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  • 성적향상의�한�획� |�기통샘�박건태

    4

    01.�다항식�용어정리

    (1)�단항식� :� ,� ,� ,� 과�같이�몇�개의�문자�또는�수의�곱으로�이루어진�식

    (2)�다항식� :� 과�같이�단항식의�합으로�이루어진�식

    (3)�항� :�다항식을�이루고�있는�각각의�단항식

    (4)�상수항� :�상수로만�이루어진�항

    (5)�항의�차수� :�다항식의�각�항에서�문자가�곱해진�횟수

    (6)�다항식의�차수� :�각�항의�차수�중�가장�높은�것

    (7)�항의�계수� :다항식의�각�항에서�문자를�제외한�나머지�부분

    (8)�동류항� :�특정한�한�문자에�대하여�차수가�같은�항

    두�문자� ,� 로�이루어진�다항식�

    에서� 는� 가�두�번�곱해져�있고,� 가�한�번�곱해져�있으므로

    -�두�문자� ,� 에�대한�삼차식이고,�문자� ,� 를�제외한�숫자� 이�곱해져�있으므로�계수는� 이다.

    -� 에�대한�삼차식이고,� 는�상수로�취급하여�그�계수는� 이다.�

    -� 에� 대한� 이차식이고,� 는� 상수로�취급하여�그� 계수는� 이다.� 또한,� 문자� 를� 기준으로�하는�경우� 과�

    는�모두� 에�대한�일차항이다.�이와�같이�특정한�한�문자에�대하여�차수가�같은�항을�동류항이라�한다.

    EXAMPLE다항식� 에�대하여�다음�물음에�답하여라.

    (1)� ,� 에�대한�몇차식인가?

    (2)� 에�대한�몇차식인가?

    (3)� 에�대한�몇차식인가?

    NOTE

    理氣01

    다항식의�사칙연산

    PRGM

    01�다�항�식

  • 理氣一原論

    5

    02.�다항식의�덧셈과�뺄셈

    두�다항식의�덧셈과�뺄셈은�동류항끼리�모아�계산하여�정리한다.

    (1)�덧셈� :�두�다항식� ,� 의�덧셈� 는�동류항끼리�모아서�동류항의�계수의�덧셈으로�계산한다.

    (2)�뺄셈� :� 는� 에� 의�각�항의�부호를�바꾼� 를�더하는�것으로�한다.�

    � � � � � � � � � �즉,�

    (3)�다항식의�덧셈에�대한�성질(연산법칙)

    � � � 세�다항식� ,� ,� 에�대하여

    � � � ①�교환법칙� :�

    � � � ②�결합법칙� :�

    EXAMPLE(1)�두�다항식� ,� 에�대하여� 를�간단히�하시오.

    (2)�세�다항식� ,� ,� 에�대하여� ,� 일�때,

    � � � 를�간단히�하시오.

    NOTE

    수학(상)� |� PRGM#01� -�다항식

  • 성적향상의�한�획� |�기통샘�박건태

    6

    03.� 다항식의�곱셈

    다항식의�곱셈은�분배법칙과�지수법칙을�이용하여�계산한�다음�동류항끼리�모아서�정리한다.�

    (1)�곱셈� :�다항식의�곱셈에서�괄호를�풀어�하나의�다항식으로�나타내는�것을�전개한다고�하고,�전개하여�

    � � � � � � � � � �얻은�식을�전개식이라.�한다.

    (2)�다항식의�곱셈에�대한�성질(연산법칙)

    � � � 세�다항식� ,� ,� 에�대하여

    � � � ①�교환법칙� :�

    � � � ②�결합법칙� :�

    � � � ③�분배법칙� :�

    다항식� ,� ,� 에�대하여�다음의�연산법칙이�성립한다.

    덧셈 곱셈

    교환법칙

    결합법칙

    분배법칙

    EXAMPLE (1)� 두� 다항식� ,� 에� 대하여� 를� 간단

    히�하시오.

    (2)�세�다항식� ,� ,� 에�대하여� ,� 일�때,

    � � � 를�간단히�하시오.

    NOTE

    理氣01

    다항식의�사칙연산

    PRGM

    01�다�항�식

  • 理氣一原論

    7

    04.� 곱셈공식

    항� 차식

    (1)� ,�

    (2)�

    항� 차식

    (3)�

    항� 차식

    (4)� ,�

    (5)� ,�

    (4)번�식에서� 의�전개식은� 의�전개식에서� 대신� 를�대입한�것과�같다.

    즉,�

    이와�같이,� 등이�관련된�공식은� 형태의�공식에서� 대신� 를�대입하여�생각한다.

    EXAMPLE다음�식을�전개하시오.

    (1)�

    (2)�

    (3)�

    (4)�

    (5)�

    (6)�

    NOTE

    수학(상)� |� PRGM#01� -�다항식

  • 성적향상의�한�획� |�기통샘�박건태

    8

    05.�곱셈공식의�변형

    항� 차식

    (1)�

    (2)�

    항� 차식

    (3)�

    항� 차식

    (4)� ,�

    곱셈공식� 에서� 이므로

    이다.�이�식의�의미를

    ,� 의�값을�알면,� ,� 의�값을�직접�구하지�않아도� 의�값을�구할�수�있다.

    이와�같이�곱셈공식을�변형하는�이유는�주어진�식의�값을�쉽게�구하기�위함이다.

    EXAMPLE(1)� ,� 일�때,� 의�값을�구하시오.

    (2)� ,� 일�때,� 의�값을�구하시오.

    NOTE

    理氣01

    다항식의�사칙연산

    PRGM

    01�다�항�식

  • 理氣一原論

    9

    06.�다항식의�나눗셈

    (1)�나눗셈� :�다항식을�다항식으로�나눌�때,�두�다항식을�차수가�높은�항부터�차례로�정리한�다음�자연수의�

    � � � � � � � � � � � � 나눗셈과�같은�방법으로�계산하여�몫과�나머지를�구한다.

    (2)�표현� :�다항식� 를�다항식� 로�나누었을�때의�몫을� ,�나머지를� 라고�하면

    � � � � � � � � � � � (단,� 의�차수는� 의�차수보다�작다.)

    다항식의�나눗셈도�자연수의�나눗셈과�같은�방법으로�계산하여�몫과�나머지를�구한다.�

    다만,� 자연수의� 나눗셈에서� 자릿수를� 맞추어� 계산하듯이� 다항식의� 나눗셈에서는� 차수를� 맞추어� 계산한다.� 이때� 항이�

    없는�차수는�그�계수를� 으로�하여�계산한다.

    또한,� 자연수의� 나눗셈에서� 나머지가� 나누는� 수보다� 작은� 것과� 같이,� 다항식의� 나눗셈에서는� 나머지의� 차수가� 나누는�

    식의�차수보다�낮아야�한다.

    따라서�나머지의�차수가�나누는�식의�차수보다�낮을�때까지�나눈다.

    EXAMPLE(1)�다항식� 를�다항식� 으로�나누었을�때의�몫� 와�

    � � � � 나머지� 를�구하고,� 의�꼴로�나타내시오.

    (2)�다항식� 을�다항식� 로�나누었을�때의�몫� 와�

    � � � � 나머지� 를�구하고,� 의�꼴로�나타내시오.

    NOTE

    수학(상)� |� PRGM#01� -�다항식

  • 성적향상의�한�획� |�기통샘�박건태

    10

    One� Point� Lesson� :� 조립제법

    다항식을� 꼴의� 일차식으로� 나눌� 때,� 계수만을� 사용하여� 몫과� 나머지를� 구하는� 방법을� 조립제법이라�

    한다.

    조립제법으로�다항식� 을�일차식� 로�나누는�과정을�살펴보면�다음과�같다.

    � � � � �

    � � � � � � �� � � � � �

    � � � � � � � � � � � � �

    � � � � � � � � � � � � �� � � � � �

    � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

    � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � �

    � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �

    조립제법은�인수분해를�이용하여�삼차�이상의�방정식을�푸는�핵심적인�방법이므로�여러�번�반복하여�정확히�

    터득해�두기�바란다.

    EXAMPLE조립제법을�이용하여�다항식� 를� 로�나눈�몫과�나머지를�각각�구하여라.

    NOTE

    理氣01

    다항식의�사칙연산

    PRGM

    01�다�항�식

  • 理氣一原論

    11

    ④�

    001�

    세�다항식� 에�대하여

    일�때,�세�다항식의�합� 는?

    ① � ② � ③ � ④ � ⑤

    수학(상)� |� PRGM#01� -�다항식

  • 성적향상의�한�획� |�기통샘�박건태

    12

    ④�

    002�

    두�다항식� ,� 에�대하여� 를�계산한�식에서� 의�계수는?�

    ① � ② � ③ � ④ � ⑤

    理氣01

    다항식의�사칙연산

    PRGM

    01�다�항�식

  • 理氣一原論

    13

    ⑤�

    003�

    ,� 일�때,� 의�값은?

    ① � ② � ③ � ④ � ⑤

    수학(상)� |� PRGM#01� -�다항식

  • 성적향상의�한�획� |�기통샘�박건태

    14

    29�

    004�

    ,� 일�때,� 이다.� 의�값을�구하시오.

    (단,� ,� 는�서로소인�자연수이다.)�

    理氣01

    다항식의�사칙연산

    PRGM

    01�다�항�식

  • 理氣一原論

    15

    ①�

    005�

    �일�때,� �의�값을�구하면?�

    ① � ② � ③ � ④ � ⑤

    수학(상)� |� PRGM#01� -�다항식

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    16

    ④�

    006�

    ,� 을�만족하는�두�실수� 에�대하여� � 의�값은?

    ① � ② � ③ � ④ � ⑤

    理氣01

    다항식의�사칙연산

    PRGM

    01�다�항�식

  • 理氣一原論

    17

    ②�

    007�

    상수가�아닌�두�다항식� 에�대하여� 를� 로�나눈�몫을� ,� 나머지를� 라�할�때,� 옳은�것

    만을� 에서�있는�대로�고른�것은?� (단,� 의�차수는� 의�차수보다�작지�않다.)

    보� � � �기

    �ㄱ � 는� 로�나누어�떨어진다.

    �ㄴ � 는� 로�나눈�나머지는� 이다.

    �ㄷ � 를� 로�나눈�나머지는� 이다.

    ① ㄴ� ② ㄱ ㄴ� ③ ㄱ ㄷ� ④ ㄴ ㄷ� ⑤ ㄱ ㄴ ㄷ

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    18

    10�

    008�

    수의�곱셈에서는�다음과�같이�일정한�규칙이�나오는�계산이�있다.

    ×

    ×

    ×

    ×

    ×

    위의�결과를�이용하여� 의�전개식에서� 의�계수와� 의�계수의�합을�구하시오.

    理氣01

    다항식의�사칙연산

    PRGM

    01�다�항�식

  • 理氣一原論

    19

    ②�

    009�

    다음�중� 의�값과�같은�것은?

    ①⋅

    � ②⋅

    � ③⋅

    � ④⋅

    � ⑤⋅

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    20

    340�

    010�

    일�때,� 의�값을�구하시오.

    理氣01

    다항식의�사칙연산

    PRGM

    01�다�항�식

  • 理氣一原論

    21

    ②�

    011�

    그림과�같이�한�변의�길이가� 인�정사각형�ABCD가�있다.� �두�변�AB,�AD의�

    중점이� 각각�M,� N일� 때,� 다음� 중� 색칠한� 두� 정사각형의� 넓이의� 합을� 나타낸� 것은?�

    (단,� 이고�정사각형�ABCD의�내부의�선들은�각�변과�평행하거나�수직이다.)

    ① � ② � ③ � ④ � ⑤

    수학(상)� |� PRGM#01� -�다항식

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    22

    ①�

    012�

    그림과�같이� AB ,� BC 인�직사각형� ABCD 가�있다.� 세� 사각

    형� ABFE ,� GFCH ,� IJHD 가� 모두� 정사각형일� 때,� 사각형�

    EGJI 의�넓이를� ,� 에�대한�식으로�나타낸�것은?

    (단,� 이다.)�

    ① � ②

    ③ � ④ � ⑤

    理氣01

    다항식의�사칙연산

    PRGM

    01�다�항�식

  • 理氣一原論

    23

    ⑤�

    013�

    그림과�같이�점� O를�중심으로�하는�반원에�내접하는�직사각형�ABCD가�다음�조건을�만족시킨다.

    (가)� OC CD

    (나)� DA AB BO

    직사각형�ABCD의�넓이를� ,� 의�식으로�나타내면?

    ① � ② � ③ � ④ � ⑤

    수학(상)� |� PRGM#01� -�다항식

  • 성적향상의�한�획� |�기통샘�박건태

    24

    014�

    실수 에 대하여

    일�때,�보기에서�옳은�것만을�있는�대로�고른�것은?

    보� � � � � � 기

    �ㄱ �

    �ㄴ �

    �ㄷ �

    ① ㄱ� ② ㄴ� ③ ㄱ ㄷ� ④ ㄴ ㄷ� ⑤ ㄱ ㄴ ㄷ

    理氣01

    다항식의�사칙연산

    PRGM

    01�다�항�식

  • 理氣一原論

    25

    ③�

    015�

    한�변의�길이가� 인�정사각형과�세�변의�길이가�각각� 인�직각삼각형이�있다.�직각삼각형의�빗변의�길이가�

    이고� � 를� 만족한다.� 다음은� ‘두� 도형의� 넓이가� 같으면� � 중� 적어도� 하나는� 정수가� 아니다.’라는� 것

    을�증명하는�과정이다.�

    증� � �명

    두�도형의�넓이가�같으므로� (가) �이다.

    이므로� (나) �이고�

    � (다) 이다.

    여기서� 를�모두�정수라�하면,�

    (나) �에서� 는�짝수이므로� � ′(� ′은�자연수)라�할�때,

    ′×

    ′×

    ′ ′ ′ ′ 이�된다.

    우변은�연속된�세� 자연수의�곱이므로�제곱수가�될� 수� 없다.� 따라서�모순이다.� 그러므로� � 중� 적어도�하나

    는�정수가�아니다.� � � � �

    위의�증명에서� (가),� (나),� (다)에�들어갈�식을�각각� ,� ,� 라�할�때,� 의�값은?

    ① � ② � ③ � ④ � ⑤

    수학(상)� |� PRGM#01� -�다항식

  • 성적향상의�한�획� |�기통샘�박건태

    26

    ④�

    016�

    원� O에� 내접하는� 정사각형� ABCD의� 내부에� 한� 점� P를� 잡는다.� 그림과� 같이� 점� P를�

    지나고� 정사각형의� 각� 변에� 평행한� 두� 직선이� 정사각형의� 네� 변과� 만나는� 점을� 각각� E ,�

    F ,� G ,� H라� 하자.� 다음은� � 네� 직사각형� AEPH,� EBFP ,� PFCG ,� HPGD의� 외접원

    의�넓이를�각각� ,� ,� ,� 라� 할� 때,� 의� 값이�원� O의�넓이보다�

    크거나�같음을�증명한�것이다.

    증� � �명

    AH ,� HD ,� DG ,� GC 라�하면� 이다.�

    또,� ㈎ 이고

    원�O의�넓이는� ㈏ 이다.

    한편� ㈐

    � � � � � ≥

    이므로� 의�값은�원� O의�넓이보다�크거나�같다.

    위의�증명에서� (가),� (나),� (다)에�알맞은�값을�모두�더하면?

    ① � ② � ③ � ④ � ⑤

    理氣01

    다항식의�사칙연산

    PRGM

    01�다�항�식

  • 理氣一原論

    27

    ①�

    017�

    다음은� ,� ,� 일�때,� 가 � 임을�증명하는�과정이다.

    증� � �명

    에서� 이고,�정리하면� � � � � � � � � � � � � � � �……�①

    같은�방법으로� �에서� � � � � � � ……�②

    ①과�②에서� 나 � � � � � � �……�③(ⅰ)�③에서� ≠ 이면

    � � � � 나 이고�정리하면� 다

    � � � � ≠ 이므로�다

    � � � � 가 �(ⅱ)�③에서� 이면�

    � � � � ,� ,� 이므로�

    � � � � 가

    따라서� ,� ,� 일�때,� 가 � 이다.

    위의�증명에서� (가),� (나),� (다)에�알맞은�것은?�

    (가) (나) (다)

    수학(상)� |� PRGM#01� -�다항식

  • 성적향상의�한�획� |�기통샘�박건태

    28

    01.� 항등식

    (1)�항등식의�뜻� :�어떤�문자를�포함한�등식이�그�문자에�어떠한�값을�대입해도�성립할�때,�이�등식을�

    � � � � � � � � � � � � � � � � 그�문자에�대한�항등식이라�한다.

    (2)�항등식의�성질

    � �①� 이� 에�대한�항등식이면� ,� ,�

    � � ②� ′ ′ ′이� 에�대한�항등식이면� ′,� ′,� ′

    다음의�표현은�모두� 에�대한�항등식임을�나타낸다.

    � � (1)� “모든� 에�대하여�항상�성립”하는�등식

    � � (2)� “임의의� 에�대하여�항상�성립”하는�등식

    � � (3)� “ 의�값에�관계없이�항상�성립”하는�등식

    � � (4)� “어떤� 의�값에�대해서도�성립”하는�등식

    02.�미정계수법

    (1)�미정계수법� :�주어진�항등식에서�미지의�계수를�구하는�방법

    (2)�미정계수법의�종류

    � �①�수치대입법� :�항등식의�문자에�적당한�수를�대입하여�미정계수를�정하는�방법

    � �②�계수비교법� :�항등식의�양변에�있는�동류항의�계수가�같도록�미정계수를�정하는�방법

    EXAMPLE(1)�다음�등식이� 에�대한�항등식일�때,�세�상수� ,� ,� 의�값을�구하시오.

    (2)�다음�등식이� 에�대한�항등식일�때,�세�상수� ,� ,� 의�값을�구하시오.

    NOTE

    理氣02

    항등식과�나머지�정리

    PRGM

    01�다�항�식

  • 理氣一原論

    29

    03.�나머지정리

    에�대한�다항식� 를�일차식� 로�나눈�나머지를� 라고�할�때,� 이다.

    일반적으로� 에�대한�다항식� 를�일차식� 로�나눈�몫을� ,�나머지를� 이라�하면

    � (단,� 은�상수이다.)

    이므로

    이�성립한다.�따라서� 를� 로�나눈�나머지는� 이다.

    EXAMPLE(1)�다항식� 를�일차식� 로�나누었을�때의�나머지를�구하시오.

    (2)�다항식� 를�일차식� 로�나누었을�때의�나머지가� 일�때,�

    � � � � 상수� 의�값을�구하시오.

    04.�인수정리

    다항식� 가� 이면� 다항식� 는� 를� 인수로� 갖는다.� 거꾸로,� 다항식� 가�

    를�인수로�가지면� 이다.

    에� 대한� 다항식� 가� 로� 나누어떨어지면� 나머지가� 이므로�나머지� 정리에� 의하여� 이다.� 따라서�

    로� 인수분해된다.� 이때� ‘ 는� 를� 인수로� 갖는다.’고� 하고,� 이와� 같은� 원리를�인수정리

    라�한다.

    한편,�다음�표현은�모두� ‘ 에�대한�다항식� 에�대하여� ’임을�나타낸다.

    (1)� 를� 로�나눈�나머지가� 이다.

    (2)� 는� 로�나누어�떨어진다.

    (3)� 는� 를�인수로�갖는다.

    (4)� 이다.� (단,� 는� 에�대한�다항식이다.)

    EXAMPLE(1)�다항식� 가� 를�인수로�가질�때,�상수� 의�값을�구하시오.

    (2)� 다항식� 가� 과� 를� 인수로�가질�때,� 두� 상수� ,�

    의�값을�구하시오.

    수학(상)� |� PRGM#01� -�다항식

  • 성적향상의�한�획� |�기통샘�박건태

    30

    One� Point� Lesson� :� 조립제법의�쓰임

    조립제법과�나머지정리는�나누는�식이�일차식일�때만�이용한다.

    몫과�나머지를�동시에�구할�때 ➜�조립제법

    나머지만�구할�때 ➜� 나머지정리

    EXAMPLE(1)�다항식� 을�일차식� 로�나누었을�때의�몫과�나머지를�각각�구하시오.

    (2)�다항식� 를�일차식� 로�나누었을�때의�몫과�나머지를�구하시오.

    NOTE

    理氣02

    항등식과�나머지�정리

    PRGM

    01�다�항�식