M2 = 500 [1 + (0, 01 12)] = 500 1, 12 = 560, 00.

Observe que M1 = M2, porque isso aconteceu? A resposta disso mais simples do que parece, observe

atentamente as taxas utilizadas nesta simulao, ia = 12% a.a. e im = 1% a.m., a primeira foi dada em anos e

a segunda em meses, alm disso ia = 12 im ou se preferir, im =ia

12.


As taxas ia e im so chamadas de taxas equivalentes, em outras palavras, submetendo um mesmo capital

inicial C , num mesmo nmero de perodos, o montante encontrado ser sempre o mesmo. De uma forma geral,

suponha que ia seja uma taxa qualquer dada em anos e que desejamos encontrar as taxas equivalentes em

semestre (is), bimestre (ib), meses (im), quinzenas (iq) e dias (id), supondo que o capital inicial e o nmero

de perodos so fixos, j sabemos de antemo que os montantes obtidos para cada umas das taxas ser o

mesmo. Se n = 1 ano podemos afirmar que n = 2 semestres, n = 6 bimestres, n = 12 meses , n = 24

quinzenas e n = 360 dias. Dessa forma:

Ma = Ms = Mb = Mm = Mq = Md

(1 + ia 1) = (1 + is 2) = (1 + ib 6) = (1 + im 12) = (1 + iq 24) = (1 + id 360)

ia = 2 is = 6 ib = 12 im = 24 iq = 360 id

Nota 4. A quantidade de dias em cada ms no regime comercial sempre igual a 30 no importando se

o ms tem 31 dias ou menos de 30 no caso do ms de fevereiro.

1.3.4 Anlise Grfica

Uma outra forma de analisar o comportamento de um certo investimento, submetido ao regime de juros

simples seria atravs da anlise grfica. Observe que, uma vez fixados o capital inicial C e a taxa de juros

simples i , a expresso que relaciona essas variveis juntamente com o montante M e o nmero de perodos n

torna-se uma funo de variveis M (dependente) e n (independente) como definida abaixo:

M(n) = C (1 + i n), onde C e i so fixos

O domnio dessa funo est restrito apenas ao primeiro quadrante. Portanto, no estaremos interessados

em valores negativos tanto do montante quanto do nmero de perodos. Dessa forma Dom(M) = R+.

Outra fato importante que o grfico da funo juros simples, pelo fato de ser

linear, representado por uma reta, que no passa pela origem. Isto se deve ao fato

que partiremos sempre de um certo capital inicial C . Assim, quando n = 0 temos

no mnimo o valor do capital inicial C , haja visto que ainda no completamos um

ms de capitalizao para que o juros obtido no primeiro perodo fosse incorporado

ao montante.

n

M

C (1 + i)C

1

ER 8. Quanto se deve aplicar hoje para obter um montante de R$ 10.000, 00 daqui a 19 meses a uma taxa de

juros simples de 50% a.a.

Soluo: O capital inicial c =? no temos, o montante M = 10.000, 00, o nmero de perodos n = 19

meses que poder ser transformado em anos atravs de uma simples regra de trs:

Ano Meses

1 12x 19

= 12 x = 19 x = 1912

.

A frmula do montante para o regime de juros simples dada por M = C (1 + i n). Portanto:

10.000 = C

1 +

0, 50 19

12

C = 10.000

1 +

0, 50 19

12

C 5.581, 39.Poderamos resolver a mesma questo mantendo o nmero de perodos fixo, ou seja, n = 19 meses, porm,


alterando a unidade temporal da taxa de juros simples.

ia = 12 im im =ia

12. Logoim =

0, 5

12 0, 0416 = 4, 16% a.m.

Encontrando o capital inicial C , utilizando a nova taxa de juros simples mensal i = 4, 16% temos:

10.000 = C [1 + (0, 0416 19)] C = 10.000[1 + (0, 0416 19)] C 5.581, 39

Portanto, o capital procurado de R$ 5.581, 39.

ER 9. Qual o valor dos juros contidos no montante de R$ 100.000, 00, resultante da aplicao de um certo

capital taxa de 42% a.a., durante 13 meses?

Soluo: Para resolvermos estes exerccios, devemos lembrar, primeiramente, que os juros no regime

de capitalizao simples fixo durante todos os perodos e a frmula para calcular o juro total acumulado

depende do capital inicial C , da taxa de juros simples i e do nmero de perodos n.

J = C i n

Precisamos encontrar o capital inicial C para depois calcular o juro total. Como o montante de R$100.000, 00,

atravs da frmula M = C (1 + i n), obteremos o valor do capital inicial. Observe ainda que as unidadestemporais da taxa e do nmero de perodos so incompatveis, ou trocamos a taxa de juros de anos para

meses ou trocamos o nmero de perodos de meses para anos. Se n = 13 meses, ento n =13

12anos.

100.000 = C

1 +

0, 42 13

12

C = 100.000

1 +

0, 42 13

12

C 68.728, 52.Assim, o capital inicial de R$ 68.728, 52. Calculando o juros total do perodo, temos que:

J = 68.728, 52 0, 42 1312

31.271, 48.

Podemos encontrar, da mesma forma, o valor total dos juros utilizando uma outra relao que envolve o

montante M , o capital inicial C e o juros total J. A frmula mencionada dado por:

M = C + J J = M C .

Assim, subtrai-se o valor do montante pelo capital e, dessa forma, encontra-se o valor para o juro total J.

J = 100.000, 00 68.728, 52 = 31.271, 48

O resultado do juro total, seria o mesmo, se mantivermos o nmero de perodos igual 13 meses e

transformando a unidade temporal da taxa de juros de ano para meses? Fica a cargo do leitor responder tal

questionamento.

ER 10. Uma empresa aplicou R$ 4.000, 00 reais no dia 15/06/06 ao dia 21/06/06 e gerou um montante de

R$ 4.042, 00. Qual foi a taxa mensal de rendimento dessa operao?

Soluo: Em primeiro lugar, precisamos descobrir o nmero de perodos existentes entre essas duas

datas. Seria muito comum que qualquer pessoa afirmasse que entre as datas 15/06/06 e 21/06/06 existem

apenas 6 dias e isto infelizmente incorreto. Quando contabilizamos datas, a data de partida dever tambm

ser levada em considerao, dessa forma no teremos apenas 6 dias, o correto, neste caso, afirmar que

entra as datas 15/06/06 e 21/06/06 existem na verdade 7 dias. Dessa forma o nmero de perodos ser n = 7


dias. Utilizando a frmula de juros simples M = C (1 + i n), temos:

4.042 = 4.000 (1 + i 7) 4.0424.000

= 1 + i 7 1, 0105 = 1 + 7 i i = 1, 0105 17

= 0, 015.

Dessa forma, i = 0, 015 a taxa de juros simples diria , lembrando que o exerccio pede a taxa de juros

mensal. Assim devemos utilizar a equivalncia de taxas, onde im = 30 id .

im = 30 id = 30 0, 015 = 0, 045 = 4, 5% a.m.

ER 11. Depositei a quantia de R$ 72.000, 00 em um banco que remunera seus clientes taxa simples de 36%

a.a. Depois de um certo tempo, verifiquei que o meu saldo no banco era de R$ 73.800, 00. Por quantos dias

deu-se esta aplicao?

Soluo: A questo pede para encontrarmos o nmero de perodos em dias, que o capital inicial C =

72.000, 00 foi aplicado a uma taxa de juros simples i = 36% a.a., resultando num montante M = 73.800, 00.

Observe que o nmero de perodos a ser encontrado dever estar medido em dias, dessa forma devemos

fazer uma mudana na unidade temporal de ano para dias da taxa fornecida.

ia = 360 id id =ia

360 id =

0, 36

360 id = 0, 001.

Utilizando a frmula de juros simples M = C (1 + i n) temos que:

73.800, 00 = 72.000, 00 (1 + 0, 001 n) 73.800, 0072.000, 00

1 = 0, 001 n n = 1, 025 10, 001

= 25

Assim, o nmero de perodos procurado n = 25 dias.


EP 1.21. Uma empresa tomou emprestada a quantia de R$451.000, 00, se comprometendo a liquidar a dvida

em 45 dias, pagando por esta R$ 572.770, 00. Qual a taxa mensal de juros simples adotada nesta operao?

EP 1.22. Depositei a quantia de R$ 72.000, 00 em um banco que remunera seus clientes taxa de juros

simples de 36% ao ano. Depois de um certo tempo, o meu saldo neste banco era de R$ 73.800, 00. Por quantos

dias deu-se essa aplicao?

EP 1.23. Uma loja oferece um aparelho um aparelho por R$ 500, 00 a vista. Na compra deste aparelho a

prazo, pede-se 20% do valor a vista como entrada, e mais um pagamento de R$ 550, 00 no prazo de 2 meses.

Que taxa de juros simples a loja est cobrando nessa operao?

EP 1.24. Um capital, aplicado por 5 meses, foi elevado a R$42.000, 00. Caso esse capital tivesse sido aplicado

por 10 meses, mesma taxa de juros simples, teria se elevado R$ 54.000, 00. Encontre esse capital e a taxa

utilizada.

EP 1.25. Um capital aplicado por 2 meses, elevou-se a2

3de si prprio. Qual foi a taxa de juros simples

considerada?

EP 1.26. Um capital (C2) supera um outro (C1) em 20%. Os dois foram aplicados a juros simples a

taxas de 10% a.m. e 7% a.m. respectivamente, e produziram juntos, em um mesmo prazo, um montante

de R$ 205.000, 00. Determine esse prazo, sabendo que o juro do capital (C2) supera (C1) em R$ 25.000, 00

EP 1.27. Que taxa de juros simples faz com que um certo capital inicial C triplique de valor em 2 anos e 1

ms.

EP 1.28. A soma de um capital, aplicado durante 110 dias, taxa de juros simples de 7% a.a., com seu juro,

igual R$ 2.553, 47. Determine o valor do juro, considerando o ano com 360 dias.


EP 1.29. Um comerciante oferece a sues clientes um abatimento de 5% no caso de compras a vista. Em

contra partida, nas compras a prazo, suas mercadorias sofrem um acrscimo de 15% e d-se ao cliente um

prazo de 3 meses para efetuar o pagamento. Qual a taxa mensal de juro simples adotada por essa loja?

EP 1.30. Uma pessoa aplicou um certo capital em um banco taxa de juros simples de 96% a.a. Transcorridos

5 meses, essa pessoa retirou o capital mais o juros e aplicou-os em um outro banco por 3 meses, taxa de

juros simples de 9% a.m. obtendo com isso um juro de R$ 4.536, 00. Qual o capital inicial aplicado por essa

pessoa?

1.4 Juros Compostos

Introduo

Agora que j sabemos lidar com os conceitos de juros simples, equivalncia de taxas num regime de juros

simples, podemos comear a pensar como se comporta um capital inicial C num regime de juros compostos,

submetido a uma taxa de juros composto i durante um nmero de perodos n. Ser que o resultado final, ou

seja, o montante M obtido durante a capitalizao composta sempre maior do que a capitalizao simples?

A matemtica nos reserva situaes fascinantes, responder perguntas dessa natureza significa possuir um

conhecimento bastante slido dentro do assunto proposto. Para introduzirmos o conceito de juros compostos

vamos utilizar como referncia a mesma simulao usada para ilustrar o regime de juros simples.

A capitalizao composta ou, simplesmente, juros compostos a forma de movimentao financeira mais

utilizada no mercado. O simples ato de comprar algum bem de consumo parcelado, ou investir um certo capital

inicial numa caderneta de poupana, so exemplos prticos da utilizao da capitalizao composta no dia-

a-dia. Entender os conceitos e aplicaes dos juros compostos de fundamental importncia no decorrer do

curso de matemtica financeira, principalmente no estudo de sries de pagamentos.

1.4.1 Capitalizao Composta

Lembrando do que foi visto com relao a juros simples, propusemos uma simulao baseada na seguinte

frase: Invista R$ 1.000, 00 durante 4 meses aplicando uma taxa fixa de juros i = 10% am.

Naquele instante, estvamos interessados em equacionar tanto a frmula de juros, quanto a frmula do

montante para o regime de juros simples. Observe que naquele momento os juros tinham uma caracterstica

de ser fixo durante toda a capitalizao. Vamos mudar a maneira de incidir a taxa de juros agora, ao invs de

incidirmos a taxa de juros sempre no capital inicial, incidiremos no montante do perodo anterior. Utilizaremos

a seguir de modo a ilustrar e melhorar a compreenso do que estamos dizendo.

Perodo Capital Juros Montante

0 1.000, 00 0 M = 1.000, 00 + 0 = 1.000, 00

1 1.000, 00 1.000, 00 (0, 10) = 100, 00 M = 1.000, 00 + 100, 00 = 1.100, 002 1.000, 00 1.100, 00 (0, 10) = 110, 00 M = 1.100, 00 + 110, 00 = 1.210, 003 1.000, 00 1.210, 00 (0, 10) = 121, 00 M = 1.210, 00 + 121, 00 = 1.331, 00

Observamos, pela tabela, que nos perodos n = 0 e n = 1 os montantes obtidos foram exatamente iguais

aos calculados pelo regime de capitalizao simples. No entanto, olhando para os perodos n = 2 e n = 3, nota-

se um acrscimo significativo se comparados as respectivos montantes dos perodos em questo no sistema

de capitalizao simples.


O juro total, neste caso, tambm ser a soma de todos os juros obtidos em cada perodo, o grande problema

que pelo fato de no ser constante, no existir uma frmula para calcularmos diretamente assim como foi

visto no regime de juros simples.

J = J0 + J1 + J2 + J3 = 0 + 100 + 110 + 121 = 331

Contudo, a frmula que envolve o montante M , o capital inicial C e o juros total J continua sendo vlida para

este caso ou seja, M = C + J.

M = C + J M = 1.000, 00 + 331, 00 M = 1331, 00

Qual ser a relao entre o montante M o capital inicial C , a taxa de juros composta i e o nmero de perodos

n para o regime de capitalizao composta?

De uma forma geral, suponha que tenhamos um certo capital C submetido a uma taxa de juros composta i

durante um nmero de perodos n. A caracterstica principal dos juros compostos que a taxa de juros incidir

sempre no montante anterior ao perodo em questo, dessa forma:

n = 0 J0 = 0 M0 = C + J0 = C + 0 M0 = C

No perodo seguinte, a taxa incidir sobre o montante M0 como M0 = C a capitalizao ainda se comporta

de forma idntica juros simples, assim:

n = 1 J1 = M0 i = C i M1 = M0 + J1 = C + C i M1 = C (1 + i)

Observe que se n = 2, a capitalizao composta comea a ter um comportamento bastante diferente com

relao a simples, pois neste caso a taxa de juros i incide sobre o montante anterior e neste caso M1 6= C , poisM1 = C (1 + i).

n = 2 J2 = M1 i = C (1 + i) i M2 = M1 + J2 M2 = C (1 + i) + C (1 + i) i

Podemos simplificar M2, pois o termo C (1+ i) um fator comum a expresso, dessa forma pode ser colocadoem evidncia.

M2 = C (1 + i) + C (1 + i) i M2 = C (1 + i) (1 + i) M2 = C (1 + i)2

Seguindo essa lgica, fcil perceber que o montante M3 ser dado por M3 = C (1 + i)3. Para um montantequalquer Mn ou se preferir M(n) a expresso para o seu clculo ser:

M(n) = C (1 + i)n

De modo a simplificar a notao, utilizaremos somente a varivel M para representar o montante num perodo

qualquer, dessa forma:

M = C (1 + i)n

1.4 Definio. [Juros Compostos] Chamamos de capitalizao composta ou regime de juros compostos a

toda movimentao financeira em que a taxa de juros, para cada perodo, incide sempre sobre o montante do

perodo anterior. O montante M obtido depois de submeter um certo capital C a uma taxa de juros i durante

um certo perodo n dado por:

M = C (1 + i)n

Nota 5. Assim como no regime de juros simples, a taxa de juros compostos juntamente com o nmero

de perodos precisam estar sempre na mesma unidade temporal.


1.4.2 Taxas Equivalentes em Juros Compostos

De forma equivalente ao regime a juros simples, podemos encontrar as taxas equivalentes no regime

juros compostos. A idia bastante parecida, exceto pela forma de capitalizar, lembrando que no caso dos

juros simples, a relao entre o montante M , o capital inicial C , o nmero de perodos n e a taxa de juros i

representada pela expresso M = C (1+ i n) enquanto que no regime de capitalizao composta a expressoobtida para o clculo do montante foi M = C (1 + i)n.

De uma forma geral, suponha que ia seja uma taxa qualquer dada em anos e que desejamos encontrar as

taxas equivalentes em semestre (is), bimestre (ib), meses (im), quinzenas (iq) e dias (id ), supondo que o capital

inicial e o nmero de perodos so fixos. Se n = 1 ano, podemos afirmar que n = 2 semestres, n = 6 bimestres,

n = 12 meses , n = 24 quinzenas e n = 360 dias. Dessa forma:

Ma = Ms = Mb = Mm = Mq = Md

(1 + ia)1 = (1 + is)

2 = (1 + ib)6 = (1 + im)

12 = (1 + iq)24 = (1 + id)

360

Observe que, no caso dos juros compostos, o isolamento de uma taxa para efetuar os clculos e dessa forma

encontrar a respectiva taxa equivalente em uma outra unidade de medida temporal no to bvio. No regime

a juros simples as taxas equivalentes eram proporcionais e devido a isso, o clculo se tornou mais simplificado.

Neste momento no temos mais a proporcionalidade mas isto em nada impedir encontrarmos, por exemplo,

a taxa de juros compostos bimestral, possuindo a taxa de juros mensal, como proceder?

Devemos isolar a varivel ib na igualdade (1 + ib)6 = (1 + im)12. Em hiptese alguma desenvolveremos as

potncias de cada parntesis, este procedimento totalmente equivocado. Utilizaremos uma maneira mais

inteligente, simples e muito mais elegante. Observe que, se o expoente do fator (1 + ib) fosse 1, ao invs de 6

no teramos problema algum em isolar a varivel. Porque ento, no tornamos o expoente igual a 1 atravs

de alguma propriedade matemtica? Lembrando que pelo fato de ser uma igualdade, tudo o que for feito no

primeiro membro, dever, necessariamente, ser feito no segundo membro de forma a preservar o sinal de

igualdade entre os dois fatores, dessa forma:

(1 + ib)6 = (1 + im)

12 6

(1 + ib)6 =6

(1 + im)12 (1 + ib) = 6

(1 + im)12

Agora que tornamos o expoente igual a 1 no fator (1 + ib) podemos enfim isolar a varivel ib.

ib =6

(1 + im)12 1

Observe, ainda, que podemos simplificar os clculos e sempre que isto for possvel, ser realizado.

ib = (1 + im)126 1 ib = (1 + im)2 1.

ER 12. Suponha que um certo capital R$ 500, 00 tenha sido submetido a uma taxa de juros compostos i = 4%

a.m. Encontrar as taxas de juros equivalentes ao ano, ao semestre e ao dia. Encontre o montante para cada

um das referidas taxas supondo que o nmero de perodos da capitalizao foi n = 6 meses.

Soluo: Vamos encontrar por motivos bvios, primeiro a taxa de juros equivalente ao ano, afinal o

expoente do fator (1 + ia) j 1 e dessa forma os clculos se tornam mais simples.

(1 + ia)1 = (1 + im)

12 ia = (1 + im)12 1 = (1 + 0, 04)12 1 0, 6010 = 60, 10%a.a.

A taxa de juro equivalente ao semestre ser:

(1 + is)2 = (1 + im)

12 is = (1 + im)6 1 = (1 + 0, 04)6 1 0, 2553 = 26, 53%a.s.

Finalmente, a taxa de juros equivalente ao dia ser:

(1 + im)12 = (1 + id )

360 id = 360

(1 + im)12 1 = (1 + 0, 04)12

360 1 0, 0013 = 0, 13%a.d.


Os montantes para cada uma das taxas encontradas so dados a seguir, lembrando que no regime de

capitalizao a juros simples, a expresso utilizada ser M = C (1 + i)n.O montante anual Ma, utilizando a taxa 60, 10% a.a., com n =

5

12anos, ser:

Ma = 500 (1 + 0, 6010)6

12 632, 65

Utilizando a taxa de juros semestral i = 26, 53% a.s., o montante semestral Ms encontrado durante n = 1

semestre ser:

Ms = 500 (1 + 0, 2653)1 632, 65

Finalmente, utilizando a taxa de juros 0, 13% a.d durante um nmero de perodos n = 180 dias, o montante

dirio Md encontrado foi:

Md = 500 (1 + 0, 0013)180 631, 72

Observe que, dentre os trs montantes calculados, o terceiro deles, o montante dirio Md , possuiu uma

capitalizao inferior aos outros dois valores. Em alguns casos isto poder ocorrer, afinal no clculo das

taxas estamos fazendo aproximaes, pois os valores das mesmas no foram nmeros exatos, desta forma

uma pequena variao nos montantes j era esperada.

1.4.3 Anlise Grfica

Assim como foi feito nos juros simples, podemos abordar graficamente os juros compostos. Fixando o capital

inicial C juntamente com a taxa de juros compostos i , a expresso do montante composto M = C (1 + i)ntorna-se uma funo nas variveis M (dependente) e n (independente), assim:

M(n) = C (1 + i)n, onde C e i so fixos

O domnio dessa funo, tambm, est restrito apenas ao primeiro quadrante. Portanto, no estaremos

interessados em valores negativos, tanto do montante quanto do nmero de perodos. Dessa forma Dom(M) =

R+.

O comportamento da funo juros compostos totalmente diferente se com-

parado ao da funo juros simples. A funo juros compostos exponencial, visto

que a varivel independente (n) est situada no expoente do fator (1 + i), uma vez

que a taxa de juros compostos est fixa.

Depois de verificar domnio e natureza dos grficos de ambas as funes juros

simples e composto, ser que somos capazes de responder a seguinte pergunta:

n

M

C (1 + i)C

1

melhor aplicar a juros simples ou a juros compostos ?

A resposta, digamos intuitiva, seria obviamente achar que os juros simples fornecem sempre os maiores

montantes. Mas para a surpresa de todos, isto nem sempre ser verdade. Em alguns casos investir um

certo capital a juros simples ser mais vantajoso do que os juros compostos. Para entender melhor isto,

construiremos os grficos das duas funes num mesmo plano cartesiano, identificando a situao onde ocorre

um montante maior pelo regime a juros simples.

1.4.4 Juros Simples Juros Compostos

Suponha que um certo investidor dispe da quantia de R$ 40.000, 00 e vai empregar o seu capital uma

taxa de 12% ao ano, durante 6 meses. Qual a melhor forma dele capitalizar o seu dinheiro, juros simples ou

composto?


Para responder esta pergunta, o mais correto ser calcular os dois montantes, ou seja, utilizando ambos os

regimes de capitalizao e depois comparar os valores obtidos. Lembrando que estamos comparando resul-

tados fornecidos por funes de natureza totalmente distintas, juros simples (funo linear) e juros compostos

(funo exponencial).

Primeiro, capitalizaremos o valor de R$ 40.000, 00 utilizando o regime de capitalizao simples, a expresso

para o montante M = C (1 + i n), o nmero de perodos n = 6 meses e a taxa de juros simples ser dei = 12% ao ano. Observe que a unidade temporal da taxa e do nmero de perodos no compatvel, utilizando

uma equivalncia de taxas no regime de juros simples, encontraremos a taxa proporcional ao ms, assim:

ia = 12 im im =ia

12 im =

12

12 im = 1

Calculando o montante obtido pelo juros simples, temos:

M = 40.000, 00 (1 + (0, 01 6)) M = 42.400, 00

Com a capitalizao simples, obtivemos um montante igual a R$ 42.400, 00 ser que a capitalizao composta

proporcionar um montante maior? Vamos calcular agora o montante utilizando a capitalizao composta.

Antes, precisamos encontrar a taxa equivalente em meses utilizando juros compostos, dessa forma:

(1 + ia)1 = (1 + im)

12 im = 12

(1 + 0, 12)1 1 im 0, 0095

Calculando o montante obtido pelo juros compostos, temos:

M = 40.000, 00 (1 + 0, 0095)6 42.334, 84

Interessante, o montante obtido pela capitalizao simples foi maior do que o obtido pela capitalizao com-

posta. Observe, ainda, que o montante simples, excedeu o composto em R$ 65, 16. Porque isso aconteceu?

A pergunta anterior fcil de ser respondida, atravs de uma anlise grfica.

Identificaremos, assim, porque o juros simples rendeu mais do que o juros com-

posto. Observe, na figura ao lado, os grficos das funes juros simples e composto

construdos em um mesmo plano cartesiano.

fcil perceber, pelo grfico, que se o nmero de perodos estiver no intervalo

0 < n < 1, o grfico da funo juros simples est situado acima do grfico da funo

juros compostos, em termos de funo, isto significa que as imagens dos elementos

que estejam nesta faixa do domnio, possuem valores maiores pela funo juros

simples do que pela funo juros compostos.

n

M

C (1 + i)C

1

Observe que n = 6 meses, poderia ser representado por n = 0, 5 ano, pois j sabemos que as unidades da

taxa e do nmero de perodos tem de ser compatveis, como 0 < 0, 5 < 1 fica explicado porque a capitalizao

simples superou a composta. Caso o nmero de perodos fosse igual a uma unidade temporal da taxa de

juros, ou seja, n = 1 ano, as capitalizaes simples e composta seria absolutamente iguais e, neste caso,

poderamos escolher qualquer uma das duas pois os montantes seriam os mesmo. Supondo n > 1, pelo

fato dos juros compostos possuir uma natureza exponencial, os montantes obtidos nesta faixa do domnio

seriam sempre maiores do que os obtidos pela funo juros simples. Denotando por Js e Jc os juros simples e

compostos respectivamente, em resumo, o que ocorrer sempre o seguinte:

n = 1 Js = Jc0 < n < 1 Js > Jcn > 1 Js < Jc

ER 13. Qual o montante produzido pela aplicao de R$ 58.000, 00 a uma taxa de 125% a.a. pelo prazo de

220 dias?

Soluo: A resoluo desta questo bem simples, porm, vale a pena lembrar que a unidade temporal

da taxa de juros deve ser sempre igual a unidade do nmero de perodos. Dessa forma, devemos transformar


n = 220 dias em anos ou transformar 125% a.a. em dias. Utilizaremos a converso de taxas para esta questo

e deixaremos a outra maneira de resolver a cargo do leitor. Transformando a taxa de juros composto ao ano

para dias, temos que:

(1 + ia)1 = (1 + id)

360 id = 360

(1 + ia) 1 = 360

(1 + 1, 25) 1 0, 0022

Portanto, a taxa equivalente em dias ao mesmo perodo de capitalizao ser id = 0, 22%. Utilizando a

expresso de juros compostos, encontraremos o montante.

M = 58.000 (1 + 0, 0022)220 95.057, 98

Assim, o montante encontrado ser de R$ 95.057, 98

ER 14. Uma pessoa recebe uma proposta de investir hoje uma quantia de R$1.000, 00 para receber R$1.343, 92

daqui h 10 meses. Calcular as taxas mensal e anual deste investimento.

Soluo: Utilizaremos a frmula de juros compostos de duas maneiras diferentes na resoluo deste

exerccio. Na primeira preservaremos o nmero de perodo em meses calculando assim a taxa de juros

mensal. Na segunda maneira, mudaremos a unidade temporal do nmero de perodos de meses para anos,

como n = 10 meses podemos afirmar que n =10

12anos.

1.343, 92 = 1.000, 00 (1 + im)10 1.343, 92

1.000, 00= (1 + im)

10 im = 10r

1.343, 92

1.000, 00 1

Portanto, a taxa mensal im = 10r

1.343, 92

1.000, 00 1 0, 0300. Assim, im = 3% a.m. Calculando a taxa de juros

anual, temos:

1.343, 92 = 1.000, 00 (1 + ia)10

12 1.343, 921.000, 00

= (1 + ia)

10

12 ia =

1.343, 92

1.000, 00

1210 1

Assim, a taxa anual ia =

1.343, 92

1.000, 00

1210 1 0, 4257, ou ainda, ia = 42, 57% a.a.

Uma outra forma de calcular a taxa de juros anual utilizando a equivalncia de taxas, uma vez que a

taxa mesal j foi calculada. Em outras palavras, resolvendo-se a equao:

(1 + ia)1 = (1 + im)

12 ia = (1 + im)12 1 = (1 + 0, 03)12 1 0, 4257

ER 15. Em quanto tempo um certo capital C pode produzir juros iguais a um tero do seu valor, se aplicado

a uma taxa de 4, 9% a.m.?

Soluo: A questo atenta para o fato dos juros obtidos nesta capitalizao seja igual a um tero do

capital empregado. Isto significa que J =C

3.

Devemos tomar cuidado para no confundir a frmula do clculo de juros no sistema de capitalizao

simples, com os juros mencionados nesta questo. A caracterizao principal com respeito ao regime de

capitalizao composta que os juros por perodos no so constantes e, portanto, no existe uma frmula

especfica para encontr-lo. Contudo, podemos usar uma relao bastante conhecida envolvendo o montante

M , o capital inicial C e o juros J: M = C + J.

Assim, como J =C

3e M = C + J, temos que:

M = C +C

3=

3C + C

3=

4C

3.

Mas, a frmula do montante no regime de capitalizao composta nos diz que M = C (1 + i)n. Portanto,


correto afirmar que:4C

3= C (1 + i)n 4

3= (1 + 0, 049)n.

Observe, neste caso, que nos deparamos com uma situao nova. A varivel que estamos interessados em

encontrar est situada no expoente de um fator. Como isolaremos a mesma? Para resolver esta situao

inconveniente, utilizaremos os logaritmos e, apenas por facilidade nos clculos, o logaritmo na base 10.

4

3= (1 + 0, 049)n = log

4

3

= log(1 + 0, 049)n log

4

3

= n log(1, 049)

Assim, isolando o nmero de perodos n, temos que: n =

264 log43log(1, 049)

375 6 meses.Nota 6. O recurso dos utilizado na questo anterior ser sempre necessrio, quando quisermos encontrar

o nmero de perodos num regime de capitalizao composta, afinal a frmula do montante em juros

compostos na verdade uma funo exponencial se fixarmos a taxa i e o capital inicial C deixando M e

n respectivamente como variveis dependente e independentes

ER 16. Qual ser o tempo necessrio para que um capital C , aplicado taxa de 20% a.a. duplique o seu

valor?

Soluo: Supondo que M seja o montante obtido depois de capitalizar C durante um certo nmero de

perodos n utilizando a taxa de juros compostos i = 20% a.a. ento M = 2 C . Utilizando a frmula para juroscompostos, temos que:

2 C = C (1 + 0, 20)n 2 = (1, 20)n log 2 = n log(1, 20) n = log 2log(1, 20)

3, 8.

Dessa forma, so necessrios n = 3, 8 anos para que o capital inicial dobre de valor.


EP 1.31. Que capital, aplicado taxa de juro composto de 15% ao ano, durante 10 anos produz juro de

R$ 1.065.945, 30?

EP 1.32. Que taxa mensal de juro composto recebida por um investidor que aplicou R$50.000, 00 e resgatou

aps 8 meses a quantia de R$ 92.546, 50

EP 1.33. Um objeto custa, a vista, R$ 2.000, 00 Na compra a prazo, d-se R$ 700, 00 de entrada e mais um

pagamento de R$ 1.800, 00 para 60 dias. Qual a taxa de juros composto envolvida nesta operao?

EP 1.34. Por quanto tempo deve-se aplicar um capital de R$ 10.000, 00 taxa de juros compostos de 5% a.m.

para obter-se, no final do prazo, um montante de R$ 14.489, 01

EP 1.35. Um investidor aplicou um capital taxa de juros compostos de 4% ao ms e no final de n meses,

produziu um montante igual a 1, 48 do capital investido. Qual o valor de n?

EP 1.36. O preo de um objeto R$ 1.200, 00 podendo esse valor ser pago daqui a 3 meses. Na compra

deste objeto, a vista, d-se um desconto de 15%. Qual a taxa de juros composto envolvida nessa operao?

EP 1.37. Que taxa mensal de juros compostos faz um certo capital inicial C triplicar de valor em 5 meses?

EP 1.38. Com a finalidade de comprar um aparelho que custa R$ 42.076, 56 uma pessoa fez uma aplicao

de R$ 30.000, 00 em um banco que paga 7% a.m. de juro composto. Quanto tempo levou essa aplicao para

atingir o valor desejado?


EP 1.39. Uma pessoa investiu em um banco R$ 150.000, 00 taxa de 10% a.m. por 4 meses e 10 dias. Qual

o montante relativo a essa aplicao?

EP 1.40. Em 1992, depositei R$ 300.000, 00 a juros compostos e recebi, aps 4 meses, R$ 856.830, 00. Por

quanto tempo deveria aplicar este capital, mesma taxa, para obter R$ 1.882.455, 51?

1.4.6 Taxa Nominal Taxa Efetiva

muito comum em alguns tipos de movimentaes financeiras, expressar a taxa de juros em termos anuais.

Contudo, essas mesmas operaes so as vezes, realizadas em perodos de capitalizao mensal, bimestral,

trimestral, semestral e etc. Dessa fato decorre situaes em que a taxa de juros expressa em um perodo de

capitalizao que no coincide com o perodo de tempo ao qual a taxa se refere.

Nesses casos se faz necessrio a distino entre o significado de taxa nominal e taxa efetiva.

1.5 Definio. Chamamos de taxa efetiva aquela que como o prprio nome j diz, efetivamente verifica uma

operao financeira.

1.6 Definio. Taxa Nominal uma taxa aparente que s pode ser definida qua

01-mat_financeira.pdf

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