03 números proporcionais

Emerson Marcos FurtadoMestre em Métodos Numéricos pela Univer-

sidade Federal do Paraná (UFPR). Graduado em Matemática pela UFPR. Professor do Ensino Médio nos estados do Paraná e Santa Catari-na desde 1992. Professor do Curso Positivo de Curitiba desde 1996. Professor da Universidade Positivo de 2000 a 2005. Autor de livros didáticos destinados a concursos públicos nas áreas de ma-temática, matemática financeira, raciocínio lógico e estatística. Sócio-diretor do Instituto de Pes-quisas e Projetos Educacionais Praxis de 2003 a 2007. Professor sócio do Colégio Positivo de Join-ville desde 2006. Sócio-diretor da Empresa Teore-ma – Produção de Materiais Didáticos Ltda. desde 2005. Autor de material didático para sistemas de ensino do Grupo Positivo de 2005 a 2009. Pro-fessor do Concursos e Editora de Curitiba (CEC) desde 1992, lecionando as disciplinas de raciocí-nio lógico, estatística, matemática e matemática financeira. Consultor da Empresa Result – Con-sultoria em Avaliação de Curitiba de 1998 a 2000.Consultor em Estatística Aplicada com projetos de pesquisa desenvolvidos nas áreas socioeconômi-ca, qualidade, educacional, industrial e eleições desde 1999. Membro do Instituto de Promoção de Capacitação e Desenvolvimento (Iprocade) desde 2008. Autor de questões para concursos públicos no estado do Paraná desde 2003.

Este material é parte integrante do acervo do IESDE BRASIL S.A., mais informações www.iesde.com.br

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Números proporcionais

Razão e proporçãoO escambo é a mais antiga prática comercial do mundo. Nela, as pesso-

as trocam um produto por outro considerando uma equivalência subjetiva de valor. Assim, por exemplo, quando uma criança troca com o colega um brinquedo caro por outro de menor valor, apenas por desejá-lo muito, está praticando uma forma de escambo.

Algumas palavras que hoje nos são familiares são provenientes dessa prá-tica. Apenas para registrar, podemos citar o termo capital (patrimônio) deri-vado do latim capita, que significa cabeça, e a palavra salário, que provém da utilização do sal, em Roma, como pagamento de serviços prestados.

Razão

A razão entre dois números é o quociente do primeiro pelo segundo. Dessa forma, a razão entre os números a e b, nessa ordem, em que b é dife-rente de zero, é o quociente,

a

b

O termo a é chamado de antecedente e o termo b é chamado de conse-quente da razão.

Lê-se a razão a

b como “a está para b”.

Proporção

Denomina-se proporção a igualdade entre duas ou mais razões.

A igualdade

a

b = c

dé uma proporção. Os termos a e d são os extremos, enquanto os termos b

e c são os meios da proporção.


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Propriedades de uma proporção

As propriedades destacadas a seguir são verificadas em qualquer proporção.

1.ª Propriedade

Em toda proporção, o produto dos extremos é igual ao produto dos meios:

a

b = c

d ⇒ a . d = b . c

2.ª Propriedade

Em toda proporção, a razão não se altera quando se adicionam (ou se subtraem), na mesma ordem, os antecedentes e os consequentes correspon-dentes.

a

b = c

d = a + c

b + d ou a

b = c

d = a – c

b – d

Regra de três

Regra de três simples

A regra de três simples é um processo prático para resolver problemas que envolvem duas grandezas direta ou inversamente proporcionais. Esse processo consiste dos seguintes passos:

reunir em uma coluna as grandezas de igual espécie e com a mesma �unidade de medida;

analisar as grandezas e classificá-las como diretamente ou inversa- �mente proporcionais;

obter a proporção correspondente e solucioná-la. �

Grandezas diretamente proporcionais

Duas grandezas são classificadas como diretamente proporcionais quando, aumentando (ou diminuindo) uma delas, a outra aumenta (ou di-minui) na mesma proporção.



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Grandezas inversamente proporcionais

Duas grandezas são classificadas como inversamente proporcionais quando, aumentando (ou diminuindo) uma delas, a outra diminui (ou au-menta) na proporção inversa.

Exemplo 1:

Se 10m de tecido custam R$ 600,00, qual o preço de 25m de tecido?

Tecido Custo10 m 60025 m x

As grandezas são diretamente proporcionais, logo:

10

25 = 600

x

10x = 25 . 600

x = 1 500

Portanto, o custo de 25m de tecido seria R$1.500,00.

Exemplo 2:

Uma obra é construída por 12 operários em 90 dias. Em quantos dias essa obra será construída por 36 operários?

Operários Tempo12 90 dias36 x

As grandezas são inversamente proporcionais, ou seja:

36

12 = 90

x

36x = 12 . 90

x = 30

Assim, a obra será construída em 30 dias.


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Regra de três composta

A regra de três composta é um processo prático utilizado na resolução de problemas que envolvem mais de duas grandezas, inversa ou diretamente proporcionais. Esse processo consiste nos seguintes passos:

reunir em uma coluna as grandezas de igual espécie e com a mesma �unidade de medida;

analisar as grandezas duas a duas, em relação à que possui a incógnita, �a fim de verificar se são direta ou inversamente proporcionais;

obter a proporção correspondente e solucioná-la. �

Exemplo:

Uma casa é construída em 12 dias por 40 operários que trabalham 9 horas por dia. Em quantos dias 24 operários, trabalhando 5 horas por dia, poderão construir a mesma casa?

Dias Operários Horas12 40 9x 24 5

12

x = 24

40 . 5

9

12

x = 120

360

120x = 4 320

x = 36

Assim, serão necessários 36 dias.

Porcentagem

Razão centesimal

As razões cujos consequentes são iguais a 100 são chamadas razões centesimais.



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Porcentagem

Porcentagem ou percentagem é uma razão centesimal representada pelo símbolo “%”, que significa por cento.

Exemplos:

37% = � 37

100 = 0,37

100% = � 100

100 = 1

119% = � 119

100 = 1,19

Os números anteriores foram representados por meio de uma taxa por-centual, uma razão centesimal e um número decimal, nessa ordem. Qualquer uma dessas formas pode ser utilizada para representar uma porcentagem.

Observação:

Os problemas que envolvem porcentagem são resolvidos pelo mesmo processo de regra de três simples, onde as grandezas são diretamente proporcionais.

Exemplo:

Um objeto foi comprado por R$3.100,00 e revendido por R$3.472,00. De-termine o percentual de lucro em relação ao custo.

R$ %3.100 100372 x

3 100

372 = 100

x

3 100x = 372 . 100

x = 12

Portanto, o percentual de lucro sobre o custo foi de 12%.


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Observação:

Para aumentar (ou diminuir) certa quantidade genérica x, sem utilizar ne-cessariamente uma regra de três, basta multiplicar x por um fator de acordo com o aumento (ou redução).

Exemplos:

Para aumentar x em 37%, basta multiplicar x por 1,37:

x + 37% . x = (1 + 0,37) . x = 1,37 . x → aumento de 37%.

Para reduzir x em 6%, basta multiplicar x por 0,94:

x – 6% . x = (1 – 0,06) . x = 0,94 . x → redução de 6%.

Dica de estudoA primeira ideia que deve ser dominada quando estudamos regra de três

é identificar se duas grandezas são diretamente ou inversamente proporcio-nais. Uma vez dominado esse conceito, procure praticar resolvendo muitos exercícios. Não apenas os problemas que envolvem números proporcionais, mas, sobretudo, os relacionados à porcentagem serão resolvidos com mais facilidade.

Resolução de questões1. (FCC) Sabe-se que 10 máquinas, todas com a mesma capacidade ope-

racional, são capazes de montar 100 aparelhos em 10 dias, se funciona-rem ininterruptamente 10 horas por dia. Nessas condições, o número de aparelhos que poderiam ser montados por 20 daquelas máquinas, em 20 dias de trabalho e 20 horas por dia de funcionamento ininterrupto, é:

a) 100

b) 200

c) 400

d) 600

e) 800



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2. (FCC) Três analistas judiciários – Aurélio, Benício e Custódio – foram in-cumbidos de implantar um sistema informatizado de processamento de informações. Sabe-se que, individualmente, Aurélio levaria 3 horas para cumprir tal tarefa, enquanto que, sozinho, Benício levaria 6 horas. Então, considerando que, juntos, os três gastaram 1 hora e 30 minutos para implantar o sistema, quantas horas Custódio, sozinho, levaria para implantá-lo?

a) 2

b) 4

c) 6

d) 8

e) 10

3. (FCC) Das 96 pessoas que participaram de uma festa de confraternização dos funcionários do Departamento Nacional de Obras Contra as Secas, sabe-se que 75% eram do sexo masculino. Se, num dado momento an-tes do término da festa, foi constatado que a porcentagem dos homens havia se reduzido a 60% do total das pessoas presentes, enquanto que o número de mulheres permaneceu inalterado, até o final da festa, então a quantidade de homens que haviam se retirado era:

a) 36

b) 38

c) 40

d) 42

e) 44

4. (FCC) Um comerciante comprou 94 microcomputadores de um mesmo tipo e, ao longo de um mês, vendeu todos eles. Pela venda de 80 desses micros ele recebeu o que havia pago pelos 94 que havia comprado e cada um dos 14 micro restantes foi vendido pelo mesmo preço de venda de cada um dos outros 80 . Relativamente ao custo dos 94 micros, a porcen-tagem de lucro do comerciante nessa transação foi de:


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a) 17,5%

b) 18,25%

c) 20%

d) 21,5%

e) 22%

5. (FCC) Um escritório dispõe de duas copiadoras A e B, tais que operando sozinha, A é capaz de tirar n cópias de um texto em 8 horas de trabalho ininterrupto e B tem 80% da capacidade operacional de A. Essas máquinas foram acionadas simultaneamente num mesmo instante, a fim de tirar as n cópias de tal texto e, após funcionarem juntas e ininterruptamente por 4 horas, foram desligadas. É correto afirmar que, ao serem desligadas,

a) o trabalho estava concluído.

b) haviam sido tiradas 4/5 das n cópias.

c) 20% das n cópias ainda deveriam ser tiradas para que o trabalho fosse concluído.

d) haviam sido tiradas 3/8 das n cópias.

e) 10% das n cópias ainda deveriam ser tiradas para que o trabalho fosse concluído.

6. (Esaf ) Durante uma viagem para visitar familiares com diferentes hábitos alimentares, Alice apresentou sucessivas mudanças em seu peso. Primei-ro, ao visitar uma tia vegetariana, Alice perdeu 20% de seu peso. A se-guir, passou alguns dias na casa de um tio, dono de uma pizzaria, o que fez Alice ganhar 20% de peso. Após, ela visitou uma sobrinha que estava fazendo um rígido regime de emagrecimento. Acompanhando a sobri-nha em seu regime, Alice também emagreceu, perdendo 25% de peso. Finalmente, visitou um sobrinho, dono de uma renomada confeitaria, vi-sita que acarretou, para Alice, um ganho de peso de 25%. O peso final de Alice, após essas visitas a esses quatro familiares, com relação ao peso imediatamente anterior ao início dessa sequência de visitas, ficou:

a) exatamente igual.

b) 5% maior.



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c) 5% menor.

d) 10% menor.

e) 10% maior.

7. (FCC) Na compra de um lote de certo tipo de camisa para vender em sua loja, um comerciante conseguiu um desconto de 25% sobre o valor a ser pago. Considere que:

se não tivesse recebido o desconto, o comerciante teria pago R$20,00 �por camisa;

ao vender as camisas em sua loja, ele pretende dar ao cliente um des- �conto de 28% sobre o valor marcado na etiqueta e, ainda assim, obter um lucro igual a 80% do preço de custo da camisa.

Nessas condições, o preço que deverá estar marcado na etiqueta é:

a) R$28,50

b) R$35,00

c) R$37,50

d) R$39,00

e) R$41,50

8. (Cesgranrio) Certa loja ofereceu, de 1 a 10 de fevereiro, 20% de desconto em todas as mercadorias, em relação ao preço cobrado em janeiro. Pen-sando em vender mais, o dono da loja resolveu aumentar o desconto e, de 11 a 20 de fevereiro, este passou a ser de 30% em relação ao preço de janeiro. Uma pessoa pagou, no dia 9 de fevereiro, R$72,00 por certa mercadoria. Quanto ela pagaria, em reais, pela mesma mercadoria se a compra fosse feita em 12 de fevereiro?

a) 27,00

b) 56,00

c) 61,20

d) 63,00

e) 64,80


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9. (Cesgranrio) João vendeu dois rádios por preços iguais. Um deles foi ven-dido com lucro de 20% sobre o preço de custo e o outro com prejuízo de 20% sobre o preço de custo. No total, em relação ao capital investido, João:

a) lucrou 4%.

b) lucrou 2%.

c) perdeu 4%.

d) perdeu 2%.

e) não lucrou nem perdeu.

10. (Cesgranrio) Em um estado onde três candidatos concorreram ao cargo de governador, as pesquisas realizadas antes do primeiro turno das elei-ções apresentaram os resultados a seguir.

Intenção de voto – 1.º turno

Candidato A 32% 34% 38% 36% 35% 35%

Candidato B 24% 22% 25% 25% 26% 27%

Candidato C 14% 19% 21% 22% 26% 22%

Data 01/ago. 17/ago. 31/ago. 07/set. 21/set. 29/set.

Em brancos/nulos = 11%

Indecisos = 5%

Considerando-se que, na pesquisa de 29/set. foram entrevistadas 2 000 pessoas, quantas disseram que pretendiam votar no candidato B?

a) 700

b) 660

c) 540

d) 440

e) 350



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ReferênciasBOYER, Carl B. História da Matemática. 12. ed. São Paulo: Edgard Blücher Ltda., 1996.

GAERTNER, Rosinete (Org.). Tópicos de Matemática para o Ensino Médio. Blu-menau: FURB. (Coleção Aritthmos 2.)

LIMA, Elon L. Meu Professor de Matemática e outras Histórias. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática. (Coleção do Professor de Matemática.)

LIMA, Elon L. et al. A Matemática do Ensino Médio. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática, 2001. v. 1.

LINTZ, Rubens G. História da Matemática. Blumenau: FURB, 1999. v. 1.

TAHAN, Malba. O Homem que Calculava. 40. ed. Rio de Janeiro: Record, 1995.

Gabarito1. Vamos organizar as informações em colunas de acordo com as diferentes

grandezas envolvidas:

Máquinas Aparelhos Dias Horas/dia10 100 10 1020 x 20 20

As grandezas aparelhos e máquinas são diretamente proporcionais, pois ao aumentarmos a quantidade de máquinas teríamos, em correspondên-cia, aumento no número de aparelhos. Logo, vamos indicar essa relação direta por meio de duas flechas no mesmo sentido, sendo que o sentido é arbitrário.


As grandezas aparelhos e dias são diretamente proporcionais, pois ao aumentarmos a quantidade de dias teríamos, em correspondência, au-mento no número de aparelhos. Assim, vamos indicar essa relação direta


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por meio de duas flechas no mesmo sentido, sentido esse já escolhido na relação anterior.


As grandezas aparelhos e horas por dia são também diretamente propor-cionais, pois ao aumentarmos a quantidade de horas por dia de trabalho teríamos, em correspondência, aumento no número de aparelhos. Des-sa forma, vamos indicar essa relação direta por meio de duas flechas no mesmo sentido.


Com as relações já destacadas, vamos montar a proporção:

100

x =

10

20 .

10

20 .

10

20

100

x =

1

8

x = 800

Logo, 800 aparelhos seriam montados.

Resposta: E

2. Se Aurélio consegue sozinho implantar o sistema em 3 horas, então a cada hora, 1/3 do sistema seria implantado. Benício consegue sozinho implantar o sistema em 6 horas. Assim, a cada hora 1/6 do sistema se-ria implantado. Vamos supor que Custódio consiga implantar sozinho o sistema em x horas, ou seja, a cada hora ele conseguiria implantar 1/x do sistema. Se os três juntos conseguiriam implantar o sistema em 1h e 30min, ou seja, 1,5h, então a cada hora os três conseguiriam implantar 1/1,5. Dessa forma, pode-se escrever:



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1/3 + 1/6 + 1/x = 1/1,5

Multiplicando todos os termos por 6x, temos:

2x + 1x + 6 = 4x

4x – 3x = 6

x = 6

Logo, Custódio conseguiria sozinho implantar o sistema em exatamente 6 horas.

Resposta: C

3. Inicialmente 75% das 96 pessoas eram do sexo masculino, ou seja, 0,75. 96 = 72 pessoas. Logo, 96 – 72 = 24 eram do sexo feminino. Se em de-terminado momento o percentual de pessoas do sexo masculino se re-duziu a 60%, então 40% das pessoas eram do sexo feminino. Se a quan-tidade de pessoas do sexo feminino se manteve inalterada durante a festa, então as 24 pessoas do sexo feminino devem corresponder a 40% das pessoas presentes no momento. Sendo P a quantidade de pessoas após a saída de algumas pessoas do sexo masculino, então:

40% 24

100% P

40 . P = 100 . 24

40P = 2 400

P = 60

Assim, a quantidade total de pessoas era igual a 60.

Logo, 96 – 60 = 36 pessoas do sexo masculino haviam se retirado.

Resposta: A

4. Se os 80 microcomputadores foram vendidos pelo mesmo preço dos 94, então o ganho foi de 94 – 80 = 14 computadores em relação aos 80 com-putadores, ou seja:

80 100%

14 x


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80x = 14 . 100

x = 1 400/80

x = 17,5

Logo, 17,5% foi a porcentagem de lucro.

Resposta: A

5. Se a copiadora A sozinha realiza o trabalho em 8 horas, então em 4 horas exatamente 4/8 do trabalho haviam sido realizados, ou seja, 50%.

A copiadora B tem 80% da capacidade operacional de A. Logo, nessas mesmas 4 horas, B realizou 80% do trabalho de A, ou seja, 0,80. 50% = 40%.

Portanto, ambas as copiadoras realizaram em 4 horas exatamente 50% + 40% = 90% do trabalho a ser realizado, de modo que 10% das n cópias ainda deveriam ser tiradas para que o trabalho fosse concluído.

Resposta: E

6. Seja P o peso inicial de Alice. Então se ela:

ganha 20% de peso, seu novo peso é o anterior multiplicado por �(1 + 0,20) = 1,20;

perde 20% de peso, seu novo peso é o anterior multiplicado por �(1 – 0,20) = 0,80;

perde 25% de peso, seu novo peso é o anterior multiplicado por �(1 – 0,25) = 0,75;

ganha 25% de peso, seu novo peso é o anterior multiplicado por �(1 + 0,25)= 1,25.

Assim, se ela iniciou com peso P, ganhou 20%, perdeu 20%, perdeu 25% e, finalmente, ganhou 25%, nessa ordem, então o peso final dela é igual a:

P . 1,20 . 0,80 . 0,75 . 1,25 = 0,90 . P

Assim, como 1P – 0,90P = 0,10P, conclui-se que o peso final é 10% menor do que o inicial.

Resposta: D



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7. Se o comerciante teria pago R$20,00 por camisa, sem desconto, então com o desconto de 25% o preço pago por camisa deve ser igual a:

(1 – 0,25) . 20 = 0,75 . 20 = 15 reais

Se o lucro deve ser de 80% do preço de custo, então o valor de venda deveria ser igual a:

15 . (1 + 0,80) = 15 . 1,80 = 27 reais

Entretanto, como ele ainda gostaria de dar um desconto de 28% sobre o preço da etiqueta, então o preço de etiqueta deve ser X tal que:

X . (1 – 0,28) = 27

X . 0,72 = 27

X = 27/0,72

X = 37,50

Resposta: C

8. O valor pago igual a R$72 foi obtido após desconto de 20%. Assim, o valor sem desconto, representado por A, é igual a:

A . (1 – 0,20) = 72

0,80 . A = 72

A = 72/0,80

A = 90

Se a compra fosse efetuada dia 12 de fevereiro, o desconto seria igual a 30% sobre 90 reais. Logo, o valor da compra com o desconto de 30%, representado por B, é igual a:

B = 90 . (1 – 0,30)

B = 90 . 0,70

B = 63

Assim, essa pessoa pagaria R$63.

Resposta: D


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9. Vamos supor que João tenha gasto cem reais em cada rádio. Se um deles foi vendido com um lucro de 20% sobre o preço de custo, então foi vendi-do por:

(1 + 0,20) . 100 = 120 reais

Se o outro foi vendido com um prejuízo de 20% sobre o preço de custo, então foi vendido por:

(1 – 0,20) . 100 = 80 reais

O total arrecadado com os dois rádios foi 120 + 80 = 200, mesmo valor desembolsado para a compra dos dois rádios. Logo, João não lucrou nem perdeu.

Resposta: E

10. O candidato B, na pesquisa de 29/set., apresentou 27% das intenções de voto em um universo de 2 000 eleitores. Logo, a quantidade de pessoas que disseram votar em B é dada por:

0,27 . 2 000 = 540

Resposta: C


03 números proporcionais

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