1

X

Y

Z

X

Y

Z

X

Y

Z

פתרונות-מבוא לחומרים קריסטלוגרפיה: 2פרק

:אופן מציאת הכיוון .1לפעמים מיקומה יהיה (קובעים מערכת צירים באחת מפינות הקוביה √

.הכיוון הוא יחסי למערכת הצירים). נתון בשאלה הכיוון יש ראם בווקטו. מתייחסים לקוביה בעלת צלע באורך יחידה √

לפי המציין הגבוה רוקטומנרמלים את הו, מציין הגבוה מאחד [10½] → [120]: .ביותר

x=½, y=1, z=0 : מוצאים את הקואורדינטה בתא יחידה √ .מחברים את הנקודה עם הראשית לקבלת וקטור הכיוון √

)א )ב

)ג

:מציאת אינדקסי הכיוון מתוך הקואורדינטות .2

לה ונקודת הסיום והחסרה מציאת הקואורדינטות של נקודת ההתח √ ).סוף פחות התחלה(בניהם

.שלמים' הכפלת הערכים למציאת מס √ ].מסמלים כיוון[סידור האינדקסים בתוך סוגריים מרובעים √

). 001 (סיום' נק (100) התחלה' נק) 1.א.2

]011[ את הכיווןןסוף פחות התחלה יית

(110)(000)

]110[ (000)

(100)

]100[

(111)

(000)

]111[

(000)

]021[ (01½) ]112[

(½½1)

(000) (000)

]314[

(¾¼1)

)1½½(

]211[

]201[ )01½(

]213[ )3/1

3/21(

2

2 (]111[ ,3 (]010[ ,4 (]111[ ,5] (111[ ,6] (144[ ,7] (233[ ,8] ( 12 712[

3-1 :6-4: 8-7: :מציאת אינדקסים של מישור )ב

½=x=1, y=1, z: למשל. מציאת נקודות החיתוך של המישור עם הצירים √ (112): וסידור בסוגריים עגולים חישוב ההפכי לקואורדינטות √כיוונים המוכלים במישור 2 מציאת : במערכת קובית בלבד, נוספתדרך

וביצוע מכפלה וקטורית בניהם

1 .2 .3 .4.

5 .6 . 7 .8 .

י דמיון משולשים בין " נעשית עxהחיתוך עם ציר ' מציאת נק 7 בסעיף* ∆NLGל - ∆GFx , כאשרx-החיתוך עם הציר' נק.

:י אינדקסים"מציאת מישור עפ .3

.אשית הציריםקביעת ר √. החיתוך עם הצירים' מחשבים את ההפכים של המציינים לקבלת נק √

. (112) → (½11) :דוגמא ל יתקבלו "בדוגמא הנ. מציאת החיתוכים של המישור עם הצירים √

½=x=1, y=1, z -ב .שרטוט מישור שיכיל את הנקודות √

(001) (011)

]111[

]101[

(100) (110)

[010]

(110)

[111]

(111)

(001)

]111[ (000)

(0,1,¼) (1,0,½)]042[

(01¾)

(011)

(1 0 1/3) ]712 21[

(1 0 1/6)

]013[

)100( (111)(110)) 121(

) 111((233)(536)(110)

) 120( ) 111( ) 110(

}

{ 56;

51

61

65

==⇒= OxFxFxLN

GFLG

3

ב.2 ראה שאלה :דרך הפתרון .4

)קובית' נכון רק למע(י מכפלה וקטורים "ים עפותר' ה', את סעיף ד*

]5014[]5140[]1455[) ד =X

]120[]212[]423[) ה =X

=X=½, Y=1, Z 2/3:נתון .5יש למצוא את , את אינדקסי המישור כדי למצוא

:שלמים ההפכי ולהגיע לוקטור עם מציינים (4,2,3) →3/2 ) (2,1,

(4,2,3) :ישור הואהמ ⇐

6.

B.C.C F.C.C. S.C

Y

Z

X

Y

Z

X

יש אטום בכל 1/8, קודקוד קוביה

מנפח כל אטום , נמצא בתוך הקוביה

:כ"ולכן בסה 8 x 1/8 =1

בתוספת אטום S.Cכמו , אחד במרכז כל פאה

אשר חצי מנפחו כלול :בנפח הקוביה

8 x 1/8 + 6 x ½ = 4

בתוספת אטום S.Cכמו : הקוביה רכזאחד במ

8 x 1/8 + 1 = 2

)א

)ב :השכנים הקרובים ביותר' מספר הקואורדינציה הוא מס

- a שכנים במרחק 6 צלע קוביה

שכנים במרחק 1222a

חצי אלכסון ראשי

שכנים במרחק 823a

חצי אלכסון פאה

Y

Z

X

) 145 5( (004) )111( (640) )432( )202(

X

Z

Y ½

32

1

4

:הגדרות .7

:צפיפות מישורית

בו -במציאת צפיפות מישורית יש לשים לב היכן הכיוון הצפוף ביותר*

)ג.6ראה שאלה (האטומים נוגעים זה בזה

:צפיפות קווית

ור הכיוונים המבוקשים מוצאים מתוך חוקי אורך הקו עבאת * א.1 ראה שרטוט הכיוונים בשאלה - aגאומטריה יחסית לאורך תא יחידה

: י"נתון ע המרחק הבין מישורי

הנתונים , הם אינדקסי המישור h,k,l, כאשר .בסוגריים מעוגלים

B.C.C F.C.C. S.C

)ג : הכיוון הצפוף ביותר מוצאים לפי r- לaאת היחס בין

68.083

34342

3

3

≅=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⋅=

==

ππ

r

r

VVAPF

Cell

Atoms

74.062

24344

3

3

≅=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⋅=

==

ππ

r

r

VVAPF

Cell

Atoms

( )52.0

6234

3

3

≅==

==

ππ

r

r

VVAPF

Cell

Atoms

כיוון[110]

כיוון[111]

)ד

הצפוף הכיוון [100] :ביותרa=2r

:לאורך אלכסון ראשי

3443 rara =→=

: לאורך אלכסון פאה

2442 rara =→=

:מקדם האריזה האטומי

ג מישור" שתופסים אטומים עשטח שטח המישור

PD=

קו ג"אורך שתופסים אטומים ע אורך הקו

LD=

222 lkhad

++=

5

.סימון מקווקו משמעותו אטום מחוץ למישור*

B.C.C F.C.C S.C

163

34414

2

2

ππ=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⋅⋅=

321a

r

rPD

283

342

1414

2

2

2

ππ

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅

=

⋅43421aa

r

rPD

:צפיפות מישורית

163

34

23

613

2

2

ππ=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⋅⋅=

r

rPD

4

24

1414

2

2

ππ

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅

=

321a

r

rPD

24

242

212

414

2

2

2

ππ

=

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅+⋅

=

⋅43421aa

r

rPD

322

423

213

613

2

2

ππ

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅+⋅

=

r

rPD

( ){ 42414

2

2

ππ=

⋅⋅=

a

r

rPD

( ) 2422414

2

2

2

ππ=

⋅⋅=

⋅43421aa

r

rPD

( ) 34223613

232

21

2

2

ππ=

⋅⋅=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

43421

aa

r

rPD

)א מישור

)100(

מישור )011(

מישור )111(

:קוויתצפיפות

{

23

342

==

a

r

rLD

{

22

242

==

a

r

rLD{

122

==

arrLD

)ב כיוון

]100[

46

342

2

2

=⋅

=

43421a

r

rLD 1

242

4

2

=⋅

=

43421a

r

rLD2

122

2

2

=⋅

=321a

rrLD

כיוון]101[

6

a=0.45nm :נתונים .8

: י"נמצא ע את המרחק הבין מישורי הם אינדקסי המישור h,k,l, כאשר

B.C.C F.C.C S.C

1

343

4

3

=⋅

=

43421a

r

rLD כיוון

]111[ 322

243

2

3

=⋅

=

43421a

r

rLD3

123

2

3

=⋅

=321a

rrLD

)ג :מרחק בין מישורי

ורמיש )100(

}

rr

d

a

34

13

4

2100 ==

}

rr

d

a

24

12

4

2100 ==

}

rrd

a

21

22100 ==

}

rr

d

a

234

113

4

22110 =+

=

}

rr

d

a

211

24

22110 =+

=

}

rrd

a

22

112

22110 =+

=

מישור

)011(

מישור

)111(

}

( )r

rd

a

34

133

4

2111 =⋅

=

}

( )r

rd

a

324

132

4

2111 =⋅

=

}

( )rrd

a

32

132

2111 =⋅

=

222 lkhad

++=

nmd

nmdnmdnmd

1.01945.0

082.03045.01.0

2045.026.0

345.0

331

215420111

==

======

7

=0.203nm ; BCC d110 :נתונים .9 )א

BCC : nmnmarעבור )ב 124.04287.03

43

=⋅

==

rC: BCC;nm .2040 =111d עבור נתון .10

:כמו בשאלה קודמת

BCC : nmnmarCrעבור 153.04353.03

43

=⋅

==

3cm/gr.72=ρ , : נתונים .11

a=0.4045nm, Mw=26.98gr/mole NA=6.02·10231/mole -אבוגדרו' מס

:מספר האטומים בתא יחידהנחפש את , כדי למצוא מהו סוג הסריג

:מצד שני

FCCמכאן שמדובר במבנה ⇐

::Ir עבור נתון) א. 12 a(Fe)=0.286nm , BCC : החדר' בטמפ C -ב

01000: FCC , ? =a :'בהנחה שהרדיוס האטומי לא משתנה עם הטמפ

BCC : nmnmarעבור 124.04286.03

43

=⋅

==

FCC : nmnmraעבור 35.02

124.042

4=

⋅==

( )

( )atomsan

aV

nmnn

NnMV

nm

nm

Cell

cmnm

cmgrmole

atoms

atomsmolegr

A

wCell

4987.30166.04045.0

6.16

0166.0107.21002.6

98.26

33

3

33723

3

≈===→

=

⋅=⋅⋅⋅

⋅=

⋅⋅

=ρ

nmlkhda 287.02203.0222 =⋅=++=

nmlkhda 353.03204.0222 =⋅=++=

8

)ב

)ג

BCC- אטומים מב2 יש פי FCC-נלקח פעמיים מפני שב BCCהנפח של

) APF=0.74 -שזהו המבנה הצפוף ביותר (FCC - לBCC-במעבר מ 17%-הדגם התכווץ ב

Ir : FCC, 3cm/gr.422=ρ, mole /gr.2192=Mw עבור נתון .13

=r(Ir) ? :ל"צ

Cu: CCF,mole /gr.5463= Mw , nm .3620= a עבור נתון .41

)א )ב

( )( )

3

656.81035.01002.6

485.5537

323cmgrcm

nm

nmmoleatoms

atomsmolegr

CellA

w

VNnA

=⋅⋅⋅

⋅=

⋅⋅

=ρ

17.0286.0

286.0235.0223

33

3

33

−=⋅−

=⋅−

=⋅−

=∆

BCC

BCCFCC

BCC

BCCFCC

BCC aaa

VVV

VV

( )

{

nmV

r

r

FCCaV

nmN

nMV

Cell

Cell

cmnm

cmgrmole

atoms

atomsmolegr

A

wCell

136.04

2

24

057.0104.221002.6

42.192

3

33

33723

3

=⋅

=⇒

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛==

=⋅⋅⋅

⋅=

⋅⋅

=ρ

( )( )

33

3

9.81002.6

54.631043.8

1043.810362.04

2322

22373

cmgr

moleatoms

molegr

cmatoms

ACell

w

cmatoms

cmnm

nm

atoms

cell

NVMn

Vn

=⋅

⋅⋅=⋅

⋅=

⋅=⋅=

ρ

9

Mo: BCC ,3cm/gr.210=ρ, mole /gr.9495=Mwנתון עבור .51

? = r, a :ל"צ

Ag: FCC, mole /gr107.88=Mw, nm 0.40862=aנתון עבור .16 ? = r, ρ :ל"צ

מבנה קוביρ=8.93gr/cm3 , Mw=63.54gr/mole , , a=0.3615nm :ניםנתו .17 ,סוג תא היחידה :ל"צ

r=?

FCCמכאן שמדובר במבנה ⇐

)2006אביב ( בורוכין מרקוביץ ושירלי מירי : י”ע נערך ©

( )

nmar

nmVa

nmN

nMaV

Cell

cmnm

cmgrmole

atoms

atomsmolegr

A

wCell

136.04

3

315.0

031.0102.101002.6

294.95

3

33723

3

3

=⋅

=

==→

=⋅⋅⋅

⋅=

⋅⋅

==ρ

( )( )

3

5.10101002.640862.0

88.1074

144.04

40862.0242

372333

cmgrcm

nm

nm

molegratoms

A

w

NaMn

nmnmar

=⋅⋅⋅

⋅=

⋅⋅

=

=⋅

==

ρ

( )( )

nmnmar

MNan atomscm

nm

molegr

moleatoms

nmcmgr

w

A

128.043615.02

42

41054.63

1002.63615.093.837

233

33

=⋅

==

=⋅

⋅⋅⋅

=⋅⋅

= −ρ