05 complex 01
DESCRIPTION
complex numbersTRANSCRIPT
120 จ ำนวนเชงซอน.
CO
MP
LE
X N
UM
BE
R
จ านวนเชงซอน (COMPLEX NUMBER) ในการแกสมการบางสมการ เราไมสามารถหาจ านวนจรงทมคณสมบตสอดคลองกบ
สมการนนไดยกตวอยาง เชน x an2 โดยท n เปนจ านวนเตมและ a เปนจ านวนลบ ดงนนเพอใหสมการเหลานมค าตอบ จงไดมการตงสญลกษณขนมาใหม คอ i โดยท i เปนค าตอบในระบบสมการ x2 1 จะเหนไดวา i ไมใชเลขจ านวนจรง และมคณสมบต i2 1
1. ถา a และ b เปนจ านวนจรงแลว z = a + bi เรยกวา จ านวนเชงซอน
a เรยกวา สวนจ านวนจรง (real part) ของ z เขยนแทนดวย Re (z)
b เรยกวา สวนจนตภาพ (imaginary part) ของ z เขยนแทนดวย Im (z) 2. จ ำนว นเชงซอนทสวนจ ำนว นจรงเป นศนย เรยกวำ จ ำ นวนจ นตภำพ
2. ให C = เซตของจ านวนเชงซอน = a bi a R b R ,
จ านวนเชงซอน a + bi อาจเขยนแทนไดดวยคล าดบ (a, b)
3. นยาม การเทากนของจ านวนเชงซอน
ถา z a b i z a b i1 1 1 2 2 2 , แลว
z z1 2 กตอเมอ a a1 2 และ b b1 2
4. นยาม การบวกและการคณของจ านวนเชงซอน
ถา z a b i z a b i1 1 1 2 2 2 ,
แลว z z a a b b i1 2 1 2 1 2
z z a a b b a b a b i1 2 1 2 1 2 1 2 2 1
5. นยาม ถา z = a+bi
จ านวนเชงซอนสงยค (Conjugate) ของจ านวนเชงซอน z
คอ a-bi และเขยนแทนดวย z
คาสมบรณ (Absolute value) ของ z
คอ a b2 2 และเขยนแทนดวย z
z b
a Re(z)
Im (z) z = a + bi = (a,b)
Tutor Oui 121
CO
MP
LE
X N
UM
BE
R
6. คณสมบตของระบบจ านวนเชงซอน
6.1. คณสมบตปดของการบวก และการคณ (Closure law) ถา z z C1 2, แลว จะไดวา z z C1 2 และ z z C1 2
6.2. คณสมบตเปลยนกลม (Associative law) ถา z z1 2, และ z C3 แลวจะไดวา z z z z z z1 2 3 1 2 3 และ z z z z z z1 2 3 1 2 3
6.3. เอกลกษณการบวก และการคณ (Identity) ม 0 0 i หรอ 0 เปนเอกลกษณการบวก นนคอ z z z 0 0 ทกคา z C ม 1 0 i หรอ 1 เปนเอกลกษณการคณ นนคอ z z z 1 1 ทกคา z C
6.4. อนเวอรสของการบวก และการคณ (Inverse) ถา z a bi แลว จะไดวา - a - bi เปนอนเวอรสการบวกของ z นนคอ a bi a bi a bi a bi 0
ถา z a bi โดยท 0z แลวจะไดวา 1
a bi หรอ a bi
a b
2 2
เปนอนเวอรสการคณของ z นนคอ
biaba
bia1
ba
biabia
2222
และ
2z
z
z
1
6.5. คณสมบตการสลบทของการบวกและการคณ (Commutative law) ถา z z C1 2, แลว จะไดวา 1221 zzzz และ 1221 zzzz
6.6. คณสมบตการแจกแจงของการบวกและการคณ (Distributive law) ถา z z1 2, และ z C3 แลว จะไดวา z z z z z z z1 2 3 1 2 1 3
122 จ ำนวนเชงซอน.
CO
MP
LE
X N
UM
BE
R
ทฤษฎบท (ทส าคญ)
ให z z z C, ,1 2 จะไดวา
แถม
2221211121212
21 zzzzzzzz)zz()zz(zz
2221
21 z)zzRe(2z
2221
21 z)zzRe(2z
Tutor Oui 123
CO
MP
LE
X N
UM
BE
R
ระบบพกดเชงขว (Polar Co-ordinate System)
ถา z a bi แลว จะไดวา z r i cos sin
โดยท 22 bar และ a
btan
โดยท 20 [ ดรปประกอบดวย ]
เรยก r วาเปน Amplitude หรอ modulus ของ z
เรยก วาเปน Phase หรอ Arqument ของ z
ทฤษฎบท ให 1111 sinicosrz 1111 rcisr
2222 sinicosrz 2222 rcisr แลวจะได
21212121 sinicosrrzz 2121rr
21212
1
2
1 sinicosr
r
z
z 21
2
1
r
r ; 0z2
ทฤษฎบทของเดอมวฟ
ถา n I และ sinicosrz แลวจะไดวา
nsinincosrz nn nrn
n
k2sini
n
k2cosrz n
1
n
1
kn
2
nr
n
โดยท 1n,...,2,1,0k
Note 1. ถา sinicosrbiazn และ n321 z,...,z,z,z เปนรากของสมการนแลวจะไดวา n
n321 rz...zzz
2. ถา sinicosrz แลว sinicosrz sinicosr
3. ถา sinicosz แลว sinicoszz1
y
a
r b
x
a+bi
124 จ ำนวนเชงซอน.
CO
MP
LE
X N
UM
BE
R
พสจน
1. เนองจาก 1z )sini(cosr 111
และ 2z )sini(cosr 222
ดงนน 21zz )]sini(cosr[ 111 )]sini(cosr[ 222
)]sini(cos)sini[(cosrr 221121
)sinsincossinisincosicos(cosrr 2121212121
)sinsincos[(cosrr 212121 )]cossinsin(cosi 2121
นนคอ 21zz )]sin(i)[cos(rr 212121
2. จาก 1z )sini(cosr 111
และ 2z )sini(cosr 222
ดงนน 2
1
z
z )sini(cosr
)sini(cosr
222
111
)sini(cos
)sini(cos
r
r
22
11
2
1
)sini(cos
)sini(cos
22
22
2
22
2
21212121
2
1
sincos
sinsincossinisincosicoscos
r
r
)]sin(i)[cos(r
r2121
2
1
นนคอ 2
1
z
z )]sin(i)[cos(r
r2121
2
1
ทฤษฎบท ในระบบจ านวนเชงซอนสมการพหนามก าลง n ในรป a x a x a x an
nn
n
11
1 0 0...... จะมราก (ค าตอบ) จ านวน n ราก (อาจมบางรากซ ากน) และจะไดวา
1. ผลบวกของทกราก = a
a
n
n
1
2. ผลคณของทกราก = a
an
n0 1
ทฤษฎบท ถา P(x) เปนพหนามในระบบจ านวนเชงซอนทมทกสมประสทธเปนจ านวนจรง และ z เปนจ านวนเชงซอนทท าให P z 0 แลวจะได P z 0
Tutor Oui 125
CO
MP
LE
X N
UM
BE
R
Drill 1
1.
103
1n
nni เทากบเทาใด
ตอบ -52 - 52i
2. ถา Z เปนจ านวนเชงซอนซง ( )1 1 1 i Z แลวสวนจรงของจ านวนเชงซอน Z Z Z( ) 15 เทากบขอใด (Ent 41 ตลาฯ)
1. 3
2 2. 3
2 3.
1
2 4. 1
2
ตอบ ขอ 4
3. สวนจรงของจ านวนเชงซอน 2
1
12i
i
คอขอใดตอไปน (Ent)
1. -64 2. -16 3. 16 4. 64
ตอบ ขอ 1
4. จ านวนเชงซอน z = 1 + i เปนค าตอบของสมการในขอใดตอไปน (A-NET 49) 1. 0z4z2z 24 2. 0z4z2z 24 3. 0z4z2z 24 4. 0z4z2z 24
ตอบ ขอ 1
126 จ ำนวนเชงซอน.
CO
MP
LE
X N
UM
BE
R
5. ถา z เปนจ านวนเชงซอนซง z 0 และ 5 12 3 4 1303 i z i z แลว z (คาสมบรณของ z) มคาเทากบขอใดตอไปน (Ent)
1. 2 2. 1
2 3. 1
2 4. 2
ตอบ ขอ 1
6. ถา z เปนจ านวนเชงซอน ซง 7 24 3 4 16 i i z แลว z z มคาเทาใด (Ent 42 มนาฯ)
ตอบ 5
1
7. ให z เปนจ านวนเชงซอนซง 4 9 6 21i z z
ดงนน z มคาอยในชวงในขอใดตอไปน (สมาคมฯ ป 41)
1. 01
2,
2. 1
21,
3. 1
3
2,
4. 3
22,
ตอบ ขอ 2
8. ก าหนดให 1z และ 2z เปนจ านวนเชงซอนซง 5|zz| 221 และ 1|zz| 2
21 คาของ 2
22
1 |z||z| เทากบขอใดตอไปน (PAT มนาฯ 52) 1. 1 2. 2 3. 3 4. 4
ตอบ ขอ 3
Tutor Oui 127
CO
MP
LE
X N
UM
BE
R
9. ให z = a + bi ซง b > o ถา z สอดคลองกบ 64z
32z4z
2
2
= 1
และ 61zz แลว a + b มคาเทากบขอใดตอไปน 1. 9 2. 10 3. 11 4. 12
ตอบ ขอ 3
10. ถา z เปนจ านวนเชงซอนทสอดคลองกบสมการ | | แลวสวนจนตภาพของ z มคาเทากบขอใดตอไปน (A-NET 51) 1. -1 2. 2 3. 12 4. 21
ตอบ ขอ 4
11. จงพจารณาวากราฟของจด z ทงหมดในระนาบเชงซอนทสอดคลองสมการ (z+i)( z -i) = 4 มลกษณะดงขอใดตอไปน 1. เสนตรง 2. วงกลม 3. พาราโบลา 4. วงร
ตอบ ขอ 2