Міністерство освіти і науки України

Національний університет водного господарства

та природокористування

Кафедра вищої математики

04-02-21

МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ ТА ЗАВДАННЯ до виконання самостійної роботи

з дисципліни „Вища математика”

на тему: „Подвійний інтеграл та його застосування”

для студентів спеціальності

193 „Геодезія та землеустрій”

денної форми навчання

Рекомендовано

науково-методичною комісією

зі спеціальності 193 „Геодезія

та землеустрій”

протокол №5 від 30.05.2017 р.

Рівне – 2017

2

Методичні вказівки та завдання до виконання самостійної роботи з

дисципліни „Вища математика” на тему: „Подвійний інтеграл та його

застосування” для студентів спеціальності 193 „Геодезія та

землеустрій” денної форми навчання / Сяський В.О. – Рівне: НУВГП,

2017. – 14 с.

Укладач: Сяський В.О., кандидат фізико-математичних наук, доцент.

Відповідальний за випуск: Цецик С.П., кандидат педагогічних наук,

доцент, в.о. завідувача кафедри вищої математики.

Зміст

1. Методичні рекомендації до виконання самостійної роботи…….......3

2. Рекомендована література………………………………………......…8

3. Завдання до самостійної роботи……………………….………....…. 9

© Сяський В.О., 2017.

© НУВГП, 2017

3

Методичні рекомендації

до виконання самостійної роботи

Як відомо, задачі визначення площі криволінійної трапеції, роботи

змінної сили, гідростатичного тиску і т. д. приводять до визначеного

інтеграла; при розв’язуванні геометричних, фізичних і технічних

задач, зокрема, обчислення площ плоских фігур, моментів інерції,

статичних моментів, координат центра мас, маси неоднорідної

пластинки виникає необхідність застосування подвійного інтеграла.

Техніка розв’язування задач за допомогою подвійного інтеграла

потребує знань інтегрального числення, ліній на площині та

поверхонь у просторі. Цей розділ, як правило, сприймається

студентами з певними труднощами, тому перед розв’язанням задач

пропонуємо повторити рівняння кривих та поверхонь другого

порядку. Особливу увагу варто звернути на рівняння сфери, еліпсоїда,

параболоїдів, гіперболоїдів, конуса та циліндричних поверхонь, твірні

яких паралельні осям координат.

В результаті вивчення теми „Подвійний інтеграл” студент повинен

вміти:

- будувати область інтегрування та обчислювати подвійний

інтеграл в декартових і полярних координатах;

- застосовувати подвійний інтеграл до розв’язування геометричних

та фізичних задач.

Наводимо деякий теоретичний матеріал, необхідний для виконання

самостійної роботи.

Якщо область D є правильною в напрямі осі Оу, тобто

{ }bxaxyxyxD ≤≤≤≤= ),()(),( 21 ϕϕ (рис. 1), де φ1(х) і φ2(х) –

неперервні на сегменті [a, b] функції, то подвійний інтеграл зводиться

до повторного інтегрування за формулою:

∫∫ ∫ ∫=D

b

a

x

x

dyyxfdxdxdyyxf

)(

)(

2

1

),(),(

ϕ

ϕ

.

4

Рис. 1

Рис. 2

Рис. 3

Рис. 4

Якщо область D є правильною в напрямі осі Ох, тобто

{ }dycyxyyxD ≤≤≤≤= ),()(),( 21 ψψ (рис. 2), де ψ1(у) і ψ2(у) –

неперервні на сегменті [c, d] функції, то

∫∫ ∫ ∫=D

d

c

y

y

dxyxfdydxdyyxf

)(

)(

2

1

),(),(

ψ

ψ

.

При переході до полярних координат r і φ за формулами x=rcosφ,

y=rsinφ і якщо { }2121 ),()(),( ϕϕϕϕϕϕ ≤≤≤≤= rrrrD (рис. 3), де

r1(φ) і r2(φ) – неперервні на сегменті [φ1, φ2] функції, то

у=х

D2

3

2

D1

-1 0

х=у2-2у

3 x

y

r=r2(φ)

r=r1(φ)

φ2

φ1

x 0

y

D

y

с

d

x=ψ1(y)

x 0

D

x=ψ2(y)

y=φ1(x)

y=φ2(x)

b x 0 a

y

D

5

∫∫ ∫ ∫=D

r

r

rdrrrfddxdyyxf2

1

2

1

)(

)(

)sin,cos(),(

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕϕϕ .

Площа S плоскої області D обчислюється за формулою

∫∫=D

dxdyS . Якщо область D віднесена до полярної системи

координат, то ∫∫=D

rdrdS ϕ .

Об’єм V циліндричного тіла, обмеженого зверху неперервною

поверхнею 0),( ≥= yxfz , знизу замкненою областю D площини

z=0, з боків – циліндричною поверхнею, напрямні якої збігаються з

межею області D, а твірні паралельні осі Oz, дорівнює

∫∫=D

dxdyyxfV ),( .

Якщо ρ=ρ(х, у) – поверхнева густина в точці М(х, у) матеріальної

пластинки, що займає область D, то її маса m, координати центра мас

C і моменти інерції Ix, Iy, Io відносно осей Ox та Oy і початку

координат О виражається формулами:

∫∫=D

dxdyyxm ),(ρ ;

∫∫

∫∫==

D

Dy

cdxdyyx

dxdyyxx

m

Sx

),(

),(

ρ

ρ,

∫∫

∫∫==

D

Dxc

dxdyyx

dxdyyxy

m

Sy

),(

),(

ρ

ρ;

∫∫=D

x dxdyyxyI ),(2ρ , ∫∫=D

y dxdyyxxI ),(2ρ ,

∫∫ +=+=D

yxo dxdyyxyxIII ),()( 22 ρ ,

де Sx, Sy – статичні моменти пластинки відносно осей Ox та Oy.

Якщо пластинка однорідна, то ρ(х, у)=const. В цьому випадку

зазвичай покладають ρ(х, у)=1.

Самостійна робота складається з 5 завдань. Наведемо приклади

розв’язання окремих задач.

6

Приклад 1. Побудувати область D, обмежену лініями

yxyyx =−= ,22, і записати подвійний інтеграл ∫∫

D

dxdyyxf ),( за

допомогою повторного (двома способами), а також знайти площу

області D.

Розв’язання. З рис. 4, на якому зображено область D, видно, що

вона є правильною в напрямі осі Ох. Знайдемо точки перетину ліній,

що обмежують область:

=

=

=

=⇒−=⇒

=

−=

3

3,

0

02

2

2

1

12

2

y

x

y

xyyy

xy

yyx.

Тоді ∫∫ ∫ ∫−

=D

y

yy

dxyxfdydxdyyxf

3

0 2

),(),( .

Якщо внутрішнє інтегрування провести по у, а зовнішнє – по х

(тобто вважати область інтегрування правильною в напрямі осі Оу), то

дану область треба розбити на дві частини D1 і D2 (рис. 4). Знайдемо

обернені функції:

.

;11,111102 212,1

2

xyyx

xyxyxyxyy

=⇒=

++=+−=⇒+±=⇒=−−

{ }xyxxyxD ++≤≤+−≤≤−= 1111,01),(1 .

{ }xyxxyxD ++≤≤≤≤= 11,30),(2 .

Тоді ∫ ∫∫∫ ∫ ∫++

−

++

+−

+=3

0

110

1

11

11

),(),(),(

x

xD

x

x

dyyxfdxdyyxfdxdxdyyxf .

Тепер знайдемо площу області D:

∫ ∫∫∫∫∫ =−=+−===−

3

0

3

0

22

3

02

9)3()2(

2

dyyydyyyydxdydxdyS

y

yyD

D .

7

y

Приклад 2. Обчислити площу фігури, обмеженої лінією 32322 )( xyayx =+ .

Розв’язання. Оскільки 022 ≥+ yx , то 03 ≥xy . Це означає, що х і у

мають однакові знаки, тобто крива розміщена у першому і третьому

квадрантах. Вона симетрична відносно початку координат, оскільки

рівняння не змінюється при заміні х і у на - х і - у.

Перейдемо до полярних координат. З формул x=rcosφ, y=rsinφ

маємо ϕϕ 3426 sincosrar = , звідки ϕϕ cossin3ar = . Із зростанням

φ від 0 до 2

π точка з координатами (r, φ) опише розміщену у першій

чверті вітку даної кривої (рис. 5). Шукана площа S дорівнює

подвоєній площі області D.

4cossin22

22

0

322

0

cossin

0

3

adardrddxdyS

D

a

==== ∫∫∫ ∫ ∫ ϕϕϕϕ

ππϕϕ

.

Рис 5

Рис. 6

0

D

0

С В

у

А x

x D

8

Приклад 3. Знайти момент інерції однорідного трикутника,

обмеженого прямими х+у=2, х=2, у=2, відносно осі Ох.

Розв’язання. Будуємо трикутник АВС (рис. 6). Момент інерції

однорідної пластинки відносно осі Ох будемо обчислювати при

ρ(х, у)=1.

.412

16

3

16

12

)2(

3

8

3

)2(

3

8

3

2

0

42

0

2

0

32

2

32

0

2

2

2

2

0

2

=−=−

+=

=

−−=⋅=== ∫∫∫∫∫∫

−−

xx

dxxy

dxdyydxdxdyyI

xxD

x

Рекомендована література

1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления:

в 2-х т. Т.2 /. Н.С. Пискунов. – М.: Наука, 1978. – 576 с.

2. Брушковський О.Л. Вища математика: [навч. посіб.] /

О.Л. Брушковський. – Рівне: НУВГП, 2010. – Ч. 3– 246 с.

3. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах / П.Е.

Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. – М.: Высш. шк., 1986. – Ч. 2. –

464 с.

9

Завдання до самостійної роботи

Завдання 1. Побудувати область D, обмежену даними лініями, і

записати подвійний інтеграл ∫∫D

dxdyyxf ),( за допомогою

повторного (двома способами), а також знайти площу області D.

1. у= х3, х+у=2, х= -1; 2. у= х, хy=4, y=4;

3. у= х+1, х2+у

2=1, y=0; 4. 4у= х

2, х+у=3, y=0;

5. у= lnх, у=1, х=0, y=0; 6. у2=4х, х+у=3, y=0;

7. xу= 4, х= y, х=4; 8. 4у= х2, х+у=3, х=0;

9. x2+y

2=4, х+у=2, y=0; 10. у

2=4х, х+у=3, х=0;

11. у=2- х2, у= x; 12. у= - х

2, х - у=2, y=0;

13. у=2- х2, у= - x; 14. у= - х

2, х+у= -2, y=0;

15. x2+y

2=1, х- у =1, y=0; 16. у=3- х

2, у= x+1;

17. у= х2 , у= - х

2, х= 1; 18. у= х

2, у= х+2;

19. у= 4- х2 , у=2х+1; 20. у= -х

2, у=2х, х=1;

21. у=2х2, у=3- х; 22. х=2у

2, х=3- у;

23. у= -х2, х+у= -2, у=0; 24. у= х

3+2, у= - х, х=0;

25. у=х2+1, у= -1, х=0, х=1; 26. у=(х -1 )

2, у=3- х, у=0;

27. у3= х, х- у=6, у=0; 28. х=2у

2, х= у+3;

29. у=2х2, у=3+х, у=0; 30. х= у

2, х+у=2, х=0.

10

Завдання 2. Обчислити об’єм тіла, обмеженого заданими

поверхнями. Зобразити на рисунку дане тіло і область інтегрування.

1. z= x+y, z ≥ 0, y=24 х− , у=0.

2. z= х2+у

2, х+у=3, х=0, у=0, z=0.

3. z= у2, у=

21 х− , z ≥ 0.

4. z=2х2+у

2+1, х+у=1, х=0, у=0, z=0.

5. z=3у, z ≥ 0, х=29 у− , х=0.

6. z= х+у+2, z=0, у= х2, х= у

2.

7. z=0, x=0, z= у−1 , у= х2.

8. z=4- х2- у

2, х= у

2, z=0, х≤1.

9. z= х2+3у

2, х+у=2, х=0, у=0, z=0.

10. z=3х2+у

2, х+у=3, х=0, у=0, z=0.

11. z=4

1у

2, z=0, 2х- у=0, х+у=9.

12. z= х2, z=0, 2х- у=0, х+у=9.

13. z=2- х, z=0, у=2 х , у=4

1х

2.

14. z= у, z ≥ 0, у=225 х− , у=0.

15. z= у, z ≥ 0, у= х−4 , у=2

1

2

1−х .

16. х2+у

2=4у, z=0, z= у−4 .

17. у= х, у=- х, z ≥ 0, z= х−1 .

18. z=4- х2, z=0, х

2+у

2=4.

19. z= х2, z=0, у=0, х+у=2.

11

20. х2+у

2=4у, z=0, z=5- х- у.

21. х2+у

2=4у, у+ z=2, z=0.

22. х2+у

2= z, х

2+у

2=4, z=0.

23. х2- у

2= z, x=4, z=0.

24. z=4 у , х+у=4, х=0, z=0.

25. z= у2, х

2+у

2=9, z=0.

26. z= х2+у

2, х

2+у

2=2у, z=0.

27. х2+у

2 =12- 2z, х

2+у

2 = z.

28. х2+у

2 = z, х

2+у

2 =2z- 4.

29. z= у , z=2 у , х+у=2, х=0.

30. х2+у

2 = z, z=4.

Завдання 3. Обчислити координати центра мас однорідної фігури,

заданої вказаними лініями, зробити рисунок і заштрихувати фігуру.

1. у=2х- х2, у= х- 2. 2. у= х

2- 3x, у=4- 3х.

3. у=(х- 1)2+1, у= х. 4. у= х

2+2, у=5- 2х

2.

5. у=9

1х

2, у=

3

1х+2. 6. у= х

2+2, у=4- х.

7. у2=4х, 4у= х

2. 8. у=

2

1х

2, у=4- х.

9. у= х2+4х, у= х+4. 10. у=

3

1х

2, у=4 -

3

2х

2.

12

11. у=4 - 4

1х

2, у=0. 12. у=6- х

2, у=6- 3х.

13. у=4

1х

2, у=

2

3х. 14. у= х

2-4, у=3х-4.

15. у=4

2х, у=

2

х. 16. у=

2

1х

2+1, у= х2 +1.

17. у=2

1х+1, у= х +1. 18. у= х

3+1, у= х +1.

19. у= х2-3, у=2х- 3. 20. у=

х

3, у=4- х.

21. у= х2+1, у=2 х2 +1. 22. у=

2

1х

2, у= -

2

1х+3.

23. ху=6, х+у= 7. 24. у=4х- х2, 2х- у=8.

25. у= х2- 4, х- у+8=0. 26. ху=2, х+2у- 5=0.

27. 4у=8х- х2, 4у= х+6. 28. у=4- х

2, у= х

2- 2х.

29. у=6х- х2, у=0. 30. у

2= х

3, х=0, у=4.

Завдання 4. Обчислити з допомогою подвійного інтеграла в

полярних координатах площу фігури, обмеженої кривою, заданою

рівнянням в декартових координатах. Параметр а > 0.

1. (х2+у

2)

3=а

2(х

4+у

4). 2. (х

2+у

2)

3=а

2х

2(4х

2+3у

2).

3. (х2+у

2)

2=а

2(3х

2+2у

2). 4. (х

2+у

2)

2=4ау

3.

5. (х2+у

2)

3=а

2х

4. 6. (х

2+у

2)

2=а

2(4х

2+у

2).

7. х4= а

2(9х

2-3у

2). 8. х

6= а

2(х

2+у

2) (х

2- у

2).

9. (х2+у

2)

2=а

2(4х

2+5у

2). 10. х

4= а

2(х

2-3у

2).

13

11. (х2+у

2)

3=а

2х

2у

2. 12. (х

2+у

2)

2=а

2(5х

2+7у

2).

13. (х2+у

2)

2=ау

3. 14. (х

2+у

2)

5=а

4х

4у

2.

15. х4= а

2(3х

2- у

2). 16. (х

2+у

2)

2=ах

3.

17. (х2+у

2)

7=а

8х

2у

4. 18. у

6=а

2(у

4- х

4).

19. (х2+у

2)

3=а

2у

4. 20. (х

2+у

2)

5=а

6х

3у.

21. (х2+у

2)

2=а

2(х

2+2у

2). 22. (х

2+у

2)

2=а

2(х

2- у

2).

23. (х2+у

2)

2=а

2(х

2+4у

2). 24. (х

2+у

2)

2=а

2ху.

25. (х2+у

2)

2=аху

2. 26. (х

2+у

2)

2=2а

2ху.

27. (х2+у

2)

3=а

2х

2(4х

2+3у

2). 28. (х

2+у

2)

2=16ау

3.

29. х4= 9а

2(3х

2- у

2). 30. (х

2+у

2)

2=2ау

3.

Завдання 5. Знайти момент інерції однорідної фігури:

1. Круга х2+у

2≤ х відносно осі Ох.

2. Прямокутника зі сторонами а і b відносно сторони а.

3. Півкруга відносно діаметра.

4. Круга радіуса R відносно дотичної.

5. Обмеженої лініями у=2 х , х+у=3, у=0 відносно осі Ох.

6. Рівнобедреного прямокутного трикутника відносно гіпотенузи.

7. Прямокутника зі сторонами а і b відносно однієї з його вершин.

8. Прямокутника зі сторонами а і b відносно точки перетину його

діагоналей.

9. Прямокутного трикутника з катетами а і b відносно вершини

прямого кута.

10. Прямокутного трикутника з катетами а і b відносно катета а.

11. Круга радіуса R відносно точки на колі.

12. Трикутника, обмеженого лініями 1=+b

у

а

х, х=0, у=0, відносно

початку координат.

13. Обмеженої лінією r=a cos2φ, відносно початку координат.

14

14. Трикутника, обмеженого лініями х+у=2, х=0, у=0, відносно осі

Ох.

15. Еліпса 12

2

2

2

≤+b

у

а

х відносно великої осі.

16. Обмеженої лініями у=4- х2, у=0, відносно осі Ох.

17. Обмеженої лініями у= х4 , х+у=3, у=0 відносно осі Ох.

18. Кругового кільця з діаметрами d і D (d<D) відносно його

центра.

19. Кругового кільця з діаметрами d і D (d<D) відносно його

діаметра.

20. Квадрата зі стороною a відносно однієї з його вершин.

21. Квадрата зі стороною a відносно точки перетину його

діагоналей.

22. Квадрата зі стороною a відносно однієї з його сторін.

23. Обмеженої параболами у= х2+2 та у=4- х

2, відносно осі Оy.

24. Круга х2+у

2≤ у відносно осі Оу.

25. Обмеженої лініями у=х

4, у=0, х=1, х=4, відносно осі Ох.

26. Трикутника, обмеженого лініями х+у=4, х=0, у=0, відносно осі

Оу.

27. Обмеженої лінією r=a sin2φ, відносно початку координат.

28. Обмеженої лініями у=1- х2, у=0, відносно осі Ох.

29. Обмеженої лініями у=х

4, х+у=5, відносно осі Ох.

30. Трикутника з вершинами в точках А(1;1), В(5;1), С(5;5)

відносно осі Ох.