07-capítulo 7 econometria
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Econometria 2 principios basicosTRANSCRIPT
TEXTO: Gujarati, D.N., & Porter D.C., Econometría, 5ta. Ed, México D.F., McGraw Hill, 2010,
Páginas (188-215)
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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL ECUADOR
FACULTAD DE ECONOMÍA
APUNTES DE CLASE: ECONOMETRÍA II
TEXTO: Gujarati, D.N., & Porter D.C., Econometría, 5ta. Ed, México
D.F., McGraw Hill, 2010
PROFESOR: Lincoln Maiguashca G.
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Capítulo 7
Análisis de regresión múltiple: problema de estimación
Se analiza el modelo de tres variables: una dependiente y dos explicativas, con modelos lineales en los
parámetros que puedan ser o no lineales en las variables.
Modelo de tres variables: notación y supuestos
La FRP es:
En donde y son los coeficientes de regresión parcial. Los supuestos fundamentales son:
El valor medio de las perturbaciones es igual a cero:
( )
No existe autocorrelación entre las distribuciones de :
( )
Existe Homocedasticidad o igual varianza en las distribuciones de :
( )
La covarianza entre las distribución de y cada variable X es igual a cero:
( ) ( )
El modelo de regresión debe estar correctamente especificado.
No hay multicolinealidad perfecta entre y .
Multicolinealidad perfecta existe cuando las variables y son linealmente dependientes, por ejemplo:
si :
( )
( )
Donde ( ), no hay forma de estimar la influencia separada de y sobre Y. En la
práctica, los datos para el análisis empírico siempre habrá un nivel de correlación entre las variables
explicativas, lo que se requiere es que no sean exactas.
Estimación de los coeficientes de regresión
La FRP:
La FRM:
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( )
( )
( )
( )( )
1era. ecuación normal
( )
( )( )
2da. ecuación normal
( )
( )( )
3era. ecuación normal
Resolviendo el sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas:
( )(
) ( )( )
( )(
) ( )
( )(
) ( )( )
( )(
) ( )
Varianzas y errores estándar de los coeficientes de regresión
( ) [
( )(
) ( )
]
( ) [
( )(
) ( ) ]
( )
( )(
)
( )
( )(
) ( )
( )
[
( )
( )(
)]
( )
(
)
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( ) [
( )(
) ( ) ]
( )
(
)
( )
( )(
) ⁄ ( ) ⁄
( )
Propiedades de los estimadores de MCO
Son similares a las del modelo con dos variables:
La recta de regresión pasa por las medias de , y ; en general:
La media de es igual a la de :
( )
( ) ( )
⁄
Nota: De lo anterior:
( )
Es la regresión con tres variables pero con desviaciones con respecto a la media.
La media de los residuos ( ) es igual a cero:
( )
( )
( )
( )( )
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( ) ( )
Los residuos ( ) no están correlacionados con y :
( )
( )( )
( )( ) ( )( )
( )
( )( )
( )( ) ( )( )
Los residuos ( ) no están correlacionados con ( ):
( )
El coeficiente de determinación
Mide el porcentaje de explicación de las variables independientes sobre la dependiente; es decir, indica
cuán cerca está de la .
Recordando que:
Si: SRC = 0 SEC = STC
Ajuste perfecto
Si: SRC ≠ 0 SEC < STC
Grado (%) de ajuste
Por otro lado:
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( )
( )
( )
( )
En nuestro caso k es igual a 3.
En general, la raíz cuadrada del coeficiente de determinación ( ) en una regresión simple, es el
coeficiente de correlación ( )que mide el grado de asociación entre dos variables; sin embargo, en el
modelo que estamos analizando hay dos variables explicativas, razón por la cual, la raíz cuadrada del
coeficiente de determinación no tiene validez práctica.
El ajustado ( )
Una propiedad importante del es que a medida que aumenta el número de variables explicativas, el
coeficiente de determinación aumenta casi invariablemente hacia 1; recordando que:
La suma total de cuadrados ( ), es independiente del número de variables explicativas; es decir, si
estas aumentan la STC permanece constante. Pero la suma de residuos cuadrados ( ), a medida que
aumenta el número de variables explicativas, disminuye; en consecuencia el aumenta.
Para comparar dos , se debe tomar en cuenta el número de variables explicativas (grados de libertad)
en los modelos, esto se puede hacer con el ajustado .
( )⁄
( )⁄
Donde k = número de regresores en el modelo incluyendo la intersección; el término ajustado significa
ajustado por los grados de libertad. Recordando que:
( )
( )
Donde = varianza homocedástica de la regresión y = varianza muestral de Y. Pero, por otro lado,
una relación entre el y el :
( )⁄
( )⁄
( )( )
( ) [(
)( )
( )]
[( )( )
( )]
Si , modelo de regresión simple sin intersección ( ) . Si , a medida que
aumenta el número de variables explicativas, el aumenta menos que el .
Pero en términos generales, la finalidad de un modelo de regresión no es el maximizar el ; un
elevado (series de tiempo), no es evidencia a favor del modelo y un bajo (series de corte transversal)
no es evidencia en su contra.
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Ejemplo: Con la tabla 6.4, (Ejer-7.1)
Tabla 6.4 (MI=75.97807; PIB=2725.696; TAF=26.00786)
( ) ( ) (11.59318) (0.002003) (0.209947)
22.74109 -2.818703 -10.62927
Incrementos en el PIB y la TAF ejercen impactos negativos en la . Si el PIB se incrementa en 1000
dólares, manteniendo a la TAF constante, el número de muertes de niños menores de 5 años se reduciría a
5.65 por cada 1000 nacimientos vivos. Si la TAF sube en un 1%, manteniendo al PIB constante, el
número de muertes de niños menores de 5 años disminuiría a 2.23 por cada 1000 nacimientos vivos.
( )
( )
( )
( )
( )
( )
[( )( )
( )] [( )
]
se conocen como los coeficientes de regresión parcial que se relacionan de la siguiente manera:
Eliminemos la influencia que la TAF ejerce sobre la y el PIB, es decir:
O bs MI PIB TAF O bs MI PIB TAF O bs MI PIB TAF O bs MI PIB TAF
1 128 1870 37 17 148 580 30 33 142 8640 50 49 83 690 85
2 204 130 22 18 98 660 69 34 104 350 62 50 223 200 33
3 202 310 16 19 161 420 43 35 287 230 31 51 240 450 19
4 197 570 65 20 118 1080 47 36 41 1620 66 52 312 280 21
5 96 2050 76 21 269 290 17 37 312 190 11 53 12 4430 79
6 209 200 26 22 189 270 35 38 77 2090 88 54 52 270 83
7 170 670 45 23 126 560 58 39 142 900 22 55 79 1340 43
8 240 300 29 24 12 4240 81 40 262 230 22 56 61 670 88
9 241 120 11 25 167 240 29 41 215 140 12 57 168 410 28
10 55 290 55 26 135 430 65 42 246 330 9 58 28 4370 95
11 75 1180 87 27 107 3020 87 43 191 1010 31 59 121 1310 41
12 129 900 55 28 72 1420 63 44 182 300 19 60 115 1470 62
13 24 1730 93 29 128 420 49 45 37 1730 88 61 186 300 45
14 165 1150 31 30 27 19830 63 46 103 780 35 62 47 3630 85
15 94 1160 77 31 152 420 84 47 67 1300 85 63 178 220 45
16 96 1270 80 32 224 530 23 48 143 930 78 64 142 560 67
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( ) ( )
( ) (12.22499) (0.213263)
21.58395 -11.20917
( ) (734.9526) (12.82111)
-0.053477 2.195027
Ahora, veamos la regresión ( ):
( ) (0.001971)
-2.864538
Se nota que el coeficiente ( ) es el mismo de la regresión original ( ). Pero además, se
debe notar que el , situación que se discutirá más adelante.
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Y ahora en cambio, eliminemos la influencia que la PIB ejerce sobre la y la TAF, es decir:
( ) ( )
( ) (9.845583) (0.003233)
15.98935 -3.515661
( ) (3.555330) (0.001167)
13.38755 2.195027
Ahora, veamos la regresión ( ):
( ) (0.206588)
-10.80212
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Se nota que el coeficiente ( ) es el mismo de la regresión original ( ). Pero además, se
debe notar que el , situación que se discutirá más adelante.
Si realizamos el modelo con variables estandarizadas:
( ( )) ( )
( ( )) ( )
( ( )) ( )
( ) ( ) (0.071285) (0.071285)
-2.841713 -10.71604
Si la TAF permanece constante, un incremento de una desviación estándar del PIB propicia una
disminución de 0.202570 desviaciones estándar de la MI, si el PIB permanece constante, un incremento
de una desviación estándar de la TAF propicia una disminución de 0.763888 desviaciones estándar de la
MI.
Introducción al sesgo de especificación: control de lectura
Comparación de dos valores de : control de lectura, incluyendo el Ejemplo 7.2
La función de producción COBB-DOUGLAS
Se expresa como:
En donde, = producto, = trabajo, = capital, = perturbación estocástica y e = base del logaritmo
natural. Matemáticamente, la elasticidad es:
⁄
⁄
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Pero obtenemos el logaritmo a ambos lados de la ecuación:
, es la elasticidad del producto respecto al trabajo y mide el cambio porcentual de la producción debido
a una variación del 1% del trabajo, manteniendo al capital constante. , es la elasticidad del producto
respecto al capital, manteniendo al trabajo constante. Por otro lado:
( )
( )
( )
Ejemplo: Con la tabla 7.3, (Ejer-7.2)
Tabla 7.3 (Y=44863661; X1=376195.0; X2=2714683)
( ) ( ) (0.396228) (0.098926) (0.096887)
9.811514 4.734170 5.380274
O bs Y X1 X2 O bs Y X1 X2 O bs Y X1 X2
1 38372840 424471 2689076 18 38686340 384484 2503693 35 3556025 34723 184700
2 1805427 19895 57997 19 69910555 216149 4726625 36 124986166 1174540 6301421
3 23736129 206893 2308272 20 7856947 82021 415131 37 20451196 201284 1327353
4 26981983 304055 1376235 21 21352966 174855 1729116 38 34808109 257820 1456683
5 217546032 1809756 13554116 22 46044292 355701 2706065 39 104858322 944998 5896392
6 19462751 180366 1790751 23 92335528 943298 5294356 40 6541356 68987 297618
7 28972772 224267 1210229 24 48304274 456553 2833525 41 37668126 400317 2500071
8 14313157 54455 421064 25 17207903 267806 1212281 42 4988905 56524 311251
9 159921 2029 7188 26 47340157 439427 2404122 43 62828100 582241 4126465
10 47289846 471211 2761281 27 2644567 24167 334008 44 172960157 1120382 11588283
11 63015125 659379 3540475 28 14650080 163637 627806 45 15702637 150030 762671
12 1809052 17528 146371 29 7290360 59737 522335 46 5418786 48134 276293
13 10511786 75414 848220 30 9188322 96106 507488 47 49166991 425346 2731669
14 105324866 963156 5870409 31 51298516 407076 3295056 48 46164427 313279 1945860
15 90120459 835083 5832503 32 20401410 43079 404749 49 9185967 89639 685587
16 39079550 336159 1795976 33 87756129 727177 4260353 50 66964978 694628 3902823
17 22826760 246144 1595118 34 101268432 820013 4086558 51 2979475 15221 361536
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En el sector manufacturero de USA, durante el 2005, manteniendo constante al capital, un aumento del
1% en el trabajo, condujo a un incremento del 0.468332% en la producción; manteniendo constante al
trabajo, un aumento del 1% en el capital, condujo a un incremento del 0.521279% en la producción.
Nótese que la suma de las elasticidades es 0.99, lo que ubica al sector manufacturero en la región de
rendimientos constantes a escala.
Modelos de regresión polinomial: control de lectura, incluyendo los Ejemplos 7.4 y 7.5
Coeficiente de correlación parcial
Recordemos que el coeficiente de correlación es una medida del grado de asociación lineal entre dos
variables, concepto que en el modelo que estamos estudiando no se aplica porque hay tres variables, lo
cual hay que corregirlo.
En el modelo con tres variables se pueden obtener tres coeficientes de correlación:
: entre Y, y la X1:
( ) (0.423710) (0.034540)
11.79820 28.35882
, entre Y, y la X2:
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( ) (0.458073) (0.032359)
7.404128 29.72223
, entre X1, y la X2:
( ) (0.551824) (0.038982)
-1.919103 24.12913
Indicadores que se denominan coeficientes de correlación simple o de orden “cero” y que se pueden
obtener directamente en el E-views. Los cuales permiten el cálculo de los coeficientes de correlación de
“primer” orden (o de órdenes mayores).
[( )(
)] ⁄
[(
)( )] ⁄
[( )(
)] ⁄
( )
[( )( )] ⁄
( )
[( )( )] ⁄
( )
[( )( )] ⁄