01. teoria sirurilor si seriilor numerice
TRANSCRIPT
-
CAPITOLUL 1
COMPLEMENTE DE TEORIA IRURILOR I SERIILOR NUMERICE
1.1. Noiuni introductive
DEFINIIA 1.1.1. : Se numete ir de numere reale o funcie .
Notm .
DEFINIIA 1.1.2. : Fie n1
-
, exist un numr natural ( un rang ) N( ) , astfel nct oricare ar fi .
OBSERVAIA 2 : Definiiile 1.1.6. i 1.1.7. sunt echivalente. DEFINIIA 1.1.8. : irul are limita dac oricare ar fi o vecintate ,
aceasta las n afara ei cel mult un numr finit de termeni ai irului. DEFINIIA 1.1.9. : irul are limita dac oricare ar fi , exist un prag
N(a), astfel nct oricare ar fi rezult c .
OBSERVAIA 3 : Definiiile 1.1.8. i 1.1.9. sunt echivalente.
DEFINIIA 1.1.10. : irul are limita dac oricare ar fi o vecintate ,
aceasta las n afara ei cel mult un numr finit de termeni ai irului. DEFINIIA 1.1.11. : irul are limita dac oricare ar fi , exist un prag
N(a), astfel nct oricare ar fi rezult c .
OBSERVAIA 4 : Definiiile 1.1.10. i 1.1.11. sunt echivalente. Un ir este convergent dac are limita finit i este divergent dac are limita sau
sau nu are limit. EXEMPLE :
1. irul constant . Se demonstreaz c , adic .
2. irul . Se demonstreaz c .
ntr-adevr, oricare ar fi , exist un prag astfel nct oricare ar fi
rezult c .
.
OBSERVAIA 5 : n definiiile anterioare ( de convergen a unui ir ctre un numr ) , limita irului , a , este aprioric cunoscut. 1.2. ir fundamental Cauchy introduce noiunea de ir fundamental ( ir Cauchy ).
( )
( ) *Nnna )(V
( ) *Nnna Ra)(aNn aan )(N)(Nn
-
DEFINIIA 1.2.1. : irul este ir fundamental ( Cauchy ) dac oricare ar fi , exist un prag astfel nct oricare ar fi i oricare ar fi vom avea
.
DEFINIIA 1.2.2. : irul este un ir fundamental ( Cauchy ) dac oricare ar fi
, exist un prag astfel nct oricare ar fi i oricare ar fi , avem
.
OBSERVAIA 1 : Definiiile 1.2.1. i 1.2.2. sunt echivalente.
DEMONSTRAIE : (a) Presupunem c este fundamental conform definiiei 1.2.1. Putem presupune fr
ngrdirea generalitii c m>n . Vom nota p=m-n . De aici rezult c m=n+p. nlocuind pe m=n+p n definiia 1.2.1. vom obine definiia 1.2.2.
(b) Presupunem c este fundamental conform definiiei 1.2.2. Vom nota m=n+p , . Rezult astfel c este verificat definiia 1.2.1.
OBSERVAIA 2 : irul este fundamental dac i numai dac oricare ar fi ,
exist un rang astfel nct oricare ar fi rezult c .
DEMONSTRAIE :
(i) Presupunem c este un ir fundamental. Conform definiiei1.2.1.
rezult c oricare ar fi , exist un rang astfel nct pentru
. Dac N=m, atunci .
(ii) Presupunem c oricare ar fi , exist un rang astfel nct
oricare ar fi rezult c .
Fie .
Observaia anterioar poate fi considerat ca a treia definiie a unui ir fundamental. PROPOZIIA 1.2.1. : Orice ir fundamental este mrginit. DEMONSTRAIE :
( ) *Nnna 0>)(N )(Nm )(Nn
)(N )(Nn *Np
( ) *Nnna 0>)(NN = )(Nn )(NN =
-
Din ipotez tim c irul este fundamental. Conform observaiei 2 , oricare ar fi
, exist un rang astfel nct oricare ar fi rezult c .
.
| | | | | | a1 a2 aN-1 aN- aN aN+ Notm
Rezult c .
PROPOZIIA 1.2.2. : Dac irul fundamental conine un subir
convergent ctre a , atunci irul este convergent ctre a.
DEMONSTRAIE : Subirul converge ctre a.
astfel nct (1)
irul este fundamental.
astfel nct i (2)
Fie . Alegem astfel nct .
Din (1) rezult : dac , atunci sau .
Din (2) rezult : dac , atunci .
Oricare ar fi i , obinem :
.
( ) *Nnna 0> )(NN = )(Nn
-
CRITERIU DE CONVERGEN :
Fie , , . Fie . Dac exist un prag N astfel nct oricare ar
fi .
LEMA LUI CESARO Din orice ir mrginit se poate extrage un subir convergent. DEMONSTRAIE : Din ipotez tim c este mrginit, deci exist astfel nct , oricare ar fi .
a1 a2 b2=b1 | | | |
a=a0 c1 b=b0
Lungimea intervalului [ a , b ] este b-a.
Calculm i obinem dou intervale [ a0 , c0 ] i [c0 , b0 ].
Notm cu [ a1 , b1 ] un interval ce conine o infinitate de termeni ai irului. Dac ambele intervale obinute mai sus conin o infinitate de termeni, vom considera drept [ a1 , b1 ] intervalul din stnga.
Lungimea intervalului [ a1 , b1 ] este .
Alegem . Notm cu . Notm cu [ a2 , b2 ] intervalul care conine o infinitate de termeni ai irului. Dac ambele intervale conin o infinitate de termeni , aleg drept [ a2 , b2 ] pe cel din stnga.
Lungimea intervalului [ a2 , b2 ] este .
Alegem , n2 > n1 .
Repetnd procedeul de mai sus, dup k pai vom avea intervalul [ ak , bk ] cu lungimea
i care conine o infinitate de termeni ai irului.
Alegem , nk > nk-1 .
( ) *Nnnb 0>nb 0lim = nn b ( ) Nnna lablaNn
nnnn
-
mprim intervalul [ ak , bk ] n dou intervale egale i alegem drept interval [ ak+1 , bk+1 ] intervalul care conine o infinitate de termeni ai irului. Dac ambele intervale conin o infinitate de termeni, alegem drept [ ak+1 , bk+1 ] pe cel din stnga.
Alegem , nk+1 > nk .
Am demonstrat astfel prin inducie dup k , faptul c putem alege un subir.
astfel nct interval de lungime .
pentru oricare .
Rezult c exist i este unic numrul real .
Dar pentru oricare , i deci . Notnd avem
i .
Conform criteriului de convergen enunat anterior rezult c .
TEOREMA DE CONVERGEN A LUI CAUCHY
Un ir de numere reale este convergent dac i numai dac este ir fundamental.
DEMONSTRAIE : (i) Presupunem c este convergent . Aceasta nseamn c oricare ar fi
, exist astfel nct oricare ar fi .
.
Deci irul este ir fundamental.
(ii) Presupunem c este ir fundamental.
Dac an este ir fundamental, atunci, conform propoziiei 1.2.1. irul an este mrginit. Din
lema lui Cesaro rezult c irul mrginit an conine un subir convergent. Conform propoziiei 1.2.2. orice ir fundamental care conine un subir convergent este convergent. Teorema este astfel demonstrat.
[ ]11,1 +++ kkn baa k
( ) *Nknka [ ]kkn baa k , k ab2bbbbaaaaa kk == 01210 KKKK *Nk
[ ] *)(,, Nkba kk
[ ]kkn baa k , *Nk knaba
k 2= kk abb 2
=
0>kb 0lim = kk b
knka
( ) *Nnna
( ) *Nnna 0> )(N 2)(
-
1.3. Puncte limit ale unui ir
Fie un ir de numere reale.
DEFINIIA 1.3.1. : Numrul real a este punct limit al irului , dac orice
vecintate a lui a ( V(a) ) conine o infinitate de termeni ai irului.
EXEMPLU : Fie irul
a1 = 0 , a3 = 0 , , a2k-1 = 0 , a2 = 1 , a4 = 1 , , a2k = 1 , Putem spune c 0 i 1 sunt puncte limit ale lui an pentru c oricare ar fi vecintile V
(0) i V(1), n ele exist o infinitate de termeni ai irului. OBSERVAIE : 1) Dac irul este convergent ctre a , atunci a este singurul punct
limit. 2) Un punct limit al unui ir poate fi un numr finit sau .
EXEMPLU : fie irul 1, 1, 2, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4, puncte limit sunt : 1, 2, 3, Deci exist iruri cu o infinitate de puncte limit. PROPOZIIA 1.3.1. : Fie irul . Punctul a este punct limit pentru acest ir dac
i numai dac exist un subir .
DEMONSTRAIE :
(i) Presupunem c conine un subir astfel nct , deci a este punct limit al irului an . Oricare ar fi vecintatea V(a) , n afara ei exist cel mult un numr finit de termeni ai
subirului . Deci oricare ar fi vecintatea V(a) , n interiorul ei exist o infinitate de termeni ai irului an . Rezult astfel c a este punct limit al irului an .
(ii) Fie a un punct limit al irului an . Trebuie s artm c exist un subir astfel
( ) *Nnna ( ) *Nnna
2)1(1 n
na+=
( ) *Nnna
( ) *Nnna aa
knk
( ) *Nnna ( )kna aa knk
kna
kna
Page 7 of 48Capitolul 1
19.04.2008http://cristiann.ase.ro/AnalizaRaduSerban/capitolul1.html
-
nct .
Vom studia trei situaii : 1) a este finit , 2) a este , 3) a este .
1) Fie V1(a) = (a-1 , a+1) . Deoarece a este punct limit al irului an , n aceast vecintate exist o infinitate de termeni ai irului an . Alegem un termen al irului anastfel nct .
Fie . i n aceast vecintate exist o infinitate de termeni ai
irului an . Alegem .
.
Fie . Alegem . Demonstrm prin inducie c aceast relaie este adevrat.
Oricare ar fi , oricare ar fi , alegem
. Deci
. Din criteriul de convergen enunat mai sus,
rezult c .
2) a =
Fie V1( ) = ( 1, ) . Alegem .
Fie V2( ) = ( 2, ) . Alegem .
. Fie Vk( ) = ( k, ). Alegem , etc.
.
3) a =
Fie V1( ) = ( , 1 ) . Fie V2( ) = ( , 2 ) . Fie Vk( ) = ( , k ) , etc. n continuare se procedeaz la fel ca la punctul 2) .
aaknk
+
)(11 aVan
+=21,
21)(2 aaaV
122 ),(2 nnaVan >
+=k
ak
aaVk1,1)(
1),( > kkkn nnaVa k
+=k
ak
aaVk1,1)(
*Nk 1),( > kkkn nnaVa k+ kkkk nkknknn akakaka limlimlim),(
Page 8 of 48Capitolul 1
19.04.2008http://cristiann.ase.ro/AnalizaRaduSerban/capitolul1.html
-
DEFINIIA 1.3.2. : Fie un ir de numere reale. Se numete limit inferioar a
irului an , cel mai mic punct limit al lui an . Se noteaz : .
DEFINITIA 1.3.3. : Fie un ir de numere reale. Se numete limit superioar a
irului an , cel mai mare punct limit al lui an . Se noteaz :
EXEMPLU : Fie irul ,
1.4. Serii de numere reale
Fie irul de numere reale , a1 , a2 , , an , an+1 ,
Notm : S1 = a1 S2 = a1 + a2 . Sn = a1 + a2 + + an .
se numete irul sumelor pariale. Dac este convergent ctre limita
S ( deci S este finit! ) , atunci , . (1)
DEFINIIA 1.4.1. : Membrul drept al relaiei (1) se numete serie. DEFINIIA 1.4.2. : a1 , a2 , , an se numesc termenii seriei. DEFINIIA 1.4.3. : Sn = a1 + a2 + + an se numete suma parial de ordinul n DEFINIIA 1.4.4. : Dac exist, S este suma seriei . OBSERVAIE : Dac se cunosc termenii seriei, putem obine sumele pariale i reciproc. Fie irul sumelor pariale .
( ) *Nnna nnnn
aa = liminflim
( ) *Nnna nnnn
aa = mlisuplim
( ) *Nnna 12)1( += n
na nn
2lim2112)12(2
12 =+= nnkk ak
ka
2mli212)2(2
2 +=++= nnkk akka
( ) *Nnna
( ) *NnnS ( ) *NnnS SSnn =lim
==
1iiaS
Page 9 of 48Capitolul 1
19.04.2008http://cristiann.ase.ro/AnalizaRaduSerban/capitolul1.html
-
Sn = a1 + a2 + + an
Sn-1 = a1 + a2 + + an-1 , a1 = S1 , .
DEFINIIA 1.4.5. : Seria este convergent dac irul sumelor pariale Sn este convergent.
DEFINIIA 1.4.6. : Dac irul sumelor pariale are limita sau sau nu are limit,
atunci seria este divergent .
A cerceta natura unei serii nseamn a determina dac seria este convergent sau divergent.
EXEMPLE : A. Folosind definiia convergenei unei serii, s se stabileasc natura seriei cu termenul
general :
B. S se cerceteze natura seriilor urmtoare :
1)
este convergent i are suma S = 1 .
1= nnn SSa 2n
=1n
na
+ =1n
na
1,34
12 ++= nnnun
( )( )13342 ++=++ nnnn1,
31
11
21
341
2
++=++= nnnnnun
=
++++++++=+++= 31
11
211
61
41
51
31
41
21
21
21 nnnnuuuS nn KK
( ) ( )321
221
125
31
21
31
21
21
++=
+++= nnnn
( ) ( ) 125
321
221
125limlim =
++= nnS nnn
= +1 )1(
1n nn
111
)1(1
+=+= nnnnan
+=+++++=++++= 111
1111
11
31
21
211121 nnnnn
aaaaS nnn KK
= 1lim nn S
= +1 )1(1
n nn
Page 10 of 48Capitolul 1
19.04.2008http://cristiann.ase.ro/AnalizaRaduSerban/capitolul1.html
-
2) Seria geometric :
Fie r>0 .
:
:
r = 1 : Sn = n+1 ,
Deci seria geometric este convergent pentru i divergent pentru .
3) Seria oscilant :
S0 = 1 S1 = 0 S2 = 1 S3 = 0 S2k = 1 S2k+1 = 0 .
Observm c Sn nu are limit , deci este divergent .
PROPRIETI ALE SERIILOR : Aceste proprieti rezult din proprietile irurilor.
P1) Dac ntr-o serie se schimb ordinea unui numr finit de termeni, se obine o serie de aceeai natur ca i prima.
KK +++++==
n
n
n rrrr 20
1
rrrrrS
nn
n =++++=
+
111
12 K
( )1,0r rrrn
n = +
11
11lim
1
( ) ,1r += +
rrn
n 11lim
1
+= nn Slim( )1,0r [ ) ,1r
( )=
++=0
...11111n
n
( )=
0
1n
n
Page 11 of 48Capitolul 1
19.04.2008http://cristiann.ase.ro/AnalizaRaduSerban/capitolul1.html
-
P2) Dac ntr-o serie adugm sau scdem un numr finit de termeni, obinem o serie de aceeai natur ca i prima.
P3) Resturile unei serii convergente formeaz un ir convergent ctre zero. DEMONSTRAIE :
Fie
, unde cu Rn am notat restul de ordinul n al seriei.
P4) Dac seria este convergent, atunci irul sumelor pariale este mrginit.
P5) Dac seria este convergent, atunci .
DEMONSTRAIE :
Din ipotez tim c este convergent, deci , unde S este finit.
OBSERVAIA 1 :
Reciproca acestei afirmaii nu este adevrat. Adic, dac , nu rezult c este convergent. Pentru a demonstra aceast afirmaie, vom da un exemplu:
Seria armonic :
, .
4434421 K44 344 21 Knn R
nn
S
nn
n aaaaaa ++++++= ++
= 2121
1
+=
=1nk
kn aR
( ) 0limlimlim1
=====+==
= SSSSSSRSSRRSaS nnnnnnnnnnn n
na na 0lim = nn a
na SSnn =lim( ) 0limlimlimlim 111 ===== + SSSSSSaSSa nnnnnnnnnnnn
0lim = nn a na
=1
1n n
01lim1 == nna nn
+++++++
++++
++
+= nnnnS 21
221
121
81
71
61
51
41
31
211 112 KK
21
211 >+
Page 12 of 48Capitolul 1
19.04.2008http://cristiann.ase.ro/AnalizaRaduSerban/capitolul1.html
-
Deci
Din irul Sn am extras irul care este divergent. De aici rezult faptul c Sn este
divergent, deci este divergent .
OBSERVAIA 2 :
Dac este divergent . Aceast observaie reprezint un criteriu de divergen a seriilor.
P6) Fie o serie convergent cu suma A . Fie o serie convergent cu suma B .
Atunci, , oricare ar fi .
OBSERVAIE : Mulimea seriilor convergente formeaz un spaiu vectorial.
EXEMPLU :
S se arate c seria cu termenul general este convergent i s i se calculeze suma .
Fie seriile cu termenii generali i
Seria este convergent i are suma , iar seria este convergent i are suma
. Din proprietile seriilor convergente rezult c, dac dou serii, respectiv i sunt
21
41
41
41
31 =+>+
21
84
81
71
61
51 =>+++
21
21
1211 >+++ nn K
=> nn SnS
n 22lim
2nS2
= nSnn 1lim
nnn aa 0lim
na nb( ) ++ BAba convnn R ,
1,15
53 = nu nnn
n
nn
n
n
n
n
nu
==31
51
155
153
n
nv
=51 1,
31
= ntn
n
=1n
nv41
=1nnt
21
=1nnv
=1nnt
Page 13 of 48Capitolul 1
19.04.2008http://cristiann.ase.ro/AnalizaRaduSerban/capitolul1.html
-
convergente i au sumele V i T , atunci seria diferen este o serie convergent i are suma V-T .
Deci
CRITERIUL GENERAL DE CONVERGEN AL LUI CAUCHY (CGCC)
Seria este convergent dac i numai dac , oricare ar fi , exist astfel nct ,
oricare ar fi i oricare ar fi avem :
DEMONSTRAIE : (i) Presupunem c seria este convergent, deci (Sn) este convergent i conform
teoremei de convergen a lui Cauchy, (Sn) este un ir fundamental. Rezult astfel c
oricare ar fi , exist astfel nct , oricare ar fi i oricare ar fi
avem : .
Sn+p = a1 + a2 + + an + an+1 + + an+p Sn = a1 + + an
Deci .
(ii) Presupunem c oricare ar fi , exist astfel nct , oricare ar fi i
oricare ar fi rezult c , adic . De aici rezult c Sn este un ir fundamental i conform teoremei de convergen a lui Cauchy, Sneste un ir convergent. Astfel am demonstrat c seria este convergent.
1.5. Serii cu termeni pozitivi
DEFINIIA 1.5.1. : Seria este o serie cu termeni pozitivi ( stp ) , dac an>0, n =1, 2, .
)(1=
n
nn tv
=
==1 4
121
41
1553
nn
nn
na 0> )(N)(Nn *Np
)(N )(Nn *Np
-
CRITERII DE COMPARAIE PENTRU SERII CU TERMENI POZITIVI
n acest paragraf vom prezenta cteva criterii de convergen a unei serii cu termeni pozitivi. Se compar seria a crei natur este necunoscut cu o serie a crei natur o cunoatem i astfel putem obine informaii despre natura seriei considerate. De aici denumirea de criterii de comparaie.
I. Primul criteriu de comparaie :
Fie i dou serii cu termeni pozitivi. Dac exist N astfel nct oricare ar fi
atunci :
1. dac este convergent, atunci i seria este convergent.
2. dac este divergent, atunci c i seria este divergent.
DEMONSTRAIE : 1. Din ipotez tim c este convergent i, conform criteriului general de
convergen al lui Cauchy, oricare ar fi , exist astfel nct , oricare ar fi
i oricare ar fi rezult c . Deoarece ,
avem .
Deoarece i , avem :
i prin urmare
seria este convergent.
2. Presupunem contrariul, adic este convergent, atunci, conform 1. rezult c i
este convergent, ceea ce contrazice ipoteza c este divergent.
II. Al doilea criteriu de comparaie :
Fie i dou serii cu termeni pozitivi. Dac exist N astfel nct oricare ar fi
, atunci :
1. dac este convergent, atunci i seria este convergent.
na nbnn baNn
nb na na nb
nb0> )(N
)(Nn *Np nb
-
2. dac este divergent, atunci i seria este divergent.
DEMONSTRAIE :
1. oricare ar fi
Obinem astfel : , unde c este o constant.
Deci , oricare ar fi .
Din ipotez tim c este convergent i conform proprietii P6 rezult c i
este convergent.
Din aceste ultime dou afirmaii rezult, conform primului criteriu c seria este convergent.
2. Presupunem contrariul, adic este convergent i este divergent, lucru
care este in contradicie cu primul criteriu. Rezult astfel c seria este divergent.
III. Al treilea criteriu de comparaie: ( fr demonstraie )
Fie i dou serii cu termeni pozitivi. Dac ( c fiind finit i diferit de
zero ), atunci seriile i au aceeai natur.
SERII UTILIZATE N CRITERII DE COMPARAIE
1. Seria armonic : . Aceasta este o serie divergent.
2. Seria geometric : , r>0 ,
na nb
n
n
n
n
n
n
n
n
ba
ba
bb
aa
++++1
111
Nn
LL =++
n
n
N
N
N
N
ba
ba
bac
1
1
n
n
bac
Nn nn cba nb
ncb na
nb na nb
na nb cba
n
n
n=lim
na nb
=1
1n n
=0n
nr
-
3. Seria armonic generalizat : . Exist mai multe situaii :
a) conform criteriului I , seria armonic generalizat este divergent.
b) este seria armonic i este divergent.
c)
. Dar membrul drept al inegalitii reprezint o serie
geometric cu raia , 0 < r < 1 ,deci este o serie convergent.
Conform criteriului I , seria este convergent .
n concluzie, seria armonic generalizat este
EXEMPLU : S se studieze natura seriilor :
1.
Vom nota cu . Fie seria unde vom nota .
conform criteriului III , seria este divergent .
2. ;
=
1
,1n
Rn
( ) >nn111,0
=
=1
11n n
=
+++++++=>1 7
161
51
41
31
21111
n nK
121
22
21
21
31
21
==+
1
1
pentrudivergenta
pentruaconvergent
= +1 12
1n n
121+= nan
=1
1n n n
bn1=
= 21lim
n
n
n ba
= +1 121
n n
7521
3 ++= nnan 331
7521
nnn
-
Notm . Observm c seria este o serie armonic generalizat convergent, ntruct .
Conform criterului I , seria este convergent.
3.
Notm . Observm c este o serie armonic generalizat divergent, ntruct
.
Conform criteriului I , seria este divergent.
CRITERII SUFICIENTE DE CONVERGEN A SERIILOR CU TERMENI POZITIVI I. Criteriul rdcinii ( Cauchy ) :
Fie o serie cu termeni pozitivi.
1. Dac pentru oricare , exist 0 < k < 1 astfel nct , atunci seria este
convergent. 2. Dac pentru o infinitate de termeni , atunci este divergent.
DEMONSTRAIE :
1. Oricare ar fi , exist 0 < k < 1 astfel nct
, iar este o serie geometric cu raia r = k==
43
1
nbn = nb
43=
na
naNn kan n na
1n na na
Nn kan n nnnn kaka nk
na1n na 1 na
ka
a
n
n
n=+ 1lim
Page 18 of 48Capitolul 1
19.04.2008http://cristiann.ase.ro/AnalizaRaduSerban/capitolul1.html
-
1) pentru k < 1 , seria este convergent
2) pentru k > 1 , seria este divergent
3) pentru k = 1 este neconcludent. EXEMPLU :
Fie seria ,
Aplicnd criteriul rdcinii, rezult c , deci seria este convergent.
OBSERVAIE : Nu putem studia convergena seriei geometrie cu ajutorul criteriului raportuluipentru c n demonstraia criteriului raportului am folosit seria geometric. EXEMPLU :
Fie seria
Aceast serie este convergent , fapt care rezult din criteriul rdcinii, dar nu putem aplica criteriul raportului. II. Criteriul raportului ( DAlembert ) :
Fie o serie cu termeni pozitivi.
1. Dac pentru oricare avem , atunci seria este convergent.
2. Dac , atunci seria este divergent.
DEMONSTRAIE :
1. Oricare ar fi avem
na na
=
+
1 10352
n
n
nn n
n nna
+=10352
132
10352
-
Seria pe care o obinem este o serie geometric de raie r : . Aceast
serie este convergent. Rezult astfel, conform criterului I de comparaie c seria este convergent.
2.
, oricare ar fi .
Rezult c irul an este un ir cresctor de numere pozitive .
Deci este divergent.
COROLAR :
Fie . Atunci : 1) pentru k < 1 , seria este convergent
2) pentru k > 1 , seria este divergent
3) pentru k = 1 este neconcludent. DEMONSTRAIE :
1) < 1
Exist astfel nct | ( | ) | 0 k 1
Deoarece , nseamn c oricare ar fi vecintatea , n afara ei exist cel mult un numr finit de termeni ai irului, iar n interiorul ei exist o infinitate de termeni.
conform prii nti a criteriului raportului. Deci seria este convergent.
=
==
1 1p p
pN
pN kaka
na
11 >+ ka
a
n
n
NN aa +1
nn aa +1 Nn
0lim nn a na
ka
a
n
n
n=+ 1lim na
na
ka
a
n
n
n=+ 1lim
0> 1
-
2) > 1
V(k) = . Repetnd raionamentul de mai sus, demonstrm c seria este divergent.
2) n cazul n care k = 1 , nu putem trage nici o concluzie, deoarece exist situaii n care seria
este convergent i situaii n care seria este divergent. De exemplu :
, dar tim c seria este divergent.
, iar seria este convergnt.
EXEMPLE :
1)
.
Deci i conform criteriului raportului, seria este convergent.
2)
Dac , seria este divergent.
Dac , seria este convergent.
Dac , deci este ir strict cresctor, iar seria este divergent. Rezult c seria dat este divergent.
3)
, deci seria este convergent conform criteriului raportului.
ka
a
n
n
n=+ 1lim
( ),1 na
= nan 1 11limlim 1 =+= + nn
aa
nn
nn
>= )1(,1 nan ( ) 11limlim 1 =+= +
nn
aa
nn
n
n
=++++++=+++
=
++
0
11
2)!3()!1(
)!4()!2(2
)!3()!1(2
nn
n
n
nn nn
nnaa
nn
0))4)(3(1)(2(
)651(2))4)(3(1()!2(
))3)(2(1)()!1((2 2 +++++++=++++
++++=nnn
nnnnn
nnn
0lim 1 =+n
n
n aa
enn
nn
nn
aa
nn n
n
n
n
n
n
n
nn
n
+=++= +
++
= 1!)1( )!1(! 1
11
1
ee
>> 1
ee
+=+=
+===+n
nnn
nn
n aa
n
en
nen
neaee
( )na
=
>1
0,!n
n
ana
101
1lim)!1(
!limlim1
1
-
4)
Dac , seria este convergent .
Dac , seria este divergent.
Dac . Atunci , oricare ar fi n , deci seria este divergent.
III. Criteriul Raabe Duhamel :
Fie o serie cu termeni pozitivi.
1. Dac oricare ar fi , seria este convergent.
2. Dac oricare ar fi , seria este divergent.
COROLAR :
Dac , atunci : 1) pentru k > 1 , seria este convergent
2) pentru k < 1 , seria este divergent
3) pentru k = 1 este neconcludent. EXEMPLU :
Fie seria :
=
>
1
0,!n
n
anan
ea
nna
nan
nan
uu n
n
n
n
n
n
nn
n
n=
+=+
+=
++
+
1lim
!
)1()!1(
limlim1
1
1
eaea > 1
n
n nenuea
ea
=== !1
11
1 >
+=+ n
n
n
nn
eu
u
na
Nn >
+11
1
kaann
n
Nn +1 )0()1()1(!
n nn K
( ) ( )( )( ) ( )( ) ( ) 1
111
11!111
11!11 +
=++=++++
++=+ nn
nnnn
nnnaa
n
n
KK
Page 22 of 48Capitolul 1
19.04.2008http://cristiann.ase.ro/AnalizaRaduSerban/capitolul1.html
-
1) pentru > 1 > 2 , seria este convergent 2) pentru < 1 < 2 , seria este divergent 3) pentru = 1 = 2, criteriul este neconcludent.
, aceasta fiind serie armonic, este divergent.
1.6. Serii alternate
DEFINIIA 1.6.1. : Seria se numete alternat dac produsul a doi termeni
consecutivi este negativ , adic .
Seria altenat poate avea forma :
n general putem scrie seria astfel : .
CRITERIUL LUI LEIBNITZ
Fie o serie altrenat. Dac sunt ndeplinite condiiile :
1. ( adic irul termenilor fr semn este descresctor )
2.
atunci seria este o serie convergent.
DEMONSTRAIE : Presupunem c avem
( ) 111lim1lim
1
=+=
+
nn
aan
nn
n
n
1 1 1
( )
=
= +=+1 1 11
132!
n n nnnK
=1n
na
*1 )(,0 Nnaa nn ++++ nnn aaaaaaa KK( )0,2124321 >+++ nnn aaaaaaa KK
( ) ( )=
+ >1
1 0,1n
nnn aa
( )=
+1
11n
nn a
1+> nn aa0lim = nn a
( )=
+1
11n
nn a
KK ++++ nn aaaaaa 2124321
Page 23 of 48Capitolul 1
19.04.2008http://cristiann.ase.ro/AnalizaRaduSerban/capitolul1.html
-
Deoarece este un subir strict cresctor.
Artm n continuare c S2n este un subir mrginit superior.
, deci S2n este mrginit superior.
Fie seria este convergent.
EXEMPLU : S se studieze convergena seriei .
Fie funcia
tim c a>1 , deci funcia este cresctoare. Din relaia de mai sus, rezult c
, oricare ar fi . Deci este descresctoare pe intervalul i este
descresctoare pentru orice . De asemenea, . Conform criteriului lui Leibnitz, seria este convergent. 1.7. Serii absolut convergente Fie o serie numeric.
DEFINIIA 1.7.1. : Seria este abslut convergent dac seria valorilor absolute
este convergent. TEOREMA 1.7.1. : Orice serie absolut convergent este convergent.
KK ++++= nnn aaaaaaS 212432122212222 +++ += nnnn aaSS
nnnnn SSSaa 22222212 >> +++
( ) ( ) ( ) { 120
2
0
1222
0
54
0
3212 aSaaaaaaaaS nnnnn >
>>
4434421K4342143421
==
==
=
=
=
SSaSSaSS
SSnnnn
S
nn
S
nnnnn
nn limlimlimlimlim
0
21222122
2
32143421321
=
>1
1,log)1(n
an an
n
( ) [ )= ,1,log xx
xxf a
( ) 222 logloglog
ln1log
ln'x
xex
xa
x
xax
x
xf aaaa =
=
=
xalog
( ) 0' ( )xf ( ),e nnalog
Nnen > , 0loglim = n
nan
na na na
Page 24 of 48Capitolul 1
19.04.2008http://cristiann.ase.ro/AnalizaRaduSerban/capitolul1.html
-
DEMONSTRAIE : Din ipotez tim c seria este absolut convergent. Conform criteriului general de
convergen al lui Cauchy, oricare ar fi , exist astfel nct , oricare ar fi i
oricare ar fi rezult c .
Seria este convergent deoarece :
oricare ar fi i oricare ar fi
.
OBSERVAIE : Reciproca, n general, nu este adevrat ( nu orice serie convergent este
i absolut convergent ) . EXEMPLU :
Seria este convergent .
Seria este seria armonic i este divergent.
DEFINIIA 1.7.2. : O serie convergent care nu este absolut convergent se numete
semiconvergent. OBSERVAIE : ntr-o serie cu termeni pozitivi, notiunile de convergen i absolut
convergen coincid.
CRITERIU DE ABSOLUT CONVERGEN
Fie i , dou serii numerice. Dac exist N astfel nct oricare ar fi , s avem
(*) , atunci dac este absolut convergent i seria este absolut convergent.
DEMONSTRAIE :
Dac este o serie absolut convergent, din criteriul general de convergen al lui Cauchy rezult c oricare ar fi , exist astfel nct , oricare ar fi i oricare ar
fi , exist relaia :
.
na0> )(N )(Nn
*Np
-
, oricare ar fi
i oricare ar fi . Rezult astfel c seria este abslut convergent.
TEOREMA LUI ABEL ( pentru serii numerice ) : Fie o serie numeric i fie ( Sn ) irul sumelor pariale care este mrginit. Fie irul de
numere , fiind convergent ctre zero i descresctor. Atunci seria este convergent.
DEMONSTRAIE :
Din ipotez tim c ( Sn ) este un ir mrginit.
Sn = a1 + a2 + + an
Tot din ipotez tim c , descresctor c oricare ar fi , exist
astfel nct , oricare ar fi , .
n continuare vom aplica seriei criteriul general de convergen al lui Cauchy:
Oricare ar fi , exist astfel nct , oricare ar fi i oricare ar fi ,
exist relaia :
Rezult c seria este convergent.
nn ( )n nna
( ) *)(,0 NnMMSn >( ) 0
nn
nn ,0> 0> )(N
)(Nn MM nn 220
-
1.8. iruri de funcii
Fie , funcii reale definite pe mulimea .
DEFINIIA 1.8.1. : irul f1 , f2 , , fn , se numete ir de funcii i se noteaz cu
( 1 ) .
OBSERVAIE : Oricare ar fi , obinem irul de numere f1(a), f2(a), , fn(a) pe care-
l notm : ( 2 ) .
DEFINIIA 1.8.2. : Punctul se numete punct de convergen al irului de funcii
( 1 ) , dac irul este convergent.
Fie ( 3 )
DEFINIIA 1.8.3. : Mulimea B se numete mulimea de convergen a irului de funcii ( 1 ) .
Fie . Notm .
DEFINIIA 1.8.4. : Funcia care verific relatia de mai sus se numete funcia limit a irului de funcii ( 1 ) . EXEMPLU : Fie funcia , . Evident, B = ( -1 , 1 ] .
este funcia limit.
Fie un ir de funcii. Fie mulimea .
DEFINIIA 1.8.5. : irul de funcii converge simplu ctre funcia f pe mulimea
B, dac oricare ar fi i oricare ar fi , rezult c exist astfel nct oricare ar fi
, ( 1 ) .
Vom nota cu , unde cs nseamn converge simplu .
*,: NnBAfn RA
( ) *Nnnf Aa
( )( ) *Nnn af Ax
( )( ) *Nnn xf ( )( ){ }convergentestexfAxBAB Nnn *|, =
Bx ( ) ( ) )4(lim xfxf nn =RBf :
RRfn : ( ) nn xxf =
( ) ( ) RBfxx
xf
== :
1,11,1,0
*,: NnBAfn AB
( ) *Nnnf 0> Bx ( )xN ,
( )xNn , ( ) ( )
-
DEFINIIA 1.8.6. : irul de funcii converge uniform ctre funcia f pe
mulimea B, dac oricare ar fi , exist astfel nct oricare ar fi i oricare ar
fi , rezult c ( 1 ) .
Vom nota cu , unde cu nseamn converge uniform .
Interpretarea geometric a convergenei uniforme este prezentat n figura de mai jos :
-
-f
- | | a b
OBSERVAIE : Dac , atunci . Reciproca nu este adevrat.
EXEMPLUL 1 :
( ) *Nnnf 0> ( )xN , ( )xNn ,
Bx ( ) ( )
-
. Observm c , dar nu este uniform convergent.
EXEMPLUL 2 :
. Fie irul :
.
OBSERVAIE : Pentru convergena simpl se aplic criteriile obinuite de convergen a irurilor de numere.
CRITERII DE CONVERGEN UNIFORM I. Primul criteriu de convergen uniform ( criteriul lui Cauchy ):
Fie un ir de funcii. Fie mulimea .
irul dac i numai dac , oricare ar fi , exist astfel nct oricare ar fi , oricare ar fi i oricare ar fi , rezult :
(1)
DEMONSTRAIE :
1) Necesitatea :
Presupunem c astfel nct, ,
(2).
Pentru , avem relaia (2)
oricare ar fi , oricare ar fi i oricare ar fi .
ffnn =lim ( ]ff
cs
n 1,1
[ ] ( ) [ ] 2,0)(,sin,2,0: * == BNnn
nxxfRf nn
( ) Bxxf = )(,0( )
-
2) Suficiena :
Presupunem c astfel nct,
Prin urmare irul de numere este un ir fundamental i deci irul
este convergent.
Fie limita irului , . Vom demonstra n continuare c aceast convergen este uniform.
Fie , fixat, ales arbitrar . Deoarece , nseamn c este adevrat relaia :
.
Trecem la limit cnd . Vom avea : . Deoarece este ales arbitrar, l putem nlocui cu n i obinem :
II. Al doilea criteriu de convergen uniform:
Fie . Fie irul numeric , de numere pozitive, convergent ctre zero. Fie .
Dac exist astfel nct , oricare ar fi .
DEMONSTRAIE :
Fie . Deoarece astfel nct . Dar ,
deci .
Pentru . Aceasta demonstreaz faptul c
.
CONTINUITATEA I CONVERGENA UNIFORM Fie funcia .
),()(,0)( N> BxNn )(),()(
-
DEFINIIA 1.8.7. : Funcia f este continu n punctul dac :
1) exist
2)
DEFINIIA 1.8.8. : Funcia f este continu n punctul dac oricare ar fi ,
exist o vecintate V(a) astfel nct oricare ar fi .
Cele dou definiii sunt echivalente.
TEOREMA 1.8.1. : Fie irul ( mulimea B fiind inclus n mulimea A ) . Dac toate funciile fn sunt continue n punctul , atunci i funcia limit f este continu n punctul a .
DEMONSTRAIE :
Din ipotez tim c astfel nct, ,
. (1)
n cazul particular x = a , obinem relaia . (2)
Tot din ipotez tim faptul c funciile fn sunt continue n x = a , deci i funcia fN este continu n punctul x = a , i prin urmare, oricare ar fi , exist vecintatea V(a) astfel nct oricare ar
fi . (3)
DERIVABILITATE I CONVERGEN UNIFORM TEOREMA 1.8.2. : Fie I un interval mrginit i fie irul de funcii derivabile pe
intervalul I . Dac sunt ndeplinite condiiile :
1) exist astfel nct irul este convergent
Aa)(lim xf
ax
)()(lim afxfax
=
Aa 0>( ) ( ) BxNn )(),()(
3)()(
-
2) exist astfel nct
atunci : 1) exist funcia astfel nct
2) .
OBSERVAIE : Convergena uniform a irului fn nu atrage dup sine convergena
uniform a irului derivatelor. EXEMPLU :
Fie intervalul . Fie , . Vom arta c fn este un ir convergent uniform pe acest interval.
.
. Conform criteriului II de convergen uniform, rezult c
.
. Fie .
Obinem irul -1, 0, 1, 0 , -1, , deci nu este un ir convergent.
TEOREMA 1.8.3. : Fie un ir de funcii, . Dac fn sunt integrabile pe intervalul [a, b], atunci :
1) funcia limit f este integrabil pe intervalul [a, b]
2) este convergent
3)
OBSERVAIE : Teorema 1.8.2. se mai numete i teorema de derivare termen cu termen a unui ir de funcii , iar teorema 1.8.3. se mai numete i teorema de integrare termen cu termen a unui ir de funcii .
RIg : gfcu
In'
RIf : ffcu
In
( ) ( ) Ixxgxf = )(,'
[ ]2,0=I RIfn : ( ) ( )*,cos Nnnnxxfn =( ) Ixxf = ,0( ) ( )
nnnxxfxfn
1cos =
ffcu
In
( ) nxxfn sin' = Ix = 2
0sin2
2
12
sin2
1
'2
'1
==
=
==
=
fn
fn
02
4sin2
4
12
3sin3
3
'4
'3
==
=
==
=
fn
fn
[ ] *,, NnRbaf n [ ] ffcu
ban ,
( )ba n dxxf( ) ( ) = ba bann dxxfdxxflim
Page 32 of 48Capitolul 1
19.04.2008http://cristiann.ase.ro/AnalizaRaduSerban/capitolul1.html
-
1.9. Serii de funcii
Fie , , un ir de funcii.
DEFINIIA 1.9.1. : Suma (1) se numete serie de funcii.
OBSERVAII :
1) Oricare ar fi , seriei i corespunde o serie de
numere (2) .
Dac seria numeric (2) este convergent, atunci spunem c punctul a este un punct de
convergen a seriei de funcii (1) . 1) O serie de funcii este echivalent cu o familie de serii de numere ( fiecrui
i corespunde o serie de numere ) . 2) Unei serii de funcii i putem aplica rezultatele de la serii de numere i de la iruri de
funcii. Astfel, notm :
S1 = f1 S2 = f1 + f2 Sn = f1 + f2 + + fn (3) unde Sn reprezint suma parial de ordinul n a seriei de funcii (1)
DEFINIIA 1.9.2. : Seria de funcii (1) , , este convergent pe dac irul de funcii ( Sn ) este convergent pe multimea B . DEFINIIA 1.9.3. : Seria de funcii este absolut convergent n punctul dac
este absolut convergent.
DEFINIIA 1.9.4. : Mulimea de convergen a unei serii de funcii este
.
EXEMPLE :
RAfn : ( )*Nn=
=++++1
21n
nn ffff LK
Aa
=1nnf
( ) ( ) ( ) ( ) KK ++++==
afafafaf nn
n 211
Aa
( ) *NnnS nf AB
nf Aa( ) afn
AB ( ){ }= aconvergentesteafAaB n|
Page 33 of 48Capitolul 1
19.04.2008http://cristiann.ase.ro/AnalizaRaduSerban/capitolul1.html
-
(1) , ,
x < 0 : , este divergent .
x = 0 : , , , este divergent .
x > 0 : , este serie geometric cu raia , deci este o serie convergent. Rezult c mulimea de convergen este .
(2) , ,
Din criteriul raportului, obinem :
, seria este convergent.
, seria este divergent.
, serie armonic, divergent.
, serie armonic alternat, care este convergent.
Rezult c mulimea de convergen este .
DEFINIIA 1.9.5. : Seria converge simplu pe mulimea B ctre funcia S dac oricare
ar fi , oricare ar fi , exist astfel nct, oricare ar fi , avem
.
DEFINIIA 1.9.6. : Seria converge uniform pe mulimea B ctre funcia S dac
oricare ar fi , exist astfel nct, oricare ar fi , oricare ar fi , avem
=
0n
nxe ( ) nxn exf = RRfn :( ) +== nxnnn exf limlim nf
( ) 10 =nf ( ) 10 += nSn ( ) += 0lim nn S nf
( ) nxnxn eexf
== 11 n
xe1
11
-
.
DEFINIIA 1.9.7. : Funcia S se numete suma seriei de funcii.
CRITERII DE UNIFORM CONVERGEN A SERIILOR DE FUNCII Criteriul Cauchy de convergen uniform:
Fie . Fie . Seria converge uniform pe mulimea B dac i
numai dac oricare ar fi , exist astfel nct, oricare ar fi , oricare ar fi
, avem :
, oricare ar fi .
DEMONSTRAIE :
Fie .
irul astfel nct : i
i .
Criteriul lui Weierstrass de convergen uniform:
Fie . Fie . Fie o serie cu termeni pozitivi convergent. Dac
oricare ar fi i oricare ar fi , , atunci converge uniform pe mulimea B .
DEMONSTRAIE : Din ipotez tim c este convergent i . Din criteriul general de convergen
al lui Cauchy rezult c astfel nct , , avem :
.
i
conform criteriului de convergen uniform al lui Cauchy rezult c converge uniform pe mulimea B .
( ) ( ) ( )N ( )Nn
*Np( ) ( ) ( ) )()( Nn Bx)(
( ) ( ) )()( Nn *)( Np
-
EXEMPLE :
1. , , .
este seria armonic generalizat, , deci seria este convergent.
Conform criteriului lui Weierstrass, converge uniform pe R.
2. , , .
pentru este seria armonic generalizat ( convergent )
pentru seria este divergent. 1.10 . Serii de puteri
Fie , .
DEFINIIA 1.10.1. : Seria de funcii se numete serie de puteri. OBSERVAII : Orice serie de puteri este o serie de funcii, deci rezultatele obinute la seriile de funcii se
aplic seriilor de puteri. este un polinom de gradul n .
PROPOZIIA 1.10.1. : Mulimea de convergen a unei serii de puteri este nevid. DEMONSTRAIE :
Fie irul . Pentru x = 0 , Sn(0) = a0 ; . Deci mulimea Beste nevid.
OBSERVAIE : Exist serii de puteri pentru care mulimea de convergen este format
doar din numrul zero. ( )
nf RRfn : ( ) 2sinn xxfn
n =
( ) 22* 1sin)(,)( nnxxfRxNn
n
n =
= 21nan 2=nf
nf RRfn : ( ) xn nxf 1=> 1x ( ) xn nxf
1= 1x
RRfn : ( ) Nnxaxf nnn = ,
=
++++=0
10n
nn
nn xaxaaxa KK
( ) nnn xaxaaxS +++= K10
( )( ) Nnn xS ( ) BxaSnn == 00lim 0
{ }0=B
Page 36 of 48Capitolul 1
19.04.2008http://cristiann.ase.ro/AnalizaRaduSerban/capitolul1.html
-
EXEMPLU : Fie seria: .
Notm .
Fie .
De asemenea, .
Pentru . Rezult c . Deci seria este divergent pentru orice ( vezi criteriile de convergen )
TEOREMA LUI ABEL PENTRU SERII DE PUTERI Pentru orice serie de puteri , exist un numr astfel nct :
1. Oricare ar fi , seria este absolut convergent.
2. Oricare ar fi , seria este divergent.
3. Oricare ar fi , seria este uniform convergent pentru orice .
Numrul cu proprietile 1. i 2. se numete raza de convergen a seriei de puteri. DEMONSTRAIE :
Fie B multimea de convergen a seriei .
Dac , atunci teorema este demonstrat.
Dac , atunci :
(*) Fie este convergent, deci de unde rezult c
irul este mrginit.
Dac irul este mrginit, atunci exist astfel nct .
Consierm | | | |
0 x
=1n
nn xn
nn na =
0, 00 xRxKK +++++=
=nn
n
nn xnxxxxn 030
320
20
1
32
( )nnn xnxn 00 11 0
0
>
> xnx
n 0lim 0 nn
nxn
0x
nn xa 0R( )RRx ,( ) ( ) ,, RRx
Rr
-
Dar este o serie geometric convergent , i conform primului
criteriu de comparaie, seria este absolut convergent.
Prin urmare, oricare ar fi , seria este absolut convergent, deci convergent.
Am artat deci c dac , atunci oricare ar fi , seria este absolut convergent. 0
(**) Fie ( | ) | |
x1 x B
Dac , atunci seria este divergent.
Vom demonstra c oricare ar fi x astfel nct , seria este divergent.
Presupunem contrariul, adic este convergent. Rezult conform (*) c seria
este convergent. Aceasta este o contradicie cu ipoteza, deci seria este divergent pentru orice punct mai mare dect x1 . Fie . Oricare ar fi M cu proprietatea se numete majorant al intervalului (a,b) . Observaie : Un interval (a,b) are o infinitate de majorani. Se numete supremul lui I , notat supI , cel mai mic majorant.
Fie R=supB . Vom arta c R este raza de convergen a seriei.
1. Oricare ar fi , rezult conform (*) , , seria este absolut convergent.
2. Dac R este infinit , atunci punctul 2. din teorema lui Abel nu are sens. Presupunem c
R este finit. Atunci , seria este divergent.
Din 1. i 2. rezult faptul c R este raza de convergen a seriei.
3. Fie
Vom arta c oricare ar fi , seria este convergent .
nnn
nn
nn
nn
n xxM
xxxa
xxxaxa
000
000 ==
=nn
nn x
xMxxMxa
000
n
xx0
nn xa 1
nn xa nn xa 1
( ) RbaI = , ( ) Mxbax
-
Dac , atunci r face parte din intrevalul de convergen , deci seria este
convergent. Dar , aceasta din urm fiind o serie numeric cu termeni pozitivi, convergent.
Oricare ar fi , rezult c i conform criteriului lui Weierstrass
de convergen uniform, seria este uniform convergent pe intervalul .
OBSERVAII : Teorema lui Abel nu afirm nimic despre natura seriei atunci cnd x = R sau cnd x = -R. n
aceste puncte seria poate fi convergent sau divergent. Teorema lui Abel afirm existena seriei de puteri, dar nu arat cum poate fi calculat raza de
convergen.
EXEMPLU :
Pentru orice , seria este divergent. Pentru x = 1, , deci seria este divergent. Pentru x = -1 , este o serie oscilant, deci divergent.
n concluzie, .
TEOREMA CAUCHY HADAMARD
Fie o serie de puteri. Fie . Atunci :
DEMONSTRAIE : Fie oarecare . ( x0 fixat )
Fie seria cu termeni pozitivi . Notm . Pentru seria aplicm criteriul rdcinii:
Rr
-
Exist mai multe cazuri :
1) . Din criteriul lui Cauchy rezult c
seria este convergent i .
2) .
3) , seria este divergent i R=0 .
Observaie : . Dac nu exist aceast limit, atunci sau .
EXEMPLE :
1) ,
2)
Oricare ar fi , seria este absolut convergent.
Oricare ar fi , seria este divergent.
CONTINUITATEA UNEI SERII DE PUTERI
Fie seria i fie B mulimea de convergen a seriei, .
Oricare ar fi , notm . Obinem astfel funcia ( suma seriei ).
EXEMPLU :
( ) 000 limlimlim xaxaxu n nnn nnn nn ===
111)(0 000
-
PROPOZIIA 1.10.2. : Suma S a unei serii de puteri este continu pentru oricare .
DEMONSTRAIE : Fie ( | | )
-R r R
Deoarece x0 aparine acestui interval, rezult c exist r > 0 astfel nct .
Conform teoremei lui Abel, seria este uniform convergent pe intervalul [-r,r] .
Dar funciile sunt nite polinoame, deci sunt continue pentru orice este
continu, deci este continu pe intervalul (-R,R) .
TEOREM : Fie o serie de puteri i fie S suma acestei serii.
1. Seria derivatelor are aceeai raz de convergen ca i seria iniial.
2. Funcia S este derivabil n intervalul de convergen i suma seriei este S .
EXEMPLE :
1) S se determine mulimea de convergen a seriei
Dac , seria este absolut convergent.
Dac , seria este divergent.
Oricare ar fi r astfel nct , seria este uniform convergent pe
Dac . Dac . Acestea sunt serii alternate care verificcondiiile criteriului lui Leibnitz, deci sunt convergente. Rezult c mulimea de convergen este .
2) S se studieze convergena seriei
nn xa
( )RRx ,0 0x
Rrx
-
Notm i obinem seria .
Dac , seria este absolut convergent.
Dac este o serie cu termeni pozitivi pe care o comparm cu seria
. Astfel, . Observm c seriile au aceeai natur,deci seria dat este divergent.
Dac este o serie alternat. irul este monoton descresctor i tinde la zero. Conform criteriului lui Leibnitz, seria dat este convergent.
Dac , seria este divergent.
3) S se determine mulimea de convergen a seriei
Dac , seria este absolut convergent.
Dac , seria este divergent.
Dac . Dac .
yx =+1n
n
nn
yn
=
+1
)2(3
31
3213
321
1lim)2(3
1)2(3limlim111
1
=
+
++=+
++== ++++R
nnn
naaR
n
n
nnn
nn
nn
nn
32,
34
31,
31 xy
=
+=1 3
1)2(331
nn
nn
ny
=1
1n n
13
)2(3lim3
))2(3(lim =+=+
nnn
nn
nn
n nn
=
+=1 3
)2(3)1(31
nn
nnn
ny
Nnn
nn
n
+3
)2(3
,32
34,x
=
+
+1
1
1nn
n
nn
x
nn
n
1
1
lim
1
lim1lim2
111=
+=
+==
++n
nn
nn
n
nnn
nn
nn
n
nn
aR
( )1,1x( ) ( ) ,11,x
=
+
+=
1
1
11
nn
nn
nn
nx =
+
+=
1
1
)1(1
1n
nn
nn
nn
nx =
+
+
nn
n
n
nn
n1
lim
1
Page 42 of 48Capitolul 1
19.04.2008http://cristiann.ase.ro/AnalizaRaduSerban/capitolul1.html
-
, deci seria este divergent.
4) S se dezvolte n serie de puteri ale lui x
funcia , unde .
1.11. Serii Taylor i serii MacLaurin
Fie I un interval din R i fie o funcie indefinit derivabil n punctul .
DEFINIIA 1.11.1. : Se numete serie Taylor ataat funciei f n punctul a, seria :
(1)
Evident, seria (1) este o serie de puteri , cci notnd x a = y , obinem :
(1)
Raza de convergen a seriei (1) se studiaz cu ajutorul teoremei Cauchy Hadamard. OBSERVAIE : Deoarece raza de convergen este , seria Taylor are mulimea
de convergen deoarece . Suma parial de ordinul n a seriei (1) , pentru orice (mulimea de convergen) o
vom nota :
(2)
111
1lim
1
2 =
+=
n
nn
n
n
n
( ) Rf ,1: ( ) ( )xxf += 1ln
( ) ( ) KK +++++=+=+= nn xxxxxxxxf )1(1111' 4321
( ) ( ) +=++++=+= x xxxnnx dtttdtdtdtttttdttxf 0 0 200320 1)1(11 1 KK =+++++=+++
+x nnnnxx
nxxxxxdttdtt
0
1432
0
3
1)1(
432)1( KKKK
=
+
+= 01
1)1(
n
nn
nx
RIf : Ia
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) KK +++++==0
)(2
)(
!''
!2'
!1!nn
nn
n
afn
axafaxafaxafafn
ax
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) KK +++++==
afnyafyafyafaf
ny nn
n
nn
)(2
0
)(
!''
!2'
!1!
R0B Ba
Bx
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )afn
axafaxafaxafxT nn
n)(
2
!''
!2'
!1++++= K
Page 43 of 48Capitolul 1
19.04.2008http://cristiann.ase.ro/AnalizaRaduSerban/capitolul1.html
-
i se numete polinomul lui Taylor de ordinul n. DEFINIIA 1.11.2. : Se numete rest al lui Taylor de ordinul n, funcia
, (3) . Deci (4) , oricare ar fi .
TEOREMA 1.11.1. : Seria Taylor ataat funciei f n punctul a este convergent n punctul dac i numai dac irul este convergent ctre zero.
DEMONSTRAIE : Din relaia (4) obinem relaia (5) . Prin urmare, dac irul sumelor
pariale de ordinul n , , converge ctre f(x), trecnd la limit cnd n relatia (5),
rezult c .
Invers, dac atunci din relatia (5) avem i deci seria Taylor ataat funciei f n punctul a este convergent pentru orice , ctre f(x) .
OBSERVAII :
1) Dac , avem :
(6)
Formula (6) se numete formula de dezvoltare n serie Taylor a funciei f n jurul punctului x = a.
2) Mulimea nu coincide, n general cu I.
Caz particular : Dac , atunci seria urmtoare se numete serie MacLaurin ataat funciei f .
(7)
Evident, dac converge ctre zero cnd n tinde spre infinit, avem:
(8)
Formula (8) se numete formula de dezvoltare n serie MacLaurin a funciei f . EXEMPLE :
RIRn :( ) ( ) ( )xTxfxR nn = ( ) ( ) ( )xRxTxf nn += Ix
Ix ( )( ) *Nnn xR
( ) ( ) ( )xRxTxf nn =( )xTn n
( ) 0lim = xRnn( ) 0lim = xRnn ( ) ( )xfxTnn =lim
Ix
( ) 0lim = xRnn( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) KK +++++= af
naxafaxafaxafxf n
n)(
2
!''
!2'
!1
( ) ( )
=
=0)(
!|
n
nn aconvergenteste
naxafIxB
I0
( ) ( ) ( ) ( ) ( )=
+++++=0
)(2
)( 0!
0''!2
0'!1
00!n
nn
nn
fnxfxfxff
nx KK
( )+=
=1
)( 0!nk
kk
n fkxR
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) KK +++++= 0!
0''!2
0'!1
0 )(2
nn
fnxfxfxfxf
Page 44 of 48Capitolul 1
19.04.2008http://cristiann.ase.ro/AnalizaRaduSerban/capitolul1.html
-
1) S se dezvolte n serie MacLaurin funcia .
i deci ( formula de dezvoltare n serie MacLaurin )
Pentru determinarea razei de convergen, conform teoremei Cauchy Hadamard, avem:
2) S se dezvolte n serie MacLaurin i s se determine raza de convergen a funciei
.
( formul ce se demonstreaz uor prin inducie )
Prin urmare,
Pentru determinarea razei de convergen, avem :
5) S se scrie seria McLaurin pentru funcia :
( ) xexfRRf = ,:( ) ( ) 10, == fexf x( ) ,' xexf = ( ) 10 =f( ) ( ) 10, )()( == nxn fexf
KK +++++=!!2!1
12
nxxxe
nx
=
==0 !
1!
1n
nnx
nax
ne
( ) ==+== + Rnn
aa
nn
n
n0
!1!limlim 1
( ) ( ) 00,sin,: == fxxfRRf
( ) ( ) 10',2
sincos' =
+== fxxxf
( ) ( ) 10'',2
2sin2
cos'' =
+=
+= fxxxf
( )
+=2
sin)( nxxf n
( )( ) KK ++
+++=+ kk
kxxxxxx
!121
!7!5!3!1sin
12753
( )( ) ==+
+= Rkk
k0
!32!12lim
( ) xxfRRf cos,: =
Page 45 of 48Capitolul 1
19.04.2008http://cristiann.ase.ro/AnalizaRaduSerban/capitolul1.html
-
RESTUL N FORMULA LUI TAYLOR
TEOREMA 1.11.2. : Fie de n+1 ori derivabil pe intervalul I. Atunci pentru
orice , exist un numr cuprins ntre a i x astfel nct :
(1)
DEMONSTRAIE :
Vom considera restul de forma (2)
i vom determina pe k n funcie de x i de a. Din formula lui Taylor avem:
(3)
Vom defini funcia , derivabil pe I astfel :
(4)
Evident i de unde obinem .
Presupunnd c, de exemplu, a < x , avem: este continu pe intervalul [ a , x ] este derivabil pe intervalul ( a , x ) (5) (conform teoremei lui Rolle)
Pe de alt parte, derivnd funcia dat de (4) obinem :
( ) ( )
+==2
coscos)( nxxxf nn
( )
====
12,02,)1(
2cos0)(
knkn
nfk
n
( ) =
===++++=
0 0
)(24
!2
cos
!0
)!2()1(
!4!21cos
n n
nnnn
n xn
nx
nf
nxxxx
KK
RIf :*Np ""
( ) ( ) ( ) )1(1!
)( ++
= n
pnp
n fnpxaxxR
( )xRn ( ) ( ) kaxxR pn =
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) kaxafn
axafaxafaxafxf pnn
+++++= )(2
!''
!2'
!1K
RI :( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ktxtf
ntxtftxtftxtft pn
n
+++++= )(2
!''
!2'
!1K
( ) ( )xfx = ( ) ( )axf = ( ) ( )ax =
( ) ( ) 0',,)( = xa( ) ( )xa =
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ++++= tftxtftxtftxtftftxtft IV
!3''
!22'''
!2'''
!1''
32
Page 46 of 48Capitolul 1
19.04.2008http://cristiann.ase.ro/AnalizaRaduSerban/capitolul1.html
-
Reducnd termenii asemenea, se obine :
Deci : , de unde
i rezult astfel
, unde este cuprins ntre a i x.
Teorema este astfel demonstrat . Cazul cnd x < a se trateaz analog. Cazuri particulare ale expresiei restului :
(1) Pentru p = 1 se obine i se numete restul lui Cauchy.
(2) Pentru p = n+1 se obine i se numete restul lui Lagrange.
RESTUL N FORMULA LUI MACLAURIN
Aa cum am mai vzut, o serie Taylor pentru a = 0 se numete serie MacLaurin. Prin urmare, dezvoltarea unei funcii ( ) n serie MacLaurin
este:
Restul n formula lui Cauchy are forma : , unde este cuprins ntre a i x.
Restul n formula lui Lagrange are forma : , unde este cuprins ntre a i x.
( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) +
++
+
tf
ntxtf
ntxtf
ntxtf
ntxtftx n
nn
nn
nn
n)(
1)1()1(
2)(
12
!1!!2!1'''
!2K
( ) ( ) ( ) ( ) ktxptfn
txt pnn
= + 1)1(!
'
( ) ( ) ( ) ( ) 0!
' 1)1( == + kxpfn
x pnn
( ) ( )
( )( ) ( )
)1(11
)1(
!,
!+
+
+
=
= npn
p
nn
fnp
xksauxpn
fxk
( ) ( ) ( ) )1(1!
)( ++
= n
pnp
n fnpxaxxR
""
( )( ) ( ) )1(!
)( += nn
n fnxaxxR
( ) ( ))1(1)!1(
)( ++
+= n
n
n fnaxxR
RIf : I0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) KK +++++= 0
!0''
!20'
!10 )(
2n
n
fnxfxfxfxf
( ) ( )=
=n
k
kk
n fkxxT
0
)( 0!
( ) ( )+=
=1
)( 0!nk
kk
n fkxxR
( ) ( ) ( ) )1(!
+= nn
n fnxxxR
""
( ) ( ) ( ))1(1
!1+
+
+=n
n
n fnxxR
""
Page 47 of 48Capitolul 1
19.04.2008http://cristiann.ase.ro/AnalizaRaduSerban/capitolul1.html
-
EXEMPLU :
1) S se calculeze cu trei zecimale exacte.
Pentru utilizm formula restului lui Lagrange :
deoarece
Punnd condiia , adic sau rezult n = 4 ( prima valoare natural ).
Deci .
e1
+
== 21
211 2
1
nn RTee
21
nR
( ) 1)!1(21
!121
21
1
1
++
=
+
+
ne
nR n
n
n
11 0 =