04 pest frecuencia

5/27/2018 04 Pest Frecuencia

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Anlisis de procesos estocsticosen el dominio de la frecuencia

Anlisis de procesos estocsticos en el dominio dela frecuenciaF. Javier Cara

ETSII-UPM

Curso !"-!"#

"


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Anlisis de procesos estocsticos en el dominio de la frecuencia

Contenido

Funci$n de densidad espectral%efinici$n

&elaci$n con la transformada de Fourier

Propiedades

Aplicacion. Funcion de densidad espectral de modelos estocsticos lineales

Funcion de densidad espectral cru'ada

Estimacion de la funcion de densidad espectral

%ensidad espectral de al(unos procesos estocsticos

)eneraci$n de reali'aciones artificiales


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Anlisis de procesos estocsticos en el dominio de la frecuenciaFunci$n de

densidad espectral

Funcin de densidad espectral

En el dominio del tiempo* un proceso estocstico +uedacaracteri'ado si conocemos la funci$n de medias ,

Xt

/ la funci$nde autocorrelaci$n RX

0 o la funci$n deautocovarian'as.

1os procesos estocsticos estacionarios tienen propiedadesmu/importantes cuando se anali'an en el dominio de lafrecuencia.

Un proceso estocstico +ueda caracteri'ado en eldominio de la frecuencia mediante la funci$n de

densidad espectral* +ue es la transformada deFourier de RX

0 .1a descripci$n en el dominio de la frecuencia de una

se2aldeterministax t viene dado por la transformadade FourierX 3 /por tanto* tam4i5n por el espectro* 6X

36

.Sin em4ar(o* no siempre es posi4le calcular la


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transformada deFourier de una se2al aleatoria. 1afunci$n de densidad espectral si sepuede calcular.

#


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densidad espectral

Para +ue una funci$nf t ten(a transformada de Fourier se tiene +ue

cumplir1. 1a funci$n es a4solutamente inte(ra4le

r+7

6f t6dt 8 797

2. Cual+uier discontinuidad def t es finita.

Sea :X t; un proceso estocstico. En principio* todos los procesosestocsticos +ue vamos a considerar no tienen discontinuidadesinfinitas.Para +ue se cumpla la primera propiedad se tiene +ue dar +ueX t < !cuando t < 97 / t < 7. Esto no pasa en los procesosestocticos=

Por tanto* no podemos calcular la transformada de Fourier deX t.>amos a calcular la transformada de Fourier de la funci$n de

autocorrelaci$n* +ue es la +ue nos sirve para caracteri'ar el proceso

estocstico en el dominio del tiempo.

?


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densidad espectral

Para procesos estacionarios* la funci$n de autocorrelaci$n se puede ponercomo@

RX

0 E X tX t B 0

1os procesos estocsticos estacionarios dean de estar correlacionadospara valores mu/ (randes de 0 * esto es

lim0


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D


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densidad espectral

%efinici$n

Definicin

Sea :X -t; un proceso estocstico estacionario. 1a funci$n dedensidadespectral de :X -t;* +ue se escri4e como S

X-3* se

define como latransformada de Fourier de la funci$n deautocorrelaci$n@

7

S 3 "

X

E

rR

X0

e97

9i 30d 0

RX

0 r7

SX

3ei 30 d 397

1as ecuaciones anteriores se conocen tam4i5n como las ecuaciones deiener-GincHin en Honor a los matemticos Ior4ert iener / AlesandrGHincHin.Como la funci$n de autocorrelaci$n caracteri'a al proceso estocstico enel

dominio del tiempo* la funci$n de densidad espectral caracteri'a alproceso

en el dominio de la frecuencia.


9/91

K

A li i d t ti l d i i d l f i F i$ d


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densidad espectral


Relacin con la transformada de Fourier de X t

Si estamos tra4aando con el proceso estoctico :X-t; / con laTransformada de Fourier -T.F.* serLadesea4le +ue la funci$n dedensidad espectralestuviese definida a partir de la T.F. de :X -t;

X t X"

7

T .F .

r

-3 X -te9i 3tdtE

97Sin em4ar(o* si el proceso estocstico es estacionario*

te$ricamente7

X -t se etiende desde 97 Hasta B7* / por tantor

97

6X -t6dtnoes finita* por lo +ue en principio no se puede Hacer la T.F. deX t.

Para resolver este pro4lema vamos a considerarX t en elintervalo

!* T * / Hacemos cero en el resto. AHora si est definida la T.F.

X f T 7


11/91

X f * T "

rX te9i 3t dt

r

T

X -te9i Eftdt

E97 !

>amos a tra4aar conf en lu(ar de con 3 para evitar elfactor " .

N

Anlisis de procesos estocsticos en el dominio de la frecuencia Funci$n de


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densidad espectral


1a media de 6X f * T 6 para cada frecuenciaf secalcula como

E 6X f * T 6 E X f * T X f * T

=r T

E!

X te9i ft

dtr

T

!

O

X -se+i Efs

ds

=r

Tr

T

E

O

X tX se9i f (t9s)

ds dt! !

1a re(i$n de inte(raci$n se muestra en la fi(urasi(uiente a. Sidefinimos 0 t 9 s* la nueva rea deinte(raci$n es 4.

E -f * T 6 E

= O X -tX -t 9 0 e9i Ef 0 d 0 dt


13/91

=r

Tr

t

OX -tX -t 9 0 e f d 0 dt

! t9T

Anlisis de procesos estocsticos en el dominio de la frecuencia Funci$n de


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densidad espectral


Si intercam4iamos el orden de inte(raci$n / tomamos laesperan'adentro@

E 6X f * T 6

r

T

r

t E -X -tX -t 9 0 e9i Ef 0 d 0 dt

! t9TT

r rt

! t9T


15/91



16/91

densidad espectral


E -6X -f * T 6

!

rt+0

r

T=

rTO

r

RX 0 e9i f 0

9T !

!

dt d 0 B!

T

RX -0 e9i

Ef 0

dt d 00

r

RX

-0 e9i Ef 0 -0 B T d 0 Br

9T !T

r RX -0 e9i Ef 0 -T 9 60 6d 0

9T

RX

-0 e9i Ef 0 -0 9 T d 0

1a inte(ral anterior va a infinito cuando T < 7.%ividimos por Tpara +ue esto no ocurra@

T

" E 6X f * T 6 r

R -0 e9 E 0 60 6 T


17/91

R -0 e E 0 60 6"X

T9T

TPara T (rande

" 7limT


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densidad espectral


Teorema

Sea :X -t; un proceso estocstico estacionario. 1a funci$n de

densidadespectral de :X -t; se puede epresar como@"SX

f limT


19/91

p ( p ( pen funci$n del periodo* no de la frecuencia T "f .

""



20/91

densidad espectral


Va vimos un resultado similar en el tema de Fourier@ la Transformada deFourier de la correlaci$n de dos funciones es i(ual al producto de laconu(ada de la Transformada de Fourier de la primera funci$n / laTransformada de Fourier de la se(unda funci$n.

7

y -t Ar

97

x 0 ht B 0 d 0 TF Y f Hf X f

Cuando ht x t* la correlaci$n se conoce como autocorrelaci$n de

x t. Entonces se tiene

y -t A

r

7

x 0 x t B 0 d 0 TFY f X f X f 6X f 6

97

1a correlaci$n anterior es entre dos funciones deterministas. En el caso de

funciones aleatorias* tenemos +ue tomar esperan'as / dividir por T

lim " E Y f lim

E 6X f 6 S f


21/91

6 f 6 f T


22/91

densidad espectral

Propiedades

Propiedades

1a funci$n de densidad espectral reflea el contenido enfrecuenciasdel proceso estocstico* como sedesprende de la relaci$n entre lafunci$n de densidadespectral / la transformada de Fourier. Portanto*di4uando la funci$n de densidad espectral podemos

o4servar+u5 frecuencias son las ms importantes.SimetrLa

SX

93 SX

3

Se 4asa en el HecHo de +ue 6X 3* T 6 es simetrico.

1a funci$n de densidad espectral es positiva para todo 3. El rea definida por la funci$n de densidad espectral es

i(ual al valorcuadrtico medio del proceso estocstico+ue es constante pordefinici$n de estacionaridad@

RX ! E

-t A

r7

SX

3e

!d 3 r 7 SX

d3


23/91

!d 3 3d97 97

"#


densidad espectral


24/91

densidad espectral

Propiedades

1ue(o el valor cuadrtico medio7

WX

r

SX

3d 397

Como la media del proceso estocstico

es cero@7 7

X

XX

r

SX

3d 3 / de i(ual manera

X 97

rS

Xf df

97

es decir* el rea 4ao la funci$n de densidad espectral /a sea en

rads o Q' es i(ual a la varian'a del proceso.Estas relaciones son importantLsimas. Por eemplo*

permitencompro4ar si est 4ien calculada la funci$n de

densidad espectral. Tam4ien se utili'an para conocer las unidades de S 3


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Tam4ien se utili'an para conocer las unidades de SX

3.* Si U son las unidades deX (t)

X

* las unidades de S (3) son U2(rad s)RX

* las unidades de S (f ) son U2

(Hz ).Por eemplo* si estamos tra4aando con aceleraciones* la funcion dedensidad espectral se mide en ms

rad s o en msHz."?


densidad espectral


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p

Propiedades

Para cam4iar de unidades de radianes por se(undo a

Hert'ios@

SX

-f ESX

-3

En efecto* 3 f d 3 df7

r

X

X

977

Xr

SX -f df7

r

X S

X3d 3 X

X

97

SX

3df97

Si las frecuencias ne(ativas son suprimidas* la funci$nde densidadespectral tiene +ue multiplicarse por dospara +ue se si(aconservando el rea.

GX 3

- SX3 3 Y ! ! 3 8!


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X !

"D

Anli.ii.i d proc.iO.i .itocnico.i n 1 dominio d la fr cuncia

1Funcin d dn.iidad .ipccra 1


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1P ropi dad.i

Se defi ne n por t a nto 4 posi bl es represe ntaciones de l a d e nsi dad espect ral

Sx(w)Sx (/)

(a)

Gx(w)

2

{e)

-----'!'=--- !Gx( f)


29/91

fo Z fo=?,;

4d

(a) es conoci do como de nsi da d espectral bi l ite ral (two-si ded).

(b) es conoci do como de nsi da d espectral u n i l itera l (one-sid ed).

16


densidad espectral


30/91

Propiedades

Funcin de densidad espectral de potencia (PSD) Antes de la lle(ada de los ordenadores* los espectros se

calcula4ansimulando las funciones mediante se2alesel5ctricas.

1a ener(La de una se2alx t se definecomo@

7

E r

976x t6dt

1a potencia media de una se2alx t entre ! / T sedefine como@

T

P lim" r

6x t6

dtT


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1a ener(La total / la potencia media disipadas en la resistencia son@

E r 7

6i t6dt Julios* P lim "r

T

6it6dt atios

97

T


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Propiedades

Se definen los si(uientes espectros@

1. Espectro de ener(La. Sea una se2al x (t) con ener(ia finita* esto es*

E =r 7

2

6x (t)6 dt 8 797

Por tanto* se cumple la condici$n fundamental para +ue eista la transformada de Fourier. El espectro se calcula como@

"2

X(3) =

6X (3)6

Se conoce tam4i5n como densidad espectral de ener(La.

2. Espectro de potencia. Si la se2alx (t) no tiene ener(La finita no sepuede calcular su transformada de Fourier. Para calcular el espectroco(emos la se2al entre ! / T /@

X(3) = lim

"6X (3* T )6

2

T


33/91

"




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Aplicacion. Funcion de densidad espectral de modelos

estocsticos linealesEn en dominio del tiempo Hemos estudiado los si(uientes modelosestocsticos lineales@

Proceso de &uido 4lanco. Proceso MA-+.Proceso A&-p.

Para estos procesos* las ecuaciones de iener-GincHin se suelen escri4ircomo

S f

N

h=9NU+"

"

[he9i fh * 9" \f \ "

[h r

9"

S f ei fhdf * h !* ]"* ]* . . .

Es decir* transformada de Fourier en tiempo discreto %TFT@ los datosson discretos* [-h :[-9 NB "* ^ ^ ^ * [-9"* [-!* [-"* [- N ;*pero la

funcion de densidad espectral se define continua.




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Va vimos +ue la %TFT se definLa para datos con tiempo normali'ado*esdecir* _t "

N9"

X 3 xke9i 3k

k=!

x "

k E

rX

3e

i 3kd 3

En estas f$rmulas* k !* "* . . . * 9 "* / 3 est definida en cual+uierintervalo de lon(itud ` !* * `9

* . Si utili'amos frecuencias

lineales* 3 f * d 3 df * `9 * 9< `9 " * " el intervalo de

inte(raci$n es cual+uier intervalo de lon(itud uno* lue(o

N9"

X -f xke9i Efk

k=!"

xkr

X f ei fk df

9 "

!


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Densidad espectral del ruido blancoEl ruido 4lanco se define como

w

!t -!* X

Su funci$n de autocovarian'a es

[w

-h

1ue(o

-X

wsi h !

! si h !

Sw -f

N

h=9NU+"

[w

he

9i Efh

w

X * 9" \f \ "

Si tra4aamos s$lo con frecuencias positivasw w

G f X

* ! \f \ "

1ue(o todas las frecuencias tienen la misma potencia o son i(ualmenteimportantes i(ual +ue la lu' 4lanca. El ruido 4lanco ecita todas lasf i i l


38/91

frecuencias por i(ual."




39/91

Pero Hemos visto +ue la densidad espectral tam4i5n se escri4e como

SW

f lim

"E -6" -f * T 6

lim

"E " f * T " f * T

T


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Densidad espectral de un proceso MA(q)

1a ecuaci$n de un proceso estocstico MA+ es@t t " t9" t9 q t9q t w

x ! B b ! B b ! B ^ ^ ^ B b ! * !

!* X

1a funci$n de densidad espectral de un proceso MA+ es

w

Sx

f X 6"Bb"e9i f Bb

e9i ?f B^ ^ ^Bb

qe9i qf 6* 9" \f \ "

x w

G f X 6" Bb

"e

9i Ef B

be

9i ?Ef B ^ ^ ^ B bqe 9i qf 6* ! \f \ "

#


42/91

#




43/91

Para poder pro4ar la f$rmula anterior* Ha/ +ue utili'ar las si(uientes

propiedades de la transformada de Fourier@

1inealidadk k k

z ax B #y T .F . $ -f aX -f B #Y -f

%espal'amiento en el tiempo timesHiftin(

k

xT .F .X f

x. .

e T Fk9m

9i fmX f

es decir* si la T.F. dexk

esX f * entonces la transformada

deFourier dexk9m es e

9i fm

X f .


44/91

?

Anlisis de procesos estocsticos en el dominio de la frecuenciaAplicacion. Funcion de densidad espectral de modelos estocsticos lineales


45/91

MA+ xk

!k

B b"!

k9"B b

!

k9B ^ ^ ^ B b

q!

k9q

1a transformada de Fourier dexk esX -f * T " -f * T B b

"e9i Ef" -f * T B ^ ^ ^ B b

qe9i Eqf" -f *

T

X f * T " B b

"e9i f B b

e9i ?f B ^ ^ ^ B b

qe9i qf

" f * T

/ el compleo conu(ado

X f * T " B b

"e9i f B b

e9i ?f B ^ ^ ^ B b

qe9i qf

Por tanto

" -f * T

X f * T Xf * T

"" B b

"e9i f B ^ ^ ^ B b

qe9i qf

"

" -f * T "-f * T

" "

Tomando esperan'as / el limite"Sx

f limT


46/91

" Bb

"e

T "

A"

"" B

b"e

9i EfB b

e 9i ?Ef B ^ ^ ^ B b

qe

9i qf"

"

T


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Densidad espectral de un proceso AR(p)

1a ecuaci$n de un proceso estocstico A&p es@t " t9" t9 p t9p t t w

x x B x B ^ ^ ^ B x B ! * ! !* X

1a funci$n de densidad espectral de un proceso A&p es

X

Sx

f

w

6" 9 c"e9i Ef

9 ce9i ?Ef

9 ^ ^ ^ 9 cqe9i Epf

6

X

* 9" \f \ "

Gx

-f

w

6" 9 c"e9i Ef

9 ce9i ?Ef

9 ^ ^ ^ 9 cqe9i

Epf6

* ! \f \ "

K


48/91

K



49/91

A&p xk

"x

k9"B

x

k9B ^ ^ ^ B

px

k9pB !

k

1a tranformada de Fourier dexk esX -f * T

"e9i EfX -f * T B ^ ^ ^ B

pe9i EpfX -f * T B " -f * T

" f * T X f * T

" 9 "e9i f

9 e9i ?f

9 ^ ^ ^ 9 q e9i qf

/ el compleo conu(ado

Xf * T

"

-f * T

" 9 "e9i f

9 e9i ?f

9 ^ ^ ^ 9 q e9i qf

X f * T Xf * T

" f * T

"f * T

6" 9 c"e9i Ef

9 ce9i ?Ef

9 ^ ^ ^ 9 cqe9i Eqf

6

Tomando esperan'as / el limite

T

S f

"E X f * f * T limT


50/91

Sx

f lim T X

f "

T


51/91

Ejemplo%i4uar la funci$n de densidad espectral del proceso MA" definido por

w

xt !

tB !

t9"* !

t -!*

X

"

Para un proceso MA-"

xt !

tB b

"!

t9" -" B b

"%!

t b-%!

t

con funci$n de densidad espectralw

Gx

f X 6" B b"e9i f 6

w

X " B b"e9i f " B b

"ei f

X " B b B b"ei f B e9i f

w "

X " B b B b" cosf * ! \ f \ "

w "


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53/91

Funcion de densidad espectral de B t t t9"

"!

Sf`UQ'

K

?

!9!.D 9!.? 9!.# 9!. 9!." ! !." !. !.# !.? !.D

f -Q'

Funcion de densidad espectral unilateral"!

)f`UQ'

K

?

!

9!.D 9!.? 9!.# 9!. 9!." ! !." !. !.# !.? !.Df -Q'


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Anlisis de procesos estocsticos en el dominio de la frecuenciaFuncion dedensidad espectral cru'ada


55/91

Funcion de densidad espectral cruadaSeaX t un proceso estocastico estacionario. 1a funci$n de

autocorrelaci$n se defini$ comoR

XX0 E X tX t B 0

SeanX t* Y t dos procesos estocasticos estacionarios. Se define lafunci$n de correlaci$n cru'ada como

RXY

0 E X tY t B 0

RYX

0 E X t B 0 Y t

1a funci$n de densidad espectral cru'ada se define como latransformadade Fourier de la funci$n de correlaci$n cru'ada. Por tantoHa/ dos dedensidad espectral cru'ada

S -3 "r

XY

7RXY

-0 e

9i 30d 0

S 3 "

YX

E

977

rR

YX

0e

97

9i 30 d 0#!


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Anlisis de procesos estocsticos en el dominio de la frecuenciaFuncion dedensidad espectral cru'ada


57/91

Propiedades1as funciones de correlaci$n se o4tienen Haciendo la

transformada deFourier inversaR

XY-0 A

r7

SXY

3ei 30 d 3977

RYX

-0 Ar

97

SYX

3ei 30 d 3

1as funciones de densidad espectral cru'ada tomanvalorescompleos.

SiX -t e Y -t son procesos estasticos con valores

realesXY YXS 3 S 3

Sea $ -T suma de dos procesosestocasticos

$ t aX t B #Y tEntonces se cumple

S -3 aS -3 B a#S -3 B a#S -3 B #S


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SZZ

-3 a SXX

-3 B a#SXY

-3 B a#SYX

-3 B # SYY

-3#"

Anlisis de procesos estocsticos en el dominio de la frecuenciaEstimacionde la funcion de densidad espectral


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!stimacin no param"trica. M"todo #eneral.1a estimacion puede ser@

Io param5trica. Param5trica. Se austa un modelo matemtico a los

datos.

Para definir la estimacin no paramtrica* vamos a utili'ar la definici$n

de la funci$n de densidad espectral a partir de la T.F.@"

SX

-3 limT


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Anlisis de procesos estocsticos en el dominio de la frecuenciaEstimacion

de la funcion de densidad espectral

Pero tenemos +ue adaptar las f$rmulas anteriores a se2ales discretas


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Pero tenemos +ue adaptar las f$rmulas anteriores a se2ales discretas. Sean I valores discretos de gt* x

kx k _t* k !* "* . . . * 9

"N9"

1a T.F. dexkX

n x

ke9i nkN * n !* "* . . . * 9 "

n=!

El cuadrado del m$dulo deXn

esh

N9" 9i EjnUN

h =

N9"i mnN

O

6Xn6 X

nX

n

hx

je

j=!

N9"N9"

h x

me

m=!

xjxm ej=! m=!

9i E(j9m)nUN

* n !* "* . . . * 9 "

El valor esperado de esta cantidad es@N9"N9"

E6X

n6

R

X' 9 m_te9i (j9m)nN * n !* "* . . . * 9 "

j=! m=!


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h (N9")+r N9" N9"h


63/91

E

6Xn6

h!

h r =9(N9")

(N ")+r

s=!

N9"N9"

Bh

RX r_ter ="

s=r

9i rnN*

n !* "* . . . * 9 "

1a suma correspondiente a s tiene +ue reali'arse primero por+ue estepresada en t5rminos de r . 1a suma es

E6X

n6

N9"

" 9r =9(N9")

6r 6

RX r _te9i rnN

Para suficientemente (randesN9"

E6X

n6

r =9(N9")RX r _te

9i rnN

hN9" RX r

_te

h

9i rnN

* n * * . . . * 9

_th h

r =9(N9")#?


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1a suma en la se(unda epresi$n es una aproimaci$n a la funci$n de


65/91

1a suma en la se(unda epresi$n es una aproimaci$n a la funci$n de densidad espectral@

7

SX

f r97

RX -0 e

9i f 0 d 0

lue(o

%espeand

o

E

6Xn 6

_tS

Xf

n* n !* "* . . . * 9 "

SX

-fn _t E

6X 6

n

* n !* "* . . . * 9 "

/ en rad s X n

nS -3

_t6X 6

* n !* "* . . . * 9 "


66/91

#D



asndonos en estas f$rmulas* la funci$n de densidad espectral discreta


67/91

se puede estimar como

SX -fn E

6Xn 6

* n !* "* . . . * 9 "

_t

Si tenemos & reali'aciones del proceso estocstico* la estimaci$n de laesperan'a es

E

6Xn6

M

"&

m="

mn

6X 6* n !* "* . . . * 9 "

por lo +ue finalmente

SX

-fn

_tM

6Xmn

6* n !* "* . . . * 9 "&

m="

/ la funci$n de densidad espectral unilateral

GX

-fn _t M 6X 6* n !* "* . . . *


68/91

&6X

mn6 * n !* "* . . . *

m="

#K


69/91

k SX -fn B X n* n * * . . . * 9

? 1a varian'a del estimador de la funci$n de densidad

espectral es@


70/91

(arS

X

fn

SX

fn

&

* n !* "* . . . * 9 "

es decir* cuanto ma/or es SX

fn* ma/or es la varian'a del

estimador.#N



Aspectos prcticos de la estimacin de la densidad espect


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Aspectos prcticos de la estimacin de la densidad espect. 1as f$rmulas descritas en los apartados anteriores se

utili'an paraestimar la funci$n de densidad espectral de unproceso estocsticoestacionario.

Sin em4ar(o* a menudo s$lo disponemos de unareali'aci$n /tenemos +ue considerar el proceso

estocstico como er($dico. 1aestimaci$n en este casoserLa@_t

SX

-fn 6Xn 6

* n !* "* . . . * 9 "

Esta estimaci$n es mu/ mala. Por eemplo* su varian'a es elcuadrado de la funci$n estimada@

(arS

X

fn S

Xf

n

Para meorar la estimaci$n considerando s$lo una


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indoin( consiste en tomar se(mentos de la se2al*


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( (calcular elespectro de cada se(mento / lue(o Hacer la

media. Al dividir la se2al en se(mentos* disminu/e la resoluci$nenfrecuencias del espectro* es decir* la separaci$n entrelas frecuenciasaumenta. Si la se2al ori(inal estmuestreada con _t / tiene

!puntos* / cada se(mento

tiene "

puntos@

* Se2al ori(inal@ Frecuencia de I/+uist@fnq0 = "(t)R frecuencias@fn0

= nU(N0t) f

n0= "U(N

0t).

*Se(mentos@ Frecuencia de I/+uist@f

nq1= "(t)R frecuencias@

fn1

= nU(N1t) f

n1= "U(N

1t).

*Por tanto*f

nq0= fnq1

* fn0

8 fn1

.

1os se(mentos se o4tienen multiplicando la se2alori(inal por unafunci$n de peso o ventana. Cada ventana introduce un error en la %FT denominado

leaka*e. >entanas Ha4ituales@ rectan(ular* Qammin(* Qannin(*


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!stimacin param"trica


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!stimacin param"trica 1os m5todos no param5tricos no imponen nin(una

condici$n a lasse2ales* salvo +ue sean estacionarias. Siasumimos +ue el proceso estocstico se austa a unmodelo matemtico entonces tenemosestimaci$nparam5trica.

Iosotros s$lo vamos a estudiar el modelo A&p. Si los

datos seaustan a un modelo A&pw

xt

"x

t9"B

x

t9B ^ ^ ^ B

px

t9pB !

t* !

t !* X

entonces el espectro serG

x

(f ) =

w

X2 * ! \f \ "U

6" 9 1e9i 2f 9 2

e9i 4f 9 ^ ^ ^ 9 qe9i 2pf 62

Por lo tanto* si estimamos el modelo A&p a partir de los datos

xt

A ce

"

xt9"

B ce

xt9

B ^ ^ ^ B ce

p

xt9p

B !et

* !t -!* X

w

la estimaci$n de la funci$n de densidad espectral serX

Gx

-f w

6"e"

9i Ef e

9i ?Ef e 9i Epf6

* ! \f \ "?!


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6" 9 c "e 9 c e 9 ^ ^ ^ 9 c qe 6



Ejemplo


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Sea el proceso MA" definido porw

- xt !

tB !

t9"* !

t!*

X

"

t "* * #* . . . * * "!!!!* _t !*" s

Estimar su funci$n de densidad espectral.

Va conocLamos su funci$n de densidad espectral te$ricaG

xf X " B b B b

"cosf * ! \f \ "

w "

Como conocemos _t* lo ideal es +ue la funcion de densidad espectralest5definida en ! \f \fnq "_t

! \f \ " ! \f \fnq

"_t

1ue(o Hemos dividido las frecuencias por _t. Como el rea 4ao lafunci$n de densidad espectral se tiene +ue conservar* multiplicamos G

xpor _t.

n

1a estimaci$n se lleva a ca4o con la f$rmula

GX

-fn

_t E

6X 6* n !* "* . . . *

?"


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Funcion de densidad espectral teorica

Estimacion con una reali'acion


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)fÙ

Q' ".D) fÙ

Q'".D

"

" "

!.D!.D

!! " # ? D

f Q'

!

! " # ? Df Q'

Estimacion con "!! reali'aciones

Estimacion con una reali'acion dividida en "! se(mentos

) fÙQ'

"!!

".D

) fÙQ'

".D

"s

" "

!.D!.D

!! " # ? D

f Q'

Estimacion con elcH de matla4

) fÙQ'

!! " # ? D

f Q'

Estimacion parametrica con un A&!

elcH

".D) fÙ

Q'".D

A&

" "


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" "

!.D!.D

!! " # ? D

f Q'

!! " # ? D

f Q'

?

Anlisis de procesos estocsticos en el dominio de la frecuencia%ensidad

espectral de al(unos procesos estocsticos

Densidad espectral de al#unos procesos estocsticos


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?#


82/91


83/91


84/91

cosnk 9 i E xkk=!

sinnk

Como el proceso tiene media cero E -x ! E -+ ! E


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Como el proceso tiene media cero E -xk ! E -+

n !* E

-%n !. ?D

Anlisis de procesos estocsticos en el dominio de la frecuencia)eneraci$n

de reali'aciones artificiales

Por tanto se cumple +ue


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E + (ar +n* E % (ar %

n

n n

Sitomamos

E 6Xn6 (ar +

n B (ar %

n

entonces se cumple

+n%

n

!* X

!* X

_t

_t

G 3

X n

G 3

X n

_tE 6X 6

_t G -3 B

G

-3 G -3

n _t X n

_t X n x nV o4tenemos la funci$n de densidad espectral 4uscada.

?K


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Qa/ +ue tener en cuenta las propiedades de la transf. de Fourier discreta@Si I es par@*

X0

es real* en concreto es la mediaX0

=1

N91

C


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N

*k=0x

k. Como

tra4aamos con procesos estocsticos de mecia cero*X0

= !.

* XN2

tam4i5n es realN91 N91X

N= "O x e9i Ek= "

O x cos(k)

N

Por tanto tomamos

k

k=0 Nk

k=0

2X N

N !* X2=

N

G

(3N

)

t X 2

* 1os t5rminos entre n=

" / n=

N 9 " se calculan (enerandoAn /NB

ncomo se Ha indicado. 1os t5rminos entre n =

2

+ " / n = N 9 "

son compleos conu(ados de 5stos.Si I es impar@

*X0

si(ue siendo la media X0

= !.

2 91 n n2

como se Ha indicado. 1os t5rminos entre n = N+1 / n = N 9 "soncompleos conu(ados de 5stos.

U t l l d l X x ifftX


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Una ve' +ue ten(amos calculados losXnx

k ifftX

n.

?N



Funcion de densidad espectral dada!


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)"!

!

"!!

! "! ! #! ?! D! K!

-radUs&eali'acion (enerada

t

!

9"!!

!

! "!! !! #!! ?!! D!! K!! N!!

t -sMetodo elcH por defecto de matla4

)"!

!! "! ! #! ?! D! K!

-radUsMetodo elcH con ventanas Qammin( de D!! datos* solapadas el ND

!


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!

)

"!

!! "! ! #! ?! D! K!

-radUs

?

04 pest frecuencia

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