05 – divisioni fra polinomi e loro riducibilitaÀ in q · 2014. 2. 24. · 4 2 2 1. x x xx x x x....

05 – DIVISIONI FRA POLINOMI E LORO RIDUCIBILITAÀ IN Q PREREQUISITI - Operazioni fra monomi (Capitolo 4). - M.C.D. fra monomi (Capitolo 4). - Moltiplicazioni fra polinomi (Capitolo 4). - Prodotti notevoli (Capitolo 4). OBIETTIVI DIDATTICI - Saper eseguire divisioni fra polinomi. - Saper fattorizzare un polinomio in Q. PARAGRAFI 1 DIVISIONE FRA POLINOMI 2 FATTORIZZAZIONE DI UN POLINOMIO IN Q

Antonio Caputi – Roberto Manni – Sergio Spirito

1 DIVISIONE FRA POLINOMI 1.1 DIVISIONE FRA UN POLINOMIO ED UN MONOMIO Nel precedente capitolo abbiamo studiato l’operazione di divisione fra monomi. Vogliamo, ora, estendere questa operazione anche ai polinomi. A tal fine cominciamo dal caso più semplice, ossia dalla divisione tra un polinomio e un monomio diverso da quello nullo. Ricordando che la divisione gode della proprietà distributiva a destra, come visto nel capitolo 1, possiamo dare la seguente DEFINIZIONE (divisione fra polinomio e monomio) Dividere un polinomio (polinomio dividendo) per un monomio non nullo (monomio divisore) significa dividere ciascun termine del polinomio per il monomio. Chiariamo quanto detto con alcuni ESEMPI 1. ( ) ( )5 8 4 5 3 6 2 2 36 4 2 : 2x y x y x y z x y− + − Applicando la definizione si ottiene: ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

5 8 4 5 3 6 2 2 3

5 8 2 3 4 5 2 3 3 6 2 2 3

3 5 2 2 3 2

6 4 2 : 2

6 : 2 4 : 2 2 : 2

3 2

x y x y x y z x y

x y x y x y x y x y z x y

x y x y xy z

− + − =

= − + − − + − =

= − + −

2. ( ) ( )5 4 3 3 6 5 6 5 3 3 4 33 2 5 : 4a b c a b c a b c a b c− − Applicando la definizione si ha: ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

5 4 3 3 6 5 6 5 3 3 4 3

5 4 3 3 4 3 3 6 5 3 4 3 6 5 3 3 4 3

2 2 2 3

3 2 5 : 4

3 : 4 2 : 4 5 : 4

3 1 54 2 4

a b c a b c a b c a b c

a b c a b c a b c a b c a b c a b c

a b c a b

− − =

= + − + − =

= − −

3. ( )3 4 2 22 3 : 3m n m m m + −

Applicando la definizione si ricava :

( ) ( ) ( ) ( )3 4 2 3 4 2 2 42 2 2 2 3 92 3 : 2 : : 3 : 33 3 3 3 2 2m n m m m m n m m m m m m n m + − = + + + − = + −

Div

isio

ni fr

a po

linom

i e lo

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duci

bilit

à in

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4. ( ) ( )5 3 2 5 3 3:a b a b a a− + Applicando la definizione e saltando il passaggio intermedio si ottiene:

5 3 2 5 3 3 2 3 1 5( ) : 1a b a b a a a b a b−− + = − + Questa volta l’espressione letterale ottenuta non è un polinomio. Infatti una delle lettere ha esponente negativo. Ciò dipende dal fatto che esiste un termine del polinomio 5 3 2 5 3a b a b a− + che non è divisibile per il monomio 3a . È possibile, allora, dare un’altra DEFINIZIONE (polinomio divisibile per un monomio) Un polinomio è divisibile per un monomio non nullo, o il monomio divide il polinomio, se è possibile determinare un altro polinomio che moltiplicato per il monomio dà come risultato il primo. Il secondo polinomio si assume come risultato della divisione fra il polinomio ed il monomio dati; esso è detto “polinomio quoziente” o semplicemente “quoziente” della divisione. Sfruttando, poi, quanto già si conosce a proposito dei monomi, si arriva ad enunciare il seguente CRITERIO DI DIVISIBILITÀ FRA UN POLINOMIO ED UN MONOMIO Un polinomio è divisibile per un monomio non nullo se quest’ultimo è un numero (ossia un monomio di grado zero) oppure se ogni suo termine è divisibile per quel monomio. APPLICHIAMO ... Stabilite se il polinomio dato è divisibile per il monomio a fianco scritto. In caso affermativo eseguite la divisione e verificate che moltiplicando il polinomio quoziente per il monomio divisore si ottiene come risultato il polinomio dividendo. 1. 4 3 5 6 3 5 2 32 , 2a b a b c a b a b c− + − 2. 2 3 3 5 23 ,x y x y xyz x yz− + −

3. 5 3 3 5 2 2 21 22 3 ,2 5

u v u v u v u v− − −

4. 4 5 2 2 3 2 4 3 2 25 102 3 ,9 3

r s t r s t r s r s− − − −

5. 2 3 4 2 32 3 ,a b c abc a b abc− +

6. 2 2 2 3 3 32 1 1 1,5 9 4 30

abx a b x a b x abx− +

Div

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1.2 DIVISIONE FRA DUE POLINOMI Dopo aver parlato della divisone fra un polinomio ed un monomio, definiamo questa operazione fra due polinomi dipendenti dalle stesse variabili. A tal fine, ricordiamo come si esegue formalmente la divisione fra numeri naturali con un ESEMPIO Eseguiamo la divisione 41: 3 . Come sappiamo dal capitolo 1, questa divisione non è esatta, ma fornisce come quoziente 13 e come resto 2, essendo 13 il più grande intero che moltiplicato per 3 dà come risultato un numero minore di 41. Possiamo, pertanto, scrivere 41 3 13 2= ⋅ + Formalmente si ha :

41 33

9primo resto parziale

2resto

11

31

Vediamo se è possibile procedere analogamente per la divisione fra due polinomi. Cominciamo, intanto, col supporre ulteriormente, solo per semplicità di calcolo, che i polinomi, ridotti a forma normale, dipendano entrambi da una sola variabile, ad esempio x. Siano tali

3 4 2( ) 4 6 2 3P x x x x x= − + + − + e 2( ) 2 1B x x x= + + . Da un confronto sui gradi, osserviamo preliminarmente che il grado di ( )P x è maggiore di quello ( )B x . Ricordando la forma polinomiale in cui i numeri naturali possono essere scritti, ordinando, per analogia con essa, i due polinomi secondo le potenze decrescenti di x e supposto B(x) diverso dal polinomio nullo, scriviamo formalmente la divisione come nel precedente esempio.

4 3 26 4 2 3x x x x− − + + 22 1x x+ − Determiniamo, quindi, il monomio di grado massimo che moltiplicato per 22x dà come risultato

46x ; esso costituirà il primo termine del risultato.

Div

isio

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linom

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duci

bilit

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A questo punto, similmente a quanto si fa nella divisione fra numeri, moltiplichiamo il termine 23x per il polinomio divisore 22 1x x+ − , avendo cura di incolonnare sotto i rispettivi termini simili del polinomio dividendo i monomi che via via si ottengono, cambiandoli di segno, dovendo sottrarli. Il risultato di questa sottrazione, rappresenta il primo resto parziale della divisione.

si moltiplica e si cambia di segno

primo resto parziale

Osservato che questo resto ha grado maggiore di quello del polinomio divisore, possiamo ripetere il procedimento descritto a partire dal primo termine del resto parziale. Determiniamo, pertanto, il monomio di grado massimo che moltiplicato per 22x dà come risultato

37x ; esso costituirà il secondo termine del risultato.

Moltiplichiamo, ora, 72

x− per il polinomio divisore e procediamo come prima, ottenendo il

secondo resto parziale della divisione.



secondo resto parziale

Poiché questo resto ha grado uguale a quello del divisore, è ancora possibile trovare un monomio che moltiplicato per 22x dà come risultato il primo termine del secondo resto parziale. Questo monomio costituirà il terzo temine del risultato.

Div

isio

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bilit

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Operando come già visto, si ottiene il terzo resto parziale. Esso è proprio il resto della divisione in quanto, avendo grado 1, non è possibile determinare alcun monomio che moltiplicato per il primo

termine del divisore, che è di secondo grado, fornisca come risultato 194

x− . La divisione ha quindi

termine.



secondo resto parziale

resto della divisione

Alla fine di questo procedimento, siamo giunti a determinare due nuovi polinomi 2 7 9( ) 3

2 4Q x x x= − + ed 19 21( )

4 4R x x= − + che, come potete verificare da soli, sono legati al

dividendo e al divisore dalle seguenti relazioni:

1. ( ) ( ) ( ) ( )P x B x Q x R x= +

2. il grado di R(x) è strettamente minore di quello di B(x).

Possiamo, allora, enunciare il successivo

TEOREMA (divisione fra polinomi)

Siano P(x) e B(x) due polinomi ordinati secondo le potenze decrescenti della variabile x. Se B(x) è diverso dal polinomio nullo e se il grado di B(x) è minore uguale di quello di P(x), allora è sempre possibile determinare due e due soli polinomi Q(x) ed R(x) tali che:

1. ( ) ( ) ( ) ( )P x B x Q x R x= +

2. il grado di R(x) è strettamente minore di quello di B(x).

Il polinomio Q(x), il cui grado è uguale alla differenza fra il grado di P(x) e quello di B(x), si dice polinomio quoziente, o semplicemente quoziente, della divisione fra P(x) e B(x), mentre il polinomio R(x), che ha grado strettamente minore di quello di B(x), si chiama polinomio resto, o semplicemente resto, della divisione fra P(x) e B(x).

Div

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OSSERVAZIONE Se P(x) è il polinomio nullo oppure se il grado di P(x) è minore di quello di B(x), le precedenti condizioni sono ancora soddisfatte assumendo ( ) 0Q x = ed ( ) ( )R x P x= . Diamo un’altra DEFINIZIONE (polinomi divisibili) Siano P(x) e B(x) due polinomi, con B(x) diverso da quello nullo avente grado minore o uguale di quello di P(x). Diremo che P(x) è divisibile per B(x), oppure che B(x) divide P(x), se, eseguita la divisione ( ) : ( )P x B x , il polinomio resto R(x) è uguale al polinomio nullo. OSSERVAZIONE Se P(x) è divisibile per B(x), allora la relazione espressa dalla 1 del teorema precedente diviene: 3. ( ) ( ) ( )P x B x Q x= con Q(x) quoziente della divisione fra P(x) e B(x). Facciamo alcuni ESEMPI Eseguiamo insieme le divisioni proposte. 1. ( ) ( )5 3 2 22 3 2 2 1x x x x x− − + − ÷ − Osserviamo che entrambi i polinomi sono ordinati e che nel polinomio dividendo manca il termine di grado 4. Occuperemo il suo posto con il monomio nullo 0, quindi procederemo allo svolgimento formale della divisione:

2 + 0 - 3 + 2 + - 1x x x x5 3 x2 +0 - 12

2 - + 2x x3-2 + 0 + 2x x5 3

// // - + 2 + - 1x x x3 2

+ + 0 - x x3

// + 2 +0 - 1x2

- 2 +0 + 1x2

// //

pertanto il polinomio 5 3 22 3 2 2x x x x− − + − è divisibile per il polinomio 2 1x − e risulta

3( ) 2 2Q x x x= − + .

Div

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2. ( ) ( )2 4 3 5 24 2 2 1x x x x x x x− − − + ÷ − + +

Sia il dividendo che il divisore non sono ordinati, inoltre nel dividendo il termine noto è 0. Ordinati entrambi i polinomi eseguiamo la divisione:

ottenendo come quoziente 3 2( ) 2 2 1Q x x x x= + − + e come resto ( ) 1R x x= − . Perciò il polinomio 5 4 3 22 4 2x x x x x− − + − non è divisibile per 2 1x x− + .

In entrambi gli esempi verificate la relazione 1 del teorema.

OSSERVAZIONE

Nel caso in cui i due polinomi da dividere contengano più lettere, dobbiamo necessariamente dichiarare in modo esplicito rispetto a quale lettera, considerata come variabile, eseguiamo la divisione. Infatti, a seconda della lettera scelta come variabile, in base a quanto già detto nel precedente capitolo, cambiano i polinomi con i quali si opera.

Chiariamo tutto attraverso i successivi

ESEMPI

1. Eseguiamo insieme la seguente divisione :

3 2 2 3(2 3 ) (2 )x x y xy y x y+ + + ÷ +

Preliminarmente osserviamo che i due polinomi contengono le lettere x ed y rispetto alle quali sono entrambi completi.

Svolgiamo la divisione scegliendo dapprima come variabile la lettera x e considerando y costante:

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pertanto abbiamo come quoziente 2 23( )2

Q x x y= + e come resto 31( )2

R x y= − .

Se eseguiamo la divisione assumendo la lettera y come variabile e la x come costante, caso otteniamo come quoziente 2 2( )Q y y xy x= + − e come resto 3( ) 4R y x= .

È immediato rendersi conto che le due divisioni danno differenti polinomi quoziente e resto, che comunque, in entrambi i casi, continuano a soddisfare la relazione 1 del teorema enunciato (verificatelo!).

2. Eseguiamo la divisione seguente in cui i polinomi si suppongono dipendenti dalla variabile x:

( ) ( ) ( )5 3 2 21 1 1a x a a x a x ax + − + + − ÷ − Abbiamo:

x ax -

2

3 2

23

2

2

2

2

3

2

2 3

3

( +1) + 0 + 0 - ( +1) + 0 + -1a x a a x a5

( +1) + ( +1) + ( +1)a x a a x a a x-( +1) + ( +1)a x a a x54

// + ( +1) + 0 - ( +1) + 0 + -1a a x a a x a4 3

- ( +1) + ( +1)a a x a a x4

// + ( +1) - ( +1)x + 0 + -1a a x a a a3

- ( +1) + ( +1)xa a x a a 23

// // -1a

per cui si ottiene ( ) ( ) ( )3 2 2( ) 1 1 1Q x a x a a x a a x= + + + + + ed ( ) 1R x a= − . Anche in questo caso verificate che la validità dell’uguaglianza espressa dalla 1 del teorema relativo alla divisione fra polinomi.

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APPLICHIAMO ... Eseguite le seguenti divisioni fra polinomi determinando quoziente e resto (nel caso i polinomi contengano due lettere, eseguire la divisione prima rispetto ad una e poi rispetto all’altra); verificate, inoltre, che i calcoli svolti sono corretti applicando la nota relazione P B Q R= ⋅ + , essendo P, B, Q ed R nell’ordine i polinomi dividendo, divisore, quoziente e resto. 1. ( ) ( )5 4 3 2 21 1x x x x x x x+ + + + + ÷ − + 2. ( ) ( )5 3 4 2 23 2 2 5 2x x x x x x x+ + − − ÷ − + 3. ( ) ( )6 5 3 4 2 23 4 2 1 3 1a a a a a a a a+ + − − − − ÷ + − 4. ( ) ( )5 3 22 2 2a a a a− + ÷ + − 5. ( ) ( )6 5 4 3 2 42 3 2 6 4 2 2 4a a a a a a a a− + + + − + ÷ − + 6. ( ) ( )5 4 3 2 2 3 4 5 2 23 2 2x x y x y x y xy y x y+ − − + + ÷ − 7. ( ) ( )4 3 3 2 22 2x x y xy x y+ − ÷ − 8. ( ) ( )4 2 2 3 42 2a a b ab b a b− + − ÷ + 9. ( ) ( )5 4 3 2 2 3 4 5 2 2a a b a b a b ab b a ab b− + − + − ÷ − + 10. ( ) ( )4 3 2 2 3 42 3a a b a b ab b a b+ − + − ÷ + 1.3 DIVISIONI FRA UN POLINOMIO ED UN BINOMIO DI PRIMO GRADO Vogliamo dedicare questo paragrafo allo studio delle divisioni fra un polinomio P(x) ed un binomio non nullo di primo grado di variabile x, quali x b+ o ax b+ , con a e b costanti diverse da 0 ed a diverso anche da 1. Ritenute soddisfatte le precedenti condizioni, abbiamo a che fare con divisioni del tipo seguente : 1. ( ) ( )P x x b÷ + 2. ( ) ( )P x ax b÷ + Senza eseguire le due divisioni, cosa possiamo dire a proposito dei resti? Per rispondere a questa domanda, è sufficiente ricordare che, rispetto alla variabile, il grado del resto deve essere strettamente minore di quello del divisore. Osservato, allora, che in entrambi i casi il divisore ha grado 1 rispetto ad x, i resti delle due divisioni devono necessariamente avere come grado rispetto ad x un numero naturale più piccolo di 1, ossia 0. Indicheremo tali resti rispettivamente con R ed R′ . Detti ( )Q x e ( )Q x′ i quozienti delle due divisioni, in base al teorema sulla divisione fra polinomi, possiamo scrivere

( ) ( ) ( )P x x b Q x R= + +

( ) ( ) ( )P x ax b Q x R′ ′= + +

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o, in modo equivalente 3. ( ) ( ) ( )R x b Q x P x+ + = 4. ( ) ( ) ( ).R ax b Q x P x′ ′+ + = Le precedenti uguaglianze si rivelano particolarmente interessanti. Infatti, se in un qualche modo ri- uscissimo ad “far scomparire” nell’ordine i prodotti ( ) ( )x b Q x+ e ( ) ( )ax b Q x′+ , ci rimarrebbero delle scritture del tipo ...R = e ...R′ = che consentirebbero di valutare i resti delle due divisioni senza eseguirle praticamente (il che in alcuni casi può rivelarsi particolarmente utile!). Vediamo, allora, come procedere. Per prima cosa andiamo a esaminare più da vicino i prodotti in questione. Essi sono: ( ) ( )x b Q x+ e ( ) ( )ax b Q x′+ e, proprio perché sono prodotti, si annullano o, se preferite, “scompaiono”, se si annulla almeno uno dei due fattori, per la legge di annullamento del prodotto. Siccome non conosciamo né ( )Q x , né ( )Q x′ (in quanto non è stata eseguita alcuna divisione), non ci rimane altra possibilità che fare in modo di annullare i binomi x b+ e ax b+ .

Ciò accade attribuendo rispettivamente ad x i valori b− e ba

− ; così facendo, ponendo nella 3

x b= − e nella 4 bxa

= − , otteniamo :

( ) ( ) ( )R b b Q b P b+ − + − = −

b b bR a b Q Pa a a

′ ′+ − + − = −

e quindi 0 ( ) ( )R Q b P b+ = − = − e 0 b bR Q Pa a

′ ′+ ⋅ − = −

da cui 0 ( )R P b+ = − e

0 bR Pa

′ + = −

.

In definitiva 5. ( )R P b= −

6. bR Pa

′ = −

che forniscono i valori cercati. Così facendo, abbiamo dimostrato il seguente

Div

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TEOREMA (sul resto della divisione di un polinomio per un binomio di primo grado) Il resto della divisione di un polinomio nella variabile x per un binomio di primo grado del tipo x b+ [rispettivamente ax b+ ] nella stessa variabile è uguale al valore che quel polinomio assume

quando a x si sostituisce il valore b− [rispettivamente ba

− ].

Un’importante conseguenza è il successivo TEOREMA DI RUFFINI (sulla divisibilità di un polinomio per un binomio di primo grado) Un polinomio P(x) È divisibile per il binomio x + b [rispettivamente ax + b] nella stessa variabile se

e solo se ( ) 0P b− = [rispettivamente 0bPa

− =

].

Lasciamo per esercizio la dimostrazione dell’asserto e quella della successiva OSSERVAZIONE Un polinomio P(x) è divisibile per il binomio 1x − se e solo se è nulla la somma algebrica dei coefficienti della variabile x. Facciamo, ora, alcuni ESEMPI A. Determiniamo il resto delle divisioni proposte, senza eseguirle. 1. 3( 2 1) ( 2)x x x− + ÷ − La divisione può riscriversi come segue:

[ ]3( 2 1) ( 2)x x x− + ÷ + − Pertanto si ha 3( ) 2 1P x x x= − + mentre, essendo x + b rappresentato da ( 2)x + − , risulta 2b = − e quindi 2b− = . Segue:

3( ) (2) 2 2 2 1 8 4 1 5R P b P= − = = − ⋅ + = − + = . 2. 5 2(2 3 2 3) ( 1)x x x x+ − − ÷ + Si ha 5 2( ) 2 3 2 3P x x x x= + − − e 1b− = − . Per cui:

5 2( ) ( 1) 2 ( 1) 3 ( 1) 2 ( 1) 3 2 3 2 3 0R P b P= − = − = ⋅ − + ⋅ − − ⋅ − − = − + + − = .

3. 3 21 3 1 ( 2)2 2

x x x x + − − ÷ −

Div

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Si ha 3 21 3( ) 12 2

P x x x x= + − − e 2b− = . Pertanto:

3 21 3 1( ) (2) 2 2 2 1 8 4 3 1 4 4 3 1 4

2 2 2R P b P= − = = ⋅ + − ⋅ − = ⋅ + − − = + − − = .

4. 2( 2 1) (2 1)x x x− + ÷ −

Abbiamo 2( ) 2 1P x x x= − + e 12

ba

− = . Per

cui

21 1 1 1 12 1 1 12 2 2 4 4

bR P Pa

= − = = − ⋅ + = − + =

B. Stabiliamo se i seguenti polinomi sono divisibili per il binomio a fianco indicato. 5. 5( ) 2 1 , 1P x x x x= − + − Essendo (1) 1 2 1 2R P= = − + = − il polinomio dato non è divisibile per 1x − . 6. 3( ) 3 4 1 , 1P x x x x= − − + Essendo 3( 1) 3 ( 1) 4 ( 1) 1 3 4 1 0R P= − = ⋅ − − ⋅ − − = − + − = il polinomio dato è divisibile per x + 1. 7. 2( ) 3 3 , 3 2P x x x x= − + −

Essendo 22 2 2 4 2 4 2 113 3 3 3 3

3 3 3 9 3 3 3 3R P = = ⋅ − + = ⋅ − + = − + =

il polinomio dato non è

divisibile per 1x − . APPLICHIAMO ... Determinate il resto delle divisioni proposte senza eseguirle e stabilite se il polinomio dividendo è divisibile per il binomio divisore. 1. 2(3 2 2) ( 1)x x x− + ÷ − 2. 4 3( 3 ) ( 1)x x x x− + − ÷ + 3. 3 2( 1) ( 2)x x x x− + + ÷ +

4. 21 2 ( 1)3 3

x x x − + ÷ −

5. 4 2( 2 1) (2 1)x x x− + ÷ + 6. 3 2( 1) (3 1)x x x x− + − ÷ −

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7. 3 22 1 1 (2 3)3 3

x x x x + − + ÷ −

8. 5 3 21 1 1 (2 3)2 3

x x x x − − + ÷ +

1.4 LA REGOLA DI RUFFINI Le divisioni rispetto alla variabile x 1. ( ) : ( )P x x b+ 2. ( ) : ( )P x ax b+ considerate sotto le opportune ipotesi, oltre che nel modo visto, possono eseguirsi anche in un’altra maniera grazie ad un algoritmo noto come regola di Ruffini. Esaminiamo il primo dei due casi tramite alcuni ESEMPI 1. Determinare quoziente e resto della seguente divisione :

3 2(2 3 5 3) ( 2)x x x x+ − + ÷ + . Procediamo per passi successivi, descrivendo il nuovo metodo ed eseguendo parallelamente la divisione nel modo già studiato. Passo1 Dopo aver controllato che il polinomio dividendo sia ordinato secondo le potenze decrescenti della variabile, individuiamo i suoi coefficienti e il termine noto riportandoli, nell’ordine, in una tabella come di seguito illustrato.

2 3 -5

coefficienti del dividendo termine notodel dividendo

3 2 + 3 - 5 + 3 x + 2

polinomio dividendo

3 2

binomio divisore

x x x

Passo 2 Tracciata una linea orizzontale riportiamo nella zona indicata dalla freccia il termine noto del binomio divisore con il segno cambiato

2 3 -5 3

-2

termine noto del divisorecambiato di segno

Div

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e successivamente riscriviamo il primo coefficiente sotto la linea orizzontale

2 3 -5 3

-2

2

2 + 3 - 5 + 3x x x x3 2

2x2

Passo 3 Moltiplichiamo tale coefficiente per il termine noto del divisore cambiato di segno e scriviamo il prodotto così ottenuto sopra la linea orizzontale e nella colonna successiva

2 3 -5 3

-22

-4

2 + 3 - 5 + 3x x x x + 23 2

2x2-2x3 - 4x 2

Sommiamo i valori incolonnati e riportiamo sempre nella stessa colonna, ma sotto la riga orizzontale, il risultato

2 3 -5 3

-22

-4-1

2 + 3 - 5 + 3x x x x + 23 2

2x2-2x3 - 4x 2

// - x 2 - 5 + 3x-1 x+

Passo 4 Ripetiamo il passo 3 fino ad arrivare alla colonna del termine noto. Il processo si conclude sommando questi ultimi due valori

2 3 -5 3

-22 -1 -3

-4 69

2 + 3 - 5 + 3x x x x + 23 2

2x2-2x3 - 4x 2

// - x 2 - 5 + 3x-1 x

+ 2x x2

// - 3 + 3x

- 3

3 + 6x

// 9

+ +

2

ottenendo, così, il resto della divisione, che nel nostro caso è 9. Per quel che riguarda il quoziente, osserviamo innanzitutto che esso ha grado uguale alla differenza dei gradi fra il polinomio dividendo e il binomio divisore, ossia, in questo esempio, 3 1 2− = . I suoi coefficienti sono dati nell’ordine a cominciare da quello del termine di grado 2 dai numeri scritti fra le due linee verticali, sotto la riga orizzontale, vale a dire nel nostro caso 2, −1 e −3.

Div

isio

ni fr

a po

linom

i e lo

ro ri

duci

bilit

à in

Q

15


Pertanto avremo:

2 3 -5 3

-22 -1 -3

-4 2 69

coefficienti del quoziente resto2x2 -1x - 3 9Q ( ) = x R =

2. Determinare quoziente e resto della seguente divisione

4 2( 3 1) ( 1)x x x− + ÷ − .

Procediamo come nel precedente esempio. Osserviamo che il polinomio dividendo è ordinato ma non completo. I termini mancanti, vale a dire quelli di grado 3 e di grado 1, hanno quindi come coefficiente 0 . Abbiamo

1 0 -3 0

1-2

1 1 -2

resto

1

1 1 -1-2-2

coefficienti del quoziente

cosicché si ottiene

3 2( ) 2 1e2Q x x x x R= + − − = − .

3. Determinare quoziente e resto della seguente divisione nella variabile x

4 3 2 2 3 43 3 1 1 132 2 3 6 6

x ax a x a x a x a − + − − ÷ −

. Si ha

3 - 32

a 32

a2 13

a3- 16

a4-

16

a 12

a 16

a2- 29

a3 154

a4-

3 - a 43

a2 19

a3- 427

a4-

Div

isio

ni fr

a po

linom

i e lo

ro ri

duci

bilit

à in

Q

16


per cui

3 2 2 34 1( ) 33 9

Q x x ax a x a= − + − e 4427

R a= − .

APPLICHIAMO ... Facendo ricorso alla regola di Ruffini, eseguite le divisioni proposte in cui i polinomi si suppongono dipendenti dalla sola variabile x. 1. 3 2( 2 1) ( 2)x x x x− − + ÷ − 2. 4 3 2(3 2 1) ( 1)x x x x x− − + − ÷ − 3. 4 3( 4 5 2) ( 1)x x x x− − − − ÷ + 4. ( )5 3 ( 2)x x x x− − ÷ + 5. ( )6 4 12 2 2x x x x

− − − ÷ −

6. ( )3 21 2 2 22

x x x x − − − ÷ −

7. ( )5 5 ( )x a x a− ÷ − 8. ( )5 5 ( )x a x a− ÷ + 9. ( )4 4 ( )x a x a− ÷ − 10. ( )4 4 ( )x a x a− ÷ + 11. ( )5 5 ( )x a x a+ ÷ + 12. ( )5 5 ( )x a x a+ ÷ − 13. ( )4 4 ( )x a x a+ ÷ + 14. ( )4 4 ( )x a x a+ ÷ − Facciamo una considerazione che vi proponiamo sotto forma di domanda e alla quale vi invitiamo a rispondere da soli: cosa suggeriscono gli ultimi otto esercizi proposti riguardo alla divisibilità di un binomio differenza o somma di potenze aventi lo stesso esponente dispari o pari con il binomio costituito dalla differenza o dalla somma delle basi? Per quanto riguarda la divisione ( ) : ( )P x ax b+ , esaminiamo ancora degli ESEMPI 1. ( ) ( )34 2 1 : 2 1x x x+ − − Per ricondurci al caso in cui il divisore è del tipo x + b, è sufficiente fare in modo che il coefficiente del termine di primo grado del binomio divisore sia uguale ad 1. A tal fine, poiché nell’esercizio proposto tale coefficiente vale 2, applicando la proprietà invariantiva della divisione, possiamo scrivere

Div

isio

ni fr

a po

linom

i e lo

ro ri

duci

bilit

à in

Q

17


( ) ( )34 2 1 : 2 : 2 1 : 2x x x + − −

ricavando

3 1 12 :2 2

x x x + − −

e non dimenticando che il resto di quest’ultima divisione dovrà essere moltiplicato per il numero per cui abbiamo diviso i polinomi dividendo e divisore, 2 nel nostro caso, se vogliamo ottenere il resto della divisione proposta. Eseguiamo ora la divisione con la regola di Ruffini

2 0 1 12

-

12

1 12

3414

2 1 32

Otteniamo, pertanto

2 3 1 1( ) 2 e 22 4 2

Q x x x R= + + = ⋅ = .

2. ( )4 26 9 1 : (3 1)x x x− + + Il coefficiente del termine di primo grado del divisore è 3. Applichiamo la proprietà invariantiva della divisione ( )4 26 9 1 : 3 :[(3 1) : 3]x x x − + +

da cui

4 2 1 12 3 :3 3

x x x − + +

Eseguiamo ora la divisione con la regola di Ruffini

Div

isio

ni fr

a po

linom

i e lo

ro ri

duci

bilit

à in

Q

18


2 0 -3 0 13

-

13

29

2527

2

- 23

- - 2581

- 281

23

- 259

- 2527

Segue

3 22 25 25( ) 23 9 27

Q x x x x= − − + e 2 2381 27

R = − ⋅ = − .

3. ( ) ( )3 2 2 4 22 :x y x y y xy y+ − − Considerata la lettera x come variabile e supposta la lettera y costante non nulla, per la proprietà invariantiva della divisione si ha ( ) ( )3 2 2 4 22 : : :x y x y y y xy y y + − −

da cui ( ) ( )3 2 32 :x x y y x y+ − − . Operando con la regola di Ruffini si ha

1 0y -2y

y

3

2y 3 2y 2

1 2 2y y 0y

2

Pertanto

2 3( ) 2 2 e 0 0Q x x xy y R y= − + = ⋅ = . APPLICHIAMO ... Facendo ricorso alla regola di Ruffini, eseguite le divisioni proposte, in cui i polinomi si suppongono dipendenti dalla sola variabile x.

Div

isio

ni fr

a po

linom

i e lo

ro ri

duci

bilit

à in

Q

19


1. ( )34 2 1 : (2 1)x x x− + + 2. ( )4 26 4 : (2 1)x x x− − 3. ( )310 5 : (5 10)x x x− − 4. ( )4 3 2 2 3 4 5 2: ( )x y x y x y xy y xy y− + − + − 5. ( )3 2 2 3 4 22 4 2 4 : (2 )tx t x t x t tx t− + − − 2 FATTORIZZAZIONE DI UN POLINOMIO IN Q 2.1 POLINOMI RIDUCIBILI E IRRIDUCIBILI IN Q Possiamo osservare come, dato un polinomio a coefficienti razionali, esso possa scriversi in modi diversi. Ad esempio potete facilmente verificare che:

( )22 6 5 3 4x x x− + = − − ( )2 6 5 6 5x x x x− + = − +

2 6 5 ( 1)( 5)x x x x− + = − − Fra le precedenti uguaglianze ce n’è una, precisamente l’ultima, che mette in evidenza la possibilità di “trasformare” un polinomio a coefficienti razionali in un prodotto di polinomi, sempre a coefficienti razionali aventi, però, tutti grado strettamente minore di quello del polinomio dato. Un tale modo di procedere prende il nome di fattorizzazione o scomposizione in fattori del polinomio dato nell’insieme dei numeri razionali. Ricordato che, salvo avviso contrario, con la parola “polinomio” intendiamo riferirci esclusivamente a polinomi aventi coefficienti razionali, possiamo dare le seguenti DEFINIZIONI (polinomio riducibile in Q, polinomio irriducibile in Q) Un polinomio si dice riducibile in Q se può essere fattorizzato, ossia se può scriversi come prodotto di due o più polinomi a coefficienti razionali aventi grado non nullo e strettamente minore di quello del polinomio dato. In caso contrario esso si dice irriducibile in Q. OSSERVAZIONE Conviene fare presente che la condizione imposta sul grado dei fattori è di notevole importanza. Osserviamo infatti che qualsiasi polinomio a coefficienti razionali può scriversi in infiniti modi come prodotto di un qualsiasi monomio di grado zero (numero) per un polinomio dello stesso grado del polinomio dato. Ad esempio

2 2 3 12 3 1 22 2

x x x x + − = ⋅ + −

Div

isio

ni fr

a po

linom

i e lo

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duci

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Q

20


2 22 12 3 1 33 3

x x x x + − = ⋅ + −

2 22 3 12 3 1 5

5 5 5x x x x + − = − ⋅ − − +

individuano tre possibili modi di scrivere il polinomio 22 3 1x x+ − , nessuno dei quali rappresenta una sua fattorizzazione secondo la definizione data. Pertanto, in assenza della condizione sul grado dei fattori, tutti i polinomi sarebbero riducibili in Q. DEFINIZIONE (fattorizzazione completa di un polinomio in Q) Si chiama fattorizzazione completa di un polinomio riducibile in Q una sua scomposizione in fattori irriducibili in Q. ESEMPI 1. Verificate che il polinomio 2 3 2x x− + è riducibile in Q. Osservato che il polinomio dato è divisibile per 1x − , se eseguiamo la divisione (fatela!) otteniamo come quoziente ( ) 2Q x x= − . Allora, grazie alla relazione che lega il dividendo al divisore ed al quoziente, possiamo scrivere

2 3 2 ( 1)( 2)x x x x− + = − − segue che 2 3 2x x− + è un esempio di polinomio riducibile in Q e ( 1)( 2)x x− − ne rappresenta una fattorizzazione completa. 2. Un esempio di polinomio irriducibile in Q è dato da 2 1x + . Infatti, se fosse riducibile, avrebbe un divisore ovviamente di grado 1; ma in tal caso, per il teorema di Ruffini, 2 1x + dovrebbe annullarsi sostituendo ad x un opportuno numero razionale. Ciò è impossibile, poiché 2 0x ≥ per ogni valore di x e 2 21x x+ > , quindi 2 1 0x + > . 2.2 FATTORIZZAZIONE DI UN POLINOMIO IN Q : RACCOGLIMENTO A FATTOR

COMUNE Consideriamo il polinomio 2 3 2 32 3a x a xy axy+ − . Grazie alla proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione, possiamo fattorizzare il polinomio scrivendo

2 3 2 22 3 (2 3 )a x a xy axy ax ax ay y+ − = + − . Il monomio ax, prodotto dei fattori letterali comuni ai tutti i termini, come si suol dire, è stato messo in evidenza o raccolto a fattor comune. Se osserviamo attentamente, esso coincide con un M.C.D.

Div

isio

ni fr

a po

linom

i e lo

ro ri

duci

bilit

à in

Q

21


fra i termini del polinomio da scomporre. L’altro fattore, invece, si ottiene dividendo il polinomio dato per questo M.C.D.. In generale possiamo affermare che, se tutti i termini di un polinomio sono divisibili per uno stesso monomio, allora quel polinomio È riducibile e si scompone nel prodotto di due fattori, il primo dato da un M.C.D. fra i termini del polinomio (fattor comune) ed il secondo dal quoziente della divisione fra il polinomio dato e il divisore comune individuato. Tale procedimento è noto come raccoglimento a fattor comune o raccoglimento totale. Facciamo alcuni ESEMPI Fattorizziamo i seguenti polinomi mediante raccoglimento a fattor comune: 1.

2 - 4 + 6 = a bc a b a b c3

2

5 234 2

2a b

M.C.D. fra i termini del polinomio da fattorizzar

( - 2 + 3 )ac a b c5 2 2 2

2 : a bc3

-4 :a b

22a b

22a b4 3

6 :a bc 2 2 22a b 2. 3 6 5 4 3 4 3 3 4 3 3 4 310 5 5 5 (2 1)x y z x y z x y z x y z y z x− − = − −

3. 6 7 5 3 4 2 5 3 3 3 3 2 3 4 3 21 1 1 1 1 14 2 6 2 2 3

x y z x y z x y z x y z x y z y x z − + = − +

4. 3 2 2 3 2 24 2 2 12 23 5 3 5

a b c a bc abc abc a b ac − + = − +

È bene osservare che alcune volte il fattore comune può essere anche un polinomio, come illustrato dai seguenti ESEMPI 1.

il fattore comune è un polinomio

3( + ) - 2( + ) - ( + ) =m n x m n y m n z2 2 2 32 ( + )m n2 (3 - 2 - )x y z2 3

3( + ) :m n x ( + )m n2 2

-2( + ) :m n y ( + )m n2 22

- ( + ) :m n z ( + )m n2 23 2. 2 2 2 2 2 2 2 2( ) 2( ) ( ) ( )( 2 1)m n p x m n p y m n p m n p x y+ + + + + − + + = + + + −

Div

isio

ni fr

a po

linom

i e lo

ro ri

duci

bilit

à in

Q

22


3. ( 2) 2 ( 2) ( 2) ( 2)( 2 1)ab a ac a a a a a b c+ − + + + = + − +

4. 2 3 2 2

2 2

(2 ) ( 3 1) (2 ) (2 ) ( ) (2 ) [ 3 1 (2 ) ](2 ) ( 3 1 2 ) (2 ) ( 1)a b a b a b a b a b a b a b a b a b

a b a b a b a b a b b+ + + − + + + − = + + + − + + − =

= + + + − − + − = + +

ESERCIZI GUIDATI 1. 2 (2 1)ax ay a x y+ + =… + + 2. 2 2 22 ...( 2 )a x ay aby ax y by− + = − + 3. 3 2 4 3 3 3 3 32 ( )a b c a bc a b c a bc− + = ……

4. 2 2 3 2 5 3 31 1 1 1 16 3 9 2 3

x y x y x y x x y + − =… + −

5. ( )2 2 22 10 8 23 21 15 3

abc a bc ab c abc− − = ……

6. 7 6 3 2 4 8 3 5 22 3 ( )a b c a b c a b c a b c… … …− + = ……

7. 2 3 21 3 2 ( )5 10 15

ax ax a x a x… …− − =… ……

APPLICHIAMO ... Scomponete in fattori mediante raccoglimento a fattor comune i seguenti polinomi 1. 3 2 2 22 3a b a b a b+ − 2. 5 3 2 3 4 3 4 5 212 6 30a b c a b c a b c− +

3. 3 2 3 2 2 4 53 93 152 4

a b a b a b a b c− + −

4. 3 2 2 4 2 2 2 3 2 2 2 32( 2) ( 2) 3( 2) ( 2)a a b c a a b c a a b c a a b c+ − + + + − + 5. 2 22 ( ) 4 ( ) 6 ( ) 2 ( )x y a b xy a b xy a b xy a b− − − − − − − 6. 3 2 22( ) ( ) ( )u v u u v v u v+ − + + +

7. 2 5 2 2 2 2 2 24 27 5

x y z x y z x yz− − +

8. 3 6 2 2 2 31 1 12 2 2

a b a b a b c− +

9. 2 2 2( 2) ( ) ( 2) (2 ) ( 2) ( 3 1)a b x y a b x y a b x y− + − − − + − + − + − + 2.3 FATTORIZZAZIONE DI UN POLINOMIO IN Q: RACCOGLIMENTO A FATTOR COMUNE SUCCESSIVO O PARZIALE Può accadere che i termini di un polinomio non abbiano tutti un fattore comune, ma che presentino questa possibilità a gruppi di due o di tre e così via. Possiamo, in tal caso, eseguire dei raccoglimenti parziali, ossia dei raccoglimenti a fattor comune per ognuno di questi gruppi. Successivamente se il polinomio presenta un fattore comune, esso si mette in evidenza fra tutti i prodotti ottenuti, completando la fattorizzazione. Il procedimento descritto prende il nome di raccoglimento a fattor comune successivo o raccoglimento parziale, proprio perché si effettuano più raccoglimenti uno dopo l’altro.

Div

isio

ni fr

a po

linom

i e lo

ro ri

duci

bilit

à in

Q

23


Facciamo alcuni

ESEMPI

Fattorizzare utilizzando il metodo del raccoglimento a fattor comune successivo

1.

ax ay bx by + + + =

a è in comune b è in comune

a( + )x y + b( + ) x y

ho raccolto ho raccolto

x y + è in comune

=( + )x y (a + b)

ho raccolto +x y

2.

2 - 6 + 3 - 9 = a x ax axy y

2 è in comuneax

2ax ( - 3)ax + 3y

ho raccolto 2ax ho raccolto 3y

ax - 3 è in comune

=

ho raccolto -3ax

2 3 2 2 2

2 3 è in comuney2

2 2 ( - 3)ax

2 2

( - 3)ax 2ax2+ 3y2( )

3.

3 - 3 - 2 + 2 = a x abx aby b y

3 è in comuneax

3ax ( - )a b - 2by

ho raccolto 3ax ho raccolto -2by

a b - è in comune

=

ho raccolto -a b

2 2

-2 è in comuneby

( - )a b 3ax - 2by( )( - )a b

4. 2 ( 1) ( 1) ( 1)( )m n mn am a mn m a m m mn a− + − = − + − = − +

5. 3 2 2 2 2 2

2

2 2 ( ) ( ) 2 ( )( )( 2 )

a b x a by a bx axy abcx cy a b abx y ax abx y c abx yabx y a b ax c

+ − − − − = + − + − + =

= + − −6.

2 2 2 2 2 26 4 2 9 6 3 2 (3 2 1) 3 (3 2 1) (3 2 1)(2 3 )ax b x x axy b y y x ax b y ax b ax b x y− + + − + = − + + − + = − + +

7. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2

2 2 2 4 ( 2) 2 ( 2)( 2)( 2 )

a x a xy a x b xy b y b y a x x y b y x yx y a x b y− + − + − = − + − − + =

= − + −

8. 2 2 4 2 3 6 3 2 4 2

( 2 1) 2 ( 2 1) 3 ( 2 1) 2 ( 2 1) ( 2 1)( 2 3 2 )ax bx x ay by y az bz z axy bxy xy

x a b y a b z a b xy a b a b x y z xy+ − − − + + + − − − + =

= + − − + − + + − − + − = + − − + −

ESERCIZI GUIDATI

1. 2 2 (2 ) (2 ) (2 )( )xy y ax ay x y x y x y+ + + =… + +… + = + ……2. 2 2 .. ( 1) ( 1) ( 1). ( )a x a bxy by x x x− − + = − −… − = − ……3. 2 2 2 2 22 2 2 2 ( ) ( ) ( )(2 )a x a y a bx by b a b a b− + + − + = …… + …… = …… +

Div

isio

ni fr

a po

linom

i e lo

ro ri

duci

bilit

à in

Q

24


4. 3 2 2 2 2 2 2 2 22 2 1 1 2 1 2 1( ) ( ) ( )3 3 2 2 3 2 3 2

x y x y xz yz x y z x y z + − − = …… − …… = …… −

5. 2 2 2 2 ( ) ( )abc a bc x acx ac− − + =… …− … …… =…… APPLICHIAMO ... 1. ax by ay bx− − + 2. 2 22 2a x bx a b+ − − 3. 2 2 2 23 2 3 2ax y bxy a bx b y− + −

4. 2 2 31 1 1 1 1 12 2 2 3 3 3

x y xz x xy yz y xyz z z− + + − + + − +

5. 2 2 2 2 2 4 2 3 2 2 2 2a b x a xy b xy b y b c x c y+ − − + + 6. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2a x b x c x a y b y c y a z b z c z− + + − + − + −

7. 2 2 2 3 2 22 2 1 1 1 13 3 4 4 5 5

r s r t st t rs rst+ − − − −

8. 2 2 2 2u v uv uv v u uv− − + − + 9. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2a x a xy a xz b xy b y b yz c xz c yz c z+ + − − − − − − 2.4 FATTORIZZAZIONE DI UN POLINOMIO IN Q MEDIANTE LE REGOLE SUI PRODOTTI NOTEVOLI Le regole sui prodotti notevoli studiate nel precedente capitolo forniscono altrettante regole di scomposizione di un polinomio in fattori. Infatti, in virtù della proprietà simmetrica dell’uguaglianza: • se un polinomio si presenta nella forma tipica di un quadrato di binomio, esso è riducibile

avendosi:

( )22 22A AB B A B+ + = + • se un polinomio si presenta nella forma tipica di un quadrato di trinomio, esso è riducibile

essendo :

( )22 2 2 2 2 2A B C AB AC BC A B C+ + + + + = + + • se un polinomio si presenta nella forma tipica di un cubo di binomio, esso è riducibile e si ha:

( )33 2 2 33 3A A B AB B A B+ + + = + • se un polinomio si presenta come differenza di due quadrati, esso è riducibile, avendosi:

( )( )2 2A B A B A B− = + − • se un polinomio si presenta come differenza di due cubi, esso è riducibile, essendo:

Div

isio

ni fr

a po

linom

i e lo

ro ri

duci

bilit

à in

Q

25


( )( )3 3 2 2A B A B A AB B− = − + +

• se un polinomio si presenta come somma di due cubi, esso È riducibile, risultando:

( )( )3 3 2 2A B A B A AB B+ = + − + Facciamo alcuni ESEMPI Stabiliamo insieme se i seguenti polinomi sono riducibili in Q e, in caso affermativo, fattorizziamoli. 1. 24 4 1x x+ + Ricerchiamo la presenza di termini che siano dei quadrati. Essi sono 24x ed 1, che sono rispettivamente i quadrati di 2x e di 1. Il trinomio potrebbe essere il quadrato di un binomio. Posto

2A x= e 1B = , eseguiamo il “test” del doppio prodotto: 2 2 2 1 4AB x x= ⋅ ⋅ = . Poiché esso coincide con il termine restante del polinomio dato, quest’ultimo è riducibile e si ha proprio:

2 24 4 1 (2 1)x x x+ + = + . 2. 2 4 4x x+ + Ricerchiamo la presenza di termini che siano dei quadrati. Essi sono 2x e 4, che sono rispettivamente i quadrati di x e 2. Il trinomio potrebbe essere il quadrato di un binomio. Posto A x= e 2B = , eseguiamo il “test” del doppio prodotto: 2 2 2 4AB x x= ⋅ ⋅ = . Poiché esso coincide con il termine restante del polinomio dato, quest’ultimo è riducibile e si ha proprio:

( )22 4 4 2x x x+ + = + . 3. 29 12 4x x+ + Ricerchiamo la presenza di termini che siano dei quadrati. Essi sono 29x e 4, che sono rispettivamente i quadrati di 3x e 2. Il trinomio potrebbe essere il quadrato di un binomio. Posto

Div

isio

ni fr

a po

linom

i e lo

ro ri

duci

bilit

à in

Q

26


3A x= e 2B = , eseguiamo il “test” del doppio prodotto: 2 2 3 2 12AB x x= ⋅ ⋅ = . Poiché esso coincide con il termine restante del polinomio dato, quest’ultimo è riducibile e si ha in effetti:

( )229 12 4 3 2x x x+ + = + . 4. 2 2 42x xy y− + Ricerchiamo la presenza di termini che siano dei quadrati. Essi sono 2x e 4y , che sono rispettivamente i quadrati di x e 2y− . Il trinomio potrebbe essere il quadrato di un binomio. Posto A x= e 2B y= − , eseguiamo il “test” del doppio prodotto: ( )2 22 2 2AB x y xy= ⋅ ⋅ − = − . Poiché esso coincide con il termine restante del polinomio dato, quest’ultimo è riducibile e si ha:

( )22 2 4 22x xy y x y− + = − . 5. 4 2 2 44 4x x y y+ + In questo esempio particolare, tutti i termini del polinomio si presentano sotto forma di quadrati. Facendo alcuni tentativi, non è difficile convincersi che, volendo accertarsi che il trinomio sia il quadrato di un binomio, per primi vanno considerati i termini 4x e 44y , che sono rispettivamente i quadrati di 2x e 22y . Possiamo allora scrivere:

2A x= e 22B y= . Eseguiamo il “test” del doppio prodotto: 2 2 2 22 2 2 4AB x y x y= ⋅ ⋅ = . Poiché esso coincide con il termine restante del polinomio dato, quest’ultimo è riducibile e si ha:

( )24 2 2 4 2 24 4 2x x y y x y+ + = + . 6. ( ) ( )( ) ( )2 21 2 1 2 2x x x x− + − + + + L’esercizio proposto è il più semplice fra quelli fin qui visti. Infatti in esso sono già evidenti i termini al quadrato, che sono ( )21x − e ( )22x + , rispettivamente quadrati di 1x − e 2x + . Il polinomio potrebbe essere scomposto grazie alla regola del quadrato di un binomio. Posto

1A x= − e 2B x= + ,

Div

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duci

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Q

27


eseguiamo il “test” del doppio prodotto: ( ) ( ) ( )( )2 2 1 2 2 1 2AB x x x x= ⋅ − ⋅ + = − + . Poiché esso coincide con il termine restante del polinomio dato, quest’ultimo, in effetti, è riducibile e si ha:

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )22 2 2 21 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1x x x x x x x x x− + − + + + = − + + = − + + = + . 7. 2 4 2 2 24 4 4 2x y z xy xz y z+ + − + − Osservato che i termini 24x , 4y e 2z sono rispettivamente i quadrati di 2x, 2y− e z, il polinomio potrebbe essere lo sviluppo del quadrato di un trinomio. In effetti, procedendo in modo analogo a quello visto nei precedenti esempi, si ha

22 , ,A x B y C z= = − = ed eseguendo i “test” per i doppi prodotti

( )2 22 2 2 4AB x y xy= ⋅ ⋅ − = − 2 2 2 4AC x z xz= ⋅ ⋅ =

( )2 22 2 2BC y z y z= ⋅ − ⋅ = − , troviamo che il polinomio è riducibile essendo proprio il quadrato di un trinomio:

( )22 4 2 2 2 24 4 4 2 2x y z xy xz y z x y z+ + − + − = − + .

8. 2 21 4 2 44

x y xy x y+ + + + +

Osserviamo che i termini 214

x , 2y e 4 sono rispettivamente i quadrati di 12

x , y e 2. Il polinomio

potrebbe essere lo sviluppo del quadrato di un trinomio. In effetti, procedendo in modo analogo a quello visto nei precedenti esempi, si ha

1 , , 22

A x B y C= = =

ed eseguendo i “test” per i doppi prodotti

12 22

AB x y xy= ⋅ ⋅ =

12 2 2 22

AC x x= ⋅ ⋅ =

Div

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Q

28


2 2 2 4BC y y= ⋅ ⋅ = abbiamo che il polinomio è riducibile essendo proprio il quadrato di un trinomio:

22 21 14 2 4 2

4 2x y xy x y x y + + + + + = + +

.

9. 24 2 1x x+ + Il polinomio presenta i termini 24x e 1 che nell’ordine sono i quadrati di 2x e di 1. Il trinomio potrebbe essere lo sviluppo del quadrato di un binomio. Posto

2 , 1A x B= = , eseguiamo il test del doppio prodotto 2 2 2 1 4AB x x= ⋅ ⋅ = che come si vede non coincide con il restante termine del polinomio dato. Esso, quindi, non è riducibile in Q con questa regola. 10. 3 28 12 6 1x x x+ + + Nel polinomio sono presenti i termini 38x e 1 che sono rispettivamente i cubi di 2x e di 1. Il quadrinomio potrebbe allora essere lo sviluppo del cubo di un binomio. Posto

2A x= e 1B = , eseguiamo il “test” dei tripli prodotti:

2 2 23 3 4 1 12A B x x= ⋅ ⋅ =

23 3 2 1 6AB x x= ⋅ ⋅ = . Poiché essi coincidono con i termini restanti del polinomio dato, quest’ultimo è riducibile e si ha proprio:

( )33 28 12 6 1 2 1x x x x+ + + = + . 11. 3 29 27 27x x x− + − Nel polinomio sono presenti i termini 3x e 27− che sono rispettivamente i cubi di x e di 3− . Il quadrinomio potrebbe allora essere lo sviluppo del cubo di un binomio. Posto

, 3A x B= = − , eseguiamo il “test” dei tripli prodotti:

Div

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Q

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2 2 2 23 3 ( 3) 9 , 3 3 9 27A B x x AB x x= ⋅ ⋅ − = − = ⋅ ⋅ = . Poiché essi coincidono con i termini restanti del polinomio dato, quest’ultimo è riducibile e si ha proprio:

( )33 29 27 27 3x x x x− + − = − . 12. ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )3 2 2 31 3 1 2 3 1 2 2x x x x x x+ + + − + + − + − Nell’esercizio sono già evidenti i termini al cubo. Essi sono ( )31x + e ( )32x − , rispettivamente cubi di 1x + e 2x − . Vediamo allora se il polinomio è riducibile grazie alla regola del cubo di un binomio. Posto

1 , 2A x B x= + = − , eseguiamo il test dei tripli prodotti:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2 2 2 22 23 3 1 2 3 1 2 , 3 3 1 2 3 1 2A B x x x x AB x x x x= ⋅ + ⋅ − = + − = ⋅ + ⋅ − = + − . Poiché essi coincidono con i termini restanti del polinomio dato, quest’ultimo è riducibile e si ha:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )33 2 2 3 3 31 3 1 2 3 1 2 2 1 2 1 2 2 1x x x x x x x x x x x+ + + − + + − + − = + + − = + + − = − 13. 24 1x − Possiamo scrivere $4x^2-1={(2x)}^2-{(1)}^2$ ed osservare che il binomio si presenta come differenza di due quadrati. Esso, allora è riducibile e si scompone nel prodotto della somma della basi 2 1x + per la loro differenza 2 1x − . Pertanto:

2 2 24 1 (2 ) (1) (2 1)(2 1)x x x x− = − = + − . 14. 4 6 29x y z− Possiamo scrivere 4 6 2 2 3 2 29 (3 ) ( )x y z x y z− = − ed osservare che il binomio si presenta come differenza di due quadrati. Esso, allora è riducibile e si scompone nel prodotto della somma della basi 2 33x y z+ per la loro differenza 2 33x y z− . Quindi:

4 6 2 2 3 2 2 2 3 2 39 (3 ) ( ) (3 )(3 )x y z x y z x y z x y z− = − = + − . 15. 2 2( 2 ) (2 )a b a b+ − − È già evidente la differenza di due quadrati le cui basi sono 2a b+ e 2a b− . Esso, allora, è riducibile e si scompone nel prodotto della somma delle basi ( 2 ) (2 )a b a b+ + − per la loro differenza ( 2 ) (2 )a b a b+ − − . Quindi:

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[ ][ ]2 2( 2 ) (2 ) ( 2 ) (2 ) ( 2 ) (2 )

( 2 2 )( 2 2 ) (2 )(3 )a b a b a b a b a b a b

a b a b a b a b a b b a+ − − = + + − + − − =

= + + − + − + = + − .

16. 38 27x − Il binomio si presenta come differenza fra 38x e 27, che sono rispettivamente i cubi di 2x e 3. Pertanto, ricordato che ( )( )3 3 2 2A B A B A AB B− = − + + , posto

2 , 3A x B= = abbiamo che il polinomio è riducibile e risulta:

3 3 3 2 2 28 27 (2 ) (3) (2 3) (2 ) (2 )(3) (3) (2 3)(4 6 9)x x x x x x x x − = − = − + + = − + + . 17. 6 3 8x y + Il binomio si presenta come differenza fra 6 3x y e 8, che sono rispettivamente i cubi di 2x y e 2. Pertanto, ricordato che ( )( )3 3 2 2A B A B A AB B+ = + − + , posto

2 , 2A x y B= = abbiamo che il polinomio è riducibile e risulta:

6 3 2 3 3 2 2 2 2 2 2 4 2 28 ( ) (2) ( 2) ( ) ( )(2) (2) ( 2)( 2 4)x y x y x y x y x y x y x y x y + = + = + − + = + − + . 18. 3 3(3 2) (2 1)a a+ − − È già evidente la differenza di due cubi le cui basi sono 3 2a + e 2 1a − . Esso, allora è riducibile e si scompone sfruttando l’uguaglianza ( )( )3 3 2 2A B A B A AB B− = − + + , ponendo

3 2, 2 1A a B a= + = − . Quindi:

[ ]3 3 2 22 2 2 2

(3 2) (2 1) (3 2) (2 1) (3 2) (3 2)(2 1) (2 1)

(3 2 2 1)(9 12 4 6 3 4 2 4 4 1) ( 3)(19 9 3)

a a a a a a a a

a a a a a a a a a a a a

+ − − = + − − + + + − + − = = + − + + + + − + − + − + = + + +

.

19. 3 3(2 ) ( )a b a b+ + − È già evidente la differenza di due cubi le cui basi sono 2a b+ e a b− . Esso, allora è riducibile e si scompone sfruttando l’uguaglianza ( )( )3 3 2 2A B A B A AB B+ = + − + , ponendo 2A a b= + e B a b= − . Quindi:

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[ ]3 3 2 22 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

(2 ) ( ) (2 ) ( ) (2 ) (2 )( ) ( )

(2 ) 4 4 (2 2 ) 2

3 (4 4 2 2 2 ) 3 (3 3 3 )

a b a b a b a b a b a b a b a b

a b a b a ab b a ab ab b a ab b

a a ab b a ab ab b a ab b a a ab b

+ + − = + + − + − + − + − = = + + − + + − − + − + − + =

= + + − + − + + − + = + +

Osserviamo che i termini di 2 23 3 3a ab b+ + hanno in comune il fattore 3; questo consente di scrivere ancora:

3 3 2 2 2 2 2 2(2 ) ( ) 3 (3 3 3 ) 3 3( ) 9 ( )a b a b a a ab b a a ab b a a ab b+ + − = + + = ⋅ + + = + + . ESERCIZI GUIDATI 1. 2 4 2 22 1 ( 1)a b ab+ + = …+ 2. 2 6 3 24 4 1 (2 )x y xy xy…− + = −… 3. 4 4 2 2 2 28 16 ( 4 )a b a b c c a b… …− + = …+ …−

4. 3

3 3 2 21 3 38 68 2 2

x y x y xy xy + + + = …+

5. ( )36 3 4 2 2 28 6 12x y x y x y x y− − + = −… 6. ( )39 6 6 2 3 43 3x y x y x y+ + + = …+… 7. 2 29 25 ( 5 )( 5 )x y y y− = …+ …− 8. 2 6 416 ( 4 )( 4 )x y z xy xy… …− = + … − … 9. 10 8 2 ( )( )x y z− = …+… …−… 10. 3 3 2 28 27 (2 )(4 9 )x y x x y− = −… +…+ 11. 3 6 464 ( )( 16 )x y y− = …−… …+…+ 12. 3 3 3 2( )( )x y z z z+ = …+ …−…+ 13. 3 327 8 ( )( 6 )x y xy+ = …+… …− +… APPLICHIAMO ... Stabilite se i seguenti polinomi sono riducibili in Q mediante l’utilizzo delle regole sui prodotti notevoli. In caso affermativo eseguite la scomposizione. 1. 216 8 1x x− + 2. 2 29 6x xy y+ + 3. 4 2 225 5 1x y x y+ + 4. 2 2( 1) 2( 1)(2 1) (2 1)x x x x− − − − + − 5. 29 2 4x x− + 6. 3 23 3 1x x x+ + + 7. 3 23 3 1x x x− + + 8. 3 26 12 8x x x− − − 9. 3 28 12 6 1x x x+ + +

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10. 3 3 2 2 2 327 27 9x y x y z xyz z− + − 11. 3 2 2 3( 1) 3( 1) (2 1) 3( 1)(2 1) (2 1)x x x x x x+ + + − + + − + − 12. 24 9x − 13. 6 425 1x y − 14. 29 16y− 15. 2 2 9x y + 16. 2(3 2) 4x − − 17. 2 2(5 6) (2 1)x x+ − − 18. 2 4x + 19. 327 8x− 20. 3125 1x − 21. 31 8x+ 22. 3 6 927x y z− 23. 15 3x y− 24. 3 3( ) ( )x y x z+ − − 25. 3 3(2 ) ( 2 )x y x z+ + − 2.5 TRINOMIO PARTICOLARE DI SECONDO GRADO Consideriamo il seguente prodotto ( 2)( 3)x x+ + e domandiamoci se esso può rappresentare la fattorizzazione di un polinomio. Se eseguiamo i conti, otteniamo:

2( 2)( 3) 3 2 6x x x x x+ + = + + + da cui

2( 2)( 3) 5 6x x x x+ + = + + . Pertanto il polinomio 2 5 6x x+ + si scompone nel prodotto ( 2)( 3)x x+ + . Quello che ora vogliamo fare È cercare di stabilire se per caso non esista una sorta di legame fra il trinomio in questione e la sua fattorizzazione, che possa poi in qualche modo essere generalizzata. A tal fine osserviamo quanto segue: 1. il coefficiente del termine di secondo grado è 1; 2. il prodotto dei termini noti dei fattori della scomposizione, ossia 2 e 3, è uguale al termine noto 6 del trinomio; 3. la somma dei termini noti dei fattori della scomposizione, ossia 2 e 3, è uguale al coefficiente 5 del termine di primo grado del trinomio.

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Ora partiamo da un trinomio che soddisfi le condizioni elencate in precedenza ad esempio 2 7 12x x+ + in cui è 12 3 4= ⋅ e 7 3 4= + .

Ebbene, ci aspettiamo che valga l’uguaglianza 2 7 12 ( 3)( 4)x x x x+ + = + + . In effetti risulta:

2 2( 3)( 4) 4 3 12 7 12x x x x x x x+ + = + + + = + + . Quanto detto consente di formulare una regola di scomposizione in fattori, la quale possa avere carattere generale? Proviamo a dare una risposta a questa domanda. Siano m ed n due numeri interi non nulli. Consideriamo il prodotto ( )( )x m x n+ + e sviluppiamo i conti avendo cura di mettere in evidenza la variabile, x nel nostro caso, fra i termini di primo grado

2 2( )( ) ( )x m x n x nx mx mn x m n x mn+ + = + + + = + + + . Pertanto, posto b m n= + e c mn= , possiamo scrivere:

2 ( )( )x bx c x m x n+ + = + + . Abbiamo così provato che: un trinomio di secondo grado del tipo 2x bx c+ + a coefficienti interi, con b m n= + e c mn= , essendo m ed n numeri interi, è riducibile in Z e quindi in Q e si ha

2 ( )( )x bx c x m x n+ + = + + . ESEMPI Stabiliamo se i seguenti trinomi a coefficienti interi sono riducibili in Z e, in caso affermativo, determiniamone la scomposizione in fattori. 1. 2 3 2x x+ + Risulta 2, 3c b= = . Gli interi m ed n che moltiplicati danno 2 sono 1 e 2, -1 e -2, coppie di numeri concordi in quanto il prodotto è positivo. Fra questi, 1 e 2 addizionati danno 3, ossia abbiamo scelto la coppia di numeri positivi, perché la somma è positiva. Pertanto il trinomio è riducibile in Z ed essendo 1m = ed 2n = , possiamo scrivere

2 3 2 ( 1)( 2)x x x x+ + = + + . 2. 2 7 10x x− +

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Abbiamo 10c = e 7b = − . Gli interi m ed n che moltiplicati danno 10 sono 1 e 10, -1 e -10, 2 e 5, -2 e -5, coppie di numeri concordi in quanto il prodotto è positivo. Fra questi, -2 e -5 addizionati danno -7, ossia abbiamo scelto la coppia di numeri negativi, perché la somma è negativa. Pertanto il trinomio È riducibile in Z ed essendo 2m = − ed 5n = − , possiamo scrivere

2 7 10 ( 2)( 5)x x x x− + = − − . 3. 2 3 4x x+ − Abbiamo 4c = − e 3b = . Gli interi che moltiplicati danno -4 sono -1 e 4, 1 e -4, 2 e -2, coppie di numeri discordi in quanto il prodotto È negativo. Fra questi, -1 e 4 addizionati danno 3, ossia abbiamo scelto la coppia in cui il valore assoluto del numero negativo è minore di quello del numero positivo, risultando la somma positiva. Pertanto il trinomio è riducibile in Z ed essendo

1m = − ed 4n = , possiamo scrivere

2 3 4 ( 1)( 4)x x x x+ − = − + . 4. 2 2 15x x− − Abbiamo 15c = − e 2b = − . Gli interi che moltiplicati danno -15 sono 1 e 15− , 15 e -1, -3 e 5, 3 e -5, coppie di numeri discordi in quanto il prodotto è negativo. Fra questi, 3 e -5 addizionati danno -2, ossia abbiamo scelto una delle coppie in cui il valore assoluto del numero negativo è maggiore di quello del numero positivo, risultando la somma negativa. Pertanto il trinomio è riducibile in Z ed essendo 5m = − ed 3n = , possiamo scrivere

2 2 15 ( 5)( 3)x x x x− − = − + . 5. 2 2 4x x− + Abbiamo 4c = e 2b = − . Gli interi che moltiplicati danno 4 sono 1 e 4, -1 e -4, 2 e 2, -2 e -2. Qualunque coppia si addizioni, non si ottiene in alcun caso -2. Ne segue che il trinomio dato non è riducibile in Z. 6. 2 3 18x x+ + Abbiamo 18c = e 3b = . Gli interi che moltiplicati danno 18 sono 1 e 18, -1 e -18, 2 e 9, -2 e -9, 3 e 6, -3 e -6. Qualunque coppia si addizioni, non si ottiene in alcun caso 3. Ne segue che il trinomio dato non è riducibile in Z. APPLICHIAMO ... Stabilite se i seguenti trinomi a coefficienti interi sono riducibili in Z e, in caso affermativo, determinatene la scomposizione in fattori. 1. 2 2 26 , 8 12 , 6x x x x x x− − − + + − 2. 2 2 22 15 , 3 , 9 14x x x x x x+ − + + − +

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3. 2 2 211 10 , 10 21 , 20x x x x x x− + + + − − 4. 2 2 210 , 2 7 , 42x x x x x x− + + + + − 5. 2 2 272 , 6 , 13 42x x x x x x− − + + + + 6. 2 2 24 21 , 7 18 , 7 8x x x x x x− − + − + − 7. 2 2 26 , 3 5 , 5 4x x x x x x− + − + + + Il procedimento visto può essere seguito per scomporre in fattori in Q dei trinomi di secondo grado a coefficienti interi del tipo 2ax bx c+ + con 1a ≠ . Osserviamo che a tale tipo di trinomio si può ricondurre un trinomio di secondo grado a coefficienti frazionari semplicemente riducendo i coefficienti allo stesso denominatore e mettendo in evidenza la frazione 1 fratto tale denominatore. Vediamo come fare con alcuni ESEMPI 1. 22 5 3x x+ + Risulta 2, 5a b= = e 3c = . Determiniamo due interi il cui prodotto sia uguale ad 2 3 6a c⋅ = ⋅ = e la cui somma sia 5b = . I numeri cercati sono 2 e 3. Procediamo, quindi, nel modo seguente:

2 2 22 5 3 2 (2 3) 3 2 2 3 3 2 ( 1) 3 ( 1) ( 1) (2 3)x x x x x x x x x x x x+ + = + + + = + + + = ⋅ + + ⋅ + = + ⋅ + 2. 25 8 3x x− + Risulta 5, 8, 3a b c= = − = . Gli interi che moltiplicati danno 5 3 15⋅ = sono 1 e 15, -1 e -15, 3 e 5, -3 e -5. Fra questi, -5 e -3 addizionati danno -8. Pertanto:

2 25 8 3 5 5 3 3 5 ( 1) 3( 1) ( 1)(5 3)x x x x x x x x x x− + = − − + = − − − = − − 3. 28 2 1x x− − Risulta 8, 2, 1a b c= = − = − . Gli interi che moltiplicati danno 8 ( 1) 8⋅ − = − sono 1 e -8, -1 e 8, 2 e -4, -2 e 4. Fra questi, quelli che addizionati danno -2 sono 2 e -4. Pertanto:

2 28 2 1 8 4 2 1 4 (2 1) 1(2 1) (2 1)(4 1)x x x x x x x x x x− − = − + − = − + − = − + 4. 24 5 6x x+ − Risulta 4, 5, 6a b c= = = − . Gli interi che moltiplicati danno -24 sono 1 e -24, -1 e 24, 2 e -12, -2 e 12, 3 e -8, -3 e 8, 4 e -6, -4 e 6. Fra questi, quelli che addizionati danno 5 sono 8 e -3. Pertanto :

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2 24 5 6 4 8 3 6 4 ( 2) 3( 2) ( 2)(4 3)x x x x x x x x x x+ − = + − − = + − + = + − 5. 22 3 6x x− + Risulta 2, 3, 6a b c= = − = . Gli interi che moltiplicati danno 12 sono 1 e 12, -1 e -12, 2 e 6, -2 e -6, 3 e 4, -3 e -4. Qualunque coppia si addizioni, non si ottiene in alcun caso -3. Ne segue che il trinomio dato non è riducibile in Q. 6. 23 2 2x x+ + Abbiamo 3, 2, 2a b c= = = . Gli interi che moltiplicati danno 6 sono 1 e 6, -1 e -6, 2 e 3, -2 e -3. Qualunque coppia si addizioni, non si ottiene in alcun caso 2. Pertanto il trinomio dato non è riducibile in Q. 2.6 FATTORIZZAZIONE DI UN POLINOMIO IN Q MEDIANTE DIVISIONI

SUCCESSIVE Consideriamo il polinomio 3 2( ) 2 2P x x x x= − − + e calcoliamone il valore per 1x = , 1x = − e

2x = − . Otteniamo:

(1) 1 2 1 2 0P = − − + = ( 1) 1 2 1 2 0P − = − − + + = ( 2) 8 8 2 2 12P − = − − + + = −

Osserviamo, allora, che, al contrario di -2, i numeri 1 e -1 fanno assumere al polinomio valore nullo. Questo diverso comportamento dei numeri 1 e -1 rispetto a -2 nei confronti del polinomio ( )P xpermette di dare una nuova DEFINIZIONE (zero o radice di un polinomio) Sia P(x) un polinomio ed a un numero razionale. Se accade che ( ) 0P a = , allora il numero a si dice zero o radice razionale del polinomio P(x). ESEMPIO Dati il polinomio 3 2( ) 2 5 6P x x x x= − − + e l’insieme { }0, 1,1, 2S = − − , stabiliamo quali fra gli elementi di S sono zeri di P(x). Risulta: P(0) = 6 P(-1) = -1 - 2 + 5 + 6 = 8 P(1) = 1 - 2 - 5 + 6 = 0 P(-2) = -8 - 8 + 10 + 6 = 0. Pertanto, in base alla definizione data, solo i numeri 1 e -2 sono zeri di P(x).

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Riprendiamo l’esempio precedente. Abbiamo visto che 1 è zero del polinomio

3 2( ) 2 5 6P x x x x= − − + . Consideriamo, ora, il binomio di primo grado ottenuto sommando ad x, ossia alla variabile da cui dipende il polinomio P, l’opposto di 1, consideriamo cioè il 1x − . Ricordato quanto affermato dal teorema di Ruffini, si deduce che P(x) è divisibile per 1x − . In effetti fra gli zeri di un polinomio e i binomi divisori di quel polinomio, esiste uno stretto legame, che è messo in evidenza dal seguente TEOREMA (sul legame fra gli zeri di un polinomio e i suoi binomi divisori) Siano P(x) un polinomio ed a un numero razionale. Se a è uno zero di P(x), allora P(x) è divisibile per x a− . Dimostrazione Sia a un razionale, zero di un polinomio P(x). Allora si ha ( ) 0P a = e quindi, per il teorema di Ruffini, P(x) è divisibile per x a− . Dimostrate da soli quanto affermato dalla successiva OSSERVAZIONE Se P(x) è divisibile per x a− , allora a è uno zero di P(x). Vediamo come collegare quanto fin qui detto con il problema della fattorizzazione di un polinomio. Sia P(x) un polinomio di grado n. Supponiamo di essere riusciti in qualche modo a determinare uno zero di P(x), sia tale a. In virtù del teorema precedente, P(x) è divisibile per x a− . Eseguiamo la divisione e indichiamo con Q(x) il relativo quoziente, che ha grado 1n − . Possiamo scrivere: ( ) ( ) ( ) P x x a Q x= − .

Se riusciamo, ora, a trovare uno zero razionale b di Q(x), che poi è anche zero di P(x) (verificatelo da soli), abbiamo che Q(x) è divisibile per x b− . Eseguiamo, allora, la divisione ; detto ( )'Q x il quoziente, che ha grado 2n − , abbiamo:

( ) ( ) ( )Q x x b Q x′= − e quindi

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ).P x x a Q x x a x b Q x′= − = − − Procedendo in questo modo, possono verificarsi due casi: 1. si riescono a trovare 1n − zeri razionali dei successivi quozienti Q, Q’, ..., e quindi di P(x), che si fattorizza nel prodotto di n binomi di primo grado; 2. ad un certo punto non si riescono più a trovare zeri razionali di un determinato quoziente e, quindi, di P(x), la cui fattorizzazione in Q si arresta a quel punto.

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Tale procedimento prende il nome di fattorizzazione di un polinomio tramite divisioni successive. La ricerca degli zeri razionali di un polinomio non è così semplice come potrebbe sembrare. Se, però, ci limitiamo al caso di polinomi a coefficienti interi, essa è facilitata dal seguente TEOREMA (sugli zeri razionali di un polinomio a coefficienti interi) Sia P(x) un polinomio a coefficienti interi. Indicati con a e b rispettivamente il coefficiente della variabile di grado massimo e il termine noto, allora i possibili zeri razionali di P(x) sono da

ricercarsi tra le frazioni del tipo pq

e pq

− con p divisore di b e q divisore di a.

Esaminiamo alcuni ESEMPI Scomponiamo con il metodo delle divisioni successive i seguenti polinomi a coefficienti interi. 1. 3 2( ) 2 2P x x x x= − − + Il termine noto è 2, i cui divisori sono 1 e 2. Il coefficiente della x di grado massimo è 1 che ammette come divisore se stesso. Pertanto gli eventuali zeri di P(x) sono da ricercarsi fra 1, -1, 2 e -2, che sono tutti i possibili rapporti indicati dal teorema. Abbiamo: P(1) = 1 - 2 - 1 + 2 = 0 P(-1) = -1 - 2 + 1 + 2 = 0. Poiché abbiamo trovato due zeri di P(x) ( 1n − nel nostro caso è proprio 3 1 2− = ) eseguiamo due divisioni successive con la regola di Ruffini, nell’ordine per 1x − e per 1x + , come indicato nel seguente schema pratico:

1 -2 -1 2

1 -1 -2

1 1 -1 -2

0

2

0

-1

1 -2-1

prima divisione per , il quoziente ha grado 2 - 1x

seconda divisione per , il quoziente ha grado 1 + 1x

Segue che il quoziente dell’ultima divisione è 2x − . Allora il polinomio dato si fattorizza in ( 1)( 1)( 2)x x x− + − .

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2. 4 3( ) 2 2 1P x x x x= − + − Il grado del polinomio è 4. Determiniamo, se possibile, tre suoi divisori razionali. Il termine noto 1 è divisibile solo per se stesso, mentre il coefficiente della x di grado massimo è divisibile per 1 e 2.

Pertanto gli eventuali zeri razionali di P(x) sono da ricercarsi fra 1, -1, 12

e 12

− .

Risulta

(1) 2 1 2 1 2P = − + − = ( 1) 2 1 2 1 0P − = + − − =

1 1 1 12 2 1 02 16 8 2

P = ⋅ − + ⋅ − =

1 1 1 1 72 2 12 16 8 2 4

P − = ⋅ + − ⋅ − = −

Per cui, avendo trovato solo due zeri razionali di P(x), vale a dire 1− e 12

, possiamo eseguire due

sole divisioni successive rispettivamente per i binomi 1x + e 12

x − .

Otteniamo:

2 -1 0 2 -1

2 -3 3 -1

-1 -2 3 -3 1

prima divisione per , il quoziente ha grado 3 + 1x

seconda divisione per , il quoziente ha grado 2 - x1

21 -1 1

2 -2 2 0

1 2

Non avendo trovato altri zeri razionali, il polinomio dato si fattorizza in Q come segue

21( 1) (2 2 2)2

x x x x + − − +

o, equivalentemente

212( 1) ( 1)2

x x x x + − − +

avendo raccolto 2 dai termini dell’ultimo fattore.

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3. 3 2( ) 6 5 2P x x x x= − − + Il grado del polinomio è 3. Determiniamo, se possibile, almeno due zeri razionali di P(x). I divisori di 2 sono 1 e 2, mentre quelli di 6 sono 1, 2, 3 e 6. Pertanto gli eventuali zeri razionali di

P(x) vanno ricercati fra 1 1 1 1 1 1 21,1, , , , , , 2, 2,2 2 3 3 6 6 3

− − − − − − e 23

.

Si verifica che i due zeri razionali sono 1− e 12

; eseguiamo allora le due divisioni successive.

6 -1 -5 2

6 -7 2 0

-1 -6 7 -2

prima divisione per , il quoziente ha grado 2 + 1x

seconda divisione per , il quoziente ha grado 1 - x1 2

3 -2

6 -4 0

1 2

Pertanto P(x) in Q si fattorizza come segue

1( 1) (6 4)2

x x x + − −

o, equivalentemente,

12( 1) (3 2)2

x x x + − −

APPLICHIAMO ... Scomporre in Q i seguenti polinomi a coefficienti interi. 1. 3 26 11 6x x x− + − 2. 4 25 4x x− + 3. 3 218 15 2x x x− − + 4. 3 26 17 14 3x x x+ + + 5. 3 216 12 4 3x x x− − + 2.7 ALCUNI CONSIGLI Lo svolgimento di un esercizio sulla scomposizione in fattori nel campo razionale di un polinomio a coefficienti interi oppure razionali presenta sempre alcune difficoltà. Esse dipendono da più fattori.

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41


Elenchiamone alcuni: • non esiste un modo standard di procedere nella fattorizzazione, ammesso che se ne possa

eseguire una; • per scomporre in fattori un polinomio potrebbe essere necessario ricorrere a più metodi fra quelli

studiati; • le tecniche di fattorizzazione presentate non costituiscono un criterio per stabilire se un

polinomio è riducibile o no in Q. Si possono avere infatti polinomi che sono riducibili in Q alla cui scomposizione in fattori non si può pervenire con alcuno dei metodi esaminati. Ciò è messo in luce dal successivo

ESEMPIO Il polinomio 4 3 220 7 27 19 7x x x x+ + + + ammette come fattorizzazione l’espressione

2 2(4 3 1)(5 2 7)x x x x+ + − + , alla quale non è possibile pervenire con nessuna delle regole viste. In ogni caso è bene tener presente che, per “tentare” di ridurre in Q un polinomio, conviene applicare i metodi esaminati nell’ordine con cui sono stati presentati. Facciamo ora degli esempi sul modo di procedere rispetto al numero di termini del polinomio dato. • BINOMIO - raccoglimento a fattor comune

2

2

2 2 2 ( )raccolgo x

x xy x x y− = −

- differenza di quadrati

6 2 3 34 (2 )(2 )x y x y x y− = + − - differenza o somma di cubi

3 3 6 2 2 2 2 48 (2 )(4 2 )x y z xy z x y xyz z− = − + +

3 3 2 28 ( 2 )( 2 4 )x y x y x xy y+ = + − + - differenza o somma di potenze aventi esponenti dispari non divisibili per 3 è divisibile per x y− . Procediamo con il metodo della divisione

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1 0 0 0 0 - y

y y y y y y

5

52 3 4

y y y y 02 3 41 per cui, in Q, il binomio si fattorizza come segue

5 5 4 3 2 2 3 4( )( )x y x y x x y x y xy y− = − + + + + . Facciamo un altro esempio. Il binomio 5 32x + è divisibile per 2x + . Procediamo con il metodo della divisione

1 0 0 0 0 32

-2

1 per cui in Q il polinomio si fattorizza nel modo seguente

5 4 3 232 ( 2)( 2 4 8 16)x x x x x x+ = + − + − + - situazioni miste 1.

3 2

4 ( 4 ) ( 2)( 2)differenza di quadratiraccolgo x

x x x x x x x− = − = + −

2. 7 6 6 6 3 3 3 3 2 2 2 2( ) ( )( ) ( )( )( )( )raccolgo x differenza di quadrati somma di cubi differenza di cubi

x xy x x y x x y x y x x y x xy y x y x xy y− = − = + − = + − + − + +

3. 4

4 4 4 4 4 4 4 4 2 2 2 2 4 2 216 ( 16 ) (4 )( 4 ) (4 )(2 )(2 )differenza di quadrati differenza di quadratiraccolgo y

x y y z y x z y x z x z y x z x z x z− = − = + − = + + −

4.

10 10 5 5 5 5

4 3 2 2 3 4 4 3 2 2 3 4

( )( )

( )( )( )( )differenza di quadrati è divisibile per x y è divisibile per x y

x y x y x y

x y x x y x y xy y x y x x y x y xy y+ −

− = + − =

= + − + − + − + + + +

• TRINOMIO - raccoglimento a fattor comune

2 3 2 2 2 4 2 2 22 4 2 2 23 9 3 3 3

x y x y x y x y y y − + = − +

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43


- quadrato di un binomio

2 2 24 4 1 (2 1)x y xy xy− + = − - trinomio particolare di secondo grado 1. 2

6 5

6 5 ( 1)( 5)m n m n

x x x x+ =− ⋅ =

− + = − −

2.

2 2

43 1

3 7 4 3 3 4 4 3 ( 1) 4( 1) ( 1)(3 4)raccolgoraccolgo x raccolgo x

x x x x x x x x x x− −

− + = − − + = − − − = − −

- trinomi di grado superiore al secondo, ma riducibili in Q attraverso la tecnica dei trinomi di secondo grado 1.

2 2

4 2 2 2 27 10 7 10 ( 2)( 5) ( 2)( 5)pongo x y essendo y x

x x y y y y x x= =

− + = − + = − − = − −

2. 2

2

4 2 2 2

3 2 1

2 2

3 5 2 3 5 2 3 3 2 2 3 ( 1) 2( 1) ( 1)(3 2)

( 1)(3 2)

raccolgo y raccolgo raccolgo ypongo x y

essendo y x

x x y y y y y y y y y y

x x

+=

=

+ + = + + = + + + = + + + = + + =

= + +

- metodo delle divisioni successive

3 3 2x x− + ha come zeri 1 e 2− , per cui, eseguendo due divisioni successive rispettivamente per 1x − e per 2x + , otteniamo

3 23 2 ( 1) ( 2)x x x x− + = − +

- situazioni miste 1. 3 2 2

2

2 4 2 2 ( 2 1 ) 2 ( 1)raccolgo x quadrato di binomio

x x x x x x x x− + = − + = −

2.

2

4 3 2 2 2 25 6 ( 5 6 ) ( 2)( 3)trinomio particolareraccolgo x

x x x x x x x x x− + = − + = − −

3. 2 2

4 2 2 2 25 4 5 4 ( 1)( 4) ( 1)( 4) ( 1)( 1)( 2)( 2)pongo x y essendo y x

x x y y y y x x x x x x= =

− + = − + = − − = − − = + − + −

4. 2

2

4 2 2 2

3 4 1

2 2 2

3 7 4 3 7 4 3 3 4 4 3 ( 1) 4( 1) ( 1)(3 4)

( 1)(3 4) ( 1)( 1)(3 4)

raccolgo y raccolgo raccolgo ypongo x y

essendo y x

x x y y y y y y y y y y

x x x x x

− −=

=

− + = − + = − − + = − − − = − − =

= − − = + − −

5. 4 2 4 2 2 2 29 20 ( 9 20) ( 4)( 5) ( 2)( 2)( 5)x y x y y y x x y x x y x x x− + = − + = − − = + − − 6. 4 2 2 2 2 2 3 2 2 2 23 2 ( 3 2) ( 2)( 2 1) ( 2)( 1)x y x y xy xy x x xy x x x xy x x− + = − + = + − + = + −

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• QUADRINOMIO - raccoglimento a fattor comune

2 2 3 3 2 5 2 3 2 2 2 2 2 2 2 3( 1)a b x a b x a b x a b x a b x x abx b− + − = − + − - raccoglimento parziale

2

2 2 2 2

22

2 4 2 2 ( 2 ) ( 2 ) ( 2 )(2 )raccolgo b raccolgo x yraccolgo a

a x a y bx by a x y b x y x y a b−

− + − = − + − = − +

- cubo di binomio

3 2 2 3 327 54 36 8 (3 2 )x x y xy y x y− + − = − - metodo delle divisioni successive

3 2

1,2 3

6 11 6 ( 1)( 2)( 3)ha come zeri e

x x x x x x− + − = − − −

- situazioni miste 1. 2 2

2

2 2 ( 2 2 ) [ ( 2) ( 2)] ( 2)( )raccolgo a raccolgo braccolgo xy raccolgo x

ax y axy bx y bxy xy ax a bx b xy a x b x xy x a b+

+ + + = + + + = + + + = + +

2. 2 2 2 24 4 1 (2 1) (2 1 )(2 1 )

quadrato di binomio differenza di quadrati

x x y x y x y x y− + − = − − = − + − −

3.

2 2 2 2 2 2

1

4 4 4 4 ( 4 4 4 ( 2) [2 ( 2)][2 ( 2)]

(2 2)(2 2)raccolgo quadrato di binomio differenza di quadrati

x y y x y y x y x y x y

x y x y−

− + − = − − + = − − = + − − − =

= + − − +

4. 3 2 2 2 2 2 2 22 ( 2 1) [ ( 2 1)] [ ( 1) ]

[ ( 1)][ ( 1)] ( 1)( 1)x xy xy x x x y y x x y y x x y

x x y x y x x y x y− − − = − − − = − + + = − + =

= + + − + = + + − −

? POLINOMIO CON CINQUE TERMINI - raccoglimento a fattor comune

3 2 3 2 2 2 2 23 2 (3 2 1)a b x a by a b a bx a b a b abx ay b x− + − − = − + − − - differenza o somma di cubi

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1.

3 2 2 3 3

2 2 2

3 3 8 ( ) 8

[( ) 2][( ) 2( ) 4] ( 2)( 2 2 2 4)cubo di binomio differenza di cubi

x x y xy y x y

x y x y x y x y x xy y x y

− + − − = − − =

= − − − + − + = − − − + + − +

2.

3 2 3 3 3 2 2

2 2

3 3 1 ( 1) [( 1) ][( 1) ( 1) ]

( 1 )( 2 1 )

cubo di binomio somma di cubi

x x x y x y x y x x y y

x y x x xy y y

− + + + = + + = + + + − + + =

= + + + + − − +


4 3 2

1, 2 , 3 4

2 13 38 24 ( 1)( 2)( 3)( 4)ha come zeri e

x x x x x x x x−

− − + − = − − − +

- situazioni miste

1.

2 2 2 2

1

2 ( 1) ( 2 1 ( 1) ( 1)

( 1)[ ( 1)] ( 1)( )

raccolgo x quadrato di binomioraccolgo y raccolgo x

x x x y xy y x x y x x x x y x

x x y x x x xy y−

− + − + = − + − + = − + − =

= − + − = − + −

2.

2 2

4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

1

2 1 ( 1) ( 1) ( 1)( 1 ) ( 1)( 1)( 1)quadrato di binomio raccolgo y raccolgo x

x x x y y x y x x x y x x x y− −

− + − + = − − − = − − − = + − − −

3.

3 2 2 2 3 2 2

2

2 2

1

2 4 2 (2 4 2 [2 ( 2 1 ( 1)]

[2 ( 1) ( 1)] ( 1)[2 ( 1) ] ( 1)(2 2

raccolgo x quadrato di binomioraccolgo yraccolgo y

raccolgo x

x y x y xy xy y y x x x xy y y x x x y x

y x x y x y x x x y y x x+

+ + + + = + + + + = + + + + =

= + + + = + + + = + +

)x y+

4. 2

4 3 2 4 2 3 2 2 2

2 1

2 2 2 2

2 2 2 1 2 1 2 2 ( 1) 2 ( 1)

( 1)( 1 2 ( 1)( 1)

quadrato di binomio raccolgo x raccolgo x

quadrato di binomio

x x x x x x x x x x x

x x x x x+

+ + + + = + + + + = + + + =

= + + + = + +

• POLINOMIO CON SEI TERMINI - raccoglimento a fattor comune

2 3 2 2 2 2 2 2 22 ( 2 )x y x y axy bx y xy abx y xy xy x ay bx y abxy− + − + − = − + − + − - raccoglimento parziale

2 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)( )x x xy y xz z x x y x z x x x y z− + − + − = − + − + − = − + +

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- quadrato di trinomio

2 2 2 22 2 2 ( )x y z xy xz yz x y z+ + + − − = − −

- differenza di quadrati

2 2 2 2 2 2 2 24 4 1 2 (2 1) ( 2 ) (2 1) ( ) [(2 1) ( )][(2 1) ( )] (2 1 )(2 1 )x x y yz z x y yz z x y z x y z

x y z x y z x y z− + − + − = − − − + = − − − = − + − =

= − − − = − + − − − +


5 4 3 2

11,1, 2,22

12 10 5 8 4 ( 1)( 1)( 2)( 2)2

ha come zeri e

x x x x x x x x x x− −

− − + + − = + − + − −

- situazioni miste

1. 23 2 2 2 3 2 2 2

2

6 12 8 2 ( 2) ( 2) ( 2)[ ( 2) ]

( 2)[( 2) ][( 2) ] ( 2)( 2 )( 2 )

cubo di binomio raccolgo x differenza di quadratiraccolgo y

x x x xy y x y x x x y

x x y x y x x y x y−

− + − − + = − − − = − − − =

= − − + − − = − − + − −

2. 2 2 2 2 2 22 2 ( 2 1) ( 2 1) ( 2 1)( ) ( 1) ( )ax ax a bx bx b a x x b x x x x a b x a b+ + − − − = + + − + + = + + − = + −

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05 – divisioni fra polinomi e loro riducibilitaÀ in q · 2014. 2. 24. · 4 2 2 1. x x xx x x x....

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