07 计算机的运算方法04

系统总线

存储器

运算器

控制器

接口与通信

输入 / 输出设备

林楠

办公室： 408

办公电话： 0371-63887293

电子邮件： [email protected]

《计算机组成原理》

第六章计算机的运算方法

4 、定点除法运算4.1 、原码一位除法4.2 、补码一位除法4.3 、阵列除法器

5 、浮点四则运算5.1 、浮点加减运算

对阶、执行加减、规格化、舍入、判溢出

5.2 、浮点乘除运算阶码加减、尾数乘除、规格化、舍入、判溢出


原码一位除法基本上是从手算演变过来，符号位单独处理。

两个原码表示的数相除运算规则：商的符号位：两数的符号相异或商的数值部分：两作数的绝对值相除。

运算方法与普通的十进制小数除法相类似，设 n 位被乘数 X 和乘数 Y 用定点小数表示（定点整数同样）

被除数： [X] 原 = Xf . Xn-1 … X1 X0

除数： [Y] 原 = Yf . Yn-1 … Y1 Y0

商 [ Q ] 原 = ( Xf Y⊕ f ) + (0.Xn-1 … X1 X0) / (0.Yn-1 … Y1 Y0) 于是原码与原码相除就变成如何进行两个正数相除的问题了。

两种除法：恢复余数法不恢复余数法（加减交替法）

4.1 、原码一位除法

人会心算，一看就知道够不够减。但机器不会，必须先作减法。若余数为正，才知道够减；若余数为负，才知道不够减。不够减时，必须恢复原来的余数，顾名思义恢复余数法。

被除数 X=0.1011 除数 Y=0.1101 求 X/Y 。商精确到小数点后四位。手算方法计算步骤如下：


0.1101 0.1101 0 . 1011 - 0 . 1101 + 0.1101 0 . 10110 - 0 . 01101

0 . 010010 - 0 . 001101

0 . 0001010 - 0 . 0001101 + 0.0001101 0 . 00010100 - 0 . 00001101 0 . 00000111

- Y 不够减， + Y ，整数位商 0 ， X 低位补 0 - 2-1Y 够减，商 1 ， X 低位补 0 - 2-2Y够减，商 1 ， X 低位补 0 - 2-3Y

不够减， + 2-3Y ，商 0 ， X 低位补 0

- 2-4Y 够减，商 1


1 ）恢复余数法

1 、符号单独处理， Q f = ( Xf Y⊕ f ) ，取绝对值相除；

2 、作减法，若不溢出，运算开始；3 、 -Y ，若余数 R 为正（够减），商 1 ，左移一位； -Y ，若余数 R 为负（不够减），商 0 ，恢复余数，左移一位；4 、重复 n 步；5 、最后一步余数为负（不够减），应恢复为正余数（ +[Y] 补）

。

右移除数，可以通过左移被除数 ( 余数 ) 来替代，左移出界的被除数 ( 余数 ) 的高位都是无用的零，对运算不会产生任何影响。如果，余数一共被左移了四次，需要校正。

最终的余数再右移四次，即 × 2-4 。得： R = R4 × 2-4 = 0.0111 × 2-4 = 0.00000111

寄存器 A 存放被除数 X = 0.1011

寄存器 B 存放除数 Y = 0.1101 寄存器 C 中存放商 X / Y

另外设置计数器 CR 控制循环次数。

-Y 用 [-Y] 补取代； [Y] 补 = 0.1101 [-Y] 补 = 1.0011


被除数 X = 0.1011

除数 Y = 0.1101

被除数 X （余数）商操作

0. 1011 0 0 0 0 0+ 1. 0011 - Y （ + [-Y] 补）

1. 1110 0 0 0 0 0 负数：不够减，商 0+ 0. 1101 +Y 恢复余数，（ + [Y] 补）

0. 1011 0 0 0 0 0 余数和商同时左移一位 1. 0110 0 0 0 0 0 + 1. 0011 - Y （ + [-Y] 补）

0. 1001 0 0 0 0 1 正数：够减，商 1 1. 0010 0 0 0 1 0 余数和商同时左移一位+ 1. 0011 - Y （ + [-Y] 补）

0. 0101 0 0 0 1 1 正数：够减，商 1 0. 1010 0 0 1 1 0 余数和商同时左移一位+ 1. 0011 - Y （ + [-Y] 补）

1. 1101 0 0 1 1 0 负数：不够减，商 0+ 0. 1101 + Y 恢复余数，（ + [Y] 补）

0. 1010 0 0 1 1 0 余数和商同时左移一位 1. 0100 0 1 1 0 0+ 1. 0011 - Y （ + [-Y] 补）

0. 0111 0 1 1 0 1 正数：够减，商 1

被除数 X = 0.1011 除数 Y = 0.1101 商 0.1101 余0.0111*2-4

余数再右移四位得正确结果。

2 ）加减交替法

加减交替法是对恢复余数除法的一种修正。

当余数为负时，不恢复，继续求下一位商，

但用加上除数 (+Y) 的办法来取代 (-Y) 操作，其他操作不变。

加减交替法的规则如下：

余数为正，商 1 ，左移一位，减去除数；

余数为负，商 0 ，左移一位，加上除数。

此方法不用恢复余数，所以又叫不恢复余数法。

但若最后一次上商为 0 ，则仍需恢复余数。


被除数（余数）商操作

0. 1011 0 0 0 0 0+ 1. 0011 - Y （ + [-Y] 补）

1. 1110 0 0 0 0 0 负数：商 0 1. 1100 0 0 0 0 0 余数和商同时左移一位+ 0. 1101 + Y 0. 1001 0 0 0 0 1 正数：商 1 1. 0010 0 0 0 1 0 余数和商同时左移一位+ 1. 0011 - Y （ + [-Y] 补）

0. 0101 0 0 0 1 1 正数：商 1 0. 1010 0 0 1 1 0 余数和商同时左移一位+ 1. 0011 - Y （ + [-Y] 补）

1. 1101 0 0 1 1 0 负数：商 0 1. 1010 0 1 1 0 0 被除数和商同时左移一位+ 0. 1101 + Y 0. 0111 0 1 1 0 1 正数：商 1

4.1 、原码一位除法被除数 X = 0.1011 除数 Y = 0.1101 商 0.1101 余0.0111*2-4


4.2 、补码一位除法

补码加减交替法 , 法则如下： ( ［ Ri ］补为余数，数值部分共 n 位 )

2［ Ri］补 - [Y]

补

2［ Ri］补 + [Y]

补

10

同号 (不够减 )异号 (够减 )

[X] 补 +[Y]

补1异号

2［ Ri］补 - [Y]

补

2［ Ri］补 + [Y]

补

10

同号 (够减 )异号 (不够减 )

[X] 补 -[Y] 补0同号

求新余数 (共 n步)

上商[R] 补 ,[Y] 补符

号求余数 [R] 补商符

[X] 补 [Y[] 补符

号

1) 比较 2) 上商 3) 求新余数

2［ Ri］补 + [Y]

补

0异号

2［ Ri］补 + [-Y]

补

1同号

求新余数 (共 n步)

上商[R] 补 ,[Y] 补符

号

1) 比较 2) 上商 3) 求新余数

由上式化简

4 ）商的符号

两种常见的做法：

方法一：第一步比较 XY 同号做 [X] 补– [Y] 补；异号做 [X]

补 +[Y] 补；

方法二：一开始就将被除数 X 当作初始余数 R0 ，

R0 与 Y 同号商 1 ，异号商 0 ，得的假商最后求反进行

校正。

// 由于方法一开始比较被除数与除数，后来比较余数与除数，

控制部署不一样。所以采用方法二，全部是比较余数与除数，

便于计算机控制。

5 ）商的校正对于方法一，商符正确，商末位恒置 1 。对于方法二，商符取反，商末位恒置 1 。



被除数 X （余数 R ）商 Q 操作 0. 1011 0 0 0 0 0+ 1. 0011 X Y 同号： + [-Y] 补

1. 1110 0 0 0 0 0 R Y 异号：商 0 1. 1100 0 0 0 0 0 余数 R 和商同时左移一位+ 0. 1101 + [Y] 补

0. 1001 0 0 0 0 1 R Y 同号：商 1 1. 0010 0 0 0 1 0 余数 R 和商同时左移一位+ 1. 0011 + [-Y] 补



0. 0111 0 1 1 0 1 商的末位恒置 1

使用方法一： [X] 补 =0.1011 [Y] 补 =0.1101 [-Y] 补 =1.0011

被除数 X = 0.1011 除数 Y = 0.1101 商 0.1101 余0.0111*2-4



被除数 X （余数 R ）商 Q 操作





0. 0111 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 校正：商符取反，商末位置 1

使用方法二： [X] 补 =0.1011 [Y] 补 =0.1101 [-Y] 补 =1.0011

被除数 X = 0.1011 除数 Y = 0.1101 商 0.1101 余0.0111*2-4



被除数 X （余数 R ）商 Q 操作





1. 1000 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 校正：商符取反，商末位置 1

使用方法二： [X] 补 =0. 0100 [Y] 补 = 1.1000 [-Y] 补 = 0.1000

被除数 X = 0. 0100 除数 Y = 1.1000 商 1.0111 余 11.1000*2-4


和阵列乘法器相比，阵列除法器也是一种并行运算部件，采用大规模集成电路制造。它比早期的串行除法器的控制线路少，并提供较高的运算速度。

4.3 、阵列除法器 P297

可控加法 / 减法单元 (CAS) 0.1101

0.1101 0 . 10110 - 0 . 01101 0 . 010010 - 0 . 001101 0 . 0001010 - 0 . 0001101 0 . 00010100 - 0 . 00001101 0 . 00000111

浮点数的表示形式 ( 以 2 为底 ) ：

X = S · 2 j

S 尾数，绝对值小于 1 的规格化二进制小数，决定数的有效精度。

j 阶码，用移码或补码表示的整数，决定数的表示范围。

2 基数

例如： A = 104 = 01101000 = 0.1101000 * 27

B = 40 = 0.101000 * 26

浮点数的表示：A = 0 0111 1101000 B = 0 0110 101000

5 、浮点四则运算

所以，阶码相同，尾数才能运算，等于先把小数点对齐，对大阶！

IEEE754 国际标准：阶码 j 用移码、基为 2 、尾数 S 用原码。

符号位数阶码 j 位数尾数 S 位数总位数

短浮点数 1 8 23 32长浮点数 1 11 52 64临时浮点数 1 15 64 80

通常计算机中，尾数用补码表示，阶码用补码或移码表示。

移码：［ X ］补的符号位取反，即得［ X ］移。

例： X=+1011 ［ X ］补 =01011 ［ X ］移 =11011

X=-1011 ［ X ］补 =10101 ［ X ］移 =00101


移码具有以下特点：

1 ）最高位符号位， 1 表示正号， 0 表示负号。如果是双符号位，最高位保持 0 ： 01 正数， 00 负数。溢出判断：最高位为 1 ， 10 上溢， 11 下溢。

2 ）在计算机中，移码只执行加减法运算，且运算结果 +2n修正；即对结果的符号位取反，得到［ X ］移。

例如： X=+1010 Y=+0011, 则［ X ］移 =1.1010 ［ Y ］

移 =1.0011 ［ X ］移 + ［ Y ］移 =1.1010+1.0011 = 01101, 修正：［ X+Y ］移 = 01101+10000 =11101

3 ）数据 0有唯一的编码，即［ +0 ］移 = ［ -0 ］移 =1000…0 。

［ X + Y ］移 = ［ X ］移 + ［ Y ］补

［ X - Y ］移 = ［ X ］移 + ［ -Y ］补


浮点数的阶码为什么用移码表示呢？

1 ）正数的移码大于负数的移码： [X] 移 > [-X] 移

原码、补码、反码都不具备。

2 ）如果： X > Y 则 [X] 移 > [Y] 移

所以，在浮点运算中，可以方便地通过比较移码的大小来实现阶码真值大小的比较，其他三种码都不具备这一特性。


设有两浮点数 X ， Y ，其中： X = SX * 2 jX Y = SY * 2 jY

X±Y 运算执行以下五步：

1) “ 对大阶”操作对大阶：使两数的阶码值相等。求阶码差 Δj ， Δj≠0 时，小阶码的尾数右移 Δj 位：阶码 +Δj ，

2) 尾数的加 / 减运算两尾数进行加 / 减运算。

3) 规格化操作尾数符号 01 或 10 ：尾数溢出。右规：尾数右移 1 位，阶码 +1 尾数符号 00 或 11 ：尾数不溢出。但如最高数值位与符号位相同 : 00 0 或 11 1 左规：尾数连续左移直到最高数值位与符号位不同为止（ 00 1 ， 11 0 ）同时从阶码中减去移位的位数。

5.1 、浮点加减运算

4) 舍入（处理多余位）

在执行右规或对阶时，尾数低位上的数值会移掉，使数值的精度

受到影响，常用“ 0” 舍“ 1” 入法。

（三种舍去法：恒舍去，末位恒置 1 ， 0 舍 1 入；

取其精度受影响最小的方法）

5) 检查阶码是否溢出

在规格化和舍入时都可能发生溢出，

若阶码符号 10 为下溢，置运算结果为零，

若阶码符号 01 为上溢，置溢出标志。

5.1 、浮点加减运算

X = 0111 00.1101000 jX SX

Y = 0110 00.1010000 jY SY

SY

jY + 1SX

jX + 1

SX

jX + 1

No

No

Yes

jX = jY

？

SX +- SY SX

jX (or jY) jX

Xf1 X⊕ f2 = 1

Xf1Xf2 X1+

Xf1Xf2 X1

= 1 ?

SX

jX - 1输出

Yes

Yes

No

3 ）规格化处理

00.1101000 SX

+ 00.0101000 SY

01.0010000右规： 1000 00.10010000

左规右规

2 ）尾数运算

1 ）阶码对齐

4 ）舍入处理5 ）溢出判断

jX > jY

？

No

Yes

例 : 已知 X = 0.11011011 * 2010, Y = - 0.10101100 * 2100 求 X + Y

解 : ① 对大阶：［ jX］补 = 00 0010 ［ jY］补 = 00 0100 ［ - jY］补 = 11 1100

求阶差 Δj= ［ jX］补 + ［ - jY］补 = 00 0010 + 11 1100 = 11 1110 （ -2 ） X 的阶码小： X 阶码 + 2 （［ jX］补 = ［ jY］补 = 00 0100 ） X 的尾数右移 2 位，前面补符号位［ SX］补 = 00 0011011011 （此时保留右移数据，不丢不舍）

② 尾数相加［ SX］补 = ［ SX］补 + ［ SY］补 = 00 0011011011 + 11 01010100 = 11 10001010 11

③ 规格化操作：左规 : 数值位左移 1 位 = 11 000101011 阶码 - 1 （［ jX］补 = 00 0011 ）

④ 舍入舍去的附加位最高位为 1 ，结果最低位 +1 ：［ Sx］补 =11 00010110 S= - 0.11101010

⑤ 判溢出阶码符号为 00 ，不溢出。最终结果为： X+Y = - 0.11101010 * 2011

实际运算时，先确定位数。假设机器字长 16 位，采用浮点表示数，其中阶符 2 位，阶码 4 位，尾符 2 位，尾数 8 位，都用补码表示。

X = SX · 2 jX Y = SY · 2 jY

X * Y = （ SX * SY ） 2 jX + jY

X / Y = （ SX / SY ） 2 jX - jY

5.2 、浮点乘除运算

1 ）阶码加减：乘法： jX + jY ，除法： jX - jY 2 ）尾数乘除：乘法： SX * SY ，除法： SX / SY 3 ）规格化处理；4 ）舍入操作：有可能带来又一次规格化；5 ）判溢出：检查阶码上下溢出。

例如：求 X*Y ，

X = 0.0110011 * 2 -5

Y = - 0.1110010 * 2 3

阶码（含符号位）用 4 位移码表示，采用单符号位。

尾数（含符号位）用 8 位补码表示，采用单符号位。

[jX] 补 = 1 011 [jX] 移 = 0 011

[jY] 补 = 0 011 [jY] 移 = 1 011

[SX] 补 = 0.0110011 [-SX] 补 =1.1001101 [SY] 补 =1.0001110

[X] 浮 = 0 011 ， 0.0110011

[Y] 浮 = 1 011 ， 1.0001110


1 ）阶码相加： [ jX + jY ] 移 = [ jX ] 移 + [ jY ] 补

= 0 011 + 0 011 = 0 110

2 ）尾数相乘： [SX] 补 * [SY] 补 = 0.0110011 * 1.0001110

= 1.10100101001010 [XY] 浮 = 0 110, 1.10100101001010

3 ）规格化处理 : 符号位与最高数值位相同，需要规格化（尾数左移一位，阶码 -1 ）

[XY] 浮 = 0.101, 1.01001010010100

4 ）舍入操作：

尾数设 8 位， 0 舍 1 入，则 [XY] 浮 = 0 101, 1.0100101

5 ）判溢出：

阶码两符号位相同，不溢出。


浮点运算器

浮点运算器

由阶码定点运算器和尾数定点运算器组成。

阶码部分仅执行加减法运算。

尾数部分则执行加减乘除运算，左规时有时需要左移多位。

6 、定点运算器的基本结构 6.1 、单总线结构的运算器6.2 、双总线结构的运算器6.3 、三总线结构的运算器


定点运算器是数据的加工处理部件，是 CPU 的重要组成部分。

包括：ALU 算术 /逻辑单元，阵列乘除器，数据寄存器，累加器，多路转换器，数据总线（内部总线）

等逻辑构成。

6 、定点运算器的基本结构

移位门

ALU

选择门 A 选择门 B

通用寄存器组

数据总线

数据总线

运算器结构框图

定点运算部件框图

A ， B ， C 寄存器的作用

商除数被除数余数除法

乘数，乘积低位被乘数部分积乘积高位乘法

无用减数被减数运算结果减法

无用加数被加数运算结果加法

CBA运算


ALU 74181 逻辑电路图 P281 P299

S 是状态控制端，

S=1, 执行逻辑运算

S=0, 执行算术运算

F3～ F0 是运算结

果

S0~S3 是运算选择控制端

，

决定电路执行哪种算术运算

或哪种逻辑运算。

Cn 是 ALU 的最低位进位输

入

A3~A0 ， B3～ B0

是

参加运算的两个数

A· B(A·B)减 1A·B1110

A减 BA减 B减 1AAB0110

(A·B)加 (A+B)加 1

(A·B)加 (A+B)B1010

A加 (A·B)加 1A加 (A·B)A·B0010

“0”减 1“0”1100

(A+B)加 1A+BA·B0100

(A+B)加 1A+BA+B1000

A+1AA0000

Cn=0Cn=1

S=0 算术运算S=1逻辑运算

正逻辑S0S1S2S3

⊕

1.2 、算术逻辑单元S 是状态控制端，

S=1, 执行逻辑运算

S=0, 执行算术运算

S0~S3 是运算选择控制端

，

决定电路执行哪种算术运算

或哪种逻辑运算。

Cn 是 ALU 的最低位进位输

入

A3~A0 ， B3～ B0

是

参加运算的两个数

ALU 74181 算术 /逻辑运算功能表 P281 P299

用四片 4 位 ALU 电路可组成 16 位 ALU 。（ 1110 1101 0101 0001 ）片内进位是并行快速的，但片间进位是串行慢速的，计算时间长。

把 16 位 ALU 中的每四位作为一组，用类似四位超前进位加法器 “ 位间快速进位” 的方法来实现 16 位 ALU 的 “组间快速进位” 。

16 位快速 ALU

Review: 算术逻辑单元

运算器的设计主要是围绕 ALU 和寄存器之间，怎样通过数据总线传送操作数和运算结果进行的。

在决定设计方案时，需要考虑数据传送的方便性和操作速度，在微型机和单片机中还要考虑在硅片上制作总线的工艺。

运算器大体有单总线、双总线、三总线三种结构形式。

根据总线所在位置，总线分为内部总线和外部总线两类。

内部总线是指 CPU内，各部件的连线。（本章讲的是内部总线）

外部总线是指系统总线，即 CPU 与存储器、 I/O 系统之间的连线。


CPU内部所有部件都接到同一总线上。数据可以在任何两个寄存器之间，或任一个寄存器和 ALU之间传送。如果有阵列乘法器或除法器，它们所处的位置应与 ALU 相当。

同一时刻，只能有一个操作数放在总线上，不能同时传送两个数据。

结构特点：操作速度较慢，控制电路比较简单。

6.1 单总线结构的运算器

这种结构有两条总线：总线 1 、总线 2 。

两个操作数可以同时加到 ALU 中进行运算，只需一次操作控制，而把运算结果送到缓冲器，缓冲器的数据可以送到任意一条总线上，两条总线的数据通过通用寄存器组来存储。

优点：速度比单总线结构快。

6.2 双总线结构的运算器

有三条总线：两端接 ALU 的输入：输入总线 1 ，输入总线 2 一端接 ALU 的输出：输出总线 3

这样一步就可以控制两个数的运算，速度可以大大提高，通过通用寄存器把总线 3 的数据送到总线 1 与总线 2 。

6.3 双总线结构的运算器

复习与作业

复习章节：第 6 章计算机的运算方法

6.3 定点运算6.3.1 移位运算

6.3.4 除法运算

6.4 浮点四则运算

作业： P291 6.21 6.26 6.29

07 计算机的运算方法04

Education