03 - af - césar

AULA 03

ADMINISTRAÇÃO FINANCEIRA – Técnico TJDFT – Área Administrativa

PROFESSOR CÉSAR FRADE

Prof. César de Oliveira Frade www.pontodosconcursos.com.br 1

Olá pessoal!

Vamos para a nossa terceira aula de Administração Financeira para o TJDFT.

Nesta aula vamos ver a parte mais avançada de Matemática Financeira, mas

ainda não entraremos em análise de investimentos. Vocês verão que o

examinador gosta muito de questões do sistema de amortização constante –

SAC. Ainda bem, não é mesmo? Pois é o mais fácil.

Dessa forma, teremos uma aula extra na semana que vem. Nessa aula, eu irei

resolver exercícios das últimas provas.

Vamos à aula?

As dúvidas devem ser postadas no fórum e as sugestões podem ser

encaminhas para o meu mail

[email protected]

César Frade

JUNHO/2012

AULA 03




17. Desconto

É muito comum uma empresa vender um determinado produto a prazo. Mas

imagine, para vender a prazo, ela necessita de fluxo de caixa, pois há a

necessidade de se comprar insumos, pagar salários, pagar impostos, entre

outros pagamentos necessários. Logo, antes mesmo de receber seus recursos,

a empresa já terá que efetuar diversos pagamentos.

Assim, é muito comum que a empresa, para fazer face a essa necessidade de

fluxo de caixa, antecipe seus recebíveis. Ela pode tanto fazer isso por meio de

uma operação em uma “factoring” ou por um desconto de duplicata em uma

instituição financeira autorizada a efetuar tal operação.

Apesar de na prática, não existir diferença entre as duas operações,

teoricamente, uma operação feita com uma “factoring” é uma operação de

venda do recebível, sendo que o risco de não recebimento é transferido. Por

outro lado, em uma operação de desconto de duplicata, há uma operação de

empréstimo sendo que o recebível entra como garantia do mesmo.

Entretanto, nessa matéria não nos interessa muito explorar essas diferenças

entre as operações, mas sim a parte matemática das operações. Ressaltemos

que, matematicamente, não há diferença entre as duas operações.

Quando uma empresa entrega um recebível como garantia e recebe um

adiantamento da instituição financeira, ela está fazendo uma operação de

desconto. Esse desconto1 pode ser simples ou composto.

17.1. Desconto Simples

O Desconto Simples usa o conceito de juros simples e é dividido em duas

modalidades: desconto racional simples (desconto por dentro) e desconto

comercial simples (desconto bancário ou por fora).

1 Os bancos e “factoring”s efetuam operações de desconto simples.

AULA 03




17.1.1. Desconto Racional Simples

O desconto racional simples é a diferença entre o valor nominal do título e o

valor atual calculado a juros simples. Matematicamente, temos:

VAVND −=

Podemos tratar, com o intuito de guardar uma similaridade com a notação de

juros simples, o valor nominal como sendo o montante e o valor atual como

sendo o capital. Observe que, então, o montante será o valor que está escrito

no título, o valor que a empresa que fará o desconto iria receber dentro de um

determinado prazo. Por outro lado, após efetuar o desconto, a empresa recebe

o valor atual do título, que a partir de agora será chamado de capital.

Voltemos para a matemática do desconto:

CMD −=

Pela fórmula dos juros simples, sabemos que:

( )

( )niM

C

niCM

niCCM

JCM

niCJ

⋅+=

⋅+⋅=

⋅⋅+=

+=

⋅⋅=

1

1

Portanto:

( )niM

MD⋅+

−=1

17.1.2. Desconto Comercial ou Bancário

AULA 03




Esse é o desconto comum nas operações com os Bancos. Também conhecido

como desconto por fora. Observe que a taxa de desconto da operação não é a

taxa de juros recebida pela instituição financeira. Matematicamente, temos:

niCDDESCONTO

⋅⋅=

É muito importante ressaltarmos que a unidade da taxa de juros e do prazo

devem ser equivalentes. Caso contrário, o prazo deverá ser adequado na

unidade da taxa de desconto.

17.1.3. Taxa de Desconto Comercial x Taxa de Juros

Observem que a taxa de desconto comercial é a taxa que o banco cobra em

uma operação de desconto simples comercial.

A taxa de desconto determina o percentual periódico do título que será

cobrado pelo banco. Enquanto que a taxa de juros é a taxa pela qual a

instituição financeira estará aplicando seus recursos que foram dados ao

cliente quando do desconto da duplicata, sendo que o recebimento será igual

ao valor de face do título. Complicado? Vamos a um exercício hipotético.

Imagine que a empresa X tenha uma duplicata de R$2.000,00 que vence daqui

a 2 meses, mas necessita de recursos, imediatamente, para saldar seus

pagamentos. Portanto, se dirige a um Banco e efetua um desconto desse

recebível. A taxa de desconto cobrada pelo banco é de 5% ao mês.

Dessa forma, a instituição financeira cobrará da empresa X, o seguinte valor a

título de desconto da duplicata:

00200

2050000002

,,,.

=

⋅⋅=

⋅⋅=

D

D

niMDDESCONTO

Se o valor do desconto é igual a R$200,00, a empresa deverá receber:

AULA 03




008001

00200000002

,.,,.

=

−=

−=

C

C

DMC

Observe que a empresa X tem uma duplicata no valor de R$2.000,00 e para

antecipar o recebimento dessa duplicata, efetuou um desconto. Pelo desconto,

irá receber o valor R$1.800,00. Portanto, a instituição financeira reteve

R$200,00 por ter descontado o recebível. Observe que na data do vencimento

desta duplicata, a empresa que deve à empresa X, efetuará o pagamento de

R$2.000,00 mas esse valor será da instituição financeira como pagamento do

empréstimo efetuado com o desconto da duplicata.

Dessa forma, se quisermos encontrar a taxa de juros que a instituição

financeira aplicou o seu recurso a juros simples, devemos saber qual é a taxa

mensal que faz com que R$1.800,00 se transformem em R$2.000,00 no prazo

de 2 meses. Matematicamente, temos:

mêsao%,.

.,,.,.,.

565

6003

200

600300200

2008001008001000002

=

=

⋅=

⋅⋅=−

⋅⋅=−

⋅⋅+=

+=

i

i

i

i

niCCM

niCCM

JCM

Portanto, a taxa de juros com que o banco conseguiu aplicar seus recursos, ao

fazer essa operação de desconto, foi de 5,56% ao mês.

17.2. Desconto Composto

Assim como no desconto simples, o desconto composto também é dividido em

duas modalidades, são elas: desconto racional composto e desconto

comercial composto. Quando estamos aplicando nossos recursos com a

aquisição de um Certificado de Depósito Bancário – CDB, os bancos utilizam

essa sistemática. Neste caso, em específico, deverá ser efetuada a

capitalização por regime composto.

AULA 03




17.2.1. Desconto Racional Composto

Essa operação de desconto consiste no cálculo do valor presente (capital) de

um título que irá vencer em uma data futura determinada. O desconto

propriamente dito é o valor de face do título (montante) menos o capital

aplicado (valor recebido quando do desconto).

Observe que não há a necessidade de se decorar mais uma fórmula, basta

lembrar que quando a questão falar sobre desconto racional composto, você

deverá resolver uma questão de juros compostos e o desconto será o valor

dos juros.

Imagine que um banco esteja precisando de recursos. Para isso, emite um

CDB2 com vencimento daqui a dois meses. O valor de face do CDB é de

R$2.000,00 e a taxa de juros mensal é de 5%3.

Utilizando o desconto racional composto, teremos:

( )

( )068141

0501

000002

1

2

,.,

,.

=

+=

+=

C

C

i

MC

n

Portanto, se uma pessoa aplicar R$1.814,06 em um CDB de um banco pelo

prazo de 2 meses a uma taxa de 5% ao mês, receberá o valor de R$2.000,00.

Observe que o valor do desconto será de:

94185

068141000002

,,.,.

=

−=

−=

D

D

CMD

2 O CDB é uma forma muito comum de captação de recursos pelos Bancos.

3 Propositalmente, esse exemplo foi feito com os mesmos dados do exemplo do desconto simples. Com isso, você

poderá, mais facilmente, fazer uma comparação dos resultados.

AULA 03




17.2.2. Desconto Comercial Composto

No Desconto Comercial Composto, usamos metodologia parecida com a do

desconto comercial simples, no entanto, com a aplicação de juros compostos.

Imagine que uma empresa tenha um título de R$2.000,00, e o desconta pelo

prazo de dois meses a uma taxa de desconto de 5% ao mês.

Se o prazo fosse de um mês, teríamos o seguinte:

( )( )

009001

950000002

0501000002

1

,.,,.

,,.

=

⋅=

−⋅=

−⋅=

C

C

C

iMC

Portanto, o valor a ser descontado seria de:

00100

009001000002

,,.,.

=

−=

−=

D

D

CMD

Se o prazo fosse de dois meses, seria necessário “redescontar” esse título por

mais um mês e teríamos:

( )( )

008051

950009001

0501009001

1

,.,,.

,,.

=

⋅=

−⋅=

−⋅=

C

C

C

iMC

Portanto, o valor a ser descontado seria de:

0095

008051009001

,,.,.

=

−=

−=

D

D

CMD

AULA 03




Observe que o desconto incidiu sobre montantes diferentes em cada um dos

períodos e, ao fim de dois meses, o desconto composto comercial total foi de

R$195,00.

Você deve estar se perguntando se não teria uma fórmula para fazermos essa

aplicação direta sem que seja necessário passar por cada um dos meses. Isto

porque se a questão falar de 10 meses, vocês perderiam o dia inteiro fazendo

uma questão. A resposta é sim, podemos usar a expressão matemática

abaixo:

( )niMC −⋅= 1

E o desconto será a diferença entre o valor do Capital recebido e o Montante

que é o valor de resgate do título.

Se utilizarmos a fórmula acima para calcular o valor do desconto do exemplo

anterior, teríamos:

( )( )

00195

008051000002

008051

90250000002

0501000002

1

2

,,.,.

,.,,.

,,.

=

−=

−=

=

⋅=

−⋅=

−⋅=

D

D

CMD

C

C

C

iMCn

18. Equivalência de Capitais

Imagine que você pegou um dinheiro emprestado com algum colega (ele não é

nenhum agiota) e irá devolvê-lo em três ou quatro meses conforme a sua

disponibilidade financeira. Entretanto, irá pagá-lo uma taxa de 2% ao mês, a

título de juros. Isso é bem razoável, pois é mais ou menos o que ele

conseguiria ganhar no mercado financeiro se estivesse com os recursos, logo,

você só estaria devolvendo ao seu colega o custo de oportunidade.

AULA 03




Portanto, você concorda que ao final dos três ou quatro meses do empréstimo,

você deverá ter devolvido ao seu colega todo o principal e ainda pago 2% de

juros, correto? Para fazermos isso, basta pegarmos todo o fluxo de caixa e

colocarmos em uma mesma data focal e aí subtraímos o valor do empréstimo

do valor dos pagamentos. Outra opção seria fazer o carregamento do

empréstimo pelo prazo de um mês, efetuar uma amortização, e novamente

carregar para o período seguinte o novo saldo devedor. Esse procedimento

deveria ser feito até que houvesse uma quitação do empréstimo.

Vamos a um exemplo. Imagine que seu colega lhe fez um empréstimo de

R$10.000,00 para que fosse quitado em 4 meses de acordo com a sua

disponibilidade financeira. A taxa de juros cobrada é de 2% ao mês. Vamos

supor que no primeiro mês o valor pago foi de R$3.000,00, no segundo mês foi

de R$2.800,00 e no terceiro mês foi de R$2.500,00. O valor a ser pago no

último mês será aquele que quitará o empréstimo, concordam? O fluxo de

caixa da operação é o seguinte:

Inicialmente, vamos carregar essa dívida período a período e fazer as

amortizações. Para isso vou criar uma tabela, com vistas a facilitar a

compreensão.

AULA 03




Observe que, inicialmente, havia uma dívida de R$10.000,00. No primeiro mês

incorreram juros no valor de R$200,00 (2% de R$10.000,00). No entanto,

houve uma amortização da ordem de R$3.000,00 e, portanto, o saldo devedor

passou a ser R$7.200,00. Esse valor é resultado da soma do saldo devedor

com os juros deduzido o pagamento efetuado.

Se procedermos da mesma forma no segundo período, teremos que os juros

serão de R$144,00 (2% de R$7.200,00), mas como houve uma amortização

de R$2.800,00, o saldo devedor está em R$4.544,00 no final do segundo

período.

No terceiro período, temos um juros de R$90,88 (2% de R$4.544,00) que

adicionado ao saldo devedor do período 2 de R$4.544,00 e subtraído o

pagamento efetuado no valor de R$2.500,00, gera um saldo devedor do

período 3 de R$2.134,88.

Portanto, para que o empréstimo seja liquidado, a pessoa que recebeu os

R$10.000,00 deverá pagar no final do período 4, o valor de R$2.177,58 que é

o saldo devedor do período 3 acrescido dos juros referentes a esse capital (2%

de R$2.134,88).

Já sei que é praticamente impossível fazer uma questão de prova usando essa

metodologia. No entanto, estou colocando ela aqui para que vocês

compreendam o que estão fazendo quando estamos trabalhando com

equivalência de capitais. Para saber quanto que o tomador deve pagar,

devemos levar todos os fluxos para uma mesma data e somar os pagamentos

AULA 03




e os recebimentos. O valor a ser pago, será aquele que iguala os dois fluxos.

Para isso, levaremos todos os fluxos para a data focal 4. Vamos tentar?

∑∑ = PAGAMENTOSOSRECEBIMENT

( ) ( ) ( )

581772

0055021291326218333282410

02100500204041008002061208100000308243210000010

0210050020210080020210000030210000010234

,.,.,.,.,.

,,.,,.,,.,,.,,.,,.,,.,,.

=

+++=

+⋅+⋅+⋅=⋅

+⋅+⋅+⋅=⋅

x

x

x

x

Observe que levamos o fluxo de caixa para a data focal 4, mas poderíamos ter

levado para a data zero ou qualquer outra. Para isto, podemos ter utilizar a

tabela abaixo:

19. Sistema de Amortização Constante – SAC

Quando ocorre uma assunção de uma dívida, há a necessidade de se efetuar o

pagamento. Esse pagamento pode ser feito de uma forma que não guarda

nenhuma relação entre as parcelas, como enunciado no item de equivalência

de capitais ou pode ser feito de uma forma pré-determinada. Existem várias

AULA 03




formas possíveis de se efetuar o pagamento mas uma das mais comuns e que

mais caem em prova é o Sistema de Amortização Constante – SAC.

Como o próprio nome diz, esse método consiste em fazer amortizações

periódicas de mesmo valor. No Brasil, atualmente, grande parte dos

empréstimos para financiamento de casa própria utiliza o método SAC.

Inicialmente, devemos pegar o valor do empréstimo, sem incidência de

nenhum tipo de juros, e dividir pelo número de parcelas a serem pagas. Dessa

forma, estaremos encontrando o valor a ser amortizado por período.

Vamos ilustrar isso com um exemplo. Suponha que uma pessoa pegou um

empréstimo de R$8.000,00 a ser liquidado em oito parcelas anuais pelo

sistema de amortização constante a uma taxa de juros de 10% ao ano.

Para encontrarmos o valor a ser amortizado em cada período, basta pegarmos

o valor do empréstimo (R$8.000,00) e dividir pelo número de períodos (8

períodos). Portanto, a amortização de cada período será de R$1.000,00 em

cada período.

Em seguida, devemos calcular o valor dos juros incorridos em um determinado

período. Imagine que o saldo devedor na data zero seja R$8.000,00. Logo, um

ano depois, haverá incorrido um juro de x% sobre o valor do saldo devedor do

período anterior. Nesse caso, em que a taxa de juros é de 10%, haverá

incorrido um juros de R$800,00.

Pronto. Agora basta calcularmos o valor da prestação e para isso, é necessário

efetuar a soma do valor pago a título de juros com o valor amortizado naquele

período. E, por fim, o saldo devedor atualizado será igual ao saldo devedor do

período anterior menos o valor amortizado nesse período. Vamos a um quadro

sintético desse exemplo?

AULA 03




Observe que se quisermos calcular a prestação do período N, já teremos feito

a amortização de N-1 períodos. Logo, o saldo devedor do período N-1, o qual

impactará os juros incorridos, é igual ao valor de empréstimo menos N-1 o

valor a ser amortizado por período. Basta multiplicarmos o valor da taxa de

juros e somar a amortização de um período para que tenhamos o valor da

prestação.

Para testar se todos vocês compreenderam, vamos tentar calcular a prestação

do sexto período do empréstimo acima.

Se o empréstimo foi de R$8.000,00 a ser pago em 8 parcelas, o valor a ser

amortizado em cada um dos períodos é igual a R$1.000,00. Se desejo

encontrar a prestação do sexto período, já ocorreu a amortização até o quinto,

logo, foram 5 amortizações. Como todas as amortizações são iguais, o valor

amortizado até o quinto período foi de R$1.000,00 x 5 = R$5.000,00.

Dessa forma, ainda há um saldo devedor de R$3.000,00 no final do quinto

período e é sobre esse saldo devedor que incorrerão juros. Logo, o valor dos

juros que constarão no sexto período será de R$3.000,00 x 10% = R$300,00.

Como a amortização de cada período é de R$1.000,00, a prestação do sexto

período será de R$1.300,00.

Observem na tabela acima que está correta a afirmativa.

AULA 03




20. Sistema Price

O Sistema Price é o sistema de prestações constantes. Se utilizarmos como

exemplo o mesmo utilizado quando estava explicando o sistema SAC, o

primeiro passo é sempre encontrar o valor da prestação. A prestação será

dada pela seguinte equação:

( )( )

( )( )

−+

⋅+⋅=

⋅+

−+=

11

1

1

11n

n

n

ni

iiC

ii

i

CP =

Sendo que P é o valor da prestação e C o valor captado no empréstimo.

Observe que continuei a utilizar C pois é o valor do capital.

Após determinar o preço da prestação, devemos encontrar quanto desse valor

se deve aos juros, efetuando a multiplicação da taxa de juros pelo saldo

devedor do período anterior. Em seguida, encontramos o valor amortizado no

período em questão que será o valor da prestação reduzido da taxa de juros. E

o saldo devedor do período é igual ao saldo do período anterior menos o valor

amortizado no período. Vamos ao quadro explicativo com o mesmo exemplo

desenvolvido no SAC.

AULA 03




Inicialmente, calculamos o valor da prestação utilizando a fórmula acima. O

resultado foi de R$1.499,55. Os juros devem ser determinados com base no

saldo devedor do período anterior, ou seja, serão iguais a R$800,00

(R$8.000,00 x 0,10). Logo, o valor amortizado é igual ao valor da prestação

menos quanto dessa prestação se refere ao pagamento dos juros. Portanto, os

juros são de R$699,55 (R$1.499,55 – R$800,00). E o saldo devedor será igual

ao valor do saldo devedor anterior (R$8.000,00) menos o valor amortizado

(R$699,55). Portanto, R$7.300,45.

AULA 03




QUESTÕES PROPOSTAS

Questão 27

(Cesgranrio – Banco do Brasil – 2009) – Um título com valor de face de R$

1.000,00, faltando 3 meses para seu vencimento, é descontado em um banco

que utiliza taxa de desconto bancário, ou seja, taxa de desconto simples “por

fora”, de 5% ao mês. O valor presente do título, em reais, é

a) 860,00

b) 850,00

c) 840,00

d) 830,00

e) 820,00

Questão 28

(Cesgranrio – Petrobrás – Técnico em Administração e Controle Júnior – 2009)

– Um cheque pré-datado para daqui a 3 meses, no valor de R$ 400,00, sofrerá

desconto comercial simples hoje. Se a taxa de desconto é de 12% ao mês, o

valor a ser recebido (valor descontado), em reais, será igual a

a) 400,00

b) 352,00

c) 256,00

d) 144,00

e) 48,00

Questão 29


– Um título sofreu desconto racional simples 3 meses antes do seu

vencimento. A taxa utilizada na operação foi 5% ao mês. Se o valor do

desconto foi R$ 798,00, é correto afirmar que o valor de face desse título, em

reais, era

AULA 03




a) menor do que 5.400,00.

b) maior do que 5.400,00 e menor do que 5.600,00.

c) maior do que 5.600,00 e menor do que 5.800,00.

d) maior do que 5.800,00 e menor do que 6.000,00.

e) maior do que 6.000,00.

Questão 30

(Cesgranrio – Eletronuclear – Engenheiro – 2010) – Uma empresa realiza,

junto a uma instituição financeira, o desconto de uma duplicata cujo valor

nominal é R$ 3.000,00. Essa duplicata sofre desconto comercial simples, 4

meses antes do seu vencimento. A taxa de desconto utilizada pela instituição é

de 5% ao mês. A taxa de rentabilidade mensal obtida por essa instituição

financeira, nessa operação, a juros simples, é

a) 5,00%

b) 6,25%

c) 12,50%

d) 18,75%

e) 25,00%

Questão 31


– Um título, cujo valor de face é R$ 29.040,00, sofre desconto racional

composto dois meses antes do seu vencimento. Se a taxa utilizada na

operação é 10% ao mês, o valor do desconto, em reais, é

a) 5.808,00

b) 5.040,00

c) 4.912,00

d) 4.840,00

e) 4.784,00

AULA 03




Questão 32

(Cesgranrio – CEF – Técnico Bancário – 2008) – Júlio fez uma compra de R$

600,00, sujeita à taxa de juros de 2% ao mês sobre o saldo devedor. No ato

da compra, fez o pagamento de um sinal no valor de R$ 150,00. Fez ainda

pagamentos de R$ 159,00 e R$ 206,00, respectivamente, 30 e 60 dias depois

de contraída a dívida. Se quiser quitar a dívida 90 dias depois da compra,

quanto deverá pagar, em reais?

a) 110,00

b) 108,00

c) 106,00

d) 104,00

e) 102,00

Questão 33

(Cesgranrio – CEF – Técnico Bancário – 2008) - Um investimento consiste na

realização de 12 depósitos mensais de R$ 100,00, sendo o primeiro deles feito

um mês após o início da transação. O montante será resgatado um mês depois

do último depósito. Se a taxa de remuneração do investimento é de 2% ao

mês, no regime de juros compostos, o valor do resgate, em reais, será

a) 1200,00

b) 1224,00

c) 1241,21

d) 1368,03

e) 2128,81

Questão 34

(Cesgranrio – Petrobrás – Economista Júnior – 2010) – Uma dívida é paga em

prestações sucessivas, segundo o Sistema de Amortização Constante (SAC).

Ao longo do tempo, o valor das prestações

AULA 03




a) diminui.

b) aumenta.

c) é constante.

d) oscila.

e) torna-se negativo.

Questão 35

(Cesgranrio – Petrobrás – Administrador Júnior – 2010) – A PHP Participações

toma hoje, no Banco XPTO, um empréstimo de R$ 100.000,00 que deve ser

pago em 5 prestações anuais, pelo sistema de amortização constante (SAC),

com juros de 12% ao ano. A primeira prestação vence dentro de um ano. A

soma das cinco prestações (principal e juros) que a PHP vai pagar ao XPTO,

em reais, será

a) 112.000,00

b) 124.000,00

c) 136.000,00

d) 138.704,87

e) 160.000,00

Questão 36

(Cesgranrio – Eletrobrás – Administrador – 2010) – Um empréstimo de R$

1.000,00, à taxa de 10% a.a., será pago em 5 prestações anuais. O valor da

primeira prestação, a pagar pelo Sistema de Amortização Constante, e o saldo

devedor, após esse pagamento, serão, em reais, respectivamente de

a) 200,00 e 800,00

b) 200,00 e 900,00

c) 300,00 e 700,00

d) 300,00 e 800,00

e) 300,00 e 900,00

AULA 03




Questão 37

(Cesgranrio – EPE – Finanças e Orçamento – 2010) – Se uma pessoa pagasse

uma dívida em prestações mensais usando o Sistema de Amortização

Constante (SAC), pagaria prestações sucessivas

a) iguais.

b) crescentes.

c) com parcelas de amortização crescentes.

d) com parcelas de juros decrescentes.

e) com juros apenas na última.

Questão 38

(Cesgranrio – CEF – Técnico Bancário – 2008) – Um empréstimo de R$ 300,00

será pago em 6 prestações mensais, sendo a primeira delas paga 30 dias após

o empréstimo, com juros de 4% ao mês sobre o saldo devedor, pelo Sistema

de Amortização Constante (SAC). O valor, em reais, da quarta prestação será

a) 50,00

b) 52,00

c) 54,00

d) 56,00

e) 58,00

Questão 39

(Cesgranrio – Banco do Brasil – 2009) – Considere um financiamento de R$

100.000,00, sem entrada, a ser pago em 100 prestações mensais, pelo

Sistema de Amortização Constante (SAC). Sabendo-se que a taxa de juros, no

regime de juros compostos, é de 1% ao mês, a prestação inicial, se o prazo de

pagamento for duplicado, será reduzida em

a) 100%.

b) 50%.

AULA 03




c) 25%.

d) 10%.

e) 5%.

Questão 40

(Cesgranrio – Eletronuclear – Engenheiro – 2010) – Um eletrodoméstico que

custa R$ 800,00 será adquirido com 25% de entrada e mais 7 prestações

consecutivas, iguais e mensais, sendo a primeira delas paga 60 dias após a

compra. Se a taxa de juros utilizada no financiamento do saldo devedor é de

4% ao mês, o valor das prestações, em reais, será de, aproximadamente,

a) 85,71

b) 90,00

c) 92,32

d) 104,00

e) 109,65

Questão 41

(Cesgranrio – Petrobrás – Técnico – 2009) – Visando a minimizar o problema

de moradia, o governo oferece à população de baixa renda casas populares ao

custo de R$24.000,00. Cada casa será paga em 20 anos, com prestações

mensais fixas de R$119,00. Considerando o valor total pago pelo comprador

(soma de todas as prestações), em relação ao preço de custo da casa, este

pagará juros de

a) 13%

b) 19%

c) 22%

d) 24%

e) 31%

AULA 03




Questão 42

(Cesgranrio – Eletrobrás – Administrador – 2010) – Cláudia deseja fazer hoje

aplicações em um fundo de investimentos, almejando obter uma renda

perpétua mensal de R$ 20.000,00, atualizados monetariamente, começando

dentro de um mês. Considerando-se as taxas de 0,1% a.m. e de 0,5% a.m.,

essas aplicações serão, em reais, respectivamente de

a) 10.000.000,00 e 2.400.000,00

b) 12.000.000,00 e 2.000.000,00

c) 12.000.000,00 e 2.400.000,00

d) 16.000.000,00 e 2.000.000,00

e) 20.000.000,00 e 4.000.000,00

AULA 03




3

0

1.000,00

Valor Presente

QUESTÕES RESOLVIDAS

Questão 27

(Cesgranrio – Banco do Brasil – 2009) – Um título com valor de face de R$

1.000,00, faltando 3 meses para seu vencimento, é descontado em um banco

que utiliza taxa de desconto bancário, ou seja, taxa de desconto simples “por

fora”, de 5% ao mês. O valor presente do título, em reais, é

a) 860,00

b) 850,00

c) 840,00

d) 830,00

e) 820,00

Resolução:

Sabemos que há um fluxo de caixa distante da data zero em 3 períodos.

O valor do desconto é dado pela fórmula:

00150

3050000001

,,,.

=

⋅⋅=

⋅⋅=

D

D

niMDDESCONTO

AULA 03




Como o valor a ser recebido no final de 3 meses (valor de face) é da ordem de

R$1.000,00 e o desconto será de R$150,00, temos que a diferença entre o

valor de face do título e o desconto é o valor a recebido na data zero, ou seja,

o valor presente.

850,00PresenteValor150,00-1.000,00PresenteValor

=

=

Sendo assim, o gabarito é a letra B.

Gabarito: B

Questão 28


– Um cheque pré-datado para daqui a 3 meses, no valor de R$ 400,00, sofrerá

desconto comercial simples hoje. Se a taxa de desconto é de 12% ao mês, o

valor a ser recebido (valor descontado), em reais, será igual a

a) 400,00

b) 352,00

c) 256,00

d) 144,00

e) 48,00

Resolução:

Observe que o cheque tem valor de face igual a R$400,00 e vence daqui a três

meses. Se o cliente quiser antecipar o recebimento dos recursos, ele sofrerá

um desconto de:

00144

312000400

,,,

=

⋅⋅=

⋅⋅=

D

D

niMDDESCONTO

O valor a ser descontado é de R$144,00 e como o valor de face do título é de

R$400,00, o valor a ser recebido será de:

AULA 03




00256

0014400400

,,,

=

−=

−=

C

C

DMC

Sendo assim, o gabarito é a letra C.

Gabarito: C

Questão 29


– Um título sofreu desconto racional simples 3 meses antes do seu

vencimento. A taxa utilizada na operação foi 5% ao mês. Se o valor do

desconto foi R$ 798,00, é correto afirmar que o valor de face desse título, em

reais, era

a) menor do que 5.400,00.

b) maior do que 5.400,00 e menor do que 5.600,00.

c) maior do que 5.600,00 e menor do que 5.800,00.

d) maior do que 5.800,00 e menor do que 6.000,00.

e) maior do que 6.000,00.

Resolução:

No desconto racional simples, utilizamos a fórmula do juros simples, ou seja:

( )

( )

00798

1

1

,=⋅⋅=

⋅⋅+=

⋅+=

⋅+⋅=

niCD

niCCM

ni

MC

niCM

Como o desconto de um capital pelo prazo de 3 meses a uma taxa de 5% ao

mês é igual a R$798,00, o capital a ser recebido será de:

AULA 03




003205

150

00798

305000798

,.,,

,,

=

=

⋅⋅=

C

C

C

O valor de face do título é a soma do valor a ser recebido com o valor do

desconto. Dessa forma, o valor de face do título é igual a:

001186

00798003205

,.,,.

=

+=

M

M

Sendo assim, o gabarito é a letra E, pois o valor de face é maior que

R$6.000,00.

Gabarito: E

Questão 30

(Cesgranrio – Eletronuclear – Engenheiro – 2010) – Uma empresa realiza,

junto a uma instituição financeira, o desconto de uma duplicata cujo valor

nominal é R$ 3.000,00. Essa duplicata sofre desconto comercial simples, 4

meses antes do seu vencimento. A taxa de desconto utilizada pela instituição é

de 5% ao mês. A taxa de rentabilidade mensal obtida por essa instituição

financeira, nessa operação, a juros simples, é

a) 5,00%

b) 6,25%

c) 12,50%

d) 18,75%

e) 25,00%

Resolução:

Lembre-se que a taxa de desconto não é igual à taxa de juros que será obtida

a título de rentabilidade pela instituição que efetuou o desconto.

AULA 03




Para encontrarmos a taxa de juros, devemos aplicar o valor pago pela

instituição quando do desconto do título a uma determinada taxa tal que no

final do período ela irá receber o valor de face do título. Vamos lá:

00600

4050000003

,,,.

=

⋅⋅=

⋅⋅=

D

D

niMDDESCONTO

Se o valor de face do título é igual a R$3.000,00 e a instituição financeira

cobra um desconto de R$600,00, a empresa que realiza o desconto receberá a

diferença entre os valores, ou seja, R$2.400,00.

Como a instituição financeira paga R$2.400,00 por esse título e receberá

R$3.000,00 na data de seu vencimento (daqui 4 meses), devemos saber qual

será a taxa que provocaria tal rendimento. Vamos lá:

( )

( )

( )

( ) 2511

004002

0000031

1

1

4 ,

,.,.

=+

=+

=+

+⋅=

i

i

C

Mi

iCM

n

n

n

Observe que o ganho em quatro meses foi de 25%. Como, necessariamente, a

taxa de aplicação é maior que a taxa de desconto, a resposta é 6,25% ao mês.

No entanto, essa é a resposta a juros simples. A resposta a juros composto

seria a solução da equação acima para a incógnita i, ou seja:

mêsao%,

,

745

12514

=

−=

i

i

Portanto, a taxa de rentabilidade a juros simples é de 6,25% ao mês e a taxa a

juros compostos é de 5,74% ao mês.


Gabarito: B

AULA 03




Questão 31


– Um título, cujo valor de face é R$ 29.040,00, sofre desconto racional

composto dois meses antes do seu vencimento. Se a taxa utilizada na

operação é 10% ao mês, o valor do desconto, em reais, é

a) 5.808,00

b) 5.040,00

c) 4.912,00

d) 4.840,00

e) 4.784,00

Resolução:

No desconto racional composto devemos utilizar a seguinte fórmula:

( )

( )

0000024211

0004029

101

0004029

1

2

,.,

,.,

,.

==

=

+=

C

C

i

MC

n

Isso significa que se uma pessoa for efetuar um desconto racional em um título

de R$29.040,00 pelo prazo de dois meses a uma taxa de 10% ao mês, o valor

a ser recebido será de R$24.000,00. Dessa forma, o valor do desconto será:

000405

00000240004029

,.,.,.

=

−=

−=

D

D

CMD


Gabarito: B

AULA 03




Questão 32

(Cesgranrio – CEF – Técnico Bancário – 2008) – Júlio fez uma compra de R$

600,00, sujeita à taxa de juros de 2% ao mês sobre o saldo devedor. No ato

da compra, fez o pagamento de um sinal no valor de R$ 150,00. Fez ainda

pagamentos de R$ 159,00 e R$ 206,00, respectivamente, 30 e 60 dias depois

de contraída a dívida. Se quiser quitar a dívida 90 dias depois da compra,

quanto deverá pagar, em reais?

a) 110,00

b) 108,00

c) 106,00

d) 104,00

e) 102,00

Resolução:

A questão deve ser feita utilizando a equivalência de capitais. Observe que foi

efetuada a compra de um produto que custa, à vista, R$600,00. Entretanto,

R$150,00 foram pagos a título de entrada e o restante, R$450,00, financiados

para serem pagos em três parcelas.

Veja como fica o fluxo de caixa da operação.

AULA 03




Para resolver a questão, devemos colocar todos os fluxos de caixa em uma

mesma data, mas essa data pode ser qualquer uma. Entretanto, é mais fácil se

colocarmos os valores na data 3, pois o examinador deseja o valor de X, que

será o valor que falta para a quitação do empréstimo.

Para tanto, basta igualarmos a dívida aos pagamentos e levar todos os fluxos

para a data 3. No entanto, vamos reduzir do valor à vista, a entrada de

R$150,00 uma vez que o valor financiado foi de R$450,00.

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

( ) ( ) X

X

X

VVPAGODEVIDO

+⋅+⋅=⋅

+⋅+⋅=⋅−⋅

+⋅+⋅+⋅=⋅

=

−−−−

−−−−

021002060210015902100450

02100206021001590210015002100600

02100206021001590210015002100600

23

23130303

23130303

,,,,,,

,,,,,,,,

,,,,,,,,

Fazendo as operações, temos:

X+⋅+⋅=⋅ 0210020604041001590612100450 ,,,,,,

Apesar de as respostas serem relativamente próximas, não há a necessidade

de fazermos as contas utilizando 4 casas decimais pois iremos fazer o

arredondamento dos dois lados da equação. E observe que é confortável

fazermos o arredondamento:

0047706100450

544770612100450

,,,

,,,

=⋅

=⋅

Portanto, vamos continuar nossas operações:

52101

122103616500477

122103616500477

,,,,

,,,

=

−−=

++≅

X

X

X

Portanto, ao comprar um bem por R$600,00, se o Júlio efetuar um pagamento

de R$150,00 no ato da compra, outro de R$159,00 em 30 dias e R$206,00 em

60 dias, ainda restará o pagamento de R$102,00 que deverá ocorrer em 90

dias.

AULA 03




Sendo assim, o gabarito é a letra E.

Gabarito: E

Questão 33

(Cesgranrio – CEF – Técnico Bancário – 2008) - Um investimento consiste na

realização de 12 depósitos mensais de R$ 100,00, sendo o primeiro deles feito

um mês após o início da transação. O montante será resgatado um mês depois

do último depósito. Se a taxa de remuneração do investimento é de 2% ao

mês, no regime de juros compostos, o valor do resgate, em reais, será

a) 1200,00

b) 1224,00

c) 1241,21

d) 1368,03

e) 2128,81

Resolução:

Inicialmente, devemos desenhar o fluxo de caixa da questão para depois

começarmos a analisá-la. Veja o fluxo de caixa:

Portanto, teremos que levar o fluxo depositado no período 1 para o período 13,

levar o fluxo depositado no período 2 para o período 13, e assim,

AULA 03




sucessivamente, até que levaremos o fluxo depositado no período 12 para o

13. Depois que tivermos esse trabalho todo, fazemos o somatório dos valores

e a resposta está encontrada.

De início, irei resolver a questão mas depois vou fazê-la novamente mostrando

como eu teria feito para resolvê-la. Acho que é isso que faz com que os

candidatos se diferenciem nessa hora, pois alguns demorarão vários minutos e

dá para fazer em dois minutos a questão. Da forma que mostrarei mais à

frente.

Na prova, o examinador nos entregou a tabela de acumulação de capital

abaixo:

Iremos utilizar dessa tabela, a coluna que foi marcada. Isto porque a taxa de

juros a ser utilizada é de 2%.

Entretanto, temos muita conta a fazer, pois esses valores representam os

valores que estarão multiplicando cada um dos fluxos, com o intuito de levá-

los para o décimo-terceiro mês.

Portanto, teremos que pegar o Fluxo 1 (F1) e levá-lo por 12 períodos, até o

mês 13. Pegaremos o Fluxo 2 (F2) e levá-lo por 11 períodos. E assim,

sucessivamente.

AULA 03




( )82126

26824210010002100100

1

12

1

,

,,,,

=

⋅=⋅=

F

F

( )34124

24337410010002100100

2

11

2

,

,,,,

=

⋅=⋅=

F

F

( )89121

21899410010002100100

3

10

3

,

,,,,

=

⋅=⋅=

F

F

( )09195

19509310010002100100

4

9

4

,

,,,,

=

⋅=⋅=

F

F

( )17117

17165910010002100100

5

8

5

,

,,,,

=

⋅=⋅=

F

F

( )87114

14868610010002100100

6

7

6

,

,,,,

=

⋅=⋅=

F

F

( )62112

12616210010002100100

7

6

7

,

,,,,

=

⋅=⋅=

F

F

( )41110

10408110010002100100

8

5

8

,

,,,,

=

⋅=⋅=

F

F

( )24108

08243210010002100100

9

4

9

,

,,,,

=

⋅=⋅=

F

F

( )12106

06120810010002100100

10

3

10

,

,,,,

=

⋅=⋅=

F

F

( )04104

040410010002100100

11

2

11

,

,,,,

=

⋅=⋅=

F

F

( )00102

020010010002100100

12

10

12

,

,,,,

=

⋅=⋅=

F

F

Agora, só precisamos somar esses valores. Observe que como a parcela é de

R$100,00, fica mais simples fazer as contas, basta deslocarmos a vírgula duas

casas para a direita no fator de acumulação.

Se somarmos, teremos que o valor total no final do décimo terceiro mês é de

R$1.368,03.

DICA: Entretanto, tem como achar um resultado próximo sem fazer todas

essas contas. Mas isto só pode ser feito se a taxa de juros for relativamente

baixa, pois quando acontece isto, o resultado no regime de capitalização

AULA 03




composto (o que deve ser utilizado na questão) é próximo daquele obtido com

o regime de capitalização simples (o que vamos utilizar agora).

156,00782J780,02100J

78N121110987654321N

prazos.dossomatóriooN,Sendo

=⋅=

⋅⋅=

=

+++++++++++=

⋅⋅= niCJ

Portanto, os juros seriam de R$156,00 e como são 12 prestações de R$100,00,

teríamos que a soma dos valores no décimo terceiro mês daria um pouco além

de R$156,00 + R$1.200,00 = R$1.356,00.

Sendo assim, o gabarito é a letra D.

Gabarito: D

Questão 34

(Cesgranrio – Petrobrás – Economista Júnior – 2010) – Uma dívida é paga em

prestações sucessivas, segundo o Sistema de Amortização Constante (SAC).

Ao longo do tempo, o valor das prestações

a) diminui.

b) aumenta.

c) é constante.

d) oscila.

e) torna-se negativo.

Resolução:

O Sistema de Amortização Constante – SAC pressupõe que todas as

amortizações serão idênticas, de valores idênticos. Veja a tabela abaixo de

uma operação com saldo devedor de R$ 10.000,00, taxa de juros de 10% ao

ano e prazo de 5 anos.

AULA 03




Inicialmente o saldo devedor do empréstimo era de R$10.000,00. Após um

ano, foi acumulado um juros de R$ 1.000,00 que é igual à multiplicação do

saldo devedor pela taxa de juros.

Como a amortização é constante, para encontrarmos o valor amortizado, basta

dividirmos o saldo devedor inicial pelo prazo da operação. Neste caso, o valor a

ser amortizado por período é de R$2.000,00.

Dessa forma, a primeira prestação será da ordem de R$3.000,00. Como há

uma redução do saldo devedor, apesar de a amortização ser constante, o valor

dos juros a serem pagos vai sendo reduzindo à medida que o tempo vai

transcorrendo. Sendo assim, como podemos ver na tabela, há também uma

redução do valor da prestação.

Portanto, o gabarito é a letra A.

Gabarito: A

Questão 35

(Cesgranrio – Petrobrás – Administrador Júnior – 2010) – A PHP Participações

toma hoje, no Banco XPTO, um empréstimo de R$ 100.000,00 que deve ser

pago em 5 prestações anuais, pelo sistema de amortização constante (SAC),

com juros de 12% ao ano. A primeira prestação vence dentro de um ano. A

soma das cinco prestações (principal e juros) que a PHP vai pagar ao XPTO,

em reais, será

AULA 03




a) 112.000,00

b) 124.000,00

c) 136.000,00

d) 138.704,87

e) 160.000,00

Resolução:

Essa situação pressupõe uma amortização anual de R$20.000,00, que é o

resultado de uma dívida de R$100.000,00 pelo prazo de 5 anos. Veja o fluxo

abaixo:

O primeiro pagamento de juros é igual a R$12.000,00 que nada mais é do que

a multiplicação do saldo devedor inicial R$100.000,00 pela taxa de juros de

12% ao ano. Dessa forma, a prestação é igual a R$32.000,00 e se constitui

pela soma do valor da amortização com os juros.

Como há uma amortização no período, há uma redução do saldo devedor no

mesmo período e, portanto, uma redução do valor a ser pago a título de juros

no período seguinte. Dessa forma, a prestação vai caindo até a liquidação do

empréstimo.

Como o examinador busca o valor total somado das prestações temos duas

opções para resolver a questão. Podemos simplesmente somar o valor do

empréstimo (que é igual à soma das amortizações) com o valor somado dos

AULA 03




juros incorridos em cada período. Assim, teríamos o valor total pago, mas

teríamos um trabalho dobrado.

A melhor opção seria somar o saldo devedor de cada período e multiplicar pela

taxa de juros e somar isso ao valor do empréstimo. Assim teríamos o valor

total pago.

Já sei, você não está entendendo o que estou explicando e quer construir a

Tabela. Tudo bem, pode construir mas eu não acho uma boa. Vou te explicar

novamente o que você deve fazer.

Sabemos que o saldo devedor inicial é igual a R$100.000,00 e que o saldo

devedor de um período é igual ao saldo devedor do período anterior diminuído

do valor amortizado. Portanto, o saldo devedor do período 0 é R$ 100.000,00,

o do período 1 é R$ 80.000,00, o do período 2 é R$ 60.000,00, o do período 3

é R$ 40.000,00 e o do período 4 é R$ 20.000,00. Somando estes valores

temos:

∑∑

=

++++=

300.000DevedorSaldo

20.00040.00060.00080.000100.000DevedorSaldo

Portanto, R$300.000,00 é a soma da última coluna e como os juros incidem

sobre cada linha dessa coluna, basta somarmos esses valores e multiplicarmos

pela taxa de juros de 12%.

Sendo assim, o somatório dos juros será igual a:

0000036

00000300120

,.Juros

,.,Juros

∑∑

=

⋅=

Sendo assim, se somarmos o valor dos juros com o principal, temos que o

total pago é de R$ 136.000,00. E o gabarito é a letra C.

Gabarito: C

AULA 03




Questão 36

(Cesgranrio – Eletrobrás – Administrador – 2010) – Um empréstimo de R$

1.000,00, à taxa de 10% a.a., será pago em 5 prestações anuais. O valor da

primeira prestação, a pagar pelo Sistema de Amortização Constante, e o saldo

devedor, após esse pagamento, serão, em reais, respectivamente de

a) 200,00 e 800,00

b) 200,00 e 900,00

c) 300,00 e 700,00

d) 300,00 e 800,00

e) 300,00 e 900,00

Resolução:

Observe que o sistema a ser utilizado para o pagamento dessa dívida é o SAC

– Sistema de Amortização Constante.

Observe, no quadro abaixo, como ficaria a amortização do empréstimo.

Observe que a seta vermelha indica que, em todos os períodos, o valor a ser

amortizado é idêntico e igual a R$200,00. Como o saldo devedor inicial era

igual a R$1.000,00, os juros do primeiro período seriam de R$100,00. Tal fato

faz com que a prestação a ser paga seja da ordem de R$300,00 uma vez que

ela é composta do valor amortizado mais os juros incorridos no período.

AULA 03




Portanto, o saldo devedor no final do período 1 é igual ao saldo devedor do

período anterior reduzido do valor amortizado. Ou seja, R$800,00.


Gabarito: D

Questão 37

(Cesgranrio – EPE – Finanças e Orçamento – 2010) – Se uma pessoa pagasse

uma dívida em prestações mensais usando o Sistema de Amortização

Constante (SAC), pagaria prestações sucessivas

a) iguais.

b) crescentes.

c) com parcelas de amortização crescentes.

d) com parcelas de juros decrescentes.

e) com juros apenas na última.

Resolução:

Observe que questão parecida já havia sido cobrada em 2010 pela própria

CESGRANRIO. Vamos aproveitar essa para sintetizar todas as conclusões a

esse respeito, pois assim não teremos mais dúvidas para marcar uma questão

desse tipo.

Novamente, o examinador fala de um Sistema de Amortização Constante –

SAC. Vamos supor uma dívida de R$5.000,00 a ser liquidada em 5 prestações

mensais com taxa de juros de 10%. Veja o quadro esquemático abaixo:

AULA 03




Como o próprio sistema diz, a amortização é constante e, portanto, será

amortizado R$1.000,00 a cada mês. Primeira conclusão, a amortização é

sempre a mesma no sistema SAC.

Como a taxa de juros de um período depende do saldo devedor do período

anterior. A taxa de juros do período 1 será de R$500,00. No entanto, como o

saldo devedor no final do período 1 caiu para R$4.000,00, o próxima

pagamento terá o valor de R$400,00 a título de juros. Com isso, concluímos

que quanto mais distante estiver da data inicial, menor o valor dos juros a

serem pagos.

Como o saldo devedor de um período é o saldo devedor do período anterior

menos a amortização e, nesse caso, há uma amortização, haverá uma redução

do saldo devedor quanto à medida que os períodos forem passando.

Como o valor da prestação é a amortização mais o valor dos juros, tendo em

vista o fato de que a amortização é constante e os juros caem à medida que os

períodos transcorrem, há também uma queda do valor da prestação ao longo

do tempo.

Sintetizando:

AULA 03




Evento Alteração

Amortização Constante

Juros Redução

Saldo Devedor Redução

Prestação Redução


Gabarito: D

Questão 38

(Cesgranrio – CEF – Técnico Bancário – 2008) – Um empréstimo de R$ 300,00

será pago em 6 prestações mensais, sendo a primeira delas paga 30 dias após

o empréstimo, com juros de 4% ao mês sobre o saldo devedor, pelo Sistema

de Amortização Constante (SAC). O valor, em reais, da quarta prestação será

a) 50,00

b) 52,00

c) 54,00

d) 56,00

e) 58,00

Resolução:

Para calcularmos o valor da quarta prestação, precisamos saber qual será o

saldo devedor após a terceira prestação. Observe que se o empréstimo é pago

pelo Sistema de Amortização Constante – SAC, a amortização será dividida em

seis parcelas iguais. Sendo assim, o saldo devedor após o pagamento da

terceira parcela será igual à metade do empréstimo.

AULA 03




Portanto, incorrerá juros, no quarto período, sobre R$150,00. Como a taxa de

juros é da ordem de 4% ao mês, a parcela a ser paga de juros é igual a

R$150,00 x 0,04 = R$6,00.

Como a amortização é igual a R$50,00 por prestação, a quarta parcela será

igual a R$ 56,00.


DICA: Se o examinador pedir para calcular o valor de N prestação de um

sistema SAC, você deve calcular o saldo devedor no período N-1 e multiplicar

ele pela taxa de juros e somar com o valor da amortização. Para calcular o

saldo devedor no período N-1, basta dividir o valor do empréstimo por N para

encontrar a amortização por período. Após isso, subtraia o valor do

empréstimo da multiplicação da amortização por período por N-1. Isso dará o

valor do saldo devedor naquele período. Vamos tentar encontrar o valor da

quinta prestação.

Encontrar a amortização por período: 00506

00300,

,=

Saldo devedor do quarto período: 001004005000300 ,,, =⋅−

Juros: 00404000100 ,,, =⋅

Prestação: 54,00

Entendido como deve ser feito?

Gabarito: D

Questão 39

(Cesgranrio – Banco do Brasil – 2009) – Considere um financiamento de R$

100.000,00, sem entrada, a ser pago em 100 prestações mensais, pelo

Sistema de Amortização Constante (SAC). Sabendo-se que a taxa de juros, no

regime de juros compostos, é de 1% ao mês, a prestação inicial, se o prazo de

pagamento for duplicado, será reduzida em

a) 100%.

AULA 03




b) 50%.

c) 25%.

d) 10%.

e) 5%.

Resolução:

Vamos tentar resolver essa sem montar o quadro pois já fizemos isso algumas

vezes. Se há um financiamento pelo SAC que será saldado em 100 prestações

mensais, o valor da amortização mensal será 1% do valor da dívida. Tendo em

vista que a primeira dívida é da ordem de R$100.000,00, haverá uma

amortização de R$1.000,00 a cada mês.

Os juros do primeiro período serão iguais ao saldo devedor vezes a taxa de

juros:

000001

01000000100

,.,,.

=

⋅=

J

J

Portanto, os juros a serem pagos em virtude de o saldo devedor do primeiro

período ser de R$100.000,00 será de R$1.000,00. Como a prestação, nesse

sistema é a soma dos juros incorridos no período anterior com a amortização

do período, temos que a prestação será de R$2.000,00 quando o prazo for de

100 meses.

Se o prazo de pagamento for duplicado, o tomador dos recursos terá 200

meses para saldar a mesma dívida de R$100.000,00. Dessa forma, ele vai

amortizar apenas R$500,00 por mês. No entanto, como o saldo devedor inicial

era o mesmo, o valor dos juros a serem pagos não é alterado e é de

R$1.000,00. Com isso, a prestação pelo sistema SAC se o prazo for de 200

meses é de R$1.500,00.

A questão pede para verificarmos o valor da redução da prestação. A primeira

prestação, quando o prazo era de 100 meses, foi de R$2.000,00. Enquanto

que a segunda prestação, no momento em que o prazo foi duplicado, passou

para R$1.500,00.

AULA 03




500,00Prestação∆1.500,00-2.000,00Prestação∆

=

=

Para encontrarmos a variação percentual, devemos dividir a variação pelo

valor da primeira prestação. Sabemos que houve uma redução de 500,00,

portanto, o percentual encontrado será o valor percentual reduzido.

25%0,25PrestaçãoPrestação∆

2.000,00500,00

PrestaçãoPrestação∆

==

=

Portanto, a segunda prestação representa 75% da primeira e isso mostra que

a redução foi de 25%.

Sendo assim, o gabarito é a letra C.

Gabarito: C

Questão 40

(Cesgranrio – Eletronuclear – Engenheiro – 2010) – Um eletrodoméstico que

custa R$ 800,00 será adquirido com 25% de entrada e mais 7 prestações

consecutivas, iguais e mensais, sendo a primeira delas paga 60 dias após a

compra. Se a taxa de juros utilizada no financiamento do saldo devedor é de

4% ao mês, o valor das prestações, em reais, será de, aproximadamente,

a) 85,71

b) 90,00

c) 92,32

d) 104,00

e) 109,65

Resolução:

Observe que o eletrodoméstico custo R$800,00 à vista mas pode ser pago com

25% de entrada mais 7 parcelas consecutivas, mensais e iguais. Optando pelo

AULA 03




financiamento, o saldo devedor será de R$600,00 uma vez que a entrada a ser

dada é de R$200,00.

O fluxo de caixa da operação é o seguinte:

Existem duas formas de resolver a questão. A primeira delas seria resolver

para X a equação gerada pelo fluxo acima. A segunda seria a simples aplicação

da fórmula.

Vamos resolver aplicando a fórmula.

( )( )

⋅+

−+⋅=

ii

iPC

n

n

1

11

Onde C é o capital e P a prestação. Nesse caso, teremos que C é igual a

R$600,00, a taxa de juros é de 4% ao mês e o prazo igual a 7 meses. No

entanto, como o primeiro pagamento é na data 2, devemos encontrar o valor

devido para a data 1 que será R$600,00 x 1,04.

( )( )

⋅+

−+

⋅=

0400401

10401

041600

7

7

,,

,

,P

Sabemos que 1,047 é igual a 1,3159. Portanto:

AULA 03




001040410056

600

05260

31590

041600

04031591

131591

041600

,,,

,,

,

,,,

,

≅⋅=

⋅=

⋅−

⋅=

P

P

P

A resposta não deu um valor muito próximo da resposta por problemas de

arredondamento.

No entanto, podemos fazer a questão de uma outra forma, mas a prova

deveria fornecer uma tabela dos fatores.

Intuitivamente, a solução seria feita da seguinte forma:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

0010400216

041600

00216041

600

75990790308219085480889009246096150041

600

041

1

041

1

041

1

041

1

041

1

041

1

041

1

041600

041041041041041041041600

765432

8765432

,,

,

,,

,,,,,,,,

,,,,,,,,

,,,,,,,

≅⋅

=

⋅=

++++++=

++++++⋅=

++++++=

X

X

X

x

XXXXXXX

Observe que não há a necessidade de fazermos todas essas operações pois a

tabela abaixo foi retirada da prova em que essa questão foi cobrada. Se

pegarmos a coluna com taxa de 4% e a linha com 7 prestações, teremos,

exatamente, o valor calculado acima. Logo, basta sabermos olhar na Tabela

para resolver a questão. No entanto, lembre-se de que esse valor te levaria

para a data 1 e para igualar, você deveria encontrar o saldo devedor na data 1

também.

AULA 03




Questões desse tipo são possíveis de serem feitas com a utilização de tabela

similar. Caso contrário, o trabalho é enorme e, talvez, não compense perder

tempo com ela, a menos que esteja com tempo sobrando.

Sendo assim, o gabarito é a letra D, apesar de os resultados não estarem tão

próximos.

Gabarito: D

Questão 41

(Cesgranrio – Petrobrás – Técnico – 2009) – Visando a minimizar o problema

de moradia, o governo oferece à população de baixa renda casas populares ao

custo de R$24.000,00. Cada casa será paga em 20 anos, com prestações

mensais fixas de R$119,00. Considerando o valor total pago pelo comprador

(soma de todas as prestações), em relação ao preço de custo da casa, este

pagará juros de

AULA 03




a) 13%

b) 19%

c) 22%

d) 24%

e) 31%

Resolução:

Essa questão, quando olhamos pela primeira vez pode nos parecer um pouco

complicada pois trata-se de um Sistema Price, ou seja, liquidação de um

empréstimo com pagamentos constantes de prestação.

Entretanto, a única coisa que devemos saber é o valor total a ser pago com as

prestações ao longo do tempo e saber quanto foi a título de juros e quanto foi

a título de principal. O principal é o valor da casa, ou seja, R$ 24.000,00.

Inicialmente, devemos calcular o número de prestações a serem pagas. Como

a dívida será quitada em 20 anos e cada ano tem 12 meses, temos:

prestações240anopormeses12xanos20PrestaçõesdeNúmero ==

Com isso, se multiplicarmos o número de prestações pelo valor individual da

prestação, teremos o valor total pago pelo consumidor ao adquirir a sua casa.

28.560,00PagolValor TotaR$119,00prestações240PagolValor Tota

=

×=

Portanto, quando o comprador da casa terminar de pagar suas 240 prestações

de R$119,00 terá gasto um total de R$28.560,00. Como a casa, inicialmente,

tinha um custo de R$24.000,00, essa diferença será a título de juros.

4.560,00PagosJuros24.000,00-28.560,00PagosJuros

=

=

Portanto, ao dividirmos o valor dos juros pelo valor do principal, temos o

percentual pago de juros. Vamos lá:

AULA 03




%,JurosdePercentual,.,.

JurosdePercentual

19190

0000024

005604

==

=

Portanto, o comprador estará pagando 19% do valor a título de juros.

Dica: No entanto, acho que não há a necessidade de fazermos a conta final, ou

seja, dividir 4.560 por 24.000. Lembre-se que na hora da prova você terá que

fazer isso na mão e isso não é tão simples. Portanto, sugiro que você tente

acertar a resposta e não descobrir quanto vale essa operação. Tá achando que

é a mesma coisa? Claro que não. Para descobrir quanto vale, você deverá

fazer as contas. Para achar a resposta, isso não é necessário.

Observe que o existem as seguintes opções: 13%, 19%, 22%, 24% e 31%. Se

dividirmos a valor pago pelo valor inicial, teremos 1,19, concordam? Seria 1 do

principal e mais 0,19 dos juros. Portanto, vamos acrescentar 20% ao principal

e verificar qual é o valor.

20%deacréscimocomTotal28.800,00

maisa10%2.400,00maisa10%2.400,00

Principal24.000,00

→

→

→

→

Observe que o valor encontrado ao aumentarmos em 20% deu maior do que o

valor a ser pago. Logo, eliminamos três possibilidades e ficamos apenas com

13% e 19%.

Se testássemos aumentando 15%, teríamos:

15%deacréscimocomTotal27.600,00

maisa10%1.200,00maisa10%2.400,00

Principal24.000,00

→

→

→

→

Portanto, ao aumentarmos 15%, teríamos um valor menor do que aquele que

foi, efetivamente, pago. Logo, a resposta é 19%.

AULA 03





Gabarito: B

Questão 42

(Cesgranrio – Eletrobrás – Administrador – 2010) – Cláudia deseja fazer hoje

aplicações em um fundo de investimentos, almejando obter uma renda

perpétua mensal de R$ 20.000,00, atualizados monetariamente, começando

dentro de um mês. Considerando-se as taxas de 0,1% a.m. e de 0,5% a.m.,

essas aplicações serão, em reais, respectivamente de

a) 10.000.000,00 e 2.400.000,00

b) 12.000.000,00 e 2.000.000,00

c) 12.000.000,00 e 2.400.000,00

d) 16.000.000,00 e 2.000.000,00

e) 20.000.000,00 e 4.000.000,00

Resolução:

Acho que para resolvermos essa questão, não precisamos ficar desenvolvendo

fórmulas matemáticas e nem decorando. Se compreendermos a lógica,

conseguiremos fazer a questão sem usar fórmula alguma.

Uma renda somente será perpétua se nunca reduzirmos o valor do principal.

Imagine que você tenha uma quantidade de recursos e deseja torrar uma

grana até o final da sua vida sem ter que se preocupar com mais acumulação.

Para isso, basta que você consiga juntar uma quantidade de recursos que seja

suficiente para que você consiga sobreviver apenas com o ganho real daquele

dinheiro. Ou seja, somente com a quantidade dos juros que superam a

inflação.

Se isso for verdade, você terá o valor real4 dos seus recursos pelo resto da

vida.

4 O valor nominal é quanto de dinheiro você possui. Enquanto que o valor real é quanto que esses recursos conseguem

adquirir.

AULA 03




Como a questão não fala, absolutamente nada, sobre inflação, não devemos

nos preocupar com isso. Portanto, basta que façamos as contas para que o

principal não seja reduzido e o salário seja igual ao valor proporcionado de

juros.

Sabemos que os juros de 1 determinado mês é dado pela multiplicação do

Capital aplicado pela taxa mensal de juros, seja no regime de capitalização

simples ou no de capitalização composto.

iC

niCJ

⋅=

=

⋅⋅=

J:temos1,NComo

No entanto, temos o valor dos juros (que seria igual à renda perpétua mensal)

e da taxa de juros. Dessa forma, podemos determinar o valor do capital

necessário para que a pessoa tenha essa perpetuidade.

00000000450

0000020

1500000020

000000002010

0000020

1100000020

,..%,,.

%,,.:temos0,5%,detaxaaCom

,..%,,.

%,,.:temos0,1%,detaxaaCom

==

⋅⋅=

==

⋅⋅=

C

C

C

C

Sendo assim, temos que os capitais a serem depositados são de

R$20.000.000,00 e R$4.000.000,00. E o gabarito é a letra E.

Gabarito: E

AULA 03




GABARITO

27- B 28- C 29- E 30- B 31- B

32- E 33- D 34- A 35- C 36- D

37- D 38- D 39- C 40- D 41- B

42- E

Galera,

Terminamos a nossa terceira aula.

Grande abraço,

César Frade

03 - af - césar

Documents