02-10-2017 163561 ûΙ üΤΘΤΝΗΝΠΟΤ ûΧΝ,ΝΠΡΟΓΡ ùΜΜ ùΣΧΝ...

$: 02-10-2017 163561 ûΙ üΤΘΤΝΗΝΠΟΤ ûΧΝ,ΝΠΡΟΓΡ ùΜΜ ùΣΧΝ …¥ΛΗ_ΟΔΗΓΙΕΣ... · ~ vια α ά w xι v α σ { ι wιό { α α·β≠ ì α≠ ì αι$
1

Α: ί ς ια ι ασ α ία αθ α ι ώ σ ις Α΄, ΄ ά ις Η ήσιο . αι Α΄, ΄, ΄ ά ις σ ι ού ια ο σ ο . έ ος – 2018

.: ο α . . ισ. . . . . / -09- έ αφο

ά α ό σ ι ή ισή σ ο σ ι ού ο αι ι ής ο ι ι ής ά / -09-2017

ο . σας α οσ έ ο ις α α ά ο ί ς ια ι ασ α ία αθ α ι ώ ια ο σ ο ι ό έ ος -2018:

. Ά β α ά ις: Α΄, ΄ σίο , Α΄, ΄, ΄ σ ι ού

. ία ά ις: Α΄, ΄ σίο , Α΄, ΄, ΄ σ ι ού

. αθ α ι ά ά ας οσα α ο ισ ού ι ώ ο ώ ά ις: ΄ σίο αι ΄ σ ι ού

Ά β α Α΄ ά ς Η ήσιο ι ού ίο

Α Α Η-Ο Η Α Α Α

. ισα ή

ο άθ α «Ά β α αι οι ία ιθα ο ή » ιέ ι σ α ι ές αθ α ι ές έ οι ς, ό ς,

ς α ό ς ι ής, οό , ς σ ά σ ς .ά., οι ο οί ς ί αι α α αί ς ια

έ ι α αθ α ι ή έ ι αθ ώ . ι αθ ές έ ο έ θ ι σ ια ώ αφή α ές

ις έ οι ς σ ο ού ς ά ις. Α΄ ίο θα ις α ι ίσο σ έ α ό ο

ί ο αφαί σ ς, ο ο οίο ιο ί ι ιαί ς σ ο ί ς σ ο ς αθ ές. ια α ι ώ ισ

α ώ σ ο ιώ ο ί αι α αφι θ ί ι α ός ό ος σ έ σ έ οιώ ,

έσ ς α ά ς αι σύ σ ς ο α ώ α α α ασ άσ ώ ο ς αι σ ήσ ο ς σ

αθ ός Ασφα ίας: α ια θ ί έ ι: αθ. ο αιό ας:

Αθή α, 02-10-2017

Α . . 163561/

ιφ ια ές / σ ις /σ ς

ο . βού ο ς . . έσ ιφ ια ώ / σ /σ ς

/ σ ις . . ι ά ύ ια έσ / σ

. .

:

----- Σαχ.Ν /ν η:Ν ν λέαΝΠαπαν λέουΝ37 Σ.Κ.Ν– Πσλη:Ν15180ΝΜαλοτ ι Ι ο λί α:Νwww.minedu.gov.gr Πληλοφολί μ:Ν ν.ΝΠα χαλί ου .ΝΠ λυνη Σηλέφωνο:Ν 210-3443422 210-3442238

Γ ΝΙΚΗΝ Ι ΤΘΤΝΗΝΠΟΤ ΩΝ Π/ΘΜΙ ΝΚ ΙΝ /ΘΜΙ Ν ΚΠ Ι ΤΗ

Ι ΤΘΤΝΗΝΠΟΤ ΩΝ,ΝΠΡΟΓΡ ΜΜ ΣΩΝ Κ ΙΝΟΡΓ ΝΩΗΝ /ΘΜΙ Ν ΚΠ/Η

ΣΜΗΜ Ν ΄

ΛΛΗΝΙΚΗΝ ΗΜΟΚΡ ΣΙ

ΤΠΟΤΡΓ ΙΟ Π Ι Ι ,Ν Ρ ΤΝ ΝΚ ΙΝΘΡΗΚ ΤΜ ΣΩΝ

-----

σ ι ού ο αι ι ής

ο ι ι ής . . .

[email protected]

.:

Ψηφιακά υπογεγραμμένο από ANASTASIA PASCHALIDOUΗμερομηνία: 2017.10.03 09:24:01 EEST

http://www.minedu.gov.gr/

mailto:[email protected]

2

ί σ οβ ά . ίσ ς, α αφι θ ί ό ος ώσ οι αθ ές α α ού σ

α α ώ ισ ο οιο ή αι ιαφο ώ α ύ ι ιο ή αι ια ι ασιώ αθώς αι σ ια ι ασί ς

ί σ ς. ι ο α ές α α α ασ άσ ις αι σύ σή ο ς ο ού οσ ι θού α ό

φια ά ιβά ο α, βοήθ ια ο οί οι αθ ές ο ού α α ού σ

ο σιασ ι ές αθ α ι ές ασ ιό ς. έσα α ό ι ύ σ ο οιο ή αι ιαφο ώ - ια

α ά ι α σ σ έ ισ ια ι ασιώ ί σ ς ή ς ο φής ύσ ισώσ αι

α ισώσ , σ σ έ ισ ο ισ έ ι ιο ή ι ώ αι α ο ί ώ ο ς α ίσ οι ς

α ο ύ ι ώ - οι αθ ές ο ού α α α οήσο α ύ α ις σ ι ές έ οι ς αι

ια ι ασί ς.

. ι α έα ύ

Α ό ο βιβ ίο «Ά β α αι οι ία ιθα ο ή Α΄ ι ού ίο »

ισα ι ό φά αιο . ύ ο α

φ. ο: ι α α ι οί Α ιθ οί

2.1 ι ά ις αι οι ιό ές ο ς

2.2 ιά α α α ι ώ Α ιθ ώ ός ς α ό ι ς ς ι ιό ας

2.3 Α ό ι ή α α ι ού Α ιθ ού

2.4 ί ς α α ι ώ Α ιθ ώ ός ι ιο ή αι

φ. ο: ισώσ ις

3.1 ισώσ ις ο αθ ού

3.2 ίσ σ θx α

3.3 ισώσ ις ο αθ ού

φ. ο: Α ισώσ ις

4.1 Α ισώσ ις ο αθ ού

4.2 Α ισώσ ις ο αθ ού

φ. ο: όο οι

5.1 Α ο ο θί ς

5.2 Α ιθ ι ή όο ος ός ς α ό ι ς ια ο άθ οισ α ια ο ι ώ ό α ιθ ι ής

οό ο )

5.3 ι ή όο ος ός ς α ό ι ς ια ο άθ οισ α ια ο ι ώ ό ι ής

οό ο )

φ. ο: ασι ές Έ οι ς α ήσ

6.1 Έ οια ς ά σ ς

6.2 αφι ή α άσ ασ ά σ ς

6.3 ά σ f = α +β ός ς ίσ ς θ ίας ς ό ος αβο ής

φ. ο: έ ασι ώ α ήσ

7.1 έ ς ά σ ς: f = α 2

7.3 έ ς ά σ ς: f = α 2+β +

. ια ί ισ ι α έας ύ ς

[ α α ο ή ι α ι ώ ώ ο ο ί αι ί αι ι ι ή. έσα σ α ές ις ώ ς

ι α βά αι ο ό ος ο θα ιασ ί ια α α φα αιώσ ις, α ές ο ι ασί ς, ασί ς .

ι ασ ιό ς ο α αφέ ο αι ς , ιέ ο αι σ ο Α α ι ό ό α α σ ο ώ

3

ς Α ίο ο ισ ύ ι Α / , / –6– ι ι ι ές ασ ιό ς ο

ι α βά ο αι σ ις α ούσ ς ο ί ς ς ι έο ι α ι ό ι ό οέ ο αι α ό ο

ό α α σ ο ώ ια ο ύ ιο αι ο ο ό ια ο αι ι ό ο ο ήθ α σ ο

αίσιο ς ά ς " έο ο ίο" αι ο ού α α α θού α ό ο ισ ό ο ο ο :

http://www.iep.edu.gr/neosxoleiops/index.php ]

ισα ι ό φά αιο

ο ί αι α ια θού ι α ι ές ώ ς

ο φά αιο α ό οι αθ ές ια α α ύο αι έ οια ο σ ό ο αθώς αι σ έσ ις αι

ά ις α ύ σ ό . ι ι ό α:

Όσο αφο ά σ § . , α ή α ι α θ ί ς α ό ο ο φά αιο α ά α σ θ ί ο ό α αι

ήσ σ οι ί ς ο ι ής σ ις ι ιό ς αι ο άσ ις ο ια έ ο ι α έα ύ

ια α ά ι α σ ι ιό α α·β≠ α≠ αι β≠ ς § . ο ί α ι θ ί ο ό α ς

ισο α ίας αι ο σ έσ ο « αι» .

§ . ο ί αι α ια θού ώ ς

ι αθ ές α ι ί ο ια ώ φο ά σ σ α ι ό ό ο έ οια ο σ ό ο αι

σ έσ αι ά α ύ σ ό . ι ή έ οια ο σ ό ο ί αι α ι ή, α ή

ο ί αι, ιά αι α ο ισθού οι οϋ οθέσ ις ο α αι ού αι ια α θ θ ί ια σ ο ή

α ι ι έ σύ ο ο έσα α ό α ά α α α ί α α . . ο σύ ο ο ο α ο ί αι α ό α

θ α ία αι ο ς αθ ές ς ά ς, ο «σύ ο ο» ώ αθ ώ ς ά ς .

α α α άσ ασ σ ό , σ έσ αι ά α ώ αθώς αι άβασ α ό ία

α α α άσ ασ σ ά , ο ού α οσ ί ο α α ό σ ς έ οιας ο σ ό ο .

ι ά ις α ύ σ ό ί αι έ α αίσιο σ ο ο οίο οι αθ ές ο ού α ώσο ό α

σ ο ς σ έσ ο ς «ή» αι « αι». ι ι ά, όσο αφο ά σ ο σύ σ ο «ή», α ισ α θ ί

ιαφο ι ή ο σ ασία σ α αθ α ι ά α ό ί ς α ο ισ ι ής ιά ς ο ο

α ο ί αι σ ήθ ς σ αθ ι ή ήσ ο . ι ασ ιό ς . , . αι . ο Α ί αι

ι ι ές ια οιο ο ι ή οσέ ισ ς έ οιας ο σ ό ο .

ι ι ή ασ ιό α:

σι ο οι ίσ α ια ά α α Ve ια α

α α α ασ ήσ ις σ έσ ις α ύ

α α ο ά , ο θο ί , α ώ αι

ό β .

[ ό ιο: Α ό ο ιά α α ο ού οι αθ ές α

ια ισ ώσο α ό α ό ι:

- Ό α α ά α ί αι ο θο ώ ια, ώ ό α α

ο θο ώ ια ί αι ά α.

- Ό α α ά α ί αι ό βοι, α ά ό οι οι ό βοι ί αι ά α.

- Ό οι οι ό βοι ί αι α α ό α α, α ά ό α α α α ό α α ί αι ό βοι ...

φά αιο ο


ο φά αιο α ό οι αθ ές α α α βά ο αι βαθύ ο σ ις ι ιό ς ο σ ό ο

α α ι ώ α ιθ ώ σ ό ο α β ιώσο α α ό σ ς ο ής ο . α ά αι

http://www.iep.edu.gr/neosxoleiops/index.php

4

αι έ άσ σ αθ ώ σ ο α β ι ό ο ισ ό α β ι ές ά ις, α α ο ο οί σ ,

α ό ς . . . α ο ί ο ύ ιο σ ό ο α ού ο φα αίο . ι ι ό α:


ι αθ ές σ α ού σ ο ί ς σ ιά ισ ώ α ό ο ς ά ο ς αι ι ό α σ

α ι ό σ α α ι ώ α ιθ ώ σ φ σι ούς, α έ αιο ς ούς αι ά ο ς. ι

ιαφο ι ές α α α ασ άσ ις α α ι ώ α ιθ ώ ά ο ις α α ά ι ασί ς. ια

ο ό ο α ό ο ί αι α οθ ί έ φασ σ ιά ισ ώ α ό ο ς ά ο ς ήσ

α ά α α ι ά , ό ς οι α ιθ οί 4

3 , . …, , …, , …, αθώς αι

σ α ι ό σ α ιθ ώ σ α βασι ά οσύ ο α α α ι ώ α ιθ ώ ό ς 4

2 ,

3

5 ,

6

π,-

. .ά. . α ά α, αι αφο ή α α α ά α α ί α α, ο ί α ί ι σ ή σ α ο

άθ οισ α αι ο ι ό ο ύο ώ ή ύο ά ή ού αι ά ο ί αι ός ή ά ος.

α ι ό ια ο α β ι ό ο ισ ό ί αι οι αθ ές α α α οήσο ις ι ιό ς ά .

α ό θα βο θήσ ι ι ή ια ύ σ αι ι ύ σ ι ιο ή αθώς αι α α ώ ισ

ς σ ασίας ς ισο α ίας, ς σ α ής αι σ έσ «ή» αι « αι», ι ιαί

έ φασ σ ις ι ιό ς: α·β= α= ή β= , α·β≠ α≠ αι β≠ .

α οθ ί έ φασ σ ις θό ο ς α ό ι ς αι ι ιαί α σ α ές ις ο οί ς ί αι

οι ι έ οι οι αθ ές, ό ς ήσ ς α α ής σ ά ο ο ια α ό ι ό ι ο 2 ί αι

ά ος αι ο α ι α α ί α ος σ α ό ι ο ισ ισ ού: α2=β2⇒ α=β. ασ ιό α

ο Α ο ί α α ιο οι θ ί ος α ή α ύθ σ .

ι ι ή ασ ιό α :

έ αι ο ώσ ας α α ού ό ι ο άθ οισ α + ί αι ά ιος αι ο ι ό ο ×

ί αι ι ός. α ό ι α ώ :

έ ισ ί αι ό ι: α ο άθ οισ α ύο φ σι ώ α ιθ ώ ί αι ά ιος, ό ο ι ό ό

ο ς ί αι ι ός

ώσ ας ισ ί αι ό ι: α ο ι ό ο ύο φ σι ώ α ιθ ώ ί αι ι ός, ό ο

άθ οισ ά ο ς ί αι ά ιος.

α α α ήσ σ α α ό ο θα ή α α:

α οι ισ ισ οί ς έ ς αι ο ώσ α έ ο ί ιο ά α;

β ο ι ό ο ύο φ σι ώ ί αι . Α οθέσο ό ι έ ι ί ιο ο ώσ ας οια α ό ις

ό ς ο άσ ις ί αι σ σ ή;

i. ο άθ οισ α ύο α ιθ ώ ί αι σί ο α ά ιος

ii. ο άθ οισ α ύο α ιθ ώ ί αι σί ο α ι ός

iii. ί αι σί ο ο α ο άθ οισ α ί αι ι ός ή ά ιος έ ι α άθο οιοι ί αι οι

α ιθ οί.

ί αι σ σ ός ο ισ ισ ός ς έ ς; α αι ιο ο ήσ α ά σή σας.

ί αι σ σ ός ο ισ ισ ός ο ώσ α; α αι ιο ο ήσ α ά σή σας.


ι αθ ές, ασ έ οι α ό ια ο ι ό α α αί , σ α ού σ ο ί ς σ

5

α α ό σ ς ό ας ώ α ιθ ώ . ο ί αι α οθ ί έ φασ σ ι ύ σ ς

έ οιας ς ό ας αι ς ια ο ι ό ας σ α βασι ά οσύ ο α α α ι ώ α ιθ ώ

ο ί αι ασ ιό α . ο Α αθώς αι σ ις ο οιό ς αι ιαφο ές ι ιο ή

ς ισό ας αι ς α ισό ας, έ φασ σ ις ισο α ί ς: α2+β2=0 α= αι β= , ώ α2+β2

>0

α≠ ή β≠ αι σ α σ ό ια αι ς σ . .


ι αθ ές έ ο α ι ίσ ι, σ ο άσιο, α ό ι ή ός α ιθ ού ς α όσ ασή

ο α ό ο έ σ ο ά ο α α α ι ώ α ιθ ώ . ό α α ή ί αι ο ι ός

ο ισ ός ς α ό ς ι ής αι α ο ι ύο αι οι βασι ές ι ιό ές ς. α ισ α θ ί έθο ος

α ό ι ς ι ιο ή α ο ύ ι ώ ό ι ού σ έσ ί αι ισο ύ α ία σ έσ

( σ α ές.

ι ή ία ς α ό ς ι ής ός α ιθ ού αι ς α ό ς ι ής ς ιαφο άς ύο

α ιθ ώ ί αι σ α ι ή, ια ί βο θά ο ς αθ ές α α ο ώσο ό α σ έ οια. σύ σ ,

ό ς, ς α β ι ής σ έσ ς αι ς ι ής ς α α α άσ ασ ς ί αι ά ι ο ί αι

ύ ο α α ό ο ς αθ ές αι ια α ό α αι ί αι α οθ ί σ α ό ι ιαί έ φασ .

α ή έ οια ο ί αι α ι α θού , σ ι ή ο ς ο φή, οι:

Ix-x0I< x (x0- , x0+ x0- <x<x0+ αθώς αι Ix-x0I> x(-, x0- (x0+ , +) x<x0- ή

x>x0+ αθώς αι ι ή ία α ώ , ι ή ί αι ο ύ ύσ ο ο α ί ο α α ο ά

α ό ο ς αθ ές σ α ή φάσ ς α β ι ής ο ς ι ίας. οί ς α ι α θ ί έ οια

ο έ ο αι ς α ί ας ιασ ή α ος. Α ίθ α, οι αθ ές ο ού α ασ ο θού α

α α ά έσα α ό σ ι έ α α α ί α α . . α ίσ σ x- < σ αί ι: « οιοι ί αι οι

α ιθ οί ο α έ ο α ό ο α όσ ασ ι ό ο ;» . Ix-2I<3 d (x, 2) <3 -1<x<5).

ο ί αι, ό ς, α ί ι ια α ά σ σ έσ IxI< - <x< αι IxI> x<- ή > . H

ασ ιό α . ο Α οσ ί ι α α ά οσέ ισ .


ί ο αι α σ ία Α , αι ο α ισ ά ο σ ο ά ο α α α ι ώ α ιθ ώ

ο ς α ιθ ούς - , αι x α ίσ οι α, -2 <x< 7.

α α ια ώσ ι ή ία α ασ άσ : i. |x+2| ii. |x-7|

β βοήθ ια ο ά ο α α ώσ ι ή ία ο αθ οίσ α ος: |x+2|+|x-

7|

α β ί ι ή ς α άσ ασ ς A = |x+2|+|x- | ι ά.

α ιβ βαιώσ α β ι ά ο ο ού ο σ έ ασ α.


ι αθ ές έ ο ή α ι ίσ ι, σ ο άσιο, ις α ι ές ί ς αι ά ις α έ αιο

θέ αθώς αι ις ι ιό ς α ώ . ό α α ή ί αι έ ασ σ -οσ ή ί α αι σ

6

ύ α ό θέ . α ι α θού οι ι ιό ς αι α ή οι αι φόσο α ύ ο αι ή ς α ό ήσ ά ό θέ αι

ά ισ α ι ό ς σ ο ί ς ι ισ ώ .

α ισ α θ ί ια ή σ ι ιο ή ά α έ αιο θέ αι σ ί σ

ο ού θέ . ο ί αι ια α ά σ α ώ ασ ήσ . ια α α α ι θού α

ο ή α α α β ι ώ θό έ α ι ς ήσ ς ο ο ο ισ ή σέ ς, ο ί αι ια

ασ ιό α σα . ο Α .


ο ώ α οιο α ιθ ό φ ά ι α άσ ασ 22

42 όθ α ο ιαφο ι ές

α α ήσ ις. α άσ ο β ίσ αι ο όβ α.

1 α ά σ : 2 22 2 1 1 2 12 12 2

4 4 4 24 42 2 [ 2 ] 4 4 4 2

2 α ά σ : 22 2

2 14 42 2 2 2

φά αιο ο


ο φά αιο α ό οι αθ ές ού σ σ α ι ά αι ι ού ισώσ ις ο αι ο

βαθ ού.

Ως ι ιαί ί σ ά αι ίσ σ x =α. ι ι ό α:


ι αθ ές, σ ο άσιο, έ ο ια α α θ ί α α ι ά ί σ ισώσ ς ο φής

αx+β= , ς ο οίας οι σ σ ές α αι β ί αι σ ι έ οι α ιθ οί. α ού σ ο ί ς σ

άβασ α ό ί σ ιας έ οιας ο φής ίσ σ ς σ ί σ ς ι ής ο φής αx+β= ,

ια ο ί ς ό ο ς: α ί αι ύσ ο ος ο ια ισ ός ς έ οιας ς α α έ ο α ό

έ οια ς αβ ής αι β ί αι οι ι έ οι ια ι ασία ς ι ύ σ ς ι ά.

ια ο ό ο α ό, ο ί αι α οθ ί ο αιό α σ α α ώ ισ ο ό ο ς α α έ ο

σ ια α α ι ή ίσ σ ο βαθ ού έσα α ό ια α ά σ ς α α ι ής ίσ σ ς

ο ι α βά αι σ θ ία α ής ς α α άφο σ ο ι ό βιβ ίο, σ . . ια α ά ι α,

ο ί α θ ί α ό ο ς αθ ές α ύσο ίσ σ ια σ ι έ ς ι ές ο . . = ,

= , = , =- αι σ σ έ ια α οσ αθήσο α ια ώσο ι ά σ άσ α α ια άθ

ι ή ς α α έ ο . ο ί αι, ίσ ς, ος ια α ά σ ασ ιό α . ο Α

αθώς αι ί σ α ώ α α ι ώ ισώσ αι α ώ ισώσ ο α ά ο αι σ

ισώσ ις ο βαθ ού ό ς άσ σ ς Α ά ας .

ια α ύ α α ό σ αι έ σ ι ιο ή α ο ύ ι ώ , ο ί αι α οθ ί

ι ιαί έ φασ σ ισώσ ις, ό ς Ix-5I=- , ο οία ύσ ο α α α ί ο οι αθ ές α ό

α ή ς α ύ α .


ί σ ισώσ ς ο φής x =α α ιο ισ ί σ α ές ισώσ ις.


7

ί σ ς ίσ σ ς αx2+βx+ = , α≠ σ ι ή ς ο φή έθο ο «σ ή σ ς

α ώ ο » ί αι ια ια ι ασία ο σ ο ύ ι ο ς αθ ές. ο ί αι α σι ο οιήσο

οι αθ ές έθο ο ς «σ ή σ ς α ώ ο » ώ α σ ισώσ ις ο βαθ ού

σ σ ές σ ι έ ο ς α ιθ ούς αι σ σ έ ια βοήθ ια ο αι ι ού α

ι ύσο ια ι ασία.

ίσ ς, ο ί αι ί σ α ώ ισώσ ο α ά ο αι σ ισώσ ις ο βαθ ού ό ς α

α α ί α α αι αι α οθ ί έ φασ σ ο ο οί σ αι ί σ οβ ά ήσ

ισώσ ο βαθ ού ο ί ο αι οι ασ ιό ς . αι . ο Α .

ι ύ οι ο Vieta ι έ ο σ ο ς αθ ές ί α α ασ άσο ια ίσ σ ο βαθ ού

ο έ ο ο άθ οισ α αι ο ι ό ο ι ώ ς ί α οσ ιο ίσο α θ ίας ις ί ς ς

β ίσ ο ας ο α ιθ ούς ο α έ ο άθ οισ α S αι ι ό ο P . ο ί αι α θ ί α ό

ο ς αθ ές, ό ο φή άσ σ ς, α οσ ιο ίσο α ούς ο ς ύ ο ς αι α ο ς

σι ο οιήσο σ ί σ σ ι ώ οβ ά . έ α α α ά σ ό , ήσ

ύ ο Vieta σ ασ ήσ ις ο ύ ο ο ς α β ι ούς ι ισ ούς φ ύ ι α ό ο ύ α ς

ι ασ α ίας αι οσφέ ι σ αθ α ι ή σ έ αθ ώ .


ια ι ή α ι ή σφαί α ο ύ αι α α ό φα α ό ο έ αφος. ο ύ ος σ σ ο

ο οίο θα β θ ί σφαί α ο ι ή σ ι ή t σ se ά ό σ , ί αι α ό

σ έσ : = t – 5t2.

α ά α ό όσο ό ο σφαί α θα α έ θ ι σ ο έ αφος;

β οι ς ο ι ές σ ι ές σφαί α θα β θ ί σ ο ύ ος = ;

α β ί ο ο ι ό ιάσ α σ ιά ια ο ο οίο

σφαί α β ίσ αι σ ύ ος α ύ ο α ό .


ο ι ο ί α α « ί σ ισώσ ο βαθ ού

βοήθ ια ύ ο » α ό α ο ισ έ α σ ο ι ά βιβ ία,

ο ί α σι ο οι θ ί ια α α ό σ ς α β ι ής αι αφι ής οσέ ισ ς

ύσ ιας ίσ σ ς έ ο βαθ ού αι ιβ βαί σ α ο σ ά βοήθ ια

ο ύ ο .

http://photodentro.edu.gr/v/item/ds/8521/2132

φά αιο ο


ο φά αιο α ό οι αθ ές ού σ σ α ι ά αι ι ού α ισώσ ις ο αι ο

βαθ ού

ι ι ό α:


ι αθ ές, σ ο άσιο, έ ο ια α α θ ί α α ι ά ί σ α ισώσ ο βαθ ού

σ ι έ ο ς σ σ ές. ός α ό ήσ ς α ιθ ο α ής, ια α ι ό ισ ο

σ ό ο ύσ ιας α ίσ σ ς, ο ί αι α οθ ί έ φασ αι σ ήσ ιασ ά

α α ι ώ α ιθ ώ ια α α ά α ι ό ισ , ς φα ο ή ς α ίσ οι ς


8

ο α α άφο ς § . . α σ θού ο οιό ς αι ιαφο ές α ά σα σ ίσ σ αι

α ίσ σ , ς ος ια ι ασία ς ί σ ς ο ς αι ο σύ ο ο ύσ ώ ο ς.

ια α ύ α α ό σ αι έ σ ι ιο ή α ο ύ ι ώ , ο ί αι α θού

α ό ο ς αθ ές αι α ισώσ ις ό ς οι Ix-5I<- ή Ix-5I>- , ο οί ύσ , α αι ο ύ ι

α ό α ή α α ή σ , α α ί ο ά σα οι αθ ές. ο ί αι ίσ ς α οθ ί

ο αιό α σ ο ο οί σ οβ ά ήσ α ισώσ ο βαθ ού, ό ς ια

α ά ι α άσ σ ς Α΄ ά ας αι οι ασ ήσ ις αι ς ΄ ά ας.


ι ή α α ί ό ι άθ φο ά ο ο σ ύ ος ς αβ ί ι ύ α ά ι αι ά ι

ά ύ ο . ο ο ού ο β ά οι ήθ ι ό ο α ό ώ ς, ώ σ ήθ ς α

αβ ίσ ι ο σ ύ ος οι ά αι ώ ς ο β ά .

α όσ ς φο ές ο ί α ύ σ ο ο ού ο β ά ι ή ;

β ο ί α ύ σ ο άβ ισ α φο ές; α αι ιο ο ήσ α ά σή σας.


ια α ά σ α ισώσ ο βαθ ού ί αι ια ώ φο ά σ Α΄ ίο . ο ί αι α

οθ ί έ φασ σ ι ύ σ ς α α ο ο οί σ ς ο ι ύ ο , ό ο ί αι α ά ήσ ς

θό ο «σ ή σ ς α ώ ο », ώσ α οθού α θ ίας α σ άσ α α α ής.

ο οσ ιο ισ ό ο όσ ο ο ι ύ ο , α α ί αι σ ά οι αθ ές α α αβ έ ο

ο όσ ο ο σ σ ή ο οβάθ ιο ό ο ή α σ έο ο όσ ο ς ια ί ο σας

ο όσ ο ο ι ύ ο . . ό α < , θ ού ό ι αι ο ιώ ο αί ι α ι ές ι ές .

α α α ά οβ ή α α σ ά α ι ί ο αι ιάφο α « άσ α α» α σύ βο α «+»

αι «-», ώσ α οσ ιο ίσο οι αθ ές ο όσ ο ο ι ύ ο αι α ι ύσο α ισώσ ις

2ο

βαθ ού. έ οι ς οσ ίσ ις σ έο αι α α ό σ ο ό έ α ιώ ο αί ι

θ ι ές αι ό α ι ές ι ές.

ια ο ό ο α ό ο ί αι α οθ ί έ φασ σ α α ό σ ς ια ι ασίας οσ ιο ισ ού ο

όσ ο ο ι ύ ο . . έσα α ό έ ο οσή ο α α ό ο αι ο

σ σ ή ο οβάθ ιο ό ο , ό α α ό α α ο ο οι ί αι αι σ σ έ ια σ ήσ

σ ασ ά ια ί σ α ισώσ ο βαθ ού. ο ο οί σ αι ί σ

οβ ά ήσ α ισώσ ο βαθ ού . . ασ ιό α . ο Α αι άσ σ

ς ά ας ι ο ού ος α ή α ύθ σ .


α α ύσ α ίσ σ : X2 − X − < 0.

β α β ί ο όσ ο α ιθ ώ K = − 44 2 + 44 − α M = (√3 )2 − √3 − . α αι ιο ο ήσ ο σ ο ισ ό σας.

Α α ∈(- , , α β ί ο όσ ο ς α άσ ασ ς Λ = α2 − |α| − .

α αι ιο ο ήσ α ά σή σας.


οιοι α α ι οί α ιθ οί ί αι α ύ οι α ό ο ά ό ο ς; οιοι ί αι

9

α ύ οι α ά α ό ο ά ό ο ς;


ο ι ο ί α α « όσ ο ι ώ ο ι ύ ο » α ό α

ο ισ έ α σ ο ι ά βιβ ία, ο ί α σι ο οι θ ί

ι ι ά, ώσ ο αθ ής α ο θ ί έσα α ό

ι α α ισ ούς αι ι ασί ς σ ύ σ ς ιο ής ο

έ ι α ι ί αι ι ή ς αβ ής , ώσ ο ιώ ο α

αί ι θ ι ή ή α ι ή ι ή. α ά α αθαί ι ια ο ό ο

ς ι ασίας αι ο ι α α ισ ού σ ια ι ασία ς ύ σ ς

α β ι ώ σ έσ .


φά αιο ο


ο φά αιο α ό οι αθ ές ισά ο αι σ έ οια ς α ο ο θίας α α ι ώ α ιθ ώ αι

ού ι ώσ ις α ο ο θιώ ο φα ί ο ά οι ς ι ι ές ο φές α ο ι ό ας,

α ιθ ι ή αι ι ή όο ο. ι ι ό α:


α οθ ί ο αιό α σ α α ώ ισ ς α ο ο θίας ς α ισ οι ίας φ σι ώ σ ο ς

α α ι ούς α ιθ ούς αι σ οι ί σ αθ ώ ο σ βο ισ ό . . ό ι ο φ σι ός

α ιθ ός , έσ ιας α ο ο θίας α, α ισ οι ί σ ο α α ι ό α ιθ ό α1 ο α ο ί ο ώ ο

ό ο ς α ο ο θίας α ής , ο έ ο ό ι α ός σ ο ύ ι ο ς αθ ές ο ί αι

ασ ιό α . ο Α .


Α ι ά οι αθ ές ιά αι α ο ού α α α ίσο βάσ ο ο ισ ό α ια

σ ι έ α ο ο θία ί αι α ιθ ι ή όο ος . . ασ ιό α . ο Α .

σ έ ια, α οσ ιο ί ο ο -οσ ό ό ο ό ο έ οιο ο α ο ς βο θά α α ι φθού

α ο ι ό ς, οι ο οί ς ο ού α ο ς ο ήσο σ α ι ά σ άσ α α ο ί αι

ασ ιό α . ο Α ίς α ή α α αι . ο ο οί σ αι ί σ

οβ ά ό ς άσ σ ς Α΄ ά ας σ βά ι σ οιο ο ι ή α α ό σ ς

έ οιας ς α ιθ ι ής οό ο .

α ό ι ο ύ ο ια ο άθ οισ α ώ ό α ιθ ι ής οό ο θα ι α θ ί.


ο ι ο ί α α «Ας φ ιά ο ια σ ά α» α ό α


ι ι ά ώσ ο αθ ής α ο θ ί έσα α ό

ι α α ισ ούς αι ι ασί ς σ α α ό σ οιώ ς

α ιθ ι ής οό ο .




10


ια α ά σ ς έ οιας ς ι ής οό ο ο ί αι α ί ι α α ισ οι ία

έ οια ς α ιθ ι ής οό ο . ο ί ο αι οι ασ ιό ς . ίς α ή α α

αι αι . ίς ο ώ α ο Α , ο σ ό ο έ ο α α ι φθού οι αθ ές

α ο ι ό ς ο θα ο ς ο ήσο σ ύ σ ο -σ ού ό ο ι ής οό ο .

α ό ι ο ύ ο ια ο άθ οισ α ώ ό ι ής οό ο θα ι α θ ί


έ α ο α ία ιό α α α έθ ιά ς, ια ιά ς, ς έ σ ώ αι

ς ί ό ι έ ι α ιο άσ ι α α έθ ιά ς θα ς αύ α άθ ό ο ο οσό ο

ώ ο ς α ά ώ. α ούς ς α ίας ς έ σ ώ αι ς ί ό ι έ ι α

ιο άσ ι α α έθ ιά ς θα ς ι ασία άθ ό ο, ο ο ού ο οσό ο

ώ ο ο . α ία σα σ ήθ ό ασ ο α ού ς. ί ί ιο; όσα

ή α α θα ί αι ο ώ ο ς, σ α α αι σ α α έθ ια ς, α ό ο α ού ς αι

όσα α ό ια ιά ς;

φά αιο ο


ι αθ ές, σ ο άσιο, έ ο έ θ ι σ αφή έ οια ς σ ά σ ς, ί ς

ι ι ό ό ο, αι έ ο ι ήσ ι σ οι ι ώς σ ι έ ς σ α ήσ ις. Α ίο

ού έ οια ς σ ά σ ς ιο σ σ α ι ό αι ι ό ό ο. ο ούς αθ ές

ιο ού αι α α οήσ ις αι ι ίς ι ό ς σ ι ά έ οια α ή, α ο έ σ α α

α ο σιά ο οβ ή α α σ α α ώ ισ ιας σ ά σ ς, αθώς αι α ο ού α

ι ισ ού ι ία ιαφο ι ές α α α ασ άσ ις ς ί ιας σ ά σ ς . . ί α ας ι ώ ,

α β ι ός ύ ος, αφι ή α άσ ασ . ια ο ό ο α ό θα έ ι οι αθ ές, έσ α ά

ασ ιο ή , α σι ο οιού , α σ έο αι α ύο ις α α α ασ άσ ις ιας

σ ά σ ς αθώς αι α ο ί ο ο ή α α αι ο έ ς ιο ή α α αθ ιάς

α ώ . α ι ή ασ ό σ αθ ώ ί σ ισώσ αι α ισώσ ια

ύ σ ο ίο ο ισ ού βο θά σ α α ό σ ς έ οιας ς σ ά σ ς αι ί αι

σ ο ύ α ς ι ασ α ίας.

ι έ οι ς « α α ό φ - ο ι ό ια α ό ισ α ύ ς», « ο ο ο ία – α ό α α - σ ί ς

σ ά σ ς», σ ι α βά ο αι σ ι α έα ύ , ό ς α α ύσσο αι σ ις α α άφο ς

. αι . . ι έ οι ς α ές θα θού σ ις ι ι ές ι ώσ ις σ α ήσ ς ο φής:

f(x =αx+β § . , f(x =αx2 § . αι f(x =αx

2+βx+ § . . ι ι ό α:

§ . - § . ο ί αι α ια θού ώ ς

ο ί αι α οθού α ι ά σ ι έ α α α ί α α ο ο οί σ ς α ασ άσ , ώσ α

α α ι θ ί σ ασία ς έ οιας ς σ ά σ ς ια ις φα ο ές, αι σ σ έ ια α

α ο ο θήσ ι ο ι ός ο ισ ός. α οθ ί έ φασ σ α α ώ ισ αι ί σ , βάσ ο

ο ισ ό, α α ισ οι ί ς ο ί ο αι ιάφο ς α α α ασ άσ ις ί αι σ α ήσ ις ή ό ι οι

ασ ιό ς . , . αι . ο Α ι ο ού ος α ή α ύθ σ , σ σύ σ

ιαφο ι ώ α α α ασ άσ ιας σ ά σ ς ύ ος, ί α ας ι ώ αι αφι ή α άσ ασ

11

αι σ ία ιας ο έ ς αφι ής α άσ ασ ς ια ί σ ός οβ ή α ος . O

ι ός ο ισ ός ς ο ο ο ίας θα σ θ ί σ ά . ο ί ό ς α ά ίσ ο

ι άσ ο α α ισα θού ιαισθ ι ά οι έ οι ς ς ο ο ο ίας αι α ό α αι α ί ι

α α ώ ισ ο ς σ αφι ές α ασ άσ ις. ι έ οι ς α ές α ο ού ασ έα ύ .

Σκθέα αδ σ δ κ τπκμ βμ απσ α βμ τκ βη έωθ απκ ζ έ ηέα Ϊζζβ Ϋεφλα β κυ Πυγαΰκλ έκυ Θ ωλάηα κμ η σλκυμ υθ αΰηΫθωθ, αθαεαζ έ δμ Ϋθθκδ μ ωθ παλαΰλΪφωθ βέγ εαδ βέζ έ εαδ πλκ φΫλ αδ ΰδα υπκζκΰδ ηκτμέ πδ βηαέθ αδ σ δμ

) Η απσ διβ κυ τπκυ θ απκ ζ έ αθ δε έη θκ ιΫ α βμ εαδ ωμ φαληκΰΫμ κυ γα δ αχγκτθ κδ α εά δμ ζ εαδ η έ ) θ γα δ αχγ έ β φαληκΰά βμ ζέ αμ 1ηη

ο ί ο αι οι ασ ιό ς . αι . ο Α

ι ι ή

ασ ιό α

1:

i οιό α ό α

έ ι α

φα όσο

ια α ο ο ίσο α ό όσα σ ία θα α ο ί αι ο ο σ ή α ;

ii Α ό όσα σ ία θα α ο ί αι ο ο σ ή α ;


Α α ασ ήσο ια όσ α ι ι ί ς α ι ι ί ί αι ια ι ή ο σία

σι ο οι ί αι ια θ α ία α α σ ι ώ οι ώ σ ι ιοσ ό α α αι W

α ασ ήσο ο βά ος αι ιού σ ι ά, ό ίσ σ = W ί ι έ α α ό α ια

ύ σ ς έ ισ ς ασφα ούς ήσιας όσ ς ο φα ά ο ς α ι ι ί ς ια αι ιά

ο ί ο ι ό ο α ό ι ά.

α ίσ σ φ ά ι σ ά σ ; α αι ιο ο ήσ ο σ ο ισ ό σας.

β οι ς ί αι οι ο ι ές ι ο ές ια α ά αι α έ αβ ή;

α ιο ήσ έ α ί α α ι ώ αι ια αφι ή α άσ ασ .


ι αθ ές έ ο ια α α θ ί αφι ή α άσ ασ ς θ ίας =αx+β σ ο άσιο. ώ

ο ί αι α οθ ί έ φασ σ ι ύ σ ο ό ο α α έ α αι β σ αφι ή

α άσ ασ ς f(x =αx+β, ώσ α ο ύ ο οι σ ι ές θέσ ις θ ιώ σ ο ί ο ό ί αι

α ά ς α ύ ο ς, ό α ί ο αι, ό έ ο ο ά ο α y y σ ο ί ιο σ ίο .

ίσ ς ο ί αι, αφού οι αθ ές α α ήσο ήσ ς αφι ής α άσ ασ ς αι ο

ί α α ι ώ σ ι έ α ι ώ σ α ήσ ώς αβά ο αι οι ι ές ς σ ά σ ς

ό α αβά αι α ά αβ ή, α α α ή ο σ ι ό α σ άσ α α ο

αφο ού σ ο ο ο ία ς σ ά σ ς αι α α φ άσο σ βο ι ά, αθώς αι α

ι ήσο ο ό ο ς α α έ ο α σ σ έσ α ά ο ί αι ασ ιό α . ο

Α .

12


Έ ας αθ ής ο ά ι ύ ιο αι αί ι θ ί ς ο ό, ώ ό α ο ά ι α ού α

αί ι θ ί ς ο ό. αθ ής θέ ι, ο ώ ας, α ά ι θ ί ς.

α Α ο αθ ής θέ ι α ο ήσ ι ύ ιο ά, όσα ά έ ι α ο ήσ ι

α ού α ια α ά ι σ ο ι ά θ ί ς.

β αθ ής α οφασί ι όσο ό ο θα ο ήσ ι ύ ιο αι σ σ έ ια ο ο ί ι όσο

ό ο έ ι α ο ήσ ι α ού α ια α ά ι θ ί ς.

βi Α x ί αι ο ό ος σ ά ο ο αθ ής ο ά ι ύ ιο, α α ο ί ό ι ο ύ ος

ς σ ά σ ς ο φ ά ι ο ό ο ο έ ι α ο ήσ ι α ού α ια α ά ι

θ ί ς ί αι: 330

4f x x

βii α β ί ο ίο ο ισ ού ς σ ά σ ς ο ή α ος βi , σ ο αίσιο ο

σ ι έ ο οβ ή α ος.

α α ά αφι ή α άσ ασ ς σ ά σ ς ο ή α ος β , α β ί α

σ ία ο ής ς ο ς ά ο ς αι α ύσ σ ασία ο ς σ ο αίσιο ο

οβ ή α ος.


ο ι ο ί α α « ό ος σ σ ώ σ =α +β»

α ό α ο ισ έ α σ ο ι ά βιβ ία, ο ί α

σι ο οι θ ί ι ι ά, ια ισα ή σ

σ ά σ f = α +β έσ ς ι ύ σ ς ο ό ο άθ

σ σ ή σ ο σ α ισ ό ς θ ίας =α +β αι ίας

ς σ έσ ς ώ ς άθ ιας α ό ις ο οι ο έ ι ς

θ ιώ , ια α σ αθ ό αι β αβα ό ο αι α ίσ οφα.


φά αιο ο


ο φά αιο α ό οι αθ ές ού σ ά σ =αx2 αι ις ι ιό ές ς. ίσ ς,

αφ ία =αx2, α ασ ά ο αφι ή α άσ ασ ς σ ά σ ς f x =αx

2 + βx +

ο οία σ σ έ ια σι ο οιού ια α ήσο ι ιό ς ς f. ι ι ό α:


ι αθ ές σι ο οιού ί α ς ι ώ αι ο ισ ι ό ια α ά ο αφι ή α άσ ασ ς

σ ά σ ς =α 2. έσα α ό α α ή σ ς αφι ής α άσ ασ ς αι ι ώ ι ού

ο ο ο ία, α α ό α α αι ις σ ί ς σ α ήσ g(x)=x2 αι h(x)=-x

2. βοήθ ια

ς αφι ής α άσ ασ ς ι ύο α α α ά σ άσ α α ια σ ά σ f =α 2

ο ί αι ασ ιό α . ο Α ή ήσ ο ισ ι ού αι α φ ά ο σ βο ι ά.


13


ο ι ο ί α α « ι αβο ές ς σ ά σ ς =α 2» α ό α


ι ι ά ια έ ο ο ο ίας ς σ ά σ ς =α 2 ό α

α> ή α< .



ο ι ο ί α α « α ο ίσ ις ς =α ²» α ό α ο ισ έ α

σ ο ι ά βιβ ία, ο ί α σι ο οι θ ί ι ι ά α ό ο ς

αθ ές ια ο ι ό ια αι α α ό φ α ό ισ ς =α ²

α ά αι ύ σ ο ύ ο ς σ έα θέσ αι α

ι α α ισ ού ια ο σ ασ ό ύο α α ά

α ο ίσ .



α οθ ί έ φασ σ ά α αι ι ύ σ ς αφι ής α άσ ασ ς σ ι έ

ο ι ώ σ α ήσ ς ο φής f(x =αx2+βx+ αι σ ιαισθ ι ή έ ς ο ο ο ίας,

α ό α αι ς σ ίας ς σ ά σ ς βοήθ ια ς αφι ής ς α άσ ασ ς.

ί σ α α ά οιώ θα ι α ού σ ίο .

ι ι ό α, όσο αφο ά σ ά α ς αφι ής α άσ ασ ς αι σ έ ς σ ά σ ς

f(x =αx2+βx+ , ι έα ο β ίσ αι αι ίσ α ό ασ ιό α . ο Α ί αι ής: ι

αθ ές σι ο οιού ί ί α ς ι ώ ί ο ισ ι ό ια α α ά ο αφι ή α άσ ασ

ς =αx2+ αι α σ ί ο =αx

2, ο οί ς ια =α x+ 2 αι ι ά ια

=α x+ 2+ . α ό ο ό ο ισά ο αι ιαισθ ι ά σ ις α ο ίσ ις, ις ο οί ς θα

ι ύσο σ ίο . Α σι ο οι θ ί ο ισ ι ό, οι αθ ές ο ού αφού α ά ο

αφι ή α άσ ασ ς g(x =αx2 ια ιάφο ς ι ές ο α α α ο ίσο ο ά ς ο ι ό ια

ια ιάφο ς ι ές ο . . α ά ο ά ς α ισ ά, α ά ο ά ς ιά αι α

α α ήσο ο φή ο αί ι ο ύ ος ς σ ά σ ς. σ έ ια α α ο ίσο

ο ά ς α α ό φα ια ιάφο ς ι ές ο . . α ά ο ά ς ά , α ά ο ά ς ά αι

α ά ο α ά ο ς α α ήσ ις. ά ο ας ις ύο α ο ίσ ις ο ού α α α ήσο

ό ι σ ά σ ο θα ο ύ ι θα ί αι ς ο φής f(x =α x+ 2+ .

έ ος, ί ο αι σ ο ς αθ ές σ ι έ ς σ α ήσ ις ς ο φής f(x =αx2+βx+ αι ί οι

οσ αθού , α ά ς α ο ίσ ις ς g(x =αx2, α ο θού σ αφι ή α άσ ασ ς

f. σ έ ια ού , βοήθ ια ς αφι ής ς α άσ ασ ς, ι ιό ς ς f αι

ί ο α σ άσ α α ο αφο ού σ ο ο ο ία, σ α α ό α α αι σ ις σ ί ς ς

g = αx2 σ f(x =αx

2+βx+ .

ίσ ς, α ί ι ι ή ία σ ασ ά § . αι § . ί ς αι όσ ο

ι ύ ο βοήθ ια ς αφι ής α άσ ασ ς ς σ ά σ ς f(x =αx2+βx+ ο ί αι

ασ ιό α . ο Α . ι α ι ά έ ι ι ιαί ο ιαφέ ο α σ ιασ ού οι έ ι βασι ές

ι ώσ ις ο αφο ού σ ις ι ές ς ια ί ο σας > , = αι < σ α ό ς ο



14

όσ ο ο α α> , α< ώσ οι αθ ές α σ έσο αφι ή α άσ ασ α α β ι ά

σ άσ α α ο ή σι ο οιού


α α σ ώσ ο α α ά ί α α ι ώ σ α ήσ : φ x)=x2, f(x)=(x-3)

2,

g(x)=(x+3)2.

x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

φ x)=x2 0

f(x)=(x-3)2

0

g(x)=(x+3)2 0

β βάσ ο α α ά ί α α ι ώ , α α ά ις αφι ές α ασ άσ ις

σ α ήσ φ, f αι g.

οια α ό ισ ς αφι ής α άσ ασ ς ς φ, ί ι αφι ή α άσ ασ ς f αι

οια α ό ισ ς αφι ής α άσ ασ ς ς φ ί ι αφι ή α άσ ασ ς g.


Έ ας ο ό ος ιού σ ι α ή α αβο ή ια α

α ο σιάσ ι θ ο ασία ιας ό ς ια σ ι έ έ α

ο έ ο ς, ό ο ο ί αι ο α ιθ ός ώ ά α σά α αι

ο y ί αι θ ο ασία σ βαθ ούς σίο .

α ί σ ά σ f ο α ισ οι ί σ α α ά

αφι ή α άσ ασ .

β οια ί αι ιο ύα θ ο ασία έ α ί ;

ί σ : ο ί α α βάσ ις φια ές ασ ιό ς αι α ις α οί ο ι ά ο α ίσ οι ο ο ισ ι ό. Α έ α σ έ ο ο ο ισ ι ό, ό α ό ι αι ια α ίο

α ά .ggb α βάσ αι α ασ ήσ ο Geogebra α ό ι ύθ σ https://www.geogebra.org/download ή ιαφο ι ά ά ια ο α ίσ οι ο ο ισ ι ό σ

ι ύθ σ http://photodentro.edu.gr/edusoft/.

ια α ί ο ισ ό σ φια ώ ασ ιο ή σ α θ ίας σύ σ online),

ο ι ήσ ο φ ο ή Mozilla Firefox.

Α φα ο ή ί αι σ flash θα έ ι α α ασ ήσ ο όσθ ο Adobe flash player

α ό ι ύθ σ https://get.adobe.com/flashplayer/.

Α φα ο ή σι ο οι ί Java . . Geogebra , ό α ασ ήσ α ό ι ύθ σ http://java.com/en/. Α σ ί α έ όβ α σ ο ισ ό σ , ό οσθέσ ις ι θύ σ ις http://photodentro.edu.gr αι

http://digitalschool.minedu.gov.gr σ ο exception site list σ α έ α security ς Java

α οί ο Control Panel, Java, σ α έ α security α ήσ Edit site list αι οσθέσ ις ύο ι θύ σ ις, ίσ ο browser αι α α οί ο .

https://www.geogebra.org/download

http://photodentro.edu.gr/edusoft/

https://get.adobe.com/flashplayer/

http://java.com/en/

http://photodentro.edu.gr/

http://digitalschool.minedu.gov.gr/

15

Ά β α Α΄ ά ς σ ι ού ι ού ίο

1. Η ι α έα ύ α ί αι α ή ς Α΄ ά ς ο Η ήσιο . .

2. Η ια ί ισ ς ύ ς ί αι α ή ο ο ί αι ια Α΄ ά Η σίο α ό ο θ ιαφο ο οί σ ς ος ις ώ ς

ι ασ α ίας α ά φά αιο. Α ό ο βιβ ίο «Ά β α αι οι ία ιθα ο ή Α΄ ι ού ίο »

ισα ι ό φά αιο § .

ο ί αι α ια θ ί ι α ι ή ώ α

φά αιο ο


φά αιο ο


φά αιο ο


φά αιο ο


φά αιο ο


φά αιο ο


ια οσα ο ή ς ι ασ α ίας σ ο ια ιθέ ο ό ο, ο ί αι α ί αι έ φασ σ α βασι ά α α ί α α - φα ο ές αι σ α ά ι , έσ α ώ , ο ι ο έ ο , οιώ αι θό ς άθ α α άφο

ία Α΄ ά ς Η ήσιο ι ού ίο


I. ισα ή

ι ασ α ία ς ίας σ Α΄ ίο σ ιά ι σ ο έ ασ α α ό ο ι ι ό σ ο θ ι ό ό ο σ έ ς, ι ιαί έ φασ σ αθ α ι ή α ό ι . ι αθ ές έ ο έ θ ι σ αφή σ οι ία θ ι ής ι ής σ έ ς αι σ ο άσιο, ό ο έ ο α ι ίσ ι ασ ήσ ις ο α αι ού θ ι ή α ό ι . Α΄ ίο , έ ι α ή ι ία αθ ώ α α ιο οι θ ί σ ό ο αι έ α ά ς θ ι ής ο ς σ έ ς. ια ύ σ

ο ισ ώ ι ώ οιώ ί αι ά ι ύσ ο ο ια ο ς αθ ές, α ό α αι α ής ς ά ς, αθώς α αι ί σ ι ο οί σ ίσι αι ά ισ ι ιο ή ο α αι ού αι ια ο αθο ισ ό ιας έ οιας. ίσ ς οι αθ ές ιά αι α ι ού ι ιό ς αι σ έσ ις

ι ώ οιώ αι α ιο ού ι ασί ς ις ο οί ς α οσ αθού α ιώσο . α ι ώ ισ ς αθ α ι ής α ό ι ς α ά ς ι αφή ιας σ ι άς ο ι ώ β ά ο

α ο σιά ο αι α ό ο αι ι ό, ί αι α ά ώσ α θού οι αθ ές σ σ ασία αι α ασ ή ιας α ό ι ς. Α ίθ α, ί αι σ α ι ό α α ού οι αθ ές σ α ο ι ι ές ια ι ασί ς, α οσ αθού α ο ί ο βασι ή α ο ι ι ή ι έα, έσ

16

ι α α ισ ού αι ι ύ σ ς, αι α σι ο οιού ασ α ισ ούς αι α α α ασ άσ ις, ο οσ ί ο α ά ι ώ σ ο ισ ώ . α ασ ή α ό ο ς αθ ές

α ι α α ι ά αι σ ή σ ια ο ό ο ο ς ί αι ια σ α ι ή ια ι ασία, ώσ α α ίσο α α ο ού ια ώ αίσθ σ ς σ ασίας ο α ι α α ί α ος σ α αθ α ι ά.

α α ή σ ά ο ο ί αι ίσ ς ια έθο ος ο σ ά σ α ού οι αθ ές σ α ό ι α ώ θ ά . ό ος ο «ά ο ο » σ ί σ ο α ι ού ισ ισ ού α ά αι ο

α ά όσο ά σ ο σ άσ α ος ο ί ι ά σ ί σή ο , ιο ού ι ιαί σ ο ία σ ο ς αθ ές. ό α α α α ά ο σιασ ι ό ό ο ο ί α αί ι α ιο οί σ ο ισ ι ώ α ι ής ίας.

II. ι α έα Ύ Α ό ο βιβ ίο « ί ια ία Α΄ αι ΄ ιαίο ίο » Α ό ο ο ., ά ο .,

α σού ., α ά ., ί .

φ. ο: ισα ή σ ί ια ία 1.1 ο α ι ί ο ς ί ιας ίας 1.2 σ ο ι ή α α ο ή σ έ σ αι α ά ς ίας

φ. ο: ί α . . ί αι σ οι ία ι ώ

3.2. 1ο ι ή ιο ισό ας ι ώ ός ς α ό ι ς ο θ ή α ος

3.3.2ο ι ή ιο ισό ας ι ώ ός ς α ό ι ς ο θ ή α ος

3.4. 3ο ι ή ιο ισό ας ι ώ ός ς α ό ι ς ο θ ή α ος

. Ύ α αι ο α ι ό α αθέ ο ός ς α ό ι ς ο θ ή α ος

. . ι ή ια ισό ας ο θο ώ ι ι ώ ός ς α ό ι ς θ ά αι .

. . ύ ος - σο άθ ος – ι ο ό ος

. . έσ ι ής αι α έ α ι ίας ός ς α ό ι ς ο θ ή α ος

. . Α ισο ι ές σ έσ ις ώ αι ιώ ός ς α ό ι ς ο θ ή α ος

. . T ι ι ή α ισό α ός ς α ό ι ς ο θ ή α ος

. . άθ ς αι ά ι ς ός ς α ό ι ς ο θ ή α ος

. . ι ές θέσ ις θ ίας αι ύ ο ός ς α ό ι ς ο θ ή α ος

. . φα ό α ή α α

. . ι ές θέσ ις ύο ύ

. . Α ές ι ές α ασ ές

. . ασι ές α ασ ές ι ώ

φ. ο: α ά ς θ ί ς . . ισα ή

. . έ ο σα ύο θ ιώ - ί ιο αί α ός ς α ό ι ς ο ο ίσ α ος ς σ . , αι ο άσ , , αι V)

. . ί ς ές α ά ς

. . Α ιοσ ί οι ύ οι ι ώ ο

. . Άθ οισ α ιώ ι ώ ο

. . Άθ οισ α ιώ ού - ώ ο ός ς α ό ι ς ο ο ίσ α ος

σ ο ι ό ί α

φ. ο: α α ό α α – α έ ια . . ισα ή

. . α α ό α α

. . θο ώ ιο

. . ό βος

. . ά ο

. . φα ο ές σ α ί α ός ς α ό ι ς ο ή α ος

. α ύ ο ι ώ ο ός ς α ό ι ς ο θ ή α ος

. . ο ο θό ο ι ώ ο ίς ο ό ισ α .

. . ια ι ιό α ο ο θο ώ ιο ι ώ ο

. . α έ ιο

17

. . σοσ ές α έ ιο

φ. ο: α έ α σ ή α α . . ισα ι ά – ισ οί . . έσ α έ ς αι α ίσ οι ς ί ς ός ς α ό ι ς ο θ ή α ος . . ία ο ής αι φα ο έ ς ός ς α ό ι ς ο θ ή α ος

. . ασι οί ι οί ό οι σ ο ύ ο – ό ο ύ ο ο έ αι σ ή ία.

. . ο α έ ο ά ο

. . ο ά ι ο ά ο ός ς α ό ι ς ο θ ή α ος










φά αιο ο ο ί αι α ια θ ί ι α ι ή ώ α

ό ος ο φα αίο α ού ί αι ιά ισ αι ισή α σ ιαφο ι ώ α α ισ ι ώ ς α ι ής ίας, ο οι αθ ές ι ά θ α σ ο ού ς ά ις, αι ς ι ής

ίας ο θα ι α θού σ ο ύ ιο. ά οια ή α α ο θα ο ούσα α σ θού ια α ά ι ο ά ς ι ής ίας έ α ι ς α ι ής, ί αι:

α α ία α ιβούς έ σ ς, α ά έ σ ς α οσ άσ α ύ α όσι σ ί , α α ιο ισ ία ι ι ώ οσ ίσ ο ί αι ασ ιό α ο α ισ οι ί σ ο σ ό ο ο Α . ια α α ο ήσο οι αθ ές ια ώ αίσθ σ βασι ώ α ώ ς α ά ς ς

ί ιας ίας ς α ι α ι oύ σ σ ή α ος, ο ί αι α α ού σ ια σ ή σ σ ι ά σ ασία αι ο ό ο ό « α ι ή έ οια», «ο ισ ός», «α ί α», «θ ώ α», «α ό ι ». οι ία ς ισ ο ι ής έ ι ς ς ίας ο ού α α ο έσο έ α αίσιο α αφο άς σ ο ο οίο θα α α ι θού α α α ά ή α α.

φά αιο ο ο ί αι α ια θού ι α ι ές ώ ς

§ . , § . α ια θού ώ ς

§ . , § . α ια θού ώ ς

§ . , § . α ια θού ώ ς

ι αθ ές έ ο ια α α θ ί ο α ύ ο έ ος ο ι ο έ ο α α άφ . έ ς . σ ο άσιο. ο ί αι α οθ ί έ φασ σ ά οια έα σ οι ία ό ς: α σ ασία ς ισό ας ο ό ο ώ σ σύ ισ ι ώ . β ια α ά σ α α ι ά ι ώ ία ύ ια σ οι ία ο ς ίσα, α ο οία - ί α-

ί αι ίσα ο ί α ίσ ς ο ές αι ια ι ό ία α ίσ οι α ίσ , ό ς σ ις ασ ιό ς . αι . ο Α .

σ ιασ ός σ ά βάσ ις ι ές ια ώσ ις ι ώ ο άσ ασ ήσ , θ ά αι α ίσ οφα.

ια ύ σ ι ώ σ ο ισ ώ αθ ώ . ισό α ι ώ , ς ια σ α ι ή α ό ι ς ισό ας θ ά ά ή ιώ

σ ό ιο σ . . σ ο ισ ός α ά ι ώ ια σύ ισ σ «σύ θ α» σ ή α α ο ί αι

ασ ιό α . ο Α . σ ασία ς «βο θ ι ής α ής» σ α ο ι ι ή ια ι ασία ό ισ α I ς §. . .

ο ί αι α ο οι θού σ ια ό ασ οι ο άσ ις ο α ί ο ι ο ό ο, ιά σο


18

αι ο ύ ος α ό ο φή ισοσ ούς ι ώ ο ό ισ α I σ . , ό ισ α I σ . , ό ισ α I σ . .

α ί ό ασ α ή ο ί αι α ί ι ια α ά σ ς φα ο ής ς σ . ια α ό ι ς ο οίας α ού α ι ή ια ισό ας ι ώ .

ίσ ς, σα ια ιαία ό ασ , ο ί α θ ί α ό ο ς αθ ές α ί ο ό ι σ ίσα ί α α ύο α σ οι ία ο ς ιά σος, ύ ος, ι ο ό ος ο α ισ οι ού σ ο ό ο ς ές ί αι ίσ ς ίσα . . άσ σ i έ σ ς σ . , άσ σ έ σ ς σ . . ιαία ο ού α α ι ισ ού , ς α ίσ οφ ς ο άσ ις, α ο ίσ α α V ς § . αι , V ς § . ο

α αφέ ο αι σ ις σ έσ ις ο ώ αι α ίσ οι ό . σ ό ο α ά ι ς ι α ι ής α ίας ι ώ ό ο ί αι α ο ίσ α α

ς § . αι ς § . , ο αφο ού σ σο άθ ο ή α ος, αθώς αι ο θ ώ α V ς § . , ο αφο ά σ ι ο ό ο ίας, α ι α θού ιαία ς α α ί α α βασι ώ ι ώ ό . ι έ α, ο ί αι οι αθ ές ώ α α ι άσο ο ς σ ι έ ο ς

ι ούς ό ο ς αι σ σ έ ια α ο ς α ο ί ο ο ί ο αι οι ασ ιό ς . , . αι . ο Α .


ο ι ο ί α α « ο ι ή ιο ισό ας ι ώ ο » α ό α ο ισ έ α σ ο ι ά βιβ ία, οι αθ ές σι ο οιώ ας ις

ώσ ις ο ς, έ ο αι ά αι οι ιώ ο αι έ οια ς ισό ας ι ώ . Α α ού α α ήσ ις, ι ό αι

βι α ι ό ό ο, ο ός ο οσφέ ι ο α ασ ασ ι ό ιβά ο ο ό οσ ο .



ο ι ο ί α α «Ύ ος, ιά σος αι ι ο ό ος ς ο φής ισοσ ούς ι ώ ο » α ό α ο ισ έ α σ ο ι ά βιβ ία, οι

αθ ές ο ού αι έσα α ό ι α α ισ ούς αι ι ασί ς σ ύ σ ς σ έσ ς ο σ έ ι ο ύ ος, ιά σο αι ι ο ό ο ς ο φής ός ισοσ ούς ι ώ ο . α ά α αθαί ο ια ο ό ο ς ι ασίας αι ο ι α α ισ ού σ ια ι ασία ς ύ σ ς σ έσ α ύ ι ώ

α ι ι έ . http://photodentro.edu.gr/v/item/ds/8521/2277

§ . α ια θ ί ώ α

§ . - § . α ια θού ώ ς

ύ α α άφ α ώ ί αι έα ια ο ς αθ ές. α ισ α θ ί σ ο ς αθ ές ό ι ι ι ή α ισό α α ο ί ι ή ιο ια ο ό ία θύ α α ή α α α ο ού ές ι ώ ο ο ί αι ασ ιό α . ο Α . ό ος ί αι οι αθ ές α ια ισ ώσο

α α αιό ά ς, α ά αι ι ο ι ό ά ς, ια α ασ ή ός ι ώ ο . ίσ ς, ο ί ο αι οι ασ ήσ ις αι Α ο ι ι ές , ο ια α α ύο αι α όσ ασ

σ ίο α ό ύ ο αι σ έσ ις ο ώ αι ό α ίσ οι α.


α άσ α α ασ ά ο αι ί α ή ώ ις ι ές α,β αι ια ις ι ώσ ις ο α α ά ί α α.

α β

5 6 7

10 3 4

8 9 10

12 3 5




19

Α ύο ές ι ώ ο έ ο ή αι : α α ώσ ι ι ές ι ές ια ί ά, β α β ί ο ιάσ α σ ο ο οίο αί ι ι ές ο ή ος ς ί ς άς.


ί αι θ ία αι ύο σ ία Α, ός α ής. α β ί θέσ ο σ ίο ς θ ίας, ια ο ο οίο:

α ο άθ οισ α Α + ί αι ά ισ ο, β ιαφο ά Α - ί αι έ ισ .

α ύσ ο όβ α σ ί σ ο α Α αι β ίσ ο αι α έ θ ς θ ίας αι σ ί σ ο β ίσ ο αι ος ί ια ιά.

ά ι σ ίο , ώσ ο άθ οισ α α ί ι έ ισ ο; Αι ιο ο ήσ α ά σή σας. ά ι σ ίο , ώσ ιαφο ά α ί ι ά ισ ; Α αι, οιο;

[ ό ιο-σ ό ος: ι αθ ές σι ο οιού ις α ισο ι ές σ έσ ις σ έ α ί ο σ ί σ οβ ή α ος]

§ . - § . α ια θού ώ ς α σ άσ α α ς § . ί αι σ ά σ ο ς αθ ές α ό ο άσιο. ι αι ιο ο ήσ ις, ό ς,

οέ ο αι α ό α θ ή α α ς § . . ο ι ό ο ς § . ί αι σ ό σ ο ς αθ ές αι ιά αι αι ια ις ι ές α ασ ές ο α ο ο θού ο ί ο αι οι . αι . ο Α .

§ . , § . α ια θ ί ώ α

ια α ά σ ι ώ α ασ ώ σ βά ι σ α α ό σ σ ά α ό ο ς αθ ές βάσ ις ι ιό ές ο ς αθώς αι σ α ά ς α α ι ής αι σ θ ι ής

σ έ ς ο οία ο ί α α ιο οι θ ί αι σ αθ α ι ές σ ι ές ιο ές. ο ί αι α ί ο α ά ο αιό α α οβ ή α α αι ς § . αι α οβ ή α α αι ς § . .


§ . , § . , § . , § . α ια θού ώ ς

ο σ α ι ό ο θέ α σ ις α α άφο ς α ές α ο ί ο «αί α α α ίας» ο ο οίο αθο ί ι φύσ ς ίας σ ο οία α αφ ό ασ . σ ασία ο «αι ή α ος α α ίας», ια ία ί ια αι ια ισ ο ι ή ς έ ι , ο ί α ιαφα ί α ό

σ οι ία ο α έ ο αι σ ο ισ ο ι ό σ ί α ς σ . αθώς ίσ ς αι σ ασ ιό α . ο Α . ι αθ ές ί αι σ α ι ό α α α ίσο α α ία ήσ ς ο ο ισ ού αι σ ασία ο άσ ς § . ο ο ού αι ο «αι ή α ος α α ίας» ς α ία

ια α ό ι ς α α ίας ύο θ ιώ . ο ί αι α ι ήσο οι αθ ές σ έσ ο θ ή α ος ς § . αι ς ό ασ ς I ς σ . σ ό ο α α α ίσο ό ι ο έ α ί αι ο α ίσ οφο ο ά ο .

ο ί αι, ι ια α ά σ θ ά ς α α άφο 4.5 α ισ α θ ί σ α ι ή ο σι ο οι ί αι σ ις α ο ί ις θ ά σ ι ά ο ώς ί ο ό ι

ις θ ί ς ιέ ο αι α ό ο ί ιο σ ίο, ια ί ί αι οι ία σ ο ς αθ ές, ια ι ασία ο οία α α ι ύ αι ις α ο ί ις θ ά ς α α άφο .

§ . , § . α ια θού ώ ς

ο ί αι ο θ ώ α ς § . α σ θ ί α ο ίσ α α ς σ . , ώσ οι αθ ές α α α ίσο ό ι ο σ έ ασ α ο θ ή α ος ί αι ισ ό ο α ό α ο ίσ α α αι ό ι α ό οφ ί αι σ ήσ ο «αι ή α ος α α ίας» σ α ό ι ή ο . ο ί ιο ισ ύ ι αι ια ο

ό ισ α i ς σ . σ σ έσ ο ώ α ς σ . . ο ί αι οι αθ ές, σι ο οιώ ας ο άθ οισ α ιώ ι ώ ο , α β ο ο άθ οισ α ιώ α ύ ο , α ώ ο .α., α ι άσο ο άθ οισ α ιώ - ώ ο αι α

α ο ί ο α ίσ οι σ έσ ο ί αι ασ ιό α ο α ισ οι ί σ ο σ ό ο ο Α . ί αι έ σι α ό α σύ σ ς ίας αι Ά β ας. α ισ α θ ί, ίσ ς, σ αθ ό α ο αθ οίσ α ος ι ώ ιώ - ώ ο .

20


ο ι ο ί α α « ο άθ οισ α ιώ ι ώ ο » α ό α ο ισ έ α σ ο ι ά βιβ ία, οι αθ ές ι ού ο άθ οισ α

ιώ ός ι ώ ο αι ο ού αι σ α ια ά α ό ιαίσθ σ σ ι ή α ό ι ο σ ι ού θ ή α ος.

http://photodentro.edu.gr/lor/r/8521/2265


α σ ώσ ο α ό ο θο ί α α. σ ή « ί α» α σ ώσ ο α ιθ ό ι ώ σ α ο οία ί αι ο

ο ύ ο α ό ια ώ ιο ς ο ά ο αι α ό ία ο φή ο .

Α ιθ ός ώ ί α Άθ οισ α ιώ ού -

ώ ο

4

5

6

…

ο ί α οσ ιο ίσ ο ύ ο ο αθ οίσ α ος ιώ ού - ώ ο ; [ ό ιο: Α ή ασ ιό α α οσ ο ί σ ιο ία ι ασίας, ο θα ο ήσ ι σ α ό ι ο ύ ο .]

σ ο ι ό ί α α ια θού έ ς ώ ς

ο ισ ο ι ό σ ί α α α ι ύ αι σ ασία ο ο αι ή α ος σ ιο ία ς ί ιας ίας αι α ο σιά αι σ ή σ αι οι α α ήσ ις ο ο ά σ

ια ύ σή ο , έ ι ο ο αιώ α, αι ο ι ά ο ή σα σ ιο ία - ί ι ιώ . ο ί αι, θ α ο ο ία ο ισ ο ι ού σ ιώ α ος, α σι ο οι θ ί ια α

ί ο σ ι ές ασί ς α ό ο ς αθ ές.


α ά .ggb α βάσ


§ . , § . α ια θού ώ ς

α ισ α θ ί ό ι αθέ α α ό α ι ή ια ια α α α ό α α ιέ ι ις ά ισ ς ι ιό ς ο α αι ού αι ια ί αι ισο ύ α ο ο ο ισ ό ο α α ο ά ο ο ί αι

ασ ιό α . ο Α . ο ί αι α θ ί α ό ο ς αθ ές α ι ήσο α έ α ά ο ις ο α έ α ι ές α ά ς αι ις ά ς ο ίσ ς ί αι

α α ό α ο. ια φα ο ή ι ιο ή α α ο ά σ ί σ οβ ά ο ί α α ιο οι θ ί ασ ιό α . ο Α .

ο ι ό ασία:

α ι έ έ α α ό α ι ή ια ο αθισ ού έ α ά ο, α α ό α ο. ώ ας ο ι ή ιο ο ι έ α ς ο ισ ό, α α ο ί ο α ιό ο ισ ό αι ις

ι ιό ς α α ο ά . [ ό ιο: α ή ασία, οι αθ ές ια ί ο ο ο ισ ό α ό ις ι ιό ς αι α

ι ή ια αι ά ο ο ισο ύ α ο α ύ ο ισ ού αι ι ίο ]

§ . - § . α ια θού ώ ς

α ισ α θ ί ό ι άθ έ α α ό α ι ή ια ια α ί αι έ α ά ο ο θο ώ ιο ή ό βος ή

ά ο ιέ ι ις ά ισ ς ι ιό ς ο α αι ού αι ια α ί αι ισο ύ α ο ο ο ισ ό ο ο θο ίο ή ο ό βο ή ο α ώ ο α ίσ οι α. ι ιώ αι οι αθ ές α

α α ί ο α ί α α ο ά ο θο ώ ιο, ό βος, ά ο βάσ α

http://photodentro.edu.gr/lor/r/8521/2265

21

α ίσ οι α ι ή ια αι ό ι βάσ ά οια ό α σ ή α α ο σ έο αι ο ι ή ία ο α οι ά . α οθ ί έ φασ σ α ι ό σ α α ο ά βάσ ις ι ιό ές ο ς β έ ι ι ή ασ ιό α σ ά σ ς α α ό σ ς ο ιο ί αι σ αθ ές,

ό ι έ α ά ο ί αι ο θο ώ ιο ή έ α ά ο ί αι ό βος. ο ί αι α θ ί α ό ο ς αθ ές α ι ήσο : α έ α ά ο ίσ ς ια ώ ι ς ί αι ο θο ώ ιο αι α έ α ά ο άθ ς ια ώ ι ς ί αι ό βος, αθώς αι α α ιο οιήσο ις ι ιό ς

α α ο ά σ ί σ οβ ά ασ ιό ς . , . αι . ο Α .


α ιο ήσ ια α α ι ή α α α άσ ασ ς α ι ο ίας α α ο ά . . ήσ οιο ο ι ού ά , ια ά α ος Venn).


άσ σ έ σ ς ο σ ο ι ού βιβ ίο ο ί αι α ο οι θ ί ιο ι ι ά ο ι ο ί α α

« ι σ ή α ιο ού οι ι ο ό οι ιώ ός α α ο ά ο ;» α ό α ο ισ έ α σ ο ι ά βιβ ία. βοήθ ια ο ο ισ ι ού οι αθ ές αβά ο ις ί ς αι

ις ές ός α α ο ά ο ια α ιο ήσο ι ασία σ ι ά ο σ ή α ο ιο ί αι α ό ις ι ο ό ο ς, ώ σ σ έ ια α ο ι ύο ι ασία α ή.


§ . – § . α ια θού ώ ς

ο ί αι α θ ί α ό ο ς αθ ές α ι άσο σ οια α ή α ή ο α σ ία ο ισα έ ο α ό ο α ά ς θ ί ς αι σ σ έ ια α α ο ί ο ό ι σο α ά ή ο ς

ί αι ο ού ος ι ός ό ος. ο ί αι, ίσ ς, ια α ά σ ς φα ο ής ς σ . . ο ί αι α θ ί α ό ο ς αθ ές α ι ήσο α ί ι ώ ο ο ο θό ο ί αι έσα ή έ α ό ο ί ο. α ο ούσα α α α θού α α ι ές α ο ί ις ια α θ ή α α ο αφο ού σ ις ι ιό ς ο ο θο ίο ι ώ ο .

ο ί αι α ό ι ο θ ή α ος ς α α άφο 5.7 α α ο έσ ι α ι ί ο ια α ά σ ς σ ά σ ό ο α ά ι θο ο ο ι ώ σ οι ί ς.


ο ί αι α σι ο οι θ ί ι ι ά ο ι ο ί α α « σ έσ ς ο ί ο σας ός ο θο ίο ι ώ ο

ιά σο ο α ισ οι ί σ α ή αι ί σ οβ ά σ έσ α ή». http://photodentro.edu.gr/v/item/ds/8521/5781

§ . , § . α ια θού ώ ς

ός α ό ο σ ι έ ο α ι ί ο α α άφ α ώ , ο ί αι α α ού οι αθ ές σ ί σ οβ ά ο σ ά ο ι ά θέ α α α ό ό ο ο φά αιο.

ο ί αι ίσ ς α σ θ ί ο ς αθ ές α ι ό σ α ύ ο σ ο ι ού βιβ ίο σ . αι, α ά ίσ ο αι ι ού, σ σ έ ισ ά ς α ι ο ήσ ις ό ς α αφέ ο αι σ ο ισ ο ι ό σ ί α σ . , .


§ . – § . α ια θού ώ ς

ό ος ί αι οι αθ ές α σι ο οιού σ έσ α έ ς αι α ίσ οι ς ί ς ίας σ ί σ οβ ά , αθώς αι α α α ί ο ς ο θές ις α έ ς ί ς

ο βαί ο σ ι ύ ιο. ίσ ς α σι ο οιού ο σ έ ασ α ο θ ή α ος ς § . ία ο ής αι φα ο έ ς .



22


α β ί ο έ ο ς ίας ύο ο σώ θ ιώ ύ ο , σ α ήσ ι ο ι ο έ α ό α ές ό ύ ο ο ί αι ασ ιό α α ο οι θ ί σ ιβά ο

α ι ής ίας .

§ . – § . α ια θού ώ ς

α ί ι α ή α αφο ά σ α ά αφο . ό ο ύ ο ο έ αι σ ή ία . ο ί αι, ς ισα ή σ ο όβ α α ι ό ας ός α ύ ο σ ύ ο, οι αθ ές

α ι ήσο οια α ό α σ ά ά α α α ό α ο, ο θο ώ ιο, ό βος, ά ο, α έ ιο ί αι ά ι α, βασι ό οι σ ις ι ιό ς α έ α ύ . ., ο ό βος ί αι ά ι ος σ ύ ο, ια ί α ή α ά ι ος θα έ

α έ ι ις α έ α ι ί ς ο α α α ι ές . ι ύ σ θα ο ούσ α αθ ί αι σ αία ά α αι βοήθ ια ο ισ ι ού , ώσ οι αθ ές α ι άσο α ι ή ια

α ι ό ας. ίσ ς, σ ό ος ί αι οι αθ ές α ια ί ο ιαφο ά α ύ θ ά ο ισ ύο ια

α ά ι α ά α αι σ α ι ή ια, ο έ ι α ισ ύο , ώσ α ί αι έ α ά ο ά ι ο ι ι ή ασ ιό α .


ο ώ ιο ί ο Α α ύ ο Α , , έ ο αι σ ο . ιάσ α θύ α α ή α α , αι .

α α β ί α ά ι α ά α ο σ α ί ο αι. β α α ο ί ό ι α ύ ο ι ώ ο Α ί αι ι ο ό οι

ιώ ο ι ώ ο .

ι ι ή φια ή ασ ιό α :

ώ σ α α ό σ ς ο ί αι α ι θ ί ο ι ο ί α α « ά ι α ά α» α ό α ο ισ έ α

σ ο ι ά βιβ ία. http://photodentro.edu.gr/v/item/ds/8521/2264

αι α ασ ήσ ο Geogebra α ό ι ύθ σ https://www.geogebra.org/download ή ιαφο ι ά ά ια ο α ίσ οι ο ο ισ ι ό σ ι ύθ σ http://photodentro.edu.gr/edusoft/.


ο ι ήσ ο φ ο ή Mozilla Firefox. Α φα ο ή ί αι σ flash θα έ ι α α ασ ήσ ο όσθ ο Adobe flash player

α ό ι ύθ σ https://get.adobe.com/flashplayer/. Α φα ο ή σι ο οι ί Java . . Geogebra , ό α ασ ήσ α ό ι ύθ σ http://java.com/en/. Α σ ί α έ όβ α σ ο ισ ό σ , ό οσθέσ ις ι θύ σ ις http://photodentro.edu.gr αι



ία Α΄ ά ς σ ι ού ι ού ίο

Η ι α έα ύ αθώς αι ια ί ισ ς α ί αι α ή ς Α΄

ά ς ο Η ήσιο .





http://java.com/en/



23

Ά β α ΄ ά ς σ ι ού ι ού ίο

. ι α έα ύ

Α ό ο βιβ ίο «Ά β α αι οι ία ιθα ο ή Α΄ ι ού ίο »

φ. ο: όο οι

5.1 Α ο ο θί ς

5.2 Α ιθ ι ή όο ος ός ς α ό ι ς ια ο άθ οισ α ια ο ι ώ ό α ιθ ι ής

οό ο

5.3 ι ή όο ος ός ς α ό ι ς ια ο άθ οισ α ια ο ι ώ ό ι ής

οό ο

φ. ο: ασι ές Έ οι ς α ήσ

6.1 Έ οια ς ά σ ς

6.2 αφι ή α άσ ασ ά σ ς

6.3 ά σ f = α +β ός ς ίσ ς θ ίας ς ό ος αβο ής

φ. ο: έ ασι ώ α ήσ

7.1 έ ς ά σ ς: f = α 2

7.3 έ ς ά σ ς: f = α 2+β +

, ια ί ισ ι α έας ύ ς

α α ο ή ι α ι ώ ώ ο ο ί αι ί αι ι ι ή. έσα σ α ές ις ώ ς








φά αιο ο

ο ί αι α ια θού 15 ι α ι ές ώ ς

ο φά αιο α ό οι αθ ές ισά ο αι σ έ οια ς α ο ο θίας α α ι ώ α ιθ ώ αι

ού ι ώσ ις α ο ο θιώ ο φα ί ο ά οι ς ι ι ές ο φές α ο ι ό ας,

α ιθ ι ή αι ι ή όο ο. ι ι ό α:


α οθ ί ο αιό α σ α α ώ ισ ς α ο ο θίας ς α ισ οι ίας φ σι ώ σ ο ς

α α ι ούς α ιθ ούς αι σ οι ί σ αθ ώ ο σ βο ισ ό . . ό ι ο φ σι ός

α ιθ ός , έσ ιας α ο ο θίας α, α ισ οι ί σ ο α α ι ό α ιθ ό α1 ο α ο ί ο ώ ο

ό ο ς α ο ο θίας α ής , ο έ ο ό ι α ός σ ο ύ ι ο ς αθ ές ο ί αι

ασ ιό α . ο Α .


24


Α ι ά οι αθ ές ιά αι α ο ού α α α ίσο βάσ ο ο ισ ό α ια σ ι έ

α ο ο θία ί αι α ιθ ι ή όο ος . . ασ ιό α . ο Α . σ έ ια, α

οσ ιο ί ο ο -οσ ό ό ο ό ο έ οιο ο α ο ς βο θά α α ι φθού α ο ι ό ς, οι

ο οί ς ο ού α ο ς ο ήσο σ α ι ά σ άσ α α ο ί αι ασ ιό α .

ο Α ίς α ή α α αι . ο ο οί σ αι ί σ οβ ά ό ς άσ σ

ς Α΄ ά ας σ βά ι σ οιο ο ι ή α α ό σ ς έ οιας ς α ιθ ι ής οό ο .

α ό ι ο ύ ο ια ο άθ οισ α ώ ό α ιθ ι ής οό ο θα ι α θ ί.


ο ι ο ί α α «Ας φ ιά ο ια σ ά α» α ό α


ι ι ά ώσ ο αθ ής α ο θ ί έσα α ό

ι α α ισ ούς αι ι ασί ς σ α α ό σ οιώ ς

α ιθ ι ής οό ο .



ια α ά σ ς έ οιας ς ι ής οό ο ο ί αι α ί ι α α ισ οι ία

έ οια ς α ιθ ι ής οό ο . ο ί ο αι οι ασ ιό ς . ίς α ή α α αι

αι . ίς ο ώ α ο Α , ο σ ό ο έ ο α α ι φθού οι αθ ές α ο ι ό ς

ο θα ο ς ο ήσο σ ύ σ ο -σ ού ό ο ι ής οό ο . α ό ι ο ύ ο

ια ο άθ οισ α ώ ό ι ής οό ο θα ι α θ ί


έ α ο α ία ιό α α α έθ ιά ς, ια ιά ς, ς έ σ ώ αι ς

ί ό ι έ ι α ιο άσ ι α α έθ ιά ς θα ς αύ α άθ ό ο ο οσό ο ώ ο

ς α ά ώ. α ούς ς α ίας ς έ σ ώ αι ς ί ό ι έ ι α

ιο άσ ι α α έθ ιά ς θα ς ι ασία άθ ό ο, ο ο ού ο οσό ο

ώ ο ο . α ία σα σ ήθ ό ασ ο α ού ς. ί ί ιο; όσα

ή α α θα ί αι ο ώ ο ς, σ α α αι σ α α έθ ια ς, α ό ο α ού ς αι

όσα α ό ια ιά ς;

φά αιο ο


ι αθ ές, σ ο άσιο, έ ο έ θ ι σ αφή έ οια ς σ ά σ ς, ί ς ι ι ό

ό ο, αι έ ο ι ήσ ι σ οι ι ώς σ ι έ ς σ α ήσ ις. Α ίο ού

έ οια ς σ ά σ ς ιο σ σ α ι ό αι ι ό ό ο. ο ούς αθ ές

ιο ού αι α α οήσ ις αι ι ίς ι ό ς σ ι ά έ οια α ή, α ο έ σ α α

α ο σιά ο οβ ή α α σ α α ώ ισ ιας σ ά σ ς, αθώς αι α ο ού α

ι ισ ού ι ία ιαφο ι ές α α α ασ άσ ις ς ί ιας σ ά σ ς . . ί α ας ι ώ ,

α β ι ός ύ ος, αφι ή α άσ ασ . ια ο ό ο α ό θα έ ι οι αθ ές, έσ α ά


25

ασ ιο ή , α σι ο οιού , α σ έο αι α ύο ις α α α ασ άσ ις ιας

σ ά σ ς αθώς αι α ο ί ο ο ή α α αι ο έ ς ιο ή α α αθ ιάς

α ώ . α ι ή ασ ό σ αθ ώ ί σ ισώσ αι α ισώσ ια

ύ σ ο ίο ο ισ ού βο θά σ α α ό σ ς έ οιας ς σ ά σ ς αι ί αι

σ ο ύ α ς ι ασ α ίας.

ι έ οι ς « α α ό φ - ο ι ό ια α ό ισ α ύ ς», « ο ο ο ία – α ό α α - σ ί ς

σ ά σ ς», σ ι α βά ο αι σ ι α έα ύ , ό ς α α ύσσο αι σ ις α α άφο ς

. αι . . ι έ οι ς α ές θα θού σ ις ι ι ές ι ώσ ις σ α ήσ ς ο φής:

f(x =αx+β § . , f(x =αx2 § . αι f(x =αx

2+βx+ § . . ι ι ό α:

§ . - § . ο ί αι α ια θού ώ ς

ο ί αι α οθού α ι ά σ ι έ α α α ί α α ο ο οί σ ς α ασ άσ , ώσ α

α α ι θ ί σ ασία ς έ οιας ς σ ά σ ς ια ις φα ο ές, αι σ σ έ ια α

α ο ο θήσ ι ο ι ός ο ισ ός. α οθ ί έ φασ σ α α ώ ισ αι ί σ , βάσ ο

ο ισ ό, α α ισ οι ί ς ο ί ο αι ιάφο ς α α α ασ άσ ις ί αι σ α ήσ ις ή ό ι οι

ασ ιό ς . , . αι . ο Α ι ο ού ος α ή α ύθ σ , σ σύ σ

ιαφο ι ώ α α α ασ άσ ιας σ ά σ ς ύ ος, ί α ας ι ώ αι αφι ή α άσ ασ

αι σ ία ιας ο έ ς αφι ής α άσ ασ ς ια ί σ ός οβ ή α ος . O

ι ός ο ισ ός ς ο ο ο ίας θα σ θ ί σ ά . ο ί ό ς α ά ίσ ο

ι άσ ο α α ισα θού ιαισθ ι ά οι έ οι ς ς ο ο ο ίας αι α ό α αι α ί ι

α α ώ ισ ο ς σ αφι ές α ασ άσ ις. ι έ οι ς α ές α ο ού ασ έα ύ .

Σκθέα αδ σ δ κ τπκμ βμ απσ α βμ τκ βη έωθ απκ ζ έ ηέα Ϊζζβ Ϋεφλα β κυ Πυγαΰκλ έκυ Θ ωλάηα κμ η σλκυμ υθ αΰηΫθωθ, αθαεαζ έ δμ Ϋθθκδ μ ωθ παλαΰλΪφωθ βέγ εαδ βέζ έ εαδ πλκ φΫλ αδ ΰδα υπκζκΰδ ηκτμέ πδ βηαέθ αδ σ δμ

) Η απσ διβ κυ τπκυ θ απκ ζ έ αθ δε έη θκ ιΫ α βμ εαδ ωμ φαληκΰΫμ κυ γα δ αχγκτθ κδ α εά δμ ζ εαδ η έ ) θ γα δ αχγ έ β φαληκΰά βμ ζέ αμ 1ηη

ο ί ο αι οι ασ ιό ς . αι . ο Α

ι ι ή

ασ ιό α :

i οιό α ό α

έ ι α

φα όσο ια

α ο ο ίσο

α ό όσα σ ία θα α ο ί αι ο ο σ ή α ;

ii Α ό όσα σ ία θα α ο ί αι ο ο σ ή α ;


Α α ασ ήσο ια όσ α ι ι ί ς α ι ι ί ί αι ια ι ή ο σία

σι ο οι ί αι ια θ α ία α α σ ι ώ οι ώ σ ι ιοσ ό α α αι W

α ασ ήσο ο βά ος αι ιού σ ι ά, ό ίσ σ = W ί ι έ α α ό α ια

26

ύ σ ς έ ισ ς ασφα ούς ήσιας όσ ς ο φα ά ο ς α ι ι ί ς ια αι ιά

ο ί ο ι ό ο α ό ι ά.

α ίσ σ φ ά ι σ ά σ ; α αι ιο ο ήσ ο σ ο ισ ό σας.

β οι ς ί αι οι ο ι ές ι ο ές ια α ά αι α έ αβ ή;

α ιο ήσ έ α ί α α ι ώ αι ια αφι ή α άσ ασ .


ι αθ ές έ ο ια α α θ ί αφι ή α άσ ασ ς θ ίας =αx+β σ ο άσιο. ώ

ο ί αι α οθ ί έ φασ σ ι ύ σ ο ό ο α α έ α αι β σ αφι ή

α άσ ασ ς f(x =αx+β, ώσ α ο ύ ο οι σ ι ές θέσ ις θ ιώ σ ο ί ο ό ί αι

α ά ς α ύ ο ς, ό α ί ο αι, ό έ ο ο ά ο α y y σ ο ί ιο σ ίο .

ίσ ς ο ί αι, αφού οι αθ ές α α ήσο ήσ ς αφι ής α άσ ασ ς αι ο

ί α α ι ώ σ ι έ α ι ώ σ α ήσ ώς αβά ο αι οι ι ές ς σ ά σ ς

ό α αβά αι α ά αβ ή, α α α ή ο σ ι ό α σ άσ α α ο

αφο ού σ ο ο ο ία ς σ ά σ ς αι α α φ άσο σ βο ι ά, αθώς αι α

ι ήσο ο ό ο ς α α έ ο α σ σ έσ α ά ο ί αι ασ ιό α . ο

Α .


Έ ας αθ ής ο ά ι ύ ιο αι αί ι θ ί ς ο ό, ώ ό α ο ά ι α ού α

αί ι θ ί ς ο ό. αθ ής θέ ι, ο ώ ας, α ά ι θ ί ς.

α Α ο αθ ής θέ ι α ο ήσ ι ύ ιο ά, όσα ά έ ι α ο ήσ ι

α ού α ια α ά ι σ ο ι ά θ ί ς.

β αθ ής α οφασί ι όσο ό ο θα ο ήσ ι ύ ιο αι σ σ έ ια ο ο ί ι όσο

ό ο έ ι α ο ήσ ι α ού α ια α ά ι θ ί ς.

βi Α x ί αι ο ό ος σ ά ο ο αθ ής ο ά ι ύ ιο, α α ο ί ό ι ο ύ ος

ς σ ά σ ς ο φ ά ι ο ό ο ο έ ι α ο ήσ ι α ού α ια α ά ι

θ ί ς ί αι: 330

4f x x

βii α β ί ο ίο ο ισ ού ς σ ά σ ς ο ή α ος βi , σ ο αίσιο ο

σ ι έ ο οβ ή α ος.

α α ά αφι ή α άσ ασ ς σ ά σ ς ο ή α ος β , α β ί α

σ ία ο ής ς ο ς ά ο ς αι α ύσ σ ασία ο ς σ ο αίσιο ο

οβ ή α ος.


ο ι ο ί α α « ό ος σ σ ώ σ =α +β» α ό

α ο ισ έ α σ ο ι ά βιβ ία, ο ί α σι ο οι θ ί

ι ι ά, ια ισα ή σ σ ά σ f = α +β έσ

ς ι ύ σ ς ο ό ο άθ σ σ ή σ ο σ α ισ ό

ς θ ίας =α +β αι ίας ς σ έσ ς ώ ς

άθ ιας α ό ις ο οι ο έ ι ς θ ιώ , ια α σ αθ ό αι β

αβα ό ο αι α ίσ οφα.

27


φά αιο ο


ο φά αιο α ό οι αθ ές ού σ ά σ =αx2 αι ις ι ιό ές ς. ίσ ς,

αφ ία =αx2, α ασ ά ο αφι ή α άσ ασ ς σ ά σ ς f x =αx

2 + βx +

ο οία σ σ έ ια σι ο οιού ια α ήσο ι ιό ς ς f. ι ι ό α:


ι αθ ές σι ο οιού ί α ς ι ώ αι ο ισ ι ό ια α ά ο αφι ή α άσ ασ ς

σ ά σ ς =α 2. έσα α ό α α ή σ ς αφι ής α άσ ασ ς αι ι ώ ι ού

ο ο ο ία, α α ό α α αι ις σ ί ς σ α ήσ g(x)=x2 αι h(x)=-x

2. βοήθ ια

ς αφι ής α άσ ασ ς ι ύο α α α ά σ άσ α α ια σ ά σ f =α 2

ο ί αι ασ ιό α . ο Α ή ήσ ο ισ ι ού αι α φ ά ο σ βο ι ά.


ο ι ο ί α α « ι αβο ές ς σ ά σ ς =α 2» α ό α


ι ι ά ια έ ο ο ο ίας ς σ ά σ ς =α 2 ό α

α> ή α< .



ο ι ο ί α α « α ο ίσ ις ς =α ²» α ό α


ι ι ά α ό ο ς αθ ές ια ο ι ό ια αι α α ό φ

α ό ισ ς =α ² α ά αι ύ σ ο ύ ο ς σ έα

θέσ αι α ι α α ισ ού ια ο σ ασ ό ύο α α ά α ο ίσ .



α οθ ί έ φασ σ ά α αι ι ύ σ ς αφι ής α άσ ασ ς σ ι έ

ο ι ώ σ α ήσ ς ο φής f(x =αx2+βx+ αι σ ιαισθ ι ή έ ς ο ο ο ίας,

α ό α αι ς σ ίας ς σ ά σ ς βοήθ ια ς αφι ής ς α άσ ασ ς.

ί σ α α ά οιώ θα ι α ού σ ίο .

ι ι ό α, όσο αφο ά σ ά α ς αφι ής α άσ ασ ς αι σ έ ς σ ά σ ς

f(x =αx2+βx+ , ι έα ο β ίσ αι αι ίσ α ό ασ ιό α . ο Α ί αι ής: ι

αθ ές σι ο οιού ί ί α ς ι ώ ί ο ισ ι ό ια α α ά ο αφι ή α άσ ασ

ς =αx2+ αι α σ ί ο =αx

2, ο οί ς ια =α x+ 2 αι ι ά ια

=α x+ 2+ . α ό ο ό ο ισά ο αι ιαισθ ι ά σ ις α ο ίσ ις, ις ο οί ς θα

ι ύσο σ ίο . Α σι ο οι θ ί ο ισ ι ό, οι αθ ές ο ού αφού α ά ο

αφι ή α άσ ασ ς g(x =αx2 ια ιάφο ς ι ές ο α α α ο ίσο ο ά ς ο ι ό ια




28

ια ιάφο ς ι ές ο . . α ά ο ά ς α ισ ά, α ά ο ά ς ιά αι α

α α ήσο ο φή ο αί ι ο ύ ος ς σ ά σ ς. σ έ ια α α ο ίσο

ο ά ς α α ό φα ια ιάφο ς ι ές ο . . α ά ο ά ς ά , α ά ο ά ς ά αι

α ά ο α ά ο ς α α ήσ ις. ά ο ας ις ύο α ο ίσ ις ο ού α α α ήσο

ό ι σ ά σ ο θα ο ύ ι θα ί αι ς ο φής f(x =α x+ 2+ .

έ ος, ί ο αι σ ο ς αθ ές σ ι έ ς σ α ήσ ις ς ο φής f(x =αx2+βx+ αι ί οι

οσ αθού , α ά ς α ο ίσ ις ς g(x =αx2, α ο θού σ αφι ή α άσ ασ ς f.

σ έ ια ού , βοήθ ια ς αφι ής ς α άσ ασ ς, ι ιό ς ς f αι ί ο

α σ άσ α α ο αφο ού σ ο ο ο ία, σ α α ό α α αι σ ις σ ί ς ς g = αx2 σ

f(x =αx2+βx+ .

ίσ ς, α ί ι ι ή ία σ ασ ά § . αι § . ί ς αι όσ ο

ι ύ ο βοήθ ια ς αφι ής α άσ ασ ς ς σ ά σ ς f(x =αx2+βx+ ο ί αι

ασ ιό α . ο Α . ι α ι ά έ ι ι ιαί ο ιαφέ ο α σ ιασ ού οι έ ι βασι ές

ι ώσ ις ο αφο ού σ ις ι ές ς ια ί ο σας > , = αι < σ α ό ς ο

όσ ο ο α α> , α< ώσ οι αθ ές α σ έσο αφι ή α άσ ασ α α β ι ά

σ άσ α α ο ή σι ο οιού


α α σ ώσ ο α α ά ί α α ι ώ σ α ήσ : φ x)=x2, f(x)=(x-3)

2,

g(x)=(x+3)2.

x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

φ x)=x2 0

f(x)=(x-3)2

0

g(x)=(x+3)2 0

β βάσ ο α α ά ί α α ι ώ , α α ά ις αφι ές α ασ άσ ις

σ α ήσ φ, f αι g.

οια α ό ισ ς αφι ής α άσ ασ ς ς φ, ί ι αφι ή α άσ ασ ς f αι

οια α ό ισ ς αφι ής α άσ ασ ς ς φ ί ι αφι ή α άσ ασ ς g.


Έ ας ο ό ος ιού σ ι α ή α αβο ή ια α

α ο σιάσ ι θ ο ασία ιας ό ς ια σ ι έ έ α

ο έ ο ς, ό ο ο ί αι ο α ιθ ός ώ ά α σά α αι

ο y ί αι θ ο ασία σ βαθ ούς σίο .

α ί σ ά σ f ο α ισ οι ί σ α α ά αφι ή

α άσ ασ .

β οια ί αι ιο ύα θ ο ασία έ α ί ;

29

ί σ : ο ί α α βάσ ις φια ές ασ ιό ς αι α ις α οί ο ι ά ο

α ίσ οι ο ο ισ ι ό. Α έ α σ έ ο ο ο ισ ι ό, ό α ό ι αι ια α ίο

α ά .ggb α βάσ αι α ασ ήσ ο Geogebra α ό ι ύθ σ

https://www.geogebra.org/download ή ιαφο ι ά ά ια ο α ίσ οι ο ο ισ ι ό σ






Α φα ο ή σι ο οι ί Java . . Geogebra , ό α ασ ήσ α ό

ι ύθ σ http://java.com/en/. Α σ ί α έ όβ α σ ο ισ ό σ , ό

οσθέσ ις ι θύ σ ις http://photodentro.edu.gr αι http://digitalschool.minedu.gov.gr

σ ο exception site list σ α έ α security ς Java α οί ο Control Panel, Java, σ

α έ α security α ήσ Edit site list αι οσθέσ ις ύο ι θύ σ ις, ίσ ο browser

αι α α οί ο .




http://java.com/en/



30

Ω Α ΄ ά σ ι ού

. Α Α Η

Α ό ο βιβ ίο « ί ια ία Α΄ αι ΄ ιαίο ίο » Α ό ο ο ., ά ο ., α σού ., α ά ., ί .

φ. ο: α α ό α α – α έ ια . . ισα ή

. . α α ό α α

. . θο ώ ιο

. . ό βος

. . ά ο

. . φα ο ές σ α ί α ός ς α ό ι ς ο ή α ος

. α ύ ο ι ώ ο ός ς α ό ι ς ο θ ή α ος

. . ο ο θό ο ι ώ ο ίς ο ό ισ α .

. . ια ι ιό α ο ο θο ώ ιο ι ώ ο

. . α έ ιο

. . σοσ ές α έ ιο

φ. ο: α έ α σ ή α α . . ισα ι ά – ισ οί . . έσ α έ ς αι α ίσ οι ς ί ς ός ς α ό ι ς ο θ ή α ος . . ία ο ής αι φα ο έ ς ός ς α ό ι ς ο θ ή α ος

. . ασι οί ι οί ό οι σ ο ύ ο – ό ο ύ ο ο έ αι σ ή ία.

. . ο α έ ο ά ο

. . ο ά ι ο ά ο ός ς α ό ι ς ο θ ή α ος











31

φά αιο ο ο ί αι α ια θού 35 ι α ι ές ώ ς

§ . , § . α ια θού ώ ς

α ισ α θ ί ό ι αθέ α α ό α ι ή ια ια α α α ό α α ιέ ι ις ά ισ ς ι ιό ς ο α αι ού αι ια ί αι ισο ύ α ο ο ο ισ ό ο α α ο ά ο ο ί αι

ασ ιό α . ο Α . ο ί αι α θ ί α ό ο ς αθ ές α ι ήσο α έ α ά ο ις ο α έ α ι ές α ά ς αι ις ά ς ο ίσ ς ί αι

α α ό α ο. ια φα ο ή ι ιο ή α α ο ά σ ί σ οβ ά ο ί α α ιο οι θ ί ασ ιό α . ο Α .

ο ι ό ασία:

α ι έ έ α α ό α ι ή ια ο αθισ ού έ α ά ο, α α ό α ο. ώ ας ο ι ή ιο ο ι έ α ς ο ισ ό, α α ο ί ο α ιό ο ισ ό αι ις

ι ιό ς α α ο ά . [ ό ιο: α ή ασία, οι αθ ές ια ί ο ο ο ισ ό α ό ις ι ιό ς αι α

ι ή ια αι ά ο ο ισο ύ α ο α ύ ο ισ ού αι ι ίο ]

§ . - § . α ια θού ώ ς

α ισ α θ ί ό ι άθ έ α α ό α ι ή ια ια α ί αι έ α ά ο ο θο ώ ιο ή ό βος ή ά ο ιέ ι ις ά ισ ς ι ιό ς ο α αι ού αι ια α ί αι ισο ύ α ο ο ο ισ ό

ο ο θο ίο ή ο ό βο ή ο α ώ ο α ίσ οι α. ι ιώ αι οι αθ ές α α α ί ο α ί α α ο ά ο θο ώ ιο, ό βος, ά ο βάσ α α ίσ οι α ι ή ια αι ό ι βάσ ά οια ό α σ ή α α ο σ έο αι ο ι ή ία

ο α οι ά . α οθ ί έ φασ σ α ι ό σ α α ο ά βάσ ις ι ιό ές ο ς β έ ι ι ή ασ ιό α σ ά σ ς α α ό σ ς ο ιο ί αι σ αθ ές,

ό ι έ α ά ο ί αι ο θο ώ ιο ή έ α ά ο ί αι ό βος. ο ί αι α θ ί α ό ο ς αθ ές α ι ήσο : α έ α ά ο ίσ ς ια ώ ι ς ί αι ο θο ώ ιο αι α έ α ά ο άθ ς ια ώ ι ς ί αι ό βος, αθώς αι α α ιο οιήσο ις ι ιό ς

α α ο ά σ ί σ οβ ά ασ ιό ς . , . αι . ο Α .


α ιο ήσ ια α α ι ή α α α άσ ασ ς α ι ο ίας α α ο ά . . ήσ οιο ο ι ού ά , ια ά α ος Venn).


άσ σ έ σ ς ο σ ο ι ού βιβ ίο ο ί αι α ο οι θ ί ιο ι ι ά ο ι ο ί α α

« ι σ ή α ιο ού οι ι ο ό οι ιώ ός α α ο ά ο ;» α ό α ο ισ έ α σ ο ι ά βιβ ία. βοήθ ια ο ο ισ ι ού οι αθ ές αβά ο ις ί ς αι

ις ές ός α α ο ά ο ια α ιο ήσο ι ασία σ ι ά ο σ ή α ο ιο ί αι α ό ις ι ο ό ο ς, ώ σ σ έ ια α ο ι ύο ι ασία α ή.


§ . – § . α ια θού ώ ς

ο ί αι α θ ί α ό ο ς αθ ές α ι άσο σ οια α ή α ή ο α σ ία ο ισα έ ο α ό ο α ά ς θ ί ς αι σ σ έ ια α α ο ί ο ό ι σο α ά ή ο ς

ί αι ο ού ος ι ός ό ος. ο ί αι, ίσ ς, ια α ά σ ς φα ο ής ς σ . . ο ί αι α θ ί α ό ο ς αθ ές α ι ήσο α

ί ι ώ ο ο ο θό ο ί αι έσα ή έ α ό ο ί ο. α ο ούσα α α α θού α α ι ές α ο ί ις ια

α θ ή α α ο αφο ού σ ις ι ιό ς ο ο θο ίο ι ώ ο . ο ί αι α ό ι ο θ ή α ος ς α α άφο 5.7 α

α ο έσ ι α ι ί ο ια α ά σ ς σ ά σ ό ο α ά ι θο ο ο ι ώ σ οι ί ς.


32


ο ί αι α σι ο οι θ ί ι ι ά ο ι ο ί α α « σ έσ ς ο ί ο σας ός ο θο ίο ι ώ ο ιά σο ο α ισ οι ί σ α ή αι ί σ οβ ά σ έσ α ή». http://photodentro.edu.gr/v/item/ds/8521/5781

§ . , § . α ια θού ώ ς

ός α ό ο σ ι έ ο α ι ί ο α α άφ α ώ , ο ί αι α α ού οι αθ ές σ ί σ οβ ά ο σ ά ο ι ά θέ α α α ό ό ο ο φά αιο.

ο ί αι ίσ ς α σ θ ί ο ς αθ ές α ι ό σ α ύ ο σ ο ι ού βιβ ίο σ . αι, α ά ίσ ο αι ι ού, σ σ έ ισ ά ς α ι ο ήσ ις ό ς α αφέ ο αι σ ο ισ ο ι ό σ ί α σ . , .

φά αιο ο ο ί αι α ια θού 15 ι α ι ές ώ ς

§ . – § . α ια θού ώ ς

ό ος ί αι οι αθ ές α σι ο οιού σ έσ α έ ς αι α ίσ οι ς ί ς

ίας σ ί σ οβ ά , αθώς αι α α α ί ο ς ο θές ις α έ ς ί ς ο βαί ο σ ι ύ ιο. ίσ ς α σι ο οιού ο σ έ ασ α ο θ ή α ος ς § .

ία ο ής αι φα ο έ ς .


α β ί ο έ ο ς ίας ύο ο σώ θ ιώ ύ ο , σ α ήσ ι ο ι ο έ α ό α ές ό ύ ο ο ί αι ασ ιό α α ο οι θ ί σ ιβά ο

α ι ής ίας .

§ . – § . α ια θού ώ ς

α ί ι α ή α αφο ά σ α ά αφο . ό ο ύ ο ο έ αι σ ή ία . ο ί αι, ς ισα ή σ ο όβ α α ι ό ας ός α ύ ο σ ύ ο, οι αθ ές

α ι ήσο οια α ό α σ ά ά α α α ό α ο, ο θο ώ ιο, ό βος, ά ο, α έ ιο ί αι ά ι α, βασι ό οι σ ις ι ιό ς α έ α ύ . ., ο ό βος ί αι ά ι ος σ ύ ο, ια ί α ή α ά ι ος θα έ

α έ ι ις α έ α ι ί ς ο α α α ι ές . ι ύ σ θα ο ούσ α αθ ί αι σ αία ά α αι βοήθ ια ο ισ ι ού , ώσ οι αθ ές α ι άσο α ι ή ια

α ι ό ας. ίσ ς, σ ό ος ί αι οι αθ ές α ια ί ο ιαφο ά α ύ θ ά ο ισ ύο ια

α ά ι α ά α αι σ α ι ή ια, ο έ ι α ισ ύο , ώσ α ί αι έ α ά ο ά ι ο ι ι ή ασ ιό α .


ο ώ ιο ί ο Α α ύ ο Α , , έ ο αι σ ο . ιάσ α θύ α α ή α α , αι .

α α β ί α ά ι α ά α ο σ α ί ο αι. β α α ο ί ό ι α ύ ο ι ώ ο Α ί αι ι ο ό οι ιώ ο ι ώ ο

.

ι ι ή φια ή ασ ιό α :

ώ σ α α ό σ ς ο ί αι α ι θ ί ο ι ο ί α α « ά ι α ά α» α ό α ο ισ έ α

σ ο ι ά βιβ ία. http://photodentro.edu.gr/v/item/ds/8521/2264

αι α ασ ήσ ο Geogebra α ό ι ύθ σ https://www.geogebra.org/download ή ιαφο ι ά ά ια ο α ίσ οι ο ο ισ ι ό σ ι ύθ σ http://photodentro.edu.gr/edusoft/.







33



Α φα ο ή σι ο οι ί Java . . Geogebra , ό α ασ ήσ α ό ι ύθ σ http://java.com/en/. Α σ ί α έ όβ α σ ο ισ ό σ , ό οσθέσ ις

ι θύ σ ις http://photodentro.edu.gr αι http://digitalschool.minedu.gov.gr σ ο exception site list

σ α έ α security ς Java α οί ο Control Panel, Java, σ α έ α security α ήσ Edit

site list αι οσθέσ ις ύο ι θύ σ ις, ίσ ο browser αι α α οί ο .

Ά β α ΄ ά ς Η ήσιο αι ΄ ά σ ι ού ι ού ίο


Α ό ο βιβ ίο «Ά β α ΄ ι ού ίο »

φ. ο: α ι ά σ ή α α

1.1 α ι ά σ ή α α ίς ις α ο ί ις σ ασ ά ς ο α α άφο « ύσ -

ι σ α ι ού σ σ ή α ος

1.2 α ι ά σ ή α α

φ. ο: ιό ς α ήσ

2.1 ο ο ο ία-Α ό α α- ί ς ά σ ς

2.2 α α ό φ - ι ό ια α ό ισ α ύ ς

φ. ο: ι ο ία

3.1 ι ο ι οί Α ιθ οί ίας

3.2 ασι ές ι ο ι ές α ό ς ίς α ό ι ς α ό ας

3.3 Α α ή σ ο o α ό ιο

3.4 ι ι ο ι ές σ α ήσ ις

3.5 ασι ές ι ο ι ές ισώσ ις

3.6 ι ο ι οί α ιθ οί αθ οίσ α ος ιώ ίς ις α ο ί ις ύ )

3.7 ι ο ι οί α ιθ οί ς ίας α ίς ις α ο ί ις ύ

φ. ο: ο ώ α - ο µι ές ισώσ ις

4.1 ο ώ α

4.2 ιαί σ ο ύ

4.3 ο µι ές ισώσ ις αι α ισώσ ις

4.4 ισώσ ις αι α ισώσ ις ο α ά ο αι σ ο ι ές.

φ. ο: θ ι ή αι ο α ιθ ι ή σ ά σ

5.1 θ ι ή σ ά σ

5.2 ο ά ιθ οι ίς α ό ι ο ύ ο α α ής βάσ ς

5.3 ο α ιθ ι ή σ ά σ α ι α θού ό ο οι ο α ιθ ι ές σ α ήσ ις βάσ ο

αι ο e .

II. ια ί ισ ι α έας ύ ς



ι ι ι ές ασ ιό ς ο ι α βά ο αι σ ις α ούσ ς ο ί ς ς ι έο ι α ι ό


http://java.com/en/



34

ι ό οέ ο αι α ό ο ό α α σ ο ώ ια ο ύ ιο αι ο ο ό ια ο αι ι ό

ο ο ήθ α σ ο αίσιο ς ά ς " έο ο ίο" αι ο ού α α α θού α ό ο

ισ ό ο ο ο : http://www.iep.edu.gr/neosxoleiops/index.php ]

ι έ α ς ι ασ α ίας ς ύ ς ς ά ς , ο ί αι α ια θού έ ς

ι α ι ές ώ ς ια α ά – ο ο ή σ ς ι α έας ύ ς ς Α΄ ίο α ό ο βιβ ίο

«Ά β α αι οι ία ιθα ο ή Α΄ ι ού ίο ».

σ έ ια θα α ο ο θήσ ι ι ασ α ία ς ύ ς ς ίο

φά αιο ο

ο ί αι α ια θού 4 ι α ι ές ώ ς)

§ .1. ο ί αι α ια θού 2 ώ ς

Α ό ο άσιο ί αι σ ή έ οια α ι ώ σ σ ά , αφι ή ί σή ο ς

αι α β ι ή ί σ έθο ο ς α ι α άσ ασ ς αι έθο ο α ίθ

σ σ ώ . έθο ο ο ι ο σώ α ί ο ό ο α ιθ ι ά α α ί α α.

§ . ο ί αι α ια θού 2 ώ ς

ο ί αι ί σ α ώ α ι ώ σ σ ά α ώσ ο ς, αθώς αι έ φασ σ

ι ή ία α ο σ ά . α ι α θού οι ασ ήσ ις αι ς ΄ ά ας.


ο ι ο ί α α « ισα ή σ α α ι ά σ σ ή α α» α ό α

ο ισ έ α σ ο ι ά βιβ ία, ί ι α ό α σ ο ς αθ ές α

ισα θού σ έ οια ο α ι ού σ σ ή α ος αι α

ι α α ισ ού ις ιάφο ς ι ές α α έ ο .


φά αιο ο


§ . αι . ο ί αι α ια θού ι α ι ές ώ ς

Α΄ ίο οι αθ ές έ σα f =αx2+β + , έσ α ο ίσ ς g =αx

2 αι

έ ασα ο ο ο ία αι α α ό α α α ής. ο φά αιο α ό ια ώ ο αι οι ι οί ο ισ οί

α α ά οιώ αι ά ο αι α ές αι ια ά ς σ α ήσ ις έσ αφι ώ

α ασ άσ ώ ο ς. έ φασ έ ι α οθ ί σ ι ή ία οιώ ς

ο ο ο ίας, α ο ά αι ς ά ιας – ι ής αι σ σύ σ ς ι ής ίας

α β ι ή έ φ ασ .


ο ι ο ί α α « αβο ή σ ί - ο ο ο ία - Α ό α α

σ ά σ ς» α ό α ο ισ έ α σ ο ι ά βιβ ία, ο ί αι

ια ισα ή σ έ οια ς σ ά σ ς ς σ αβο ή

σ ί αι ι ύ σ ι ιο ή ς σ αβο ής ύο

σ ί , ς ο ο ο ίας αι α ό α .





35

φά αιο ο



ι αθ ές σ ο άσιο έ ο σ α ήσ ι αι ασ ο θ ί ο ς ι ο ι ούς α ιθ ούς

ο ίας ίας ο θο ίο ι ώ ο αι α β ίας ίας. ο αι ού ιο ώ ί αι ισα ή ο

ι ο ι ού ύ ο ια ο ο ισ ό ι ο ι ώ α ιθ ώ . ι ή σ ο ι ο ι ό

ύ ο σ ί ο αι ό ς οι έ οι ς αι οι ι ιό ς ο ώ αι σ σ έ ις, έ φασ έ ι α

οθ ί σ α α ό σ αι σ ή ήσ ο . ίσ ς, α οθ ί έ φασ σ έ οια ο α ι ίο ,

σ σύ σή ο ις οί ς αι α α α άσ ασή ο σ ο ι ο ι ό ύ ο αθώς αι

σ « α ά » ς ι ής άς ιας ίας ά σ α ό .


α ί αι ία, ° ≤ ω < ° ο ι α ο οι ί ις σ έσ ις: η ω = 1

2 αι συ ω> . α

σ ιάσ ία ω ά σ ο ι ο ι ό ύ ο, α ήσ ια ί ί αι ο α ι ή

αι α β ί ο έ ο ς.

β α β ί ό ς ις ί ς φ ° ≤ φ < °, ο ι α ο οιού σ έσ η φ = 1

2 αι α

ις σ ιάσ ά σ ο ι ο ι ό ύ ο.


ί αι ο ύ ος ο σ ή α ος έ ο αι α ί α cm.

ίσ ς ί αι ο ό ο Α ή ος cm

αι α ίσ οι ί ία .

α α β ί ο έ ο ς σ rad.

β α ι αιο ο ήσ ό ι ο σ ί ο ο ς ίας ί αι

α ι ό.


ο ι ο ί α α « ι ί αι ο α ί ιο;» α ό α ο ισ έ α σ ο ι ά

βιβ ία, ο ί αι ια α α ό σ ς έ οιας ο α ι ίο αι

σύ σ α ύ ς έ σ ς ιώ σ οί ς αι α ι ί σ ο

ι ο ι ό ύ ο.



ο ι ο ί α α « ι ο ι ός ύ ος» α ό α

ο ισ έ α σ ο ι ά βιβ ία, οι αθ ές ισά ο αι σ ο ο ισ ό ο

ι ο ι ού ύ ο αι ι ο ι ώ α ιθ ώ ιας

ίας.




36


σ ό ος ς α α άφο ί αι α α ό σ σ έσ α ύ ι ο ι ώ α ιθ ώ

αι ια α ό οι αθ ές θα έ ι α α ού α ές ασ ήσ ις ο ο ισ ού

ι ο ι ώ α ιθ ώ ό α ί αι σ ός ο έ ας αι α ές α ο ί ις σ έσ . α ί ι

ι ο ή α ό ις ασ ήσ ις - αι α ό ις - ς Α΄ ά ας.


α ά ι ία θ η θ = 1

4αι συ θ =

3

4;

β ά ι ία θ η θ = 3

5αι συ θ =

4

5 ;

Α ό ι, αι ιο ο ήσ . Α αι, α σ ιάσ ια έ οια ία ά σ ο ι ο ι ό

ύ ο. όσ ς έ οι ς ί ς α ύ ° αι ° ά ο ;


α ά ι ο ι ο ι ού ύ ο σ α ή ο ο ισ ού ι ο ι ώ α ιθ ώ

σ ο βασι ό α ίο α α ής σ ο ώ ο α ό ιο ο ί α α ι α ασ ήσ ι

α ο ό σ ύ αι α α α α ή α ό ίς ό α. Α ό ο ί α ί ι α

θα θού οι αθ ές α σι ο οιού ις σ ί ς σ ο ό ι ο ι ό ύ ο.

ο ί αι α οθού ος ύσ οι ασ ήσ ις ς ΄ ά ας. ι ήσ ις α α ό σ ς αι

ο ού α σι ο οι θού ια α σ θού αι α ι ι ισ ού ές ο ού

ο ή ς ι ο ίας.


ο ι ο ί α α « ι ο ι οί α ιθ οί ιώ ο

α ά ο αι σ ο ο α ό ιο» α ό α ο ισ έ α

σ ο ι ά βιβ ία, οι αθ ές β ίσ ο ο ς

ι ο ι ούς α ιθ ούς ιώ ο οβο ή ο ς

σ ο ώ ο ύ ο ί αι σ ο ύ ο α ό ιο.

βοήθ ια ο ο ισ ι ού έσ ο α ώ α ι ά

α οσ ό ι ώ α α α ασ άσ , οι

αθ ές β ίσ ο σ α ιθ ο α ής ια σ ι έ

ία ο ά ο ώ ο ύ ο αι β έ ο ι ή ς α α α άσ ασ ά

σ ο ι ο ι ό ύ ο. σ έ ια, ο ού α ο ο ό ο α ό σ ο ώ ο, β ίσ ο

οβο ή ο σ ο ώ ο ύ ο αι ο ς ι ο ι ούς α ιθ ούς ς ίας α ής,

αφού α α ά ο σ ία ο ώ ο α ο ίο . έ ος, φα ό ο σ α ι ή

α ή αι σ ά ς ί ς.



έ οια ς ιο ι ό ας, ο σ έ αι ά σα φαι ό α ς αθ ι ής ής, ί αι ια

α ό ις σ α ι ό ς έ οι ς ο θα ι α ού οι αθ ές σ ίο . α έ ι οι ό α


37

οθ ί έ φασ σ α ή ι ιό α έσα α ό ις ι ο ι ές σ α ήσ ις αι ις αφι ές ο ς

α ασ άσ ις. ά α αφι ώ α ασ άσ ι ο ι ώ σ α ήσ ο ί α

σ ι ί σ ο ι ο ι ό ύ ο.

έ ι α ισ α θ ί ό ι α ά αβ ή ι ο ι ώ σ α ήσ φ ά ι

ό ο έ ο σ α ί ια αι ό ι σ οί ς. Αφού σ θού α α α ί α α ο σ ο ι ού

βιβ ίο , α ο ισθού α σ άσ α α ο ιέ ο αι σ ο ό ιο ς σ ί ας .

ο ί αι α ί ο α ά ο αιό α οι ασ ήσ ις , , , , αι ς Α΄ ά ας αι , αι

ς ΄ ά ας.


ία ό α α ί ας ισ έφ αι φο ά α ίθ α ό α ή ι ώ ο ο ο ιού

έ σι ώσ , άθ σ ίο ς ιφέ ιάς ς, α ια άφ ι σ έ α ό ο ό ο ός

α ι ίο . ο οθ ού ό α σ έ α σύσ α α ό α ή σ ο έ ο ς αι

θ ού έ α σ ίο ς Ρ, ο ο οίο ο ι ή σ ι ή β ίσ αι σ ο σ ίο , .

α α ήσ ια ί, ο ύ ος ο σ ίο Ρ σ σ έσ ο ά ο α x’x άθ ο ι ή σ ι ή t

σ sec) , t ≥ 0 ί αι α ό σ ά σ f(t = η t, t ≥ 0

β α σ ιάσ αφι ή α άσ ασ ς σ ά σ ς f(t) σ ο ιάσ α [ , ].

α β ί ις ο ι ές σ ι ές t ≤ t ≤ α ά ις ο οί ς ο σ ίο Ρ β ίσ αι σ ο

α ύ ο αι σ ο ι ό ο α ό ύ ος.

α οσ ιο ίσ α ο ι ά ιασ ή α α α ύ αι sec α ά α ο οία ο ύ ος ο

σ ίο Ρ ί αι α ύ ο ο , .

ού ώ α ο σ ίο Κ ς ό ας, ο ο οίο ο ι ή σ ι ή β ίσ αι σ θέσ

, . α ί ό ι ο ύ ος ο σ ίο Κ άθ ο ι ή σ ι ή t sec ί αι α ό

σ ά σ g(t = συ t, t ≥ 0.


ο ι ο ί α α « ιο ι ά φαι ό α: α ί οια» α ό α ο ισ έ α σ ο ι ά

βιβ ία άσ σ , ΄ ο ά ας , οι αθ ές σι ο οιώ ας ις ώσ ις ο ς, έ ο αι

ά αι οι ιώ ο αι έ οια ι ο ι ώ σ α ήσ . ίσ ς

ού ο φαι ό ο ς α ί οιας αι α α ού α α ήσ ις, ι ό αι

βι α ι ό ό ο, ο ός ο οσφέ ι ο ι ι ό ιβά ο ο Geoge ra.




38

ο ι ο ί α α «Π λδκ δεΫμ υθαλ ά δμ - Σκ ζα άλδκ» α ό α ο ισ έ α σ ο ι ά βιβ ία, οι

αθ ές χλβ δηκπκδυθ αμ δμ ΰθυ δμ κυμ, ηπζΫεκθ αδ θ λΰΪ εαδ ικδε δυθκθ αδ η βθ Ϋθθκδα ωθ π λδκ δευθ υθαλ ά ωθέ πέ βμ,

π δλαηα έακθ αδ η Ϋθα ζα άλδκ εαδ αθααβ κτθ απαθ ά δμ η λ υθβ δεσ εαδ ίδωηα δεσ λσπκ, ΰ ΰκθσμ πκυ πλκ φΫλ δ κ δ λ υθβ δεσ π λδίΪζζκθ κυ ύeogebraέ



ι ι ο ι ές ισώσ ις ί αι έ α σ α ι ό α β ι ό α ίο αι ί αι ο ώ ο ί ος

ο ι ώ ισώσ ο σ α ού οι αθ ές. ία ύ ύσ έ ι α

σ ι ί όσο σ ο ι ο ι ό ύ ο όσο αι σ αφι ή α άσ ασ α ίσ οι

σ α ήσ .

ο ί αι α ί ο άσ σ ii ς Α΄ ά ας αι ό ς οι ασ ήσ ις ς ΄ ά ας.


α ί αι ία σ rad , ≤ < ο ι α ο οι ί ις σ έσ ις: = 1

2 αι σ > .

α σ ιάσ ία ά σ ο ι ο ι ό ύ ο, α ήσ ια ί ί αι

ο α ι ή αι α β ί ο έ ο ς.

β α β ί ό ς ις ί ς φ ≤ φ < , ο ι α ο οιού σ έσ φ = 1

2αι α ις

σ ιάσ ά σ ο ι ο ι ό ύ ο.

α β ί ό ς ις ύσ ις ς ίσ σ ς x=1

2, x∊ℝ.


ο ι ο ί α α « ίσ σ =α» α ό α

ο ισ έ α σ ο ι ά βιβ ία, οι αθ ές β ίσ ο ις

ύσ ις ιας σ ι έ ς ίσ σ ς σ ο

ι ο ι ό ύ ο αι έσ ο α ώ α ι ά

α οσ ό ι ώ αι αφι ώ

α α α ασ άσ , ι ύο ις ύσ ις α ές σ ό ο

ο ‘. σ έ ια ιο ού ις ι ές ο ς ισώσ ις αι ις ύ ο α θ ύο ας

α ό ο α ις ύσ ις ο ς αφι ά.


§ . - & . : ο ί αι α ια θού ώ ς

ι ασ α ία ς α α άφο . α ιο ισθ ί σ α ές φα ο ές ύ έσα α ό ί ς

αι α ές ασ ήσ ις Α ο ά ας. Α ό α ά αφο . α ι α ού ό ο οι ύ οι , , ς



39

φα ο ές ς α α άφο . , αι α ί ο ασ ήσ ις. α ι α ού οι ύ οι , αι

ύ οι α ο α ισ ού .

φά αιο ο


Ό ι ασ α ία ο ύ θα έ ι α ο ισ ί – α ό ι α σ ιασ ί –

σ α σια ή οσέ ισ ο ύ . Α ή οσέ ισ α θα α έ ι σ ο ς αθ ές

α ό α όσβασ ς σ ι ές α α α ασ άσ ις ό ς ί αι αφι ή α άσ ασ

σ ά σ ς ο ο ού α βο θήσο σ α ό οσ οή α ος αι α α ό σ αι β θα

ιώσ ι ο ό ο αφ έ α β ι ώ οσ ίσ ο ύ ο σ έο αι

α α ό σ ού αι έ ι ασ α ία σ ο ι ώ αθ α ι ώ .


ο ί αι α α ο σιασ ού ί ο ισ ι ό, ί έ ο φή οι αφι ές α ασ άσ ις ι ώ σ α ήσ ό ς οι 3f (x) x ,

3f (x) x , 3f (x) x 3x ,

4 2f (x) x 2x ,

3 2f (x) x 3x 9x 11 . ό ος ί αι α α ή σ αι ο σ ο ιασ ός ι ιο ή ο ς,

σ ί ο ής ο ς ά ο ς, ά ο β ίσ ο αι ά ή ά α ό ο ά ο α x,

ο .

ο ί αι α ί ο α ά ο αιό α οι ασ ήσ ις αι , αι ς Α΄ ά ας αι , αι

ς ΄ ά ας.


Α ό έ α α ό ι ιασ άσ α οσ ώ όβο ά α

άς x ό ς φαί αι σ ο σ ή α σ ο ό α α ασ άσο έ α

ο ί α οι ό α ό ά .

α α β ί ια σ ά σ ο α φ ά ι ο ό ο ο ο ιού. ι

ι ές ο ί α ά ι ο x;

β ιά ς ισ ί αι ό ι όσο α ά αι ο x, ιώ αι ο ό ος.

α φ ιά έ α ί α α ι ώ ια α ια ισ ώσ α ο ιά ς έ ι

ί ιο.

α β ί οσέ ισ όσο έ ι α ί αι ο x ώσ ο

ο ί α έ ι ο έ ισ ο ό ο.


α σ ιάσ ις αφι ές α ασ άσ ις σ α ήσ 3f (x) x 3x αι 4 2g(x) x 2x

σι ο οιώ ας ά οιο ο ισ ι ό α ι ής

ίας. α α ώ ας ο σ ή α,

α α β ί α ιασ ή α α ο ο ο ίας αι α

α ό α α f αι g.

β ί αι ά οια σ ά σ ά ια ή ι ή;

α βά σ αύ ο σα σ ι ά ο ς α ιθ ούς g(–

2), g(–0,5), g(0), g(1), g(1,5).

40


α σ ιάσ αφι ή α άσ ασ ς

σ ά σ ς 2x 1

f (x)2x

αι θ ία 1

y x2

σι ο οιώ ας ο ισ ι ό α ι ής ίας.

α α ώ ας ο σ ή α,

α α β ί α ιασ ή α α ο ο ο ίας ς f.

β α άσ α f ί αι ά ια ή ι ή.

α β ί α ό αφι ή α άσ ασ α ά οσέ ισ ις ύσ ις ς ίσ σ ς f(x) = 2.

α αι ιο ο ήσ ο σ ο ισ ό σας.

α άσ ια οι ς ι ές ο c ίσ σ f(x) = c έ ι ύσ ις αι όσ ς. α

αι ιο ο ήσ α ά σή σας.

α άσ ια οι ς ι ές ο α θ ία y = αx έ ι αφι ή α άσ ασ ς f.

σ α β ί αφι ά αι α β ι ά ις ύσ ις ς α ίσ σ ς 2x 1 1

2x 2


ο ί αι α οθ ί έ φασ σ ήσ θ ά ς ο α α άφο " ιαί σ

ο ύ ο x– " αι ιο σ ι έ α, σ α ύ ο ς σ έσ αι σ σ έ ια ο έ ο ια

α α ο ο οί σ ο ύ ο . ια ο σ ή α Horner α ό ί αι α θ ί σ έσ ο ο ς

σ σ ές ο φα ί ο αι α ά ια ι ασία ς ιαί σ ς ό ς σ ο ισα ι ό α ά ι α

ο σ ο ι ού βιβ ίο ή ά ο α ιθ ι ό α ά ι α

ο ί αι α ί ο α ά ο αιό α οι ασ ήσ ις i, iv , , αι ς Α΄ ά ας. α

ί ο οι ασ ήσ ις , αι ς ΄ ά ας.


ό α α ή ισά ο αι έα α ία ια α α ο ο οί σ ο ύ έσ ς

ο οίας ι ύο αι σ σ έ ια ο ι ές ισώσ ις αι α ισώσ ις βαθ ού α ύ ο α ό .

Α αι οι α έ αι ς ί ς ός αίο ο ύ ο φα ί ο αι σ ά, α ό α α ά ο

θ ώ α ί αι έ α ήσι ο α ίο. Ωσ όσο, ια ύσ ο ι ής ίσ σ ς, έ φασ έ ι

α οθ ί σ ο αιό α ς α α ο ο οί σ ς ο α ίσ οι ο ο ύ ο .

οσ ιο ισ ός ί ας οσέ ισ ί αι έ α ήσι ο α ιθ ι ό α ίο ο ο ί α

σ θ ί ο ό ο ο θα ο ούσ α οσ ιο ίσ ι α ίς α έ αια ί α α ί σ

ιάθ σή ο ά οια ο ο ισ ι ή α ή. ί ς ό ς, α ή έθο ος, ι ή σ ί αι σ

ι ή ία ο . Bolzano, οσ ί ι σ α σια ή οσέ ισ αι

ο ι ο οί σ σ ι ό οιώ .

ο ί αι α ί ο α ά ο αιό α: ι ασ ήσ ις , , , αι ς Α΄ ά ας αι

οβ ή α α ς ΄ ά ας, α ο οία ο ού σ ί σ ο ι ώ ισώσ .


ια βιο α ία έ ι ο ο ίσ ι ό ι ια ήσια α α ή x ο ά α ό έ α οϊό έ ι όσ ος 2(x) 2x 120x 100 ι ιά ς ώ, ώ ώ σ α ώ x ο ά

ς α οφέ ι έσο α 3 2E(x) x x 20x ι ιά ς ώ. βιο α ία ο ί α α ά ι

41

έ ι ο ά ς α ού ο οϊό ος αθ ι ά.

α οια α α ή ί ι έσο α . ώ;

β όσ ς ο ά ς οϊό ος έ ι α α ά ι βιο α ία ια α έ ι έ ος;


α άσ α ίσ σ x3 + 2x -2 = 0 έ ι ί α α ύ α ιθ ώ αι . α

οσ ιο ίσ α ή ί α οσέ ισ α οσ ού, σι ο οιώ ας ο ο ισ ή σέ ς.

ο ί ο ί ιο ό ο α ια ισ ώσ α ά ι ί α ς ίσ σ ς α ύ

α ιθ ώ αι ;


ο ι ο ί α α « ο ι ή ίσ σ ο βαθ ού» α ό

α ο ισ έ α σ ο ι ά βιβ ία, οι αθ ές ι ού

σ έσ ι ώ ιας ο ι ής ίσ σ ς ο βαθ ού, α

σ ία σ α ο οία αφι ή α άσ ασ ς α ίσ οι ς

ο ι ής σ ά σ ς έ ι ο ο ι ό ιο ά ο α.



ό α α ή ι ύο αι ισώσ ις αι α ισώσ ις ο α ά ο αι σ ο ι ές, ό ς

ά ς αι ασ α ι ές ισώσ ις αι α ισώσ ις. α οθ ί έ φασ σ ο ο ός ό ι ύ σ

ώ ιας ίσ σ ς σ ο ά ο ο ί ά α σ ισο ύ α ίσ σ . Α ό ο ί α ί ι

αι βοήθ ια α α ά αφι ώ α ασ άσ .

ο ί αι α ί ο οι ασ ήσ ις αι ς ΄ ά ας.


α α ύσ ίσ σ x 3 x 1 1).

β α ύσ ίσ σ 2x 3 (x 1) 2)

α ήσ ια ί 1 αι 2 έ ο ις ί ι ς α ιβώς ύσ ις, α αι 2 ο ύ ι

α ό 1 α ώσο αι α ύο έ ς σ ο ά ο.

α ύσ αφι ά ις ισώσ ις ο α αι ο β ή α ος.

φά αιο ο



έ οια ς θ ι ής αβο ής ο σ έ αι σ α ι ό φαι ό α ς α α ι ό ας,

ο ί α α ο έσ ι ισα ή σ θ ι ή σ ά σ . Α αι σ ά σ α α α ι ά

φαι ό α ο ά , οι ι ές ς α ά ς αβ ής ί αι ια ι ές σ ά ί αι φ σι οί

α ιθ οί , έ οια φαι ό α ο ού α σι ο οι θού ια άβασ σ θ ι ή

σ ά σ , α ή σ ίο ο ισ ού ο ς α α ι ούς. έ φασ σ ι ασ α ία ς θ ι ής

σ ά σ ς έ ι α ί αι σ α οβ ή α α αι σ ις ι ιό ς ς θ ι ής σ ά σ ς ό ς


42

ο ύ ο α ό αφι ή ς α άσ ασ .

ο ί αι α οθ ί έ φασ σ α οβ ή α α ς ΄ ά ας, ο αιό α σ ις , αι .


α βα ή ια ί αι ο ύ ι οί, ο ο ύ α οι ο α ισ οί ο ί αι α ά οι ιο

ο θ ίς ο α ισ οί σ , οι ο οίοι α α α ά ο αι έσ ιας ι ασίας ο

ο ο ά αι ι ο ό σ : έ α ύ α ο ί αι σ έσ , σ α ί ο ας ύο "θ α ι ά

ύ α α". Έ α έ οιο βα ή ιο ί αι σα ο έ α salmonella , ο ο οίο σ θ ο ασία

ιβά ο ος ° C ιαι ί αι άθ ώ α αι σ α ί ο αι ο ά α βα ή ια.

Ας οθέσο ό ι σ ια ί α οφής ά ο βα ή ια σα ο έ ας αι ό ι

θ ο ασία ιβά ο ος ί αι ° C.

α α σ ώσ ο α α ά ί α α

ό ος σ ώ ς 0 1 2 3 4 5

Α ιθ ός βα ί 100

β α α ο ώσ α ο έ α ο ί α α σ ία σ α ά ο σύσ α ο θο ί

α ό . σ έσ α ύ ο α ιθ ού βα ί αι ό ο ί αι α ι ή; α

αι ιο ο ήσ α ά σή σας.

α ι ήσ ο ό ο ο θα ά ο α βα ή ια , β . βα ή ια αι

ισσό α α ό . βα ή ια σ ί α οφής.

α ά ια σ έσ ο α φ ά ι ο ήθος βα ί σα ο έ ας ς

σ ά σ ο ό ο . οιο ί αι ο ίο ο ισ ού ς σ ά σ ς ;

ο ού α ο ο ίσο α ά άσα ο ι ή σ ι ή ο θ σ ό βα ί ; α

ί α ό α ια ο σ ι έ ο όβ α οι α ι ές ι ές ια α ια ο ό ο αι β ια

ο θ σ ό βα ί ;


α οθού οι αφι ές α ασ άσ ις α ό ο θ ο ά σ α ήσ . α θ ί α ό

ο ς αθ ές α σ ί ο α αφή α ά ο ς αι α οσ ιο ίσο ό ο οιό ς αι

ιαφο ές ο αφο ού α ο ίο ο ισ ού, β ο σύ ο ο ι ώ , α σ ία ο ής ο ς

ά ο ς, ο ο ο ία, ις ασύ ς αι σ σ ία.

x x x x

1 2 3 4f (x) 2 , f (x) 3 2 , f (x) 3 2 , f (x) 4 2 .

xf (x) 2 ,

x1g(x) 2

4 .

x

1f (x) 2 , x

2f (x) 2 3 , x 3

3f (x) 2 , x 3

4f (x) 2 3

xf (x) 2 ,

x1

g(x)2

.


ο ι ο ί α α « ο ο ο ία ιας θ ι ής σ ά σ ς» α ό α

ο ισ έ α σ ο ι ά βιβ ία, οι αθ ές ι ού έ οια ς

ο ο ο ίας αι έ ς ο ο ο ίας ιας θ ι ής σ ά σ ς.

βοήθ ια ο ο ισ ι ού αβά ο βάσ ιας θ ι ής σ ά σ ς

αι α α ώ ας αφι ή ς α άσ ασ β ίσ ο ο ο ο ία ς

βοήθ ια ο ο ισ ού.



43


α α ό σ ο α ίθ αι ι ιο ή ο ς ο ί α σ ι ί σ ο ο ισ ό ο

ο α ίθ ο αι σ ις ή σ ές ι ιό ς ά . ια οσ άθ ια α ο ό σ ς

ύ αι ασ ά ίς ό α ί αι α ο ο ι ή αι θα ύ αι. Έ φασ έ ι α

οθ ί σ α α α ί α α αι ο ι άφο ί α α Richter ια έ σ σ ισ ώ

αι ο pH ια ο ύ α ός ια ύ α ος.

ο ί αι α ί ο α ά ο αιό α οι ασ ήσ ις ς Α΄ ά ας έ φασ σ α οβ ή α α

αι οι ασ ήσ ις , , ς ΄ ά ας. ο ί αι α ί ο οι ασ ήσ ις , αι ς ΄ ά ας.


ια α ό ή ο ο έ ς έ ασ ς Ι, έ ασ ο ο ι ι ού αισθή α ος ο

α ι α βά αι ά οιος α οα ής ο ο ά αι α ο σ ό α L ο ή ο . ια α ο σ ό α

L σι ο οι ί αι ς ο ά α έ σ ς ο decibel αι ια έ ασ Ι ο watt/m2.

Έ ι β θ ί ι α α ι ά ό ι α ο σ ό α L σ ί αι έ ασ Ι ο α ιθ ι ό

ό ο , σύ φ α ο ύ ο 0

IL 10 log

I , ό ο Ι0 ι ό έ ασ ή ο ο ο ί

α α ούσ ι ο α ί ο α θ ώ ο , αι ί αι ί ο ίσ 1210watt/m

2. α ο ο ίσ

α ο σ ό α α ού ή ο έ ασ ς: α -6watt/m

2 αι β α άσιας α ό ο Ι0.


α ' α ισ οι ία θ ι ή σ ά σ , έ φασ θα έ ι α οθ ί σ οβ ή α α αι σ ις

ι ιό ς ς ο α ιθ ι ής σ ά σ ς ό ς ο ύ ο α ό αφι ή ς α άσ ασ .

ο ί αι α ι α θού ό ο οι σ α ήσ ις f =log αι f =l . Ωσ όσο, ια ό ο ς

α α ό σ ς ς σ έσ ς α ίσ οι θ ι ή σ ά σ , θα ο ούσα α α αφ θού αι οι

ο α ιθ ι ές σ α ήσ ις βάσ α, <α< , σ α ή ί σ ό ς, θα έ ι α

ισ α θ ί ό ι ι α έα ύ ιο ί αι σ ις f =log αι f =l . ο ί αι α ί ο α ά

ο αιό α οι ασ ήσ ις: , , , αι ς Α΄ ά ας αι i, iii , , , αι ς ΄ ά ας.


ο ί αι α σι ο οι θ ί ο ι ο ί α α «

ο α ιθ ι ή αβο ή – ί α α Richter» α ό α

ο ισ έ α σ ο ι ά βιβ ία, ια α α ό σ ς

ο α ιθ ι ής αβο ής. βοήθ ια ο ο ισ ι ού, οι

αθ ές α ό αφι ή α άσ ασ ς σ ά σ ς ο

έθο ς ός σ ισ ού σ ί α α ‘i hter ς ος έ ασή

ο , ιο ού ι ασί ς σ ι ά σ έσ ο έ ο

α ά α ύο έθ αι ις α ο ι ύο α β ι ά. σ έ ια, σ ί ο ις άσ ις

σ ισ ώ ο έ ο σ β ί σ ο α θό αι ύ ο α οβ ή α α αφι ά αι α β ι ά.






44






Α φα ο ή σι ο οι ί Java . . Geogebra , ό α ασ ήσ α ό ι ύθ σ http://java.com/en/. Α σ ί α έ όβ α σ ο ισ ό σ , ό οσθέσ ις ι θύ σ ις http://photodentro.edu.gr αι





http://java.com/en/



45

ία ΄ ά ς Η ήσιο αι ΄ σ ι ού ι ού ίο


Α ό ο βιβ ίο « ί ια ία Α΄ αι ΄ ιαίο ίο » . Α ό ο ο , ά ο ., α σού ., α ά . αι ι έ .

φ. o: Α α ο ί ς

. . ισα ή

. . Α ά ο α θύ α α µήµα α – Α α ο ί ς

. . ή ος θύ α ο µήµα ος

. . ιαί σ µ µά σ ι ά αι ι ά ς ος οσ έ ο ό ο ίς α ό ι ς ό ασ ς αι ίς ο α ά αφο ι ύ σ

. . ώ α ο α ή ίς ις α ο ί ις θ ά αι ο ο ίσ α ος αι ίς ο ς ο ισ ούς «σ ή α ο ι ά» αι «α ο ι ή ά α»

. . ή α α ι ο ό ι ώ ο ίς ις α ο ί ις θ ά αι ίς ο ο ο ισ ό θ ά ά σ α ο οία ι ο ό ος – σ ι ή ή ι ή – ιαι ί α έ α ι ά

φ. ο: οιό α

. . Ό οια θύ α α σ ή α α

. . ι ή ια ο οιό ας ίς ις α ο ί ις θ ά I, αι αι ις φα ο ές , αι 3)

Η Ω Η: α ι α θού οι α ο ι ι ές ασ ήσ ις, α σύ θ α θέ α α αι οι ι ές ασ ήσ ις α ό α φά αια αι .

φ. ο: ι ές σ έσ ις

. . θές οβο ές

. . ο θα ό ιο θ ώ α

. . ι ές α ασ ές

. . ί σ ο θα ό ιο θ ή α ος ίς φα ο ή

φ. ο: βα ά

. . ο ι ά ία

. . βα ό θύ α ο σ ή α ος - σο ύ α α θύ αµµα σ ή α α

. . βα ό βασι ώ θύ α σ ά

. . Ά οι ύ οι ια ο βα ό ι ώ ο ίς α ό ι ύ αι

. . ό ος βα ώ ό οι ι ώ – ο ώ ίς α ό ι ο ή α ος

φ. ο: έ σ ύ ο

. . ισ ός α ο ι ού ο ώ ο

. . ιό ς αι σ οι ία α ο ι ώ ο ώ ίς ις α ο ί ις θ ά αι ο ο ίσ α ος

. . αφή βασι ώ α ο ι ώ ο ώ σ ύ ο αι σ οι ία ο ς ίς ις φα ο ές ,

. . οσέ ισ ο ή ο ς ο ύ ο µ α ο ι ά ο ύ α

. . ή ος ό ο

. . οσέ ισ ο βα ού ύ ο µ α ο ι ά ο ύ α

. . βα ό ι ού οµέα αι ι ού µήµα ος

φ. ο: θ ί ς αι ί α σ ο ώ ο

. . ισα ή

. . έ οια ο ι έ ο αι ο αθο ισ ός ο

46

. . ι ές θέσ ις θ ιώ αι ι έ

. . θ ί ς αι ί α α ά α – ώ α ο α ή

. . ία ύο θ ιώ – θο ώ ι ς θ ί ς

. . Α όσ ασ σ ίο α ό ί ο – Α όσ ασ ύο α α ή ι έ




ι ι ι ές ασ ιό ς ο ι α βά ο αι σ ις α ούσ ς ο ί ς ς ι έο ι α ι ό

ι ό οέ ο αι α ό ο ό α α σ ο ώ ια ο ύ ιο αι ο ο ό ια ο αι ι ό

ο ο ήθ α σ ο αίσιο ς ά ς " έο ο ίο" αι ο ού α α α θού α ό ο

ισ ό ο ο ο : http://www.iep.edu.gr/neosxoleiops/index.php ]

φά αιο ο ο ί αι α ια θού ι α ι ές ώ ς . ις α α άφο ς α ές ί αι ώ φο ά ό ος ια σύ α αι ασύ α θύ α α ή α α. έ οια ς ασ ίας ο ί α βο θήσ ι σ α ι ά ο ς αθ ές α αθα ίσο έ οια ο α ή ο α ιθ ού.

ίσ ς, σ ό οι ς ι ασ α ίας, ς α α άφο ί αι: α ί ι σύ ο α αφο ά σ ις ι ιό ς α α ο ιώ αι α οθ ί έ φασ σ ο

ώ α ο α ή αι σ α ή α α ι ο ό . έσ α α ι ά α α α οήσο οι αθ ές ό ι ύ θ ά ά

ιαφο ι ώ ώ ί αι α ό α έ ο ο ί ιο ό ο. α φα ό ο ο ώ α ο α ή, σ οσ έ α σ ή α α, ή σ σ ή α α ο ιά αι

α σ ιασ ού βο θ ι ές θ ί ς. α α α ι θού οι φα ο ές ο ή α ος σ ί α αι α έ ια.

ήσ θ ά ι ο ό ο , οι αθ ές α ια ισ ώσο α ό α ισ ού θύ α ο ή α ος σ ο ί ιο ό ο σ ίο ο β ίσ αι σ ο σ ι ό

ο ή οέ ασή ο

ο ί αι, α ο ι έ ι ο ιαθέσι ος ό ος, α ί ι α ό ι ο ή α ος ο α ή, ια

σ ι έ ο ό ο . . αι α α αφ θ ί ό ι ι ύ αι σ ο οιο σ ή ο ούς.

ο ί αι α ί ο α ύο οβ ή α α ς α α άφο . αι α οθ ί έ φασ σ ις ήσ ις α α ό σ ς - αι σ ις ασ ήσ ις έ σ ς - ς ς ά α α άφο .


Α α α,β αι ί αι σ ά θύ α α ή α α, α α ασ άσ ο θύ α ο ή α

ώσ α ισ ύ ι .

[ ό ιο: α α ά ασ ιό α ί αι όβ α ο ύ αι βοήθ ια ο ή α ος ο α ή.]

ο φά αιο θα ί ο α ο ι ι ές ασ ήσ ις, σύ θ α θέ α α αθώς αι οι ι ές ασ ήσ ις ο φα αίο α ού.

φά αιο ο ο ί αι α ια θού ι α ι ές ώ ς .

α οθ ί έ φασ σ α ι ή ια ο οιό ας ι ώ . ό οι ί αι οι αθ ές:

α α α οήσο ι ο ία ι ί ο οιό ας, ο ό ς αι α ι ή ια ισό ας, ι ό ς οϋ οθέσ ις α ό ο ο ισ ό ο ού α α οφα θού ια ο οιό α

ύο ι ώ .

3

4

α γβ χ


47

α σ σ ίσο ισό α ο οιό α ι ώ αι α ο ίσο ιαφο ές. α α ήσ ις:

Α ά ι ό ος α ί α ί ι α ό ι ός ό ο ι ίο ο οιό ας ι ώ . φα ο ή ς α α άφο . θα ιασθ ί σ σ έ ια ια α α ο ι θ ί ύ ος iii)

ς α α άφο . , ια ο βα ό ι ώ ο . ο φά αιο οσφέ αι ια σ ή σ φα ο ώ ο ή θί ο αι σ ο σ ο ι ό

βιβ ίο έ σ ύ ο ς α όσι σ ί , ήσ ά α .


α ύο θύ α α ή α α Α αι ή οι ο άσ ις ο ς έ ο αι σ έ α σ ίο αι ισ ύ ι . α α ο ί , σ άθ ί σ , ό ι α σ ία Α, , αι

ί αι ο φές ά ι ο α ύ ο . β α άσ α ισ ύ ι ο α ίσ οφο ς α α ά ό ασ ς.


ί αι ί ο Α ές Α = , Α = αι ία . α α ασ άσ

ί α ό οια ος ο Α ό ο ο οιό ας , αι .

ο φά αιο θα ί ο α ο ι ι ές ασ ήσ ις, σύ θ α θέ α α αθώς αι οι ι ές ασ ήσ ις ο φα αίο α ού.


§ . - . ο ί αι α ια θού ι α ι ές ώ ς

ό οι ς ι ασ α ίας ί αι οι αθ ές: α ο ού α σ ιά ο ο θές οβο ές. α ύο ις ι ές σ έσ ις οβο ές . ς α ο έ σ α ο οιό ας ι ώ

αι α ις σι ο οιού σ ί σ οβ ά . α φα ό ο ο θα ό ιο ώ α αι ο α ίσ οφό ο σ ί σ

οβ ά . α α ήσ ις:

ις α α άφο ς α ές άσ ο ασ σιο ο ία α β ι ού α α ή α σ ισφέ ι σ α α ό σ ς ίας.

ο ί αι α ί ι ο σ ό ιο ς φα ο ής ς σύ σ ό α ά αφο. α ί ο α σύ θ α θέ α α , . α ά αφο α ή ί αι σ ό ι ο α ια θ ί ό ος ώσ α σ ο ιασ ί ο ισ ο ι ό σ ί α

ια α α ά ασύ θώ αι α ί ο αι οι α ασ ές ο ί ο σα αι άθ ά ο θο ίο ι ώ ο , έσ α ά ο ος, ά α ο α άσια θύ α ο

ή α ος ο ί ο αι ο ό ο α ασ ής θ ά ά ή ος α ι ή ί α φ σι ού – αφο ή ια ία σύ ο σ ή σ ια α ό α α ασ ής ή α ή .

ίσ ς ο ί α ί ι α αφο ά σ . σ ο οία ί αι ό ος ια α ασ ή α ή θώ .


α α ασ άσ ο θές οβο ές

α ο , θ ά α Α , , αι σ θ ία αι β ς Α ά σ σ α ύο α α ά σ ή α α.

Α

Α ο1

2

48

α

β


ο όβ α ο ί αι α ί ι ιο ι ι ό ό ο ο ι ο ί α α « α ασ ή ασύ ά

σ ί α ο αίο » α ό α ο ισ έ α σ ο ι ά βιβ ία, ια ι ή α ασ ή ασύ

θ ά ά . http://photodentro.edu.gr/v/item/ds/8521/5636


α α α ασ άσ α ό α αι ιαβή , έσ α ά ο ο β, ύο θ ά ά α αι .

β α β ί σ έσ ο ή ο ς Α ο ύ ο ς ο θο ίο ι ώ ο Α Α= ο ο ι ό έσο ώ αι . οιο σ οι ίο ο ι ώ ο ί αι ο α ιθ ι ός έσος

ώ αι ; α α ο ί ό ι ο α ιθ ι ός έσος ί αι α ύ ος ή ίσος ο ι ού έσο . ό ισ ύ ι ισό α;

[ ι ή ις ι ές σ έσ ις ς α α άφο . ]


ί αι θύ α ο ή α Α . α α ασ άσ α ό α αι ιαβή α ή α α

αι .

[ ι ή ο θα ό ιο ώ α]

§ . ο ί αι α ια θού ι α ι ές ώ ς . ό οι ί αι οι αθ ές α σι ο οιού ο ι έ ο θα ό ιο ώ α ια α ια ί ο

α έ α ί ο ί αι ο ώ ιο, ο θο ώ ιο ή α β ώ ιο αι α σι ο οιού ο ό ο σ ι ό σ ί σ οβ ά .

α α ήσ ις: α ά αφο . ο ί αι α α α θ ί ι έο ι α ι ός ό ος ια άσ ο ασ σιο ο ία α β ι ού ύ ο .

2Α 3Α


49

α ί ο α σύ θ α θέ α α ς α α άφο . . α ί ο οι ι ές ασ ήσ ις ο φα αίο .


Έθα πζκέκ εδθ έ αδ η εα τγυθ β απσ κ πλκμ κ έ πσ β σ ι ή ο β ίσ αι σ θέσ Α αι έ ι

ο ο ή σ ς ο ίας ο , ασ ού αι σ α ό α ιο ι οί ά οι ο ο θού ύ α έ ο

F1 ο σ α ί ι ία ιθ ή ο ία ύσ ς. α ά ιος, ο ι έ ο α ια ήσ ι

σ αθ ή ο ία, ί ι ο ή α σ αφ ί ο ά ιο α ά φ οί ς. Α οι ο έ ς θού ο οίο σ αθ ή ύ α έ ο F1 ο ί α

ι ά έ α ό ο ο ο οίο ο ί α οσ ιο ισ ί ία φ;


§ . - . ο ί αι α ια θού ι α ι ές ώ ς . α α ήσ ις & σ ό οι:

ι αθ ές α ια ί ο α ισο ύ α α ισ βα ι ά α ό α ίσα σ ή α α. α ά ο ς ασ α ισ ούς αι ήσ βο θ ι ώ α ώ οι αθ ές α

ο ο ί ο βα ά α ό ά α ή σ ά ο ς. ο ί αι, α ά ι ό ος, α ί ο οι φα ο ές α α ή σ ς

φα ο ής αι οι ασ ιό ς. α ο ούσ α ί ι α ό ι ο θα ο ίο θ ή α ος έσ βα ώ , ό ς

α α ίθ αι σ α σ οι ία ο ί αι α αφέ αι σ ο ισ ο ι ό σ ί α σ ο έ ος ο φα αίο .

ο ι ό ς ασ ήσ ις: ι ήσ ις α α ό σ ς.

Α ό ις ασ ήσ ις έ σ ς οι αι . Α ό ις α ο ι ι ές ασ ήσ ις οι , , αι .

α ί ο α σύ θ α θέ α α αι .


α α ίσ έ α ί ο σ έσσ α ίσα ί α φέ ο ας α ά ς θ ί ς αι σ σ έ ια α σ ί ο βα ό άθ ι ώ ο ο βα ό ο α ι ού. β α ίσ έ α α α ό α ο σ

ύο, ία, έσσ α ίσα α α ό α α.

σ έ ια α σ ί ο βα ό άθ α α ο ά ο ο βα ό ο α ι ού α α ο ά ο .

α ίσ έ α ί ο θ ία ο ιέ αι α ό ο φή σ ύο ί α

ό ο βα ώ .


ώ σ α α ό σ ς ο ί αι α ί ι ιο ι ι ό ό ο ο ι ο ί α α « ύ οι ο ο ισ ού βα ώ » α ό α

ο ισ έ α σ ο ι ά βιβ ία, ια α α ό σ ύ βα ώ βασι ώ ι ώ σ ά αι ις α ο ί ις ο ς.


§ . ο ί αι α ια θού ι α ι ές ώ ς . α α ήσ ις αι σ ό οι:

-Nα ί ι α ή φα ο ή ύ . ι αθ ές α ο ού α ύ ο α ά οβ ή α α ο ο ισ ού βα ώ , α ούς.

1

3


50

-Α ά ι ό ος, α ί ι α ό ι ο ύ ο iii).

- α θ ί ο σ βο ισ ός ς ι ι έ ο . - ία ι ο ή ασ ήσ θα ο ούσ α ί αι:

ι ήσ ις α α ό σ ς αι 2.

Α ό ις ασ ήσ ις έ σ ς οι αι . Α ό ις α ο ι ι ές οι , αι .

- α ί ο α σύ θ α θέ α α , .

§ . ο ί αι α ια θού ι α ι ές ώ ς . ό ος ί αι οι αθ ές α σ σ ίσο ο ό ο ο οιό ας ύο σ ά ο ό ο

ι έ ο ς αι ο ό ο βα ώ ο ς. α ί ο α σύ θ α θέ α α ς α α άφο . .


α α α ο ί ο θ ώ α ι ο ό ήσ βα ώ . β α α ο ί ο θα ό ιο ώ α βοήθ ια βα ώ αι α ο ι ύσ

α ασ ή ι ά ώ ο ο οί σ ά ο ί αι ήσ ο ισ ι ού α ι ής ίας .


§ . - . ο ί αι α ια θού ι α ι ές ώ ς . α α ήσ ις:

α ά αφο . ο ί α ί ι ία θύ ισ ς έ οιας ο ού ο ώ ο αι σ οι ί ο , ό ς α αφέ αι σ α ά αφο . ο ί αι ός ς ύ ς ς

Α΄ ίο . ο ί αι α ί ι α α ή σ αι ο σ ό ιο ο ιά ο αι ια ό

α ά αφο . ο ί α ί ι ία α αφο ά σ ο ό ο α ο ι ώ ο ώ σ φύσ , έ αι

ις ισ ή ς βιβ ίο αθ ή ια έ ασ ς α ο ι ι ής άσ σ ς αι σ σ έ ισ ια όσ σ α ο ι ά ο ύ α .

α ί ο α σύ θ α θέ α α. ό οι ί αι οι αθ ές α α α ί ο α α ο ι ά ο ύ α, α ια ί ο ία ο ς, α ό

ι ή ο ς ία αι α ο ού α ο ο ί ο σ οι ία α ο ι ώ ο ώ . ί αι σ ό ι ο α σι ο οιού έ οι ο ς ο ς ύ ο ς ο θ ή α ος ς α α άφο .


ό βος αι ο ο θο ώ ιο ί αι α ο ι ά ο ύ α; ι έ ι α ισ ύ ι ια α ί αι;


ο ι ο ί α α « ι ή ία ός α ο ι ού ο ώ ο » ο ο οίο οι αθ ές έ ο αι σ ια ι ασί ς α ασ ής α ο ι ώ - ώ

α έ σ ύ ο σ ό ο α α α α ύ ο σ έσ ο σ έ ι ι ή ία ο α ο ι ού - ώ ο ο ήθος ώ ο . ι

αθ ές ού α ές ια ι ασί ς σ ώσσα Κogo ο ιο ού ια α οι ή θ ασ έ α ή ο ο φές ς ά σ ύ ο αι ι α α ί ο αι

ιο θώ ο ας ις α ι ές ια ι ασί ς, ώσ ο α ο έ σ α ς έ σής ο ς α ί αι α ο ι ό - ο α έ ο σ ύ ο. To ι ο ί α α έ ι ιο θ ί ήσ

α ί σ βο ι ής έ φ ασ ς έσ ο ο α α ισ ού ό οσ ος . http://photodentro.edu.gr/v/item/ds/8521/5748

§ . ο ί αι α ια θού ι α ι ές ώ ς . α α ήσ ις:

άσ ι ο σ ο ίο αι ς α α ή σ ς ς ο ού ς α α άφο , οι αθ ές ο ού ό οι ο ς α ο θού σ αφή βασι ώ α ο ι ώ ο ώ σ

ύ ο, ό ς ο ί αι αι σ ο βιβ ίο ο αθ ή.


51

ο ί αι α οθ ί έ φασ σ φα ο ή αι σ σ έ ια α ί ι ασ ιό α . ο ί αι α ί ο ασ ήσ ις α β ι ού ύ ο ήσ έ οι ύ ο

ί α α ς α α άφο . . ο ί αι οι αθ ές α α α οήσο ώς αβά ο αι α σ οι ία ός α ο ι ού

ο ώ ο σ οσ έ ο ύ ο, ό α α ά αι ο α ιθ ός ώ ο β έ ι ι ή ασ ιό α

α ί ο α σύ θ α θέ α α.


ύ ο έ ο αι α ί ας α ά ά ο αι σ σ έ ια α ο ι ό ο ά ο. ίσ ί ια ια ι ασία αφή α α ώ ο .ο. . οιος ί αι ο ύ ος ο ι άφ ι ο ήθος ώ ά α ό βή α α ς α ασ ής; ι

σ βαί ι ο ή ος ώ ;

§ . , . , . , . ο ί αι α ια θού ι α ι ές ώ ς . α αφι θ ί ό ος ια ια ι ασία οσέ ισ ς όσο ια ο ο ο ισ ό ο ή ο ς ο ύ ο όσο αι ια ο ο ο ισ ό ο βα ού ο . α α ήσ ις:

ι α ά αφοι α ές ο ού α ο οι άσο ο ς αθ ές ο θα α ο ο θήσο θ ι ή α ύθ σ ια ισα ή σ ις ά ι ς ια ι ασί ς φ σιο ο ι ό ό ο, έσ α αφο άς σ έθο ο ς ά σ ς. σύ σ θό ο Α ι ή θό ο ς

ο σι ο οιήθ α ί ο ύο ι ι ί ς ά, σ α α ή ο α ι οσ ι ού ο ισ ού, έ ι ύ ο ιαφέ ο ια ό ο ς ο ς αθ ές

α ο ούσα α α αφ θού ά οια ι έο σ οι ία ια ο α ιθ ό , α ά θα έ ι α ι ι ισ ί ι ί αι α β ι ός αι ι βα ι ός α ιθ ός ια α ά αφο . .

α ί ι ο σύ θ ο θέ α . ο ί αι α οθ ί έ φασ σ ις φα ο ές ίσ οι ο ο ά αι σ

ασ ιό α. ό οι ί αι οι αθ ές: α ι άφο αι α ύο ο ό ο ο ο οίο οσ ί αι ο ή ος αι ο

βα ό ο ύ ο

α β ίσ ο ο ή ος ό ο ς σ ά σ ς α ί ας. α ο ο ί ο ο βα ό ός ι ού ο έα. α σι ο οιού α α α ά σ άσ α α αι ιό ς σ οβ ή α α

ι ό α α σ ή α α.


α σ ιάσ ύ ο έ ο αι α ί α . σ έ ια α α ασ άσ ο α ο ι ό α έ ο αι ο α ο ι ό ι α έ ο ά ο σ ο ύ ο.

α α β ί ις ι έ ο ς ύο α ώ . β ι σ αί ια ο ή ος ο ύ ο ;

ο ί α β ί α ιβέσ ο ό ο οέ ισ ς ο ή ο ς ο ύ ο ; α ιώσ α ά σή σας α ιθ ι ά α ο έσ α α.

[ ό ια:Α ή ασ ιό α ί αι ισα ι ή σ α ά αφο . αι ο ί α ί ι αι βοήθ ια ο ισ ι ού α ι ής ίας. ίσ ς ο ί α αθ ί αι σ

οσέ ισ βα ού ύ ο α ά ο ο οί σ ά .]

φά αιο ο α ια θού ώ ς

§ . - . α ια θού ώ ς

α ί ι άβασ α ό ις έ οι ς ς ί ς ίας σ α ές ς ίας ο ώ ο , ια α ά ι α: ί ία σ ίο, ύο ι θ ί ς αι ί ία θ ία, ύο ι ί α ή

α ό α ά ο σ ο ί ο αι ύβος σ ο ώ ο. α ο ισ ί ιαφο ά α ύ α α ή αι ασύ βα θ ιώ .

ο ί αι: α α αφ θού βοήθ ια σ ά α α ιώ α α , , αι IV ς α α άφο . .

52

ι ο άσ ις ο ο ύ ο , σ ί ια α ά αφο, α α αφ θού ίσ ς, ίς α ό ι ή α ο σιά ο ας ι ι ά α ό ι ς ό ασ ς .

α α αφ θού α α ιώ α α V αι VI ς α α άφο . . α ό ο σ ίο ο ού α ο ύ ο έσα α ό σ ή σ σ ά οι ι οί ο ισ οί:

α α ή θ ιώ § . , α α ή ι έ , ς α ά ς θ ίας σ ί ο § . .

ί αι σ ό ι ο οι αθ ές α οσ αθήσο α α ασ άσο ο ς ο ισ ούς. ο ισ ός ασύ βα θ ιώ α οθ ί ά α ό ι ο θ ή α ος ς § . . α οθού ό ο ήσ ις α α ό σ ς αι ασ ήσ ις έ σ ς αι ό ι α ο ι ι ές , ς

ασία ια ο σ ί ι ή ά .


ι σ ι ές θέσ ις θ ίας αι ι έ ο ο ί αι α ι θού ο ι ο ί α α « ι ές θέσ ις θ ίας αι

ι έ ο » α ό α ο ισ έ α σ ο ι ά βιβ ία. http://photodentro.edu.gr/v/item/ds/8521/5904


ι σ ι ές θέσ ις ύο ι έ σ ο ώ ο ο ί αι α ι θού ο ι ο ί α α « ι ές θέσ ις ύο ι έ »

α ό α ο ισ έ α σ ο ι ά βιβ ία. http://photodentro.edu.gr/v/item/ds/8521/5905

§ . α ια θ ί ώ ς

α α α ίσο ο σο άθ ο ί ο σ θύ α ο ή α αθώς αι ο σο α ά ο ί ο ς ι ούς ό ο ς, α α ισ οι ία σο άθ ο θ ά ο ή α ος αι σο α ά ο α α ή θ ιώ . ο ί αι: α α αφ θού α ή α α αι α ο ίσ α α ς α α άφο ς α ο έσ α α. ο ί, α ά ι ό ος, α ί ι α ό ι ο ή α ος IV.

ο θ ώ α ο α ή α α ο ι θ ί. Α ά ι ό ος αι α ά ο α ις ι α ι ές ι ο ές ο ι άσ ο α, ο ί α ί ι ι ι ά ο ι ό ι ι ή ασ ιό α .

α ί ι, α ό ο ι άσ ο α, ία ι ο ή ό ο α ό ις ασ ήσ ις έ σ ς αι, α ιθ ί σ ό ι ο, άσ σ α ό ις α ο ι ι ές β έ ι ι ή

ασ ιό α .


ο θ ώ α ο α ή ο ί αι α ί ι ιο ι ι ό ό ο ο ι ο ί α α « ο θ ώ α ο α ή σ ασύ βα ς θ ί ς» α ό α ο ισ έ α σ ο ι ά βιβ ία, ια

α α ία αι αθ ό α θ ιώ σ ο ώ ο αι α ό ι ο θ ή α ος ο α ή σ ασύ βα ς θ ί ς. http://photodentro.edu.gr/v/item/ds/8521/5793


άσ σ α ό ις α ο ι ι ές, ο ί αι α ί ι ιο ι ι ό ό ο ο ι ο ί α α « ι ια ώ ι ς ο σ β ού




53

α ύ ο » α ό α ο ισ έ α σ ο ι ά βιβ ία, ια ις ι ιό ς ια ί ο σ β ού α ύ ο . http://photodentro.edu.gr/v/item/ds/8521/5855

§ . α ια θού ώ ς

α ή α ά αφο ισά αι έα έ οια ς ίας ύο ασύ βα θ ιώ , ο ο ι ά σ ί αι οβο ή σ ο ί ο αι ς αθ ό ας θ ίας αι ι έ ο .

ι έ οι ς α ές ι ύο έ οια ς ίας, ο ώ οσ ιο ί αι α ό ια ια ή σ έσ α ύ ύο σ ά ο ώ ο . . . οι ασύ βα ς θ ί ς σ α ί ο ία ό ς

έ ο οι αθ ές, α ά έ ο ια ια ή σ έσ , έσ ς οβο ής ιας ύο σ ο ί ο ς ά ς. ο ί αι: ι αθ ές α ά ο ι ασί ς ια α ής ή α α:

ώς ο ού α ο ίσο ια ία α ύ ύο ασύ βα θ ιώ ; ό θα α α ί α ία θ ία αι έ α ί ο άθ α α ύ ο ς;

σ έ ια α α ασ ασ ού οι ο ισ οί σ ά αι α σ ιθού ο ς ι ούς ο ισ ούς ο βιβ ίο .

α α ο ι θ ί ο ι ή ιο αθ ό ας θ ίας σ ί ο αι ο θ ώ α ιώ αθέ .

α ί ι ι ο ή α ό ις ήσ ις α α ό σ ς αι ις ασ ήσ ις έ σ ς.

§ . α ια θού ώ ς

α ά αφο . ο ί αι α οθού οι ο ισ οί αι α ί ο οι φα ο ές ς ασ ιό ς σ ά . ίσ ς ο ί αι α ί ι ιο ισ έ ος α ιθ ός α ό ις ασ ήσ ις

έ σ ς, α ά ο ος ί σ αι ο ι α ι ό ο α α ισ ό ο ι άσ ο α. ίσ ς ο ί ο αι οι α α ά ασ ιό ς:


α β ί ο ι ό ό ο σ ί ο ώ ο ο α έ ο ίσ ς α οσ άσ ις α ό: α ύο σ ία, β ία σ ία.


ί αι ία σ έ α ί ο . α β ί ο ι ό ό ο σ ί ο

ώ ο ο α έ ο ίσ ς α οσ άσ ις α ό ις ές ς ίας .












xOy

xOy





http://java.com/en/



54

Α Η Α Α

Α Α Α Α Ω Ω

΄ Α Η Η Η Α

΄ Α Η

I. ι α έα ύ

Α ό ο βιβ ίο « αθ α ι ά ι ής αι ο ο ι ής α ύθ σ ς ΄ ά ς ι ού ίο » Α α ό ο ο ., ισ α ο ά ., αβα ά ., ο ύ ο . αι βέ ο Α.

φ. ο: ια ύσ α α

1.1. Έ οια ο ια ύσ α ος . 1.2. όσθ σ αι Αφαί σ ια σ ά .

1.3. ο α ασιασ ός Α ιθ ού ιά σ α ίς ις φα ο ές αι .

1.4. α έ ς σ ο ί ο ίς α ό ι ς ο α α άφο « α έ ς ια ύσ α ος», ίς φα ο ή σ σ . αι ίς α ό ι ς σ θή ς α α ίας ια σ ά .

1.5. σ ι ό ι ό ο ια σ ά ίς α ό ι ο ύ ο ς α α ι ής έ φ ασ ς σ ι ού ι ο έ ο αι ίς α ά αφο « οβο ή ια ύσ α ος σ ιά σ α».

φ. ο: Η θ ία σ ο ί ο

2.1. ίσ σ θ ίας.

2.2. ι ή ο φή ίσ σ ς θ ίας ίς φα ο ή .

2.3. βα ό ι ώ ο ίς ις α ο ί ις ύ ς α όσ ασ ς σ ίο α ό θ ία, ο βα ού ι ώ ο αι ίς φα ο ή .

φ. ο: ι ές ο ές

3.1. ύ ος ίς ις α α ι ές ισώσ ις ο ύ ο .

3.2. α αβο ή ίς α ό ι ς ίσ σ ς ς α αβο ής, α ό ι ο ύ ο ς φα ο έ ς αι φα ο ή σ σ . .

3.3. Έ ι ίς α ό ι ς ίσ σ ς ς έ ι ς, ις α α ι ές ισώσ ις ς έ ι ς, φα ο έ ς έ ι ς αι ίς ις φα ο ές .

3.4. βο ή ίς α ό ι ς ίσ σ ς ς βο ής, α ό ι ο ύ ο ασύ αι φα ο έ ς βο ής . 3.5. ό ο ο α ά αφος «σ ι ή θέσ θ ίας αι ι ής».

Η Ω Η

Α θα ι α θού οι ασ ήσ ις ο ά ας α α άφ . , . αι . . Α ό ις ι ές ασ ήσ ις ο ο

φα αίο θα ι α θού ασ ήσ ις ο α αφέ ο αι σ ις α α ά α α άφο ς α αβο ή, Έ ι αι βο ή . Όσο αφο ά σ ις ο ι ό ς ασ ιό ς, αφί αι σ ίσ ο ι άσ ο α ι ο ή

ί ο θα φα όσ ι σ ά . Ωσ όσο, α ό ί αι α ο ισ ί ο άθ α ο σ ι έ ο ι ό.


[ α α ο ή ι α ι ώ ώ ο ο ί αι ί αι ι ι ή. έσα σ α ές ις ώ ς ι α βά αι ο ό ος ο θα ιασ ί ια α α φα αιώσ ις, α ές ο ι ασί ς, ασί ς .

ι ι ι ές ασ ιό ς ο ι α βά ο αι σ ις α ούσ ς ο ί ς ς ι έο ι α ι ό ι ό οέ ο αι α ό ο ό α α σ ο ώ ια ο ύ ιο αι ο ο ό ια ο αι ι ό

ο ο ήθ α σ ο αίσιο ς ά ς " έο ο ίο" αι ο ού α α α θού α ό ο ισ ό ο ο ο : http://www.iep.edu.gr/neosxoleiops/index.php ]

φά αιο ο

ο ί αι α ια θού ι α ι ές ώ ς .


55

ισα ή ά α ή οι αθ ές θα βαθύ ο σ ο ο ισ ό ια σ ά . οιο σ ι έ α θα

ί ι α αφο ά: ο ο ισ ό ο ια ύσ α ος, α α α ισ ι ά ο αι σ σ έσ α ύ ια σ ά

α ά α, ίσα, α ίθ α, ία ια σ ά . ο ο ισ ό ά ς όσθ σ ς, ς αφαί σ ς, ο ο α ασιασ ού α ιθ ού

ιά σ α βαθ ός ο α ασιασ ός . ο α ι ό σ ασ ό ια σ ά . ο σ ι ό ι ό ο ια σ ά . α άσ ασ ια ύσ α ος σ α σια ό σύσ α σ α έ .

α α α ά α ο ού α α αί ς ώσ ις ο ι έ ο α ί ι α α ο ή θ ί σ ς Α α ι ής ίας ο ι έ ο ο α ο ο θ ί, αθώς αι α ι ώ ισ ο ώ

α ασ άσ ς α α ι ής ής αι οβ ά ς ί ιας ίας.

σ ίασ σ σ α ι ές ι έ ς σ ο φά αιο ια σ ά

ο ιά σ α α ο ί α α ισ ι ό α ά ι α έ οιας ο ο ήθ α ό σ ή α ί ασ αθ α ι ώ αι σι ής.

Έ α ιά σ α ο ί α α α α ίσ α αι ιαφο ι ούς ό ο ς. Ως οσα α ο ισ έ ο θύ α ο ή α ι ή α α α άσ ασ αι ς α β ι ό α ι ί ο βοήθ ια

σ α έ . ο άσ ις αι θ ή α α ς ί ιας ίας α ο ι ύο αι ήσ ια σ ά .

§ . , . ο ί αι α ια θού αι ώ ς α ίσ οι α

ο ιά σ α ισά αι ς οσα α ο ισ έ ο θύ α ο ή α. ι ά ις ς όσθ σ ς αι ο ο α ασιασ ού ια ύσ α ος α ιθ ό, α ο σιά ο αι βοήθ ια ς ι ής

ο ίας αι ο ί αι ι ιαί α ό ι έ α ο οιο ή ο ιά σ α ο ί α αφ ί ς

ιαφο ά , ό ο ί αι έ α ο οιο ή ο σ ίο ο ώ ο .


Α α ο ισ ί ό ι ι α ή αι α α αία σ θή α α ίας ύο ια σ ά

σι ο οι ί αι ια α ό ι ς σ α ι ό ας ιώ σ ί .

) ι ή α οί αθ ές α ι α βά ο αι ο ύ ο ς ιαί σ ια ύσ α ος

α ιθ ό, α ό ί αι α ο ισθ ί ό ι αφή α ή ί αι ία σύ βασ αι σ α α ι ό α ο

2ο έ ος ί αι ο α ι ός σ ασ ός ια σ ά αι , α ή

.

α ί ο ασ ήσ ις ό ο α ό Α΄ ο ά α.


Α α οθ ί έ φασ σ ο ο ός ό ι έ α ιά σ α ο ί α α α α ίσ α αι ιαφο ι ούς ό ο ς. Ως οσα α ο ισ έ ο θύ α ο ή α ι ή α α α άσ ασ αι ς α β ι ό

α ι ί ο βοήθ ια σ α έ . α ο ισθ ί ίσ ς ο α ι ό α ς έ φ ασ ς ια ύσ α ος ις σ α έ ς ο . έ οια ια σ ά ί αι σ α ι ή σ ία ά α α ο ισ ί α ίς ό ι α φι ο οσή α α ισ οι ία ός σ ίο ο ι έ ο έ α ια α έ ο ύ ος α α ι ώ α ιθ ώ ο ί σ «α β ο οί σ » ς ίας, α ή

σ έ ι ώ σ ά α β ι ές θό ο ς.

ι α αφ θ ί σ θή α α ίας ια σ ά , ο αι ι ός α ώσ ι ο ο ισ ό ς ο ί ο σας ύο ια σ ά , ο ο οίος β ίσ αι ος ο έ ος ς α α άφο .

ι ι ά:

ο ά ο ο ί ο σα ύο ια σ ά αι αι σ βο ί ο

Ο Ο

α ή ήί α ζί ί ί Ο ΟΟΜ

2

Ο Ο1 1ΟΜ Ο Ο2 2

1 1α ,x y 2 2ί ,x y

56

ο α α ι ό α ιθ ό , ό ο α ή ί αι οι

σ α έ ς ο ια ύσ α ος αι α ή ί αι οι σ α έ ς ο

ια ύσ α ος .

ο ί ο σα ια σ ά αι σ ι ά ο ί ο αι,

σ βο ί ο αι . α ή .

ι ό α, α άσ ασ ο ο ά αι ο ί ο σα αι ί αι έ ας

α α ι ός α ιθ ός.


Α α ι α θ ί ο α ά αφος « οβο ή ια ύσ α ος σ ιά σ α»

α ί ο : ι ασ ήσ ις , αι αι ς Α΄ ά ας. ι ασ ήσ ις , , αι , ς ΄ ά ας . ι ι ές Ασ ήσ ις.

ό ιο ο ί αι α ί ο ς ασ ιό ς ά οι ς α ό ις ήσ ις α α ό σ ς ό ς ια

α ά ι α, οι ήσ ις , αι . ιαί α, θα α ι ισ ί ο ο ισ ό ο σ ι ού ι ο έ ο , αφού οβο ή έο ι άσ αι, σ ό ο α α ό σ ο ό ο

ς ίας αι ό ι ισ ύ ι ι ιό α ς ια αφής σ ο σ ι ό ι ό ο.

ο ι ό ς ασ ιό ς

Ας ού ώ α ι ές ασ ιό ς ο ο ού α ο οιήσο σ ά ο ς αθ ές ας. ώ ασ ιό α σ έ ι α αθ α ι ά σι ή. ύ ασ ιό α ί ι α ό α σ ο αθ ή α σ έ ι, ια ώ ι αι α ο ι ύ ι ο άσ ις ς ί ιας

ίας ο ια σ α ι ό ο ισ ό, α ά α α ο ο θ ί αι α ίσ οφ ο ία. έ ος, ί ασ ιό α1

α αφέ αι σ έ α όβ α α ό ο α α ι ό όσ ο, ό ο οι αθ ές ο ο οιού ο όβ α ήσ ια σ ά αι α α ού σ ο έ ος φ σι ή ώσσα. Α αι ί αι α ο ό ο, ισ αί αι ό ι α έ α όβ α α αι ί ύ ο ς ή σ έσ ις α ό

ά ο ισ ο ι ό ίο, α ά ί ο αι σ ο ς αθ ές. ασ ιό α

ύ α ο ια ά α ος έ ι έ ο αι σ α ί ι ία ο ο ι ό ιο έ αφος. ο βα ο ά ι σύ αι m α ά ή ος ο άφο ς.

α α ο ο ίσ ο έ ο ς ύ α ς ό α ία ί αι

.

β ι έ ύο ά ς ι ές ια ία αι

ο ο ίσ ο έ ο σ άθ ί σ . ί ο ας α

α ο έσ α α ο ί α ια ώσ ά οια ι ασία; Χ

σ ι έ ασ ιό α σ ο ύ ι α σ έσ ι α αθ α ι ά φ σι ή αι φα ο ές

1 Η υΰε ελδηΫθβ λα βλδσ β α Ϋχ δ αζδ υγ έ απσ κ ίδίζέκμ THOMAS π δλο δεόμ ζογδ ηόμ, Τόηομ

ΙΙ ωθ Finney, Weir & Giordano, ζέ θλι, Π Κ, ΗλΪεζ δκ βί11έ

1 1

2 2

x y

x y

1 1

1 2 1 2

2 2

x yx y y x

x y

1 1α ,x y 2 2ί ,x y

1 1α ,x y 2 2ί ,x y det α,ί 1 1

1 2 1 2

2 2

det α,ίx y

x y y xx y

1 1

1 2 1 2

2 2

x yD x y y x

x y

pF 20N o

30o

o

57

ο α α ι ού όσ ο . σ ιά ι σ ο ο ός ό ι ο έ ο ί αι ί ο α ά ο, α ά ο σ ι ό ι ό ο ύο ια σ α ι ώ θώ . ς ύ α ς αι ς α ό ισ ς.

ασ ιό α

α ια ύσ α α αι ο ι έ ο ι α ο οιού σ έσ .

i) α άσ α σ ι έ σ έσ ι α ο οι ί αι ια ο οια ή ο ια ύσ α α αι ο ι έ ο ή ό ο σ σ ι έ ς ι ώσ ις.

ii) οσ αθήσ α ύσ ι ά ο ο ού ο σ έ ασ ά σας. ι ι ή ύσ

σ ι έ ασ ιό α σ έ ι ο ια σ α ι ό ο ισ ό ί ια ία. ο ώ ο ώ α α α έ αι, οι αθ ές α φα όσο ις ι ιό ς ο σ ι ού ι ο έ ο αι α ό οι, ί ς α β ι ά, α α α ή ο ό ι σ ι έ σ έσ ισ ύ ι α αι ό ο α α

ια ύσ α α ί αι άθ α. ο ύ ο ώ α ι ι ού α ο ι ο οιήσο οι αθ ές οθ ίσα σ έσ . Έ σι,

σ ίο α αφο άς ο θα α ασ ά ο α ια ύσ α α αι , ο ό θα ί αι

, ό ς φαί αι αι σ ο σ ή α.

ι αθ ές, σ σ έ ια, α α έ αι α ύσο α έ α ια σ ά ς ή

θ ά ά , ο ό σ έσ θα ά ο σ ο φή:

Α 2 = Α 2 + 2 , ια α α α ή ο σ ο σ έ ασ α ό ι ισ ύ ι, α αι ό ο α ο ί ο Α

ί αι ο θο ώ ιο, α ή α αι ό ο α α ια ύσ α α αι ί αι άθ α. ασ ιό α

Έ α α οσ άφος ο ά ος α α ο άς α ύ α km/h α ο σία α έ ο , σ α ά ά ο

α ύ ας km/h, ο έ ι σ α ύθ σ α α ο ι ή-βο ιο α ο ι ή οι α θύ σ ις ο ί ο ία ο οία ιέ αι α ό ώ α ύθ σ . α α ο ι ή, ος ύ

α ύθ σ , βο ιοα α ο ι ή . ο α ο ά ο ια ί ο οσα α ο ισ ό ο ος α α ο άς, σ όσο ό ο α έ ο , α ύ α ο ς ος ο έ αφος α ο ά έο έ ο αι

α ύθ σ . ί έα α ύθ σ ο α οσ άφο ς.

ι ι ή ύσ Έσ α ύ α ο α οσ άφο ς ι

ί ασ ο α έ ο αι α ύ α ο α έ ο . ό έ ο : αι

. ί αι ο έ ο αι φο ά ς

σ ισ α έ ς . οθέ ο ό ι ο θ ι ός ιά ο ας ί ι ος Α α ο ή αι ο θ ι ός ιά ο ας

r r 2 22 r rr r

r r

uuur r uuur r

uuur uuur uuurrr

2 22 r rr r

r r

060

ur

vr

500u r

70v r

u vr r

xy

58

ος ο ο ά. ο σύσ α α ό ο ιά σ α αι ο

. ο έ ς, αι σ ώς

.

ι έο , ια ία ο σ α ί ι α ύθ σ ο α οσ άφο ς α α ο ι ή

α ύθ σ ισ ύ ι: .

ία: έα α ύ α ο α οσ άφο ς θα ί αι ί ο , km/h, ώ έα ο ία ο ί αι ί ο α α ο ι ή-βο ιοα α ο ι ή.

΄ ό ος

ο ού α ο ο ίσο ο ήσ ο σ ι ού α ώ ο αι ία

ια σ ά αι ήσ ο σ ι ού ι ο έ ο .

φά αιο ο


ισα ή α ά φοί σ ο ς σ ο άσιο, οι αθ ές έ ο έ θ ι ή σ αφή έ οι ς ς Α α ι ής

ίας. ΄ ίο σ ο ύο σ αι έ βάθ σ θ ι ώ ά ς Α α ι ής ίας. α θέ α α ο σ ί ο αι θ ία α ο σιά ο αι σ σ α ι ό α

αι α ύ ό α αι α ίβ ια. ο ί αι σ ασία ο σ σ ή ι ύθ σ ς ίσ ς ιας θ ίας, βοήθ ια ο ο οίο ια ώ ο αι οι σ θή ς α α ίας αι αθ ό ας ύο θ ιώ . ι έο , οσ ιο ί ο αι οι ιάφο ς ο φές ς ίσ σ ς ς θ ίας, ι ή ς ο φή, αθώς αι ο σύ ο ο θ ιώ ο ιέ ο αι α ό έ α σ ίο. ι ασ α ία α ής ς ό ας ι ιώ αι οι αθ ές α οι ι θού ις θό ο ς ς Α α ι ής ίας,

αθώς αι α α α οήσο ις α ό ς ο α έ ι ς αθ α ι ό α ίο σ ι ύ σ αι α ό ι ο άσ ς ί ιας ίας, α ά αι σ ιο ές ά ισ ώ .

ο ί αι, ι ασ α ία ς θ ίας α έ ι ς σ ό ο, α ο ού οι αθ ές α α α ού σ ις α α ά ήσ ις:

οιο ό ο σ έ αι ίσ ς θ ίας, ο ό ος αβο ής α ύ ύο σ ί ς αι ο σ σ ής ι ύθ σ ς ια ύσ α ος α ά ο ος α ή ;

ώς έ ο α ύο θ ί ς ί αι α ά ς ή άθ ς ήσ σ σ ώ ι ύθ σ ς; ώς έ ο α ύο θ ί ς ί αι α ά ς ή άθ ς ό α ία ο ά ισ ο ύο

έ ι σ σ ή ι ύθ σ ς. ώς β ίσ ο ίσ σ θ ίας ό α : α ιέ αι α ό σ ό σ ίο αι έ ι σ ό

σ σ ή ι ύθ σ ς ή ί αι α ά σ ο , β ί ο αι ύο σ ία ς, ί αι έ α σ ίο ς αι ί αι α ά σ σ ό ιά σ α;

ώς α ο ι ύο ό ι έ α σ ίο α ή ι σ ια θ ία αι ό ι ία σ ία ί αι σ θ ια ά; ί αι σ α ι ό α α α οήσο οι αθ ές ό ι έ α σ ίο α ή ι σ θ ία α αι ό ο α οι

σ α έ ς ο α θ ύο ίσ σή ς. οια ί αι ι ή ο φή ίσ σ ς θ ίας αι οιο ό ο οσ ιο ί ο έ α ιά σ α

άθ ο αι έ α ιά σ α α ά ο βάσ ι ή ο φή ς ίσ σ ς; οι ς ί αι οι σ ι ές θέσ ις ύο θ ιώ σ ο ί ο αι ώς ι ά αι α β ι ά ο

σ ι έ ο ώ α ήσ ο ι ο σώ ;

§ . ο ί αι α ια θού ώ ς. ο ί αι α οθ ί ι ιαί έ φασ σ ο ς ιαφο ι ούς ό ο ς ο ς ο οίο ς ο ί α φ ασθ ί ο σ σ ής ι ύθ σ ς θ ίας αι σ ο ό ι ο ί αι σ σ ής ι ύθ σ ς ια

θ ία ο ί αι α ά σ ο ά ο α . α ο ισθ ί ίσ ς, ό ι α ό ο σ ίο

500, 0u r

0 070 60 , 70 60 35, 35 3v r 535, 35 3u v r r

22

535 35 3 538, 4u v r r

35 3

535

06,5

u vr r

ur

u vr r

x x

y y

59

ιέ ο αι οι θ ί ς ισώσ ις: αι .


α οθ ί έ φασ ό ι ό ο σ ι ή ο φή ίσ σ ς θ ίας, α ά αι σ σ έσ ο ά ι α ύ σ σ ώ ς ίσ σ ς αι σ α έ ο ια ύσ α ος ο ί αι

α ά ο ή άθ ο ος θ ία. α ά αφο α ή ισά αι ια ι ασία ί σ ς ο α ι ού σ σ ή α ος έθο ο ο ι ο σώ , σ σ ασ ό σ ι ή θέσ ύο θ ιώ σ ο ί ο. ι ή ιέ αι ο σ ι ό θέ α σ ο σ ο ι ό βιβ ίο, ο ί αι

α α ά ι α ι ή ο ία. Ας ί αι

οι ισώσ ις ύο θ ιώ σ ο ί ο α ίσ οι α. ις ισώσ ις α ές ο ού α ις ά ο ισο ύ α α ς ής:

ό έ ό ι έ ο έ α α ι ό σύσ α ύο ισώσ ύο α ώσ ο ς ή α ιώς έ α α ι ό σύσ α .

α ια ύσ α α αι ί αι άθ α σ ις θ ί ς

α ίσ οι α. ο έ ς, θα οσ ιο ί ο αι σ ι ή θέσ θ ιώ α ώ .

ο ί ο σα ια σ ά αι , , ι ή σ α ί αι α ό

ο ς σ σ ές α ώσ ο σ σ ή α ος , ο ο ά αι ο ί ο σα ο σ σ ή α ος αι

σ βο ί αι , α ή .

ια ί ο ις ι ώσ ις:

Α α ια ύσ α α αι ί αι σ α ι ά, ό ισο ύ α α

(2)

ο έ ς, οι θ ί ς αι έ ο αι. ο σ ίο ο ής έ ι σ α έ ς ο α ι ή ύσ ο σ σ ή α ος .

Α , ό ισο ύ α α α αι ί αι σ α ι ά αι ο έ ς, οι θ ί ς αι

ί αι α ά ς. α ο ισ ί ό ι έ οια ς α α ίας ο ί αι ό α α ι ή ς έ φ ασ . α ή, οι θ ί ς ί έ ο α έ α οι ό σ ίο, ί α ί ο αι αι έ ο ά ι α

οι ά σ ία. ο έ ς, ό α , ό ο σύσ α ί ί αι α ύ α ο, ί έ ι ά ι ς ύσ ις α ίσ οι α.

α α ι ή οσέ ισ

Α ί αθέ ια σ ά , θα ο ούσα α σι ο οιήσο α ια ύσ α α

αι ο ί αι α ά α σ ις θ ί ς αι α ίσ οι α.

ό α ια ύσ α α θα οσ ιο ί ο αι σ ι ή θέσ θ ιώ α ώ . ια ί ο ις ι ώσ ις:

Α α ια ύσ α α αι ί αι σ α ι ά, ό

0 0Μ ,x y 0 0ζy y x x 0x x

1 1 1 1 1 1 1

2 1 2 1 2 2 2

Γ ί η ί ίΓ ί η ί ί

x y ήx y ή

1 2εαδ

1 1 1 1 1 1 1

2 1 2 1 2 2 2

Γ η ί ί1

Γ η ί ί

x y ή

x y ή

1 1 1β , 2 2 2β ,1 2εαδ

1β 2β 1 1

1 2

2 2

det β ,β

D1 1

2 2

D

1 1 1β , 2 2 2β , 1 1

1 2

2 2

det β ,β ί ί ίD 1 2

0D 1β 2β 1 2

0D

1 1 1, 2 2 2, 1 2

1 1 1, 2 2 2,

60

αία σ έσ άφ αι αι . σ ι έ ο ί ο σα ο α ο ί αι

α ό ο ς σ σ ές α ώσ ο σ σ ή α ος, έ αι ο ί ο σα ο σ σ ή α ος. σ έσ σ αί ι ισο ύ α α ό ι οι θ ί ς έ ο αι αι ο σ ίο ο ής έ ι σ α έ ς ο α ι ή ύσ ο σ σ ή α ος .

Ό α α ια ύσ α α ί αι α ά α, ό

Αφού α ια ύσ α α αι ί αι α ά α, ό αι οι α ίσ οι ς

θ ί ς αι ί αι α ά ς. α ο ισ ί ό ι έ οια ς α α ίας ο ί αι ό α α ι ή ς έ φ ασ . α ή, οι θ ί ς ί έ ο α έ α οι ό σ ίο, ί α ί ο αι αι έ ο ά ι α οι ά σ ία. ο έ ς, ό α , ό ο σύσ α ί ί αι α ύ α ο, ί έ ι ά ι ς ύσ ις.

ό ιο οαι ι ά ο ι άσ θα ο ούσ , βοήθ ια ο ι ο σώ , α ο ήσ ι σ

ι ύ σ σ θ ώ ά α ό ις ο οί ς οι α ά ς θ ί ς έ ο α έ α οι ό σ ίο ή σ ί ο . ια α ά ι α: ι θ ί ς αι έ ο έ α ο ά ισ ο α ό ο ς ά ο ς. Έσ ό ι

έ ο ο . ό , ο έ ι σ ο σ ίο α έ αι σ ο σ ίο

α έ . ί σ α ή, οι θ ί ς αι :

ί ο α αι ό ο α

ό ο . ο ί ο σα ο ύ ι α ό ο ί ο σα D, α σ ή σ σ ώ

ο α ι α ασ αθ ί α ό ο ς σ αθ ούς ό ο ς ο σ σ ή α ος . α ό οιο ό ο

ο ύ ι αι ο ί ο σα , ια ο οία ύ ο α ια ισ ώ ο ό ι . α

σ ι θ ί ό ι σ ό ς ις ι ώσ ις ά ι σ σ ής α ώσ ο ιαφο ι ός α ό ο έ . έ ο α έ α οι ό σ ίο α α ό ο α

ασ α ι ά Α Ω Α

1 1

1 2 1 2 1 2

2 2

det , ί ί ί

1 1

2 2

0D

1 2εαδ

1 1

1 2 1 2 1 2

2 2

ί αdet , ί ί ί α α ί ί ί

ί αD

1 1 1ί , α 2 2 2ί , α

1 2

0D

1 2

y y1

1

1

Γ2

2

2

Γ1 2

1 11 21 2 1 2 1 2 1 2

2 21 2

ΓΓ Γ Γ Γ Γ Γ ί ί ίΓ xD

1 1

2 2

ΓΓxD

xD

x

1 1

2 2

ΓΓyD 0yD

1 11 21 2 1 2 1 2 1 2

2 21 2

ΓΓ Γ Γ Γ Γ Γ ί ί ίΓ xD

61

ι θ ί ς έ ο αι ο α ι ό οι ό σ ίο

ο α ι ή ύσ

ι θ ί ς έ ο α έ α οι ό σ ίο

ή

ι θ ί ς σ ί ο ά ι α οι ά

σ ία

Α ύ α ο

ή

Ά ι ς ύσ ις

α ο ισ ί α ά α ιθ ι ά α α ί α α ό ι σ ί σ ό ο οι σ σ ές ί αι έ σ θή ώ ι ό ι οι σ σ ές

ί αι α ά ο οι αι οι θ ί ς έ ο ίσο ς σ σ ές ι ύθ σ ς, ώ οι ο ί ο σ ς

αθο ί ο α α α ο ία ισ ύ ι αι ια ο ς σ σ ές , ο ό οι θ ί ς α ί ο αι, ή ισ ύ ι ο ό οι θ ί ς ί αι α ά ς.

ο ί αι α ι α θού ασ ήσ ις α α ι ώ σ σ ά α ό ο βιβ ίο ς Ά β ας ίο ό ο ίσ α ς σ ι ής θέσ ς ύο θ ιώ .

ι α ι ή ο ία ο θα ι ί θα ί αι σ ασ έα ύ . ι αθ ές ό ς έ ι α ί ο αι α σι ο οιού σ ασ ήσ ις α σ άσ α α ο α α ά ί α α.


ι οθού οι ύ οι ς α όσ ασ ς σ ίο α ό θ ία αι ο βα ού ι ώ ο , οι αθ ές α ασ ού ασ ιό ς, ό ς οι α α ά ύο:

1 : ί ο αι θ ία αι ο σ ίο . α β θού :

i) ίσ σ ς θ ίας ο ιέ αι α ό ο αι ί αι άθ σ .

ii) ι σ α έ ς ο σ ίο ο ής ς .

iii) α όσ ασ ο α ό .

σ έ ια, α θ ί σ ο ς αθ ές ό ι α ά ο ο ό ο ο ί α α ο ι θ ί ο ύ ος α όσ ασ ς ός σ ίο α ό ία θ ία, ο ο οίος αι α οθ ί.

2 : ί ο αι α σ ία , αι . α β θού :

i) ίσ σ ς θ ίας .

ii) ο ύ ος ΑΔ ο ι ώ ο αι iii) ο βα ό ο ι ώ ο .

σ έ ια, α θ ί σ ο ς αθ ές ό ι α ά ο ο ό ο ο ί α α ο ι θ ί ο ύ ος ο βα ού ι ώ ο ο ο οίο ί αι σ ές οι σ α έ ς ο φώ .

α ί ο :

άσ σ ς ΄ ά ας. Α ό ις ι ές Ασ ήσ ις οι , , , αι .

ο ι ό ς ασ ιό ς σ ό ο ο φά αιο

Ας ού ώ α ι ές ασ ιό ς ο ο ού α ο οιήσο σ ά ο ς αθ ές ας

ασ ιό α α σ ώσ α ά σ ο α α ά ί α α

ίσ θ ίας

σ ής ι ύθ σ ς ια ύσ α ος

ία θ ίας

ο ά ο α

0D εαδ yx

DDx y

D D

0D

1 2 2 1, , , 1 2 2 1D ί x yD , D

1 2Γ ,Γ

5, 2A

ζ A

ζA

5, 2A 2, 3B Γ γ, ζΓ

ΓΓ

2 1

2 1

y y

x x

x x

030

060

0150

62

ιά σ α α ά ο

ος θ ία

ία ς θ ίας

αι

αι

αι

ι αθ ές α ού αι α σ ώσο α ά αι α σ έσο έ σι ίσ ς θ ίας, ο

σ σ ή ι ύθ σ ς ο α ά ο ια ύσ α ος αι ο ί ο ιαφο ώ . Α α έ αι

α α α ήσο ό ι οι ι ές ιώ θώ α ί ο αι αι α ά σ έ ια φ ά ο ί ια αθ α ι ή έ οια.

ασ ιό α

ού ις θ ί ς ισώσ ις:

α α οσ ιο ίσ ύο ια ύσ α α αι ο α ί αι άθ α σ ις θ ί ς αι

α ίσ οι α αι α β ί α έ α ο ς. β α β ί ο ία ία ο σ α ί ο οι θ ί ς α ύ ο ς.

α β ί ο σ ίο ο ής θ ιώ . ασ ιό α ί σ ι ού οβ ή α ος

ά β α

α α ο ί ό ι οι ια ώ ι ς ός α α ο ά ο ι ο ο ού αι.

ι ι ή ύσ

ο ού ο α ο ί ία α ό ις βασι ές ι ιό ς α α ο ά . Α ό ο θέ ο ό ς ώ α, ί αι α α ο ί ο ήσ ς ά β ας. ι έ ο οι ό έ α α ά ο σύσ α σ α έ . α α ό α έ ι α ά ι ήσ όσο ο α ό ι ό α ώσ . ια α ά ι α, θα ο ούσα α έ ο ο ι α ό σ ή α ο ς ά ο ς. ώ ας ο σ ίο ς α ή α ό , ο σ ίο

αι ο σ ίο . ό ,

ο ό ο σ ίο έ ι ις ί ι ς σ α έ ς. Ά σα ο ύ ι ό ι οι σ α έ ς ο έσο

ο ή α ος Α ί αι ό ς α ιβώς σ βαί ι αι ις σ α έ ς ο έσο ο

. ο έ ς, οι ια ώ ιοι ο α α ο ά ο ι ο ο ού αι. ασ ιό α

ήσ ο ο ισ ι ού GeoGebra α ι έ ις ο ίς Α, , αι α α ασ ήσ

αφι ά α ια ύσ α α αι , αθώς αι θ ία ε ίσ σ

. α ο ο ίσ ι έο ο έ ο ς ίας ια σ ά αι , αθώς αι

ο έ ο ς ίας ο σ α ί ι ο ιά σ α θ ία ε αι, σ σ έ ια, α

3, 3 r

1, 3 r

3, 3 r

0, 1 3, 2

1, 3 1 3, 2

0, 2 3, 3

2 1

2 1

y y

x x

1

2

1 3 1 3 8

3 1

x y

x y

1

ru 2

ru 1 2

0,0 ,0 , , uuur

,

2 2

rn , r

,

Γx y rn

r

rn

63

α α ήσ σ α α α ά ή α α:

i) οια ί αι σ έσ ια σ ά αι , όσο α ύ ο ς, όσο αι θ ία ε, ό α αβά ο ο Α ή ο ;

ii) ώς ι ί αι θ ία , ό α αβά ο ό ο ο Α ή ό ο ο ή ό ο ο ; ια α α α ήσ σ ο ώ α α ό ο οι ίσ ο ί ος ς θ ίας αι αβά ια ο ι ά ο ς ο ίς Α,

, , αφού ο ο έ ς ια ήσ σ ιφά ια ασίας ό ο θ ία αι ο ς ο ίς αι α ο ύ ό α α ό οι α β έ α α ά σ ή α .

iii) Α ο ί ο ο ού ο ισ ισ ό σας.

ασ ιό α

ί αι α α ά οι ο έ ια α ι ώ ισώσ :

.

ο ο ισ ι ό GEOGEB‘A ι έ έ α ο έα ο α αί ι ι ές α ό - έ ς αύ σ

, αι α ασ ήσ αφι ά

i) α ι ήσ ο ο έα ια α αβά ις ι ές ο αι α α ήσ σ ο ώ α: « ι

α ισ ά ι ια ις ιάφο ς ι ές ο αι ί ια ;» Α ο ί ο ισ ισ ό σας.

ii) ά ύο ι ές ο , ια α ά ι α , α ασ ήσ αφι ά ις αι , β ί ις σ α έ ς ο σ ίο ο ής ο ς Α αι ιβ βαιώσ α β ι ά α ά σή σας.

iii) ο οιήσ ο ί ος ς , α ι ήσ ο ο έα ια α αβά ις ι ές ο αι

έ α οι , ιέ ο αι ό ς α ό ο σ ίο Α. α θ ύσα ι ασία σας α β ι ά.

φά αιο ο

rn

r

2 2: 3 Rζ ζ ζ x ζ y ζ ζ, ζ

ζ

ζ 0ζ 0ζ ζ , 1 2

ζ ζ

ζ ζR

64


ι ι ή α α ο ή ώ : § . - ώ ς, § . - ώ ς, § . - ώ ς, § . - ώ ς, § . - ώ ς

ισα ή έ ι ώ ο ώ α ο ί ια φ σιο ο ι ή ι α ι ή έ ι ά έ ς θ ίας, ο φ ά αι ίσ σ ώ ο βαθ ού, αφού α α ι ή ο ς έ φ ασ α ισ οι ί

σ ισώσ ις ο βαθ ού. α ά ι ασ α ία ο φα αίο ο ί αι, α οθ ί έ φασ σ α

α α ά σ ία: άθ ι ή ο ή ί αι ι ός ό ος σ ί ο ι έ ο α ο οία ι α ο οιού

σ ι έ άθ φο ά ι ιό α. ι ή ς ό ας αθο ί ι ο φή ς ι ής ο ής. ι ι ιό ς ι ώ ο ώ έ ο ο ές α ι ές φα ο ές.

ό ος ί αι α ο ού οι αθ ές α α α ού σ ις α α ά ήσ ις: ια ί ο ο άσθ α ι ές ο ές ο ύ ος, α αβο ή, έ ι αι βο ή; ώς ο ί αι ο ύ ος, α αβο ή, έ ι αι βο ή; οι ς ί αι οι ισώσ ις ι ώ ο ώ ; ώς ο ί αι φα ο έ σ έ α σ ίο ιας ι ής ο ής αι οια ί αι ίσ σή ς; ό ο

ια ο ύ ο αι α αβο ή . ώς ο ί ο αι οι ασύ ς ς βο ής;


α ί ι θύ ισ βασι ώ ι ιο ή ο ύ ο ο έ ο ίσ ι οι αθ ές α ά ι ασ α ία ς ί ιας ίας. ο ί αι ια ύ σ ς ίσ σ ς ο ύ ο α οθ ί έ φασ ό ο σ φα ο ή ο ύ ο , α ά αι σ ύ σή ς έθο ο ς

σ ή σ ς α ώ ο .


ι οθ ί ο ύ ος ς ίσ σ ς ς α αβο ής, α θ ί έ α όβ α ύ σ ς ίσ σ ς α αβο ής ς ο οίας ί αι σ ία αι ι θ ούσα. ια α ά ι α ς α αβο ής σ ία ο σ ίο αι ι θ ούσα θ ία .

ο ό ο α ό οι αθ ές έ ο αι σ αφή βασι ή ι έα ς α ό ι ς.


Α ι οθ ί ο ύ ος ς ίσ σ ς ς έ ι ς, α θ ί έ α όβ α ύ σ ς ίσ σ ς έ ι ς ς ο οίας ί ο αι οι σ ί ς αι ο σ αθ ό άθ οισ α . ια α ά ι α ς έ ι ς

σ ί ς α σ ία αι . θα ί ο οι ασ ήσ ις , αι ς Α΄

ο ά ας ο α αφέ ο αι σ φα ο έ ς έ ι ς. α οθ ί έ φασ σ ασ ήσ ις ο α α ώ ο αι σ ο ές ά ις


Α ό α ά αφο α ή α ί ο α ές ασ ήσ ις α ιθ ι ά ο έ α αι ό ο. θα ί ο οι ασ ήσ ις , αι ς Α ο ά ας ο α αφέ ο αι σ φα ο έ ς βο ής.


Α ό α ά αφο α ή θα ι α θ ί ό ο ο α ά αφος « ι ή θέσ θ ίας αι ι ής» αι ια ι ές ς ο φής α α άφ . αι . . Έ σι, οι αθ ές θα ίσο

α β ι ή ία ο ι ού ο ισ ού ς φα ο έ ς ι ώ ο ώ αι ι ό α ς σ ι ής θέσ ς θ ίας αι ι ής ο ής. ο ί αι ί σ α ώ ασ ήσ , ό ς ί αι

άσ σ ς Α΄ ο ά ας.

ασ ιό α

α. α α ισ οι ίσ άθ σ οι ίο ς ώ ς σ ή ς ο ί α α ο α ο ο θ ί ο α ίσ οι ό ο σ ύ σ ή :

(1,0)E : 1x

2α ζ,ί , ζ,ί΄ 2 10α

65

β. Ό οια ια ο ί α α: ό α ι ή ο ή

ύ ος

σοσ ής βο ή

βο ή

Έ ι

ι ι ές φια ές ασ ιό ς


ο ές ώ ο ί ο. ι ο ί α α, α α έ ο σ ο « ό ο», ια ι ύ σ ο ώ ός ώ ο έ α

ί ο. ήσ ς ο ί α ι ήσ ι ο ί ος ς α ύ ς ο ο ύ ι έ ι , α αβο ή, βο ή, ύ ος , σ σ έσ θέσ αι ίσ ο ι έ ο ο ής, αθώς αι ία ς

ο φής ο ώ ο . http://photodentro.edu.gr/lor/r/8521/5654?locale=el


έ οια ς έ ι ς ο ί αι α ί ι ιο ι ι ό ό ο ασ ιό α « α ασ ή έ ι ς» α ό ο ό ο. βοήθ ια

ο ιώ αι ο ο ισ ι ού, οι αθ ές α ασ ά ο ο ι ό ό ο ός σ ίο ο ο άθ οισ α α οσ άσ ώ ο α ό ύο σ αθ ά σ ία, ί αι σ αθ ό. ο ού α αβά ο

α ι ά θέσ σ αθ ώ σ ί , ο σ αθ ό άθ οισ α α οσ άσ ο ί ο σ ίο α ό α ά αι α α α ού άθ φο ά αβο ή σ ο ι ό ό ο.







Α φα ο ή ί αι σ flash θα έ ι α α ασ ήσ ο όσθ ο Adobe flash player α ό ι ύθ σ https://get.adobe.com/flashplayer/.


ίσ σ ι ή ο ή

Έ ι

βο ή

α αβο ή

ύ ος θ ιώ

ύ ος

2

2

0

4

5

5

4

2

2 29 0x y 2 2 4 2 6 0x y x y

2 2 2 1 0y x y 2 24 8 2 4 0x y x y

2 2 2 4 4 0x y x y

http://photodentro.edu.gr/lor/r/8521/5654?locale=el





http://java.com/en/

66




ι ι άσ ο ς/ο σ ς α θού ό αφα.

σ . ια ο ή

αφ ίο ο ού

αφ ίο Α α . ι ού α α έα

/ σ ο ώ , ο / & ά σ ς . ., . Α΄ Α . / σ αι ίας, ο ., ια ο . /σ ς, έ αι ιο . ο ί

ι ύθ σ σ ι ής /σ ς

/ σ ι ι ής Α ής αι /σ ς

/ σ ι ι ής /σ ς

Α Α , Α Α Η Α Ω

Ω Α Α



02-10-2017 163561 ûΙ üΤΘΤΝΗΝΠΟΤ ûΧΝ,ΝΠΡΟΓΡ ùΜΜ ùΣΧΝ...

Documents