Lgica: proposies, valor-verdade negao, conjuno, disjuno, implicao, equivalncia, proposies compostas. Equivalncias lgicas ...................................................................................... 1 Problemas de raciocnio: deduzir informaes de relaes arbitrrias entre objetos, lugares, pessoas e/ou eventos fictcios dados. .......................................................................................................... 54 Diagramas lgicos, tabelas e grficos .......................................................................................................... 85 Conjuntos e suas operaes ....................................................................................................................... 104 Nmeros naturais, inteiros, racionais, reais e suas operaes. Representao na reta ..................... 112 Unidades de medida: distncia, massa e tempo ....................................................................................... 123 Representao de pontos no plano cartesiano. ......................................................................................... 128 lgebra bsica: equaes, sistemas e problemas do primeiro grau.

............................................................ 144 Porcentagem e proporcionalidade direta e inversa. .................................................................................. 153 Sequncias, reconhecimento de padres, progresses aritmtica e geomtrica .................................. 159 Juros............................................................................................................................................................... 165 Geometria bsica: distncias e ngulos, polgonos, circunferncia, permetro e rea. ......................... 169 Semelhana e relaes mtricas no tringulo retngulo

............................................................... 170 Medidas de comprimento, rea, volume

..................................................................................... 172 Princpios de contagem e noo de probabilidade

....................................................................... 181

Candidatos ao Concurso Pblico,

O Instituto Maximize Educao disponibiliza o e-mail professores@maxieduca.com.br para dvidas relacionadas ao contedo desta apostila como forma de auxili-los nos estudos para um

bom desempenho na prova.

As dvidas sero encaminhadas para os professores responsveis pela matria, portanto, ao entrar em contato, informe:

- Apostila (concurso e cargo); - Disciplina (matria);

- Nmero da pgina onde se encontra a dvida; e

- Qual a dvida.

Caso existam dvidas em disciplinas diferentes, por favor, encaminh-las em e-mails separados. O professor ter at cinco dias teis para respond-la.

Bons estudos!

1

Caro Concursando.

Inicialmente, gostaria de agradecer pela confiana depositada em nosso trabalho ao adquirir nosso curso. Esperamos merec-la.

Montamos um curso preparatrio que visa uma tima abrangncia de todo contedo do edital. Este curso traz questes atualizadas comentadas, resolvidas passo a passo para seu melhor

entendimento. So questes de vrias bancas, todas comentadas e resolvidas passo a passo. D uma ateno especial aos da sua banca, pois, quanto mais voc treinar com questes de provas

anteriores da banca, melhor. Sabe por que? Porque voc ir perceber o estilo da banca. Qual a linguagem que esta emprega. Quais os assuntos favoritos desta banca.

Conhecer o estilo da banca de extrema importncia para voc prestar sua prova. As bancas no mudam muito a forma de questionar certos assuntos. No mudam sua linguagem, suas formataes, seus assuntos favoritos dentre de uma disciplina. E isto traz uma maior confiana no momento da prova. Voc no ir se deparar como formas desconhecidas de se questionar os assuntos do edital, etc.

Por isto, este curso foi montado especialmente para voc . Para nosso parceiro de concursos. Esperamos poder contribuir o mximo possvel com a sua preparao, pois, sua vitria tambm ser nossa vitria. Cada conquista de nossos clientes representa uma conquista de nossa equipe.

Espero poder contribuir com a sua capacitao para este concurso. Seguem

abaixo

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acerca

do

contedo

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metodologia

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nosso

curso. Vou explicar como ser nosso curso. Nosso

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matria,

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lhe

permitir

uma

excelente

reviso

do

contedo. Por isto sua preparao com afinco e dedicao pode ser seu diferencial. E aqui estou, junto a voc,

nesta batalha. Lembre-se que, como concursando, muitas vezes voc se sente sozinho, desacreditado e sem muita

confiana. Mas saiba que o trabalho do estudo duro, solitrio, cansativo e requer muita vontade e dedicao. Quando vier sua aprovao, sua vitria voc ver que o seu sucesso pertence a todos (inclusive queles que nunca te apoiaram... mas assim a vida). Fora e pense sempre em voc, nos seus familiares, naqueles por quem voc tem amor.

Desejo um excelente estudo e timos resultados nesta jornada. Muito boa sorte, dedicao e boa prova!!!!

Breve introduo

No h um consenso quanto definio da lgica, mas alguns autores a definem como o estudo dos processos vlidos e gerais pelos quais atingimos a verdade, inclusive pelo estudo dos princpios da inferncia vlida. a Cincia que expe as leis, modos e formas do conhecimento cientfico. uma cincia formal que se dedica ao estudo das formas vlidas de inferncia. Trata-se, portanto, do estudo dos mtodos e dos princpios utilizados para distinguir o raciocnio correto do incorreto.

A lgica foi criada por Aristteles, no sculo IV a.C., como uma cincia autnoma que se dedica ao estudo dos atos do pensamento (Conceito, Juzo, Raciocnio, Demonstrao) do ponto de vista da sua estrutura ou forma lgica, sem ter em conta qualquer contedo material. por esta razo que esta lgica aristotlica se designa tambm por lgica formal.

Lgica: proposies, valor-verdade negao, conjuno, disjuno, implicao, equivalncia, proposies compostas. Equivalncias lgicas

Prof. Doutor Wagner Luiz Heleno Bertolini

Evelise Akashi

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Segundo os registros foi Aristteles quem sugeriu o silogismo como sendo o argumento vlido. Aristteles considerado o pai da lgica formal.

Conceito de Proposio

Vamos a um conceito bsico, em funo de ter encontrado diversos conceitos: Chama-se proposio toda orao declarativa que admite um dos dois valores lgicos: Falso (F) ou

Verdadeiro (V), mas no as duas valoraes. Em funo de ser uma orao esperado que apresente, portanto, sujeito e predicado. A expresso:

As belas ruas de paraleleppedo de Ribeiro Preto NO se constitui uma proposio devido ausncia de predicado.

Como anteriormente mencionado a orao declarativa. Portanto, teremos alguns tipos de expresses que NO sero proposies, por serem do tipo imperativo, interjeies, exclamativa, interrogativas, indefinidas (abertas).

Desta forma, no so proposies expresses do tipo: a) Que bela manh! (exclamativa). b) Quer uma xcara de caf? (interrogativa). c) Pare!!! (imperativa indica ordem). d) Feliz Natal!. (optativa exprime desejo). e) Ele foi o melhor jogador do campeonato. (Sentena aberta; no se sabe quem ele e, assim,

no podemos valorar tal expresso).

Veja algumas frases que so proposies (aquelas que podemos valorar em verdadeira ou falsa) a) A lua o nico satlite do planeta Terra (V) b) A cidade do Recife a capital do estado do Maranho. (F) c) O nmero 612 mpar (F) d) A raiz quadrada de dois um nmero irracional (V) Mas, uma proposio pode ser qualquer outro tipo de expresso, tais como as matemticas, conjunto

de smbolos que possuam um significado, e que pode ser valorada em verdadeiro ou falso.

Exemplo: 4 > 7 Estamos afirmando que o nmero quatro maior que o nmero sete. Temos, neste caso, smbolos

numricos, o que ainda assim nos permite dizer que isto uma proposio. No caso, uma proposio falsa.

Veja o exemplo abaixo: x-8 = 0

No podemos valorar esta expresso em verdadeiro ou falso, simplesmente porque no se conhece o valor de x. Se x valer oito, teremos x 8 = 0. Porm, para qualquer outro valor de x que no seja oito, a igualdade acima est errada.

Sendo x uma varivel, pode assumir inmeros valores. Quando a expresso apresentar uma varivel, ns dizemos que ela uma sentena aberta. Isto nos impede de julg-la em verdadeira ou falsa. Logo, no proposio.

Em algumas situaes teremos expresses que sero denominadas paradoxos. E estas no podem ser valoradas em falsa ou verdadeira porque teramos uma situao de contradio. Veja a seguinte frase:

Um meliante declara polcia: Eu sou mentiroso. Isto no pode ser uma proposio lgica, pois, se consideramos que o meliante disse a verdade,

ento verdade que ele um mentiroso e, portanto, sendo um mentiroso ele no pode declarar uma verdade. Contradio!

Resumindo:

No so proposies: frases exclamativas, interrogativas, opinativas, as expresses de desejo, as expresses de sentimentos, as interjeies, oraes imperativas, e aquelas que contenham variveis (sentenas abertas).

3

A partir da, podemos encontrar alguns princpios que devem sempre ser observados:

1) Princpio da Identidade: Uma proposio verdadeira sempre verdadeira. Uma proposio falsa sempre falsa.

2) Princpio da no-contradio: Uma proposio no pode ser verdadeira e falsa simultaneamente.

3) Princpio do Terceiro Excludo: Uma proposio s pode ter dois valores lgicos, isto , verdadeira (V) ou falsa (F), no podendo ter outro valor. No h meio termo.

QUESTES

01. (PC/SP Escrivo de Polcia - VUNESP/2014) Segundo a lgica aristotlica, as proposies tm como uma de suas propriedades bsicas poderem ser verdadeiras ou falsas, isto , terem um valor de verdade. Assim sendo, a orao A Terra um planeta do sistema solar, por exemplo, uma proposio verdadeira e a orao O Sol gira em torno da Terra, por sua vez, uma proposio comprovadamente falsa. Mas nem todas as oraes so proposies, pois algumas oraes no podem ser consideradas nem verdadeiras e nem falsas, como o caso da orao:

(A) O trigo um cereal cultivvel de cuja farinha se produz po. (B) Metais so elementos que no transmitem eletricidade. (C) Rogai aos cus para que a humanidade seja mais compassiva. (D) O continente euroasitico o maior continente do planeta. (E) Ursos polares so rpteis ovparos que vivem nos tpicos.

02. (PC/SP Escrivo de Polcia - VUNESP/2014) Um dos princpios fundamentais da lgica o da no contradio. Segundo este princpio, nenhuma proposio pode ser simultaneamente verdadeira e falsa sob o mesmo aspecto. Uma das razes da importncia desse princpio que ele permite realizar inferncias e confrontar descries diferentes do mesmo acontecimento sem o risco de se chegar a concluses contraditrias. Assim sendo, o princpio da no contradio

(A) fornece pouco auxlio lgico para investigar a legitimidade de descries. (B) permite conciliar descries contraditrias entre si e relativizar concluses (C) exibe propriedades lgicas inapropriadas para produzir inferncias vlidas. (D) oferece suporte lgico para realizar inferncias adequadas sobre descries. (E) propicia a produo de argumentos invlidos e mutuamente contraditrios.

03. (PC/SP Escrivo de Polcia - VUNESP/2014) Detectar narrativas mentirosas uma tarefa cognitiva muito rdua que envolve o raciocnio lgico e informao sobre os acontecimentos em questo. Mas quando se tem informaes limitadas sobre os acontecimentos, o raciocnio lgico desempenha um importante papel para a deteco de narrativas mentirosas. Isto ocorre porque.

(A) os acontecimentos aparecem em sua sequncia temporal ao observador atento. (B) o uso do raciocnio lgico permite frequentemente detectar inconsistncias. (C) o raciocnio lgico em nada contribui para reconhecer narrativas mentirosas. (D) a deteco de narrativas mentirosas uma tarefa cognitiva muito fcil. (E) a falsidade da narrativa sempre evidente sem necessidade de raciocinar.

04. MRE 2008 [CESPE] (MODIFICADO) Proposies so sentenas que podem ser julgadas como verdadeiras V , ou falsas F , mas no cabem a elas ambos os julgamentos.

Julgue os itens abaixo: 1. Considere a seguinte lista de sentenas: I - Qual o nome pelo qual conhecido o Ministrio das Relaes Exteriores? II - O Palcio Itamaraty em Braslia uma bela construo do sculo XIX. III - As quantidades de embaixadas e consulados gerais que o Itamaraty possui so,

respectivamente, x e y. IV - O baro do Rio Branco foi um diplomata notvel. Nessa situao, correto afirmar que, entre as sentenas acima, apenas uma delas no uma

proposio.

05. (ICMS-SP/2006/FCC) Das cinco frases abaixo, quatro delas tm uma mesma caracterstica lgica em comum, enquanto uma delas no tem essa caracterstica.

4

I. Que belo dia! II. Um excelente livro de raciocnio lgico. III. O jogo terminou empatado? IV. Existe vida em outros planetas do universo. V. Escreva uma poesia. A frase que no possui essa caracterstica comum a a) I. b) II. c) III. d) IV. e) V.

06. (TCE-PB/2006/FCC) Sabe-se que sentenas so oraes com sujeito (o termo a respeito do qual se declara algo) e predicado (o que se declara sobre o sujeito). Na relao seguinte h expresses e sentenas:

1. Trs mais nove igual a doze. 2. Pel brasileiro. 3. O jogador de futebol. 4. A idade de Maria. 5. A metade de um nmero. 6. O triplo de 15 maior do que 10. correto afirmar que, na relao dada, so sentenas apenas os itens de nmeros. a) 1, 2 e 6. b) 2,3 e 4. c) 3,4 e 5. d) 1, 2, 5 e 6. e) 2, 3,4 e 5.

07. (PM-BA 2009/FCC) Define-se sentena como qualquer orao que tem sujeito (o termo a respeito do qual se declara alguma coisa) e predicado (o que se declara sobre o sujeito). Na relao que segue h expresses e sentenas:

1. Tomara que chova! 2. Que horas so? 3. Trs vezes dois so cinco. 4. Quarenta e dois detentos. 5. Policiais so confiveis. 6. Exerccios fsicos so saudveis. De acordo com a definio dada, correto afirmar que, dos itens da relao acima, so sentenas

APENAS os de nmeros. (A) 1 3 e 5. (B) 2, 3 e 5. (C) 3, 5 e 6. (D) 4 e 6. (E) 5 e 6.

Respostas

1. No pode ser uma proposio se no for uma afirmativa, pois, as afirmativas podem ser valoradas em V ou F. Vamos analisar as alternativas:

(A) O trigo um cereal cultivvel de cuja farinha se produz po. ( proposio) (B) Metais so elementos que no transmitem eletricidade. ( proposio) (C) Rogai aos cus para que a humanidade seja mais compassiva. (Expressa um desejo. No pode

ser valorado. No proposio) (D) O continente euroasitico o maior continente do planeta. ( proposio) (E) Ursos polares so rpteis ovparos que vivem nos tpicos. ( proposio)

2. Este princpio propicia suporte lgico para realizar inferncias adequadas sobre descries. Pois se houver contradio no teramos como definir valores lgicos s descries

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3. O raciocnio logico permite detectar argumentos invlidos e inconsistncias em determinadas descries em narrativas.

4. A sentena I uma pergunta. No pode ser julgada em verdadeiro ou falso, no sendo classificada

como proposio. Na sentena II temos uma expresso de opinio sobre o Palcio do Itamaraty. Algum est dizendo

expressando sua opinio de que o Palcio belo. No proposio. Na sentena III, temos duas variveis (x e y). Quando temos variveis, trata-se de uma sentena

aberta, que no pode ser julgada em verdadeira ou falsa. Logo, no uma proposio. Na sentena IV, temos outra expresso de opinio. Tambm no proposio. Resposta: errado.

5. A frase I exclamativa. A frase II no possui predicado, no sendo assim uma orao. A frase III interrogativa e a frase V imperativa. Portanto a caracterstica comum entre as frases I, II, III e V que elas no so proposies. A nica

proposio a frase IV, pois uma orao declarativa, que podemos classificar em V ou F, apesar de no sabermos o seu valor lgico.

6. As frases 1, 2 e 6 tm sujeito e predicado. So, portanto, sentenas. As frases 3,4 e 5 no possuem sentido completo. No so sentenas. Resposta A

7. 1. Tomara que chova! (exclamativa) 2. Que horas so? (interrogativa) 3. Trs vezes dois so cinco (proposio). 4. Quarenta e dois detentos.(sem predicado) 5. Policiais so confiveis. (proposio) 6. Exerccios fsicos so saudveis. .(proposio) Resposta: C.

PROPOSIES SIMPLES E COMPOSTAS: ESTUDO DOS CONECTIVOS.

Estudo das proposies simples e compostas

Os lgicos procuraram combater as limitaes da lgica clssica e encontrar uma linguagem artificial, simblica e altamente abstrata, na qual se define rigorosamente o significado de cada smbolo e o conjunto das regras que permitem relacion-los de um modo to rigoroso como aquele que caracterstico do clculo matemtico. Foi assim que se foi constituindo a lgica moderna ou logstica que dispe de:

- um conjunto de smbolos formais, constantes e variveis; - regras de combinao desses smbolos entre si; - regras de transformao dessas combinaes elementares de smbolos. Seguindo, analisando as proposies, percebemos que estas podem ser classificadas como simples

ou atmicas; compostas ou moleculares. As proposies simples no contm nenhuma outra proposio fazendo parte integrante de si

mesmas, ou seja: elas no podem ser divididas em outras proposies menores. Veja o exemplo abaixo: p: Marcela auditora q: Paulo bancrio r: Wagner professor As proposies compostas so formadas por duas ou mais proposies ligadas por meio de

determinadas palavras ou expresses a que chamamos operadores ou conectivos lgicos. As proposies simples combinam-se com outras, ou so modificadas por alguns operadores

(conectivos), gerando novas sentenas chamadas de moleculares.

6

Quando juntamos duas ou mais proposies simples, formamos outra proposio, maior, chamada de proposio composta. Geralmente simbolizamos as proposies simples por letras minsculas e as proposies compostas por letras maisculas do alfabeto.

O que so os Conectivos?

Definimos os conectivos como aquelas expresses lgicas que permitem ligar entre si vrias proposies simples, obtendo proposies complexas cuja verdade ou falsidade estaro dependentes da verdade ou falsidade das proposies iniciais e da natureza dos conectivos envolvidos.

Toda a proposio interligada por conectivos tambm ter um valor lgico (V/F). Os conectivos sero representados nas proposies compostas das seguintes formas: - Conjunes: a b (l-se: a e b) - Disjunes inclusivas: a b (l-se: a ou b) - Disjunes exclusivas: a V b (l-se ou a ou b ( u m a c o i s a o u o u t r a ) - Condicionais: a b (l-se: se a ento b) - Bicondicionais: a b (l-se: a se somente se b) Alm disso, importante saber que existe a negao, que pode ser simbolizada por ~ (til) ou por

(cantoneira), alm da equivalncia entre proposies, representadas pelo smbolo ou .

Cuidado:

Vrias questes de prova pedem que se converta uma frase escrita para a simbologia lgica, ou vice versa. Por isto, importante que, inicialmente, voc se familiarize com estas formas de representao. Muitas bancas (principalmente CESPE) utilizam apenas esta forma de linguagem em algumas questes. Vejamos alguns exemplos:

Considere as seguintes proposies lgicas representadas pelas letras P, Q, R e S: P: Nesse pas o direito respeitado. Q: O pas prspero. R: O cidado se sente seguro. S: Todos os trabalhadores tm emprego. Considere tambm que os smbolos , , e representem os conectivos lgicos

ou, e, se, ento e no, respectivamente. Com base nessas informaes, julgue os itens seguintes. 1. A proposio Nesse pas o direito respeitado, mas o cidado no se sente seguro pode ser

representada simbolicamente por P (R). 2. A proposio Se o pas prspero, ento todos os trabalhadores tm emprego pode ser

representada simbolicamente por QS. 3. A proposio O pas ser prspero e todos os trabalhadores terem emprego uma

consequncia de, nesse pas, o direito ser respeitado pode ser representada simbolicamente por (Q R) P.

Resoluo.

Primeiro item. Temos: Nesse pas o direito respeitado, mas o cidado no se sente seguro Vamos colocar parntesis

para delimitar as proposies simples: (Nesse pas o direito respeitado), mas (o cidado no se sente seguro) As duas parcelas so unidas pela palavrinha mas, que acrescenta uma informao. Ela tem um

papel anlogo ao do e. como se afirmssemos que o direito respeitado e o cidado no se sente seguro.

Alm disso, vemos que a segunda parcela apresenta uma negao. Portanto, a proposio mencionada pode ser representada por: P (R).

Item certo Segundo item. A sentena : Se (o pas prspero), ento (todos os trabalhadores tm emprego). Em smbolos: Q S Item certo Terceiro item.

7

A proposio : O pas ser prspero e todos os trabalhadores terem emprego uma consequncia de, nesse pas, o direito ser respeitado.

Vamos usar parntesis para delimitar as proposies simples: ((O pas ser prspero) e (todos os trabalhadores terem emprego)) uma consequncia de, (nesse

pas, o direito ser respeitado). A expresso uma consequncia, remete ao condicional (se, ento). Podemos reescrever a frase

assim: Se (nesse pas, o direito respeitado), ento ((o pas prspero) e todos os trabalhadores tm

emprego)). Em smbolos, ficamos com: P (Q S). No foi essa a simbologia indicada pelo enunciado. Item errado. Resposta: certo, certo, errado

Exemplo: Julgue os itens a seguir:

1. A proposio Tanto Joo no norte-americano como Lucas no brasileiro, se Alberto francs poderia ser representada por uma expresso do tipo P [(Q) (R)].

Resoluo:

Nesta proposio temos um condicional escrito em ordem inversa. Colocando na ordem normal, temos:

Se (Alberto francs), ento (Joo no norte-americano) e (Lucas no brasileiro). Vamos dar nomes s proposies simples: P: Alberto francs Q: Joo norte-americano R: Lucas brasileiro A simbologia para a proposio composta ficaria: P [(Q) (R)] Que exatamente o que afirmou o item. Resposta: Certo

QUESTES

01. (TJ/SE Tcnico Judicirio rea Administrativa Especialidade Programao de Sistemas CESPE UNB/2014) Julgue o item que segue, relacionado lgica proposicional.

A sentena O reitor declarou estar contente com as polticas relacionadas educao superior adotadas pelo governo de seu pas e com os rumos atuais do movimento estudantil uma proposio lgica simples.

(Certo) (Errado)

02. (TJ/SE Tcnico Judicirio rea Administrativa Especialidade Programao de Sistemas CESPE UNB/2014) Julgue o item que segue, relacionado lgica proposicional.

A sentena O sistema judicirio igualitrio e imparcial promove o amplo direito de defesa do ru ao mesmo tempo que assegura uma atuao investigativa completa por parte da promotoria uma proposio lgica composta.

(Certo) (Errado)

03. (TJ/SE Tcnico Judicirio rea Administrativa Especialidade Programao de Sistemas CESPE UNB/2014) Julgue o item que segue, relacionado lgica proposicional.

A sentena A crena em uma justia divina, imparcial, incorruptvel e infalvel lenitivo para muitos que desconhecem os caminhos para a busca de seus direitos, assegurados na Constituio uma proposio lgica simples.

(Certo) (Errado) Respostas

1. Esta proposio composta e do tipo conjuno, devido ao uso do conectivo e, unindo as duas parcelas.

Vejam:

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p = O reitor declarou estar contente com as polticas relacionadas educao superior adotadas pelo governo de seu pas

q = com os rumos atuais do movimento estudantil O reitor est contente com a poltica educacional E com os rumos do movimento estudantil. Resposta: Errado.

2. uma proposio simples. No um conectivo o e apresentado no trecho sistema judicirio igualitrio e imparcial.....

Resposta: Errado.

3. uma proposio simples. No um conectivo o e apresentado no trecho divina, imparcial, incorruptvel e infalvel..... Temos uma nica afirmativa nesta frase.

Resposta: Certo.

ESTUDO DA TABELA-VERDADE

Tabela-verdade das proposies simples

Aqui no temos problemas. A coisa bem bvia. Uma proposio p pode admitir apenas um dos dois valores lgicos possveis: V ou F.

Vejamos como ficaria em duas possibilidades: p verdadeiro ~p falso. Ou p falso ~p verdadeiro. Portanto, no temos muito com o que nos preocupar com proposies simples. Mas estas

proposies simples podem estar conectadas, atravs dos conectivos lgicos j estudados, formando proposies compostas. Estas merecem muita ateno quando do seu estudo. o que veremos a seguir.

Tabela-verdade das proposies compostas

A tabela-verdade uma tabela em que combinamos todas as possibilidades das proposies simples para ver quais so os resultados das proposies compostas. A tabela-verdade, como se sabe, um instrumento eficiente para a especificao de uma composio de proposies. A seguir trabalharemos com a tabela-verdade dos conectivos aqui tratados, explicando suas possibilidades.

Antes de iniciarmos interessante se conhecer quantas linhas iro compor a tabela-verdade de qualquer tipo de conectivo. Para isto, devemos usar uma expresso matemtica, onde x o nmero de linhas da tabela-verdade e n o nmero de proposies simples:

X = 2n Ou seja: se tivermos uma proposio simples teremos duas possibilidades; V ou F. Mas se tivermos

duas proposies termos 4 possibilidades, conforme esquema abaixo: X = 22 = 4

p q V V V F F V F F

Estas opes so decorrentes das possveis combinaes ente as proposies. Uma dica para montar a tabela-verdade sempre colocar para p (no caso de 2 proposies) VV, FF e depois colocar alternados V e F para a proposio q.

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Veja: Se tivermos 3 proposies teremos X = 23 = 8. Ou seja: 8 linhas na tabela-verdade. E como mont-

la? Simples! Divida o total ao meio (8 dividido por 2 = igual a 4) e este valor ser o nmero de repeties dos valores lgicos V e depois, F, para a primeira proposio. Depois, diminua sucessivamente ao meio este valor obtido para as demais proposies, alternando-as. Veja: 4, 2, 1 (uma progresso).

p Q r V V V V V F F V F F V V V V V F F F V F F F

Observou? p 4 em 4, q de 2 em 2 e r alternados. Veja as possibilidades:

Caso tenhamos quatro proposies a tabela-verdade ter X = 24 = 16 linhas. Divida o total ao meio (16 dividido por 2 = igual a 8) e este valor ser o nmero de repeties dos valores lgicos V e, tambm, a quantidade de valores correspondentes a falsos (F) para a primeira proposio. Depois, diminua sucessivamente ao meio este valor obtido para as demais proposies, alternando-as. Veja: 4, 2, 1.

Vamos montar a tabela-verdade?

p q r s V V V V V V V F V V F V V F V F V F V F

10

V F F

F

F

F

F

F

F

F

Observe que eu intencionalmente, desta vez, no completei a tabela. Deu para perceber que existe uma alternncia nos valores V e F, em proporo?

Vale ressaltar que muito raro aparecerem 4 proposies nas questes dos concursos pblicos. Geralmente aparecem duas e, menos frequente, trs proposies.

Porm, importante que voc saiba como montar a tabela. Voc ver que, com a prtica, esta tabela NO precisar ser montada, principalmente para no se perder tempo na resoluo das questes. Porm, preciso saber como mont-la, para analisar as possibilidades das interpretaes.

Tabela-verdade das conjunes e seus significados

Proposies compostas em que est presente o conectivo e so ditas conjunes. Simbolicamente, esse conectivo pode ser representado por ^.

Se tivermos a sentena: Slvio feirante e Dulce mdica Poderemos represent-la apenas por: p uma das proposies e q a outra, onde: p = Slvio feirante q = Dulce mdica. Como se revela o valor lgico de uma conjuno? Da seguinte forma: uma conjuno s ser

verdadeira, se ambas as proposies simples componentes forem tambm verdadeiras (veja o nome: Conjuno ou proposio conjuntiva e as respostas Conjuntamente verdadeiras).

Ento, diante da sentena Slvio feirante e Dulce mdica, s poderemos concluir que esta proposio composta verdadeira se for verdade, ao mesmo tempo, que Slvio feirante e que Dulce mdica.

Pensando pelo caminho inverso, teremos que basta que uma das proposies componentes seja falsa, e a conjuno ser, toda ela, falsa. Obviamente que o resultado falso tambm ocorrer quando ambas as proposies componentes forem falsas. Essas concluses todas as quais acabamos de chegar podem ser resumidas em uma tabela-verdade, de fcil construo e de fcil entendimento.

Veja as nossas premissas: p = Slvio feirante q = Dulce mdica.

Se tivermos que ambas so verdadeiras, a conjuno formada por elas (Slvio feirante e Dulce mdica) ser tambm verdadeira. Teremos:

Slvio feirante Dulce mdica Slvio feirante E Dulce mdica P q P(p e q) V V V V F F F V F F F F

Exemplo: O professor Wagner quer fazer uma caipirinha e no tem limo nem cachaa. Como fazer a bebida sem estes componentes? Impossvel. Ento, ele pede sua dedicada esposa que compre os tais ingredientes: limo e cachaa.

Consideremos como proposies: p: ela comprou limo q: ela comprou cachaa Porm, a esposa de Wagner teve, para ilustrar o caso em questo, as possveis distintas condutas:

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a) comprou apenas limo b) comprou apenas cachaa c) no comprou nem limo nem cachaa d) comprou limo e cachaa De acordo com estas situaes vamos analisar o que podemos concluir:

Comprou limo Comprou cachaa D para fazer a caipirinha? P q P (p e q) V F NO F V NO F F NO V V SIM

Deu para perceber? Ah!!!! Com caipirinha todo mundo entendeu, n? Kkkk. Mesmo fora da ordem convencional (o que no faz uma caipirinha).

Se as proposies p e q forem representadas como conjuntos, por meio de um diagrama, a conjuno " p e q " corresponder interseco do conjunto p com o conjunto q. Teremos:

Na rea de interseco tivemos a situao em que se comprou o limo e a cachaa:

p q Veja p q (observe o sentido das concavidades (boca pra baixo)

Tabela-verdade da disjuno

Vamos abusar do professor Wagner neste exemplo. Agora, neste caso a esposa de Wagner quer fazer o almoo e percebe que est sem a famosa mistura. Ento, ela pede ao seu dedicado marido que compre carne de frango ou carne bovina para fazer a mistura do almoo, pois, ela ir fazer uma das duas misturas.

Consideremos como proposies: p: ele comprou carne de frango. q: ele comprou carne bovina

Porm, Wagner, depois da caipirinha (ehehehe) teve, para ilustrar o caso em questo, as distintas condutas:

a) comprou apenas carne de frango b) comprou apenas carne bovina c) no comprou nem carne de frango nem carne bovina d) comprou carne de frango e carne bovina.

De acordo com estas situaes vamos analisar o que podemos concluir:

Comprou carne de frango Comprou carne bovina A esposa dele fez a mistura? P q P(p V q) V F SIM F V SIM F F NO V V SIM

Veja que neste caso, basta que apenas uma das proposies seja verdadeira (disjuntamente, separadamente, verdadeiras) para que o conjunto seja verdadeiro. Ou seja: obedeceu ao que se pediu.

Portanto uma disjuno s ser FALSA, se ambas as proposies componentes forem tambm FALSAS (e o professor vai apanhar em casa quando chegar sem nenhuma das misturas, eheheh). Ou

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seja: s falsa se as duas partes forem descumpridas! (veja o nome: DISjuno ou proposio DISjuntiva).

As proposies p V q podem ser representadas por conjuntos:

O conectivo ou ser caracterizado pela unio dos conjuntos p e q.

Tabela-verdade da disjuno exclusiva

H outro tipo de proposio do tipo disjuno, bem parecido com a disjuno que acabamos de analisar acima. Porm, esta apresenta uma discreta, porm, significativa diferena na tabela verdade. Vamos comparar duas sentenas abaixo, referentes a presente de Natal. Voc diz ao seu filho duas frases muito parecidas, tais como:

Dar-te-ei um celular ou te darei um relgio. ou te darei um celular ou te darei um relgio A diferena singela, todavia, importante. Repare que na primeira sentena v-se facilmente que se

a primeira parte for verdade (te darei um celular), isso no impedir que a segunda parte (darei um relgio) tambm o seja. J na segunda proposio, se for verdade que te darei um celular, ento teremos que no ser dado o relgio. E vice-versa, ou seja, se for verdade que darei um relgio, ento, teremos que no ser dada o celular.

Ou seja: a segunda estrutura apresenta duas situaes mutuamente excludentes, de sorte que apenas uma delas pode ser verdadeira, e a restante ser necessariamente falsa. Ambas nunca podero ser, ao mesmo tempo, verdadeiras; ambas nunca podero ser, ao mesmo tempo, falsas.

Na segunda sentena acima, este tipo de construo uma disjuno exclusiva, pela presena dos dois conectivos ou, que determina que uma sentena necessariamente verdadeira, e a outra, necessariamente falsa. Da, o nome completo desta proposio composta disjuno exclusiva.

Veja a diferena destas disjunes nas suas respectivas tabelas-verdade. Uma disjuno exclusiva s ser verdadeira se obedecer mtua excluso das sentenas. Ou seja: s ser verdadeira se houver uma das sentenas verdadeira e a outra falsa. Nos demais casos, a disjuno exclusiva ser falsa.

Ganhar o celular Ganhar o relgio Ou ganhar a celular ou ganhar o relgio P q P(p V q) V V FALSO V F VERDADE F V VERDADE F F FALSO

Tabela-verdade da condicional

Vimos que a estrutura condicional refere-se a Se p ento q. Estamos agora falando de proposies como as que se seguem: Se Augusto advogado, ento Silvia farmacutica. Se amanhecer chovendo, ento no irei praia. Vamos analisar a seguinte sentena: Se nasci em Belo Horizonte, ento sou mineiro. Agora observe que a nica maneira de essa proposio estar incorreta se a primeira parte for

verdadeira, e a segunda for falsa. Ou seja, se verdade que eu nasci em Belo Horizonte, ento necessariamente verdade que eu sou mineiro.

Se algum disser que verdadeiro que eu nasci em Belo Horizonte, e que falso que eu sou mineiro, ento este conjunto estar todo falso. Percebam que o fato de eu ter nascido em Belo

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Horizonte condio suficiente (basta isso!) para que se torne um resultado necessrio que eu seja mineiro.

Portanto: p suficiente e q necessrio. Ou seja: suficiente que eu tenha nascido em Belo Horizonte para ser mineiro. E necessrio que

eu seja mineiro para poder ter nascido em Belo Horizonte Regra: O que est esquerda da seta sempre condio suficiente e o que est direita sempre

condio necessria (p q). Para no confundir quem necessrio e quem suficiente, uma dica. Observe a proposio. S p, ento q. A palavra Se comea com S. E suficiente tambm comea com s. A palavra ento possui a letra n. E necessria tambm possui n.

Proposies associadas a uma condicional

A partir da condicional p q podemos obter as condicionais (1) q p, denominada proposio recproca de p q; (2) ~p ~q, denominada proposio contrria de p q; (3) ~q ~p, denominada proposio contrapositiva de p q.

Confeco da Tabela-verdade da estrutura condicional.

Condicional: p q (Se, ento).

p q P(p q) V V V

V F F

F V V

F F V

Observe que a condicional s ser falsa se a antecedente (lado esquerdo da seta) for verdadeiro e a consequente (lado direito) da seta for falso.

Lembre-se: Vagner Falou t Falado!!!!! A condicional exige que, se o antecedente for verdadeiro, ento o consequente dever ser

verdadeiro, para resultar em verdadeiro. As seguintes expresses podem ser empregadas como equivalentes de "Se p, ento q": Se A, B. A condio suficiente para B. B, se A. B condio necessria para A. Se as proposies p e q forem representadas como conjuntos, por meio de um diagrama, a

proposio condicional "Se p ento q" corresponder incluso do conjunto p no conjunto q (p est contido em q):

Tabela-verdade da bicondicional

A estrutura dita bicondicional apresenta o conectivo se e somente se, separando as duas sentenas. Pode ser entendida como uma bi-implicao.

A bi-implicao (SE, SOMENTE SE), entre duas frmulas verdadeira quando ambas so verdadeiras ou ambas so falsas.

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Interpretao: "p q" pode ser interpretada como "p se e somente se q", "p equivalente a q", "p e q possuem o mesmo valor de verdade".

Assim, se p significa "O nmero natural divisvel por cinco" e q significa "'O ltimo algarismo do nmero natural zero ou cinco", "p q" pode ser interpretado como "O nmero natural divisvel por 5 se, e somente se, o seu ltimo algarismo zero ou cinco".

Basta que uma das proposies ou condies seja falsa para que o enunciado se torne falso. Na linguagem natural o problema est em confundir uma condio necessria como sendo a nica

possibilidade para se chegar ao resultado verdadeiro. Veja este exemplo p = 24 mltiplo de 3 (V) q = 6 mpar (F) p q = 24 mltiplo de 3 se, e somente se, 6 mpar. (F).

Mas, veja esta outra situao. p = 24 mltiplo de 3 (V) q = 6 par (V) p q = 24 mltiplo de 3 se, e somente se, 6 par. (V).

A tabela-verdade da bicondicional fica assim:

P Q p q V V V V F F F V F F F V

Se as proposies p e q forem representadas como conjuntos, por meio de um diagrama, a proposio bicondicional "p se e somente se q" corresponder igualdade dos conjuntos p e q.

Observao: Uma proposio bicondicional "p se e somente se q" equivale proposio composta: (se p ento q) e (se q ento p), ou seja, p q equivalente a (p q) e (qp). (Equivalncia ser abordada futuramente).

Resumindo - a conjuno verdadeira somente quando ambas as proposies so verdadeiras. - a disjuno falsa somente quando ambas as proposies so falsas. - a disjuno exclusiva verdadeira quando as proposies tiverem valores lgicos diferentes. - a condicional falsa somente quando a primeira proposio verdadeira e a segunda falsa. - a bicondicional verdadeira somente quando as proposies possuem valores lgicos iguais.

Tabela-verdade com vrias proposies inter-relacionadas

Como proceder para resolver a seguinte proposio composta: (p V q) r? Bem, conhecendo as respectivas tabelas-verdade dos conectivos podemos resolver da seguinte

maneira: Montar a tabela com 8 linhas e determinar a tabela-verdade apenas para a relao (p V q),

observando-se os valores lgicos de p e de q:

p q r p V q V V V V V V F V V F V V

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V F F V F V V V F V F V F F V F F F F F

Depois, estabelecer a tabela-verdade da relao entre a coluna obtida e a proposio r (observe que eu desloquei de posio a coluna r para evitar erro no momento de atribuir o valor lgico):

P Q p V q r (p V q) r V V V V V V V V F F V F V V V V F V F F F V V V V F V V F F F F F V V F F F F V

Existem situaes em que temos proposies compostas com diferentes conectivos e com vrias proposies simples diferentes.

E muitos candidatos passam a ter dvidas do que resolver primeiro, como interpretar a tabela verdade, em funo destes diferentes conectivos misturados.

Como resolver tais situaes? Quando temos diversos conectivos, costumamos utilizar parntesis ou colchetes para indicar qual

parcela tem precedncia. Primeiro devemos dar prioridade para resolver o que est entre parntesis, depois o que estiver entre

os colchetes. Existem situaes em que os parntesis so omitidos. E isto pode ocorrer com muita frequncia em

provas de concursos pblicos. Principalmente com as bancas mais exigentes. Neste caso, temos que saber a ordem de precedncia entre os conectivos. A ordem :

1: operador no 2: conectivo e 3: conectivo ou 4: conectivo se ento 5: conectivo se, e somente se. O que significa esta ordem de precedncia? Significa que devemos resolver primeiro as relaes

entre os conectivos que tm prioridade.

Um exemplo ocorre na situao abaixo:

Roma a capital da Itlia e Londres a capital da Frana ou Paris a capital da Frana. Este um ponto importante para o concursando, porque pode trazer uma maior dificuldade e levar a

interpretaes incorretas. Temos um e e um ou. Conforme a ordem de precedncia, primeiro resolvemos a parte referente

ao e e, posteriormente, fazemos a parte referente ao ou. Para facilitar a anlise e a confeco da tabela-verdade, seria interessante colocarmos as proposies entre parntesis. Para ilustrar melhor o resultado da prioridade:

(Roma a capital da Itlia e Londres a capital da Frana) ou Paris a capital da Frana. Agora, para dar sequncia vamos atribuir os valores lgicos das proposies. Vejamos bem. Para

analisar esta etapa dividirei a parcela inicial (composta) da segunda parcela (que uma proposio simples).

Vamos valorar: (Roma a capital da Itlia e Londres a capital da Frana). Para valorar voc deve, ao menos, saber um pouquinho de geografia. Neste caso conclumos que: (Roma a capital da Itlia e Londres a capital da Frana). (V) (F)

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Como uma conjuno e temos que uma das proposies falsa, conclumos que a proposio da primeira parcela , portanto, falsa.

Logo, ficaramos com a seguinte situao (aqui troquei toda primeira proposio pelo seu valor lgico:

(F). ou Paris a capital da Frana. (F) (?) Como esta proposio tem o conectivo ou (disjuno), sabemos que para ela ser verdadeira pelo

menos uma das parcelas deve ser verdadeira. Mas j temos uma parcela falsa. Se a segunda parcela da proposio disjuntiva for falsa a disjuno ser falsa. Se for verdadeira, a disjuno ser verdadeira. Vamos atribuir o valor lgico desta segunda parcela:

Paris a capital da Frana. (V) Portanto, como a segunda parcela da proposio verdadeira isto nos leva concluso de que a

proposio inicial verdadeira. Poderamos utilizar a linguagem simblica e teramos: Proposio inicial: p q V r Proposies em prioridade: (p q) V r Resoluo da primeira parcela: F V r Analisando a segunda parcela: F V V Concluindo: V (proposio inicial verdadeira).

Sabendo que se trata de uma disjuno, basta que uma das partes seja verdadeira (no caso, a segunda parcela verdadeira) para que o valor lgico da disjuno seja verdadeiro.

Neste caso, se voc j analisasse a segunda parcela (Paris a capital da Frana, como sendo verdadeira) a resposta verdadeira da disjuno j seria verdadeira independente da primeira parte ser verdadeira ou falsa.

Em uma prova voc j poderia dar a resposta e no perder tempo resolvendo a primeira parcela. Caso a segunda parcela fosse falsa, deveramos analisar a primeira parcela.

A primeira parcela uma conjuno e ambas devem ser verdadeiras para que esta conjuno seja verdadeira. (Pela nossa anlise verificamos que a primeira parte falsa, mas isto no iria interferir na nossa resposta, neste caso em questo).

Resumindo: Ficamos com: (V e F) ou V Entre parntesis, temos um e, em que uma parcela falsa. Logo, a expresso entre parntesis

falsa. (F) ou V Assim, nosso ou tem uma parcela verdadeira. Logo, a proposio dada na alternativa verdadeira,

independente da parcela entre parntesis.

QUESTES

01. (TJ/CE - Analista Judicirio Especialidade Cincia da Computao - CESPEUnB/2014) Onze secretarias integram a administrao pblica de determinada cidade, entre as quais, a Secretaria de Agronegcios (SEAGR) e a Secretaria de Controle e Transparncia (SCT). Em 2009, a SCT instituiu um programa de acompanhamento sistemtico das secretarias de forma que, a cada ano, 3 secretarias seriam escolhidas aleatoriamente para que seus trabalhos fossem acompanhados ao longo do ano seguinte. Com esse programa, considerado um sucesso, observou-se uma reduo anual de 10% no montante de recursos desperdiados dos cofres municipais desde 2010. De acordo com os dados obtidos em 100 auditorias realizadas pela SCT, os motivos desses desperdcios incluam:

amadorismo nas tomadas de deciso (o gestor no era formado na rea de atuao) 28 auditorias;

incompetncia nas tomadas de deciso (o gestor no possui conhecimento tcnico no assunto) 35 auditorias;

m-f nas tomadas de deciso (o gestor decide em detrimento do interesse coletivo) 40 auditorias.

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Ao se defender da acusao de que teria causado desperdcio de recursos municipais em razo de m-f nas tomadas de deciso, o gestor da SEAGR apresentou o seguinte argumento, composto das premissas P1 e P2 e da concluso C.

P1: Se tivesse havido m-f em minhas decises, teria havido desperdcio de recursos municipais em minha gesto e eu teria sido beneficiado com isso.

P2: Se eu tivesse sido beneficiado com isso, teria ficado mais rico. C: No houve m-f em minhas decises. O nmero de linhas da tabela verdade correspondente proposio P1 igual a (A) 4. (B) 8. (C) 16. (D) 32. (E) 64.

02. (TJ/SE Tcnico Judicirio rea Administrativa Especialidade Programao de Sistemas CESPE UNB/2014) Julgue os prximos itens, considerando os conectivos lgicos usuais , , , , e que P, Q e R representam proposies lgicas simples.

A proposio [(P)vQ]{[P(Q)]} uma tautologia. (Certo) (Errado)

03. (AMAZUL - Assistente de Administrao - Tcnico de Contabilidade - IBFC/2014) A afirmao Se uma proposio p implica numa proposio q, ento a proposio q implica na proposio p :

(A) verdadeira. (B) verdadeira ou falsa. (C) verdadeira se o valor lgico de p for falso. (D) falsa.

04. (PC/SP - Mdico Legista - VUNESP/2014) As afirmaes I, II e III esto associadas a conceitos bsicos do raciocnio lgico ou da Teoria dos Conjuntos:

I. O valor lgico de uma conjuno de duas proposies verdade somente quando ambas as proposies so verdadeiras.

II. Em uma afirmao condicional cujo valor lgico verdade, a antecedente e a consequente sempre so verdadeiras.

III. A reunio de conjuntos est associada disjuno inclusiva, ao passo que a interseo de conjuntos est relacionada conjuno.

Avaliando-se as afirmaes I, II e III, pode-se concluir corretamente que o valor lgico delas so, respectivamente,

(A) falsidade, verdade, verdade. (B) verdade, falsidade, verdade. (C) verdade, verdade, verdade. (D) verdade, verdade, falsidade. (E) falsidade, falsidade, falsidade.

05. (AMAZUL - Assistente de Administrao - Tcnico de Contabilidade - IBFC/2014) Considerando as proposies r: a quinta parte de 24 maior que 5 e s: 35% de 70 menor que 25, pode-se afirmar que:

(A) r condicional s falso. (B) r bicondicional s verdade. (C) a conjuno entre r e s verdade. (D) s condicional r falso.

06. (SEDS/MG - Agente de Segurana Penitenciria - IBFC/2014) Se o valor lgico de uma proposio falso e o valor lgico de outra proposio verdade, ento o valor lgico do condicional entre eles, nessa ordem, :

(A) verdadeiro. (B) falso. (C) falso ou verdadeiro. (D) impossvel de determinar.

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07. (FUNDUNESP - Analista de Tecnologia da Informao - Redes - VUNESP/2014) Sabe-se que verdade que os quatro avs de Enzo eram italianos. Logo, certo que

(A) se Genaro no era italiano, ento ele no era av de Enzo. (B) Enzo italiano. (C) se Bianca era italiana, ento ela era av de Enzo. (D) Enzo no italiano. (E) se Alessandra no era av de Enzo, ento ela no era italiana. 08. (PC/SP - Delegado de Polcia - VUNESP/2014) Os conectivos ou operadores lgicos so

palavras (da linguagem comum) ou smbolos (da linguagem formal) utilizados para conectar proposies de acordo com regras formais preestabelecidas. Assinale a alternativa que apresenta exemplos de conjuno, negao e implicao, respectivamente.

(A) p, p v q, p q (B) p q, p, p -> q (C) p -> q, p v q, p (D) p v p, p -> q, q (E) p v q, q, p v q

Respostas

1. Vamos analisar a proposio P1 e verificar o nmero de proposies simples que a compem: p: tivesse havido m-f em minhas decises q: teria havido desperdcio de recursos municipais em minha gesto r: eu teria sido beneficiado com isso. Como temos 3 proposies simples o nmero de linhas da tabela verdade ser igual a 2n = 23 = 8. Resposta: B.

2.Podemos deduzir tais informaes ou fazer a tabela verdade. Vamos fazer a tabela para treinar um pouco. Alm do que, acho que mais fcil analisar, neste caso, pela tabela verdade.

p Q ~p ~q [(P)vQ [P(Q)]

[P(Q)]

[(P)vQ]{[P(Q)]}

V V F F V F V V V F F V F V F V F V V F V F V V F F V V V F V V

Somente valores verdadeiros na coluna da bicondicional proposta. Logo, uma tautologia. Para ser uma tautologia todas as linhas da proposio devem dar valores lgicos verdadeiros. Verifique que isto ocorre.

Resposta: Certo

3.Esta forma de representar uma condicional p q por q p chamada de recproca e no h implicao verdadeira.

Para analisar de uma maneira de mais simples entendimento, basta analisar a tabela verdade destas. Vamos montar a tabela:

P Q p q

q p

V V V V V F F V F V V F F F V V

Observa-se que as tabelas verdades no so idnticas. Logo, no h implicao. Resposta falsa. Resposta: D.

4.Basta saber as tabelas verdades para responder a esta questo. Vamos analisar as afirmativas:

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I. O valor lgico de uma conjuno de duas proposies verdade somente quando ambas as proposies so verdadeiras. CORRETO. A conjuno s verdadeira com as duas proposies sendo verdadeiras.

II. Em uma afirmao condicional cujo valor lgico verdade, a antecedente e a consequente sempre so verdadeiras.

No est correto. Pois a condicional pode ser verdadeira se a antecedente for falsa, independendo da consequente.

III. A reunio de conjuntos est associada disjuno inclusiva, ao passo que a interseo de conjuntos est relacionada conjuno.

Correto. Na disjuno inclusiva basta que uma das proposies seja verdadeira. Na conjuno, deve haver a interseco, pois, ambas precisam ser verdadeiras.

5.Vamos considerar as parcelas: r: a quinta parte de 24 maior que 5 s: 35% de 70 menor que 25 Vamos verificar os valores lgicos destas parcelas: r: a quinta parte de 24 maior que 5 (F), pois, 24/5 menor que 5. s: 35% de 70 menor que 25 (V), pois 70x0,3 = 24,5 As alternativas trazem possibilidades de diferentes formas de proposies compostas. Vamos

analisar as alternativas e chegar resposta correta. Alternativa A: condicional com F e V ser sempre V. Item errado, pois, diz que ser falsa. Alternativa B trata de uma bicondicional. A tabela verdade da bicondicional traz que se os dois

valores lgicos das parcelas forem iguais, a bicondicional ser verdadeira. Logo, esta alternativa est errada.

Alternativa C: percebemos que a alternativa C traz a conjuno. Se alguma parcela da conjuno for falsa ela ser falsa. Esta alternativa est errada.

Alternativa D trata de uma condicional. Para a condicional se tivermos a primeira parcela verdadeira e a segunda parcela falsa a condicional ser falsa. Que justamente o que diz a alternativa.

Alternativa D

6.A condicional se tiver a primeira parcela sendo falsa ela sempre ser verdadeira, independentemente do valor lgico da segunda parcela.

Resposta: A.

7.Para no ser av de Enzo basta que no seja italiano. Relao de Suficiente necessrio.

8.A conjuno um tipo de proposio composta e apresenta o conectivo e, que representado pelo smbolo . A negao representada pelo smbolo ~ou cantoneira () e pode negar uma proposio simples (por exemplo: p) ou composta. J a implicao uma proposio composta do tipo condicional (Se, ento) e representada pelo smbolo (). Alternativa B.

NEGAO

A negao um tpico bastante abordado em concursos. E muitos candidatos erram, por no seguirem as regras bsicas dos conectivos a serem negados Trabalharemos agora com esta parte do raciocnio lgico.

muito importante saber negar uma proposio. As pessoas pensam que basta apenas colocar a palavra no que estar tudo resolvido. Mas no assim.

No caso de uma proposio simples, a negao a mais fcil de estabelecer: basta pr a palavra no antes da sentena.

Exemplos:

Srgio arquiteto Negativa: Srgio no arquiteto.

Maria estudante.

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Negativa: Maria no estudante. Caso tenhamos na sentena original uma negativa (j traga a palavra no), teremos que fazer a

negativa (negar o sentido negativo j presente). Exemplo: Srgio no arquiteto. Negativa: (Srgio no no arquiteto): Srgio arquiteto. Lembra das operaes matemticas bsicas (- com - = +). O smbolo que representa a negao uma pequena cantoneira () ou um sinal de til (~),

antecedendo a frase. Assim, a tabela-verdade da negao bem simples. Veja:

p ~p V F F V

Algumas situaes tambm so negaes, porm, descritas das seguintes formas: -"no A", - No verdade que A. - falso que A.

Da, as seguintes frases so equivalentes: matemtica no fcil. No verdade que matemtica fcil. falso que matemtica fcil.

Mas como proceder para fazer a negao de proposies compostas? Esta parte da negao a que mais aparece nos concursos, porque apresenta maior dificuldade

para o concursando e, assim, maiores possibilidades de erros. Inicialmente devemos analisar o tipo de conectivo que aparece na proposio. E, em funo disto,

teremos diferentes maneiras de se fazer a negao. Existem algumas regras que devero ser seguidas e ponto final!!!

uma questo de treino. Voc j deve ter encontrado este conselho em quase todos os materiais didticos. Mas verdade.

LEIS DE MORGAN. Estas negaes que sero agora abordadas so chamadas de Leis de Morgan.

A) Negao de Conjunes: ~(p e q) Para negarmos uma proposio do tipo conjuno (p e q) fcil: 1) Negaremos a primeira (~p); 2) Negaremos a segunda (~q); 3) Trocaremos e por ou.

RESUMINDO: NEGUE TUDO e troque o conectivo e por ou.

Exemplo 01: negar a proposio Ganhei uma camisa e uma gravata A proposio acima poderia ser reescrita assim: Ganhei uma camisa e ganhei uma gravata Negao: No ganhei uma camisa OU no ganhei uma gravata Neste caso as duas proposies tm sentido positivo. Por isto, aparecem duas negativas na

resposta.

Exemplo 02: negar a proposio No consegui marcar um gol e meu time perdeu Negao: Consegui marcar um gol OU meu time no perdeu Neste caso a primeira proposio tem significado negativo. Por isto, aparecem nesta proposio

sentido positivo.

Convertendo para a linguagem da lgica, diremos que: ~(p ^ q) = ~p V (~q)

Como analisaremos a tabela-verdade das duas situaes? Vamos analisar o primeiro exemplo:

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Ganhei uma camisa e uma gravata p = Ganhei uma camisa q = ganhei uma gravata

p Q p^q V V V V F F F V F F F F

Agora adicionarei as colunas referentes s negaes das proposies p e q:

p q p^q ~p ~q V V V F F V F F F V F V F V F F F F V V

E a seguir, fazer a coluna referente disjuno entre ~p e ~q, que a negao da conjuno:

p Q p^q ~p ~q ~(p^q)= ~p V ~q

V V V F F F V F F F V V F V F V F V F F F V V V

Observe que as tabelas verdades da conjuno e sua negao (no caso uma disjuno) so opostas.

~(p^q)= ~p V ~q F V V V

B) Negao da Disjuno: ~(p ou q) Na linguagem apropriada, concluiremos que: ~(p V q) = ~p ^ ~q Para negarmos uma proposio do tipo disjuno (p ou q) fcil: 1) Negaremos a primeira (~p); 2) Negaremos a segunda (~q); 3) Trocaremos ou por e.

RESUMINDO: NEGUE TUDO e troque o conectivo ou por e.

Exemplo 01: negar a proposio Ganhei uma camisa ou uma gravata

Negao: No ganhei uma camisa e no uma gravata Neste caso as duas proposies tm sentido positivo. Por isto, aparecem duas negativas na

resposta.

Exemplo 02: negar a proposio No consegui marcar um gol ou meu time perdeu

Negao: Consegui marcar um gol e meu time no perdeu (Neste caso a primeira proposio tem significado negativo. Por isto, aparecem nesta proposio

sentido positivo). Convertendo para a linguagem da lgica, diremos que: ~(p V q) = ~p ^ (~q)

p^q V F F F

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Como analisaremos a tabela-verdade das duas situaes? Vamos analisar o primeiro exemplo: Ganhei uma camisa e uma gravata p = Ganhei uma camisa q = ganhei uma gravata

p q pVq V V V V F V F V V F F F

Agora adicionarei as colunas referentes s negaes das proposies p e q:

p q pVq ~p ~q V V V F F V F V F V F V V V F F F F V V

E a seguir, fazer a coluna referente CONjuno entre ~p e ~q:

p q pVq ~p ~q ~(pVq) = ~p ^ ~q

V V V F F F V F V F V F F V V V F F F F F V V V

Observe que as tabelas verdades da DISjuno e sua negao (no caso uma CONjuno) so opostas.

~(pVq) = ~p ^ ~q F F F V

Repare que as duas situaes de negao so muito semelhantes. Negar tudo e trocar os conectivos e por ou e vice-versa.

QUESTES

01. (PC/SP - Investigador de Polcia - VUNESP/2014) Um antroplogo estadunidense chega ao Brasil para aperfeioar seu conhecimento da lngua portuguesa. Durante sua estadia em nosso pas, ele fica muito intrigado com a frase no vou fazer coisa nenhuma, bastante utilizada em nossa linguagem coloquial. A dvida dele surge porque:

(A) a conjuno presente na frase evidencia seu significado. (B) o significado da frase no leva em conta a dupla negao. (C) a implicao presente na frase altera seu significado. (D) o significado da frase no leva em conta a disjuno. (E) a negao presente na frase evidencia seu significado.

02. (PC/SP - Delegado de Polcia - VUNESP/2014) Os conectivos ou operadores lgicos so palavras (da linguagem comum) ou smbolos (da linguagem formal) utilizados para conectar proposies de acordo com regras formais preestabelecidas. Assinale a alternativa que apresenta exemplos de conjuno, negao e implicao, respectivamente.

(A) p, p v q, p q (B) p q, p, p -> q

pVq V V V F

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(C) p -> q, p v q, p (D) p v p, p -> q, q (E) p v q, q, p v q

03. (TC/DF - Analista de Administrao Pblica - CESPEUnB/2014) Considere as proposies P1, P2, P3 e P4, apresentadas a seguir.

P1: Se as aes de um empresrio contriburem para a manuteno de certos empregos da estrutura social, ento tal empresrio merece receber a gratido da sociedade.

P2: Se um empresrio tem atuao antieconmica ou antitica, ento ocorre um escndalo no mundo empresarial.

P3: Se ocorre um escndalo no mundo empresarial, as aes do empresrio contriburam para a manuteno de certos empregos da estrutura social.

P4: Se um empresrio tem atuao antieconmica ou antitica, ele merece receber a gratido da sociedade.

04. (PRODEST/ES - Assistente de Tecnologia da Informao - VUNESP/2014) Uma negao lgica para a proposio Pedro estudou e est participando de um concurso est contida na alternativa:

(A) Pedro no estudou ou no est participando de um concurso. (B) Pedro no estudou e no est participando de um concurso. (C) Pedro estudou pouco, mas est participando de um concurso. (D) Pedro estudou, mas no est participando de um concurso. (E) Pedro estudou pouco e no est participando de um concurso.

05. (AMAZUL - Assistente de Administrao - Tcnico de Contabilidade - IBFC/2014) A negao da frase Antnio estudou e Mrcia ganhou dinheiro equivale logicamente a:

(A) Antnio no estudou ou Mrcia no ganhou dinheiro. (B) Antnio no estudou e Mrcia no ganhou dinheiro. (C) Antnio no estudou e Mrcia ganhou dinheiro. (D) Antnio estudou ou Mrcia no ganhou dinheiro.

06. (PC/SP - Investigador de Polcia - VUNESP/2014) Joo e Maria so professores da rede pblica de ensino e gostam muito de conhecer novos lugares. Considerando a proposio Joo e Maria viajam sempre durante as frias escolares, assinale a negao dessa proposio.

(A) Joo e Maria no viajam sempre durante as frias escolares. (B) Joo e Maria viajam sempre durante o perodo letivo. (C) Joo e Maria viajam algumas vezes durante as frias escolares. (D) Joo e Maria viajam algumas vezes durante o perodo letivo. (E) Joo e Maria no viajam sempre durante o perodo letivo.

07. (SEDS/MG - Agente de Segurana Socioeducativa - IBFC/2014) A negao lgica da frase Maurcio comprou um notebook ou Paula no foi escola dada por:

(A) Maurcio no comprou um notebook ou Paula foi escola. (B) Se Maurcio no comprou um notebook, ento Paula foi escola. (C) Maurcio no comprou um notebook e Paula no foi escola. (D) Maurcio no comprou um notebook e Paula foi escola.

08. (RioPrevidncia - Assistente Previdencirio - CEPERJ/2014) Leia atentamente a seguinte sentena:

Maria foi feira ou no foi ao supermercado e seu marido foi ao Maracan. A negao dessa sentena apresentada na opo: (A) Maria no foi feira ou foi ao supermercado e seu marido no foi ao Maracan. (B) Maria no foi feira e no foi ao supermercado e seu marido no foi ao Maracan. (C) Maria no foi feira e foi ao supermercado ou seu marido no foi ao Maracan. (D) Maria foi feira e no foi ao supermercado ou seu marido foi ao Maracan. (E) Maria foi feira e foi ao supermercado e seu marido no foi ao Maracan.

Respostas 1.~(~p) equivalente a p Logo, uma dupla negao equivalente a afirmar.

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Resposta: B.

2. A conjuno um tipo de proposio composta e apresenta o conectivo e, que representado pelo smbolo . A negao representada pelo smbolo ~ou cantoneira () e pode negar uma proposio simples (por exemplo: p) ou composta. J a implicao uma proposio composta do tipo condicional (Se, ento) e representada pelo smbolo ().

Resposta: B.

3. Tendo como referncia essas proposies, julgue o item seguinte. A negao da proposio Um empresrio tem atuao antieconmica ou antitica pode ser

expressa por Um empresrio no tem atuao antieconmica ou no tem atuao antitica. (certo) (errado)

O enunciado nos traz uma proposio composta por uma disjuno (conectivo ou) e pede a sua negao. A negao de uma disjuno se faz atravs de uma conjuno em que trocaremos o conectivo ou pelo conectivo e, alm de negar as duas parcelas. Observamos que no ocorreu a troca do conectivo ou, apesar de ter negado corretamente as duas parcelas. Logo, a estrutura lgica da negao est errada.

4. O enunciado nos traz uma proposio do tipo conjuno e pede a sua negao. A negao de uma conjuno se faz atravs de uma disjuno em que trocaremos o conectivo e pelo conectivo ou, alm de negar as duas parcelas. Portanto, j podemos descartar as alternativas que no trazem este conectivo ou (a conjuno mas equivalente conjuno e). Descartamos as alternativas B, C, D e E. Resta, por excluso a alternativa A.

Vamos negativa: Pedro NO estudou OU NO est participando de um concurso.

5. A negao de uma conjuno feita atravs de uma disjuno. Como fazer? Negamos as duas parcelas e trocamos o conectivo e por ou. Considerando: p: Antnio estudou q: Mrcia ganhou dinheiro Vamos negar as parcelas: ~p: Antnio NO estudou q: Mrcia NO ganhou dinheiro ~p V ~q => Antnio no estudou OU Mrcia NO ganhou dinheiro. Alternativa A

6. A proposio acima mencionada uma proposio simples. Joo e Maria (este e no um conectivo de conjuno). Portanto, ficaria: Joo e Maria NO viajam sempre durante as frias escolares.

Alternativa A.

7. O enunciado nos traz uma proposio do tipo disjuno (conectivo ou) e pede a sua negao. A negao de uma disjuno se faz atravs de uma conjuno, em que trocaremos o conectivo ou pelo conectivo e, alm de negar as duas parcelas. Portanto, j podemos descartar as alternativas que no trazem este conectivo e. Descartamos as alternativas A e B.

Vamos negar as duas parcelas e un-las pelo conectivo e para determinar a alternativa correta. Vamos negativa: Maurcio NO comprou um notebook E Paula foi escola. Alternativa D.

8. O enunciado nos traz uma proposio composta por uma disjuno (conectivo ou) em sua primeira parcela e uma conjuno (conectivo e) na segunda parcela e pede a sua negao. A negao de uma disjuno se faz atravs de uma conjuno (e vice-versa), em que trocaremos o conectivo ou pelo conectivo e, alm de negar as duas parcelas.

Podemos reescrever a proposio de uma maneira mais cautelosa para que voc no erre e entenda o que est sendo proposto:

(Maria foi feira ou no foi ao supermercado) e seu marido foi ao Maracan. Agora, vamos negar as duas parcelas:

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(Maria foi feira ou no foi ao supermercado) Ficaramos com (Maria no foi feira e foi ao supermercado) (seu marido NO foi ao Maracan. Juntaremos as duas parcelas, trocando o conectivo e pelo conectivo ou. (Maria no foi feira e foi ao supermercado OU seu marido NO foi ao Maracan) Resposta: C.

EQUIVALNCIA

O que quer dizer a palavra Equivalencia? Vejamos o dicionrio:

Significado de Equivalncia s.f. Caracterstica ou condio de equivalente. Matemtica. Caracterstica das grandezas que possuem o mesmo valor; diz-se da fora, do peso

etc. Lgica: correspondncia entre duas proposies que possuem o mesmo valor de verdade, ou seja,

se uma verdadeira, a outra tambm ser. (Etm. equivaler + ncia)

A equivalncia entre proposies compostas ocorre quando suas tabelas verdades forem idnticas. Mesmo que para isso usemos diferentes expresses. Seria uma forma de dizer a mesma coisa de maneiras ou formas diferentes. Numa linguagem popular: o Francisco o Chico....

Para expressarmos a ocorrncia de uma equivalncia usaremos a seguinte simbologia ( ou mais excepcionalmente, ).

Nos concursos a incidncia de equivalncia muito grande. Principalmente quando se trabalha com a proposio na forma condicional.

O motivo disto que so possveis duas distintas formas de equivalncia para a condicional. E isto gera um grau de dificuldade muito grande para o candidato, fazendo com que ele erre muitas questes (creio que seja este um dos objetivos da banca, para selecionar quem sabe menos de quem sabe mais do assunto).

Vejamos as equivalncias mais comuns: a) Conjuno (A ^ B B ^A) A e B equivalente a B e A. Exemplo: Lcia enfermeira e Carla mdica. Equivalente: Carla mdica e Lcia enfermeira

b) Disjuno (A V B B V A) A ou B equivalente a B ou A. Ludmila bailarina ou Lvia cantora. Equivalente: Lvia cantora ou Ludmila bailarina.

c) Disjuno exclusiva (A V B B V A) Ou a ou B equivalente a ou B ou A Exemplo: Ou vou ao cinema ou vou ao estdio. Equivale a: Ou vou ao estdio ou vou ao cinema.

d) Condicional Aqui a coisa pode complicar. Existem expresses que a banca pode forar a barra para fazer o

candidato errar. Ela pedir ou questionar equivalncia entre condicionais mencionando termos como: contrria, contrapositiva, etc.

Para verificar esse fato, vamos examinar as tabelas-verdade:

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1 2 3 4 5 6

p q ~p ~

q (p q) ~p ~q (q p) ~q ~p p^ ~ q ~p V q

V V F F V V V V F V V F F V F V V F V F F V V F V F F V F V F F V V V V V V F V

Observe que as tabelas-verdade em azul (casos 1,4 e 6) so idnticas. Portanto, so situaes equivalentes.

Vamos fazer aqui uma anlise muito importante:

Temos na tabela a coluna 1 que corresponde tabela-verdade da condicional. Quando negamos uma condicional (resultando na tabela-verdade da coluna 5) devemos neg-la com uma conjuno. Quando se nega uma conjuno (coluna 5) devemos negar com uma disjuno (obtendo a tabela-verdade da coluna 6). Portanto, considerando que a condicional verdadeira ao neg-la teremos valor lgico correspondente falso e ao negar novamente teremos a volta ao valor lgico verdadeiro.

O que quero dizer com isso? que negar a verdade resulta em mentira e negar a mentira resulta em verdade. Portanto, a negao da negao equivalente proposio inicial.

Por isto, as colunas em azul 1 e 6 so idnticas (e so equivalentes). Se considerarmos coluna 1 a proposio verdadeira, sua negao seria a coluna 5. E se negarmos a

coluna 5, o resultado seria a coluna 6.

A equivalncia contrapositiva

H um caso muito especial de equivalncia da condicional que a chamada contrapositiva. O que seria a contrapositiva? Como fazer sua expresso?

Repare que teremos uma equivalncia da condicional com uma disjuno (exemplos das colunas 1 e 6). Porm, podemos ter uma equivalente de condicional na forma de condicional (coluna 4). Observe que neste caso, teremos a inverso da ordem das proposies simples, ambas negadas e unidas com conectivo condicional.

Existem formas de se determinar esta expresso, porm, para evitar criar mais dificuldades e complexidade para voc, caro aluno, basta memorizar, como citado acima, a expresso lgica da contrapositiva.

RESUMINDO:

Equivalncias da condicional: - com uma disjuno: ~p V q - com outra condicional (contrapositiva): ~q ~p. Vamos fazer duas questes para exemplificar:

Exemplo: Se chover ento ficarei em casa. - com uma disjuno: ~p V q No chove ou fico em casa.

- com outra condicional (contrapositiva): ~q ~p. Se no fiquei em casa ento no choveu.

Exemplo: Se chove ento me molho - com uma disjuno: ~p V q No estudo ou passo no concurso - com outra condicional (contrapositiva): ~q ~p. Se no me molho ento no chove

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Vale a pena ressaltar que muitas bancas trazem uma condicional e pedem sua equivalncia. Porm, costumam colocar nas alternativas expresses com diferentes conectivos, com negao ou no, etc. E isto gera uma confuso muito grande na cabea do candidato, em caso destas relaes no estarem bem memorizadas.

Portanto, memorize: (p q) ~q ~p ~p V q

e) Bicondicional (A B B A) ou (a b ^ b a) A se e somente B equivale a B se e somente A. Ou: A se e somente B equivale a Se A ento B e se B ento A.

QUESTES

01. (MTur Contador - ESAF/2014) A proposio se Catarina turista, ento Paulo estudante logicamente equivalente a

(A) Catarina no turista ou Paulo no estudante. (B) Catarina turista e Paulo no estudante. (C) Se Paulo no estudante, ento Catarina no turista. (D) Catarina no turista e Paulo no estudante. (E) Se Catarina no turista, ento Paulo no estudante.

02. (Cmara Municipal de So Jos dos Campos/SP - Analista Legislativo Informtica Especialidade Analista de Sistemas - VUNESP/2014) Se no chove, ento passeamos ou jogamos bola. Uma afirmao logicamente equivalente :

(A) Se chove, ento no passeamos e jogamos bola. (B) Se passeamos ou jogamos bola, ento no chove. (C) Chove ou, passeamos ou jogamos bola. (D) No chove e, passeamos ou jogamos bola. (E) Se jogamos bola e passeamos, ento chove.

03. (SUFRAMA Nvel Superior - CESPEUnB/2014) Pedro, um jovem empregado de uma empresa, ao receber a proposta de novo emprego, fez diversas reflexes que esto traduzidas nas proposies abaixo.

P1: Se eu aceitar o novo emprego, ganharei menos, mas ficarei menos tempo no trnsito. P2: Se eu ganhar menos, consumirei menos. P3: Se eu consumir menos, no serei feliz. P4: Se eu ficar menos tempo no trnsito, ficarei menos estressado. P5: Se eu ficar menos estressado, serei feliz.

04. (CEF - Tcnico Bancrio - CESPEUnB/2014) Considerando a proposio Se Paulo no foi ao banco, ele est sem dinheiro, julgue o item seguinte.

A proposio considerada equivale proposio Se Paulo no est sem dinheiro, ele foi ao banco. (certo) (errado)

05. (CEF - Tcnico Bancrio - CESPEUnB/2014) Considerando a proposio Se Paulo no foi ao banco, ele est sem dinheiro, julgue o item seguinte.

A proposio em apreo equivale proposio Paulo foi ao banco e est sem dinheiro. (certo) (errado)

06. (Cmara dos Deputados - Tcnico Legislativo Agente de Polcia Legislativa - CESPEUnB/2014) Considerando que P seja a proposio Se o bem pblico, ento no de ningum, julgue o item subsequente.

A proposio P equivalente proposio Se o bem de algum, ento no pblico. (certo) (errado)

07. (Cmara dos Deputados - Tcnico Legislativo Agente de Polcia Legislativa - CESPEUnB/2014) Considerando que P seja a proposio Se o bem pblico, ento no de ningum, julgue o item subsequente.

A proposio P equivalente proposio Se o bem de todos, ento pblico.

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(certo) (errado)

08. (HUB EBSERH - Tcnico em Informtica - IBFC/2014) De acordo com o raciocnio lgico matemtico, pode- se afirmar que a disjuno entre duas proposies compostas (p v q) equivalente a:

(A) ~p v ~q (B) ~p v q (C) p ^ ~q (D) ~p ^ ~q

09. (MPE/SC - Analista do Ministrio Pblico - FEPESE/2014) A afirmao logicamente equivalente sentena: Se Jos e Maria trabalham, ento Joo ou Lcia descansam :

a) Se Joo ou Lcia descansam, ento Jos e Maria no trabalham. b) Se Joo ou Lcia descansam, ento Jos ou Maria no trabalham. c) Se Jos e Maria no trabalham, ento Joo e Lcia no descansam. d) Se Joo e Lcia no descansam, ento Jos e Maria no trabalham. e) Se Joo e Lcia no descansam, ento Jos ou Maria no trabalham.

10. (MEC - Todos os Cargos - Conhecimentos Gerais - CESPEUnB/2014) Considerando a proposio P: Nos processos seletivos, se o candidato for ps-graduado ou souber falar ingls, mas apresentar deficincias em lngua portuguesa, essas deficincias no sero toleradas, julgue os itens seguintes acerca da lgica sentencial.

A proposio O candidato no apresenta deficincias em lngua portuguesa ou essas deficincias so toleradas logicamente equivalente a Se o candidato apresenta deficincias em lngua portuguesa, ento essas deficincias so toleradas.

(certo) (errado)

11. (MPE/SC - Tcnico em Informtica - FEPESE/2014) A afirmao logicamente equivalente sentena: Se o nmero 5 ou 8 for sorteado, ento eu serei rico e famoso :

(A) Se eu no for rico ou famoso, ento os nmeros 5 e 8 no sero sorteados. (B) Se eu no for rico e famoso, ento os nmeros 5 e 8 no sero sorteados. (C) Se o nmero 5 ou 8 no for sorteado, ento eu no serei rico e famoso. (D) Se o nmero 5 ou 8 no for sorteado, ento eu no serei rico ou no serei famoso. (E) Se eu no for rico ou famoso, ento ou o nmero 5 ou o nmero 8 no ser sorteado. X

12. (DESENVOLVE/SP - Contador - VUNESP/2014) Se o sino da igreja toca e minha av o escuta, ento minha av vai para a igreja.

Uma afirmao equivalente a essa, do ponto de vista lgico, : (A) Se minha av no vai para a igreja, ento o sino da igreja no toca ou minha av no o escuta. (B) Se minha av no o escuta, ento o sino da igreja no toca e minha av no vai para a igreja. (C) Minha av no o escuta ou o sino da igreja toca ou minha av vai para a igreja. (D) Se o sino da igreja toca e minha av vai para a igreja, ento minha av o escuta. (E) Se o sino da igreja no toca ou minha av no o escuta, ento minha av no vai para a igreja.

13. (CBM/RJ - Cabo Tcnico em Enfermagem - ND/2014) A sentena logicamente equivalente a "Se Antnio mdico, ento Giovana no casada :

(A) Se Giovana casada, ento Antnio mdico. (B) Antnio no mdico ou Giovana no casada. (C) Antnio mdico ou Giovana no casada. (D) Antnio no mdico ou Giovana casada. (E) Se Giovana no casada, ento Antnio mdico.

14. (MPE/SC - Analista do Ministrio Pblico - FEPESE/2014) Em um pas eleies sero realizadas em breve. Sabe-se que se a pessoa A somente ser candidata se a pessoa B for candidata. Ainda, se a pessoa C no se candidatar ento a pessoa A tambm no ser candidata. Logo:

(A) Se a pessoa B for candidata, ento a pessoa A no ser candidata. (B) Se a pessoa B for candidata, ento a pessoa C tambm ser candidata. (C) Se a pessoa B for candidata, ento a pessoa C no ser candidata.

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(D) Se a pessoa B no for candidata, ento a pessoa C tambm ser candidata. (E) Se a pessoa B no for candidata, ento a pessoa C no ser candidata.

15. (EMPLASA Analista de Geomtica Engenharia da Computao VUNESP/2014) Uma frase logicamente equivalente a Se jogo xadrez, ento sou bom em matemtica :

(A) Se sou bom em matemtica, ento jogo xadrez. (B) Se no sou bom em matemtica, ento no jogo xadrez. (C) Se no jogo xadrez, ento no sou bom em matemtica. (D) Posso ser bom em matemtica sem saber jogar xadrez. (E) Posso ser jogador de xadrez sem ser bom em matemtica.

Respostas

1. O enunciado prope uma relao de equivalncia para uma condicional. A condicional pode ter duas formas de equivalentes: atravs de uma disjuno ou por uma outra condicional. Esta forma chama-se contrapositiva e tem a seguinte estrutura: p q equivale a ~q ~p.

Considerando: p: Catarina turista q: Paulo estudante.

as negativas destas parcelas seriam: ~p: Catarina no turista ~q: Paulo no estudante A equivalncia de condicional por uma conjuno deve seguir a seguinte relao: ~p V q. Portanto, teramos: Catarina no turista OU Paulo estudante. No encontramos esta proposio nas alternativas. Logo, precisamos fazer a contrapositiva: p q

equivale a ~q ~p. Teremos Se Paulo no estudante ento, Catarina no turista. Resposta: C.

2. O enunciado prope uma relao de equivalncia para uma condicional, que apresenta na sua segunda parcela uma disjuno. A condicional pode ter duas formas de equivalentes: atravs de uma disjuno ou por uma outra condicional. Esta forma chama-se contrapositiva e tem a seguinte estrutura: p q equivale a ~q ~p.

A disjuno tem sua negativa por uma conjuno (substituir conectivo ou pelo conectivo e). Considerando: p: no chove q: passeamos. r: jogamos bola A equivalncia de condicional por uma conjuno deve seguir a seguinte relao: ~p V q. Portanto, teramos: chove OU passeamos ou jogamos bola. Resposta: C.

3 .A partir dessas proposies, julgue o item a seguir. A proposio P1 logicamente equivalente proposio Eu no aceito o novo emprego, ou

ganharei menos e ficarei menos tempo no trnsito. (certo) (errado) O enunciado prope uma relao de equivalncia para uma condicional, por uma disjuno. A

equivalncia de condicional por uma disjuno deve seguir a seguinte relao: ~p V q.

Considerando: p: eu aceitar o novo emprego q: ganharei menos, mas ficarei menos tempo no trnsito. Portanto, teramos: eu NO aceito o novo emprego OU ganharei menos, mas ficarei menos tempo

no trnsito. Resposta: Certo.

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4. O enunciado prope uma relao de equivalncia para uma condicional, usando uma outra condicional. Esta forma chama-se contrapositiva e tem a seguinte estrutura: p q equivale a ~q ~p.

Considerando: p: Paulo no foi ao banco q: ele est sem dinheiro as negativas destas parcelas seriam: ~p: Paulo foi ao banco ~q: ele NO est sem dinheiro. Montando a contrapositiva teremos: Se Paulo NO est sem dinheiro, ento ele foi ao banco. Resposta: Certo.

5. O enunciado prope uma relao de equivalncia para uma condicional. A condicional pode ter duas formas de equivalentes: atravs de uma disjuno (conectivo ou) ou por uma outra condicional, chamada de contrapositiva. Observamos que se prope uma equivalncia de condicional com uma conjuno (conectivo e) e isto no est correto.

Resposta: Errado.

6. O enunciado prope uma relao de equivalncia para uma condicional, usando uma outra condicional. Esta forma chama-se contrapositiva e tem a seguinte estrutura: p q equivale a ~q ~p.

Considerando: p: o bem pblico q: no de ningum. As negativas destas parcelas seriam: ~p: o bem no pblico ~q: de ningum.

Montando a contrapositiva teremos: Se o bem de algum, ento (o bem) no pblico Resposta: Certo.

7. O enunciado prope uma relao de equivalncia para uma condicional, usando uma outra condicional. Esta forma chama-se contrapositiva e tem a seguinte estrutura: p q equivale a ~q ~p.

Considerando: p: o bem pblico q: no de ningum. As negativas destas parcelas seriam: ~p: o bem no pblico ~q: de ningum. Montando a contrapositiva teremos: Se o bem de algum, ento (o bem) no pblico Resposta: Errado.

8. O enunciado pede o equivalente entre duas disjunes do tipo (p v q). A equivalente de uma disjuno (p v q) (q v p) Vamos montar esta situao e desenvolver a equivalncia:

Resposta: D.

9. O enunciado prope uma relao de equivalncia para uma condicional, usando uma outra condicional. Esta forma chama-se contrapositiva e tem a seguinte estrutura: p q equivale a ~q ~p. Porm, devemos observar que temos na primeira parcela uma conjuno e na segunda parcela da condicional uma disjuno. Cuidado, pois, a contrapositiva requer que se negue ambas as parcelas. E devemos saber que uma conjuno se nega com uma disjuno, aps negar as proposies. E uma disjuno se nega com uma conjuno alm de se negar as duas proposies.

Considerando: p: Jos e Maria trabalham q: Joo ou Lcia descansam.

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As negativas destas parcelas seriam: ~p: Jos ou Maria no trabalham ~q: Joo e Lcia no descansam

Montando a contrapositiva teremos: Se Joo e Lcia no descansam, ento Jos ou Maria no trabalham.

Resposta: E.

10. O enunciado prope equivalncia entre uma disjuno e uma condicional. Observamos que a proposio O candidato no apresenta deficincias em lngua portuguesa ou

essas deficincias so toleradas uma disjuno e, a relao de equivalncia condicional Se o candidato apresenta deficincias em lngua portuguesa, ento essas deficincias so toleradas.

Esta equivalncia se faz de acordo com a seguinte relao: ~p V q equivale a p q. Vamos considerar: ~p: O candidato no apresenta deficincias em lngua portuguesa. p: O candidato apresenta deficincias em lngua portuguesa. q: essas deficincias so toleradas. Ento, a equivalente condicional seria: Se o candidato apresenta deficincias em lngua portuguesa, ento essas deficincias so

toleradas. Comparamos com a proposta do enunciado e verificamos que so idnticas. Resposta: Certo.

11. O enunciado prope equivalncia entre uma disjuno e uma condicional. Observamos que a proposio O candidato no apresenta deficincias em lngua portuguesa ou

essas deficincias so toleradas uma disjuno e, a relao de equivalncia condicional Se o candidato apresenta deficincias em lngua portuguesa, ento essas deficincias so toleradas.

Esta equivalncia se faz de acordo com a seguinte relao: ~p V q equivale a p q. Vamos considerar: ~p: O candidato no apresenta deficincias em lngua portuguesa. p: O candidato apresenta deficincias em lngua portuguesa. q: essas deficincias so toleradas. Ento, a equivalente condicional seria: Se o candidato apresenta deficincias em lngua portuguesa, ento essas deficincias so

toleradas. Comparamos com a proposta do enunciado e verificamos que so idnticas. Resposta: Certo.

12. O enunciado prope uma relao de equivalncia para uma condicional. A condicional pode ter duas formas de equivalentes: atravs de uma disjuno ou por uma outra condicional. Esta forma chama-se contrapositiva e tem a seguinte estrutura: p q equivale a ~q ~p. Observando as alternativas percebemos que a maioria de condicionais. Logo, mais indicado tentarmos a contrapositiva. Se a contrapositiva no estiver entre as alternativas, por excluso, a resposta ser a alternativa C (e nem precisaremos fazer a disjuno). Lembrando que a primeira parcela da condicional traz uma conjuno e esta negada atravs da disjuno.

Considerando: p: o sino da igreja toca e minha av o escuta q: minha av vai para a igreja

as negativas destas parcelas seriam: ~p: o sino da igreja No toca OU minha av NO o escuta ~q: minha av NO vai para a igreja A contrapositiva: p q equivale a ~q ~p. Se minha av NO vai para a igreja, ento o sino da igreja No toca OU minha av NO o escuta. Encontramos esta estrutura na alternativa A. Resposta: A.

13.

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O enunciado prope uma relao de equivalncia para uma condicional. A condicional pode ter duas formas de equivalentes: atravs de uma disjuno ou por uma outra condicional. Esta forma chama-se contrapositiva e tem a seguinte estrutura: p q equivale a ~q ~p.

Considerando: p: Antnio e mdico q: Giovana no casada. As negativas destas parcelas seriam: ~p: Antnio NO mdico ~q: Giovana casada A equivalncia de condicional por uma conjuno deve seguir a seguinte relao: ~p V q. Portanto, teramos: Antnio NO mdico OU Giovana no casada. Encontramos esta proposio na alternativa B. No precisamos testar a contrapositiva. Resposta: B.

14. Vejam as implicaes do enunciado: - A somente ser candidata se a pessoa B for candidata. - Se C no se candidatar ento a pessoa A tambm no ser candidata Vamos analisar as alternativas e ver se procede o que se diz. (A) Se a pessoa B for candidata, ento a pessoa A no ser candidata. Errado Se B se candidatar A tambm se candidatar. (B) Se a pessoa B for candidata, ento a pessoa C tambm ser candidata. Como B se candidata A tambm se candidata. Se A se candidata C tambm se candidata. Podemos

concluir por transitoriedade das implicaes. Resposta: B.

15. O enunciado prope uma relao de equivalncia para uma condicional. A condicional pode ter duas formas de equivalentes: atravs de uma disjuno ou por uma outra condicional. Esta forma chama-se contrapositiva e tem a seguinte estrutura: p q equivale a ~q ~p.

Considerando: p: jogo xadrez q: sou bom em matemtica. As negativas destas parcelas seriam: ~p: NO jogo xadrez ~q: no sou bom em matemtica A equivalncia de condicional por uma conjuno deve seguir a seguinte relao: ~p V q. Portanto, teramos: NO jogo xadrez OU sou bom em matemtica. No encontramos esta equivalente. Vamos, ento, fazer a equivalente pela contrapositiva. Se no sou bom em matemtica ento, NO jogo xadrez Encontramos esta proposio na alternativa B. Resposta: B.

IMPLICAO Chama-se argumento uma sequncia finita de proposies P (P1, P2, P3,...Pn) que inferem uma

proposio Q (ou C), ou seja, um grupo de proposies iniciais denominadas premissas, que findam em uma proposio final, denominada de concluso do argumento, que ser consequncia das premissas iniciais.

H um caso de argumento, em que temos duas premissas e uma concluso. Tal argumento recebe o nome de silogismo categrico (Aristteles).

As premissas tambm podem ser denominadas de hipteses e a concluso de tese. Vejamos alguns exemplos de argumentos:

Exemplos: 01. Se eu passar no concurso, ento irei trabalhar. Passei no concurso ________________________

Irei trabalhar

02.

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Se ele me ama ento casa comigo. Ele me ama. __________________________

Ele casa comigo.

03. Todos os brasileiros so humanos. Todos os paulistas so brasileiros. __________________________

Todos os paulistas so humanos.

04. Todos os homens so mortais Scrates homem ------------------------------------------

Scrates mortal.

Vamos interpretar estas premissas? Acima, temos duas premissas (Todos os homens so mortais; Scrates homem). Estamos dizendo

que essas duas premissas acarretam na nossa concluso (Scrates mortal). Eis nosso exemplo de argumento.

IMPORTANTE:

- O tipo de argumento ilustrado nos exemplos acima chamado silogismo. Ou seja, silogismo o argumento formado por duas premissas e a concluso.

- Em um argumento lgico, sempre consideraremos as premissas como sendo verdadeiras. - O argumento lgico afirma que o conjunto de premissas tem como consequncia uma determinada

concluso. Os argumentos, em lgica, possuem dois componentes bsicos: suas premissas e sua concluso.

Por exemplo, em: Todos os times brasileiros so bons e esto entre os melhores times do mundo. O Brasiliense um time brasileiro. Logo, o Brasiliense est entre os melhores times do mundo, temos um argumento com duas premissas e a concluso.

Evidentemente, pode-se construir um argumento vlido a partir de premissas verdadeiras, chegando a uma concluso tambm verdadeira. Mas tambm possvel construir argumentos vlidos a partir de premissas falsas, chegando a concluses falsas. O detalhe que podemos partir de premissas falsa