0331

單元1 直線方程式 1

1

1. 象限與坐標的正負：

直角坐標平面上，水平坐標軸 x與垂直坐標軸 y，將坐標平面分成四個象限。

(1) x軸與 y軸的交點為O，稱為直角坐標平面的原點。

(2) 坐標軸上的點不屬於任一象限。

x軸 ( ){ },0 |a a= ∈� ， y軸 ( ){ }0, |b b= ∈� 。

若 0a > ， 0b > ，則點 ( ),P a b 位於第一象限

若 0a > ， 0b < ，則點 ( ),P a b 位於第四象限

2. 點與坐標：

坐標平面上，任意一點P所對應的「數對」為 ( ),a b ，稱為P點的

「坐標」。

(1) a是P點的「 x坐標（橫坐標）」。

(2) b是P點的「 y坐標（縱坐標）」。

平面上任意一點都有一個（且恰有一個）有序「數對」與其對應；反之，每一個有序數

對，也都可以在平面上找到與之對應的點，即每一個數對代表平面上的一個點。

這樣就得到一個「平面直角坐標系」或稱「直角坐標系」。

已知 ( ),Q a b 位於第二象限，則點 ( ),P ab a b−

在第幾象限？

∵ ( ),Q a b 位於第二象限

⇒

0

0

a

b

<⎧⎨

>⎩⇒

0

0

ab

a b

<⎧⎨

− <⎩

∴ 點 ( ),P ab a b− 在第三象限內

若點 ( ),A a b a+ 在第二象限，則點 2,

aP b

b

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

在

第幾象限？

∵ ( ),A a b a+ 在第二象限

⇒

0

0

a b

a

+ <⎧⎨

>⎩⇒ 0b < ⇒

2

0

0

a

b

b

⎧<⎪

⎨⎪ >⎩

∴ 點 2,

aP b

b

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

在第二象限內

1 直線方程式

直角坐標 1-1

焦點一直角坐標

判別點所在象限

解

1

補給站

例

說明

解

QRcode影音解題

蘋果系列行動裝置無法觀看

單元1 直線方程式2

1. 實數線上，兩點的距離：

在數線上，兩點 ( )P a 、 ( )Q b ，則PQ a b b a= − = − 。

2. 坐標平面上，兩點的距離：

在坐標平面上，相異兩點 ( )1 1 1,P x y 、 ( )2 2 2

,P x y ，

則1P與

2P兩點間距離為 ( ) ( )

2 2

1 2 2 1 2 1PP x x y y= − + − 。

3. 內分點坐標公式：

設 ( )1 1 1,P x y 、 ( )2 2 2

,P x y ，若 ( ),P x y 為1 2PP 之內分點（

1 2P P P− − ），且

1 2: :PP PP m n= ，則

P點坐標為

1 2

1 2

nx mxx

n m

ny myy

n m

+⎧=⎪⎪ +

⎨+⎪ =

⎪ +⎩

（交叉相乘的和

比的和）。

(1) ( )2 2 2,P x y 稱為 ( )1 1 1

,P x y 、 ( ),P x y 之外分點。

(2) 解內分點或外分點之題型，只需使用內分點觀念即可解出。

(3) 其實就是在這三點之中，任給兩點坐標，求第三點坐標。

4. 中點公式（當內分點公式中， : 1:1m n = 時）：

設 ( )1 1 1,P x y 、 ( )2 2 2

,P x y ，若 ( ),P x y 為1 2PP 之中點 ( )1 2

P P P− − ，即1 2

: 1:1PP PP = ，則

( ) 1 2 1 2, ,2 2

x x y yP x y

+ +⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

。

設 ( )1,1A 、 ( )5,4B − 為坐標平面上兩點，且

A P B− − ， : 2 :1AP PB = ，試求：

(1) P點坐標

(2) P點與原點的距離。

(1) 設 ( ),P x y

由內分點公式：

( )1 2

1 2

1 2 53

1 2

1 2 43

1 2

nx mxx

n m

ny myy

n m

⎧ + × −+= = = −⎪⎪ + +

⎨+ + ×⎪ = = =

⎪ + +⎩

∴ ( ) ( ), 3,3P x y = −

(2) ( ) ( )2 2

3 0 3 0 18 3 2PO = − − + − = =

設 A、B、C三點共線，且C介於 A、B兩點

之間， ( )1,3A 、 ( )6, 2B − 且3 2AC BC= ，試求：

(1) C點之坐標

(2) C點與原點的距離。

(1) 設 ( ),C x y

∵ 3 2AC BC= ⇒ : 2 :3AC BC =

由內分點公式：

( )

2 6 3 1 153

2 3 5

2 2 3 3 51

2 3 5

x

y

× + ×⎧= = =⎪ +⎪

⎨× − + ×⎪ = = =

⎪ +⎩

∴ ( ) ( ), 3,1C x y =

(2) ( ) ( )2 2

3 0 1 0 10CO = − + − =

焦點二距離公式與平面直角坐標系中的分點坐標公式

求內分點坐標

解

2

補給站

解


1

平面上二點 ( )2,5A − 、 ( )4, 1B − ，C在 AB 的

延長線上，且 : 5 : 2AC BC = ，試求 C 點坐

標。

設 ( ),C x y

∵ : 5 : 2AC BC = ⇒ : 3 : 2AB BC =

由內分點公式知：

( )2 2 34

2 3

2 5 31

2 3

x

y

⎧ × − + ×=⎪⎪ +

⎨× + ×⎪− =

⎪ +⎩

⇒ 8

5

x

y

=⎧⎨

= −⎩

∴ ( ) ( ), 8, 5C x y = −

平面上三點 ( )7,4A 、 ( )4, 2B − 、 ( ),C x y 共

線，且 B在線段 AC 上，若 3AB BC= ，試求

C點坐標。

∵ 3AB BC= ⇒ : 3 :1AB BC =

由內分點公式知：

3 1 74

3 1

3 1 42

3 1

x

y

× + ×⎧=⎪⎪ +

⎨× + ×⎪− =

⎪ +⎩

⇒ 3

4

x

y

=⎧⎨

= −⎩

∴ ( ) ( ), 3, 4C x y = −

設平面上三點 ( )5, 4A − 、 ( ),P x y 、 ( )1,0B − ，

且 ( ),P x y 為 AB 之中點，則 ( ),P x y 與原點

( )0,0 的距離為何？

∵ P為 AB之中點

⇒ ( )( )

( )5 1 4 0

, , 2, 22 2

P x y P P⎛ ⎞+ − − +

= = −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

∴ ( ) ( )2 2

2 0 2 0 2 2PO = − + − − =

設平面上三點 ( )3,5A − 、 ( ),M x y 、 ( )5,9B ，

且 ( ),M x y 為 AB 之中點，則 ( ),M x y 與點

( )1,1P 的距離為何？

∵ M 為 AB之中點

⇒ ( ) ( )3 5 5 9

, , 1,72 2

M x y M M− + +⎛ ⎞

= =⎜ ⎟⎝ ⎠

∴ ( ) ( )2 2

1 1 7 1 36 6MP = − + − = =

若 ( )1 1,A x y 、 ( )2 2

,B x y 、 ( )3 3,C x y 、 ( )4 4

,D x y 為平行四邊形 ABCD的

四個頂點，則由平行四邊形對角線互相平分性質知M 為 AC與 BD的

共同中點 ⇒ 1 3 1 3 2 4 2 4, ,2 2 2 2

x x y y x x y y+ + + +⎛ ⎞ ⎛ ⎞=⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠。

內分點觀念不變—求外分點坐標

解

3

解

中點坐標與平面上兩點距離

解

4

解

焦點三中點公式應用—有限定順序的平行四邊形ABCD

單元1 直線方程式

4

設一平行四邊形 ABCD 中，已知 ( )3,4A 、

( )2,5B 、 ( )1, 2C − − ，求點 ( ),D x y 。

由平行四邊形對角線互相平分性質知：

( ) ( )3 1 4 2 2 5, ,

2 2 2 2

x y⎛ ⎞+ − + − + +⎛ ⎞=⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠

⇒ ( )

( )

3 1 2

4 2 5

x

y

⎧ + − = +⎪⎨

+ − = +⎪⎩

⇒ 0

3

x

y

=⎧⎨

= −⎩

∴ ( ) ( ), 0, 3D x y = −

設一平行四邊形 ABCD 中，已知 ( )3,7A 、

( )2,4B 、 ( )8,5C ，求點 ( ),D x y 。

由平行四邊形對角線互相平分性質知：

3 8 7 5 2 4, ,

2 2 2 2

x y+ + + +⎛ ⎞ ⎛ ⎞=⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⇒ 3 8 2

7 5 4

x

y

+ = +⎧⎨

+ = +⎩ ⇒

9

8

x

y

=⎧⎨

=⎩

∴ ( ) ( ), 9,8D x y =

設 ( )1 1,A x y 、 ( )2 2

,B x y 、 ( )3 3,C x y ，則 ABC△ 之三中線交點（重心G）坐標為

( ) 1 2 3 1 2 3, ,3 3

x x x y y yG x y

+ + + +⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

。

設 ABC△ 之三頂點為 ( )3, 1A − 、 ( )5,2B − 、

( ),C x y ，若 ABC△ 的重心為2 5,

3 3G⎛ ⎞

−⎜ ⎟⎝ ⎠

，試

求 ( ),C x y 。

∵ 重心為2 5,

3 3G

⎛ ⎞−⎜ ⎟

⎝ ⎠

( )3 52

3 3

5 1 2

3 3

x

y

⎧ + − +=⎪⎪

⎨− + +⎪− =

⎪⎩

⇒ 4

6

x

y

=⎧⎨

= −⎩

∴ ( ) ( ), 4, 6C x y = −

設 ( )2, 2A − 、 ( )5,4B 、 ( )1,4C − ，試求

ABC△ 之重心坐標 ( ),G x y 。

( )( )2 5 1 2 4 4

, ,3 3

G x y⎛ ⎞+ + − − + +

= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

( )2,2=

中點公式應用

解

5

解

重心公式應用

解

6

解

焦點四重心公式


1

觀念『○』與『×』觀念澄清加強

（×）1. 若點 ( ),P a b 在 y軸上，則 0b = 。 0a =

（×）2. 若 0a < ， 0b < ，則點 ( ),P a b 位於第四象限。第三象限

（○）3. 平面上相異兩點 ( )1 1 1,P x y 、 ( )2 2 2

,P x y ，則 ( ) ( )2 2

1 2 2 1 2 1PP x x y y= − + − 。

（○）4. 直線上相異三點 ( )1 1 1,P x y 、 ( )2 2 2

,P x y 、 ( ),P x y ，若 P在1 2PP 上，且

1 2: :PP PP m n= ，則 1 2

nx mx

x

n m

+=

+

， 1 2ny my

yn m

+=

+

。

（○）5. 平面上相異兩點 ( )1 1 1,P x y 、 ( )2 2 2

,P x y ，若 ( ),M x y 為1 2PP 之中點，則

1 2

2

x x

x

+= ， 1 2

2

y yy

+= 。

1. 已知 ( ),P a b 在第二象限，則點 2,

bQ a b

a

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

在第二象限。

★ 2. 已知0 a b< < ，則點 ( )2,P b a a ab− − 在第四象限。

3. 坐標平面上兩點 ( )3, 5P − 、 ( )5,1Q ，則

(1) PQ = 2 10 (2) PQ中點M = ( )4, 2− 。

4. 坐標平面上三點 ( )3, 2A − 、 ( )3,5B − 、 ( ),C x y ，若B為 AC的中點，則點 ( ),C x y =

( )9,12− 。

5. 一圓直徑之兩端點為 ( )4,3A − 、 ( )2,1B ，則圓心坐標為 ( )1,2− ，半徑為 10 。

★ 6. 平面上一平行四邊形 ABCD，其中 ( )2,4A 、 ( )1, 2B − − 、 ( )3, 3C − 、 ( ),D x y ，則

( ),D x y = ( )6,3 。

7. 坐標平面上三點 ( )3, 2A − − 、 ( )5,7B 、 ( ),P x y ，若P點介於 A、B兩點之間且

: 2 : 3AP BP = ，則P點坐標為1 8,

5 5

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

。

★ 8. 平面上 ( )3, 6A − 、 ( )4,5B − 、 ( ),C x y ，若B點介於 A、C之間且 : 3:1AC BC = ，則C點坐標

為15 21

,2 2

⎛ ⎞−⎜ ⎟

⎝ ⎠。

9. 設 ( )2,5A − 、 ( )3,1B 、 ( ),C x y 、 ( )5,3G ，若 G 為 ABC△ 之重心坐標，則 C 點坐標為

( )14,3 。

年月日動手

年月日完成

0331

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