01 slope deflection.pdf

Ver 3.1, thn 2007 Buku Ajar KTS-325 Analisis Struktur II Jurusan Teknik Sipil Itenas

Halaman I-1 dari I-27

BAB I SLOPE DEFLECTION

1.1. Derajat Ketidaktentuan Statis dan Derajat Ketidaktentuan

Kinematis Derajat ketidaktentuan statis adalah banyaknya kelebihan reaksi yang diperlukan sebagai

syarat perlu dan syarat cukup agar suatu sistem struktur stabil dan setimbang. Faktor

kelebihan ini disebut sebagai redundant. Struktur yang memiliki kelebihan reaksi

perletakan disebut memiliki redundant statis dan kondisi struktur ini dikategorikan

sebagai struktur statis tak tertentu luar.

Derajat ketidaktentuan statis =

0ΣMz,0ΣMy,0ΣMx,0ΣFz,0ΣFy,0ΣFx:D3/u0ΣH,0ΣV,0ΣM:D2/uperletakanreaksi

statikapersamaandikurangidiketahuitidakyanggaya

Contoh : lihat gambar 1.1

Derajat ketidaktentuan kinematis adalah jumlah perpindahan bebas pada join

(perpindahan berupa defleksi, putaran sudut). Derajat ketidaktentuan kinematis disebut

juga DOF (Degree of Freedom = derajat kebebasan). Contoh : lihat gambar 1.2.

1.2. Prinsip dalam Metode Slope Deflection

Metode Slope Deflection dikemukakan oleh G.A. Maney pada tahun 1915. Metode ini

memenuhi 2 (dua) syarat sbb. :

Kesetimbangan (equilibrium).

Kesetimbangan momen = Momen pada join pertemuan elemen adalah nol.

Kompatibilitas secara geometri.

Kompatibilitas ini dapat digambarkan sebagai berikut : nilai komponen-deformasi

pada setiap bagian struktur adalah sama. Pada gambar 1.3.a diperlihatkan model

V V V

H

H

M

Derajat ketidaktentuan statis

= 6 – 3 = 3.

Maka struktur dikategorikan statis tak

tertentu derajat 3 dan memiliki redundant = 3.

Gambar 1.1 : Ketidaktentuan statis

A

B C

VCΔ

HCΔ

C B

Gambar 1.2 : Ketidaktentuan kinematis

= defleksi

= rotasi (putaran sudut)

Slope Deflection


1.3. Penurunan Persamaan Slope Deflection

Gambar 1.5 : Konfigurasi deformasi

(berdasarkan gambar pada [9] pp : 449)

FEM (Fixed End Moment) adalah momen

yang terbentuk pada ujung balok yang

dibebani bila ujung balok tersebut dianggap

sebagai jepit (lihat gambar 1.4)

Perjanjian tanda untuk FEM

adalah :

Momen titik jika berarah

Momen batang jika berarah

Putaran sudut jika berarah

Gambar 1.4 : FEM

struktur yang mengalami

deformasi, pada gambar

1.3.b diperlihatkan

kompatibilitas struktur

dimana irisan struktur tetap

setimbang & memiliki

kontinuitas perpindahan

Perpindahan pada join c di

bagian kiri struktur memilki

nilai yang sama dan searah

dengan perpindahan pada

join c di bagian kanan

struktur.

Gambar 1.3.a : Contoh deformasi struktur

dengan prinsip kompatibilitas [9] pp : 59

Gambar 1.3.b : Contoh kompatibilitas struktur

[9] pp: 60

Struktur asli

Deformasi

struktur

Translasi tipikal

(dua komponen)

Rotasi

tipikal



Lihat gambar 1.5.

L

ΑΒ ΑΒΑ

… (1.1.a)

L

BA BAB

… (1.1.b)

sedangkan :

AB =

EI

L M 2AB

3 -

EI

L M 2BA

6 + L AB … (1.2.a)

BA = -

EI

L M 2AB

6 +

EI

L M 2BA

3 - L BA ... (1.2.b)

Jika join A dan join B perletakan jepit, balok dibebani dan momen internal adalah FEM,

dengan mengaplikasikan prinsip kompatibilitas dan kesetimbangan, akan diperoleh A =

B = ΑΒ = nol, sehingga :

ABM = ABBA L

EI 32

2 + ABFEM … (1.3.a)

BAM = BAAB L

EI 32

2 + BAFEM … (1.3.b)

dituliskan dalam bentuk umum sebagai Persamaan Slope Deflection, sbb. :

nfM = nffnnfnf EKFEM 322 … (1.4)

Hal mana (lihat gambar 1.6) :

nfM = momen ujung

indeks n near = ujung dekat

indeks f far = ujung jauh

E = modulus elastisitas

Knf = L

I,

Hal mana :

I = momen inersia penampang

L = panjang elemen

nf = R = goyangan horisontal

= hH , halmana

H = defleksi horizontal

h = tinggi elemen kolom

yang bergoyang

atau

nf = R = goyangan vertikal

= LV , halmana

V = defleksi vertikal

L = panjang elemen balok yang bergoyang

Untuk lantai ke-1, 1R = 1

1

h

, untuk lantai ke-2, 2R =

2

12

h

analog dengan ij

Gambar 1.6 :

Goyangan horisontal pada portal

Slope Deflection


1.4. Portal tidak Bergoyang dan Portal Bergoyang Suatu portal akan bergoyang jika memenuhi kriteria ke-1 berikut dan salah satu dari 3

(tiga) kriteria berikutnya (lihat contoh pada gambar 1.7) :

Gambar 1.7 : Contoh aplikasi faktor penyebab portal bergoyang

Gambar 1.4

1. Tidak ada penahan arah lateral.

2. Kekakuan struktur tidak simetris.

3. Geometri struktur tidak simetris. 4. Pembebanan struktur tidak simetris.

Portal tidak memiliki penahan

arah lateral

Kekakuan struktur tidak

simetris

Portal tidak memiliki

penahan arah lateral

Geometri struktur tidak

simetris

Portal tidak memiliki

penahan arah lateral

Pembebanan tidak

simetris



1.5. Perjanjian Tanda Menentukan Gaya Geser Kolom dan Syarat Geseran

Slope Deflection


1.6. Resume Contoh DOF dan Syarat Batas Deformasi Contoh soal analog dengan “suggested problems” dari [9] pp :490-494

Slope Deflection




1.7. Contoh Soal dan Solusi

CONTOH SOAL KE-1 :

Slope Deflection




CONTOH SOAL KE-2 :

Soal diambil dari Soal no. 1 UTS Analisis Struktur II Semester Pendek 2004/2005

Tgl 25 Juli 2005

Slope Deflection


Slope Deflection


CONTOH SOAL KE-3 : UTS Mata Ujian : KTS-325 Analisis Struktur II Tanggal : 22 November 2005 Jurusan : Teknik Sipil Waktu : 3 jam (11:00 ~ 14:00) Kelas : A dan B Sifat : tutup buku Dosen : Nur Laeli Hajati, ST, MT dan Nana Mulyana, Ir., M.Sc.

1. SLOPE DEFLECTION

Jawab :

Diketahui suatu struktur balok statis

tak tertentu seperti dimodelkan pada

gambar 1.

Pertanyaan :

1.a . Dengan metode Slope Deflection,

hitunglah momen ujung struktur.

1.b . Hitung dan gambar diagram gaya

dalam.

50%

Gambar 1 : Balok statis tak tertentu

1 m 1 m 2 m

4 t 6 t

A B C D E F

q = 2 t/m

3EI 3EI 2EI

4 m 2 m 2 m

Slope Deflection




CONTOH SOAL KE-4 :

Jawab :

DOF dan Syarat Batas

DOF Syarat Batas Persamaan

B BM = nol BAM + BCM = nol … (1.a)

C CM = nol CBM = nol … (1.b)

H H = nol ABH + 2 ton = nol … (1.c)

FEM

ABFEM = - 2

2

L

Pab = -

2

2

)3(

)5,1)(5,1)(2( = - 0,75 tm

BAFEM = + 2

2

L

bPa = +

2

2

)3(

)5,1()5,1)(2( = + 0,75 tm

BCFEM = - 2

2

L

Pab = -

2

2

)4(

)3)(1)(3( -

2

2

)4(

)1)(3)(4( = - 2,438 tm

BCFEM = + 2

2

L

bPa = +

2

2

)4(

)3()1)(3( +

2

2

)4(

)1()3)(4( = + 2,813 tm

i j

Slope Deflection


Persamaan Slope Deflection

Persamaan umum:

nfM = nffnnfnf EKFEM 322 … (1.4)

dengan nf = R untuk bangunan satu lantai dengan goyangan arah horisontal

adalah kolomtinggi

H

.

A = nol (perletakaan A adalah jepit).

Dengan demikian persamaan slope deflection adalah :

ABM = ABFEM + L

EI2 RBA 32

= -0,75 + 3

)3(2 EI

33)0)(2( H

B

= -0,75 + EI(2 B -2 H ) … (2.a)

BAM = BAFEM + L

EI2 RAB 32

= +0,75 + 3

)3(2 EI

330))(2( H

B

= +0,75 + EI(4 B -2 H ) … (2.b)

BCM = BCFEM + L

EI2 CB 2

= -2,438 + 4

)2(2 EI CB ))(2(

= -2,438 + EI(2 B +1 C ) … (2.c)

CBM = CBFEM + L

EI2 BC 2

= +2,813 + 4

)2(2 EI BC ))(2(

= +2,813 + EI(1 B +2 C ) … (2.d)

Substitusi Persamaan Slope Deflection ke Persamaan Syarat Batas

Substitusikan …(2) ke …(1):

… (1.a): BAM + BCM = nol

(+0,75) + EI(4 B -2 H ) + (-2,438) + EI(2 B +1 C ) = nol

EI(6 B +1 C -2 H ) = +1,688 … (3.a)

… (1.b): CBM = nol

+2,813 + EI(1 B +2 C ) = nol

EI(1 B +2 C ) = -2,813 … (3.b)

… (1.c): AH + 2 ton = nol

3

BAAB MM+ 2 ton = nol

3

)24()75,0()22()75,0( HBHB EIEI + 2 ton = nol

EI(6 B -4 H ) = -3 … (3.c)



Nilai DOF

Solusi …(3) adalah:

406

021

216

EI

H

C

B

=

3

813,2

688,1

, diperoleh:

B = EI

838,1 … (4.a)

C = EI

325,2 … (4.b)

H = EI

5067,3 … (4.c)

Nilai Momen Ujung

Substitusikan nilai DOF ke Persamaan Slope Deflection

= substitusikan …(4) ke …(2)

ABM = -0,75 + EI(2 B -2 H )

= -0,75 + EI

EIEI

507,32

838,12

= -4,088 tm

Dengan cara yang sama untuk memperoleh ABM , diperoleh nilai momen ujung yang

lain, yaitu:

BAM = +1,088 tm

BCM = -1,088 tm

CBM = nol.

1.53

1

1,5

m

HAB

2 ton

VCBVBC

MCB

MBC

2 m

HBA

MBA

MAB

A

B C

1,5

m

E F

1 m 1 m

= -4,088 tm

= +1,088 tm

= -1,088 tm

= nol tm

3 ton 4 ton

D

Nilai Reaksi Perletakan

BCV (4) – (3)(3) – (4)(1) + BCM + CBM = nol

BCV (4) – 9 – 4 + (-1,088) + (0) = nol

Slope Deflection


EM = BCM + BCV (1)

= (-1,088) + (+3,522)(1)

= +2,434 tm

FM = BCM + BCV (3) - (3)(2)

= (-1,088) + (+3,522)(3) - 6

= +3,478 tm

BCV = +3,522 ton

- CBV (4) – (3)(3) – (4)(1) + BCM + CBM = nol

- CBV (4) – 9 – 4 + (-1,088) + (0) = nol

CBV = +3,478 ton

ABH (3) – (2)(1,5) + ABM + BAM = nol

ABH (3) – 3 + (-4,088) + (+1,088) = nol

BCV = +2 ton

DM = ABM + ABH (1,5)

= (-4,088) + (2)(1,5)

= -1,088 tm

Gambar Diagram Bidang Gaya Dalam

A

B

C

D

E F

-4,0

88

-1,0

88

-1,0

88

-1,088

-4,088 -2,434

A

B

C

D

E

F

2

-3,522

0,478

A

B

C

D

E F

-3,5

22

Momen Lintang

Normal

-3,478



DAFTAR PUSTAKA SLOPE DEFLECTION

[1] Arbabi, F. (1991) . Structural Analysis and Behavior . Singapore : McGraw-Hill, Inc.

[2] Hariandja, Binsar. (1997) . Analisis Struktur Berbentuk Rangka dalam Formulasi Matrik .

Bandung : Aksara Husada.

[3] Hibbeler, Russel C. (1997) . Structural Analysis, rd3 ed. New Jersey : Prentice-Hall International, Inc.

[4] Hsieh, Yuan-Yu. (1985) . Teori Dasar Struktur. Edisi Kedua . Alihbahasa oleh Suryadi, Ir. Jakarta :

Erlangga.

[5] Theodosius, Gunawan, et.al. (1991) . Teori Soal dan Penyelesaian Mekanika Teknik III jilid 1 .

Jakarta : Delta Teknik Group .

[6] Theodosius, Gunawan, et.al. (1991) . Teori Soal dan Penyelesaian Mekanika Teknik III jilid 2 . Jakarta : Delta Teknik Group .

[7] Wang, Chu-Kia . (1990) . Analisis Struktur lanjutan jilid 1 . Alihbahasa oleh Kusuma Wirawan dan

Mulyadi Nataprawira . Jakarta : Erlangga.

[8] Weaver, William Jr., et al. (1989) . Analisa Matriks untuk Rangka Batang, edisi ke-2 . Jakarta :

Erlangga .

[9] West, Harry H. (1993) . Fundamentals of Structural Analysis . Toronto : John Wiley & Sons, Inc.

[10] Willems, Nicholas, et.al. (1978) . Structural Analysis for Engineers . Tokyo : McGraw-Hill, Inc.

No. TOPIK untuk SLOPE DEFLECTION SUMBER

No. Ref. Bab/chapter/pasal/tabel Halaman

1. Derajat kebebasan, struktur tidak bergoyang dan struktur bergoyang, persamaan slope deflection, gaya geser kolom

[3] [4] [6] [7] [9]

10 12 Bab VII Bab : 7.1-7.9 Chapter 11

517-562 250-287 532-592 177-226 447-497

01 slope deflection.pdf

Documents