05.-desain-bujur-sangkar-dan-faktorial1

8/19/2019 05.-Desain-Bujur-Sangkar-dan-faktorial1

1/53

Desain Bujur SangkarDosen pertemuan 1 s/d 8 : Lely Riawati, ST., MT


2/53

Desain Bujursangkar• Desain bujursangkar digunakan apabila metode analisis

desain acak sempurna atau desain blok lengkap acaktidak memberikan hasil yang efisien maupun kurangekonomis apabila ditinjau dari besarnya biaya yang

dikeluarkan

• Beberapa desain bujursangkar diantaranya:• Desain Bujursangkar Latin (DBSL)• Desain Bujursangkar Graeco-Latin• Desain Bujursangkar Youden


3/53


4/53

DBSL• Desain ini merupakan perluasan dari desain blok lengkap

acak, dimana tiap perlakuan terdapat satu, dan hanyasatu kali dalam tiap baris, dan hanya satu kali dalam tiapkolom; sedangkan pengacakan dilakukan berdasarkandua buah pembatasan, yakni menurut baris dan kolom

• Ukuran diberikan bergantung banyaknya perlakuan (m),sehingga terjadi DBSL m x m dengan m 2 unit eksperimen


5/53

• Untuk keperluan analisis data, dalam DBSL dengan hanya satupengamatan untuk tiap unit eksperimen, digunakan modellinier berikut ini:

dengan asumsiY ij(k) = hasil pengamatan yang dicatat dari perlakuan ke k,

yang dipengaruhi oleh baris ke I dan kolom ke jµ = rata-rata umumΒi = efek baris ke I

γ j = efek kolom ke jπ k = efek perlakuan ke kЄij = efek unit eksperimen dalam baris ke I dan kolom ke j

untuk perlakuan ke k

ij(k)k jiij(k) πγβμY

DBSL


6/53

Harga JK DBSL

m

1i

m

1 j

2

ij(k)

2

YY22

y /mJR

y y y y P K B RY 2

yE

ike barisdalam pengamatannilai jumlahJdimana

R /mJB

io

m

1iy

2ioy

jkekolomdalam pengamatannilai jumlahJdimana

R /mJK

oj

m

1 jy

2ojy

ike perlakuandalam pengamatannilai jumlahJdimana

R /mJP

k

m

1iy

2k y


7/53

Anava DBSL m x m

Daftar Anava Untuk DBLA

Sumber Variasi dk JK KT F

Rata-rataBaris

KolomPerlakuanKekeliruan

1m-1

m-1m-1

(m-1)(m-2)

RyBy

KyPyEy

RB

KPE

P/E

Jumlah m 2 ∑Y 2 -


8/53

Contoh DBSL

• Misalkan kita bermaksud meneliti apakah empat buah mesinA, B, C, D pembuat barang Z memperlihatkan kemampuanberproduksi yang berbeda secara berarti atau tidak.

• Kita tahu bahwa produksi dipengaruhi oleh adanya operatoryang berlainan dan hari-hari kerja yang berbeda.


9/53

ALTERNATIF DESAINKolom

1 2 3 4

Baris

1 A B C D

2 B C D A

3 C D A B

4 D A B C

Kolom1 2 3 4

Baris

1 A B C D

2 B D A C

3 C A D B

4 D C B A

Kolom

1 2 3 4

Baris

1 A B C D

2 B A D C

3 C D B A

4 D C A B

Kolom

1 2 3 4

Baris

1 A B C D

2 B A D C

3 C D A B

4 D C B A


10/53

DBLA - DBSLDBLA (1) Hari

1 2 3 4

Mesinyangdigunaka

n

A (260) D (345) B (353) C (365)

B (308) C (343) C (350) D (363)

C (230) B (358) A (298) B (323)

D (285) A (280) D (333) A (288)

Operator

Hari

Kerja

1 2 3 4

1 B A D C

2 C B A D

3 A D C B

4 D C B A

DBLA (2) Perlakuan (Mesin)

Blok (hari) A B C D

1 260 308 323 330

2 280 358 343 345

3 298 353 350 333

4 288 323 365 363


11/53

Bujur Sangkar Latin danVariasinya


12/53

Contoh Soal• Seorang peneliti ingin mengetahui ke efektifan mesin fillet

otomatis A,B,C,D terhadap produksi fillet tuna. Produksidipengaruhi oleh adanya operator dan hari kerja yangberlainan. Peneliti memutuskan membuat design dengan

empat operator sebagai kolom dan empat hari kerja sebagaibaris.

Operator

Hari Kerja 1 2 3 4

1 B A D C

2 C B A D

3 A D C B

4 D C B A


13/53

Contoh Soal


14/53

Contoh SoalSetelah itu hitung Faktor koreksi, JK baris, kolom, dan perlakuan.


15/53

Contoh Soal• Menghitung kuadrat tengah (KT) dari baris, kolom, dan

perlakuan serta Galat.

db = (n-1)db galat = (n-1).(n-2)


16/53

Contoh soal

• Menghitung F hitung perlakuan, baris dan kolom.


17/53

Contoh Soal• Masukkan ke dalam tabel ANOVA.

• Kesimpulan?


18/53

Bagaimana mendapatkan nilaiF tabel?


19/53

Desain Bujursangkar Graeco-Latin• Dalam DBSL pengacakan dilakukan secara ganda, yakni

menurut baris dan kolom. Apabila desain diperluas denganmelakukan pengacakan ketiga maka disebut DesainBujursangkar Graeco-Latin (DBSGL)

• Dalam desain ini menggunakan simbol huruf Latin dan Greek

• Taraf maksimum yang dapat digunakan dalam desain Bujur

Sangkar Graeco latin adalah 5


20/53

Desain Bujur Sangkar Latin• Desain bujur sangkar latin

• Pengacakan dilakukan secara ganda, yakni baris dan kolom.

• Desain bujur sangkar Graeco Latin• Desain diperluas dengan pengacakan yang ketiga, yakni faktor

α,β,γ,δ, Ԑ .


21/53

Contoh DBSGL• Misalkan ada petunjuk bahwa waktu kerja (pagi, siang, sore,

dan malam) tiap hari juga mempengaruhi produksi. Jika faktordigabungkan bersama dengan faktor operator, hari dan mesinmaka dapat disusun sebuah desain bujursangkar Graeco-Latin

4 x 4 Waktu Kerja J io

HariKerja

Pagi Siang Sore Malam

1 Dδ (16) C γ (6) Bβ (15) A α (11) 48

2 Cβ (13) D α (9) Aδ (10) B γ (13) 45

3 Bα (15) A β (14) D γ (14) C δ (12) 55

4 A γ (9) Bδ (12) C α (8) D β (9) 38

Joj 53 41 47 45 186


22/53

Nilai Jumlah Nilai Jumlah

JA 44 J α 43

JB 55 J β 49

JC 39 J γ 42

JD 44 J δ 52


23/53

Model DBSGL• Untuk keperluan analisis data, dalam DBSGL dengan hanya

satu pengamatan untuk tiap unit eksperimen, digunakanmodel linier berikut ini:

dengan asumsiY ij(k) = hasil pengamatan yang dicatat dari perlakuan ke k,yang dipengaruhi oleh baris ke I dan kolom ke j

µ = rata-rata umumΒi = efek baris ke I

γ j = efek kolom ke jw l = pembatasan yang ketiga dengan taraf huruf greek π k = efek perlakuan ke kЄij = efek unit eksperimen dalam baris ke I dan kolom ke j


ij(k)k jiij(k) πγβμY l w


24/53

Harga JK DBSL

288.2912...1316Y 22222

25,165.24

186R 2

2

y

25,1825,1725,3475,1825,3725,162.2288.2E y

25,3725,162.2

4

38554548 2222 y B

75,1825,162.2

445474153 2222

y K

25,3425,162.2

448395544 2222

y P

25,1725,162.24

52424943 2222 yT


25/53

Tabel AnovaSumber Variasi dk JK KT F

Rata-rata 1 2.162,25 2.162,25

1,88

Hari 3 37,25 12,42

Waktu kerja 3 18,75 6,25Operator 3 17,25 5,75

Mesin 3 34,25 11,42

Kekeliruan 3 18,25 6,08

Jumlah 16 2.288

Fhitung < F tabelKesimpulan hasil dari perlakuan perbedaan mesin tidak signifikanberbeda


26/53

Desain Bujursangkar Youden• Desain Bujursangkar Latin memiliki kesamaan jumlah

perlakuan dengan banyak blok (baris) atau banyak kolom.

• Jika sekarang adanya perlakuan lebih banyak bila dibandingkandengan banyak blok (baris) atau banyak kolom, sedangkansyarat-syarat lain masih dipenuhi, maka diperoleh desain bujursangkar tak lengkap atau sering dinamakan DesainBujursangkar Youden. Analisisnya seperti dilakukan padadesain Blok Tak Lengkap Acak


27/53

• Semisal jika kita ingin meneliti kapasitas empat buah mesindalam empat hari, namun setiap hari tidak dimungkinkanadanya shift malam, maka desain bujursangkar Youden dapatdisusun seperti di bawah ini:

Operator

HariKerja

Pagi Siang Sore

1 A B C

2 D A B3 B C D

4 C D A


28/53

DBSY• Untuk keperluan analisis data, dalam DBSY dengan hanya satu

pengamatan untuk tiap unit eksperimen, digunakan modellinier berikut ini:

dengan asumsiY ij(k) = hasil pengamatan yang dicatat dari perlakuan ke k,yang dipengaruhi oleh baris ke I dan kolom ke j

µ = rata-rata umumΒi = efek baris (blok) ke i

γ j = efek kolom ke jπ k = efek perlakuan ke kЄij = efek unit eksperimen dalam baris ke I dan kolom ke j


ij(k)k jiij(k) πγβμY


29/53

Harga JK DBSY

m

1i

m

1 j

2

ij(k)

2

YY 22

y /mJR

y y y y P K B RY 2

yE

ike barisdalam pengamatannilai jumlahJdimana

R /mJB

io

m

1iy

2ioy

jkekolomdalam pengamatannilai jumlahJdimana

R /mJK

oj

m

1 jy

2ojy

ike perlakuandalam pengamatannilai jumlahJdimana

R /mJP

k

m

1iy

2k y

Penentuan nilai Qj seperti pada desain

blok tak lengkap acak


30/53

Barang yang dihasilkan 4 mesin(desain bujursangkar Youden)


31/53

Eksperimen Faktorial


32/53


• Eksperimen Faktorial digunakan untuk menyelidiki secarabersamaan efek beberapa faktor berlainan.

• Eksperimen Faktorial merupakan eksperimen yang semua (hampirsemua) taraf sebuah faktor tertentu dikombinasikan ataudisilangkan dengan semua (hampir semua) taraf tiap faktor lainnyayang ada dalam eksperimen itu

• Eksperimen ini sering diberi nama dengan menambahkan perkalianantara banyaknya taraf faktor yang satu dengan banyak taraf faktoratau faktor-faktor lainnya.


33/53


• Apabila eksperimen terdiri dari 2 faktor (A dan B) makadisebut dengan eksperimen dua faktor (eksperimen faktorial ax b)

• Sedangkan apabila eksperimen terdiri dari 3 faktor (A, B, danC) maka disebut dengan eksperimen tiga faktor (eksperimenfaktorial a x b x c)


34/53


• Misal, apabila terdapat dua buah faktor, sebuah terdiri atas empattaraf dan sebuah lagi terdiri atas tiga taraf, maka diperoleheksperimen faktorial 4x3

• Hal ini memerlukan 12 kondisi eksperimen (kombinasi perlakuan)yang berbeda-beda


35/53

Contoh• Percobaan pertanian telah disediakan 3 macam pupuk

antara lain N, P, dan K. Level dari setiap faktor tersebutdidefinisikan pada pupuk digunakan atau tidak. Makadiperoleh eksperimen faktorial 2x2x2. Didapatkan 8kombinasi perlakuan antara lain:• Kombinasi perlakuan tanpa N, tanpa P, tanpa K• Kombinasi perlakuan tanpa N, tanpa P, dengan K• Kombinasi perlakuan tanpa N, dengan P, tanpa K• Kombinasi perlakuan tanpa N, dengan P, dengan K

• Kombinasi perlakuan dengan N, tanpa P, tanpa K• Kombinasi perlakuan dengan N, dengan P, tanpa K• Kombinasi perlakuan dengan N, tanpa P, dengan K• Kombinasi perlakuan dengan N, dengan P, dengan K


36/53

Organisasi Data untuk Eksperimen Faktorial2 Faktor


37/53

Model dari Efek Tetap• a level faktor diambil dari A faktor yang tetap, b level faktor diambil

dari B faktor yang tetap.

• Model dari Eksperimen Faktorial ini adalah:

• yijk = μ+ A i +B j + ABij +ε k(ij)i = 1, 2, …, a j = 1, 2, …, b k = 1, 2, …, n

• KeteranganYijk = variabel respons hasil observasi ke-k yang terjadi karena pengaruhbersama taraf ke I faktor A dan taraf ke j faktor Bμ = rata -rata umumAi = efek dari level ke – i dari faktor A

B j = efek dari level ke – j dari faktor B(AB)ij = efek dari interaksi antara A i dan B jε k(ij) = efek unit eksperimen ke k dalam kombinasi perlakuan ij


38/53

Hipotesis

• Ho = Ai = 0 (tidak terdapat perbedaan efek dari Faktor A)H1 = Ai ≠ 0

• Ho = Bi = 0 (tidak terdapat perbedaan efek dari Faktor B)H1 = Bi ≠ 0

• Ho = (AB)

ij= 0 (tidak terdapat perbedaan efek interaksi)

H1 = (AB)ij ≠ 0


39/53

Harga JK DEF

a

i

abndengandk 1

b

1 j

n

1k

2

ijk

2 ,YY

b

1 j

n

1k jk Yioo J

J ioo=jumlah nilai pengamatan yang adadalam taraf ke i faktor A

a

1i

n

1k ik Yojo J

J ojo=jumlah nilai pengamatan yang adadalam taraf ke j faktor B

n

1k k Yijo J

J ijo=jumlah nilai pengamatan yang ada dalamtaraf ke I faktor A dan dalam taraf ke j faktor B

a

iooo J

1

b

1 j

n

1k ijk Y J ooo =jumlah nilai semua pengamatan


40/53

Harga JK DEF1dk dengan/abn,JR 2

oooy

)1(,E2

y nabdengandk AB B A RY y y y y

1)-(adkdengan

R /bn)(J

a

1iy

2iooy A

1)-(bdkdengan

R /an)(Ja

1iy

2ojoy B

a

i

J 1

b

1 jy

2ijoab R /n)(J

1)-1)(b(dk dengan,B-A-J yyaby a AB


41/53

Tabel Anova

SumberVariasi

dk JK KT F

Rata-rata 1 Ry R

PerlakuanA a-1 Ay A Bergantung

pada modelB b-1 By B

AB (a-1)(b-1) Aby AB

Kekeliruan ab(n-1) Ey E

Jumlah abn ∑Y2


42/53

Model 1 (Model Tetap)• Apabila peneliti memiliki a buah taraf faktor A dan hanya b buah taraf

faktor B dan semuanya digunakan dalam eksperimen yang dilakukan

• Hipotesis• H01= tidak ada efek faktor A dalam eksperimen • H

02= tidak ada efek faktor B dalam eksperimen

• H03= tidak ada efek interaksi antara faktor A dan faktor B

• Fhitung• H01= F=A/E • H02= F=B/E

• H03= F=AB/E• Ftabel

• H01= Fα (a-1,ab(n-1)) • H02= Fα (b-1,ab(n-1)) • H03= Fα ((a-1)(b-1),ab(n-1))


43/53

Model 2 (Model Acak)• Apabila peneliti memiliki sebuah populasi yang terdiri atas sejumlah taraf faktor

A dari mana sebanyak a buah taraf faktor A telah diambil secara acak sebagaisample dan populasi yang terdiri atas sejumlah taraf faktor B dari mana sebanyakb buah taraf faktor B telah diambil secara acak sebagai sample

• Hipotesis• H01= tidak ada efek faktor A dalam populasi dari mana sample diambil • H02= tidak ada efek faktor B dalam populasi dari mana sample diambil • H03= tidak ada efek interaksi antara faktor A dan faktor B dalam populasi dari

mana sample diambil• Fhitung

• H01= F=A/AB • H02= F=B/AB • H03= F=AB/E

• Ftabel• H01= Fα (a-1,(a-1)(b-1)) • H02= Fα (b-1,(a-1)(b-1)) • H03= Fα ((a-1)(b-1),ab(n-1))


44/53

Model 3 (Model campuran)• Apabila peneliti memiliki a buah taraf faktor A yang semuanya digunakan

dalam eksperimen yang dilakukan dan populasi yang terdiri atas sejumlahtaraf faktor B dari mana sebanyak b buah taraf faktor B telah diambil secaraacak sebagai sample

• Hipotesis• H01= tidak ada efek faktor A dalam eksperimen • H02= tidak ada efek faktor B dalam populasi dari mana sample diambil• H03= tidak ada efek interaksi antara faktor A tetap dan faktor B acak

• Fhitung• H01= F=A/AB • H02= F=B/E • H03= F=AB/E

• Ftabel• H01= Fα (a-1,(a-1)(b-1)) • H02= Fα (b-1,ab(n-1)) • H03= Fα ((a-1)(b-1),ab(n-1))


45/53

Model 4 (Model campuran)• Apabila peneliti memiliki populasi yang terdiri atas sejumlah taraf faktor A

dari mana sebanyak a buah taraf faktor A telah diambil secara acak sebagaisample dan populasi yang terdiri atas sejumlah taraf faktor B dari manasebanyak b buah taraf faktor B telah diambil secara acak sebagai sample

• Hipotesis• H01= tidak ada efek faktor A dalam populasi dari mana sample diambil • H02= tidak ada efek faktor B dalam eksperimen• H03= tidak ada efek interaksi antara faktor A tetap dan faktor B acak

• Fhitung• H01= F=A/E • H02= F=B/AB • H03= F=AB/E

• Ftabel• H01= Fα (a-1, ab(n-1)) • H02= Fα (b-1,(a-1)(b-1)) • H03= Fα ((a-1)(b-1),ab(n-1))


46/53

Eksperimen Faktorial dengan 3Faktor• Faktor yang kita gunakan kita lambangkan dengan A, B, C, D sedangkan

untuk taraf faktornya kita lambangkan dengan a, b, c, d.• Jika eksperimennya menggunakan desain acak sempurna dalam setiap

kombinasi perlakuan terdapat n buah unit eksperimen atau observasi,maka model liniernya sebagai berikut:

Dengan:i = 1,2, …, a

j = 1,2, …, bk = 1,2, …, cl = 1,2, …, n


47/53

• Yijkl = variabel respon hasil observasi ke-i yang terjadi karenapengaruh bersama taraf ke-i faktor A, taraf ke-j faktor B dan taraf ke-

k faktor C• μ = rata-rata• A i = efek taraf ke-i faktor A• B j = efek taraf ke-j faktor B• Ck = efek taraf ke-k faktor C• AB ij = efek interaksi antara taraf ke-i faktor A dan taraf ke-j faktor B• AC ik = efek interaksi antara taraf ke-i faktor A dan taraf ke-k faktor C• BC jk = efek interaksi antara taraf ke-j faktor B dan taraf ke-k faktor C• ABC ijk = efek interaksi antara taraf ke-i faktor A, taraf ke-j faktor B,

dan taraf ke-k faktor C• ℯl(ijk) = efek unit eksperimen ke l dikarenakan oleh kombinasi

perlakuan ijk


48/53

Hipotesis

• Ho = Ai = 0 (tidak terdapat efek dari Faktor A)H1 = Ai ≠ 0

• Ho = B j = 0 (tidak terdapat efek dari Faktor B)H1 = B j ≠ 0

• Ho = (AB)ij = 0 (tidak terdapat efek interaksi faktor A dan B)

H1 = (AB)ij ≠ 0 • Ho = Ck = 0 (tidak terdapat efek dari Faktor C)

H1 = Ck ≠ 0

• Ho = (AC)ik = 0 (tidak terdapat efek interaksi faktor A dan C)H1 = (AC)ik ≠ 0

• Ho = (BC) jk = 0 (tidak terdapat efek interaksi faktor B dan C)H1 = (BC) jk ≠ 0 • Ho = (ABC)ijk = 0 (tidak terdapat efek interaksi faktor A, B dan C)

H1 = (ABC)ijk ≠ 0


49/53

Harga JK DEF

a

i

c

k

abcndengandk 1

b

1 j 1

n

1l

2ijkl

2 ,YY

a

i

ijk abc n

J J

1

b

1 j

c

1k y

2

R -J abc =jumlah kuadrat antara sel untuk daftar axbxc

a

1i

b

1 j

2

ijcnJ yab R J

J ab =jumlah kuadrat antara sel untuk daftar axb

J ijk=elemen dalam sel (ijk) dari daftar axbxc= ∑Yijkl

a

1i

c

1k

2ik

bnJ

yac R J

J ac =jumlah kuadrat antara sel untuk daftar axc

J ij=elemen dalam sel (ij) dari daftar axb = ∑Jijk

J ik= elemen dalam sel (ik) dari daftar axc = ∑Jijk

b

1 j

c

1k

2

jk an

J ybc R J

J bc =jumlah kuadrat antara sel untuk daftar bxc

J jk= elemen dalam sel (jk) dari daftar bxc = ∑Jijk


50/53

Harga JK DEF

1dk dengan,R

2

1 1 1 1y

abcn

Y a

i

b

j

c

k

n

l

ijkl

)1(,E 2y nabcdengandk ABC BC AC AB B A RY y y y y y y y

1)-(adkdengan

R /bcn)(Aa

1iy

2iy A

1)-(bdkdengan

R /acn)(B b

1 jy

2 jy B

1)-1)(b(dk dengan,B-A-J yyaby a AB1)-(bdkdengan

R /abn)(Cc

1k

y2k yC

1)-1)(c(dk dengan,C-A-J yyaby a AC

1)-1)(c(dk dengan,C-B-J yy bcy b BC 1)-1)(c)(1(dk dengan,BC-AC-AB-C-B-A-J yyyyyyabcy ba ABC


51/53

Tabel AnovaSumberVariasi

dk JK KT F

Rata-rata 1 Ry R

Perlakuan

A a-1 Ay A Bergantungpada modelB b-1 By B

C (c-1) Cy C

AB (a-1)(b-1) Aby AB

AC (a-1)(c-1) Acy AC

BC (b-1)(c-1) Bcy BC

ABC (a-1)(b-1) (c-1)

ABCy ABC

Kekeliruan abc(n-1) Ey E

Jumlah abcn ∑Y2


52/53

Model KombinasiModel Taraf

A B C

Model 1 Tetap Tetap Tetap

Model 2 Acak Acak Acak

Model 3 Tetap Tetap Acak

Tetap Acak Tetap

Acak Tetap Tetap

Tetap Acak Acak

Acak Tetap Acak

Acak Acak Tetap


53/53

05.-desain-bujur-sangkar-dan-faktorial1

Documents