05.tanımlayıcı istatistikler

TANIMLAYICI TANIMLAYICI İSTATİSTİKLERİSTATİSTİKLER

GİRİŞ

• Dağılımlar yer (location), yaygınlık (spread) ve şekil shape) parametreleri olmak üzere 3 farklı ölçüm ile temsil edilirler. Bu ölçümler tanımlayıcı istatistikler olarak adlandırılır.

2Tanımlayıcı İstatistikler

ÖRNEK

• T.C. Erciyes Üniversitesi, Diş Hekimliği Fakültesi, Diş Hekimliği bölümünde Biyoistatistik dersi alan 71 öğrenciden 20’si BRÖ (basit rassal örnekleme) ile seçilmiş ve Biyoistatistik dersi 1.vize notları aşağıda verilmiştir (Nisan 2009). Tanımlayıcı istatistikleri elde ediniz.


8585 8585 7070 6060 3535 5555 7575 6060 6565 9090

7575 6565 7575 9595 7070 7575 5555 8080 6565 8585

YER ÖLÇÜLERİ

• Verilerin merkezde ve belirli noktalarda toplanma değerlerini gösteren istatistiklerdir. Tüm verileri özetleyen, tanıtan tipik değerlerdir.

• Aritmetik Ortalama (Mean)• Medyan (Median)• Mod (Mode)• Kantiller (Quantiles)

• Bu ölçülerden aritmetik ortalama, medyan ve mod ‘merkezi yer ölçüleri’ olarak da bilinmektedir.


YER ÖLÇÜLERİ > ARİTMETİK ORTALAMA

• Bir seriyi temsil eden ve serideki bütün birim değerlerini hesaplamaya alan tipik bir değerdir.

• Bu ortalama istatistikte en çok kullanılan ortalamadır. • Anakütle aritmetik ortalaması µ ile, örneklem aritmetik ortalaması

ile gösterilir.

5

X

Tanımlayıcı İstatistikler

YER ÖLÇÜLERİ > ARİTMETİK ORTALAMA

ÖRNEĞİN ÇÖZÜMÜ:


7120

95...553520

XX

20

1ii

YER ÖLÇÜLERİ > MEDYAN (Ortanca)

• Medyan, sıralanmış verilerin orta noktasını temsil eder.• Seriyi birim sayısı bakımından iki eşit parçaya ayıran gözlem

değeridir.• Örnek hacmi tek sayıda ise medyan ortadaki değerdir

((n+1)/2. birim değeri).• Örnek hacmi çift sayıda ise medyan ortadaki iki değerin

ortalamasıdır ((n/2. birim değeri ile (n+2)/2. birim değerinin ortalaması).


YER ÖLÇÜLERİ > MEDYAN



Veriler sıralanmış !n = 20 örnek hacmi çiftn/2. birim değeri = 10. birim değeri = 70(n+2)/2. birim değeri = 11. birim değeri= 75

Medyan = (70 + 75) / 2 = 72,5

YER ÖLÇÜLERİ > MOD (Tepe Değeri)

• Diğer 2 merkezi yer ölçüsünden daha az kullanılmaktadır.• Bir seride en çok tekrarlanan birim değeridir.• Bazı serilerde mod olmayabilirken, bazılarında ise birden fazla mod

değeri olabilir. Bu durumda serimiz çok modlu seri olur ki bu seriler işimize yaramamaktadır.


YER ÖLÇÜLERİ > MOD



75 değeri seride en fazla tekrarlanan değer olup, 4 kez tekrarlanmıştır.

ORTALAMA ve MEDYAN KARŞILAŞTIRMASI• Ortalama seriyi çok iyi temsil eden ve istatistikte en çok kullanılan yer

ölçüsü iken, medyan ortalamanın kullanılamadığı durumlarda kullanılan alternatif bir yer ölçüsüdür.

• Ortalamada tüm birimler işleme girerken, medyanda yalnızca en ortadaki birim/birimler işleme girmektedir.

• Serideki aşırı değerler (outliers) ortalamanın büyüklüğünü de etkileyerek olması gerekenden çok büyük veya çok küçük çıkmasına neden olur. Medyanda ise böyle bir durum söz konusu değildir. Kısaca ortalama aşırı değerlere duyarlı, medyan ise duyarsızdır.

• Medyan çarpık (skewed) dağılımları ortalamadan daha iyi temsil eder.


5 6 5 6 4 5 5 4 5 3 95

Ortalama = 13 Standart Sapma = 27,21 Medyan = 5

YER ÖLÇÜLERİ > KANTİLLER (Qh/r)


• Bir seriyi eşit parçalara bölen istatistiklere kantiller adı verilir. Bu istatistiklerden en sık kullanılanı kartiller (dörde bölen , Qh/4 , quartiles) ve persantillerdir (yüze bölen , Qh/100 , percentiles).

Tanımlayıcı İstatistikler 14

PERSANTİL (Yüzdelik)

Persantiller veri setindeki küçükten büyüğe sıralandırılmış verileri yüzdeliklere bölerek yorum yapılmasını sağlayan istatistiklerdir.

Bir veri setindeki persantil değerine ulaşmak için öncelikle aşağıdaki formül yardımı ile istenen persantil birimine ulaşılır.

PB : Veri setinin istenen persantil birimiP : İlgilenilen persantil (yüzdelik)n : Veri setindeki birim sayısıPersantil değeri ise veri setinde persantil birimine karşılık gelen değerdir.


Örnek: Aşağıda 99 birimlik sıralanmış bir veri seti bulunmaktadır. Bu veri setinin 10. ve 85. persantil değerlerini bulup yorumlayınız.

P = 10, n=99, PB=10, Persantil değeri 10 nolu birime karşılık gelen 259 değeridir. Veri setindeki birimlerin %10’u 259 değerinin altındadır.

P = 85, n=99, PB=85, Persantil değeri 85 nolu birime karşılık gelen 334 değeridir. Veri setindeki birimlerin %85’i 334 değerinin altındadır.


Persantillerin olağan dışı ölçümleri tespit etmek ve çeşitli risk

faktörleri açısından alt ve üst limitleri belirlemek gibi kullanım

alanları vardır. Örneğin; 0-6 yaş arası çocuklarda beden kitlesi

ölçümü için (kg/m2) 95.persantil ve üstü obez, 85.-95.persantiller

arası aşırı kilolu, 5.persantil ve altı da aşırı zayıf olarak

değerlendirilmektedir.


Yukarıda da görüldüğü gibi; medyan, 2.kartil ve 50.persantil değerleri birbirine eşittir. Aynı zamanda 1.kartil, 25.persantile; 3.kartil de 75.persantile eşittir.

KARTİLLER(Çeyreklik)

Veri setini 4 parçaya (çeyreğe) bölen 25., 50. ve 75. persantil değerleridir.

YER ÖLÇÜLERİ > KANTİLLER



Örneğin 1.kartil (25.persantil), 2.kartil (50.persantil, medyan) ve 3.kartili (75.persantil) bulalım.

1.kartil= Q1/4 = [(21*25)/100].birim değeri = 5,25.birim değeriQ1/4 = 61,25

2.kartil= Q2/4 =[(21*50)/100].birim değeri = 10,5.birim değeriQ2/4 = 72,5

3.kartil= Q3/4 =[(21*75)/100].birim değeri = 15,75.birim değeriQ3/4 = 83,75

Sınıfın %25’i 61,25’ten düşük puan alırken, %25’i de 83,75’ten yüksek puan almıştır.

YAYGINLIK ÖLÇÜLERİ• Merkezi yer ölçüleri bir dağılımı tanımlamada yeterli midir?

• İki sınıfın puanları üstteki gibi olsun. İki sınıfın da puan ortalamaları 50’dir. Kırmızı ile gösterilen sınıfın yaygınlığı (değişkenliği) mavi ile gösterilen sınıfa göre daha yüksektir.


YAYGINLIK ÖLÇÜLERİ


• Bir seri homojenlikten uzaklaştıkça (birimler birbirinden farklılaştıkça) ona ait aritmetik ortalamanın ve diğer merkezi yer ölçülerinin temsil yeteneği giderek zayıflar. Bu yüzden yalnızca ortalamanın veya diğer merkezi yer ölçülerinin hesaplanması seriyi temsil etmek için yetmemektedir, onun yanında yaygınlık ölçülerinden de yararlanmak gerekir.

Ranj (Range)

Kartiller Arası Uzaklık (Interquartile Range)

Varyans ve Standart Sapma (Variance and Standart Deviation)

YAYGINLIK ÖLÇÜLERİ > RANJ

• Ranj serideki en büyük değer ile en küçük değer arasındaki uzaklıktır.

• İstatistiksel araştırmaların bulgularında medyan ile birlikte verilen bir yaygınlık ölçüsüdür.

• Seride bulunan bir tane aşırı değer bile serinin ranjının çok büyük çıkmasına neden olabileceğinden, çok sık kullanılmaz.


minmax XXRanj

YAYGINLIK ÖLÇÜLERİ > RANJ



603595RanjXXRanj minmax

YAYGINLIK ÖLÇÜLERİ > KARTİLLER ARASI UZAKLIK

• Kartiller arası uzaklık 1. ve 3. kartiller arası uzaklığı ifade eder.

• İstatistiksel araştırmaların bulgularında medyan ile birlikte verilen bir yaygınlık ölçüsüdür.

• Ranja göre aykırı değerlerden daha az etkilenen bir yaygınlık ölçüsü olduğu için medyanın yanında kartiller arası uzaklığın verilmesi daha doğrudur.


4143 QQIQR

YAYGINLIK ÖLÇÜLERİ > KARTİLLER ARASI UZAKLIK



205,625,824143

IQR

QQIQR

KARTİLLER ARASI UZAKLIK ve AYKIRI DEĞERLER

• Bir gözlem değeri aşağıdaki koşullarda aykırı değer olarak kabul edilir.

• Örneğimizde IQR = 20; Q1/4 = 62,5; Q3/4 =82,5 için 112,5 değerinin üstündeki değerler ve 32,5 değerinin altındaki değerler aykırı olarak değerlendirilebilir.


IQRQXii

IQRQXi

i

i

*5,1.

*5,1.

43

41

YAYGINLIK ÖLÇÜLERİ > VARYANS ve STANDART SAPMA• İstatistikte en çok kullanılan yaygınlık ölçüleridir.

• Yer ölçülerinden ortalamada olduğu gibi varyans ve standart sapmada tüm birimler işleme girer.

• İstatistiksel araştırmaların bulgularında ortalama ile verilen bir yaygınlık ölçüsüdür.

• Anakütle varyansı σ2 ile, örneklem varyansı s2 ile gösterilir. Anakütle standart sapması σ ile, örneklem standart sapması s ile gösterilir.

• Simgelerden de anlaşılacağı üzere standart sapma varyansın kareköküdür.


YAYGINLIK ÖLÇÜLERİ > VARYANS ve STANDART SAPMA


22ss

N

XN

ii

1

2 1

1

2

n

XXn

ii

N

XN

ii

1

2 1

1

2

n

XXn

ii

NN

XX

N

i

N

ii

i

1

2

12

11

2

12

nn

XX

n

i

n

ii

i

NN

XX

N

i

N

ii

i

1

2

12

11

2

12

nn

XX

n

i

n

ii

i

• Bir serinin standart sapması ne kadar küçükse (sıfıra yakınsa) seri o kadar homojen, ne kadar büyükse (sıfırdan uzaksa) seri o kadar heterojendir. • Varyans ve standart sapma formülleri aşağıdaki gibidir:




58,201

193830

11

2

2

n

XXs

n

ii

58,20119

201420104650

1

2

1

2

12

2

nn

XX

s

n

i

n

ii

i

2,1458,2012 ss

Örneklem varyansı 201,58 ; standart sapması 14,2 olarak elde edildi.


STANDART SAPMANIN YORUMLANMASI:


• Gözlemlerin yaklaşık %68,26’sı aralığında bulunur.

• Gözlemlerin yaklaşık %95,00’i aralığında bulunur.

• Gözlemlerin yaklaşık %95,44’ü aralığında bulunur.

• Gözlemlerin yaklaşık %99,00’u aralığında bulunur.

• Gözlemlerin yaklaşık %99,90’u aralığında bulunur.

sX

sX *96,1

sX *58,2

sX *2

sX *28,3

STANDART HATA (STANDARD ERROR)

• Anakütleden çekilen örneklemin istatistikleriyle, anakütle parametreleri hakkında tahmin yapılır. Anakütlenin tümüyle çalışılmadığı için de bir hata yapılır ki, bu hata standart hata ile ölçülür.

• Örnek hacmi büyüdükçe standart hata küçülür. Bu yüzden çalışılan örnek hacmi yeterli sayıda olmalıdır.

• Ortalamanın standart hatası ile gösterilir ve aşağıdaki gibi hesaplanır:


Xs

ns

nssX 2

GÜVEN ARALIĞI(CONFIDENCE INTERVAL, CI)

• Hesaplanan standart hata yardımıyla anakütle ortalamasının (veya diğer parametrelerin) 1-α olasılıkla hangi değerler arasında olduğunu gösterir.


)()( XX sXsX

)*96.1()*96.1( XX sXsX

)*58.2()*58.2( XX sXsX

)*28.3()*28.3( XX sXsX

NEDEN ARALIK TAHMİNİNDE %95 KULLANILIR?

• Çalışmalarda güven düzeyi olarak genelde %95 seçilmektedir.

• Bunun sebebi, %95’ten büyük güven düzeyleri için daha güvenilir sonuçlar alınmasına rağmen kestirim aralığının büyümesidir. %95’ten küçük güven düzeylerinde ise daha dar aralıklarda kestirim yapılabilmesine rağmen güven düzeyi düşmektedir.

• %95 değeri maksimum güvenilirlik ve en dar aralıkta kestirim için belirlenmiş optimum bir değerdir.


STANDART HATA ve GÜVEN ARALIĞI

ÖRNEĞİN ÇÖZÜMÜ:• Standart hata:

• Güven aralığı:

• Yorum: T.C. Erciyes Üniversitesi Diş Hekimliği Fakültesi, Diş Hekimliği bölümünde Biyoistatistik dersi alan 71 öğrenciden basit rassal örnekleme (BRÖ) ile seçilen 20 kişilik örnekleme ilişkin Biyoistatistik 1.vize notları yardımıyla yapılan anakütle parametresi tahmininde, Diş Hekimliği sınıfının Biyoistatistik 1.vize notları ortalaması %95 olasılıkla 64,77 ile 77,23 arasında, %5 olasılıkla bu aralıklar dışındadır.


18,3202,14

nSS X

)18,3*96.171()18,3*96.171( 23,7777,64

DEĞİŞİM KATSAYISI(COEFFICIENT of VARIATION)

• Değişim (varyasyon) katsayısı birim sayıları ve ölçü birimleri birbirlerinden farklı olan değişkenlerin ortalamaya göre yayılışlarını karşılaştırmak için yararlanılan bir ölçüdür.

• Değişkenin ortalama ve standart sapmasından yararlanılarak hesaplanır ve DK% ile gösterilir:

• DK <%10 ise serinin homojen dağıldığı varsayılır. • %10 DK%<%20 ise serinin homojenliğinin orta seviyede dağıldığı

varsayılır.• DK% %20 ise değişkenin heterojen dağıldığı varsayılır.


100*%XsDK

DEĞİŞİM KATSAYISI(COEFFICIENT of VARIATION)


ÖRNEĞİN ÇÖZÜMÜ:Değişim katsayısı:

Yorum: Serinin dağılımı homojenlik göstermemektedir.

20100*712,14100*%

XSDK

ŞEKİL ÖLÇÜLERİ• Bir dağılım hakkında karar verirken yer ölçüleri ve yaygınlık ölçülerinin

yanında dağılımların şekil ölçüleri de bu ölçülerle birlikte değerlendirilmelidir.

• Şekil ölçüleri α3 ve α4 moment katsayıları ile hesaplanır.


ŞEKİL ÖLÇÜLERİ > ÇARPIKLIK (EĞİKLİK) ÖLÇÜSÜ • Çarpıklık normal dağılımda simetrikliğin bozulma derecesidir. Dağılım

sağa uzun kuyruklu ise pozitif çarpık veya sağa çarpık, sola uzun kuyruklu ise negatif çarpık veya sola çarpık denir.

Sola çarpık dağılım Simetrik dağılım Sağa çarpık dağılım α3 > 0 α3 = 0 α3 < 0


ŞEKİL ÖLÇÜLERİ > BASIKLIK ÖLÇÜSÜ • Normal dağılım eğrisinin sivrilik veya yayvanlık derecesi basıklık olarak

adlandırılır.



66 71 66 70 64 76 63 58 58 72

77 52 53 56 65 66 55 66 52 59

60 76 72 67 66 86 47 49 59 81

84 75 59 47 78 67 51 68 50 64

84 45 75 68 76 66 50 59 82 46

65 58 62 68 66 57 62 57 68 73

57 75 59 68 61 53 49 49 94 73

55 65 79 60 52 72 78 71 88 74

75 62 68 76 80 71 70 75 69 61

66 63 74 80 65 61 65 67 62 68

UYGULAMA-1


44 31 4 37 44 73 67 185 21 29

74 6 53 78 28 34 40 15 122 30

31 78 21 123 3 29 64 46 91 16

56 41 170 82 8 34 11 18 77 29

85 38 119 105 151 21 141 30 12 111

195 107 79 215 64 150 6 16 63 12

27 119 21 11 13 30 152 161 128 28

85 7 238 51 11 23 81 143 39 58

6 114 72 4 10 146 102 65 218 16

34 34 110 48 31 28 117 49 118 15

UYGULAMA-2


SORULARINIZ?

05.tanımlayıcı istatistikler

Documents