01 preliminares regresion lineal

MÉTODOS NUMÉRICOS

CAPÍTULO 4: REGRESIÓN POR

MÍNIMOS CUADRADOS.

PRELIMINARES Y REGRESIÓN

LINEAL.

Ing. Willians Medina.

Maturín, Junio de 2015.

Capítulo 4. Regresión por mínimos cuadrados. Preliminares y Regresión lineal.

Métodos Numéricos. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 1

PRESENTACIÓN.

La presente es una Guía de Ejercicios de Métodos Numéricos para estudiantes de

Ingeniería, Ciencia y Tecnología dictada en las carreras de Ingeniería Ambiental, Civil, de

Computación, Eléctrica, Electrónica, Industrial, Mecánica, de Petróleo, de Sistemas y

Química de reconocidas Universidades en Venezuela.

El material presentado no es en modo alguno original, excepto la inclusión de las

respuestas a ejercicios seleccionados y su compilación en atención al contenido

programático de la asignatura y al orden de dificultad de los mismos.

Dicha guía ha sido elaborada tomando como fuente las guías de ejercicios y

exámenes publicados en su oportunidad por Profesores de Métodos Numéricos para

Ingenieros en los núcleos de Monagas y Anzoátegui de la Universidad de Oriente, además

de la bibliografía especializada en la materia y citada al final de cada capítulo, por lo que el

crédito y responsabilidad del autor sólo consiste en la organización y presentación en forma

integrada de información existente en la literatura.

Adicionalmente es conveniente mencionar que este trabajo ha sido realizado con

fines estrictamente académicos y su uso y difusión por medios impresos y electrónicos es

libre, no representando ningún tipo de lucro para el autor.

Finalmente, se agradece infinitamente la dispensa y atención a esta modesta

contribución en la enseñanza y aprendizaje de los Métodos Numéricos, así como las

sugerencias que tengan a bien para mejorar este trabajo, las cuales pueden hacer llegar

directamente a través de los teléfonos: +58-424-9744352 ó +58-426-2276504, PIN:

2736CCF1 ó 7A264BE3, correo electrónico: [email protected] ó

[email protected], twitter: @medinawj ó personalmente en la sección de Matemáticas,

Universidad de Oriente, Núcleo de Monagas.

Ing. Willians Medina.



ACERCA DEL AUTOR.

Willians Medina es Ingeniero Químico, egresado de la Universidad de Oriente,

Núcleo de Anzoátegui, Venezuela. Durante el transcurso de su carrera universitaria se

desempeñó como preparador docente en el área de Laboratorio de Química I y

Termodinámica Aplicada de la carrera de Ingeniería Química de la referida Universidad.

En el año 1996 ingresó a la Industria Petrolera Venezolana, Petróleos de Venezuela

(PDVSA), desempeñando el cargo de Ingeniero de Procesos en la Planta de Producción de

Orimulsión, en Morichal, al sur del Estado Monagas hasta el año 1998, momento en el cual

comenzó su desempeño en la misma corporación como Ingeniero de Manejo de Gas en el

Complejo Operativo Jusepín, al norte del Estado Monagas hasta finales del año 2000.

Durante el año 2001 formó parte del Plan Integral de Adiestramiento (PIA) en San Tomé,

Estado Anzoátegui, donde recibió cursos de preparación integral en las áreas de producción

y manejo de petróleo y gas, pasando finalmente a la Gerencia de Manejo de Gas del Norte

del Estado Monagas, en la localidad de Punta de Mata, siendo responsable del tratamiento

químico anticorrosivo de gasoductos de la zona de producción de petróleo y gas hasta

finales del año 2002. Desde el año 2006, forma parte del Staff de Profesores de

Matemáticas, adscrito al Departamento de Ciencias, Unidad de Cursos Básicos del Núcleo

de Monagas de la Universidad de Oriente (UDO), cargo en el cual ha dictado asignaturas

tales como Matemáticas I (Cálculo Diferencial), Matemáticas II (Cálculo Integral),

Matemáticas III (Cálculo Vectorial), Matemáticas IV (Ecuaciones diferenciales), Métodos

Numéricos, Termodinámica y Fenómenos de Transporte para estudiantes de Ingeniería. Es

autor de compendios de ejercicios propuestos y formularios en el área de Matemáticas,

Física, Química, Mecánica Vectorial, Métodos Numéricos, Termodinámica, Estadística,

Diseño de Experimentos, Fenómenos de Transporte, Mecánica de los Fluidos e Ingeniería

Económica. Es miembro del Colegio de Ingenieros de Venezuela.



4.1.- GENERALIDADES.

El estudio de la teoría de aproximación involucra dos tipos generales de problemas.

Un problema surge cuando se tiene explícitamente una función pero se desea encontrar un

tipo de función “más simple”, como un polinomio, que se pueda usar para determinar los

valores aproximados de la función dada. El otro problema en la teoría de aproximación es

el que consiste en ajustar funciones a datos dados y encontrar la “mejor” función dentro de

cierta clase que pueda usarse para representar a los datos.

Ambos problemas se han tratado en el capítulo 3. El polinomio de Taylor de grado n

alrededor de un número 0x fue discutido como una aproximación excelente a una función

diferenciable (n+1)-veces en una pequeña vecindad de 0x . Los polinomios interpolantes de

Lagrange se discutieron ya sea como polinomios aproximantes o como polinomios

empleados para ajustar ciertos datos. A continuación se considerarán las limitaciones de

estas técnicas y se discutirán enfoques en otras direcciones.

4.2.- REGRESIÓN LINEAL.

Ejemplo ilustrativo 4.1.

Consideremos el problema de estimar los valores de una función en puntos no tabulados,

dados los datos experimentales de la tabla siguiente:

i ix iy

1 2 2

2 4 11

3 6 28

4 8 40

La figura 4.1 muestra la gráfica de los puntos dados (diagrama de dispersión):



Figura 4.1. Diagrama de dispersión de los datos del ejemplo ilustrativo 4.1.

Los métodos descritos requieren de la construcción ya sea de un polinomio de Lagrange de

grado 3 que asuma el valor iy en ix para cada 4,3,2,1i (Figura 4.2).

Figura 4.2. Polinomio interpolante de grado 3 de los datos del ejemplo ilustrativo 4.1.

Sin embargo, la gráfica de los valores dados en la tabla nos indica que sería razonable

suponer que la relación real es lineal y que ninguna recta se ajusta a los datos exactamente

debido al error en el problema de recolección de datos.



Si éste es realmente el caso, no sería razonable pedir que la función aproximante

coincidiera exactamente con los datos dados; en realidad, tal función aproximante

introduciría oscilaciones que no ocurrían originalmente. Un mejor enfoque para un

problema de este tipo sería encontrar la “mejor” (en algún sentido) recta que se pudiera usar

como función aproximante, aún cuando pudiera no coincidir precisamente con los datos en

cada punto (Figura 4.3).

Figura 4.3. Recta de mejor ajuste de los datos del ejemplo ilustrativo 4.1.

El enfoque de mínimos cuadrados a este problema requiere de la determinación de

la mejor recta aproximante cuando el error involucrado es la suma de los cuadrados de las

diferencias ( rS ) entre los valores de la recta aproximante y los valores dados.

El problema general de encontrar la mejor recta de mínimos cuadrados

ixaay 10ˆ (4.1)

que ajuste a una colección de n datos requiere de la minimización de

n

i

iir xaayS1

2

10 )( (4.2)

con respecto a los parámetros 0a y 1a . Para que ocurra un mínimo es necesario que

00

a

S r 01

a

S r



0)()(21

2

10

i

n

i

ii xxaay 0)1()(21

2

10

n

i

ii xaay

Estas ecuaciones se simplifican a lo que se conoce como ecuaciones normales:

n

i

ii

n

i

i

n

i

i yxxaxa11

2

1

1

0

n

i

i

n

i

i yxana11

10 (4.3)

La solución de este sistema de ecuaciones es

2

11

2

1111

2

0

)(

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

ii

n

i

i

n

i

i

xxn

xyxyx

a (4.4)

2

11

2

111

1

)(

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

ii

xxn

yxyxn

a (4.5)

El método de mínimos cuadrados es el procedimiento más conveniente para determinar la

mejor aproximación lineal. El enfoque de mínimos cuadrados le da mucho más peso a un

punto que está fuera de la tendencia del resto de los datos, pero no permite que el punto

domine completamente la aproximación.

Cuantificación del error en la regresión lineal.

Cualquier otra línea diferente a la indicada en la ecuación 4.1 con parámetros dados por las

ecuaciones (4.4) y (4.5) dará como resultado una suma mayor de los cuadrados de los

residuos. Así, la línea es única y, en términos de nuestro criterio elegido, es la “mejor” línea

a través de los puntos. Varias propiedades de este ajuste se observan al examinar más de

cerca la forma en que se calcularon los residuos. Recuerde que la suma de los cuadrados se

define como

n

i

ii

n

i

ir xaayeS1

2

10

1

2 )( (4.2)



En la ecuación (4.2), el cuadrado del residuo representa el cuadrado de la distancia vertical

entre el dato y una medida de tendencia central: la línea recta (Figura 4.4)

Figura 4.4. El error en el valor iy es igual a la diferencia ii xaay 10 entre el valor observado y el valor

teórico de y.

Una “desviación estándar” para la línea de regresión se determina como sigue:

2/

n

SS r

xy (4.6)

donde a xyS / se le llama error estándar del estimado. El subíndice “y/x” designa que el

error es para un valor predicho de y correspondiente a un valor particular de x. También,

observe que dividimos entre 2n debido a que se usaron dos datos estimados ( 0a y 1a ),

para calcular rS ; así, se han perdido dos grados de libertad. Otra justificación para dividir

entre 2n es que no existe algo como “datos dispersos” alrededor de una línea recta que

0.00

2.00

4.00

6.00

8.00

10.00

12.00

14.00

16.00

0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00

y

x

Medición

yi-a0-a1xi

xi

a0+a1xi

yi



une dos puntos. De esta manera, en el caso donde 2n , la ecuación (4.6) de un resultado

sin sentido, infinito.

El error estándar del estimado cuantifica la dispersión de los datos. Aunque, xyS /

cuantifica la dispersión alrededor de la línea de regresión.

Los conceptos anteriores se utilizan para cuantificar la “bondad” de nuestro ajuste.

Esto es en particular útil para comparar diferentes regresiones. Para hacerlo, regresamos a

los datos originales y determinamos la suma total de los cuadrados alrededor de la media

para la variable dependiente (en nuestro caso, y). Esta cantidad se designa por tS y se

define como

n

i

it yyS1

2)( (4.7)

donde y es la media aritmética de la variable dependiente, definida como

n

y

y

n

i

i 1 (4.8)

tS es la magnitud del error residual asociado con la variable dependiente antes de la

regresión. Después de realizar la regresión, calculamos rS , es decir, la suma de los

cuadrados de los residuos alrededor de la línea de regresión (Ecuación 4.2). Esto caracteriza

el error residual que queda después de la regresión. Es por lo que, algunas veces, se le llama

la suma inexplicable de los cuadrados. La diferencia entre estas dos cantidades rt SS ,

cuantifica la mejora o reducción del error por describir los datos en términos de una línea

recta en vez de un valor promedio. Como la magnitud de esta cantidad depende de la

escala, la diferencia se normaliza a tS para obtener

t

rt

S

SSr

2

(4.9)

donde 2r se conoce como el coeficiente de determinación y r es el coeficiente de

correlación ( 2r ). En un ajuste perfecto, 0rS y 12 rr , significa que la línea



explica el 100% de la variabilidad de los datos. Si 02 rr , rt SS , el ajuste no

representa alguna mejora. Una representación alternativa para r que es más conveniente

para implementarse en una computadora es

2

11

22

11

2

111

)()(

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

ii

yynxxn

yxyxn

r (4.10)

Aunque el coeficiente de correlación ofrece una manera fácil de medir la bondad del

ajuste, se deberá tener cuidado de no darle más significado del que ya tiene. El solo hecho

de que r sea “cercana” a 1 no necesariamente significa que el ajuste sea “bueno”. Por

ejemplo, es posible obtener un valor relativamente alto de r cuando la relación entre y y x

no es lineal. Además, como mínimo, usted deberá inspeccionar siempre una gráfica de los

datos junto con su curva de regresión.

Ejemplo 4.1.

Use regresión por mínimos cuadrados para ajustar una línea recta a

ix 2 4 6 8

iy 2 11 28 40

a) Junto con la pendiente y la intersección, calcule el error estándar del estimado y el

coeficiente de determinación y de correlación.

b) Grafique los datos y la línea de regresión.

c) Estime el valor de y para 5x . Estime el valor de x para 30y .

Solución.

a) Para encontrar la recta de mínimos cuadrados que aproxima a estos datos, extendemos la

tabla y sumamos las columnas como se muestra en las tres últimas columnas de la tabla

i ix iy 2

ix ii yx 2

iy

1 2 2 4 4 4

2 4 11 16 44 121

3 6 28 36 168 784

4 8 40 64 320 1600

20 81 120 536 2509



Al sustituir en las ecuaciones (4.4) y (4.5), obtenemos:

2

11

2

1111

2

0

)(

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

ii

n

i

i

n

i

i

xxn

xyxyx

a (4.4)

20)20(1204

2053681120

a

5.120 a

2

11

2

111

1

)(

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

ii

xxn

yxyxn

a (4.5)

21)20(1204

81205364

a

55.61 a

La mejor ecuación lineal en el sentido de mínimos cuadrados es, de acuerdo con la

ecuación (4.1):

ixaay 10ˆ (4.1)

xy 55.65.12ˆ

La tabla siguiente muestra los valores observados con los valores obtenidos usando

esta aproximación.

i ix iy xy 55.65.12ˆ 2)( yyi 2)ˆ( yyi

1 2 2 0.6 333.0625 1.96

2 4 11 13.7 85.5625 7.29

3 6 28 26.8 60.0625 1.44

4 8 40 39.9 390.0625 0.01

20 81 81 868.75 10.7

El error estándar del estimado es, de acuerdo con la ecuación (4.6):

2/

n

SS r

xy (4.6)



24

7.10/

xyS

313007.2/ xyS

El coeficiente de determinación es, de acuerdo con la ecuación (4.9):

t

rt

S

SSr

2 (4.9)

75.868

7.1075.8682 r

987683.02 r

Y el coeficiente de correlación es

2rr

987683.0r

993823.0r

El coeficiente de correlación es, de acuerdo con la ecuación (4.10):

2

11

22

11

2

111

)()(

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

ii

yynxxn

yxyxn

r (4.10)

22 )81()2509(4)20()120(4

81205364

r

347580

524

r

993823.0r

b) En la figura 4.5 se muestran los datos y la recta de regresión.



Figura 4.5. Diagrama de dispersión y recta de mínimos cuadrados de los datos del ejemplo 4.1.

c) Para hacer las estimaciones o pronósticos, se utiliza la ecuación de la línea de regresión

xy 55.65.12ˆ .

Para 5x :

)5(55.65.12ˆ y

25.20ˆ y

Para 30y :

x55.65.1230

488549618.6x

Este procedimiento de regresión lineal se puede ejecutar en la mayoría de las calculadoras

científicas. Se explicará a continuación como realizar la regresión lineal en la calculadora

CASIO fx-570ES PLUS.

- Encender la calculadora:

ON

- Limpiar la memoria:

SHIFT 9 2 = AC

- Entrar en el modo Estadística y a los cálculos de regresión lineal.

MODE 3 2



La calculadora muestra el display siguiente:

X Y

1

2

3

Para ingresar los datos del ejemplo 4.1, presionar la siguiente secuencia de teclas:

2 = 4 = 6 = 8 =

↑ ↑ ↑ ↑ → 2 = 1

1 = 2 8 = 4 0 =

AC

- Obtener los parámetros de la regresión lineal.

Intersección:

AC SHIFT 1 5 1 =

Display:

A

–12.5

Pendiente:

AC SHIFT 1 5 2 =

Display:

B

6.55

Coeficiente de correlación:

AC SHIFT 1 5 3 =

Display:

R

0.9938226468

El modelo de regresión lineal es xy 55.65.12 .

Estimación del valor de y para 5x :

AC 5 SHIFT 1 5 5 =

Display:

y5

20.25



Estimación del valor de x para 30y :

AC 3 0 SHIFT 1 5 4 =

Display:

x30

6.488549618

De igual manera se pueden determinar todas las sumas requeridas por las ecuaciones (4.4),

(4.5) y (4.10) que permiten calcular la intersección con el eje y, la pendiente y el coeficiente

de correlación. El detalle del cálculo se realizó en una tabla precedente, sin embargo, se

muestra la secuencia de teclas en la calculadora para obtener cada una de ellas.

n

i

ix1

AC SHIFT 1 3 2 =

Display:

x

20

n

i

iy1

AC SHIFT 1 3 4 =

Display

y

81

n

i

ix1

2

AC SHIFT 1 3 2 =

Display

2x

120

n

i

ii yx1



AC SHIFT 1 3 5 =

Display

yx

536

n

i

iy1

2

AC SHIFT 1 3 3 =

Display

2y

2509

Y de esta manera estos valores pueden ser sustituidos en las ecuaciones (4.4), (4.5) y (4.10).

Ejemplo 4.2.

[DM] Se piensa que el número de libras de vapor consumidas mensualmente por una planta

química se relaciona con la temperatura ambiente promedio (en ºF) de ese mes. En la tabla

siguiente se muestran la temperatura y el consumo anual.

Mes Temperatura Consumo/1000

Ene. 21 185.79

Feb. 24 214.47

Mar. 32 288.03

Abr. 47 424.84

May. 50 454.58

Jun. 59 539.03

Jul. 68 621.55

Ago. 74 675.06

Sep. 62 562.03

Oct. 50 452.93

Nov. 41 369.95

Dic. 30 273.98

a) Elabore un diagrama de dispersión.

b) Suponiendo que un modelo de regresión lineal simple es apropiado, ajuste el modelo de

regresión que relacione el consumo de vapor (y) con la temperatura promedio (x).

c) ¿Qué cambio se espera en el consumo de vapor promedio cuando la temperatura mensual

promedio cambia 1ºF?



d) ¿Cuál es la estimación del consumo esperado de vapor cuando la temperatura promedio

es 55ºF?

e) Suponga que la temperatura mensual promedio es 47ºF. Calcule el valor ajustado de y y

el residual correspondiente.

f) Determine el error estándar del estimado.

g) Determine el coeficiente de determinación.

h) Determine el coeficiente de correlación.

Solución.

a) En la figura 4.6 se muestra el diagrama de dispersión de los datos.

Figura 4.6. Diagrama de dispersión de los datos del ejemplo 4.2.

En la figura 4.6 se observa que los datos se ajustan a una línea recta.

b) Para encontrar la recta de mínimos cuadrados que aproxima a estos datos, extendemos la

tabla y sumamos las columnas como se muestra en las tres últimas columnas de la tabla

Mes ix iy 2

ix ii yx 2

iy

Ene. 21 185.79 441 3901.59 34517.9241

0

100

200

300

400

500

600

700

800

10 20 30 40 50 60 70 80

Co

nsu

mo (1

00

0, l

b)

Temperatura (ºF)



Feb. 24 214.47 576 5147.28 45997.3809

Mar. 32 288.03 1024 9216.96 82961.2809

Abr. 47 424.84 2209 19967.48 180489.0256

May. 50 454.58 2500 22729 206642.9764

Jun. 59 539.03 3481 31802.77 290553.3409

Jul. 68 621.55 4624 42265.4 386324.4025

Ago. 74 675.06 5476 49954.44 455706.0036

Sep. 62 562.03 3844 34845.86 315877.7209

Oct. 50 452.93 2500 22646.5 205145.5849

Nov. 41 369.95 1681 15167.95 136863.0025

Dic. 30 273.98 900 8219.4 75065.0404

558 5062.24 29256 265864.63 2416143.684

Al sustituir en las ecuaciones (4.4) y (4.5), obtenemos:

2

11

2

1111

2

0

)(

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

ii

n

i

i

n

i

i

xxn

xyxyx

a (4.4)

20)558(2925612

55863.26586424.506229256

a

3355017.60 a

2

11

2

111

1

)(

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

ii

xxn

yxyxn

a (4.5)

21)558(2925612

24.506255863.26586412

a

2083620.91 a

La mejor ecuación lineal en el sentido de mínimos cuadrados es, de acuerdo con la

ecuación (4.1):

ixaay 10ˆ (4.1)

xy 2083620.93355017.6ˆ



c) Por cada cambio de 1ºF en la temperatura mensual promedio, se espera un cambio de

9.2083620 miles de libras de vapor consumidas. Este valor está dado por la pendiente de la

recta de regresión.

En la figura 4.7 se muestran los datos y la recta de regresión.

Figura 4.7. Diagrama de dispersión y recta de mínimos cuadrados de los datos del ejemplo 4.2.

d) Consumo esperado cuando la temperatura promedio es 55ºF.

Aplicando la ecuación de regresión xy 2083620.93355017.6ˆ , se sustituye 55x ,

para obtener:

)55(2083620.93355017.6ˆ y

4991.5063355017.6ˆ y

12.500ˆ y mil libras de vapor.

La tabla siguiente muestra los valores observados con los valores obtenidos usando

esta aproximación.

ix iy xy 2083620.93355017.6ˆ 2)( yyi 2)ˆ( yyi

0

100

200

300

400

500

600

700

800

10 20 30 40 50 60 70 80

Co

nsu

mo (1

00

0, l

b)

Temperatura (ºF)



21 185.79 187.0401012 55725.89734 1.5627531

24 214.47 214.6651874 43007.84694 0.0380981

32 288.03 288.3320837 17908.68454 0.0912546

47 424.84 426.4575144 8.920177778 2.6163527

50 454.58 454.0826005 1071.034711 0.2474063

59 539.03 536.9578589 13730.37121 4.2937689

68 621.55 619.8331173 39878.75868 2.9476864

74 675.06 675.0832895 64113.61604 0.0005424

62 562.03 564.582945 19649.49788 6.5175282

50 452.93 454.0826005 965.7592111 1.3284879

41 369.95 371.2073421 2693.956011 1.5809091

30 273.98 269.9153596 21866.52271 16.5213014

558 5062.24 5062.24 280620.8655 37.7460889

e) El valor estimado para 47x es:

46.426ˆ y mil libras de vapor

con un valor residual.

46.42684.424 e

62.1e

f) El error estándar del estimado es, de acuerdo con la ecuación (4.6):

2/

n

SS r

xy (4.6)

212

7460889.37/

xyS

9428353.1/ xyS

g) El coeficiente de determinación es, de acuerdo con la ecuación (4.9):

t

rt

S

SSr

2

(4.9)

8655.280620

7460889.378655.2806202 r

9998655.02 r

h) El coeficiente de correlación es

2rr



9998655.0r

9999327.0r

El coeficiente de correlación es, de acuerdo con la ecuación (4.10):

2

11

22

11

2

111

)()(

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

ii

yynxxn

yxyxn

r (4.10)

22 )24.5062()64.2416143(12)558()29256(12

24.506255863.26586412

r

39.336745039708

64.365645

r

9999327.0r

Ejercicios propuestos.

1. [BF] Calcule el polinomio de mínimos cuadrados de grado uno para los datos siguientes:

i 1 2 3 4 5

ix 0 0.25 0.5 0.75 1.00

iy 1.0000 1.2840 1.6487 2.1170 2.7183

2. [BF] Encuentre un polinomio de mínimos cuadrados de grado 1 para los datos que se

muestran en la siguiente tabla:

i 1 2 3 4 5 6

ix 0 0.15 0.31 0.5 0.6 0.75

iy 1.0 1.004 1.031 1.117 1.223 1.422

3. [BF] Dados los datos:

ix 4.0 4.2 4.5 4.7 5.1 5.5 5.9 6.3 6.8 7.1

iy

102.5

6

113.1

8

130.1

1

142.0

5

167.5

3

195.1

4

224.8

7

256.7

3

299.5

0

326.7

2

Construir la aproximación de mínimos cuadrados de grado uno y calcular el error.

4. [BF] Repetir el ejercicio 3 para los datos:

ix 0.2 0.3 0.6 0.9 1.1 1.3 1.4 1.6



iy 0.050446 0.098426 0.33277 0.72660 1.0972 1.5697 1.8487 2.5015

5. [CC] Con la regresión por mínimos cuadrados ajuste una línea recta a

x 1 3 5 7 10 12 13 16 18 20 y 4 5 6 5 8 7 6 9 12 11

Junto con la pendiente y la intersección, calcule el error estándar del estimado y el

coeficiente de correlación. Grafique los datos y la línea de regresión. Después repita el

problema, pero ahora efectúe la regresión de x contra y (es decir, cambie las variables).

Interprete sus resultados.

6. [CC] Use regresión por mínimos cuadrados para ajustar una línea recta a

x 5 6 10 14 16 20 22 28 28 36 38 y 30 22 28 14 22 16 8 8 14 0 4

Junto con la pendiente y la intersección, calcule el error estándar del estimado y el

coeficiente de correlación. Grafique los datos y la línea de regresión. Si alguien hizo una

medición más, 5x , 5y , ¿podría usted esperar, basándose en una apreciación visual y

en el error estándar, que la medición sea válida o inválida? Justifique su conclusión.

7. [CC] Con la regresión por mínimos cuadrados ajuste una línea recta a

x 2 3 4 7 8 9 5 5 y 9 6 5 10 9 11 2 3

Junto con la pendiente y la intersección, calcule el error estándar de la estimación y el

coeficiente de correlación. Grafique los datos y la línea recta. Evalúe el ajuste.

8. [CC] Con los datos

x 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 y 16 25 32 33 38 36 39 40 42 42

Utilice regresión por mínimos cuadrados para ajustar una línea recta.

9. [BF] El siguiente conjunto de datos, presentados en mayo de 1970 al Senate Antitrust

Subcommitte, muestra las características comparativas de la supervivencia en choques de

autos de varias clases. Encuentre la recta de mínimos cuadrados que mejor aproxima a estos

datos (la tabla muestra el porcentaje de vehículos involucrados en un accidente en los

cuales la lesión más severa fue fatal o seria).

Tipo Peso promedio Porcentaje de



(lb) ocurrencia

1. “De lujo” regular del país. 4800 3.1

2. “Intermedio” regular del país. 3700 4.0

3. “Económico” regular del país. 3400 5.2

4. Compacto del país. 2800 6.4

5. Compacto extranjero. 1900 9.6

Ingeniería Química / Bioingeniería.

10. [CC] Usted realiza experimentos y determina los siguientes valores de capacidad

calorífica c para varias temperaturas T de un gas:

T –40 –20 10 70 100 120

c 1250 1280 1350 1480 1580 1700

Use regresión y determine un modelo para predecir c como una función de T .

11. [CC] Se sabe que la resistencia a la tensión de un plástico aumenta en función del

tiempo cuando se trata con calor. Se obtienen los siguientes datos:

Tiempo 10 15 20 25 40 50 55 60 75

Resistencia a la tensión 4 20 18 50 33 48 80 60 78

Ajuste una línea recta a estos datos y use la ecuación para determinar la resistencia a la

tensión correspondiente a 30 min.

12. [CC] Se reunieron los siguientes datos para determinar la relación entre presión y

temperatura de un volumen fijo de 1 kg de nitrógeno. El volumen es de 10 m3.

T, ºC –20 0 20 40 50 70 100 120

P, N/m2 7500 8104 8700 9300 9620 10200 11200 11700

Emplee la ley de los gases ideales TRnVP para determinar R , basándose en estos

datos. Observe que en esta ley, T se debe expresar en Kelvin.

13. [BF] Para determinar la relación entre el número de peces y el número de especies de

peces en las muestras tomadas de una porción del Great Barrier Reef, P. Sale y R. Dybdahl

[114] ajustaron un polinomio de mínimos cuadrados lineal a la siguiente colección de datos

que fueron recolectados en muestras durante un periodo de más de dos años. Sea x el

número de peces en la muestra e y el número de especies en la muestra.

x y x y x y

13 11 29 12 60 14

15 10 30 14 62 21



16 11 31 16 64 21

21 12 36 17 70 24

22 12 40 13 72 17

23 13 42 14 100 23

25 13 55 22 130 34

Determine el polinomio de mínimos cuadrados lineal para estos datos.

Ingeniería Civil / Ambiental.

14. [CC] El esfuerzo cortante, en kips por pie cuadrado (kpc) de nueve muestras tomadas a

distintas profundidades en un estrato de arcilla son

Profundidad, m 1.9 3.1 4.2 5.1 5.8 6.9 8.1 9.3 10.0

Esfuerzo, kpc 0.3 0.6 0.4 0.9 0.7 1.1 1.5 1.3 1.6

Estime el esfuerzo cortante a una profundidad de 4.5 m.

15. [CC] Se realizó un estudio de ingeniería de transporte para determinar el diseño

adecuado para carriles de bicicletas. Se recolectaron datos de amplitud de carriles de

bicicletas y distancias promedio entre bicicletas y carros en circulación. Los datos

obtenidos de 11 calles son:

Distancia x, ft 3 8 5 8 6 6 10 10 4 5 7

Ampl. Carril y, ft 5 10 7 7.5 7 6 8 9 5 5.5 8

a) Grafique los datos.

b) Ajuste una línea recta a datos mediante regresión lineal. Agregue esta línea a la gráfica.

c) Si la distancia promedio mínima segura entre las bicicletas y los carros en circulación se

considera 7 pies, determine el ancho de carril mínimo correspondiente.

16. [CC] En la ingeniería hidráulica, el tamaño de un dique depende de la estimación exacta

del fluido de agua en el río del cual se toma. En algunos ríos es difícil obtener registros

históricos de muchos años atrás de tales flujos. En cambio, datos meteorológicos sobre la

precipitación a menudo si están disponibles. Por lo tanto, con frecuencia es útil determinar

una relación entre flujo y precipitación. Entonces tal relación se utiliza para estimar los

flujos de años anteriores, aún cuando sólo se tomaron mediciones de precipitación. Para un

río que se va a encauzar a un dique, se muestran los siguientes datos:

Precipitación, cm 88.9 101.6 104.1 139.7 132.1 94.0 116.8 121.9 99.1

Flujo, m3/s 114.7 172.0 152.9 269.0 206.4 161.4 175.8 239.0 130.0




b) Ajuste una línea recta a los datos mediante regresión lineal. Sobreponga la línea a su

gráfica.

c) Use la mejor línea de ajuste para predecir el flujo anual de agua si la precipitación es de

120 cm.

17. [CC] La concentración total de fósforo (p en mg/m3) y clorofila a (c, en mg/m

3) en cada

uno de los grandes lagos es

p c

Lago superior 4.5 0.8

Lago Michigan 8.0 2.0

Lago Hurón 5.5 1.2

Lago Erie

Cuenca oeste 39.0 11.0

Cuenca central 19.5 4.4

Cuenca este 17.5 3.8

Lago Ontario 21.0 5.5

La concentración de clorofila a es un parámetro que indica cuánta vida vegetal está

suspendida en el agua. Como tal, indica qué tan turbia y opaca se ve el agua. Utilice los

datos anteriores para determinar la relación c como función de p. Use esta ecuación

prediciendo el nivel de clorofila que se espera si se usa un tratamiento de aguas para

disminuir la concentración de fósforo en la cuenca oeste del Lago Erie a 15 mg/m3.

Ingeniería Eléctrica.

18. [CC] Los siguientes datos se tomaron de un experimento en el que se mide la corriente

en un alambre a diferentes voltajes:

V ,V 2 3 4 5 7 10

A ,i 5.2 7.8 10.7 13 19.3 27.5

Basándose en una regresión lineal de estos datos, determine la corriente para un voltaje de 6

V. Grafique la línea y los datos, y evalúe el ajuste. Determine si es una buena suposición

que la intersección sea cero. Si es así, haga otra vez la regresión y fuerce la intersección

para que sea cero.

19. Se sabe que la caída de voltaje a través de un inductor sigue la ley de Faraday:



td

idLVL

donde LV es la caída de voltaje (en volts), L es la inductancia (en henrios; 1 H = 1 V.s/A) e

i es la corriente (en amperes). Emplee los siguientes datos para estimar L.

A/s ,/ tdid 1 2 4 6 8 10

V ,LV 5 12 18 31 39 50

¿Cuál es el significado, si lo hay, de la intersección de la ecuación de regresión a partir de

estos datos?

20. [CC] Se realiza un experimento para determinar el porcentaje de elongación de un

material conductor eléctrico como función de la temperatura. Los datos resultantes son:

Temperatura, ºC 200 250 300 375 425 475 525 600

Porcentaje de elongación 11 13 13 15 17 19 20 23

Prediga el porcentaje de elongación a una temperatura de 400ºF.

Ingeniería Mecánica / Aeronáutica.

21. [CC] Se realiza un experimento para definir la relación entre la tensión aplicada y el

tiempo para fracturar un acero inoxidable. Se aplican tensiones de ocho diferentes valores,

y los datos resultantes son:

Tens. aplic, x, kg/mm2 5 10 15 20 25 30 35 40

Tiempo de fractura, y, h 40 30 25 40 18 20 22 15


b) Ajuste una línea recta a los datos usando regresión lineal. Sobreponga esta línea en su

gráfica.

c) Utilice la ecuación de mejor ajuste para predecir el tiempo de fractura aplicando una

tensión de 17 kg/mm2.

22. [CC] La aceleración debida a la gravedad a una altitud y por encima de la superficie de

la Tierra está dada por

m ,y 0 20000 40000 60000 80000 2m/s ,g 9.8100 9.7487 9.6879 9.6278 9.5682

Calcule g para m 55000y .



23. [CC] Al examinar el comportamiento viscoso de un fluido se acostumbra graficar

rapidez de corte (gradiente de velocidad)

yd

vd

en las abcisas contra esfuerzo cortante ( ) en las ordenadas. A un líquido que tiene una

relación lineal entre esas dos variables se le llama fluido newtoniano y la relación resultante

es

donde es la viscosidad del fluido. Muchos de los fluidos comunes tienen este

comportamiento, como por ejemplo el agua, la leche y el aceite. A los líquidos que no se

comportan de esta manera se les llama no newtonianos. En la figura 4.8 se presentan

algunos ejemplos de fluidos no newtonianos.

Figura 4.8.Tipos de fluidos.

En los plásticos de Bingham hay una tensión de deformación, y , que debe

superarse antes de que el fluido empiece a fluir

y

Un ejemplo común de estos fluidos es la crema dental.



En los pseudoplásticos, el esfuerzo cortante se eleva a la potencia n,

n

Fluidos de este tipo son el yogurt y el champú.

Los datos siguientes muestran la relación entre el esfuerzo cortante, , y la

velocidad del esfuerzo cortante, n , para un plástico de Bingham. La tensión de

deformación, y , es la cantidad de tensión que hay que sobrepasar antes de que el líquido

empiece a fluir. Encuentre la viscosidad, (pendiente), y , y el valor de R cuadrada,

utilizando un método de regresión.

Tensión, , N/m2 3.57 3.89 4.96 5.62 6.13

Velocidad del esfuerzo cortante, , 1/s 1 2 3 4 5

24. [BF] Para determinar una relación funcional entre el coeficiente de atenuación y el

grosor de una muestra de taconite, V.P. Singh (125) ajustó una colección de datos usando

un polinomio de mínimos cuadrados lineal. La siguiente colección de datos fue tomada de

una gráfica de este artículo. Encuentre el mejor polinomio de mínimos cuadrados lineal que

ajusta estos datos.

Grosor (cm)

Coeficiente de

atenuación

(db/cm)

0.040 26.5

0.041 28.1

0.055 25.2

0.056 26.0

0.062 24.0

0.071 25.0

0.071 26.4

0.078 27.2

0.082 25.6

0.090 25.0

0.092 26.8

0.100 24.8

0.105 27.0

0.120 25.0

0.123 27.3

0.130 26.9



0.140 26.2

Ciencias sociales.

25. [BF] La siguiente tabla muestra el promedio de calificaciones de licenciatura de 20

estudiantes de matemáticas y computación, junto con el resultado que recibieron en el

examen ACT (American College Testing Program) durante su bachillerato. Grafique estos

datos y encuentre la ecuación de la recta de mínimos cuadrados para estos datos.

Resultado del ACT Promedio de

calificaciones Resultado del ACT

Promedio de

calificaciones

28 3.84 29 3.75

25 3.21 28 3.65

28 3.23 27 3.87

27 3.63 29 3.75

28 3.75 21 1.66

33 3.20 28 3.12

28 3.41 28 2.96

29 3.38 26 2.92

23 3.53 30 3.10

27 2.03 24 2.81

26. [BF] A continuación se muestran las calificaciones de las tareas y de los exámenes

finales de 30 estudiantes de análisis numérico. Encuentre la ecuación de la recta de

mínimos cuadrados para estos datos y úsela para determinar la calificación de las tareas

necesaria para predecir las calificaciones mínimas en el final de A (90%) y D (60%).

Tarea Final Tarea Final Tarea Final

302 45 343 83 234 51

325 72 290 74 337 53

285 54 326 76 351 100

339 54 233 57 339 67

334 79 254 45 343 83

322 65 323 83 314 42

331 99 337 99 344 79

279 63 337 70 185 59

316 65 304 62 340 75

347 99 319 66 316 45



RESPUESTA A LOS EJERCICIOS SELECCIONADOS.

1. xy 1.70820000.8996800ˆ , 0.1141410/ xyS , 0.97901842 r , 0.9894536r .

2. xy 0.52810210.9295140ˆ , 0.0783678/ xyS , 0.82017492 r , 0.9056351r .

3. xy 72.08451777194.138240ˆ , 6.4130062/ xyS , 0.99412212 r , 0.9970567r .

4. xy 1.66554010.5124568ˆ , 0.2364987/ xyS , 0.93939012 r , 0.9692214r .

5. xy 0.37249673.3887850ˆ , 1.2317019/ xyS , 0.81065972 r , 0.9003664r .

yx 2.17628715.3868955 , 2.9771622/ xyS , 0.81065972 r , 0.9003664r .

No existe relación entre las ecuaciones de regresión. Se conserva el valor de r2 y de r.

0

2

4

6

8

10

12

14

0 5 10 15 20 25

y

x



6. xy 0.771910030.7396291ˆ , 4.3936293/ xyS , 0.81495992 r , 0.9027513r .

7. xy 0.62985073.4895522ˆ , 3.2213529/ xyS , 0.21061572 r , 0.4589289r .

0

5

10

15

20

25

0 2 4 6 8 10 12 14

y

x

0

5

10

15

20

25

30

35

0 5 10 15 20 25 30 35 40

y

x



8. xy 0.495757620.6666667ˆ , 3.7280672/ xyS , 0.82011342 r , 0.9056012r .

9. xy 0.002255013.1464996ˆ , 0.8284797/ xyS , 0.91953992 r , 0.9589264r .

Ingeniería Química / Bioingeniería.

10. xy 2.6559633791333.76146ˆ , 34.7121188/ xyS , 0.96961082 r , 0.9846882r .

11. Tc 1.05516302.4103261ˆ , 12.9712864/ xyS , 0.79446172 r , 0.8913258r , En

30x : 34ˆ y .

12. La correlación de P (N/m2) contra T (K) conduce a: 30.3164087

V

Rn, y siendo

mol 6972.35g/mol 0134.28

g 1000n , se obtiene: J/mol.K 4926573.8R .

13. xy 0.17952248.2084078ˆ , 2.4170462/ xyS , 0.84027662 r , 0.9166660r .

Ingeniería Civil / Ambiental.

14. xy 0.15987480.0330209ˆ , 0.1734369/ xyS , 0.88170642 r , 0.9389922r , En

5.4x : 6864157.0ˆ y .

15. a)

0

2

4

6

8

10

12

0 2 4 6 8 10

y

x



b) xy 0.58706903.2482759ˆ , 0.9566514/ xyS , 0.68811352 r , 0.8295261r .

c) Para 7x : 4.7ˆ y .

16. a)

b) xy 2.56301199104.133165ˆ , 23.1708413/ xyS , 0.81232292 r , 0.9012896r .

0.0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

12.0

0 2 4 6 8 10 12

y

x

0

50

100

150

200

250

300

80 90 100 110 120 130 140 150

y

x



c) Para 120x : 4282621.203ˆ y .

17. pc 0.28785150.6289895ˆ , 0.4615926/ xyS , 0.98549772 r , 0.9927224r .

Para 15p : 688783.3ˆ c .

Ingeniería Eléctrica.

18. xy 2.80817120.5922179ˆ , 0.2702499/ xyS , 0.99913592 r , 0.9995678r .

Para 6V : 2568093.16ˆ i .

19. La correlación de LV contra td

id conduce a: 4.9013699L .

0

50

100

150

200

250

300

80 90 100 110 120 130 140 150

y

x

0

5

10

15

20

25

30

0 2 4 6 8 10 12

y

x



20. xy 0.02928074.8457077ˆ , 0.6323332/ xyS , 0.97964732 r , 0.9897713r .

Para C)44º(204.44444 Fº400x : 8319841.10ˆ y .

Ingeniería Mecánica / Aeronáutica.

21. a) xy 0.600000039.7500000ˆ , 6.6770752/ xyS , 0.58559262 r , 0.7652402r .

b)

c) Para 17x : 5500000.29ˆ y .

22. xy 0.00000309.8094200ˆ , 0.0006332/ xyS , 0.99996712 r , 0.9999835r .

Para 55000x : 6444200.9ˆ y .

23. 2.7790000y , 0.6850000 , 0.1913722/ xyS , 0.97712052 r , 0.9884941r .

24. xy 1.600392925.9217546ˆ , 1.1425854/ xyS , 0.00197002 r , 0.0443850r .

Ciencias Sociales.

25.

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45

y

x



xy 0.10085800.4865757ˆ , 0.5296071/ xyS , 0.20527872 r , 0.4530769r .

26. xy 0.22334850.8028314ˆ , 14.8249513/ xyS , 0.26990592 r , 0.5195247r .

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

20 22 24 26 28 30 32 34

y

x

01 preliminares regresion lineal

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