02 strategi pembuktian
DESCRIPTION
pembuktianTRANSCRIPT
![Page 1: 02 Strategi Pembuktian](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081804/577c85061a28abe054bb5b26/html5/thumbnails/1.jpg)
MATEMATIKA DISKRIT ISTRATEGI PEMBUKTIAN
![Page 2: 02 Strategi Pembuktian](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081804/577c85061a28abe054bb5b26/html5/thumbnails/2.jpg)
MENGAPA KITA PERLU MEMBUKTIKANhttp:/www2.edc.org/makingmath
to establish a fact with certaintyto gain understanding
to communicate an idea to othersfor the challenge
to create something beautifulto construct a large mathematical theory
2
![Page 3: 02 Strategi Pembuktian](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081804/577c85061a28abe054bb5b26/html5/thumbnails/3.jpg)
TUJUAN PERKULIAHANMemperkenalkan bagaimana cara membuktikan
Membiasakan diri dengan metode – metode pembuktian yang ada
Mampu membuktikan sendiri teorema – teorema yang ada
3
![Page 4: 02 Strategi Pembuktian](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081804/577c85061a28abe054bb5b26/html5/thumbnails/4.jpg)
METODE PEMBUKTIANBeberapa cara untuk membuktikan implikasi p q
Pembuktian TrivialPembuktian Vacuous
Pembuktian LangsungPembuktian Tak Langsung (Pembuktian dengan Kontradiksi)
Pembuktian dengan KontrapositifPembuktian dengan Kasus
4
![Page 5: 02 Strategi Pembuktian](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081804/577c85061a28abe054bb5b26/html5/thumbnails/5.jpg)
METODE PEMBUKTIANBukti untuk membuktikan pernyataan xP(x)
Bukti Eksistensi Bukti konstruktif Bukti nonkonstruktif
Bukti untuk membuktikan pernyataan xP(x)Bukti Noneksistensi
5
![Page 6: 02 Strategi Pembuktian](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081804/577c85061a28abe054bb5b26/html5/thumbnails/6.jpg)
TABEL KEBENARAN
p q p qB B BB S SS B BS S B
6
![Page 7: 02 Strategi Pembuktian](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081804/577c85061a28abe054bb5b26/html5/thumbnails/7.jpg)
PEMBUKTIAN TRIVIALJika kita tahu q bernilai benar maka p q benar terlepas dari nilai kebenaran p.
7
p q p qB B BB S SS B BS S B
Dikatakan p q kebenaran trivial jika q benar.
![Page 8: 02 Strategi Pembuktian](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081804/577c85061a28abe054bb5b26/html5/thumbnails/8.jpg)
PEMBUKTIAN VACUOUS
8
Jika kita tahu p bernilai salah maka p q benar terlepas dari nilai kebenaran q.
p q p qB B BB S SS B BS S B
Dikatakan p q kebenaran vacuous jika p salah.
![Page 9: 02 Strategi Pembuktian](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081804/577c85061a28abe054bb5b26/html5/thumbnails/9.jpg)
PEMBUKTIAN LANGSUNGAsumsikan p, kemudian gunakan aturan inferensi, definisi, aksioma, dan ekivalensi logika untuk membuktikan q.
Soal.Buktikan: untuk semua m dan n bilangan bulat, jika m dan n bilangan bulat ganjil maka m + n adalah bilangan bulat genap.
9
![Page 10: 02 Strategi Pembuktian](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081804/577c85061a28abe054bb5b26/html5/thumbnails/10.jpg)
PEMBUKTIAN LANGSUNGJika m dan n bilangan bulat ganjil
m = 2k1 + 1n = 2k2 + 1
maka m + n adalah bilangan bulat genapm + n = (2k1 + 1) + (2k2 + 1)
= 2k1 + 2k2 + 2= 2(k1 + k2 + 1)
10
![Page 11: 02 Strategi Pembuktian](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081804/577c85061a28abe054bb5b26/html5/thumbnails/11.jpg)
PEMBUKTIAN DENGAN KONTRADIKSIAsumsikan p dan q sehingga diperoleh kontradiksi r dan r.
Soal.Misal x dan y bilangan real. Jika 5x + 25y = 1723, maka x atau y bukan bilangan bulat.Buktikan bahwa adalah bilangan irrasional.
11
2
![Page 12: 02 Strategi Pembuktian](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081804/577c85061a28abe054bb5b26/html5/thumbnails/12.jpg)
PEMBUKTIAN DENGAN KONTRAPOSITIFUntuk membuktikan p q, lakukan dengan cara membuktikan secara langsung q p.Asumsikan q kemudian gunakan aturan inferensi, definisi, aksioma, dan ekivalensi logika untuk membuktikan p.
Soal.Buktikan: untuk semua m dan n bilangan bulat, jika perkalian m dan n bilangan genap, maka m genap atau n genap.
12
![Page 13: 02 Strategi Pembuktian](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081804/577c85061a28abe054bb5b26/html5/thumbnails/13.jpg)
PEMBUKTIAN DENGAN KASUSJika hipotesa p dapat dipisahkan menjadi kasus
p1 p2 … pk qbuktikan untuk masing – masing proposisi
p1 q, p2 q, …, pk qsecara terpisah.
Soal.Tunjukkan bahwa jika n bilangan bulat positif maka n3 + n bilangan genap.
13
![Page 14: 02 Strategi Pembuktian](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081804/577c85061a28abe054bb5b26/html5/thumbnails/14.jpg)
PEMBUKTIAN DENGAN KASUSTunjukkan bahwa jika n bilangan bulat positif maka n3 + n bilangan genap.Kasus 1. Misal n genap. Maka terdapat k ℕ sedemikian sehingga n
= 2k. Pada kasus ini n3 + n = (2k)3 + 2k = 2(4k3 + k)
yang merupakan bilangan genap.
Kasus 2. Misal n ganjil. Maka terdapat k ℕ sedemikian sehingga n = 2k + 1. Jadi
n3 + n = (2k + 1)3 + (2k + 1) = 2(4k3 + 6k2 + 4k + 1)yang merupakan bilangan genap.
14
![Page 15: 02 Strategi Pembuktian](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081804/577c85061a28abe054bb5b26/html5/thumbnails/15.jpg)
PEMBUKTIAN EKSISTENSIPembuktian eksistensi digunakan untuk membuktikan pernyataan berbentuk x P(x).
Terdiri dari:1. Bukti Konstruktif
Terdapat bilangan bulat (a, b, c) sedemikian sehingga memenuhia2 + b2 = c2
2. Bukti NonkonstruktifPrinsip Sarang Merpati
15
![Page 16: 02 Strategi Pembuktian](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081804/577c85061a28abe054bb5b26/html5/thumbnails/16.jpg)
PEMBUKTIAN NONEKSISTENSIPembuktian eksistensi digunakan untuk membuktikan pernyataan berbentuk [x P(x)], atau pernyataan x[P(x)].Salah satu cara membuktikan adalah dengan mengasumsikan terdapat sebuah elemen c sedemikian sehingga P(c) bernilai benar.
Soal.Buktikan tidak terdapat bilangan bulat k sedemikian sehingga 4k + 3 adalah bilangan kuadrat sempurna.
16
![Page 17: 02 Strategi Pembuktian](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081804/577c85061a28abe054bb5b26/html5/thumbnails/17.jpg)
BIKONDISIONALUntuk membuktikan kebenaran pernyataan berbentuk p q, digunakan ekivalensi (p q) (q p). Kemudian digunakan metode – metode pembuktian yang telah dipelajari sebelumnya.
Soal.Buktikan:Untuk setiap bilangan bulat n berlaku n ganjil jika dan hanya jika n2 ganjil.
17