02 - introduccion a la probabilidad (ii)toprint [modo...
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TEORICA 2TEORICA 2
Continuidad
Modelos de azar
Simulación
Definición de probabilidad condicional
Teoremas de la probabilidad total y de Bayes
Independencia estadística
AutorDr. Hernán Rey
Ultima actualización: Agosto 2010
TEOREMA/AXIOMA DE CONTINUIDADSea A1, A2, … una secuencia creciente de eventos, i.e., A1 A2 A3…,
y sea A el límite de dicha secuencia,
Prueba
1
lim : para ALGUN n n nn
n
A A A A n
entonces vale lim n
nP A P A
Se reescribe 1 2 1 3 2\ \A A A A A A
3 2A A
Al ser eventos MEX, por sigma aditividad, A3A2
A1
Al ser eventos MEX, por sigma aditividad,
1 11
\n nn
P A P A P A A
1
1 11
limn
i in
i
P A P A P A P A
lim nn
P A P A
Serie telescópica
Por ej., An es estar dentro del círculo definido por:
22 2 1 1/x y n 1nP A P A
B1
Sea B1, B2, … una secuencia decreciente de eventos, i.e., B1 B2 B3…,
y sea B el límite de dicha secuencia,
1
lim : para TODO n n nn
n
B B B B n
entonces vale lim nn
P B P B
B2
B3
Prueba: Tomar complementos y usar el resultado anterior
Análogamente,
Hemos visto que considerando la sigma aditividad como axioma, laHemos visto que considerando la sigma aditividad como axioma, laaditividad finita y la continuidad aparecen como teoremas. Sin embargo, estambién posible tomar a estos dos últimos como axiomas y obtener lasigma aditividad como teorema. Por lo tanto
sigma aditividad aditividad finita + continuidad
Ya se dijo que para espacios finitos es suficiente agregar la aditividad finitaa los axiomas 1 y 2. En estos casos, sólo es necesario asignar probabilidad
a los N eventos elementales 1,2,…,N, ya que cualquier evento A podráescribirse como la unión disjunta de algunos de ellos.
Qué sucede si w es infinito? En ese caso, la medida P debe satisfacertodos los axiomas para poder ser utilizada. Considérese como ejemplo:
Puede verse que si se elige P(A) = |A|, siendo |A| la longitud del
segmento A, la medida P es una medida de probabilidad (satisface losaxiomas). Esta medida en particular permite modelar el experimento deelegir “al azar” un número real en el intervalo (0,1). La idea es que todos
: 0,1x xw
elegir “al azar” un número real en el intervalo (0,1). La idea es que todoslos resultados son igualmente probables. Por ello, la probabilidad de queun número obtenido al azar del intervalo (0,1), pertenezca al intervalo(a,b) es igual a b-a, 0<a<b<1.
El modelo probabilístico de azar en el intervalo (0,1) es de granimportancia ya que existen algoritmos que permiten simular el resultadode este experimento aleatorio. Al resultado de dicha simulación lollamaremos número random. La mayoría de lo métodos usan un valorinicial (semilla) y luego un proceso para generar los siguientes númerosen forma recursiva.
Simular un experimento es de gran importancia práctica. Para ello, senecesita conocer el modelo probabilístico asociado. Una ventaja de lasimulación radica en evitar la realización del experimento en el mundo real(lo cual puede ser bastante costoso). Por ej., podemos registrar el tiro deuna moneda 1 millón de veces en menos de medio segundo. Por otro lado,permite resolver problemas que serían muy tediosos (o imposibles en lapráctica) en el papel.
Elija un dígito del 1 al 5. Llámelo K. Ahora genere 10 números aleatorios
entre 0 y 1, multiplique a cada uno por K y dígamelos. El valor de K que
JUEGO 1
entre 0 y 1, multiplique a cada uno por K y dígamelos. El valor de K que Ud. eligió es …
Partiendo de una rutina básica para generar números random, puedesimularse cualquier experimento con espacio muestral finito (ver ejerciciode la Guía).
Por ej., simular el resultado de arrojar una moneda con probabilidad de
cara igual a p (y por lo tanto de cruz igual a 1-p). Para ello, se busca un
número random; si el valor obtenido es menor a p, entonces se asignacara al resultado del experimento. Si no, se asigna cruz.
Si se quiere simular un dado legal, se busca un número random. Si elvalor obtenido cae en el primer sexto del intervalo, entonces se asigna“as” al resultado del experimento. Si cae en el segundo sexto, se asigna“dos”, etc.
Uno de los primeros problemas que dieron origen al estudio de laprobabilidad involucra al Chevalier de Mere. El decía que si apostabamuchas veces a que al tirar 4 dados saldría al menos un 6, ganaríamucho dinero. Luego cambió de juego y dijo que si tiraba 24 veces dosdados, saldría al menos un par de 6. En este caso perdió mucho dinero y
EJERCICIO DE SIMULACION
dados, saldría al menos un par de 6. En este caso perdió mucho dinero yfinalmente dijo que tendría que haber hecho la apuesta con 25 tiros.Muestre en los tres casos si de Mere tenía o no razón. Realice el planteoen forma analítica y mediante simulación.
Para planteo analítico, considerar equiprobabilidad y usar definiciónclásica. Recordar que el complemento de “al menos un 6” es “ningún 6”.
0.5
0.55
0.6
% d
e r
epetic
iones c
on a
l menos u
n 6
al t
irar
4 d
ados
experimental
teórico: P=0.51775
P=0.5
100 1000 2000 3000 4000 50000.35
0.4
0.45
% d
e r
epetic
iones c
on a
l menos u
n 6
al t
irar
4 d
ados
Numero de repeticiones
0.5
0.52
0.54
0.56
0.58
0.6%
(sobre
n r
epetic
iones)
con a
l menos u
n 6
al t
irar
4 d
ados
Fluctuaciones al reiterar la rutina de simular n repeticiones del experimento
n=100 repeticiones
n=3000 repeticiones
teórico: P=0.51775
5 10 15 20 25 30 35 40 45 500.4
0.42
0.44
0.46
0.48
0.5
Numero de reiteraciones de la rutina
% (
sobre
n r
epetic
iones)
con a
l menos u
n 6
al t
irar
4 d
ados
Número de reiteración de la rutina
0.5
0.55
0.6
% d
e r
epetic
iones c
on a
l menos u
n p
ar
de 6
al t
irar
2 d
ados 2
4 v
eces
experimental
teórico: P=0.4914
P=0.5
100 1000 2000 3000 4000 50000.35
0.4
0.45
% d
e r
epetic
iones c
on a
l menos u
n p
ar
de 6
al t
irar
2 d
ados 2
4 v
eces
Numero de repeticiones
0.5
0.55
0.6
% d
e r
epetic
iones c
on a
l menos u
n p
ar
de 6
al t
irar
2 d
ados 2
5 v
eces
experimental
teórico: P=0.50553
P=0.5
100 1000 2000 3000 4000 50000.35
0.4
0.45
% d
e r
epetic
iones c
on a
l menos u
n p
ar
de 6
al t
irar
2 d
ados 2
5 v
eces
Numero de repeticiones
El sistema Labouchere para jugar a la ruleta dice: “Escribauna lista de números, por ejemplo 10, 20, 30, 40. Apueste alrojo la suma del primer y último número, 10+40 = 50. Sigana, elimine de la lista al primer y último número. Si pierde,agregue a la lista la cantidad que acaba de apostar. Repitaeste procedimiento hasta que la lista este vacía (si sólo hayun número, apueste esa cantidad)”.
EJERCICIO DE SIMULACION
un número, apueste esa cantidad)”.Muestre que si la lista se vacía, usted gana la suma de sulista original, 10+20+30+40 = 100. Simule este experimento yvea si siempre gana. Calcule el número de apuestas hastavaciar la lista y la apuesta máxima en cada realización delexperimento. Si con este sistema siempre se gana, ¿por quéno se utiliza este método para jugar en los casinos?
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10000
0.5
1
1.5
2
2.5
3x 10
7
Ap
ue
sta
ma
xim
a
Sobre 1000 experimentos, en 1000 la ganancia fue de 100
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10000
50
100
150
200
250
Ca
ntid
ad
de
tir
os n
ece
sa
rio
s
Numero de experimento
La misma idea usada para definir probabilidad al azar en el segmento(0,1) puede extenderse a múltiples dimensiones. Por ej., si
, : , , 0,1 0,1x y x y x yw W
puede definirse P(A) = |A|, siendo |A| el área de A. Nuevamente, estamedida permite modelar el experimento de elegir al azar un número realen el cuadrado unitario.
Para simular un par (x,y) tomado al azar en el cuadrado unitario, sesimulan dos valores random, uno para cada componente.
Esto puede ser de utilidad para calcular integrales. Por ej., si tomamosEsto puede ser de utilidad para calcular integrales. Por ej., si tomamoscualquier subconjunto del cuadrado unitario, su área representa la
probabilidad de que un par (x,y) caiga dentro del subconjunto.
Si se quiere calcular la integral de g(x) entre 0 y 1, sólo debemosgenerar una gran cantidad de puntos aleatorios en el cuadrado ycomputar la fracción de ellos que se encuentra por debajo de la función.
Sólo se necesita tener la expresión de la función para poder evaluarla. Elmétodo es igual de simple para cualquier función, sin importar cuancompleja sea la función que se desea integrar.
Para el caso g(x) = x2, se simularon2500 puntos (para poder ver bien lagráfica) dando una proporción iguala 0,343. Si se simulan 100000puntos, la proporción resultante es0,3332. Esto es cercano alresultado analítico (1/3).
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
y b a x a Si simulo un valor de x, al azar en (0,1), y b a x a
de un número al azar en el intervalo (a,b), siendo a y b números reales. Eneste caso, la probabilidad de que un número al azar y resulte dentro de un
intervalo de longitud k, incluido en (a,b), será k/(b-a).
es una simulación
Esta misma idea se aplica en más dimensiones. Para simular un valor (x,y),al azar en el soporte (a,b) (c,d), se elige x al azar en (a,b) e y al azar en
(c,d). Luego, la probabilidad de que un valor (x,y) resulte dentro de una
región de área q (incluida en el soporte), será:
q
b a d c
Supongamos que se tiene una caja con 3 resistencias y un capacitor. Seextrae un componente de la caja. Luego, se extrae un segundo, sin haberreinsertado el primero de ellos.
PROBABILIDAD CONDICIONAL
Sean los eventos A:“sacar un capacitor en la primera extracción” y B:“sacar
un capacitor en la segunda extracción”. Cuánto valen P(A) y P(B)?
Si se conoce que el evento A no ha ocurrido, cuánto valdrá la probabilidad
de B? y si el evento A ha ocurrido?
Esto muestra que al condicionar los posibles resultados de un experimento,la probabilidad de un evento puede modificarse. Se define la probabilidadcondicional como:
P A BP B A
P A
Esta definición es válida SOLO cuando P(A) > 0.
Al saber que el evento A ocurrió, P(B|A)permite evaluar la ocurrencia del evento B(y por lo tanto también la de A) en relación a
la ocurrencia de A.
Esta forma de calcularla resulta intuitiva al considerar la visión frecuentista de
la probabilidad. Se realiza el experimento n veces. Sea nA el número de
veces en que ocurre el evento A. Para buscar la probabilidad condicional,
sólo nos enfocamos en dichas nA ocurrencias, descartando los restante n-nA.
Luego, de las nA ocurrencias, vemos cuántas veces ocurre B (y a la vez A), y
lo llamamos nAB. Luego,
También resulta intuitiva al considerar la definición clásica de probabilidad.
AB
AB
AA
nP A Bn n
nn P An
También resulta intuitiva al considerar la definición clásica de probabilidad.
Los “nuevos casos totales” son aquellos donde se cumple el evento A,mientras que los “nuevos casos favorables” serán aquellos donde se
cumple el evento B, y además el A. Si cada una de estas cantidades sepone en relación a los casos totales del espacio muestral w, surgen lasprobabilidades que se encuentran en numerador y denominador.
Otra forma de justificar la definición radica en que P(A|B) debiera ser
proporcional a P(AB), ya que si ocurrió B, A ocurre sólo cuando ocurre
AB. Entonces P(A|B) = *P(AB) para todo A. En particular, con A=w,
P(w |B) = 1; por lo que *P(wB) = *P(B) = 1. Por lo tanto, =1/P(B).
1P A P B B A P B A P B Aw
De hecho, la probabilidad de un evento A puede pensarse como P(A|w).Cabe destacar que la probabilidad condicional, al ser unaprobabilidad, debe satisfacer todos los axiomas y sus consecuenciasvistas anteriormente. Por ejemplo, debe cumplirse que:
EJEMPLO
Se extrae al azar una bolilla y resulta ser negra. Queremos calcular la probabilidad de que sea un número,
es decir P(N|B).
Negras (B) Blancas (W) Total
Número (N) 30 20 50
Letra (L) 20 30 50
Total 50 50 100
3030100 0.6
50 50100
P N BP N B
P B
Lucas tiene tres monedas legales y dice: “Si al tirar las tres monedas,alguien me dice que al menos dos de ellas son iguales, y la tercer moneda
EJEMPLO
En el espacio muestral condicionado, el de las bolillasnegras, de las 50 bolillas sólo 30 satisfacen la
condición de ser además números.
alguien me dice que al menos dos de ellas son iguales, y la tercer monedatiene probabilidad ½ de salir cara o ceca, entonces la P(tres iguales) = ½”.Está Ud. de acuerdo?
El espacio w tiene 23=8 elementos equiprobables. En todos ellos se cumpleque al menos dos de los resultados son iguales. Por ello, pensar laprobabilidad pedida como condicional o incondicional es lo mismo. En 2 delos 8 casos se da que los tres sean iguales. Entonces P(tres iguales) = ¼.
Propiedades:
P A B P A B P B P B A P A
P A B C P A B C P B C P C
Esta “regla de la cadena” implica que la probabilidadde la intersección de m eventos es igual al productode m probabilidades condicionales (la P incondicio -
En estos casos a veces se utiliza un diagrama de árbol, pero debe ser correctamente interpretado. Por ejemplo, se tira 3 veces una moneda y se quiere la probabilidad se obtener H1T2H3.
de m probabilidades condicionales (la P incondicio -nal puede verse como una condicionada al espacio w)
H1
T1
H2
T2
H3
T3
1 2 3
3 2 1 2 1 1
P H T H
P H T H P T H P H
P(H1)
P(T2|H1)
P(H3|T2H1)
Qué cambiaría si se quisiere la probabilidad se obtener T1T2H3?
Mediante la regla de la cadena:
1 2 1 1 2 1n n n nP X X X X P X X X X
Para ver cómo usar esta importante propiedad, retomaremos elproblema de las fechas de cumpleaños. En primer lugar, numeramos
a las n personas de 1 a n. Luego definimos los sucesos Xi (con i de 1
a n) como “la persona i cumple años en una fecha diferente a las i-1personas anteriores”. Podemos entonces escribir:
1 2 1todos cumplen en fechas diferentes n nP P X X X X
1 2 1 1 2 1
1 2 2 1 3 2 1
2 1 1
n n n n
n nP X X X X P X X X
P X X P X
La primer persona puede cumplir en cualquiera de los 365 días
365
365
La segunda persona sólo tiene 364 días (todos menos el de la primera)364
365
La n-esima persona tiene
n-1 días prohibidos
365 1
365
n
Llegamos así al mismo resultado obtenidoen la clase anterior mediante conteo
Finalmente, veamos qué efecto tiene el condicionamiento sobre las
probabilidades. Es decir, P(B|A) es mayor, menor o igual que P(B)?
Negras (B) Blancas (W) Total
Número (N) 25 25 50
Letra (L) 25 25 50
Total 50 50 100
En el ejemplo anterior de las bolillas, P(N) = 0.5. Luego de condicionar,
P(N|B)=0.6. Si las bolillas hubieran estado distribuidas según:
P(N)=P(N|B) = 0.5.
Si por el contrario fuera:Si por el contrario fuera:
Negras (B) Blancas (W) Total
Número (N) 20 30 50
Letra (L) 30 20 50
Total 50 50 100
P(N) = 0.5
P(N|B) = 0.4
Por lo tanto, el aumento, mantenimiento o
de probabilidad en el espacio muestral.
Por lo tanto, el aumento, mantenimiento odecremento de la probabilidad de un evento al
ser condicionado depende de la distribuciónde probabilidad en el espacio muestral.
TEOREMAS DE LA PROBABILIDAD TOTAL Y DE BAYES
Como esta también es una unión de eventos MEX, entonces:
1 2 nB A B A B A B
1 1
n n
i i ii i
P B P A B P B A P A
Sea A1,A2, . . . ,An una partición del espacio muestral. Si se define un
evento cualquiera B, entonces:
1 1i i
1
i ii n
i ii
P B A P AP A B
P B A P A
i i iP A B P B P B A P A Este teorema permitetransformar las P(Ai)“a priori” en P(Ai|B),
que son “a posteriori”a la observación
del evento B
Para cualquier i de 1 a n puede plantearse:
Una interesante aplicación del Teorema de Bayes se da en el diagnósticomédico. Un doctor le hace un estudio a un paciente para detectar ciertaenfermedad. El doctor sabe que a priori existe una probabilidad de 1/1000para dicha enfermedad. A través del tiempo, el estudio ha dado negativo enel 1% de los casos donde el paciente está enfermo. Además, es positivo enel 5% de los casos donde el paciente está sano. Si el resultado del pacientees positivo (enfermo), ¿qué diagnóstico dará el doctor?
EJEMPLO
Datos: enfermo 0.001P sano 0.999P
enfermo 0.99P enfermo 0.01P
Luego, usando Bayes: enfermo + 0.0194P
Si bien la probabilidad a posteriori aumentó 20 veces, el 98%de los casos son falsos positivos. Por lo tanto, el estudio no es
efectivo para dar un diagnóstico. Si se pregunta a estudiantes demedicina de 2º año, la mayoría dirá que el estudio es efectivo.
enfermo 0.99P
sano 0.95P
enfermo 0.01P
sano 0.05P
INDEPENDENCIA ESTADISTICA
Al realizar n veces un experimento, llamamos nuevamente nA, nB y nAB
al número de ocurrencias de los eventos A, B y AB, respectivamente.De acuerdo a la visión frecuentista:
ABnP A B
n An
P An Bn
P Bn
Si sólo nos enfocamos ahora en los resultados en que ocurrió A, si A y Bfuesen independientes, intuitivamente esperaríamos que:fuesen independientes, intuitivamente esperaríamos que:
AB
A
nP B
n Bn
na
Por lo que, con n grande esperaríamos:
AB AB A B A
A
n n n n n
n n n n n P B A
P A B P B A B AP A P P
Tomando el límite de cada frecuencia, surge que si A y B son independientes:
DEFINICION: Dos eventos A y B son independientes si y sólo si:
P B A P B
Esto muestra que el conocimiento de la ocurrencia del evento B no altera
P A B P A P B
Alternativamente, podemos definir la independencia cuando la probabilidadcondicional es igual a la incondicional, es decir:
Esto muestra que el conocimiento de la ocurrencia del evento B no altera
la probabilidad de ocurrencia del evento A.
Notar que si P(A) y P(B) son no nulas, la independencia entre A y Bimposibilita que sean disjuntos, y viceversa.
Además, la independencia entre A y B, implica también la independencia
entre A y Bc, entre Ac y B, y entre Ac y Bc.
Al transmitir dos bits, sean lo eventos A1:“el primer bit es un 1”, A2:“el
segundo bit es un 1”, y A3:“el primer bit es igual al segundo”. Si asumimosque cada par de bits tiene igual probabilidad de ser transmitido, entonces:
EJEMPLO
Si se tienen tres eventos (A, B, C), serán independientes si satisfacen:
P A B P A P B
P A C P A P C P C B P C P B
P A B C P A P B P C
que cada par de bits tiene igual probabilidad de ser transmitido, entonces:
3 1/ 2P A
1 2 3 1 2 31/ 4P A A A P A P A P A
1 2 1 21/ 4P A A P A P A
2 1/ 2P A
1 1/ 2P A
1 3 1 31/ 4P A A P A P A
3 2 3 21/ 4P A A P A P A
Por lo tanto, son independientes de a pares pero no son conjuntamente independientes.
La condición más general de independencia dice que una colección de
eventos A1, A2,…, An son independientes si y sólo si:
1 2 1 2k ki i i i i iP A A A P A P A P A
para cualesquiera k eventos de los n, con k entre 2 y n.
Nótese que si se tiene una colección de n eventos independientes,cualquier subconjunto heredará la propiedad. Sin embargo, si cada uno
de los n eventos es independiente de un evento An+1, esto no garantizade los n eventos es independiente de un evento An+1, esto no garantiza
que la colección de n+1 eventos sean conjuntamente independientes(solo me garantiza la independencia de a pares).
El concepto de independencia no tiene nada de intuitivo. Unopuede pensar que el evento “obtener un 10 en un examen” esindependiente de “realizarlo en tinta negra” y dependiente de
“haber estudiado durante más de un mes”. Pero es sólo a travésde la distribución de probabilidades que se puede establecer si
dos eventos son o no independientes.
EJEMPLO (INDEPENDENCIA CONDICIONAL)
Una caja C1 contiene 3 bolillas blancas y 7 rojas. Otra caja C2 tiene 12blancas y 8 rojas. Se elige una caja al azar y se extrae una bolilla queresulta ser blanca. Esta bolilla se reintegra a la caja y se vuelve a extraeruna bolilla de la misma caja. ¿Cuál es la probabilidad de que esta últimabolilla sea blanca? Son independientes los sucesos B1=“primera bola esblanca” y B2=“segunda bola es blanca” aun cuando hay reposición?
2 1 ?P B BSolución 1
2 1
2 1
P B BP B B
P B
1P B
1 1 1 1 1 2 2
3 1 12 1
10 2 20 2P B P B C P C P B C P C
2 1 1 2 1 21 1 22P B B PP B B C C P B B C P C
1 12 1 1P B C P BB C
2 1P B C
B2 es indep. de B1 cuando ya se sabe de qué caja se extrae
2 1
3 3 1 12 12 1
10 10 2 20 20 2P B B
2 1 1/ 2P B B
Aplicamos probabilidad total directamente sobre lo pedido.Solución 2
2 1 2 1 1 2 2 1P B B P B C B P B C B
2 1 1 1 1P B B C P C B
1 1 1
1
P B C P C
P B
2 1P B C
1P B
Tener en cuenta que si A y B son condicionalmenteindependientes dado C , es decir, P (AB|C ) = P (A|C ) P (B|C ) ,
no puedo concluir nada sobre la independencia(incondicional) de A y B.
Se tiene 1 moneda y 3 cajas. Se cuenta con una ayuda para adivinar en quécaja se encuentra la moneda. Ud. elige una de las cajas y luego alguiendescubre una de las cajas donde no está la moneda. Luego se le pregunta¿desea cambiar su elección original?
Para resolver este problema, se asumirán algunas hipótesis. 1) La moneda fuecolocada al azar en alguna de las 3 cajas. 2) El ayudante sabe en qué caja estála moneda. 3) Si Ud. elige la caja correcta inicialmente, el ayudante descubre alazar alguna de las 2 cajas restantes.
a) Calcule la probabilidad de adivinar en qué caja esta la moneda si sedecide cambiar la elección original.
EJERCICIO
decide cambiar la elección original.b) Suponga ahora que las cajas se enumeran del 1 al 3. Responda
nuevamente si se sabe que su elección original fue la caja 1 y que elayudante descubrió la caja 3.
c) ¿Qué pasaría en el último caso si se modifica la hipótesis 3), dondeahora el ayudante elige la caja de mayor número con probabilidad 3/4?
d) Asuma ahora que Ud. tenía información a priori donde las probabilidadesde que la moneda se encuentre en cada caja eran 0.45, 0.4 y 0.15respectivamente. Si además sabía que el ayudante le daría laoportunidad de cambiar, ¿Qué caja debería haber elegido inicialmente?
e) (tarea para el hogar) Repita a) con las hipótesis originales si hay N cajas
y se descubren k. Analice para N tendiendo a infinito.
Ubicación de la
moneda
Elección original
Caja descubierta
1 2
ganar si se cambia 6.9 3
P a)
b) Si se incluye la informaciónde que se eligió originalmentela caja 1 y se descubrió la 3, delas 12 ramas originales, sólo 2son posibles.
1
29ganar si se cambia1 1 3
9 18
P
son posibles.
Si bien ambos problemas dan igualresultado, NO SON PROBLEMAS EQUIVALENTES
1 2
ganar si se cambia 6.9 3
P a)
b) Pero en el segundo caso,
Ahora repetiremos ambos casos pero asumiendo que cuando puedeelegir, el ayudante escoge la caja de mayor número con probabilidad 3/4
En el primer caso, no hay cambiosya que las ramas ganadoras nofueron modificadas
Ubicación de la
moneda
Elección original
Caja descubierta
2
3
3
1/4
3/41
21
1/36
1/12
1/9
1/9
1
49ganar si se cambia1 1 7
9 12
P
b) Pero en el segundo caso,una de las ramas posibles tieneuna nueva probabilidad (enparticular mayor que antes)
0.5714
1
3
3
1/4
3/4
1
11
1/9
1/36
1/12
1/9
21
11
1
2
1/4
3/4
1/36
1/12
1/9
1/9
La siguiente variante es igual a la original, pero el ayudante olvidó mirardonde se guardó la moneda. Para no quedar mal, al momento de dar laayuda elige al azar y tiene suerte de descubrir una caja vacía. Debe Ud.cambiar su elección?
En este caso, todas las posibilidadestienen igual probabilidad (1/18). Sinembargo, debemos condicionar al hechode que cuando el ayudante descubre lacaja, la moneda no está allí.
Ubicación de la
monedaElección original
Caja descubierta
2
3
1
3
2
1
1/2
1/21/2
1/21/2
En 6 de los 12 casos posibles, gana si mantiene la elección original …
2
2
3
1
3
2
1
2
3
1
3
2
1
1/2
1/2
1/21/2
1/21/2
1/2
1/2
1/21/2
1/21/2
1/2
y en los otros 6 gana cuando cambia.
ES INDISTINTO QUE CAMBIE O MANTENGA
Si las probabilidades de que la moneda se encuentre en cadacaja son 0.45, 0.4 y 0.15 respectivamente, y la estrategia essiempre cambiar, debo elegir la caja 3 inicialmente y ganoluego con:
P(originalmente en caja 1) + P(originalmente en caja 2) = 0.85.
O sea, elijo la menos probable para queel ayudante baje la incertidumbre entre
las otras 2 que son más probables
BONUS TRACKSBONUS TRACKS
• Se tira un dado legal repetidas veces. Muestre que tarde o temprano aparece el 6.
EJERCICIOS
Sea el evento An:”en los primeros n tiros no salió el 6”. Sea el evento A:”nunca sale el 6”. Puede verse que A es el complemento del evento pedido en el problema. Luego, debemos probar que P(A) tiende a 0 cuando n tiende a infinito.
A AEn primer lugar vemos que la secuencia infinita de
1n nA A En primer lugar vemos que la secuencia infinita de eventos An es “monótona decreciente” en el sentido:
Luego, por continuidad:
5
lim lim 06
n
nn n
P A P A
• Lema de Borel-Cantelli: Considere una secuencia infinita de expermientos. La probabilidad de éxito en el i-ésimo experimento es pi>0. Sean los eventos N:”no hubo ningún éxito” e I:”hubo un número infinito de éxitos”. Halle P(N) y P(I) asumiendo que los experimentos son independientes y que:
EJERCICIOS
El evento N es un subconjunto del evento “no hubo éxitos en los primeros
1i
i
p
n experimentos”. Luego,
1
( ) 1n
ii
P N p
1 1
ln ( ) ln 1n n
i ii i
P N p p
ln ( )P N ( ) 0P N
Tomando límite para n tendiendo a infinito,
Sea Ln:”hay un número finito de éxitos y el último ocurrió en el experimento n”. Aplicamos el resultado anterior, P(N)=0, a la secuencia de experimentos posterior a n, obteniendo:
El complemento del evento I es la unión disjunta de N con los Ln para nmayor o igual a 1. Entonces:
1
( ) 0cn
n
P I P N P L
( ) 0nP L
1n
Nótese que pi puede tender a 0 conforme i tiendea infinito, siempre que la suma de las pi diverja
(por ejemplo pi=1/i). Sin embargo, en una secuenciainfinita habrá infinitos éxitos aun cuando la
probabilidad de éxito tiende a 0 !!!!
1P I
DEFINICION DE PROBABILIDAD CONDICIONAL
Sean A y B dos eventos. Asumiendo que el evento A ha ocurrido, veremos cuál es ahora la probabilidad del evento B. Como A ha ocurrido, el resultado del experimento deberá pertenecer a A. Sin embargo, dicho punto a su vez puede o no pertenecer a B. Si pertenece, entonces ha ocurrido el evento (A ∩ B), y sino, habrá sido el evento (A ∩ no B). Esta relación será válida independientemente de si se está trabajando en un espacio numerable o innumerable. Además, no queda limitada a la definición clásica de probabilidad (casos favorables / casos totales)
Esto indica que el cociente entre las
Esto indica que el cociente entre las probabilidades de B y no B condicionadas a la ocurrencia de A, debe ser igual al de las probabilidades de los eventos (A ∩ B) y (A ∩ no B).
P B A P A B
P B A P A B
1P B A P B A P B B A Como además
reemplazando y reagrupando surge la relación
P A BP B A
P A
El primer problema es que tenemos una moneda que no es legal, cuyaprobabilidad de cara, P(H), es p. El segundo problema es que nosabemos cuanto vale p. Cómo podemos usando esta moneda tomaruna decisión “justa” respecto a qué boliche iremos?
EJEMPLO
• Se tiene una moneda y debe decidirse entre ir al boliche A o al B. Si lamoneda es legal, podemos decir: “si sale cara (H) vamos al A y si salecruz (T) al B”. En este caso, la decisión es “justa”, ya que P(A)=P(B)=1/2.
La solución de von Newmann dice:
Tire la moneda dos veces. Si sale HT, elija A. Si sale TH, elija B. Sino, repita el procedimiento.
El número de veces que habrá que proceder hasta lograr la decisión (es decir hasta obtener HT o TH) puede variar de 1 a infinito.
Sea el evento Ck: “se llegó a una decisión en la k-esima vez que seefectuó el procedimiento”. La secuencia Ck de 1 a infinito es una partición.
Luego podemos aplicar probabilidad total sobre el evento A (el B sería igual):
Si se llego a una decisión, es porque salió HT o TH. Estos dos son excluyentes y tienen la misma probabilidad de ocurrir sin importar el valor de p. Luego, P(A|Ck)=P(B|Ck)=1/2.
1 k kk
P A P A C P C
1 1
1 1 1
2 2 2k kk k
P A P C P C
Como la P(HH) = p2 = 1/2, la regla es justa en sólo dos tiros. Pero podría mejorarse haciendo:
1 12 2 2
k kk k
Si se sabe el valor de p, hay estrategias mejores. Si puede usarse:1 2p
Tire la moneda dos veces. Si sale HH, elija A. Sino, elija B.
Tire la moneda una vez. Si sale T, elija B. Sino, tire de vuelta. Si sale H, elija A y sino B.
EJERCICIOS
• Se tienen k cajas, cada una con m bolas blancas y n negras. Se eligeuna bola al azar de la caja 1 y se la agrega a la 2. Luego se elige una alazar de la 2 y se la agrega en la 3, etc. Muestre que la probabilidad deobtener una bola blanca de cada una de las cajas es igual a laprobabilidad de sacar una blanca de la primer caja, es decir m/(m+n).
Sea pi la probabilidad de obtener una bola blanca de la caja i. Planteando probabilidad total:
1 1 1i i i i i i ip P B B P B P B N P N
Si la caja i tiene probabilidad de blanca pi=m/(m+n), la siguiente caja tiene:
1 1 1i i i i i i ip P B B P B P B N P N
1
1 11
1 1 1 1i i i i
m m mp p p p
m n m n m n m n
1
1 1
1 1 1 1i
m m m m m np
m n m n m n m n m n m n m
1i
mp
m n
EJERCICIOS
• El rey tiene un solo hermano/a. Halle la probabilidad de que sea hombre. Asuma que en cada nacimiento el sexo del bebé es equiprobable.
1) Los padres decidieron tener exactamente dos hijos.
Según la hipótesis, con igual probabilidad pudieron tener HH,HM,MH,MM. Sin embargo, al menos uno es H (ya que hay un nuevo rey). Eso descarta a MM del espacio muestral. Luego, el único evento que satisface que su
La respuesta a este problema depende del “programa de planificación familiar” usado por los padres del rey.
1/ 3
En este caso, como el rey tiene sólo un hermano/a, debe ser mujer con probabilidad 1 (si fuese hombre, el actual rey nunca hubiera nacido)
a MM del espacio muestral. Luego, el único evento que satisface que su hermano sea H es HH
2) Los padres decidieron tener hijos hasta que haya un varón (para que sea el rey).
0
EJERCICIOS
• Un cazador cuenta con 2 perros. Un día llega a una bifurcación en elcamino. Sabe que cada perro elige el camino correcto con probabilidad p,y que lo hacen en forma independiente. El cazador piensa en 2 estrategiasdiferentes:
1) Elige a uno de los perros y va por donde él diga.2) Si los perros coinciden, toma ese camino y sino elige al azar.
Muestre que ambas estrategias son equivalentes.
La primer estrategia es exitosa con probabilidad p. La segunda lo es si:
- Ambos perros coinciden y es el correcto. 2 por independenciap
2 1p p p p
- Perro 1 correcto, perro 2 incorrecto, elige el 1 y es correcto.
1
correcto no coinciden no coinciden 12
P P p p
1
correcto no coinciden no coinciden 12
P P p p
- Perro 1 incorrecto, perro 2 correcto, elige el 2 y es correcto.
Al ser disjuntos puedo sumarlos:
EJERCICIOS
• Se tienen m+1 cajas. La k-esima caja tiene k bolas rojas y m-k blancas, con k variando de 0 a m. Se elige una caja al azar (todas tienen igual chance) y luego se realizan n extracciones independientes con reposición de la caja elegida. Si se sabe que en cada una de las n extracciones se obtuvo una bola roja, halle la probabilidad de que en la siguiente extracción se obtenga una bola roja. Estime el valor para m grande.
Sean los eventos A: “se obtuvo una roja en la extracción n+1”, Rn: “se obtuvieron bolas rojas en cada una de las n extracciones previas” y Ck: “la caja k fue elegida”. Se pide:caja k fue elegida”. Se pide:
n
n
n
P R AP A R
P R
0
1
1
nm
n k
kP R
m m
1
1 0
1
1
nm
n n k
kP R A P R
m m
0
m
n n k kkP R P R C P C
Si m es grande, las sumatorias pueden aproximarse por integrales.
1
0 0
1 1
1 1
n nmm n
n nk
k m mx dx
m m m n n
1 21
1 10 0
1 1
2 2
n nmm n
n nk
k m mx dx
m m m n n
1
2n
nP A R
n
2n
n
Si m (número de cajas – 1 y bolas totales por caja)es grande y n (número de extracciones de la caja)también, si se sacaron n rojas, la próxima tambiénserá roja con probabilidad casi 1. Esto es así auncuando hay cajas que tienen muy pocas rojas.
• Muestre que:
EJERCICIOS
P AA B P A B
P B
P A B P A P B A P B
2 / 3 1/ 2P A P B P A B c)
b)
a)
• Paradoja de J. L. F. Bertrand (1822-1900): Una caja contiene dos monedas de oro, otra caja contiene dos monedas de plata y una tercera caja contiene una moneda de oro y otra de plata. Se elige una caja al azar y se extrae una moneda que resulta ser de oro. ¿cuál es la probabilidad de que la otra moneda de esa caja sea también de oro?
• Pruebe que P(A|B) = P(A|no B) implica que A y B son independientes.
• Se eligen 2 cartas de una baraja francesa. Halle la probabilidad de que la segunda sea roja.
• Uno de los problemas que Chevalier de Mere le presentó a Pascal dice: “Dos personas A y B juegan una serie de juegos al azar (por ejemplo, tirar una moneda) hasta que alguno gane 6 veces. Ambos apostaron la misma cantidad de dinero y el ganador se llevaría todo. Sin embargo, por alguna razón el juego se suspende. En ese momento, A llevaba ganados 5 juegos y B sólo 3”. ¿Cómo debe repartirse el dinero en forma “justa”?
EJERCICIOS
• Se arroja una moneda n veces con probabilidad de cara p. Sea A el evento • Se arroja una moneda n veces con probabilidad de cara p. Sea A el evento “el primer tiro es cara” y B el evento “se obtienen exactamente k caras”. Halle condiciones sobre n y p de modo que A y B sean independientes.
• Una caja C1 contiene 3 bolillas negras y 5 blancas. Otra caja C2 tiene 1 negra y 9 blancas. Se toma la caja C1, se extrae una bolilla y sin mirarla se introduce en C2. Luego se extrae una bolilla al azar de C2. ¿Cuál es la probabilidad de que esta última sea negra? Si esta es negra, ¿Cuál es la probabilidad de haber pasado una blanca de C1 a C2?
• Calcular la probabilidad de que en una familia de dos hijos ambos sean hombres si al menos uno lo es. Repita el cálculo si lo que se sabe es que el primer hijo es hombre.