02 pengantar fourier series

Pengantar Fourier Series

Dudy D. Wijaya y . jayaKelompok Keilmuan Geodesi Institut Teknologi Bandung g g Jl. Ganesha 10 Bandung E-mail: [email protected] E mail: dudy@gd itb ac id

Dudy D. Wijaya Feb 2012 [email protected]

GD4203 Estimasi & Aproksimasi Geodetik

1

1. Fenomena alam terjadi secara berulang (a)Perubahan Length of Day (LOD)

Deformasi kerak bumi akibat beban atmosir (atmospheric loading deformation)



2

1. Fenomena alam terjadi secara berulang (b)Pasut air laut



3

1. Fenomena alam terjadi secara berulang (c)



4

1. Fenomena alam terjadi secara berulang (d)Siklus hidrologi Volcanic activity Tectonic deformation Post-glacial rebound Pasut bumi Pas t b mi dan atmosfir Mantle convection . ..etc Salah satu solusi: Aproksimasi dengan fungsi periodik Permasalahan: Bagaimana fenomena alam yang terjadi secara berulang ini bisa dimodelkan secara akurat



5

2. Fungsi Periodik: Definisi & Pengertian2p

(a)

Suatu fungsi f(t) dikatakan periodik jika terdefinisi pada setiap nilai real t dan untuk setiap nilai positif p (periode)

p

hubungan dibawah ini harus terpenuhi:

f (t + p ) = f (t )

. (1)

Dari pers. (1), bisa ditunjukan:

f (t + 2 p ) = f ([t + p ] + p ) = f (t + p ) = f (t ) f (t + np

. (2)

Maka untuk setiap nilai integer n, secara umum fungsi periodik bisa dinyatakan:

)=

f (t )

. (3)GD4203 Estimasi & Aproksimasi Geodetik


6

2. Fungsi Periodik: Contohf1 (t ) = 1.5 f 2 (t ) = sin t

(b)

f 3 (t ) = cos 2tf 4 (t ) = 2 sin t



7

2. Fungsi Periodik: Deret Trigonometri

(c)

f1 (t )f 2 (t )

f 3 (t ) (tf 4 (t )

f (t ) = f1 (t ) + f 2 (t ) + f 3 (t ) + f 4 (t )

f (t ) = ao + an cos nt + bn sin ntn =1 n =1Dudy D. Wijaya Feb 2012 [email protected]

. (4)


8

3. Koefisien & Deret FourierKasus Kontinyu (Continues case)

(a)

1 ao = 2 an = bn = 1

dt f (t ) d

. (5)

1

f (t ) cos nt dt

. (6)

f (t ) sin nt dt

. (7)

Deret trigonometri pada pers. (4) disebut sebagai deret Fourier jika koefisien an dan bn ditentukan oleh pers. (5)-(7). (5) (7).Dudy D. Wijaya Feb 2012 [email protected] GD4203 Estimasi & Aproksimasi Geodetik

9

3. Koefisien & Deret FourierUmumnya pengukuran dilakukan pada setiap selang waktu tertentu (t)

(b)

Hasil pengukuran tidak memberikan informasi yang kontinyu (utuh) dari suatu fenomena, tetapi hanya memberikan sampel (diskrit) data Gambar disamping menunjukan sinyal kontinyu f(t) yang disampling setiap t,f (t )t

f (t k )

selama interval T. Proses sampling menghasilkan sinyal diskrit f(tk) pada setiap tk = k t k.t

Equispace sampling

(k=1,2..,N) dengan N adalah jumlah data



10

3. Koefisien & Deret FourierKasus Diskrit (Discrete case)

(c)

1 ao = 2N 1 an = NN

fk =1

N

k

. (8)

k =1

nk f k cos N

. (9)

1 bn = N

k =1

N

nk f k sin N

. (10)

Fungsi kontinyu bisa diaproksimasi dengan deret Fourier berikut:

f (t k ) = ao + an cos n t k + bn sin n t kn=k n=k

N

N

, k = 1,2,..N

. (11)

n =

nN

. (12)

N=Jumlah/panjang N= Jumlah/panjang dataGD4203 Estimasi & Aproksimasi Geodetik


11

3. Koefisien & Deret FourierKasus Diskrit (Discrete case)

(d)

1 ao = N 2 an = N

fk =1 N

N

k

. (13)

k =1

2nk f k cos N

. (14)

2 bn = N

k =1

N

2nk f k sin N

. (15)

Fungsi kontinyu bisa diaproksimasi dengan deret Fourier berikut:

f (t k ) = ao + an cos n t k + bn sin n t kn=k n=k

N

N

, k = 1,2,..N

. (16)

n =

2 n N

. (17)

N=Jumlah/panjang N= Jumlah/panjang dataGD4203 Estimasi & Aproksimasi Geodetik


12

4. Aproksimasi dengan Fourier (a)

Koefisien FourierN N

f (t k ) = ao + an cos n t k + bn sin n t kn=k n=kDudy D. Wijaya Feb 2012 [email protected] GD4203 Estimasi & Aproksimasi Geodetik

13

4. Aproksimasi dengan Fourier (b)

f (t k ) = ao + an cos n t k + bn sin n t kn=k n=kDudy D. Wijaya Feb 2012 [email protected] GD4203 Estimasi & Aproksimasi Geodetik

N

N

14

4. Aproksimasi dengan Fourier (c)

y = ao + an cos n t + bn sin n tn =1 n =1Dudy D. Wijaya Feb 2012 [email protected] GD4203 Estimasi & Aproksimasi Geodetik

15

5. Prediksi dengan Fourier

f (t k ) = ao + an cos n t k + bn sin n t kn =1 n =1Dudy D. Wijaya Feb 2012 [email protected] GD4203 Estimasi & Aproksimasi Geodetik

50

50

16

6. Filtering dengan Fourier (a)

Low Freq. (LF)

High Freq. (HF)



17

6. Filtering dengan Fourier (b)f (t k ) = ao + an cos nt k + bn sin nt kn =1 n =1 15 15

LF ( 15 cph)

f (t k ) = 0 + an cos n t k + bn sin nt kn =16 n =16

50

50



18

7. Materi Minggu DepanIntegral Fourier Pengantar Fourier Transform Pengumuman Tugas Kelompok !!!

Hatur Thank You Atas Kehadirannya !!!! At K h diDudy D. Wijaya Feb 2012 [email protected] GD4203 Estimasi & Aproksimasi Geodetik

19

02 pengantar fourier series

Documents