01 sucesiones
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SUCESIONES
Una sucesión (de números reales) es una función
para cada , , y denotamos la sucesión por
Sucesión creciente
Una sucesión es creciente si ,
Sucesión estrictamente creciente
Una sucesión es estrictamente creciente si ,
Sucesión decreciente
Una sucesión es creciente si ,
Sucesión estrictamente decreciente
Una sucesión es estrictamente creciente si ,
Sucesión monótona
Se denomina una sucesión monótona si es o creciente o estrictamente creciente o decreciente o estrictamente
decreciente.
Sucesiones acotadas
Una sucesión es acotada superiormente si existe , denominado cota superior de la sucesión, tal que,
, .
Una sucesión es acotada inferiormente si existe , denominado cota inferior de la sucesión, tal que,
, .
Una sucesión es acotada si lo es superior e inferiormente, esto es, existen tales que, ,
.
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Convergencia de una sucesión
es convergente si
Principio Arquimediano
Axioma de completitud
Si es una sucesión de números reales creciente y acotada superiormente, entonces es
convergente.
El límite tiene la propiedad de ser la menor de sus cotas superiores.
Si es una sucesión de números reales decreciente y acotada inferiormente, entonces es
convergente.
El límite tiene la propiedad de ser la mayor de sus cotas inferiores.
Toda sucesión monótona y acotada es convergente.
Toda sucesión convergente es acotada.
El recíproco del Axioma de Completitud no se cumple. Esto es, NO es cierto que si una sucesión sea convergente,
entonces ésta deba ser monótona y acotada. Solo se puede afirmar que tendrá que ser acotada, según la
proposición de arriba.
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Tampoco se cumple en general que el límite de una sucesión de números reales convergente sea su cota superior
mínima ni tampoco una cota inferior.
Teorema del Sandwich
Sean , , sucesiones convergentes con
y sea una sucesión tal que
Entonces converge y
Ejercicios
01. Sea una sucesión de números positivos tal que: y para todo n 0 ù.
a) Demuestre que la sucesión es monótona.
b) Pruebe que la sucesión es acotada.
c) Por el Axioma de Completitud la sucesión es convergente. Calcule el límite.
Resolución
a) Como
multiplicamos por y por ser positiva no altera la desigualdad
÷
÷
Esto implica que la sucesión es estrictamente decreciente, por lo tanto es monótona
b) Como la sucesión es decreciente entonces es acotada superiormente por el primer término .
Como los términos son positivos la sucesión esta acotada inferiormente por el número cero.
Como es acotada superiormente e inferiormente, entonces la sucesión es acotada.
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c) Como es convergente, implica que:
÷
÷
÷
ˆ
02. Una función con dominio se dice creciente (decreciente) si para todo con se tiene
que .
Considere una sucesión en y una función con dominio . Muestre que:
a) Si es creciente y es creciente entonces la sucesión es creciente.
b) Si es creciente y es decreciente entonces la sucesión es decreciente.
c) Si es decreciente y es creciente entonces la sucesión es decreciente.
d) Si es decreciente y es decreciente entonces la sucesión es creciente.
Resolución
a) Si es creciente:
œ n 0 ù, , con
como es creciente, entonces
entonces es creciente
b) Si es creciente:
œ n 0 ù, , con
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como es decreciente, entonces
entonces es decreciente
c) Si es decreciente:
œ n 0 ù, , con
como es creciente, entonces
entonces es decreciente
d) Si es decreciente:
œ n 0 ù, , con
como es decreciente, entonces
entonces es creciente
03. Sean y sucesiones de números de reales. Muestre que
a) Si e son ambas crecientes (resp. decrecientes) entonces la sucesión es
creciente (resp. decreciente).
b) Si e son ambas crecientes (resp. decrecientes) con términos positivos entonces la
sucesión es creciente (resp. decreciente).
c) Si es creciente (resp. decreciente) e es decreciente (resp. creciente) con términos
positivos entonces la sucesión es creciente (resp. decreciente).
Resolución
a) Si es creciente:
œ n 0 ù, ... (1)
Si es creciente:
œ n 0 ù, ... (2)
sumando (1) y (2)
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entonces la sucesión es creciente
b) Si es creciente:
œ n 0 ù, ... (1)
Si es creciente:
œ n 0 ù, ... (2)
multiplicando (1) y (2) por ser términos positivos
entonces la sucesión es creciente
c) Si es creciente:
œ n 0 ù, ... (1)
Si es decreciente:
œ n 0 ù, , como tiene términos positivos
÷ ... (2)
multiplicando (1) y (2) por ser términos positivos
entonces la sucesión es creciente
04. Establezca si la sucesión dada es creciente, decreciente o no monótona. Además determine si estas son
acotadas o no justificando su respuesta.
a)
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b)
c)
d)
e)
Resolución
a) ÷
como:
÷
÷
÷
÷
÷
ˆ es estrictamente creciente
ˆ es monótona
para se tiene la cota inferior
como , entonces una cota superior es
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b)
pero , por lo que la sucesión no es monótona
Analizamos a donde tiende la sucesión
÷
÷
÷
œ n $ 2 se cumple
÷
ˆ
entonces a partir de n $ 2, la sucesión de decreciente, por lo que es acotada superiormente por y
como decrece entonces la cota inferior es 0.
ˆ La sucesión es acotada y no es monótona
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05. Determinar el valor de verdad de las siguientes proposiciones justificando cada una de ellas:
a) Una sucesión creciente y acotada inferiormente es convergente.
b) Una sucesión decreciente está acotada superiormente.
c) Una sucesión decreciente y acotada inferiormente es convergente.
Resolución
a) Sea una sucesión creciente, entonces es acotada inferiormente en
÷ œ n 0 ù,
Supongamos que converge en L
÷
œ n 0 ù, ... (1)
Como
÷
÷ ... (2)
de (1) y (2) hay contradicción
ˆ La proposición es FALSA
b) Sea una sucesión decreciente, entonces es acotada superiormente en
ˆ La proposición es VERDADERA
c) Sea una sucesión decreciente, entonces es acotada superiormente en
÷ œ n 0 ù,
Como es acotada inferiormente
› M 0 ú, œ n 0 ù,
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÷ › L # M :
÷ converge en L
ˆ La proposición es VERDADERA
06. Determine la monotonicidad y acotación de cada una de las siguientes sucesiones.
a)
b)
c)
d)
e)
(sugerencia: observe que )
Resolución
a) ÷
œ n 0 ù :
÷ œ n 0 ù :
ˆ es estrictamente creciente
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÷ e monótona, donde es acotada inferiormente en
No tiene cota superior dado que es estrictamente creciente
b) La sucesión es
como la sucesión decrece y luego es creciente, entonces no es monótona
Como el punto crítico del valor absoluto es:
2 - n = 0 ÷ n = 2, osea a partir del segundo término va a ser creciente, entonces la sucesión se puede
redefinir:
; v
÷
entonces converge en 1
÷ tiene cota inferior en 0 y cota inferior en 1
c) œ n 0 ù :
÷
÷
÷
÷
÷
÷
÷
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ˆ , œ n 0 ù
÷ es estrictamente decreciente
÷ es monótona
÷ la cota superior es
entonces converge en - 1
÷ la cota inferior es -1
d) La sucesión es
como la sucesión crece y decrece, entonces no es monótona
además œ n 0 ù
La cota inferior es - 1 y la cota superior es 1
e) La sucesión es
Como , entonces los ángulos van decreciendo desde hasta
entonces
co s( 12
)co s( 12
)
co s( 13
)co s( 13
)cos(
13
)cos(13
)
co s 1co s 1
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Entonces la sucesión es estrictamente creciente, por lo que es monótona, acotada inferiormente en 0 y
superiormente en 1
07. Demuestre, usando la definición, la convergencia de las siguientes sucesiones al límite mencionado.
a) , ,
b) , , L = 5
c) , , L = 0
d) , , L = 0
e) , , L = 0
Resolución
Si , entonces
œ , > 0, › 0 ù, ÷
a) œ , > 0, › 0 ù, ÷
÷
÷
÷
÷
÷
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÷
÷
÷
÷
÷
÷
ˆ
c) , , L = 0
œ , > 0, › 0 ù, ÷
Como
entonces buscamos
Demostración
÷
÷
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÷
÷
÷
÷
÷
ˆ
08. Supongamos que hay que hacer n pagos: dentro de un año, dentro de dos años y así sucesivamente
hasta dentro de n años.
a) Muestre que la cantidad que hay que depositar hoy en una cuenta de ahorro a una tasa de p% anual para
cubrir estos n pagos viene dado por
b) Muestre que si , entonces viene dado por
muestre para este caso que la sucesión es creciente y acotada.
Resolución
a) Sea el depósito a realizar hoy en la cuenta para tener la cantidad dentro de un año
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÷ ÷
Sea el depósito a realizar hoy en la cuenta para tener la cantidad dentro de dos años
÷ ÷
Análogamente
ˆ
÷
÷
ˆ
Es acotada inferiormente por , como es creciente no es acotada superiormente
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ˆ
b)
como
÷
Es la suma de n términos de una progresión geométrica de razón
÷
ˆ
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ˆ
Es acotada inferiormente por , como es creciente no es acotada superiormente
ˆ
09. Dado , > 0, calcula 0 ù tal que para todo se verifica donde , L vienen dados en cada
caso por:
a) ,
b) ,
c) (a > 0), L = 1
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Resolución
Si , entonces
œ , > 0, › 0 ù, ÷
c) œ , > 0, › 0 ù, ÷
Por media geométrica y aritmética
Sea v
÷ ÷ ÷ ... (1)
Como a > 0
’ Sea ÷ ÷
÷
Sea , b > 1
÷
÷
÷
÷
÷
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ˆ
’ Sea ÷ ÷
÷
÷
÷
÷
÷
ˆ
10. Demostrar, usando la definición de límites, que la sucesión de término general converge a 4
Resolución
Del dato
entonces
pero , se puede expresar como
entonces
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÷
÷ , por ser
÷
÷
÷
÷
÷
÷
÷
ˆ