03-1

BASIC EQUATIONS IN INTEGRAL FORM FOR A CONTROL VOLUME

สมการเบื้องตน (Basic equations)

ของไหลในบทที่ผานมานั้นเปนของไหลที่อยูนิ่ง อยางไรก็ตาม ในหลายสถานการณของไหลนั้นจะมีการเคลื่อนที่ประกอบดวย เชน การไหลของน้ําจากปลายสายยาง หรือการรั่วของกาซจากลูกโปง ซึ่งจะประเด็นสําคัญที่จะทําการศึกษาในบทนี้ แมวาการเคลื่อนที่ของของไหลจะดูคลายวามีความซับซอนอยูมากก็ตาม แตในการศึกษานั้นมักจะใชสมการเบื้องตน (basic equations) ที่เรารูจักมาเปนอยางดีแลวเปนเครื่องมือ อันไดแก

กฏอนุรักษมวล 0=⎟⎠⎞

systemdtdM เมื่อ ∀= ddM ρ (03-01)

กฏอนุรักษโมเมนตัม FdtPd

system

=⎟⎟⎠

⎞ เมื่อ ∀= dVPd ρ (03-02)

กฏอนุรักษโมเมนตัมเชิงมุม TdtHd

system

=⎟⎟⎠

⎞ เมื่อ ∀×= dVrHd ρ (03-03)

กฏอนุรักษพลังงาน WQdtdE

system

−=⎟⎠⎞ เมื่อ ∀= dedE ρ

และ gzVue ++= 22 (03-04) คาการเปลี่ยนแปลงภายในปริมาตรควบคุม (Control volume)

สมการเบื้องตนที่แสดงไวในหัวขอที่ผานมากอนที่จะนํามาประยุกตใชในการศึกษาการเคลื่อนที่ของของไหลไดนั้น จําเปนตองจัดใหอยูในรูปแบบที่เหมาะสมกอน ซึ่งมีอยูหลากหลายขึ้นอยูกับวิธีที่จะเขาถึงคําตอบ (approach) ในที่นี้เราเลือกวิธีการพิจารณาแบบใชปริมาตรควบคุม (control volume) เปนหลักในการศึกษา

รูปที่ 3.1 ปริมาตรควบคุม (control volume) แบบตางๆ

CV

CV

CV

(ก) (ข) (ค)

03-2

ปริมาตรควบคุม (control volume) ที่เกริ่นทิ้งไวจากยอหนาที่ผานมาคือปริมาตรในขอบเขตที่เราจิตนาการสรางขึ้นมาเอง เพื่อใชในการพิจารณาการไหลของของไหลเฉพาะที่เกิดขึ้น และผานเขาออกในขอบเขตนั้นทําใหการศึกษามีขอบเขตที่แนนอนลงมาและสะดวกในการพิจารณา ตัวอยางเชนในรูปที่ 3.1(ก) คือการสราง control volume ของลําน้ําที่พุงกระแทกเขากับรถเลื่อน, รูปที่ 3.1(ข) คือการสราง control volume เพื่อพิจารณาปริมาณของกาซที่รั่วออกจากลูกโปง และ รูปที่ 3.1(ค) คือการสราง control volume เพื่อคํานวณแรงกระแทกของน้ําตอประตูน้ํา

รูปที่ 3.2 วิธีวิเคราะหการเคลื่อนที่สัมพัทธระหวาง system และ control volume กอนที่จะกาวไปในขั้นถัดไป ในตอนนี้ขอใหเราลองมองยอนกลับไปที่สมการเบื้องตน (basic equations) อีกครั้ง หากเราพิจารณาสมการ (03-01) ถึง (03-04) ใหดี เราจะพบวาสมการทั้ง 4 มีลักษณะรวมที่เหมือนกัน กลาวคือพจนทางซายของทุกสมการอยูในรูป time derivative มีความแตกตางกันเพียงตัวแปรที่อยูใน time derivative และพจนทางขวาของสมการ เทานั้น ดังนั้นเพื่อใหเกิดความสะดวกพจนที่เปน time derivative จะถูกพิจารณารวมกันไปสําหรับทุกๆ basic equations ดวยรูปแบบดังนี้

∫∫ ∀==systemsystem

ddNN ηρ (03-05)

โดยที่เมื่อ MN = จะได 1=η PN = จะได V=η

HN = จะได Vr ×=η EN = จะได e=η หากเราตองการพิจารณา time derivative ของตัวแปร N บน control volume ที่เรากําหนดขึ้นมาในกระแสการไหลอาจกระทําไดดังนี้

1. เมื่อเวลาเริ่มตนที่ t0 ตัว control volume ที่แสดงดวยเสนประ จะครอบคลุมกอนของไหล (system) เอาไวจํานวนหนึ่ง ดังแสดงดวยเชดสีเขมในรูปที่ 3.2 (ก)

2. เมื่อเวลาผานไปเทากับ Δt กอนของของไหล (system) ที่เคยอยูใน control volume ก็จะเคลื่อนตัวออกมา ดังแสดงในรูปที่ 3.2 (ข)

CV

I

II III

t = t0+Δt (ข)

t = t0

(ก)

CVintegral element

(ค)

Δl

V

dA

03-3

ซึ่งหากเราพิจารณาสิ่งที่เกิดขึ้นกับกอนของไหล (system) ตัวนี้จะพบวา คาของ N ในกอนของไหล (system) จะเปลี่ยนไปจากเดิม โดยการเปลี่ยนแปลงนั้นเขียนเปนสมการไดดังนี้

) )t

NN

dtdN tstts

tsystem Δ

−=⎟

⎠⎞ Δ+

→Δ

00

0lim (03-06)

โดยที่ จากรูปที่ 3.2 (ข) เราทราบวา

) ( )00 tCVts NN = (03-07)

) ( ) ( ) ttIIIICVttIIIIItts NNNNNN Δ+Δ+Δ+ +−=+=000

(03-08) *ขอสังเกตุ: คา NCV ในสมการ (03-07) จะแตกตางจาก คา NCV ในสมการ (03-08) เนื่องจากเปนคาที่เกิดขึ้น ณ

เวลาที่แตกตางกัน เมื่อนําสมการ (03-07) และ (03-08) แทนลงใน (03-06) แลว เราจะได

) ) ) )t

Nt

Nt

NN

dtdN ttI

t

ttIII

t

tCVttCV

tsystem Δ

−Δ

+Δ

−=⎟

⎠⎞ Δ+

→Δ

Δ+

→Δ

Δ+

→Δ

0000

000limlimlim (03-09)

คาทางซายมือของสมการที่ (03-09) มีทั้งหมด 3 พจน ซึ่งมีความหมายดังนี้

1. พจนที่ 1 คือการเปลี่ยนแปลงไปตามเวลา ของ N ใน control volume (ในเสนประ) ซึ่งมีคาเทากับ

) )

∫ ∀∂∂

=⎟⎟⎠

⎞

∂∂

=Δ

−Δ+

→ΔCVCV

tCVttCV

td

ttN

t

NNηρ00

0lim (03-10)

2. พจนที่ 2 คือการเปลี่ยนแปลงของ N อันเนื่องมาจากการไหลไปสู region III และสามารถคํานวณไดโดยพิจารณารูปที่ 3.2 (ค) ซึ่งแสดง integral element เปนรูปแถบยาว ซึ่งมีขนาดเทากับ ( )dAld Δ=∀ โดยที่ระยะ Δl นั้นจะคํานวณไดจากความเร็วของพื้นผิว dA ที่พุงตั้งฉากกับผิวออกไปที่ region III ในชวงเวลา Δt กลาวคือ

( ) ( ) AdVtdAtVd dAdA ⋅Δ=Δ=∀ ⊥ แตความเร็วของ dA ก็คือความเร็วของของไหลที่ไหลผาน dA นั้นเอง ดังนั้น

( ) AdVtd ⋅Δ=∀ และปริมาณ N ที่มีอยูใน integral element จะมีคาเทากับ

( ) AdVtddN ⋅Δ=∀= ηρηρ การคํานวณปริมาณของ N ในอณาเขตของ region III จะกระทําโดยการอินทิเกรต dN ไปตามขอบผิว CSIII ดังที่แสดงดวยเสนประในรูปเดียวกัน ซึ่งจะไดวา

) ( )∫∫ ⋅Δ==Δ+

IIIIII CSCSttIII AdVtdNN ηρ

0

03-4

และทายที่สุดจะไดคาของพจนเปน

) ( )

∫∫

⋅=Δ

⋅Δ

=Δ →Δ

Δ+

→ΔIII

III

CS

CS

t

ttIII

tAdV

t

AdVt

tN

ηρ

ηρ

00limlim 0 (03-11)

3. พจนที่ 3 คือการเปลี่ยนแปลงของ N อันเนื่องมาจากการไหลออกจาก region I ซึ่งสามารถคํานวณไดดวยวิธีการเดียวกันกับพจนที่ 2 และทายที่สุดจะไดวา

)

∫ ⋅−=Δ

Δ+

→ΔICS

ttI

tAdV

tN

ηρ0

0lim (03-12)

เครื่องหมายลบทางขวาของสมการ (03-12) เปนผลมาจาก dot product ระหวางเวกเตอร V และ dA ซึ่งจะมีคาเปนลบเมื่อเวกเตอรทั้งสองมีทิศสวนทางกัน (ไหลออกจาก control volume)

แทนคาสมการ (03-10) ถึง (03-12) ลงใน (03-09) เราจะไดสมการที่แสดงความสัมพันธระหวาง time derivative ของปริมาณ N ในกอนของไหล (system) กับการเปลี่ยนแปลงของ N ที่เกิดขึ้นใน control volume รวมทั้งการไหลเขาออกของปริมาณ N บน control surface เปนดังนี้

∫∫∫ ⋅+⋅+∀∂∂

=⎟⎠⎞

IIII CSCSCVsystem

AdVAdVdtdt

dN ηρηρηρ

∫∫ ⋅+∀∂∂

=⎟⎠⎞

CSCVsystem

AdVdtdt

dN ηρηρ (03-13)

สมการ (03-13) เปนสมการหลัก ที่จะถูกนําไปประยุกตใชกับ basic equations ตางๆ ซึ่งไดกลาวมาแลวขางตนในหัวขอตอๆ ไป กฏอนุรักษมวล (Conservation of mass)

จากความรูใน 2 หัวขอที่ผานมา ทําใหเราสามารถสรางสมการสําหรับคํานวณคาตัวแปรที่เกี่ยวของกับการไหลของของไหลไดโดยอาศัยกฎอนุรักษมวล ดังนี้ Basic equation (conservation of mass)

0=⎟⎠⎞

systemdtdM (03-01 rev.)

Differential equation for control volume

∫∫ ⋅+∀∂∂

=⎟⎠⎞

CSCVsystem

AdVdtdt

dN ηρηρ (03-13 rev.)

และตามขอมูลประกอบสมการที่ (03-05) เมื่อ MN = จะได 1=η นั่นคือ

∫∫ ⋅+∀∂∂

=⎟⎠⎞

CSCVsystem

AdVdtdt

dM ρρ (03-14)

03-5

แทนคาสมการ (03-14) ลงใน (03-01 rev.) จะได

0=⋅+∀∂∂

∫∫CSCV

AdVdt

ρρ (03-15)

สมการ (03-15) มีช่ือเรียกวา continuity equation เปนสมการที่สรางขึ้นมาเพื่อพิจารณาความสัมพันธ

ระหวางตัวแปรตางๆ (ในที่นี้คือ ρ , ∀ , V และ A ) โดยอาศัยกฎการอนุรักษมวล และมีตัวอยางการใชงานดังตอไปนี้ ตัวอยาง 3.1 รถเลื่อนที่มีแปนรับน้ําทํามุมเอียง 60o ดังแสดงในรูปดานลาง หากลอของรถถูกยึดแนนอยูกับที่ จงหาพ้ืนที่หนาตัดของลําน้ําที่พุงออกจากแปนรับน้ําดวยความเร็วเฉลี่ย 25 m/s เมื่อ nozzle มีพ้ืนที่หนาตัดเปน 0.003 m2 และ กระแสน้ําที่พุงออกจาก nozzle มีความเร็วเทากับ 30 m/s Given: 1. ความเร็วเขาและออกของน้ํา V1 และ V2 2. พ้ืนที่หนาตัดของ nozzle (A1) Find: พ้ืนที่หนาตัดของลําน้ําที่พุงออกจากรถ (A2) Solution: ใช continuity equation

Governing equation: 0=⋅+∀∂∂

∫∫CSCV

AdVdt

ρρ (1)

Assumptions: 1. Steady state 2. Incompressible flow (ρ = constant) พิจารณาสมการ (1) พรอม assumptions อีกครั้งจะไดสมการที่ลดรูปลงมาเปน

0=⋅+∀∂∂

∫∫CSCV

AdVdt

ρρ

และตาม control volume ในรูปขางบน พบวามีทางเขา และทางออกของลําน้ําเพียงอยางละ 1 หนาตัดเทานั้น

= 0 (1)

CV

A1

A2

V1

V2

03-6

0222111 =⋅+⋅ AVAV ρρ โดยพิจารณาทิศของ V และ A บนแตละหนาตัด จะทําใหสามารถปรับ dot product ลงมาเปนคาสเกลลารไดดังนี้

0222111 =+− AVAV ρρ เนื่องจาก assumption (2) ระบุวาในสภาวะนี้เปน incompressible flow ซึ่ง ρ1 = ρ2 = ρ = constant จึงไดสมการที่ลดรูปลงไปไดอีกเปน

02211 =+− AVAV

2112 VAVA = แทนคา

( )( ) ( ) 0036.025003.0302 ==A m2

ประเด็นสําคัญ 1. การสรางความเขาใจในเรื่องเครื่องหมายของ influx และ efflux 2. การสรางความเขาใจเรื่อง assumptions สามารถชวยลดรูปสมการ governing equation ได

Challenge: ลองหาพื้นที่หนาตัด A2 อีกครั้งในกรณีที่มีลําน้ําปริมาณ 0.01 m3/s รั่วไหลออกทางดานขางของแปนรับน้ํา ตัวอยาง 3.2 รถเล่ือนที่มีแปนรับน้ําทํามุมเอียง 60o ซึ่งลอของรถถูกยึดแนนอยูกับที่ดังเชนในตัวอยาง 3.1 ถูกนํามาเพื่อคํานวณหาพื้นที่หนาตัดของลําน้ําที่พุงออกจากแปนรับน้ําอีกครั้ง โดยในครั้งนี้ velocity profile ของลําน้ําที่ไหลออกมีการกระจายตัวแบบ parabolic และมีความลึกของลําน้ําเปน 0.1 m ต้ังฉากกับหนากระดาษ กําหนดให nozzle ยังคงมีพ้ืนที่หนาตัดเปน 0.003 m2 และ กระแสน้ําที่พุงออกจาก nozzle มีความเร็วเทากับ 30 m/s เชนเดิม Given: 1. ความเร็วเขาและออกของน้ํา V1 และ V2

V2= V1 [2(η/δ)-(η/δ)2] η

δ CV

A1 A2

V1

V2 η

δ

t=0.1m A2

03-7

2. พ้ืนที่หนาตัดของ nozzle (A1) Find: พ้ืนที่หนาตัดของลําน้ําที่พุงออกจากรถ (A2) Solution: ใช continuity equation เพื่อคํานวณหา δ กอน แลวจึงนํามาคํานวณคา A2 ในขั้นตอนถัดไป

Governing equation: 0=⋅+∀∂∂

∫∫CSCV

AdVdt

ρρ (1)

Assumptions: 1. Steady state 2. Incompressible flow (ρ = constant) พิจารณาสมการ (1) พรอม assumptions อีกครั้งจะไดสมการที่ลดรูปลงมาเปน

0=⋅+∀∂∂

∫∫CSCV

AdVdt

ρρ

และตาม control volume ในรูปขางบน พบวามีทางเขา และทางออกของลําน้ําเพียงอยางละ 1 หนาตัดเทานั้น

021

=⋅+⋅ ∫∫ AdVAdV ρρ

02

111 =⋅+⋅ ∫ AdVAV ρρ

โดยพิจารณาทิศของ V และ A บนแตละหนาตัด จะทําใหสามารถปรับ dot product ลงมาเปนคาสเกลลารไดดังนี้

02

111 =+− ∫ VdAAV ρρ

0)(22

2

1111 =⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+− ∫ η

δη

δηρρ tdVAV

020

2

12111 =⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+− ∫ η

δη

δηρρ

δ

dVtAV

032

12111 =+− δρρ VtAV

เนื่องจาก assumption (2) ระบุวาในสภาวะนี้เปน incompressible flow ซึ่ง ρ1 = ρ2 = constant จึงไดสมการที่ลดรูปลงไปไดอีกเปน

032

111 =+− δtVAV

123 At =δ

12 23 AA =

แทนคา

= 0 (1)

03-8

( )( ) 0045.0003.02/32 ==A m2

ประเด็นสําคัญ 1. การสรางความเขาใจในเรื่อง velocity profile distribution แบบตางๆ ซึ่งมีผลตอคําตอบ

Challenge: ลองหาพื้นที่หนาตัด A2 อีกครั้งในกรณีที่ velocity profile ที่ทางออกของลําน้ํามีการกระจายตัวเปน V2= V1 [2(η/δ)-(η/δ)3] กฏอนุรักษโมเมนตัม (Conservation of momentum)

จากความรูใน 2 หัวขอที่ผานมา ทําใหเราสามารถสรางสมการสําหรับคํานวณคาตัวแปรที่เกี่ยวของกับการไหลของของไหลไดโดยอาศัยกฎอนุรักษโมเมนตัม ดังนี้ Basic equation (conservation of momentum or Newton’s 2nd law)

FdtPd

system

=⎟⎟⎠

⎞ (03-02 rev.)

Differential equation for control volume

∫∫ ⋅+∀∂∂

=⎟⎠⎞

CSCVsystem

AdVdtdt

dN ηρηρ (03-13 rev.)

และตามขอมูลประกอบสมการที่ (03-05) เมื่อ PN = จะได V=η นั่นคือ

∫∫ ⋅+∀∂∂

=⎟⎟⎠

⎞

CSCVsystem

AdVVdVtdt

Pd ρρ (03-16)

แทนคาสมการ (03-16) ลงใน (03-02 rev.) จะได

FAdVVdVt CSCV

=⋅+∀∂∂

∫∫ ρρ (03-17)

สําหรับแรง F ทางขวาของสมการ (03-17) จะถูกแบงออกเปนแรง 2 ประเภท กลาวคือ surface force (FS) และ body force (FB)

BSCSCV

FFAdVVdVt

+=⋅+∀∂∂

∫∫ ρρ (03-18)

โดยที่ surface force ที่เกิดจากความดันซึ่งกระทําอยูบนผิว control surface มีคาเปน

otherSCS

otherSpSS FApdFFF ,,, +−=+= ∫ (03-19)

และ body force คือแรงที่เกิดจากปจจัยตางๆ ที่ไมมีการสัมผัสกับวัตถุ เชน แรงโนมถวง หรือ แรงแมเหล็กไฟฟา เปนตน โดยมากแรงตัวนี้มักเขียนใหอยูในรูปของความเขมตอความหนาแนนของของไหล ดังนี้

∫ ∀=CV

B dBF ρ (03-19)

03-9

ตอเมื่อเราสนใจเฉพาะแรงโนมถวงเพียงอยางเดียว คาเวกเตอร B ก็จะมีคาเทากับเวกเตอร g

สมการ (03-18) มีช่ือเรียกวา momentum equation เปนสมการที่สรางขึ้นมาเพื่อพิจารณา

ความสัมพันธระหวางตัวแปรตางๆ (ในที่นี้คือ ρ , ∀ , V , A และ F ) โดยอาศัยกฎการอนุรักษโมเมนตัม หรือ กฎขอสองของนิวตัน การใชงานสมการนี้มักจักสมการใหอยูในรูปสเกลลารเสียกอน เพื่อใหเกิดความสะดวกในการทํางานมากกวาการใชสมการที่อยูในเวกเตอร สําหรับสมการ (03-18) เมื่อแตกออกเปนสมการสเกลลารตามระบบแกน Cartesian แลวจะไดเปนสมการยอย 3 สมการดังนี ้

BxSxCSCV

FFAdVudut

+=⋅+∀∂∂

∫∫ ρρ (03-20 ก)

BySyCSCV

FFAdVvdvt

+=⋅+∀∂∂

∫∫ ρρ (03-20 ข)

BzSzCSCV

FFAdVwdwt

+=⋅+∀∂∂

∫∫ ρρ (03-20 ค)

นอกจาการปรับสมการใหอยูในรูปสเกลลารเพื่อความสะดวกในการใชงานสมการแลว การแบงโจทยปญหาออกเปนประเภทตางๆ ตามลักษณะการเคลื่อนที่ของ control volume ก็มีสวนชวยในการแกปญหาโจทยไดอยางมีประสิทธิภาพเชนกัน ในที่นี้เราจะแบง control volume ออกเปน 3 ประเภทตามลักษณะการเคลื่อนที่ของมัน กลาวคือ 1. control volume ที่อยูนิ่ง 2. control volume ที่เคลื่อนที่ดวยความเร็วคงที่ 3. control volume ที่เคลื่อนที่ดวยความเรง ซึ่งจะกลาวถึงในรายละเอียดการจัดการกับ control volume แตละประเภท ในหัวขอยอยที่ตามมาดังนี้ - กฏอนุรักษโมเมนตัมบน control volume ท่ีอยูนิ่ง ในกรณีที่ control volume ที่เราพิจารณาอยูนิ่งเมื่อเทียบกับจุดอางอิงเฉื่อย สมการ (03-18) หรือ (03-20) จะสามารถนําไปใชไดทันทีโดยไมตองการการปรับแตงแตอยางใด โดยที่ตัวอยางการใชงานสมการ (03-20) มีดังตอไปนี้ ตัวอยาง 3.3 รถเลื่อนที่มีแปนรับน้ําทํามุมเอียง 60o ซึ่งลอของรถถูกยึดแนนอยูกับที่ดวย friction ที่พ้ืนดังเชนในตัวอยาง 3.1 รับกระแสน้ําจาก nozzle ที่มีพ้ืนที่หนาตัดเปน 0.003 m2 และ ความเร็วของกระแสน้ําที่พุงออกจาก nozzle เปน 30 m/s เชนเดิม โดยในครั้งนี้ velocity profile ของลําน้ําที่ไหลออกมีการกระจายตัวแบบ uniform และมีพ้ืนที่หนาตัดของลําน้ําออกเทากับ 0.003 m2 จงหาความเร็วของลําน้ําที่พุงออกจากแปน และคา friction ที่สามารถยึดลอรถไวได (โดยไมคิดผลจาก pressure และ body force ของลําน้ํา)

60o

03-10

Given: 1. ความเร็วเขาและออกของน้ํา V1 2. พ้ืนที่หนาตัดของ nozzle (A1)

3. พ้ืนที่หนาตัดของลําน้ําขาออก (A2)

Find: 1. ความเร็วของลําน้ําขาออก (V2) 2. ขนาดของ friction ที่สามารถยึดรถไวได (f) Solution: 1. ใช continuity equation เพื่อคํานวณหา V2 กอน 2. แลวจึงใช momentum equation เพื่อคํานวณหา 2.1 Ax และ f ในทายที่สุด ดวย control volume แบบทางซายบน 2.2 f ในทันที ดวย control volume แบบทางขวาบน จะเห็นวาการตัด control volume แบบทางซายบนคอนขางซับซอนกวา แตจะทําใหเราได

ตําแหนงของแรง Ax และ Ay ในกรณีที่มีขอมูลมากกวานี้อีกเล็กนอย อยางไรก็ตาม หากเราไมสนใจถึงตําแหนงของแรงทั้งสอง การตัด control volume แบบทางขวาบนจะทําใหแกปญหาโจทยไดงายกวา ในที่นี้เราจะเลือกใช control volume แบบทางขวาบนเพื่อทํางานตอไป

Governing equation: 0=⋅+∀∂∂

∫∫CSCV

AdVdt

ρρ (1)

BxSxCSCV

FFAdVudut

+=⋅+∀∂∂

∫∫ ρρ (2)

Assumptions: 1. Steady state 2. Incompressible flow (ρ = constant) 3. Neglect pressure effect 4. No body force พิจารณาสมการ (1) พรอม assumption (1) และ (2) จะไดสมการที่ลดรูปลงมาเปน

0=⋅∫CS

AdV

02211 =+− AVAV

V1

V2 CV

y x

Ax

Ay Bx

By

W

N

f

60o

V1

V2 CV

W

N

f y

x

60o

03-11

2112 AVAV = ( )( ) ( ) 30003.030003.02 ==V m/s

ในขณะที่สมการ (2) เมื่อพิจารณาพรอม assumptions จะลดรูปลงไดเปน

BxSxCSCV

FFAdVudut

+=⋅+∀∂∂

∫∫ ρρ

fAdVu

CS

−=⋅∫ ρ

เมื่อพิจารณา assumption (2) รวมดวยจะได

fAdVuCS

−=⋅∫ρ

[ ] fAVuAVu −=+− 222111ρ

[ ] fAVVAVV o −=+− 222111 )60cos(ρ

[ ]222111 )60cos( AVVAVVf o−= ρ แทนคา

( )( )( ) ( )( )( )( )[ ] 1349003.0305.030003.03030999 =−=f N

ประเด็นสําคัญ 1. การใชงาน momentum equation ในรูปสเกลลาร 2. การใชงาน continuity equation พรอม momentum equation (2 สมการ เพื่อแก 2 unknowns) 3. เทคนิคการตัด control volume ใหเหมาะสมกับคําตอบที่ตองการ

Challenge: หากตองการทราบคาความเคนในโครงสรางที่ใชรับแปนน้ํา (สวนที่มีสีดํา) ควรตัด control volume อยางไร ตัวอยาง 3.4 รถเลื่อนที่มีแปนรับน้ําทํามุมเอียง 60o ซึ่งลอของรถถูกยึดแนนอยูกับที่ดวย friction ที่พ้ืนดังเชนในตัวอยาง 3.3 รับกระแสน้ําจาก nozzle ที่มีพ้ืนที่หนาตัดเปน 0.003 m2 และ ความเร็วของกระแสน้ําที่พุงออกจาก nozzle เปน 30 m/s เชนเดิม แตมีความดันสัมบูรณของน้ํา ณ จุดปะทะกับแปนน้ําเปน 0.3 MPa สําหรับลําน้ําขาออก velocity profile ของลําน้ําการกระจายตัวแบบ uniform และมีพ้ืนที่หนาตัดของลําน้ําออกเทากับ 0.003 m2 แตความดันสัมบูรณของน้ํา ณ จุดปะทะกับแปนน้ําเปน 0.2 MPa จงคา

= 0 (1) = -f (3) = 0 (4)

60o

03-12

friction ที่สามารถยึดลอรถไวได (โดยไมคิดผลจาก body force ของลําน้ํา) Given: 1. ความเร็วเขาและออกของน้ํา V1 2. พ้ืนที่หนาตัดของ nozzle (A1) 3. พ้ืนที่หนาตัดของลําน้ําขาออก (A2)

4. ความดันของลําน้ําขาเขา (p1) 5. ความดันของลําน้ําขาออก (p2)

Find: 1. ขนาดของ friction ที่สามารถยึดรถไวได (f) Solution: 1. ใช continuity equation เพื่อคํานวณหา V2 กอนเนื่องจากเปนปริมาณสําคัญที่จะใชใน

momentum equation 2. แลวจึงใช momentum equation เพื่อคํานวณหา f 2.1 รวมกับ pabs แบบรูปประกอบทางซายบน 2.2 รวมกับ pgage แบบรูปประกอบทางขวาบน จะเห็นวาการใช pabs ในรูปประกอบทางซายบนคอนขางซับซอนกวา แตผลลัพธจะไดเทากับรูป

ประกอบแบบทางขวาบนที่ใชเฉพาะ pgage เนื่องจาก patm ซึ่งกระจายเทากันตลอดทั่ว control volume จะหักลางกันไปเอง ในที่นี้เราจะเลือกใชรูปประกอบแบบทางขวาบนเพื่อใหการทํางานตอไปสะดวกขึ้น

Governing equation: 0=⋅+∀∂∂

∫∫CSCV

AdVdt

ρρ (1)

BxSxCSCV

FFAdVudut

+=⋅+∀∂∂

∫∫ ρρ (2)

Assumptions: 1. Steady state 2. Incompressible flow (ρ = constant) 3. No body force พิจารณาสมการ (1) พรอม assumption (1) และ (2) จะไดสมการที่ลดรูปลงมาเปน

V1

V2

W

y x

60o

p1

p2

N f

patm

patm

patm

patm patm

V1

V2

W

y x

60o p1g

p2g

N f

03-13

0=⋅∫CS

AdV

02211 =+− AVAV

2112 AVAV = ( )( ) ( ) 30003.030003.02 ==V m/s

ในขณะที่สมการ (2) เมื่อพิจารณาพรอม assumptions จะลดรูปลงไดเปน

BxSxCSCV

FFAdVudut

+=⋅+∀∂∂

∫∫ ρρ

∫∫ ⋅−−=⋅CSCS

AdipfAdVu ˆρ

เมื่อพิจารณา assumption (2) รวมดวยจะได

∫∫ ⋅−−=⋅CSCS

AdipfAdVu ˆρ

[ ] [ ] ( )[ ]{ }jiAipiAipfAVuAVu oogg

ˆ60sinˆ60cosˆˆˆ2211222111 +⋅+−⋅−−=+−ρ

[ ] { }o

ggo ApApfAVVAVV 60cos60cos 2211222111 +−−−=+−ρ

[ ] { }o

ggo ApApAVAVf 60cos60cos 22112

221

21 −+−= ρ

แทนคา

( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]5.0003.030003.030999 22 −=f( )[ ]( ) ( )[ ]( )( ){ } 16495.0003.0101.02.0003.0101.03.0 66 =−−−+ N

ประเด็นสําคัญ

1. การใช continuity equation เพื่อหาคาสําคัญสําหรับใสลงใน momentum equation (ในที่นี้คือ V2) 2. เทคนิคการใช pgage แทน pabs ในกรณีที่ patm กระจายตัวเทากันทั่ว control volume 3. การแกสมการโดยแทนคาตัวแปรในรูป unit vector (ในที่นี้คือ A1 และ A2 กับเวกเตอร i)

Challenge: หากการกระจายตัวของความดัน p2 เปนแบบ linear โดยมีคาเทากับ patm ที่ขอบของแปนแลวสูงขึ้นเรื่อยๆ จนมีคาเทากับ 0.3 MPa ที่ระดับผิวน้ําดานบนสุดของลําน้ําขาออก ดังแสดงในรูปขางขวา คาแรง f จะมีคาเปนเทาใด

= 0 (1) = 0 (3)

p2g,max=0.3MPa

p2g,min = patm

t=0.1mA2

03-14

- กฏอนุรักษโมเมนตัมบน control volume ท่ีเคล่ือนที่ดวยความเร็วคงท่ี ในกรณีที่ control volume ที่เราพิจารณาเคลื่อนที่ดวยความเร็วคงที่เมื่อเทียบกับจุดอางอิงเฉื่อย (แกน XYZ ในรูปที่ 3.3) ถาหากเราตองการใหความเร็วสัมพันธแสดงตัวออกมาใหเห็นเดนชัด สมการ (03-18) หรือ (03-20) จะตองการการปรับแตงเล็กนอย โดยเริ่มตนจากการที่เราจิตนาการวาเราเคลื่อนที่ไปพรอมกับ control volume ดังนั้นความเร็วของกระแสของไหลที่เรามองเห็นจะเปนความเร็วสัมพัทธเทียบกับแกน xyz ในรูปที่ 3.3 เสมอ นั่นก็คือสมการที่ (03-18) จะถูกเขียนใหมเปน

( )xyzBSCS

xyzxyzCV

xyz FFAdVVdVt

+=⋅+∀∂∂

∫∫ ρρ (03-21)

รูปที่ 3.3 แสดงระบบแกนประกอบการเคลื่อนที่สัมพัทธระหวางแกนอางอิงเฉื่อย (XYZ) และแกนที่เคลื่อนที่ไดของ control volume (xyz)

แตจากความรูที่เราทราบมาวา ตราบใดที่ control volume ยังคงเปนแกนเฉื่อย (หยุดนิ่ง หรือ เคลื่อนที่ดวยความเร็วคงที่ ก็ตาม) ความเร็วสัมพัทธจะไมสงผลใดๆ ตอความเรงรวมทั้งแรงที่กระทําตอ control volume ดังนั้น พจนทางขวาของสมการ (03-21) จึงไมจําเปนตองระบุ subscript ของแกนไว (เนื่องจากมันมีคาเทากับคาที่เทียบกับแกนนิ่ง XYZ)

BSCS

xyzxyzCV

xyz FFAdVVdVt

+=⋅+∀∂∂

∫∫ ρρ (03-22)

สมการ (03-22) สมารถนําไปใชเพื่อคํานวณในโจทยปญหาที่มีความเร็วสัมพัทธแบบไมมีความเรงเขามาเกี่ยวของบน control volume ไดเปนอยางดี โดยมีตัวอยางดังตอไปน้ี ตัวอยาง 3.5 รถเลื่อนในตัวอยาง 3.4 แตครั้งนี้เคลื่อนที่ดวยความเร็ว 10 m/s ไปทาง +x จงหาความเร็วสัมบูรณของลําน้ําขาออกจากแปนน้ํา และคา friction ที่สามารถทําใหรถรักษาความเร็วคงที่ไวได (โดยไมคิดผลจาก body force ของลําน้ํา)

Z Y

X

CV

z y

x Vrf

VXYZ Vxyz

60o

y x

10m/s

03-15

Given: 1. ความเร็วเขาและออกของน้ํา V1 2. พ้ืนที่หนาตัดของ nozzle (A1) 3. พ้ืนที่หนาตัดของลําน้ําขาออก (A2) 4. ความดันของลําน้ําขาเขา (p1) 5. ความดันของลําน้ําขาออก (p2) 6. ความเร็วของรถเลื่อน (Vrf) Find: 1. ความเร็วสัมบูรณของลําน้ําขาออก (V2) 2. ขนาดของ friction ที่สามารถยึดรถไวได (f) Solution: 1. ใช continuity equation เพื่อคํานวณหา Vxyz2 เพราะตองใชใน momentum equation 2. แลวจึงใช momentum equation เพื่อคํานวณหา f โดยใช pgage

Governing equation: 0=⋅+∀∂∂

∫∫CS

xyzCV

AdVdt

ρρ (1)

BxSxCS

xyzxyzCV

xyz FFAdVudut

+=⋅+∀∂∂

∫∫ ρρ (2)

Assumptions: 1. Steady state 2. Incompressible flow (ρ = constant) 3. No body force พิจารณาสมการ (1) พรอม assumption (1) และ (2) จะไดสมการที่ลดรูปลงมาเปน

0=⋅∫CS

xyz AdV

02211 =+− AVAV xyzxyz

2112 AVAV xyzxyz = ( ) 2112 AVVAV rfxyz −=

( )( ) ( ) 20003.01030003.02 =−=xyzV m/s ดังนั้น

rfxyz VVV += 22

( ) iVjiV rfoo

xyzˆˆ60sinˆ60cos2 ++=

( ) iji oo ˆ10ˆ60sinˆ60cos20 ++= ( )ji oo ˆ41sinˆ41cos45.26 += m/s

V1

V2

W y

x

60o p1g

p2g

N f

Vrf

03-16

ในขณะที่สมการ (2) เมื่อพิจารณาพรอม assumption (1) และ (3) จะลดรูปลงไดเปน

∫∫ ⋅−−=⋅CSCS

xyzxyz AdipfAdVu ˆρ

เมื่อพิจารณา assumption (2) รวมดวยจะได

∫∫ ⋅−−=⋅CSCS

xyzxyz AdipfAdVu ˆρ

[ ] [ ] ( )[ ]{ }jiAipiAipfAVuAVu ooggxyzxyzxyzxyz

ˆ60sinˆ60cosˆˆˆ2211222111 +⋅+−⋅−−=+−ρ

[ ] { }o

ggxyzo

xyzxyzxyz ApApfAVVAVV 60cos60cos 2211222111 +−−−=+−ρ

[ ] { }ogg

oxyzxyz ApApAVAVf 60cos60cos 221122

212

1 −+−= ρ แทนคา

( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]5.0003.020003.01030999 22 −−=f( )[ ]( ) ( )[ ]( )( ){ } 8995.0003.0101.02.0003.0101.03.0 66 =−−−+ N

ประเด็นสําคัญ

1. การใช relative velocity ใน continuity equation และ momentum equation 2. ขอควรระวังในการคํานวณกลับไปมาระหวางความเร็วสัมบูรณและสัมพัทธ เนื่องจากเปนปริมาณเวกเตอร 3. แรงเสียดทานในตัวอยางนี้ลดลงจากกรณีที่รถเลื่อนไมเคลื่อนที่ เนื่องจากการลดลงของ momentum flux สุทธิ รอบ control volume

Challenge: จงคํานวณคา f ในกรณีที่ความเร็วของรถเลื่อนเปน 10 m/s ไปทาง –x - กฏอนุรักษโมเมนตัมบน control volume ท่ีเคล่ือนที่ดวยความเรงในแนวเสนตรง ในกรณีที่ control volume ที่เราพิจารณาเคลื่อนที่ดวยความเรงเมื่อเทียบกับจุดอางอิงเฉื่อย (แกน XYZ ในรูปที่ 3.3) ถาหากเราตองการใหปริมาณสัมพันธตางๆ แสดงตัวออกมาใหเห็นเดนชัด สมการ (03-18) หรือ (03-20) จะตองการการปรับแตงเล็กนอย โดยเริ่มตนในลักษณะเดียวกันกับการพิจารณา control volume ที่เคลื่อนที่ดวยความเร็วคงที่ ซึ่งเราจะไดสมการ (03-21) ออกมา

( )xyzBSCS

xyzxyzCV

xyz FFAdVVdVt

+=⋅+∀∂∂

∫∫ ρρ (03-21 rev.)

ในกรณีที่ control volume เคลื่อนที่ดวยความเร็วคงที่ ปริมาณแรงทางขวามือของสมการ (03-21) จะไมตองการการปรับแตงใดๆ แตในกรณีที่ control volume เคลื่อนที่ดวยความเรง พจนทางขวาของสมการดังกลาวจําตองมีการปรับแตงเพื่อใหสอดคลองกับการเคลื่อนที่ของแกน xyz ที่ครั้งนี้มิไดเปนแกนเฉื่อย (noninertial reference frame) อีกตอไป ดังแสดงในรูปที่ 3.4

03-17

รูปที่ 3.4 แสดงระบบแกนประกอบการเคลื่อนที่สัมพัทธ ระหวางแกนอางอิงเฉื่อย (XYZ) และแกนที่เคลื่อนที่ไดของ control volume (xyz)

ในกรณีอยางงายที่สุดก็คือ การเคลื่อนที่ของ control volume มีความเรงเฉพาะในแนวเสนเทานั้น (rectilinear acceleration) หรือกลาวอีกนัยหนึ่งคือ ผูสังเกตุ (control volume) หมุนไมได ซึ่งเรามีความสัมพันธวา

BABA aaa /+= หรือถาตองการเขียนใหมเพื่อใหสัญลักษณสอดคลองกับในรูปที่ 3.3 และ 3.4 ก็คือ

rfxyzXYZ aaa += ซึ่งเราสามารถปรับสมการความเรงดังกลาวใหกลับมาอยูในรูปสมการของแรงไดโดยงาย ดังนี้

rfCVxyzXYZ amFF +=

∫+=CV

rfxyz dmaF

∫ ∀+=CV

rfxyz daF ρ

∫ ∀−=CV

rfXYZxyz daFF ρ

ละ subscript XYZ ออกไป จะไดวา

∫ ∀−=CV

rfxyz daFF ρ (03-23)

แทนคาสมการ (03-23) ลงในสมการ (03-21 rev.) จะได

∫∫∫ ∀−+=⋅+∀∂∂

CVrfBS

CSxyzxyz

CVxyz daFFAdVVdV

tρρρ (03-24)

สมการ (03-24) ใชสําหรับคํานวณความสัมพันธของตัวแปรตางๆ บน control volume ที่มีความเรงเชิงเสน ซึ่งมีตัวอยางดังตอไปนี้

Z Y

X

CV

z y

x arf

aXYZ axyz

03-18

ตัวอยาง 3.6 รถเลื่อนในตัวอยาง 3.4 ขณะที่เคลื่อนที่ดวยความเร็ว 10 m/s จะมีความเรงเปน 2 m/s2 ไปทาง +x จงหามวลรวมของรถเลื่อน ถามวลของลําน้ําบนรถเลื่อนมีคาเปน 10 kg คงที่ตลอดเวลา (โดยไมคิดผลจาก friction) Given: 1. ความเร็วเขาและออกของน้ํา V1 2. พ้ืนที่หนาตัดของ nozzle (A1) 3. พ้ืนที่หนาตัดของลําน้ําขาออก (A2) 4. ความดันของลําน้ําขาเขา (p1) 5. ความดันของลําน้ําขาออก (p2) 6. ความเร็วของรถเลื่อน (Vrf) 7. ความเรงของรถเลื่อน (arf) Find: 1. มวลรวมของรถเลื่อน (M) Solution: 1. ใช continuity equation เพื่อคํานวณหา Vxyz2 เพราะตองใชใน momentum equation 2. แลวจึงใช momentum equation เพื่อคํานวณหา M โดยใช pgage

Governing equation: 0=⋅+∀∂∂

∫∫CS

xyzCV

AdVdt

ρρ (1)

∫∫∫ ∀−+=⋅+∀∂∂

CVrfxBxSx

CSxyzxyz

CVxyz daFFAdVudu

tρρρ (2)

Assumptions: 1. Incompressible flow (ρ = constant) 2. No friction

3. Neglect ∫ ∀∂∂

CVxyz du

tρ

พิจารณาสมการ (1) เนื่องจากมวลของลําน้ําบนแปนน้ําคงที่ตลอดเวลา ดังนั้น

0=⋅+∀∂∂

∫∫CS

xyzCV

AdVdt

ρρ

และดวย assumption (1) จะไดสมการที่ (1) ลดรูปลงมาเปน

60o

y x

10m/s 2m/s2

= 0 (m = constant)

CV

y x

Ax

Ay Bx

By

MgN

60o V1

V2

p1g

p2g

mg

Vrf arf

03-19

0=⋅∫CS

xyz AdV

02211 =+− AVAV xyzxyz

2112 AVAV xyzxyz = ( ) 2112 AVVAV rfxyz −=

( )( ) ( ) 20003.01030003.02 =−=xyzV m/s ในขณะที่สมการ (2) เมื่อพิจารณาพรอม assumption (1), (2) และ (3) จะลดรูปลงไดเปน

xyz xyz Sx rfxCS CV

u V dA F a dρ ρ⋅ = − ∀∫ ∫

ˆxyz xyz x rf

CS CS CV

u V dA A pi dA a dρ ρ⎛ ⎞

⋅ = − − ⋅ − ∀⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ ∫ ∫

ˆxyz xyz x rf

CS CS CV

u V dA B pi dA a dρ ρ⋅ = − − ⋅ − ∀∫ ∫ ∫

ˆxyz xyz rf rf

CS CS

u V dA Ma pi dA maρ ⋅ = − − ⋅ −∫ ∫

( )ˆxyz xyz rf

CS CS

u V dA pi dA M m aρ ⋅ = − ⋅ − +∫ ∫

จัดรูปใหมได

( ) ˆrf xyz xyz

CS CS

M m a u V dA pi dAρ+ = − ⋅ − ⋅∫ ∫

( ) { }1 1 1 2 2 2 1 1 2 2cos 60 cos 60o orf xyz xyz xyz xyz g gM m a V V A V V A p A p Aρ ⎡ ⎤+ = − + −⎣ ⎦

แทนคา

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2 210 2 999 30 10 0.003 20 0.003 0.5M ⎡ ⎤+ = − −⎣ ⎦( )[ ]( ) ( )[ ]( )( ){ }5.0003.0101.02.0003.0101.03.0 66 −−−+

440M = kg

ประเด็นสําคัญ 1. การใช relative acceleration ใน momentum equation 2. ขอควรระวังในการใชงานสมการ momentum equation เมื่อพิจารณา relative acceleration รวมดวย ตองพิจารณา CV ของของไหลแยกออกจากวัตถุเนื่องจากทั้งคูมีความเรงตางกัน

Challenge: จงหาคาความเรงของน้ําบนรถ หากกําหนดใหมวลน้ําบนรถปจจุบันเทากับ 10 kg แตไมคงที่, Vxyz2 = 15 m/s และ M = 440 kg สมการเบอรนูลี (Bernoulli equation)

กอนที่จะกาวไปที่ basic equation ตัวถัดไป ในหัวขอยอยนี้จะแทรกความรูเกี่ยวกับสมการที่เปนที่นิยมใชงานตัวสําคัญตัวหนึ่ง นั่นคือ สมการเบอรนูลี (Bernoulli equation) ซึ่งสามารถสรางขึ้นมาไดจากการ

03-20

รวมกันของสมการ continuity equation และ momentum equation ซึ่งเราไดคุนเคยกับการใชงานมาแลวในหัวขอกอนหนา การสราง Bernoulli equation นั่นเริ่มจากการพิจารณาการไหลในสนาม flow field อันหนึ่ง หากเราเลือกสราง control volume โดยใหผิวดานขางของมันขนานไปกับ streamline เราจะได control volume ดังในรูปที่ 3.5

รูปที่ 3.5 control volume ที่มีผิวขนานไปกับ streamlines และคาพารามิเตอรโดยรอบ กําหนดใหสภาวะการไหลเปนแบบ 1. steady state (ไมขึ้นกับเวลา) 2. flow along streamlines (ไมมีการไหลตัดผานดานขางของ control volume) 3. incompressible flow (เปนการไหลแบบอัดตัวไมได) 4. frictionless (ไมมีแรงเสียดทานที่ผิว control volume) สมการ continuity equation (03-15) จะลดรูปลงมาเปน

0=⋅+∀∂∂

∫∫CSCV

AdVdt

ρρ

เนื่องจากไมมีการไหลผานดานขางของ control volume ตาม assumption (2) และคาความหนาแนนเปนคาคงที่ตาม assumption (3) ดังนั้นสมการอินทิกรอลจะกระจายออกมาเปน ( ) ( )( ) 0=+++− dAAdVVAV SSS ρρ เนื่องจากคาความหนาแนนเปนคาคงที่ จึงละออกไปไดโดยไมมีผลตอสมการ ( ) ( )( ) 0=+++− dAAdVVAV SSS กระจายผลคูณออกมาไดเปน

( )( ) 0=++ dAdVAdVdAV SSS

= 0 (1)

3D

(ก)

CV

S

z

p ρ

VS A

p+dp ρ+dρ

VS +d VS

A+dA

p+dp/2 ρ+dρ/2

VN = 0 dA/2

Side view

(ข)

z

03-21

ละพจนที่เปนผลคูณของ differential ออกไปเนื่องจากมีคานอยมากเมื่อเทียบกับคาอื่น จะได 0=+ SS AdVdAV (03-25)

สําหรับ momentum equation (03-18) จะลดรูปลงมาเปน

BSCSCV

FFAdVVdVt

+=⋅+∀∂∂

∫∫ ρρ

เนื่องจากไมมีการไหลผานดานขางของ control volume ตาม assumption (2) และคาความหนาแนนเปนคาคงที่ตาม assumption (3) ดังนั้นสมการอินทิกรอลจะกระจายออกมาเปน

( ) ( ) ( )( ) BSSSSSSS FFdAAdVVdVVAVV +=++++− ρρ ละพจนที่เปนผลคูณของ differential ออกไปเนื่องจากมีคานอยมากเมื่อเทียบกับคาอื่น จะได

( ) BSSSS FFAdVdAVV +=+ 2ρ แรง surface force จะเกิดขึ้นจากแรงดันเทานั้น เนื่องจากไมมี friction บนผิวดานขางของ control volume ตาม assumption (4)

( ) ( )( ) ( )[ ] BSSS FdAdppdAAdpppAAdVdAVV +++++−=+ 2/2ρ

BFAdp +−= ในสวนของ body force ก็สามารถเขียนออกมาไดเปน

( ) ( )dzdAAgAdpAdVdAVV SSS 22 +−−=+ ρρ gAdzAdp ρ−−=

นําสมการ (03-25)x(ρVS ) มาหักออกจากสมการขางตน จะได

( ) gAdzAdpAdVV SS ρρ −−= จัดรูปสมการใหมเปน

021 2 =++ gdzdVdp

Sρ

และอินทิเกรตซ้ํา จะไดสมการสุดทายเปน

constant21 2 =++ gzVp

Sρ (03-26)

สมการ (03-26) มีช่ือเรียกวา Bernoulli equation ซึ่งนิยมใชงานอยางกวางขวาง เนื่องจากใชงานไดงาย เพียงแตตองระวังขอจํากัดของสมการอันเนื่องมาจาก assumption ทั้ง 4 ขอที่ไดกลาวไวขางตนเพียงเทานั้น ตัวอยางการใชงาน Bernoulli equation มีดังนี้

= 0 (1)

03-22

ตัวอยาง 3.7 น้ํามันมีคาความหนาแนนเปน 800 kg/m3 อยูใน hopper ระบบเปดที่มีมิติดังแสดงในรูป หากน้ํามันถูกเติมเขามาอยางชาๆ ดวยอัตรา 10 m3/s จงออกแบบ ขนาดของเสนผานศูนยกลางของชองทางออกทางดานลางของ hopper ตัวนี้ เพื่อรักษาระดับของน้ํามันใน hopper ใหคงที่ตลอดเวลาที่ระดับ h กําหนดให D = 3m H = 10m L = 2m h = 8m Given: 1. Dimension ของ hopper (D และ L) 2. ระดับของน้ํามันที่ที่ตองรักษาไว (h) 3. ความหนาแนนของน้ํามัน (ρ) 4. อัตราการเติมเต็มของน้ํามัน (Q) Find: 1. เสนผานศูนยกลางชองทางออก (d) Solution: 1. คํานวณดวย Bernoulli equation โดยตัด control volume เฉพาะชวงกรวยมาใชงาน 2. คํานวณความเร็วของน้ํามันที่ sectional area ตางๆ ดวย Q และ เสนผานศูนยกลางที่ทราบ

Governing equation: constant21 2 =++ gzVp

Sρ (1)

Assumptions: 1. Steady flow 2. No friction 3. Flow along a streamline 4. Incompressible flow พิจารณาสมการ (1) ที่หนาตัดดานบน

C21

12

11 =++ gzV

pg

ρ

ในกรณีที่การไหลจากระดับผิวของน้ํามันมายังจุดสูงสุดของกรวย ไมมีการเปลี่ยนแปลงความเร็ว และ ไมมี friction จะไดวา pg1 = ρgh

C421

1

2

2 =+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+ gz

DQgh

π (2)

z

D

h

H

d

L

z p2g = 0 V2 = Q/A2

L

p1g = ρgh V1 = Q/A1

03-23

พิจารณาสมการ (1) อีกครั้งที่หนาตัดดานลาง

C4210 2

2

2 =+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+ gz

dQ

π (3)

(2) – (3) จะได

2

2

21

2

2

4214

21 gz

dQgz

DQgh +⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+

ππ

( )21

2

2

2

2 2424 zzgDQgh

dQ

−+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

ππ

gLDQgh

dQ 2424 2

2

2

2 +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

ππ

แทนคา

( )( ) ( )( )

( )( )281.923104881.924

2

2

2

2 +⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

ππdQ

( ) 2.198104 2

2 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

dπ

95.0=d m

ประเด็นสําคัญ 1. การใช Bernoulli equation 2. การคํานวณคาความเร็วจาก Q ที่กําหนดให 3. ขอควรระวังในการแทนคา Δz

Challenge: จงหาคา Q ในกรณีที่ d = 0.5 m กฏอนุรักษพลังงาน (Conservation of energy)

สมการตัวถัดมาถูกสรางขึ้นมาโดยอาศัยกฏการอนุรักษพลังงานในเรื่อง basic equations และ การสรางสมการ differential equation สําหรับ control volume ดังนี้ Basic equation (conservation of energy)

WQdtdE

system

−=⎟⎠⎞ (03-04 rev.)

เมื่อ ∀= dedE ρ และ gzVue ++= 22 Differential equation for control volume

∫∫ ⋅+∀∂∂

=⎟⎠⎞

CSCVsystem

AdVdtdt

dN ηρηρ (03-13 rev.)

03-24

และตามขอมูลประกอบสมการที่ (03-05) เมื่อ EN = จะได e=η นั่นคือ

∫∫ ⋅+∀∂∂

=⎟⎠⎞

CSCVsystem

AdVedetdt

dE ρρ (03-27)

แทนคาสมการ (03-17) ลงใน (03-04 rev.) จะได

WQAdVedet CSCV

−=⋅+∀∂∂

∫∫ ρρ (03-28)

คา Q ทางขวาของสมการ (03-28) คืออัตราการถายเทความรอนใหแก control volume โดยจะมีคาเปนบวกเมื่อความรอนไหลเขา control volume และสําหรับกําลังงาน W ทางขวาของสมการ (03-28) หมายถึงอัตราของงาน (work) ที่ control volume กระทําใหสิ่งแวดลอม โดยงานดังกลาวจะถูกแบงออกเปน 4 ประเภท กลาวคือ

1. shaft work (Ws): หมายถึงงานที่กระทําโดยเพลาของเครื่อง turbomachines ตางๆ 2. work done by normal stresses (Wnormal): มีสูตรคํานวณดังนี้

( ) ( )sFdWd normalnormal ⋅= เมื่อ s คือระยะที่แรงเคลื่อนไปกับของไหล และคํานวณตอไปได

( ) ( )VFdWd normalnormal ⋅=

( ) ( )VAdWd nnnormal ⋅−= σ

∫ ⋅−=CS

nnnormal AdVW σ เมื่อกําหนดใหเปนการอินทิเกรตบนผิวของ control volume

3. work done by shear stresses (Wshear): ในตอนนี้ยังไมลงในรายละเอียดการคํานวณ 4. other work (Wother): หมายถึงงานอื่นๆ ที่อยูนอกเหนือจากที่กลาวมาขางตน

จากการแบงประเภทของงาน (และกําลังงาน) ดังกลาวทําใหสมการ (03-28) ปรับมาอยูในรูป

othershearCS

nnsCSCV

WWAdVWQAdVedet

−−⋅+−=⋅+∀∂∂

∫∫∫ σρρ

othershearsCS

nn

CV

WWWQAdVedet

−−−=⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+∀

∂∂

∫∫ ρρ

σρ

ในกรณีที่อิทธิพลของความหนืดมีคานอยมาก pnn −≈σ

othershearsCSCV

WWWQAdVpedet

−−−=⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++∀

∂∂

∫∫ ρρ

ρ

แทนคา gzVue ++= 22 จากขอมูลประกอบสมการ (03-04)

othershearsCSCV

WWWQAdVgzVpudet

−−−=⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++++∀

∂∂

∫∫ ρρ

ρ2

2

(03-29)

หรือในรูปของ enthalpy (h = u + pv)

othershearsCSCV

WWWQAdVgzVhdet

−−−=⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++∀

∂∂

∫∫ ρρ2

2

(03-30)

03-25

*หมายเหตุเตือนความจํา: u = CvΔT

h = CpΔT Cp = Cv + R

สมการ (03-29) หรือ (03-30) มีช่ือเรียกวา energy equation ซึง่มีตัวอยางดังตอไปนี้ ตัวอยาง 3.8 อากาศที่ 14.7 psia, 70oF ไหลเขาสูคอมเพรสเซอรที่รักษาอุณหภูมิไวที่ 100oF ตลอดเวลาดวยความเร็วตํ่าประมาณศูนย และถูกปลอยออกที่สภาวะ 50 psia, 100oF ผานทอทางออกที่มีพ้ืนที่หนาตัด 1 ft2 ดวยความเร็ว 50 ft/s ถาอัตราการไหลเขาของอากาศเปน 20 lbm/s และมีการใสกําลังงานเขาสูคอมเพรสเซอรในอัตรา 600 hp จงหาคาอัตราการเปลี่ยนแปลงของ มวลอากาศภายในคอมเพรสเซอรและความรอนที่คอมเพรสเซอรคายใหกับสิ่งแวดลอม Given: 1. Air inlet condition (p, V, T, m ) 2. Air outlet condition (p, V, T, A) 3. กําลังงานที่ใหแกคอมเพรสเซอร (-W ) 4. ความจุของคอมเพรสเซอร (TCV) Find: 1. อัตราการเปลี่ยนแปลงของมวลในคอมเพรสเซอร ( CVm ) 2. ความรอนที่คอมเพรสเซอรคายออกมา (-Q ) Solution: 1. คํานวณ CVm ดวย continuity equation 2. คํานวณ Q ดวย energy equation

Governing equation: 0=⋅+∀∂∂

∫∫CSCV

AdVdt

ρρ (1)

othershearsCSCV

WWWQAdVgzVhdet

−−−=⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++∀

∂∂

∫∫ ρρ2

2

- (2) Assumptions: 1. คุณสมบัติตางๆ กระจายตัวแบบ uniform ที่ inlet, outlet และใน CV 2. อากาศเปน ideal gas (p = ρRT) 3. หนาตัด 1 และ 2 ต้ังฉากกับความเร็ว ( 0=shearW ) 4. ไมมีงานอื่นๆ ( 0=otherW ) 5. ไมคิดผลจากระดับความสูงของทอ inlet กับ outlet (z1 = z2 = 0)

p1 = 14.7 psia V1 ~ 0.0 ft/s T1 = 70oF m1 = 20 lbm/s

p2 = 50 psia V2 = 50.0 ft/s T2 = 100oF A2 = 1 ft2

12

CV

TCV = 100oF

03-26

พิจารณาสมการ (1) รวมกับ assumption (1) และ (2) จะไดวา

( ) ( )[ ] 021 =+−+ VAVAmCV ρρ ( ) ( )21 VAVAmCV ρρ −=

21 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−= VA

RTpm ( )

( )( ) ( )( )2

2

1504601003.53

125020 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

×−= 9.71.1220 =−= lbm/s

พิจารณาสมการ (2) รวมกับ assumption (1) - (5) จะไดวา

sCV

WQVAVhVAVhdet

−=⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−+∀

∂∂

∫2

2

1

2

22ρρρ

กําหนดใหความเร็วของอากาศภายใน CV มีคาประมาณศูนยเชนเดียวกับทางเขา

sCV

WQVAVhVAVhdut

−=⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−+∀

∂∂

∫2

2

1

2

22ρρρ

sppCV

v WQRTpVAVTCmVTCdTC

t−=

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−∀

∂∂

∫2

2

1

2

22ρ

sppCV

CVv WQRTpVAVTCmVTCd

tTC −=

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−∀

∂∂

∫2

2

1

2

22ρ

sppCVCVv WQRTpVAVTCmVTCmTC −=

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

2

2

1

2

22

( )( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

2

2

1

2

1.127782.32

502156024.020

2053024.09.756017.0

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−−=

778550600Q

{ } ( )42416272544752 −−=−− Q 589−=Q

ดังนั้นคอมเพรสเซอรคายความรอนสูสิ่งแวดลอมเทากับ 589 Btu/s

ประเด็นสําคัญ 1. การใช continuity equation รวมกับ energy equation 2. การพิจารณา unsteady terms 3. การพิจารณา compressibility รวมกับ equation of state (p = ρRT) 4. การเลือกใช Cv และ Cp 5. เครื่องหมายของ Q และ W

Challenge: ถาหากสามารถหยุดการคายความรอนไดในทันที จงหาอัตราการเพิ่มขึ้นของ TCV ณ เวลานั้น