02. dinámica orbital
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Dinámica orbital
Trayectorias espaciales y su determinación
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Las leyes de Kepler
Primera ley: los planetas se mueven a lo largo de órbitas elípticas con el Sol en uno de sus focos
Segunda ley: las áreas barridas por el radiovector en tiempos iguales son iguales
Tercera ley: el cubo de los periodos orbitales es proporcional al cuadrado de los semiejes mayores
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Las primeras ideas de Kepler giraban en torno a una filosofía de perfección celeste, representada por los sólidos regulares
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Retrato de JohannesKepler
"By the study of the orbit of Mars, we must either arrive at the secrets of Astronomy or forever remain in ignorance of them."
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TychoBrahe
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Las observaciones deTycho Brahe se centrabanEn la determinación de lasPosiciones de los planetas
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Ilustración de la segunda ley de Kepler
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Newton y la gravitación
Isaac Newton encontró que la fuerza gravitatoria ejercida entre dos cuerpos de masas M1 y M2 se puede expresar como
rr
MMGF
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Newton y la dinámica
Primer principio: todo cuerpo sobre el que actúa una fuerza neta nula, permanece en reposo o se mueve con velocidad constante
Segundo principio: la aceleración de un objeto es directamente proporcional a la fuerza neta ejercida sobre él, e inversamente proporcional a su masa
Tercer principio: Si un cuerpo A efectúa una fuerza F sobre un cuerpo B, éste ejerce una fuerza sobre el cuerpo A de igual módulo y dirección, pero de sentido opuesto (ley de acción-reacción)
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Combinando los tres principios de Newton con la ley de la gravitación universal se pueden deducir las tres leyes de Kepler
La ecuación del movimiento de un satélite será entonces
donde Fg es la fuerza de la gravedad, Froz el rozamiento con la atmósfera, Fimp la fuerza de impulsión generada por motores u otros métodos, F3C la atracción gravitatoria creada por otros cuerpos y Fotros el resto de fuerzas que pueden afectar al movimiento de un satélite
otrosCimprozgext FFFFFF
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Ejemplo de fuerza debida a un tercer cuerpo
Comparación entre la atracción ejercida sobre la Luna por la Tierra y por el Sol.
MSol = 1.99 ×1030 kg
MTierra = 5.98 ×1024 kg
MLuna = 7.33 ×1022 kg
dSol-Luna = 1.49 ×1011 m
dTierra-Luna = 3.84 ×108 m
!2 LunaTierraLunaSol FF
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El problema de los dos cuerpos restringido
Si bien a priori parece simple, no se ha conseguido encontrar una solución matemática analítica a las órbitas descritas por un sistema formado por tres cuerpos sometidos a los influjos de sus respectivas atracciones
Para los casos que nos interesan, podemos efectuar muchas simplificaciones de la ecuación anterior:
– Suponemos que sólo actúa la fuerza de la gravedad
– Se supone que la masa del satélite es despreciable frente a la masa del cuerpo primario
– Se asume que la Tierra posee simetría esférica
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Así, la ecuación del movimiento se reduce a
cuya solución es la ecuación de las cónicas
En la ecuación anterior están implicitas las tres leyes de Kepler
2
2
2 dt
rdm
r
mMGFg
cos1
)1( 2
e
ear
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Constantes del movimiento orbital
Como el campo gravitatorio es conservativo, tanto la energía mecánica como el momento angular se conservan
1. Energía mecánica específica
de donde se deduce que la velocidad orbital esR
MGv
2
2
R
GMv 2
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Se puede demostrar de forma sencilla que
lo que nos da los siguientes casos:
< 0 órbita ligada (elipse)
= 0 órbita abierta (parábola)
> 0 órbita abierta (hipérbola)
El periodo orbital es
y cumple la tercera ley de Kepler
a
MG
2
2/13
2
GM
aT
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2. Momento angular orbital
Recordemos que el momento angular se conserva cuando el momento neto de las fuerzas externas es nulo.
La conservación del momento angular orbital asegura que el plano de la órbita no cambia con el tiempo.
vRh
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Órbitas elípticas
Radio del periastro
Radio del apoastro
e=c/a es la excentricidad
)1()0cos(1
)1( 2
eae
eaRp
)1()180cos(1
)1( 2
eae
eaRa
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Caracterización orbital
Para fijar la posición en el espacio y su evolución futura necesitamos 6 cantidades (obtenidas de las condiciones iniciales).
Existen tres maneras de proporcionar la posición:
1. Matemática: posición y velocidad inicial.
2. Física: energía, momento angular orbital específico y posición del periastro.
3. Geométrica: elementos orbitales clásicos (EOC).
Los EOC dan la forma, tamaño y orientación de la órbita, así como la posición del satélite en ella.
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Elementos Orbitales Clásicos (EOC)
Para determinar la posición y la velocidad de un objeto en el espacio necesitamos seis cantidades (posición y velocidad vectoriales)
Los EOC dan la forma, tamaño y orientación de la órbita, así como la posición del satélite
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Los EOC son los que siguen
1. Semieje mayor (a)
2. Excentricidad (e)
3. Inclinación (i)
4. Longitud del periastro ()
5. Argumento del perigeo ()
6. Anomalía verdadera ()
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1. Semieje mayor (a): Determina el tamaño de la órbita; en el caso de las órbitas elípticas corresponde al diámetro mayor de la elipse
2. Excentricidad (e): Mide la desviación de la órbita con respecto a la circunferencia. Puede adoptar los valores entre 0 e infinito:
e=0 círculo
e<1 elipse
e=1 parábola
e>1 hipérbola
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Geometría de una elipse
2c
F
2a
F’
2b
p
2 2(1 ) /p a e h GM
Semilatus rectum
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Geometría de una elipse (2)
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3. Inclinación (i): angulo formado por el plano orbital con un plano de referencia; en el caso de la Tierra, este plano es el ecuatorial.
Se define como el ángulo entre el momento angular y el eje de rotación terrestre
Adopta valores entre 0º y 180º
– i = 0º ó 180º órbita ecuatorial– i 90º órbita polar
– 0º i <90º órbita directa (o prógrada)– 90º i 180º órbita retrógrada
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4. Longitud del nodo ascendente ():
Los nodos de la órbita son los dos puntos en los que ésta corta el plano de referencia. El nodo ascendente es (por convenio) aquel en el que el satélite pasa del hemisferio sur al norte.
se mide desde la dirección principal (origen de longitud) hasta el nodo ascendente en sentido contrario al de las agujas del reloj
0º 360º
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Origen de ángulos: Aries, la eclíptica
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5. Argumento del periastro (): es el ángulo medido desde el nodo ascendente hasta el periastro en sentido opuesto al de las agujas del reloj
0º 360º
6. Anomalía verdadera (): ángulo formado por el vector centro del primario - periastro y el vector posición R contado en la dirección de movimiento del satélite
0º 360º
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Sumario de los COE
Elemento Nombre Descripción Rango de valores Indefinido
a Semieje mayor Tamaño Depende de la
cónica Nunca
e Excentricidad Forma e = círculo
0 < e < 1 elipse Nunca
i Inclinación Angulo entre el
eje de rotación y L
0º i 180º
Nunca
Longitud del
nodo ascendente
Angulo entre el punto Aries y el
nodo ascendente
0º 360º
Cuando i = 0º ó 180º
Argumento del perigeo
Angulo entre el nodo ascendente
y el perigeo
0º 360º
Cuando i = 0º ó 180º
Cuando e = 0
Anomalía verdadera
Angulo perigeo- posición del
satélite
0º 360º
Cuando e = 0
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Elementos orbitales alternativos (1)
En las órbitas circulares no existe perigeo, de modo que no se puede definir ni ni
Para suplirlos, se define el elemento orbital alternativo argumento de latitud (u): ángulo entre y la posición del satélite (medido en la dirección de movimiento de éste)
Este elemento alternativo es de uso frecuente, ya que muchos satélites se encuentran en órbita circular
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Elementos orbitales alternativos (2)
Cuando la órbita es ecuatorial no se puede definir el nodo ascendente (ya que todos los puntos de la órbita están sobre el plano de referencia). Por ello, la longitud del nodo ascendente () no está definida.
En su lugar se define la longitud del perigeo (): ángulo medido desde el punto aries hasta la posición del perigeo (en el sentido de movimiento del satélite)
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Elementos orbitales alternativos (y 3)
En una órbita circular ecuatorial no se pueden dar ni los nodos ni el periastro, por lo que , y no están definidos
En su lugar se da la longitud verdadera (l): ángulo entre el punto aries y la posición del satélite (medido en el sentido de movimiento de éste)
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Sumario: elementos orbitales alternativos
Elemento Nombre Descripción Rango de valores Uso
u Argumento de
latitud
Ángulo nodo ascendente - posición
satélite
0º u 360º
Cuando e = 0
Longitud del
perigeo Ángulo punto Aries –
perigeo 0º 360º i=0º ó 180º
no hay nodos
l Longitud
verdadera Ángulo punto Aries –
posición satélite 0º l 360º e = 0 y
i = 0º ó 180º
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Ground track (1)
La «pisada» de la trayectoria orbital de un satélite se denomina ground track.
Es la traza de la trayectoria orbital del satélite sobre la superficie terrestre. Se trata de la intersección del radiovector orbital con la superficie terrestre.
Un concepto relacionado es el de visibilidad: la región de la superficie terrestre desde la que se puede observar un satélite.
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Ground track (2)
Para poder ver el satélite ha de estar por encima del horizonte astronómico.
Horizonte astronómico: plano tangente a la superficie terrestre que pasa por la posición del observador.
Conocidos los COE se puede saber cuando un satélite es visible desde la posición del observador.
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Constelaciones orbitales
Para ciertas aplicaciones se precisa más de un satélite (es el caso de los satélites GPS o de comunicaciones globales).
La navegación y mantenimiento de la topología de la constelación son procesos complicados. Los efectos de las perturbaciones orbitales pueden afectar de distinta manera a los diferentes satélites de la constelación.
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No esfericidad de la Tierra
La forma de la Tierra se desvía significativamente de la esférica. El potencial gravitatorio se transforma entonces en
donde es la latitud geocéntrica, Pn los polinomios de Legendre y
J2 = 0.001 082 63
J3 = - 0.000 002 54
J4 = - 0.000 001 61
2
)(sen1)/()(n
n
n
En Pr
RJrr
50
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Esto hace que y cambien con el tiempo como:
2222/7142
222/7142
)1)(sen54(1003237.1)(
)1)((cos1006474.2)(
eiaJ
eiaJ
• Para una órbita con i = 63.4º (órbita de Molniya), con período 12h, la precesión es nula ( fijo), y el apogeo está fijo, si la órbita es muy excéntrica el satélite está mucho tiempo sobre el horizonte para latitudes altas (URSS).
• Órbita heliosíncrona: 92º < i < 95º (retrógrada) y a aproximadamente 7500 km circular. recede aproximadamente 1º por día, siempre pasa por la misma localización geográfica a la misma hora solar (360º/365 días)
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Diferencia entre el geoide y el elipsoide de revolución de la Tierra
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Órbitas de transferencia de Hohmann
Walter Hohmann (Alemania, 1925)
Las transferencias de Hohmann son siempre entre dos órbitas elípticas, coplanarias y con la línea de los ápsides (la línea que contiene los dos nodos y el centro del objeto primario) coincidentes
Para ir a una órbita de semieje mayor hay que aumentar la e del satélite
2,211,21 transftransf vvvvvvv
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Transferencia de Hohmann entre la Tierra y Marte
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Ejemplo: órbita de transferencia geoestacionaria
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Órbita de aparcamiento rA= 6567 km
Órbita geoestacionaria rB= 42160 km
Semieje órb. Transferencia at= 0.5(rA+rB)
at= 24364 km
Velocidad orbital en la órbita de aparcamiento
VA= 7.79 km/s
Velocidad orbital en órbita geoestacionaria
VB= 3.08 km/s
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Velocidad en el perigeo de la órbita de transferenciaVA= 10.25 km/s
Velocidad en el apogeo de la órbita de transferenciaVB= 1.59 km/s
Cambio de velocidad orbital para insertar en órbita de transferencia
VA= 2.46 km/s
Cambio de velocidad orbital para insertar en órbita geoestacionaria
VB= 1.49 km/s
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Cambio total de velocidad orbital de la transferencia
VA= 3.95 km/s
Tiempo de vuelo en la transferencia
T= 5h 15m
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La transferencia de Hohmann es eficiente en términos energéticos, pero no de tiempo
El tiempo de vuelo necesario para pasar de una órbita a la otra es
Nótese que v2 < v1 aunque se ha acelerado dos veces
2/13
GM
aT transfvuelo
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Cambios de plano orbital
Es una maniobra muy costosa en términos energéticos
Debido a la presencia de la velocidad orbital, será más eficiente realizar los cambios de plano en el apoastro, donde vi es menor.
2sen2
ivv
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Asistencias gravitatorias
Una asistencia gravita-toria consiste en la aproximación a un planeta para incrementar la velocidad del satélite.
Ejemplos: Mariner 10, Pioneer X y XI, Voyager 1 y 2, Galileo, Magellan, Cassini
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Caso en que el planeta está en reposo
Caso en que el planeta está en órbita: mientras que la nave espacial ha incrementado su veloci- dad, el planeta la ha disminuido (choque elástico)
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Una de las sondas que ha aprovechado mejor las asistencias gravitatorias es la Voyager 2, que pasó por las cercanías de Júpiter, Saturno, Urano y Neptuno
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El pozo de gravedad
El concepto de pozo gravitatorio se emplea para evaluar la dificultad de escapar de un campo de gravedad (por ejemplo, de un planeta)
Es fácil determinar que la energía mecánica específica necesaria para escapar de la Tierra es
= g R
donde g es la aceleración de la gravedad en la superficie y R el radio de la Tierra
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La profundidad del pozo para otros cuerpos se define como
R = gp Rp/g
donde gp es la aceleración de la gravedad en la superficie del cuerpo y Rp su radio
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Así obtenemos
Cuerpo Profundidad (km)
Tierra 6370
Sol 2.7107
Luna 289
Marte 1285
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Frenado atmosférico
Se usa para entrar en órbita alrededor de, o aterrizar en, un planeta que posee una atmósfera apreciablePasando por la región externa (de baja densidad) de la atmósfera, el rozamiento con los gases reduce la velocidad de la sonda sin consumo de combustibleVentajas:
– reducción en la masa de combustible transportado
Desventajas: – arriesgado– solo es útil en cuerpos con atmósfera– se precisa un escudo térmico
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La aceleración causada por el rozamiento con la atmósfera viene dada por
donde es la densidad atmosférica, A el área del satélite enfrentada al flujo de aire, m la masa del satélite, v su velocidad y CD (el coeficiente balístico) un factor que caracteriza la geometría del satélite.
Todos los satélites en órbita terrestre a menos de 1000 km de altura acabarán cayendo a la superficie debido a la fricción con el aire
2
2
1v
m
ACa DD
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La sonda Mars Global Surveyor empleó sus paneles solares para reducir la altitud de su órbita y circularizarla.
La maniobra tuvo un resultado satisfactorio, pero debido a que la densidad atmosférica era más elevada de lo espera-do falló uno de los ancla-jes de un panel solar, lo que obligó a realizar frenados más suaves.
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Densidad atmosférica de Marte(Mars Global Surveyor)
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La presión experimentada en las maniobras de aerofrenado pueden ser elevadas o pequeñas. En el caso de la Mars Global Surveyor debían ser pequeñas para no dañar los frágiles paneles solares.
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Si el aerofrenado debe dar lugar a un cambio de velocidad importante, es necesario emplear un escudo de ablación para impedir que el calor extremo afecte al satélite y lo inutilice o destruya.
En la imagen se muestra un escudo térmico para una sonda destinada a Marte
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La aceleración causada por el rozamiento con la atmósfera viene dada por
donde es la densidad atmosférica, A el área del satélite enfrentada al flujo de aire, m la masa del satélite, v su velocidad y CD (el coeficiente balístico) un factor que caracteriza la geometría del satélite.
Todos los satélites en órbita terrestre a menos de 1000 km de altura acabarán cayendo a la superficie debido a la fricción con el aire
2
2
1v
m
ACa DD
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Selección de órbitas
Existen diversos criterios para seleccionar la órbita más apropiada para una misión espacial:
1. Cobertura terrestre (o espacial)
2. Inserción en constelaciones
3. Entorno de radiación
En lo que sigue se tratará el último aspecto
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El entorno de radiación terrestre
El Explorer 1 (EEUU, 1958) llevaba a bordo un detector de rayos cósmicos diseñado para estudiar la radiación galáctica.
En cambio, el detector se saturó a alturas relativamente bajas y por partículas cargadas de energía relativa-mente modesta.
El investigador principal, James van Allen, descubrió que la Tierra está rodeada por cinturones radiación formados por protones (a baja altura) y electrones (a mayor altura)
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Los cinturones de van Allen están formados por partículas cargadas procendentes del Sol capturadas en el interior del campo magnético de la Tierra
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Algunas manifestaciones de las partículas cargadas son las auroras polares
86En otros casos, dan lugar a perturbaciones o averías en los sistemas electrónicos de los satélites
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Citas orbitales
En ocasiones es necesario realizar un encuentro entre dos naves en órbita.
Si ambas están en órbitas circulares el problema se simplifica considerablemente. En estas condiciones, el tiempo de espera es
2i fw
in tg
kt
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Citas orbitales (y 2)
El “lead angle” se calcula de la siguiente forma:
y el ángulo de fase es:
L tg flightT
180ºf L
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Ventanas de lanzamiento
Se trata de un problema emparentado con el de las citas orbitales, si bien su resolución es más compleja debido a que influye la localización geográfica del centro de lanzamiento.
Analíticamente se encuentran tres posibilidades en función de la latitud geográfica () del centro:
1. No hay ninguna ventana de lanzamiento si >i para órbitas directas o >180º-i si es retrógrada
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2. Hay una sola ventana de lanzamiento si =i para órbitas directas o =180º-i si es retrógrada
3. Hay dos ventanas de lanzamiento si <i para órbitas directas o <180º-i si es retrógrada
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Más allá del problema de los dos cuerpos
• Soluciones numéricas: hay que resolver las ecuaciones diferenciales del movimiento con la ayuda de un ordenador
• Métodos de perturbaciones: Los efectos de otros cuerpos o de la falta de esfericidad de la Tierra se
incluyen como termes adicionales
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La sonda Ulysses
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Aproximación de las cónicas enlazadas
Se puede suponer que las naves en trayectorias interplanetarias describen cónicas alrededor de los objetos cuya influencia gravitatoria sea más intensa en la posición donde se encuentran
– Esfera de influencia
donde m1 y m2 son las masas de los dos cuerpos bajo consideración, r1 y r2 la distancia que separa la nave de dichos cuerpos, y es el ángulo entre la dirección m1-m2 y el radiovector del satélite
10/12
5/2
2
121 cos31
m
mrr
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Aplicaciones de las diferentes órbitas
• Órbita baja (Low Earth Orbit, LEO)
– Satélites de observación de la Tierra
– Vuelos tripulados en órbita terrestre
– Satélites de telefonía móvil global
• Órbita media (Medium Earth Orbit, MEO)
– Posicionamiento global (GPS, GLONASS y Galileo)
• Órbita alta
– Satélites de comunicación en órbita geoesta-cionaria
– Satélites meteorológicos en órbita geoestacionaria
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Órbita baja (LEO)
• Visibilidad reducida de la superficie terrestre– Necesario para obtener buena resolución– Impacto negativo en las comunicaciones entre el satélite y
Tierra (necesidad de enlaces multisatélite en sistemas de comunicaciones)
• Reducción de los requerimientos energéticos en teléfonos móviles
• Por debajo de los anillos de van Allen (reducción de la exposición a radiaciones en misiones tripuladas)
100
101
102
103
104
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Órbita media
• Buena visibilidad de una gran región de la Tierra• Movimiento aparente del satélite relativamente lento• Requerimientos energéticos elevados para la
comunicación (equipos portátiles de tierra solo en recepción)
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Órbitas GPS
Varias órbitas con diferentes orientaciones
Visibilidad desde cualquier punto de la Tierra de tres o más satélites
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Órbita alta
• Posibilidad de permanecer estacionarios en el cielo• Requerimientos energéticos muy elevados para la
comunicación (estaciones terrestres dedicadas; satélites con grandes paneles solares)
• Fuera de las capas más intensas de los cinturones de van Allen
• Afectados directamente por partículas energéticas solares
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Misión y órbita de los satélites
Satélites de comunicaciones– Órbita geoestacionaria: órbita circular ecuatorial con
inclinación de 0º y periodo de 24 horas (Clarke 1945)• a = 42158 km (h = 35780 km)• ventajas: buena visibilidad desde las zonas más
habitadas del planeta• antenas de comunicación en tierra sencillas• desventajas:satélites lejanos
poca visibilidad desde latitudes altas
Satélites de las series INTELSAT, EUTELSAT, Astra ...
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Órbita baja (LEO): órbitas circulares de baja altitud. Para un recubrimiento global se precisa el uso de una constelación de satélites
– a =7300 km (h = 900 km)– ventajas: satélites cercanos (fácil comunicación)– Desventajas: satélites en movimiento respecto del
usuario
necesidad de utilizar constelaciones fricción con la atmósfera
Satélites Iridium y Celeris
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Amazonas, HEO geoestacionaria
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Iridium, LEO
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Envisat, LEO heliosíncrono
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Quickbird, LEO heliosíncrono
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Meteosat, HEO geosíncrona
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Satélites de observación terrestre (I)
Órbita heliosíncrona: para cualquier punto de la superficie terrestre siempre pasa a la misma hora solar
• a = 6500 - 7300 km (h = 150 - 900 km)
• i = 95 º
–ventajas:
• las condiciones de iluminación son siempre iguales
• buena resolución espacial
–desventajas:
• resolución temporal mala
• alcance regional
• fricción con la atmósfera
satélites: series SPOT, Landsat, ERS, IRS, DPSS
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Satélites de observación terrestre (II)
Órbita geosincrónica– ventajas:
• alcance escala global (un hemisferio)• buena resolución temporal
– desventajas: resolución espacial pobre
Satélites meteorológicos METEOSAT, GOESS
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El futuro: puntos lagrangianos (1)
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El futuro: puntos lagrangianos (2)
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El futuro más inmediato: L1 (1)
• SOHO, ESA/NASA
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El futuro más inmediato: L1 (2)
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El futuro más inmediato: L2 (2)
• WMAP, NASA
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El futuro más inmediato: L2 (3)
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El futuro más inmediato: L2 (4)
• GAIA, ESA
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El futuro: vuelo en formación (1)
• LISA, ESA/NASA
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El futuro: vuelo en formación (2)