1

Міністерство освіти і науки України Національний університет водного господарства та природокористування Кафедра прикладної математики 04-01-20 Методичні вказівки до виконання практичних робіт з дисципліни «ТЕОРІЯ ФУНКЦІЙ КОМПЛЕКСНОЇ ЗМІННОЇ » для студентів спеціальності 113 «Прикладна математика» денної форми навчання Частина 2 Рекомендовані до видання методичною комісією спеціальності 113 «Прикладна математика» Протокол №2 від20 жовтня 2015 р. Рівне -2016

2

Методичні вказівки до виконання практичних робіт з дисципліни «Теорія функцій комплексної змінної» для студентів спеціальності 113 «Прикладна математика» денної форми навчання. Частина 2 / Гладун Л.В. – Рівне: НУВГП, 2016. - 28 с. Упорядник: Л.В.Гладун, к.ф.-м.н., доцент кафедри прикладної математики Відповідальний за випуск: П.М.Мартинюк, д.т.н., професор, в.о. завідувача кафедри прикладної математики © Гладун Л.В., 2016 © НУВГП, 2016

3

ЗМІСТ Вступ 3 1. Інтегрування функції комплексної змінної 4 2. Ряди Лорана 19 3. Література 28 Вступ При математичному моделюванні рiзноманiтних процесів, явищ i залежностей часто отримують задачі, в яких невідомою є функція та похiднi від неї. Неперервно диференційовані функції на інтервалі вивчає математичний аналіз. Теорія функцій комплексної змінної розглядає функції, які мають неперервну похідну в області комплексної площини, - аналітичні функції. Цей клас функцій значно вужчий від класу функцій, що мають неперервну похідну на інтервалі, і тому аналітичні функції мають багато добрих і важливих властивостей, яких не мають функції в дійсній області. Теорія функцій комплексної змінної використовується при розв’язуванні задач гідромеханіки, теорії фільтрації, теорії пружності, теплотехніки, гідротехніки, електротехніки, радіотехніки, електронної оптики та ін. У першій практичній роботі, крім методів інтегрування функцій комплексної змінної вздовж кривої, розглянуто використання інтегральних теорем та формул Коші для обчислення таких інтегралів. Друга практична робота містить різні способи розкладання функції в ряд Лорана, із використанням при цьому відомих розкладів функцій в ряди. До кожної практичної роботи приводиться необхідний теоретичний матеріал. Також наведено приклади розв’язання найбільш типових задач. В кінці кожної практичної роботи подано завдання для самостійної роботи. Задачі, номери яких більші за двадцять чотири, можна віднести до задач підвищеної складності.

4

Інтегрування функції комплексної змінної Нехай )(zf - неперервна функція в області D ⊂ � і Γ - деяка кусково-гладка жорданова крива в D . Позначимо iyxz += , ),(),()( yxivyxuzf += , де ),( yxu , ),( yxv - дійсні функції змінних x та y . Обчислення інтеграла dzzf∫Γ

)( вздовж кривої Γ зводиться до обчислення криволінійних інтегралів другого роду функції дійсної змінної

=++= ∫∫ΓΓ

)))(,(),(()( idydxyxivyxudzzf dyyxudxyxvidyyxvdxyxu∫ ∫

Γ Γ

++−= ),(),(),(),( . На інтеграли від функції комплексної змінної розповсюджуються всі властивості криволінійних інтегралів другого роду. Якщо функція )(zf аналітична в однозв’язній області D , яка містить точки 1z та 2z , то має місце формула Ньютона-Лейбніца

)()()()( 122121 zFzFzFdzzf zzz

z −==∫ , (1) тут )(zF - будь-яка первісна функції )(zf , тобто )()( zfzF =′ в області D . Якщо функції )(zf і )(zg аналітичні в однозв’язній області D , а 1z та 2z - довільні точки цієї області , то має місце формула інтегрування чистинами

2 2211 1

z zzzz zfdg fg gdf= −∫ ∫ . (2) Заміна змінної в інтегралах від функції комплексної змінної відбувається аналогічно випадку функції дійсної змінної. Якщо крива Γ задана параметрично ]},[),()()(:)({ βα∈+==Γ ttiytxtztz ,

5

тоді має місце формула зведення до визначеного інтеграла dttztzfdzzf )()]([)( ′= ∫∫Γ

β

α. (3)

Інтеграл dzzf∫Γ

)( , взагалі кажучи, залежить від шляху інтегрування Γ . Теорема (інтегральна теорема Коші для однозв’язної області). Нехай функція )(zf аналітична в однозв’язній області D . Тоді 0)( =∫

Γ

dzzf для кожної замкненої кривої Γ , що належить області D , тобто інтеграл не залежить від форми шляху інтегрування Γ . Теорема (інтегральна теорема Коші для багатозв’язної області). Нехай межа багатозв’язної області D складається із замкненої жорданової кривої 0Γ і попарно не перетинаючих одна одну замкнених жорданових кривих 1Γ , 2Γ ,…, kΓ , які лежать всередині

0Γ , і функція )(zf аналітична в замкненій області D . Тоді ∑ ∫∫= ΓΓ

=k

i dzzfdzzf i1 )()(0 . (4) Теорема. Нехай )(zf аналітична в замкненій області D , обмеженій скінченним числом замкнених жорданових кривих. Тоді для всіх Dz ∈0 мають місце інтегральна формула Коші )(2)( 00 zifdzzz zf

D π=−∫

∂

(5) та інтегральна формула Коші для похідних

( ) 010( ) 2 ( )( ) ! nnD

f z idz f zz z nπ+∂

=−∫ . (6)

Приклад 1. Обчислити інтеграл dzzz∫Γ

sin , якщо Γ - відрізок, який з’єднує точки 1 та i .

6

Розв’язування. Підінтегральна функція zz sin аналітична в усій комплексній площині. Тому для обчислення інтеграла використаємо метод інтегрування частинами (2) та формулу Ньютона-Лейбніца (1). Знаходимо: 1

,sin sin sin , cosi f z df dzz zdz z zdz dg zdz g zΓ

= == = =

= = −∫ ∫ =+−=+−= ∫

iii zzzzdzzz 111 )sincos(coscos =+−−+−= )1sin1cos()sincos( iii=−+

−+

+−=

−− 1sin1cos22 ieeeei iiiiiiii .1sin1cos1sin1cos22 11111

−−−

−−=−+−

−+

−= ieeeieei Приклад 2. Обчислити інтеграл dzzz∫Γ

+ )Re( 2 , якщо Γ - частина параболи 22xy = , яка з’єднує точки 0 та i21+ . Розв’язування. Підінтегральна функція не аналітична, тому інтеграл залежить від шляху інтегрування. Нехай iyxz += . Враховуючи, що 22xy = , одержимо: 22ixxz += , dxixdz )41( += , 4243222 4)442Re()Re( xxxxixxixxzz −+=−+++=+ . Тоді

∫∫ =+−+=+Γ

10 422 )41)(4()Re( dxixxxxdzzz

∫ =−++−+=10 53242 )16444( dxixixixxxx

7

=

−++−+=

10

643532 61644345432 xixixixxx .313016164434543121 ii −=

−++−+= Приклад 3. Обчислити інтеграл dzzzz∫Γ

− )( 23 , якщо }0arg2,1:{ ≤≤−==Γ zzz π . Розв’язування. Оскільки підінтегральна функція не є аналітичною, то інтеграл залежить від шляху інтегрування. Виберемо параметризацію Γ у вигляді }02,)(:)({ ≤≤−==Γ tetztz it π .

Тоді ititititit eeeeezzz −− −=−=− 32323 , dtiedz it= . Згідно формули (3) отримаємо:

.224414)1()()(

202

40 40 32322

iieitieidteidtieeedzzzz

iitititititπππ

π

ππ

−=

+−=

−=

=−=−=−

−

−

−−

−

Γ∫∫∫

Приклад 4. Обчислити інтеграл dzzz e

zz

∫=+

+211 2 . Розв’язування. Всередині області, обмеженої колом 211 =+z (мал.1), знаходиться одна точка 10 −=z , в якій знаменник

8

підінтегральної функції перетворюється в нуль.

Мал. 1 Запишемо інтеграл у вигляді dzz zedzzz edzzz e

zz

zz

zz

∫∫∫=+=+=+

−−=

+=

+ 211211211 2 )1()1( . Функція zezf z

=)( аналітична в даній області. Застосувавши інтегральну формулу Коші (5), отримаємо: 1

1211 22)1( −

−==+

−==−−∫ iezeidzz ze z

zz

zππ .

Приклад 5. Обчислити інтеграл dziz izzz∫= −7 4)2( cos

π.

Розв’язування. Функція izzzf cos)( = є аналітичною в замкненому крузі 7z ≤ , якому належить точка iz π20 = .

0 -1 X

iY

9

Застосувавши інтегральну формулу Коші для похідних (6) для 3=n , отримаємо:

[ ]

.)sincos3(3)(cos)(cos33

)cos(!32)2( cos

2322

27 4

iizziizii izziziizzidziz izz

iziz

izz

ππ

π

π

π

π

π

π

=−−=

=′′′+′′=

=′′′=−

=

=

==∫

Приклад 6. Обчислити інтеграл dzz z

z ∫=− +21 2 1cos . Розв’язування. Знаменник підінтегральної функції перетворюється в нуль в точках iz = та iz −= , які лежать всередині круга 21 ≤−z . Тому безпосередньо застосувати інтегральну формулу Коші для обчислення інтеграла не можна. Перетворимо підінтегральну функцію до виразу, в якому зможемо безпосередньо використати інтегральну формулу Коші. Розкладемо для цього дріб 112 +z на елементарні дроби:

iziiziz +−

−=

+

121121112 . Підставивши розклад в шуканий інтеграл, маємо: dziz zidziz zidzz zzzz ∫∫∫

=−=−=− +−

−=

+ 212121 2 cos21cos211cos . Застосувавши до кожного із інтегралів інтегральну формулу Коші (5), дістанемо: iziidziz zi izz coscos22cos21 21 π

π==

− ==−∫ ,

10

)cos(cos22cos21 21 iziidziz zi izz −==+ −=

=−∫ π

π . Отже, 0)cos(cos1cos

21 2 =−−=+

∫=−

iidzz zz ππ .

Приклад 7. Обчислити інтеграл dzzz ez

z∫= −2 22 )1( .

Розв’язування. Точки 01 =z і 12 =z , в яких знаменник підінтегральної функції перетворюється в нуль, лежать всередині області, обмеженої колом 2=z (мал. 2). Тому для обчислення інтеграла застосувати інтегральну формулу Коші безпосередньо не можна.

Мал. 2 Побудуємо два кола 1γ і 2γ з центрами відповідно в точках 1z і 2z достатньо малих радіусів так, щоб вони не перетнулись і цілком містились в крузі 2≤z (як зображено на мал. 2 ). У тризв’язній

1 2 1γ 2γ

X

iY

0

11

області, обмеженій колами 2=z , 1γ і 2γ , підінтегральна функція всюди аналітична. За теоремою Коші для багатозв’язної області (формула (4)) маємо dzzz edzzz edzzz e zzz

z∫∫∫

−+

−=

−= 21 22222 22 )1()1()1( γγ

. У підінтегральному виразі першого доданка виділимо функцію

22 )1( −ze z , яка аналітична в області, обмеженій колом 1γ . Тоді за інтегральною формулою Коші (5) отримаємо:

izeidzzzedzzz ez

zzzππ

γγ2)1(2)1()1( 02222

2211 =

−=

−=

−=

∫∫ . Функція ze z2 аналітична в області, обмеженій колом 2γ . Застосувавши інтегральну формулу Коші для першої похідної (6), дістаємо:

.2222)1()1(

212 22 1

222

2222

iez ezeizeidzz zedzzz e

zzz z

zzz

ππ

πγγ

=−

=

=

′

=

−=

−

=

=

∫∫ Таким чином, )1(222)1( 222 22 eiieidzzz e

zz

+=+=−

∫=

πππ .

12

Завдання для самостійної роботи Завдання 1. Обчислити інтеграли вздовж заданих ліній. 1. а) dzzi∫Γ

−+ )21( , Γ - відрізок, який з’єднує точки 0 та i+1 ; б) dzzz∫

Γ

− )32( 23 , }0Im,1:{ ≥==Γ zzz . 2. а) dzzz∫

Γ

2Im , Γ - частина параболи 2xy = , яка з’єднує точки 0 та i+1 ; б) dzzz∫

Γ

− )23( 2 , }0Im,1:{ ≤==Γ zzz . 3. а) dzzz∫

Γ

2Im , }0arg,1:{ ≤≤−==Γ zzz π ; б) dzzz∫

Γ

πsin , Γ - відрізок, який з’єднує точки i−1 та i+1 . 4. а) dzzzz∫

Γ

+ )( 2 , }arg0,1:{ π≤≤==Γ zzz ; б) dzezz iz∫

Γ

−+ )423( 2 , Γ - відрізок, який з’єднує точки i−1 та 1. 5. а) dzzz∫

Γ

, }1:{ ==Γ zz ; б) dzzeiz∫

Γ

, Γ - відрізок, який з’єднує точки 0 та i+1 . 6. а) dzzzi∫

Γ

+−+ )Re21( , Γ - частина параболи 2xy = , яка з’єднує точки 0 та i+1 ; б) dzzz∫

Γ

− )34( 23 , }0Re,1:{ ≥==Γ zzz . 7. а) dzzz∫

Γ

, }0Im,1:{ ≥==Γ zzz ;

13

б) dzzz∫Γ

πcos , Γ - відрізок, який з’єднує точки i−1 та i+1 . 8. а) dziz∫

Γ

+ )3(Im 2 , Γ - відрізок, який з’єднує точки 0 та i+1 ; б) dzziz∫Γ

+ )9(cos 2 , }0Im,1:{ ≥==Γ zzz . 9. а) dzzz∫

Γ

+− )1Im2( , Γ - відрізок, який з’єднує точки 0 та i21− ; б) dzzz∫Γ

++ )1412( 35 , Γ - відрізок, який з’єднує точки 1 та i . 10. а) (2 3Re )z z dz

Γ

−∫ , Γ - відрізок, який з’єднує точки i−1 та 0 ; б) dzzz∫Γ

− )43( 32 , }0Re,1:{ ≥==Γ zzz . 11. а) dzziz∫

Γ

− )2( 2 , }2/arg0,2:{ π≤≤==Γ zzz ; б) dzez z∫

Γ

32 , Γ - відрізок, який з’єднує точки i+−1 та 1− . 12. а) dzz∫

Γ

3Im , Γ - відрізок, який з’єднує точки 0 та i32 + ; б) dzez z∫

Γ

+ )1( , Γ - відрізок, який з’єднує точки i− та i . 13. а) dzzz∫

Γ

Re , }0Im,1:{ ≥==Γ zzz ; б) dzzez∫

Γ

, Γ - відрізок, який з’єднує точки iπ− та iπ . 14. а) dzz∫

Γ

2 , Γ - відрізок, який з’єднує точки 0 та i+1 ;

14

б) dzzz∫Γ

+− )12( 2 , Γ - відрізок, який з’єднує точки i21− та i−2 . 15. а) dzzz∫

Γ

2Im , }0Im,0Re,1:{ ≥≥==Γ zzzz ; б) 2 3cosz z dz

Γ∫ , Γ - відрізок, який з’єднує точки i−1 та 1.

16. а) dzzz∫Γ

2Re , }0Im,7:{ ≥==Γ zzz ; б) dzzz∫

Γ

+ )7( 2 , Γ - відрізок, який з’єднує точки 1 та i−1 . 17. а) dzzz∫

Γ

2Re , Γ - відрізок, який з’єднує точки 0 та i21+ ; б) dzzz∫

Γ

− cos)1( , }0Im,0Re,4:{ ≤≤==Γ zzzz . 18. а) dzzz∫

Γ

2Re , }0Im,2:{ ≤==Γ zzz ; б) dzeiz z∫

Γ

− )( , Γ - відрізок, який з’єднує точки 0 та i . 19. а) dzez∫

Γ

, Γ - відрізок, який з’єднує точки π та πi− ; б) dzzz∫

Γ

− 2cos)13( , Γ - відрізок, який з’єднує точки 1 та i− . 20. а) dzz∫

Γ

+ )13( 2 , Γ - відрізок, який з’єднує точки 0 та i+1 ; б) dzzz∫

Γ

− )32( 23 , }0Im,0Re,2:{ ≥≤==Γ zzzz . 21. а) dzzzz∫

Γ

+− )2(Im , Γ - відрізок, який з’єднує точки 0 та 32 −i ; б) dzzz∫Γ

32 sin , Γ - відрізок, який з’єднує точки 3 та i+1 .

15

22. а) dzzz∫Γ

− )( 2 , }0arg,1:{ ≤≤−==Γ zzz π ; б) dzzz∫

Γ

+− )52( 2 , Γ - відрізок, який з’єднує точки i21− та i+1 . 23. а) dzzz∫

Γ

+ )Im(Re 2 , }2:{ ==Γ zz ; б) dzze z∫

Γ

− , Γ - відрізок, який з’єднує точки i22 + та i2 . 24. а) dzzzzz∫

Γ

− )( 22 , }2/arg,2/1:{ ππ ≤≤−==Γ zzz ; б) dzzz∫

Γ

πsin , Γ - відрізок, який з’єднує точки 1 та i . 25. а) dzzzz∫

Γ

− )( 225 , }arg0,2:{ π≤≤==Γ zzz ; б) dzzz∫

Γ

sin , Γ - відрізок, який з’єднує точки 1 та i . 26. а) dze zz∫

Γ

+Im2 , Γ - відрізок, який з’єднує точки 12 −i та i2 ; б) dzzz∫

Γ

cos2 , Γ - відрізок, який з’єднує точки i та 1. 27. а) dzzzz∫

Γ

+ 2Im)2sin2( , }0arg,3:{ ≤≤−==Γ zzz π ; б) dzze z

∫Γ

22 , Γ - відрізок, який з’єднує точки i+1 та i2 . 28. а) dzzz∫

Γ

32 ReIm , Γ - частина кубічної параболи 33xy = , яка з’єднує точки 0 та i31+ ; б) dzztgz

∫Γ

+ 2cos1 , Γ - відрізок, який з’єднує точки 1 та i .

16

29. а) zdze z Im2∫Γ

, Γ - відрізок, який з’єднує точки 0 та i+1 ; б) dzzz∫

Γ

+ sin)1( , Γ - частина параболи 2xy = , яка з’єднує точки 0 та i+1 . 30. а) zdze z Re2

∫Γ

, Γ - відрізок, який з’єднує точки 0 та i+1 ; б) dzzz∫

Γ

cossin , Γ - відрізок, який з’єднує точки 3− та i+1 . Завдання 2. За допомогою інтегральних формул Коші обчислити інтеграли. 1. а) ∫

= +3 2 2zz zz dze ; б) ∫

=−+ +21 22 )1(iz zz dz . 2. а) ∫

= −3 2 2sinz zz zdz ; б) ∫

=− −32 23 4zz zz dze .

3. а) ∫=− +42 2 1sin

iz z zdz ; б) ∫=−− +21 22 )4(iz zz dz .

4. а) ∫=− −52 2 6z

z zz dze ; б) ∫=− −2/31 24z zz dz .

5. а) ∫=−+ −51 22 2cos

iz z zdzπ

; б) ∫=− +2 22 )4(iz zz dz .

6. а) ∫= ++4 2 )9)(9(z zz dz ; б) ∫

=− −43 23 5zz zz dze .

7. а) ∫=+ +52 2 6z

z zz dze ; б) ∫=−− −21 24iz zz dz .

17

8. а) ∫= ++4 2 )9)(9(z zz dz ; б) ∫

=− +2/51 3 )2(zz izz dze .

9. а) ∫=− +3 224 sin

iz z zdzzπ

; б) ∫=− −21 22 )4(z zz dz .

10. а) ∫=+ +4 2 4iz

zz dzze ; б) ∫=−− +21 22 )1(iz zz dz .

11. а) ∫=− +3 224 sin

iz z zdzzπ

; б) ∫=+ +21 23 2z

z zz dze . 12. а) ∫

= −−4 2 )9)(9(z zz dz ; б) ∫=−+ −21 24iz zz dz .

13. а) ∫=− +4 2 4iz

zz dzze ; б) ∫=−+ +21 22 )4(iz zz dz .

14. а) ∫=+ −31 224 sin

z z zdzzπ

; б) ∫=− −+51 2 )2()3(z zz dz .

15. а) ∫= −2 2 1cos

zzz zdze ; б) ∫

=+ −+53 2 )1()2(z zz zdz . 16. а) ∫

=+ +3 224 siniz z zdzz

π; б) ∫

=−+ +21 22 )4(iz zz dz . 17. а) ∫

= −−3 2 )4)(4(z zz dz ; б) ∫=++ −21 24iz zz dz .

18. а) ∫=+ +42 2 1cos

iz z zdz ; б) ∫=+ +32 23 4z

z zz dze . 19. а) ∫

= ++4 222 ))(( sinz zz izdz

ππ; б) ∫

=+ −+42 2 )1()1(z zz zdz .

18

20. а) ∫= −

−

2 2 )1sin(sinz zz dzzz ; б) ∫

=++ −21 24iz zz dz . 21. а) ∫

= ++3 2 )4)(4(z zz dz ; б) ∫=+ +2/51 3 )2(z

z izz dze . 22. а) ∫

= −−4 222 ))(( cosz zz zdz

ππ; б) ∫

=− +−63 2 )2()2(z zz zdz . 23. а) ∫

= +

+

2 2 sin)1sin(z zz zdzz ; б) ∫

=++ +21 22 )1(iz zz dz . 24. а) ∫

=+ +3 224 cosiz z zdzz

π; б) ∫

=+ +2/51 3 )2(zz izz dze .

25. а) ∫= +4 222

zzz dzeπ

; б) ∫=− +−63 2 )2()2(z zz zdz .

26. а) ∫=− −+5 2 2 )1)(9(iz

iz zz dzez ; б) ∫= −

+

2/ 42 )( )(πz izz dziz .

27. а) ∫=− −+21 2 )2)(1( cos

z zz izdz ; б) ∫= ++2 22 )1)(1(z ziz zdzshπ .

28. а) ∫=− ++31 2 2 )1)(4(z

iz zz dzez ; б) ∫= +2 23 )1(z

zzz dze . 29. а) ∫

=− −+21 2 )2)(1( cosz zz izdz ; б) ∫

= −+2 3 )1()1(z zz chzdz . 30. а) 23

sin( 1)( )z iizdzz z i− = + +∫ ; б) ∫

= ++2 232 7 )5()1(z zz dzz .

19

Ряди Лорана Рядом Лорана за степенями 0zz − називається функціональний ряд вигляду

10 0 00 1 0 0

( ) ... ...( ) (1)( ) ... ( ) ...n nn nn

nn

a aa z z z z z za a z z a z z

∞− −

=−∞

− = + + + +− −

+ + − + + − +

∑

де naz ,0 , ,...2,1,0 ±±=n ,- задані комплексні числа, а z - комплексна змінна. Головною і правильною частинами ряду (1) називаються відповідно ряди nn n zza −∞

=− −∑ )( 01 і nn n zza )( 00 −∑

∞

=. Ряд Лорана

називається збіжним (рівномірно збіжним) на множині E , якщо на E збіжні (рівномірно збіжні) його головна та правильна частини. Позначимо n nn

n nn aRar∞→

−∞→

== lim 1,lim . Якщо Rr > , то ряд (1) ніде не збіжний, якщо ж Rr = , то він може бути збіжний хіба що на колі }:{ 0 rzzz =− , а якщо Rr < , то областю збіжності ряду Лорана є кільце }:{ 0 Rzzrz <−< , причому на краю цього кільця можуть бути точки збіжності. Теорема (Лорана). Нехай функція )(zf аналітична в кільці }:{ 0 Rzzrz <−< (включаючи випадки, коли 0=r і +∞=R ). Тоді функція )(zf єдиним чином розкладається в ряд Лорана, причому коефіцієнти na обчислюються за формулами

∫ +−=

γπ 10 )( )(21 nn zz dzzfia , ,...2,1,0 ±±=n , (2)

20

тут γ - довільне коло з центром у точці 0z , що міститься всередині даного кільця. Використання наведених формул (2) на практиці, в багатьох випадках, призводить до громіздких обчислень. Тому, якщо це можливо, намагаються використовувати відомі розклади функцій в ряди, або зводити до них. Найбільш частіше використовують наступні розклади: ∑∞

== 0 !n

nz nze , +∞<z , (3) ∑∞

==

− 01 1 n nzz , 1<z , (4) ∑∞

=−=

+ 0 )1(1 1 n nn zz , 1<z , (5) ∑∞

=

+−−+=+ 1 ! )1)...(1(1)1( n nzn nz αααα , 1<z , (6)

∑∞

=

−−=+ 1 1)1()1ln( nnn nzz , 1<z , (7)

∑∞

=−=− 1)1ln( n

nnzz , 1<z , (8) ∑∞

=

+

+−= 0

12 )!12()1(sin nnn nzz , +∞<z , (9)

∑∞

=−= 0

2 )!2()1(cos nnn nzz , +∞<z , (10)

∑∞

=

+

+= 0

12 )!12(nnnzshz , +∞<z , (11)

∑∞

== 0

2 )!2(nnnzchz , +∞<z . (12)

21

Приклад 1. Знайти всі розклади в ряд Лорана функції 42)( 2 += z zzf за степенями 0zz − , iz 230 += .

Розв’язування .Функція )2)(2( 242)( 2 iziz zz zzf−+

=+

= має дві особливі точки iz 21 −= та iz 22 = .Тому існують три області з центром в точці iz 230 += (мал. 1), де функція )(zf є аналітичною і може бути розвинена в ряд за степенями 0zz − : а) круг 323 <−− iz ; б) кільце 5233 <−−< iz ; в) +∞<−−< iz 235 - зовнішність круга 523 ≤−− iz .

Мал. 1. Знайдемо ряд Лорана для функції )(zf в кожній області за степенями 0zz − . Оскільки функція )(zf є раціональним дробом, то спочатку розкладемо її на суму елементарних дробів: iziziziz zzf 2121)2)(2( 2)(

−+

+=

−+= .

X

iY

02i2i−

35

22

а) розкладання функції в крузі 323 <−− iz . Для цього спочатку запишемо функцію )(zf у вигляді: 1 1 1 1( ) 2 2 3 2 3 4 3 2 3f z z i z i z i i z i= + = ++ − − − + + − − +

або 1 1 1 1(z) 3 2 3 23 4 31 13 4 3f z i z ii i= +− − − −+ + ++

. (13) Далі для розкладу в ряд кожного доданка скористаємось формулою (5). Отримаємо:

∑∞

= +

−−−

+=

+ 0 )43( )23()1(43 121 n n nn i iziiz , (14) ∑∞

=

−−−=

− 0 3 )23()1(3121 n n nn iziz . (15) Отже, ∑∞

=++

−−

+

+−=

+= 0 112 )23(31)43( 1)1(42)( n nnnn iziz zzf .

б) розкладання функції в кільці 5233 <−−< iz . Для розглядуваного кільця скористатись представленням )(zf у вигляді (13) не можна, бо для функції i iz 43 231 1+−−

+ ряд (14) буде

збіжним в кільці, тому що 143 23<

+−− i iz , але для функції

3 231 1 iz −−+

при 13 23>

−− iz ряд (15) буде розбіжним. Тому перетворимо )(zf таким чином:

23

izizi izizf 2331 123143 231 143 1)(−−

+−−+

+−−

++= . (16)

Для розкладу в ряд другого доданка знову використаємо формулу (5): ∑∞

= −−−

−−=

− 0 )23( 3)1(23121 n nnn iziziz , при чому ряд є збіжним при 323 >−− iz . Отже,

∑∑∞

=+

∞

=+ −−

−+

+

−−−=

+= 0 10 12 )23( 3)1()43( )23()1(42)( n nnn

n n nn izi izz zzf . в) розкладання функції в кільці при +∞<−−< iz 235 . Скористатись представленням функції )(zf у вигляді (16) при

+∞<−−< iz 235 не можна, бо для функції i iz 43 231 1+−−

+ ряд

(14) не буде збіжним, тому що 143 23>

+−− i iz . Представимо функцію )(zf у вигляді:

iziziz iizzf 2331 123123 431 1231)(−−

+−−+

−−+

+−−= .

Оскільки ∑∞

= −−

+−

−−=

+ 0 )23( )43()1(23121 n nnn iz iiziz , то отримаємо

+−−

+−

−−=

+= ∑

∞

=02 )23( )43()1(23142)( n nnn iz iizz zzf

24

∑∑∞

=+

∞

= −−

++−=

−−−

−−+ 0 10 )23( 3)43()1()23( 3)1(231 n n nnnn nnn iz iiziz .

Аналізуючи отримані результати, бачимо, що ряд Лорана для однієї і тієї ж функції має різний вигляд для різних областей. Приклад 2. Функцію 5cos)(−

= z zzzf розкласти в ряд Лорана в околі точки 50 =z . Розв’язування. Запишемо функцію 5cos

−z z у вигляді =

−

+=−+−

=− 551cos5 55cos5cos zzzz z

55sin1sin55cos1cos−

−−

= zz . Використавши формули (9) та (10), отримаємо: ....)5( 1)!2(5)1(...)5( 1!25155cos 2222+

−−++

−−=

− nnn znzz , ....)5( 1)!12( 5)1(...)5( 1!355555sin 121233

+−+

−++−

−−

=− +

+ nnn znzzz Тоді .)5( 1sin)!12( 5)1()5( 1cos)!2(5)1(5cos 0 1212

0 22∑∑∞

=+

+∞

= −+−−

−−=

− n nnnn nnn znznz z Отже,

=−

+−

−=−

+−=− 5cos55cos)5(5cos)55(5cos z zz zzz zzz zz

+−+

−+−

−= ∑∑∞

=

++

∞

=− 0 21210 122 )5( 1sin)!12( 5)1()5( 1cos)!2(5)1( n nnnn nnn znzn

∑∑∞

=+

++

∞

=

+

−+−+

−−+ 0 122210 212 )5( 1sin)!12(5)1()5( 1cos)!2(5)1( n nnnn nnn znzn .

25

Згрупувавши перший доданок з останнім, а другий з третім, отримаємо +−=

−1cos)5(5cos zz zz

∑∞

=+

++

++ +

−

+−+

+−+ 0 12221221 )5( 1)!12( 1sin5)1()!22( 1cos5)1(n nnnnn znn

∑∞

=

++

+

=−

+−+−+ 0 212112 )5( 1)!12( 1sin5)1()!2( 1cos5)1(n nnnnn znn

∑∞

=+

++

+−

+++

−+−= 0 12221 )5( 1)1sin)22(1(cos)!22( 5)1(1cos)5( n nnn znnz ∑∞

=

+

−−+

+−

+ 0 212 )5( 1)1sin1cos)12(()!12( 5)1(n nnn znn . Завдання для самостійної роботи Завдання 1. Знайти всі розклади в ряд Лорана функції )(zf за степенями 0zz − .

1. izzzzzf 21,1)( 02 +=−

+= . 2. izzz zzf −−=

−++

= 3,32 2)( 0 . 3. izzzzzf 31,1)( 02 +=

+

−= . 4. izz zzf 23,42)( 02 +−=

+= .

5. 1,23 1)( 02 =+−

+= zzz zzf . 6. izzz zzf +−=

−+

+= 2,32 2)( 02 .

7. izzzzzf 32,1)( 02 −=−

+= . 8. izzz zzf 22,32 2)( 02 −=

−−

−= .

9. izzzzf +=−

+= 2,13)( 02 . 10. izzz zzf +−=

−+

+= 2,32 2)( 02 .

11. izzzzzf −=+

−= 2,1)( 02 . 12. izzz zzf +=

−−

−= 3,32 2)( 02 .

26

13. izzzzf −=−

+= 3,13)( 02 . 14. izzzzzf 23,1)( 02 −−=

−

+= .

15. izz zzf +=+

= 2,1)( 02 . 16. izz zzf 23,42)( 02 −=+

= . 17. izz zzf 21,1)( 02 −=

+= . 18. izzzzzf +−=

−

+= 2,1)( 02 .

19. izz zzf +−=+

= 3,1)( 02 . 20. izzzzzf 21,1)( 02 +−=+

−= .

21. 2,61)( 02 =−+

= zzzzf . 22. izzzzzf 32,1)( 02 −−=+

−= .

23. izz zzf 23,42)( 02 −−=+

= . 24. izz zzf 23,1)( 02 −−=+

= . 25. 1,)9( 1)( 022 =

−= zzzzf . 26. 0,932 183)( 023 =

−+

−= zzzz zzf .

27. 1,)4( 1)( 022 =−

= zzzzf . 28. 0,2 2)( 023 =−+

−= zzzz zzf .

29. izzzzf =+

= 022 ,)4( 1)( . 30. .0,)2)(1( 1)( 02 =+−

= zizzzf Завдання 2. Розкласти в ряд Лорана функцію )(zf в околі точки 0z . 1. 2,22sin)( 0 −=

+= zz zzf . 2. 2,)( 021

== − zzezf z . 3. 2,21cos)( 0 =−

= zzzzf . 4. iziz izzf =−+

= 0,sin)( . 5. iziz zzf 2,25sin)( 0 =−

= . 6. 3,)( 03 == − zezf z z .

27

7. iziz zzf =−

= 0,3cos)( . 8. 1,1sin)( 0 =−= zz zzzf .

9. 1,13cos)( 0 =−= zz zzzf . 10. 3 0( ) , 3zzf z e z−= = .

11. 4,42sin)( 0 =−= zz zzf . 12. 4 0( ) , 4zzf z ze z−= = .

13. izizzzf 2,21cos)( 0 −=+

= . 14. πππ

== − 0,)( zzezf z z . 15. iziz zzf 2,25sin)( 0 =−

= . 16. iziz izzf 2,22cos)( 0 −=+−

= . 17. izizzzf 2,21cos)( 0 −=

+= . 18. 5,)( 05 == − zzezf z z .

19. 3,33sin)( 0 iziz izzf −=+−

= . 20. .0,1sin)( 02 =+

= zzzzzf π 21. iziz zzf 2,25sin)( 0 =−

= . 22. 2,21sin)( 0 =−−

= zzzzzf π . 23. 2,2cos)( 0 =−

= zz zzf . 24. 0,3sin)( 02 =+

= zzzzzf . 25. 1,13cos)( 0 =−

+= zzzzzf π . 26. 0,2sin)( 0 =+

= zzzzzf π . 27. 2,)2( 4cos)( 022

=−

−= zz zzzf . 28. 2,)2( 4sin)( 022

=−

−= zz zzzf .

29. 1,)1( 2cos)( 022=

−

−= zz zzzzf π .

30. 0,3cos)3()( 0 =−−= zzzzzf π .

28

Література 1. Білоколос Є.Д., Зайцева Л.Л., Шека Д.Д. Збірник задач з комплексного аналізу. Частина 1. Функції комплексної змінної. – Київ : КНУ, 2014. – 71 с. 2. Вища математика. Теорія функцій комплексної змінної : Навчально-методичний посібник / І.Д. Пукальський, І.П. Лусте. – Чернівці : ЧНУ, 2001. -106 с. 3. Гольдберг А.А., Шеремета М.М., Заболоцький М.В., Скасків О.Б. Комплексний аналіз. – Львів : Афіша, 2002. – 205 с. 4. Грищенко О.Ю. Теорія функцій комплексної змінної: Розв’язування задач: Навчальний посібник / О.Ю. Грищенко, М.І. Нагнибіда, П.П. Настасієв– Київ: Вища школа, 1994. – 375 с. 5. Мартиненко М.А. Теорія функцій комплексної змінної. – Київ: Слово, 2008. – 312с. 6. Методичні вказівки до практичних занять з дисципліни “ Теорія функцій комплексної змінної ” / С.В. Тимченко – Дніпродзержинськ : ДДТУ, 2009. – 59 с. 7. Навчально-методичні матеріали з теорії функцій комплексної змінної. / А.І. Щерба, Р.М. Дідковський, Н.В. Олексієнко, В.О. Щерба. – Черкаси : ЧДТУ, 2008. – 48 с.