動的接触角を考慮した液体メニスカス架橋の力学特性解析Analytical Study on Mechanical Characteristics of Liquid Meniscus Bridge

Considering Dynamic Contact Angle

○学 松田　京子（鳥取大・院）　　正 松岡　広成（鳥取大・工）　　正 福井　茂寿（鳥取大・工）

Kyoko Matsuda, Tottori University, 4-101 Minami, Koyama, Tottori 680-8552, Japan

Hiroshige Matsuoka, Tottori University, 4-101 Minami, Koyama, Tottori 680-8552, JapanShigehisa Fukui, Tottori University, 4-101 Minami, Koyama, Tottori 680-8552, Japan

053

　

1. はじめに

　磁気ディスク装置に代表される小型機械システムにおいて

は、従来無視されていたファンデルワールス力やメニスカス力

等の表面間力を考慮した設計が必要となってきている(1-5)。本報

告では、メニスカスが局在する固体表面のすきまが微小振動し

た場合の液体反力解析を行い、その基本特性を明らかにした。

特に、動的接触角を考慮した解析を行った。

2.理論

2-1 動的接触角について

　動的接触角とは、Fig. 1に示すように、固体・液体・気体の

界面（三重線）が前進および後退しているときの接触角であ

る (6)。このとき、接触角と三重線の速度 vcの関係式は次式で

与えられる。

　　 ( )*

*tan cos cos ,3c D E DV

v Vl

γθ θ θ

η= − =

ここで、γは表面張力、ηは粘性係数、θEは静的接触角、θDは

動的接触角である。また、lは15～20程度の定数である。

(b) Receding

(1)

2-2 メニスカスおよび固体面形状のモデル

　本研究では、Fig. 2に示すような球面平面間の円環メニスカ

スについて、液体反力の解析を行った。

2-3 解析に用いる仮定

　今回の解析について以下の仮定を用いる。

　　( i ) 液体は非圧縮流体である。

　　( ii ) 熱力学的に平衡である。

　　(iii) メニスカスの断面形状は常に円の一部である。

　　(iv) 局在する液体膜の全質量は変化しない。

　　( v ) h/r1, r1/R は十分小さい。

　　(vi) 上面の垂直振動振幅は平均すきま量と比較して十分

小さく、その速度も小さい。

2-4 解析に用いる基礎式

　液体反力の解析を行うにあたり、流体潤滑の基礎方程式であ

るレイノルズ方程式は次式で与えられる。

　　 ( ) ( )30

,, 12

h r tprh r t r

r r tη

∂∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ 　　 (2)

また、境界条件としてラプラス圧を考え、境界条件を次式で与

える。

　　 ( ) ( )2 11

1 1

m

p p pr t r t

γ

= − = − −

(3)

ここで、p1 は大気圧、p2 は境界内側の圧力であり、r1(t), rm(t)はメニスカスおよび円環メニスカスの半径である。

3.球面平面間・円環メニスカスの液体反力の解析結果

3-1 メニスカスの接触角と境界位置の導出

　上面が微小振動している場合、球面-平面間のすきまh(t)を次式で表す。

( ) ( )0( ) 1 ( ) 1 cosh t h t Rδ φ= + + − , δ <<1, φ <<1 (4)

　境界位置を求めるために、液体メニスカスの体積保存を考

える。液体メニスカスの体積は次式で与えられる。

h0 h(r,t)

r10

z

h(r,0)

r

φ

rm(t)rm0

R

θD1(t)θE1

θE2

θD2(t)

r1(t)

δ

(a) Advancing

vc

θEθD

vc

θEθD

日本機械学会第2回マイクロ・ナノ工学シンポジウム講演論文集 (2010.10.13-15, 松江 )

Copyright ©2010 社団法人　日本機械学会

The flying height of a magnetic head has rapidly decreased and contact of the head slider with a disk surface has becomeunavoidable. The meniscus brigde of liquid lubricant is formed between the head slider and the rigid disk. In this study, mechanicalcharacteristics of a liquid menisucus bridge which is confined between vibrating solid surfaces are investigated theoreticallyconsidering dynamic contact angle. It was found that the spring constant and the damping coefficient of a liquid meniscus bridgedepend on the contact angle and the excitation frequency. By considering the dynamic contact angle, the spring constant wasfound to be able to take positive values in spite of less contact angles than 90 deg.

Key Words : Tribology, Head disk interface (HDI), Liquid meniscus bridge, Contact angle

Fig. 1 Dynamic contact angle

Fig. 2 Dynamic model of liquid meniscus bridgebetween sphere and plane

　

( ) ( )21V r t h tπ=

( ) ( )

( )( )

21

1 2 1 221 2

1sin 2 sin 2

2cos cosD D D D

D D

r t h tπθ θ π θ θ

θ θ + + − + + + (5)

　式 (5)に対し、体積保存を仮定して dV / dt = 0とし、境界

位置r1(t)についての微分方程式を立てる。 ( ) cost tδ ε ω= とし

て微分方程式を解いて、境界位置r1(t), 下面と上面の接触角

θD1(t), θD2(t)を求めると、

　　 ( ) ( ){ }1 10 1 cosr t r A tε ω ϕ= + − (6)

　　 ( ) ( )101 1 *

1 1 1

31 sin

sin tanD EE E E

lrt A t

Vθ θ εω ω ϕ

θ θ θ

= − −

(7)

　　 ( ) ( )102 2 *

2 2 2

31 sin

sin tanD EE E E

lrt A t

Vθ θ εω ω ϕ

θ θ θ

= − −

(8)

となる。また、係数Aは次式で与えられる。

( ) ( )2

2 21 2 21 2 1 2

31 2 1 1 2 1 2

2 2 2 2C C C

A C C C Cω ω = − + − − + −

　　　　　　　 　　 (9)ここで、

( )0 3 1

1 12

1 1 1 21 2

3 2 sin11 cos2

tan sin cos coscos cosE

E

E E E EE E

lh CC

θθ

θ θ θ θθ θ

= + + ++

1

3 22

2 2 1 2

2 sin11 cos 2

tan sin cos cosE

EE E E E

C θθ

θ θ θ θ

− + + + +

(10)

( )0 3

2 210 1 2cos cosE E

h CC

r θ θ=

+ 　　　　　　　　 (11)

( )3 1 2 1 2

1sin 2 sin 2

2E E E EC θ θ π θ θ= + − + + (12)

である。

3-2 ばね定数および減衰係数の導出

　境界位置r1(t)とメニスカス半径rm(t)を式(3)の境界条件に代

入し、レイノルズ方程式(2)を解くことにより、液体領域に発

生する液体反力が求まる。この液体反力から、ばね定数kmと

減衰係数cmを導出した。結果を以下に示す。

・ばね定数 km

( )

21 2

210 1 10 2

22 *220 1

1 2

31

3 2 211 2 1 2

2 2

m

C Cr g lr g

kCh V g C C

ωπγ

ω

− = − − ⋅ + + −

( )

( )

21 210 2 0

1 2221 10

1 2

1 22 sin12

1 2 1 22 2

E C Cr hg

Cg R r C C

θω

− − − + ⋅

+ + −

(13)

・減衰係数 cm

2 20 10

2 22100 10

00 0

6 11

1 2 12 2

m

R rc

rh rRhRh Rh

πη

= − + + +

( )

( )

231 210 2

22 *220 0

1 2

1 22 1 2 1 2

2 2

C Clr gCR h V C C

γωη

−+ ⋅

+ + −

Fig. 3 Spring constant ( f = 81Hz )

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

0.40

010

2030

4050

6070

80

010

2030

4050

6070

c m

θ E1, deg.

θE2 , deg.

Fig. 4 Damping coefficient ( f = 81Hz )

-30

-20

-10

0

10

20

30

010

2030

4050

6070

80

010

2030

4050

6070

k m, N

/m

θ Ε1, deg.

θΕ2 , deg.

-40

-20

0

20

40

60

80

100

010

2030

4050

6070

80

010

2030

4050

6070

k m, N

/m

θΕ1, deg.

θΕ2 , deg.

-40

-20

0

20

40

60

80

100

010

2030

4050

6070

80

010

2030

4050

6070

k m, N

/m

θ Ε1, deg.

θΕ2 , deg.

松岡広成 , 福井茂寿 , 加藤孝久 , トライボロジスト , 45, 2000, 757-768.稲田一樹 , 國富慎補 , 松岡広成 , 福井茂寿 , 日本機械学会 2 0 0 6 年度年次

大会講演論文集 , 5, 2006, 619-620.石原教示 , 稲田一樹 , 松岡広成 , 福井茂寿 , トライボロジー会議予稿集

東京 2007-5, 2007, 293-294.石原教示，小竹森裕介，松岡広成，福井茂寿，日本機械学会 2 0 0 8 年度年

次大会講演論文集,5, 2008-8.3, 289-290.石原教示，小竹森裕介，松岡広成，福井茂寿，日本機械学会講演論文集，

095-1, 2009-3, 中四国支部第 47 期総会・講演会，291-292.トゥジェンヌ, ブロシャール- ヴィアール, ケレ共著　「表面張力の物理学

- しずく、あわ、みずたま、さざなみの世界 - 」, 吉岡書店 , 2 0 0 3 .

(1)(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

参考文献

( )

1 23

10 0 2 0122 2

220 0 10 101 2

31

sin 2 23 2 1 2 1 2

2 2

E

C Cr h hg

CR h R r r C C

γ θωη

− − − + ⋅ + + −

(14)

　　1 2

1 1 2 2

1 2

tan tancos cos ,

tan tanE E

E E

E E

g gθ θ

θ θθ θ

+= + = 　 (15)

　振動数f (ω = 2π f )をf = 81 Hzとして、ばね定数kmと減衰係数cm

のグラフをFigs. 3, 4 に示す。また、振動数を f = 20Hz, 120Hzと変

えた場合のばね定数kmのグラフをFig. 5 (a), (b)に示す。振動数が

小さい場合((a))、接触角が大きいところで負のばね定数をもつの

に対し、振動数が大きい場合((b))、ばね定数kmはほとんどの領域

で正の値を取ることが分かった。

4. まとめ

　メニスカスが局在する固体表面が微小振動した場合の液体反

力解析を行った。境界位置 r1(t)とメニスカス半径 rm(t)を用い、

レイノルズ方程式を解くことで、液体領域に発生する液体反力

を求め、ばね定数kmと減衰係数cmを導出した。ばね定数kmと減

衰係数cmは、接触角θE1, θE2と振動数 fに依存することが分かっ

た。また、接触角が90°以下でも、ばね定数が正の値を取りう

ることを示した。

Fig. 5 Effects of contact angle and excitation frequencyon spring constant of meniscus bridge

(a) f = 20Hz (b) f = 120Hz