01.다항식용어정리taijunp.com/wp-content/uploads/2021/01/스파르타-13... · 2021. 1....
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성적향상의�한�획� |�기통샘�박건태
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01.�다항식�용어정리
(1)�단항식� :� ,� ,� ,� 과�같이�몇�개의�문자�또는�수의�곱으로�이루어진�식
(2)�다항식� :� 과�같이�단항식의�합으로�이루어진�식
(3)�항� :�다항식을�이루고�있는�각각의�단항식
(4)�상수항� :�상수로만�이루어진�항
(5)�항의�차수� :�다항식의�각�항에서�문자가�곱해진�횟수
(6)�다항식의�차수� :�각�항의�차수�중�가장�높은�것
(7)�항의�계수� :다항식의�각�항에서�문자를�제외한�나머지�부분
(8)�동류항� :�특정한�한�문자에�대하여�차수가�같은�항
두�문자� ,� 로�이루어진�다항식�
에서� 는� 가�두�번�곱해져�있고,� 가�한�번�곱해져�있으므로
-�두�문자� ,� 에�대한�삼차식이고,�문자� ,� 를�제외한�숫자� 이�곱해져�있으므로�계수는� 이다.
-� 에�대한�삼차식이고,� 는�상수로�취급하여�그�계수는� 이다.�
-� 에� 대한� 이차식이고,� 는� 상수로�취급하여�그� 계수는� 이다.� 또한,� 문자� 를� 기준으로�하는�경우� 과�
는�모두� 에�대한�일차항이다.�이와�같이�특정한�한�문자에�대하여�차수가�같은�항을�동류항이라�한다.
EXAMPLE다항식� 에�대하여�다음�물음에�답하여라.
(1)� ,� 에�대한�몇차식인가?
(2)� 에�대한�몇차식인가?
(3)� 에�대한�몇차식인가?
NOTE
理氣01
다항식의�사칙연산
PRGM
01�다�항�식
-
理氣一原論
5
02.�다항식의�덧셈과�뺄셈
두�다항식의�덧셈과�뺄셈은�동류항끼리�모아�계산하여�정리한다.
(1)�덧셈� :�두�다항식� ,� 의�덧셈� 는�동류항끼리�모아서�동류항의�계수의�덧셈으로�계산한다.
(2)�뺄셈� :� 는� 에� 의�각�항의�부호를�바꾼� 를�더하는�것으로�한다.�
� � � � � � � � � �즉,�
(3)�다항식의�덧셈에�대한�성질(연산법칙)
� � � 세�다항식� ,� ,� 에�대하여
� � � ①�교환법칙� :�
� � � ②�결합법칙� :�
EXAMPLE(1)�두�다항식� ,� 에�대하여� 를�간단히�하시오.
(2)�세�다항식� ,� ,� 에�대하여� ,� 일�때,
� � � 를�간단히�하시오.
NOTE
수학(상)� |� PRGM#01� -�다항식
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성적향상의�한�획� |�기통샘�박건태
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03.� 다항식의�곱셈
다항식의�곱셈은�분배법칙과�지수법칙을�이용하여�계산한�다음�동류항끼리�모아서�정리한다.�
(1)�곱셈� :�다항식의�곱셈에서�괄호를�풀어�하나의�다항식으로�나타내는�것을�전개한다고�하고,�전개하여�
� � � � � � � � � �얻은�식을�전개식이라.�한다.
(2)�다항식의�곱셈에�대한�성질(연산법칙)
� � � 세�다항식� ,� ,� 에�대하여
� � � ①�교환법칙� :�
� � � ②�결합법칙� :�
� � � ③�분배법칙� :�
다항식� ,� ,� 에�대하여�다음의�연산법칙이�성립한다.
덧셈 곱셈
교환법칙
결합법칙
분배법칙
EXAMPLE (1)� 두� 다항식� ,� 에� 대하여� 를� 간단
히�하시오.
(2)�세�다항식� ,� ,� 에�대하여� ,� 일�때,
� � � 를�간단히�하시오.
NOTE
理氣01
다항식의�사칙연산
PRGM
01�다�항�식
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理氣一原論
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04.� 곱셈공식
항� 차식
(1)� ,�
(2)�
항� 차식
(3)�
항� 차식
(4)� ,�
(5)� ,�
(4)번�식에서� 의�전개식은� 의�전개식에서� 대신� 를�대입한�것과�같다.
즉,�
이와�같이,� 등이�관련된�공식은� 형태의�공식에서� 대신� 를�대입하여�생각한다.
EXAMPLE다음�식을�전개하시오.
(1)�
(2)�
(3)�
(4)�
(5)�
(6)�
NOTE
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05.�곱셈공식의�변형
항� 차식
(1)�
(2)�
항� 차식
(3)�
항� 차식
(4)� ,�
곱셈공식� 에서� 이므로
이다.�이�식의�의미를
,� 의�값을�알면,� ,� 의�값을�직접�구하지�않아도� 의�값을�구할�수�있다.
이와�같이�곱셈공식을�변형하는�이유는�주어진�식의�값을�쉽게�구하기�위함이다.
EXAMPLE(1)� ,� 일�때,� 의�값을�구하시오.
(2)� ,� 일�때,� 의�값을�구하시오.
NOTE
理氣01
다항식의�사칙연산
PRGM
01�다�항�식
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理氣一原論
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06.�다항식의�나눗셈
(1)�나눗셈� :�다항식을�다항식으로�나눌�때,�두�다항식을�차수가�높은�항부터�차례로�정리한�다음�자연수의�
� � � � � � � � � � � � 나눗셈과�같은�방법으로�계산하여�몫과�나머지를�구한다.
(2)�표현� :�다항식� 를�다항식� 로�나누었을�때의�몫을� ,�나머지를� 라고�하면
� � � � � � � � � � � (단,� 의�차수는� 의�차수보다�작다.)
다항식의�나눗셈도�자연수의�나눗셈과�같은�방법으로�계산하여�몫과�나머지를�구한다.�
다만,� 자연수의� 나눗셈에서� 자릿수를� 맞추어� 계산하듯이� 다항식의� 나눗셈에서는� 차수를� 맞추어� 계산한다.� 이때� 항이�
없는�차수는�그�계수를� 으로�하여�계산한다.
또한,� 자연수의� 나눗셈에서� 나머지가� 나누는� 수보다� 작은� 것과� 같이,� 다항식의� 나눗셈에서는� 나머지의� 차수가� 나누는�
식의�차수보다�낮아야�한다.
따라서�나머지의�차수가�나누는�식의�차수보다�낮을�때까지�나눈다.
EXAMPLE(1)�다항식� 를�다항식� 으로�나누었을�때의�몫� 와�
� � � � 나머지� 를�구하고,� 의�꼴로�나타내시오.
(2)�다항식� 을�다항식� 로�나누었을�때의�몫� 와�
� � � � 나머지� 를�구하고,� 의�꼴로�나타내시오.
NOTE
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One� Point� Lesson� :� 조립제법
다항식을� 꼴의� 일차식으로� 나눌� 때,� 계수만을� 사용하여� 몫과� 나머지를� 구하는� 방법을� 조립제법이라�
한다.
조립제법으로�다항식� 을�일차식� 로�나누는�과정을�살펴보면�다음과�같다.
� � � � �
� � � � � � �� � � � � �
� � � � � � � � � � � � �
� � � � � � � � � � � � �� � � � � �
� � � � � � � � � � � � � � � � � � �
� � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � �
� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �
조립제법은�인수분해를�이용하여�삼차�이상의�방정식을�푸는�핵심적인�방법이므로�여러�번�반복하여�정확히�
터득해�두기�바란다.
EXAMPLE조립제법을�이용하여�다항식� 를� 로�나눈�몫과�나머지를�각각�구하여라.
NOTE
理氣01
다항식의�사칙연산
PRGM
01�다�항�식
-
理氣一原論
11
④�
001�
세�다항식� 에�대하여
일�때,�세�다항식의�합� 는?
① � ② � ③ � ④ � ⑤
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④�
002�
두�다항식� ,� 에�대하여� 를�계산한�식에서� 의�계수는?�
① � ② � ③ � ④ � ⑤
理氣01
다항식의�사칙연산
PRGM
01�다�항�식
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理氣一原論
13
⑤�
003�
,� 일�때,� 의�값은?
① � ② � ③ � ④ � ⑤
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29�
004�
,� 일�때,� 이다.� 의�값을�구하시오.
(단,� ,� 는�서로소인�자연수이다.)�
理氣01
다항식의�사칙연산
PRGM
01�다�항�식
-
理氣一原論
15
①�
005�
�일�때,� �의�값을�구하면?�
① � ② � ③ � ④ � ⑤
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④�
006�
,� 을�만족하는�두�실수� 에�대하여� � 의�값은?
① � ② � ③ � ④ � ⑤
理氣01
다항식의�사칙연산
PRGM
01�다�항�식
-
理氣一原論
17
②�
007�
상수가�아닌�두�다항식� 에�대하여� 를� 로�나눈�몫을� ,� 나머지를� 라�할�때,� 옳은�것
만을� 에서�있는�대로�고른�것은?� (단,� 의�차수는� 의�차수보다�작지�않다.)
보� � � �기
�ㄱ � 는� 로�나누어�떨어진다.
�ㄴ � 는� 로�나눈�나머지는� 이다.
�ㄷ � 를� 로�나눈�나머지는� 이다.
① ㄴ� ② ㄱ ㄴ� ③ ㄱ ㄷ� ④ ㄴ ㄷ� ⑤ ㄱ ㄴ ㄷ
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10�
008�
수의�곱셈에서는�다음과�같이�일정한�규칙이�나오는�계산이�있다.
×
×
×
×
×
위의�결과를�이용하여� 의�전개식에서� 의�계수와� 의�계수의�합을�구하시오.
理氣01
다항식의�사칙연산
PRGM
01�다�항�식
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理氣一原論
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②�
009�
다음�중� 의�값과�같은�것은?
①⋅
� ②⋅
� ③⋅
� ④⋅
� ⑤⋅
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340�
010�
일�때,� 의�값을�구하시오.
理氣01
다항식의�사칙연산
PRGM
01�다�항�식
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理氣一原論
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②�
011�
그림과�같이�한�변의�길이가� 인�정사각형�ABCD가�있다.� �두�변�AB,�AD의�
중점이� 각각�M,� N일� 때,� 다음� 중� 색칠한� 두� 정사각형의� 넓이의� 합을� 나타낸� 것은?�
(단,� 이고�정사각형�ABCD의�내부의�선들은�각�변과�평행하거나�수직이다.)
① � ② � ③ � ④ � ⑤
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①�
012�
그림과�같이� AB ,� BC 인�직사각형� ABCD 가�있다.� 세� 사각
형� ABFE ,� GFCH ,� IJHD 가� 모두� 정사각형일� 때,� 사각형�
EGJI 의�넓이를� ,� 에�대한�식으로�나타낸�것은?
(단,� 이다.)�
① � ②
③ � ④ � ⑤
理氣01
다항식의�사칙연산
PRGM
01�다�항�식
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理氣一原論
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⑤�
013�
그림과�같이�점� O를�중심으로�하는�반원에�내접하는�직사각형�ABCD가�다음�조건을�만족시킨다.
(가)� OC CD
(나)� DA AB BO
직사각형�ABCD의�넓이를� ,� 의�식으로�나타내면?
① � ② � ③ � ④ � ⑤
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⑤
014�
실수 에 대하여
일�때,�보기에서�옳은�것만을�있는�대로�고른�것은?
보� � � � � � 기
�ㄱ �
�ㄴ �
�ㄷ �
① ㄱ� ② ㄴ� ③ ㄱ ㄷ� ④ ㄴ ㄷ� ⑤ ㄱ ㄴ ㄷ
理氣01
다항식의�사칙연산
PRGM
01�다�항�식
-
理氣一原論
25
③�
015�
한�변의�길이가� 인�정사각형과�세�변의�길이가�각각� 인�직각삼각형이�있다.�직각삼각형의�빗변의�길이가�
이고� � 를� 만족한다.� 다음은� ‘두� 도형의� 넓이가� 같으면� � 중� 적어도� 하나는� 정수가� 아니다.’라는� 것
을�증명하는�과정이다.�
증� � �명
두�도형의�넓이가�같으므로� (가) �이다.
이므로� (나) �이고�
� (다) 이다.
여기서� 를�모두�정수라�하면,�
(나) �에서� 는�짝수이므로� � ′(� ′은�자연수)라�할�때,
′×
′×
′ ′ ′ ′ 이�된다.
우변은�연속된�세� 자연수의�곱이므로�제곱수가�될� 수� 없다.� 따라서�모순이다.� 그러므로� � 중� 적어도�하나
는�정수가�아니다.� � � � �
위의�증명에서� (가),� (나),� (다)에�들어갈�식을�각각� ,� ,� 라�할�때,� 의�값은?
① � ② � ③ � ④ � ⑤
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④�
016�
원� O에� 내접하는� 정사각형� ABCD의� 내부에� 한� 점� P를� 잡는다.� 그림과� 같이� 점� P를�
지나고� 정사각형의� 각� 변에� 평행한� 두� 직선이� 정사각형의� 네� 변과� 만나는� 점을� 각각� E ,�
F ,� G ,� H라� 하자.� 다음은� � 네� 직사각형� AEPH,� EBFP ,� PFCG ,� HPGD의� 외접원
의�넓이를�각각� ,� ,� ,� 라� 할� 때,� 의� 값이�원� O의�넓이보다�
크거나�같음을�증명한�것이다.
증� � �명
AH ,� HD ,� DG ,� GC 라�하면� 이다.�
또,� ㈎ 이고
원�O의�넓이는� ㈏ 이다.
한편� ㈐
� � � � � ≥
이므로� 의�값은�원� O의�넓이보다�크거나�같다.
위의�증명에서� (가),� (나),� (다)에�알맞은�값을�모두�더하면?
① � ② � ③ � ④ � ⑤
理氣01
다항식의�사칙연산
PRGM
01�다�항�식
-
理氣一原論
27
①�
017�
다음은� ,� ,� 일�때,� 가 � 임을�증명하는�과정이다.
증� � �명
에서� 이고,�정리하면� � � � � � � � � � � � � � � �……�①
같은�방법으로� �에서� � � � � � � ……�②
①과�②에서� 나 � � � � � � �……�③(ⅰ)�③에서� ≠ 이면
� � � � 나 이고�정리하면� 다
� � � � ≠ 이므로�다
� � � � 가 �(ⅱ)�③에서� 이면�
� � � � ,� ,� 이므로�
� � � � 가
따라서� ,� ,� 일�때,� 가 � 이다.
위의�증명에서� (가),� (나),� (다)에�알맞은�것은?�
(가) (나) (다)
①
②
③
④
⑤
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01.� 항등식
(1)�항등식의�뜻� :�어떤�문자를�포함한�등식이�그�문자에�어떠한�값을�대입해도�성립할�때,�이�등식을�
� � � � � � � � � � � � � � � � 그�문자에�대한�항등식이라�한다.
(2)�항등식의�성질
� �①� 이� 에�대한�항등식이면� ,� ,�
� � ②� ′ ′ ′이� 에�대한�항등식이면� ′,� ′,� ′
다음의�표현은�모두� 에�대한�항등식임을�나타낸다.
� � (1)� “모든� 에�대하여�항상�성립”하는�등식
� � (2)� “임의의� 에�대하여�항상�성립”하는�등식
� � (3)� “ 의�값에�관계없이�항상�성립”하는�등식
� � (4)� “어떤� 의�값에�대해서도�성립”하는�등식
02.�미정계수법
(1)�미정계수법� :�주어진�항등식에서�미지의�계수를�구하는�방법
(2)�미정계수법의�종류
� �①�수치대입법� :�항등식의�문자에�적당한�수를�대입하여�미정계수를�정하는�방법
� �②�계수비교법� :�항등식의�양변에�있는�동류항의�계수가�같도록�미정계수를�정하는�방법
EXAMPLE(1)�다음�등식이� 에�대한�항등식일�때,�세�상수� ,� ,� 의�값을�구하시오.
(2)�다음�등식이� 에�대한�항등식일�때,�세�상수� ,� ,� 의�값을�구하시오.
NOTE
理氣02
항등식과�나머지�정리
PRGM
01�다�항�식
-
理氣一原論
29
03.�나머지정리
에�대한�다항식� 를�일차식� 로�나눈�나머지를� 라고�할�때,� 이다.
일반적으로� 에�대한�다항식� 를�일차식� 로�나눈�몫을� ,�나머지를� 이라�하면
� (단,� 은�상수이다.)
이므로
이�성립한다.�따라서� 를� 로�나눈�나머지는� 이다.
EXAMPLE(1)�다항식� 를�일차식� 로�나누었을�때의�나머지를�구하시오.
(2)�다항식� 를�일차식� 로�나누었을�때의�나머지가� 일�때,�
� � � � 상수� 의�값을�구하시오.
04.�인수정리
다항식� 가� 이면� 다항식� 는� 를� 인수로� 갖는다.� 거꾸로,� 다항식� 가�
를�인수로�가지면� 이다.
에� 대한� 다항식� 가� 로� 나누어떨어지면� 나머지가� 이므로�나머지� 정리에� 의하여� 이다.� 따라서�
로� 인수분해된다.� 이때� ‘ 는� 를� 인수로� 갖는다.’고� 하고,� 이와� 같은� 원리를�인수정리
라�한다.
한편,�다음�표현은�모두� ‘ 에�대한�다항식� 에�대하여� ’임을�나타낸다.
(1)� 를� 로�나눈�나머지가� 이다.
(2)� 는� 로�나누어�떨어진다.
(3)� 는� 를�인수로�갖는다.
(4)� 이다.� (단,� 는� 에�대한�다항식이다.)
EXAMPLE(1)�다항식� 가� 를�인수로�가질�때,�상수� 의�값을�구하시오.
(2)� 다항식� 가� 과� 를� 인수로�가질�때,� 두� 상수� ,�
의�값을�구하시오.
수학(상)� |� PRGM#01� -�다항식
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성적향상의�한�획� |�기통샘�박건태
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One� Point� Lesson� :� 조립제법의�쓰임
조립제법과�나머지정리는�나누는�식이�일차식일�때만�이용한다.
몫과�나머지를�동시에�구할�때 ➜�조립제법
나머지만�구할�때 ➜� 나머지정리
EXAMPLE(1)�다항식� 을�일차식� 로�나누었을�때의�몫과�나머지를�각각�구하시오.
(2)�다항식� 를�일차식� 로�나누었을�때의�몫과�나머지를�구하시오.
NOTE
理氣02
항등식과�나머지�정리
PRGM
01�다�항�식